几何画板迭代详解之：迭代与分形几何
佛山市南海区石门中学谢辅炬
分形的特点是，整体与部分之间存在某种自相似性，整体具有多种层次结构。分形图片具有无可争议的美学感召力，特别是对于从事分形研究的科学家来说。欣赏分形之美当然也要求具有一定的科学文化知识，但相对而言，分形美是通俗易懂的。分形就在我们身边，我们身体中的血液循环管道系统、肺脏气管分岔过程、大脑皮层、消化道小肠绒毛等等都是分形，参天大树、连绵的山脉、奔涌的河水、漂浮的云朵等等，也都是分形。人们对这些东西太熟悉了，当然熟悉不等于真正理解。分形的确贴近人们的生活，因而由分形而来的分形艺术也并不遥远，普通人也能体验分形之美。
因为分形几何的迭代的原像一般不止一个，而且均为多映射迭代，为了叙述的方便，我们先作以下两个约定。
1.用(A,B,C)表示有顺序的两点A、B和C。
2.(A,B,C)(D,E,F,),(G,H,I)
?表示A映射到D，B映射到D，C映射到F,然后添加映射A映射到G，B映射到H，C映射到I,如此类推。
【Sierpinski三角形】
波兰著名数学家谢尔宾斯基在1915-1916年期间，为实变函数理论构造了几个典型的例子，这些怪物常称作“谢氏地毯”、“谢氏三角”、“谢氏海绵”、“谢氏墓垛”。如今，几乎任何一本讲分形的书都要提到这些例子。它们不但有趣，而且有助于形象地理解分形。
著名的Sierpinski三角形，它是很有代表性的线性分形，具有严格的自相似特点。不断连接等边三角形的中点，挖去中间新的小三角形进行分割---随着分割不断进行Sierpinski三角形总面积趋于零，总长度趋于无穷。Sierpinski 三角形在力学上也有实用价值，Sierpinski三角形结构节省材料，强度高，例如埃菲尔铁塔的结构与它就很相似。
【步骤】
1.在平面上任意画一个三角形ABC，取三边中点为D、E、F，连接DEF。
2.新建参数n＝3
3.顺次选择B,C,A三点和参数n，作深度迭代,(B,C,A)(D,F,A)
?。
4.添加新的映射, (B,C,A)(B,E,D)
?。
第 3 步第 4 步
5.继续添加映射。(B,C,A)(E,C,F)
?
6.改变参数n可观察图形变化。
第 5 步第 6 步
【Sierpinski地毯】
和Sierpinski地毯相似，只是步骤多了一些。取正方形将其 9 等分，得到 9 个小正方形，舍去中央的小正方形，保留周围 8 个小正方形。然后对每个小正方形再 9 等分，并同样舍去中央正方形。按此规则不断细分与舍去，直至无穷。谢尔宾斯基地毯的极限图形面积趋于零，小正方形个数与其边的线段数目趋于无穷多，它是一个线集，图形具有严格的自相似性。
【步骤】
1.平面上任取线段AB，以线段AB构造正方形ABCD。
2.以A为缩放中心，B、D缩放为1/3,得到E、F；以D为缩放中心，A、C
缩放为1/3得到G、H。同理得到I、J、K、L。连接各点，将正方形九
等分；
3.并填充中间的正方形MNOP，度量MNOP的面积，选择改度量结果和填充
的正方形，单击【显示】【颜色】【参数】，单击确定。则该MNOP的颜色
随它的面积变化而变化。
4.新建参数n＝4，顺次选择A、B两点和参数n，作深度迭代，（A，B）
（G，P）；（P，O）；（O，J）；（F，M）；（M，N）；（N，K）；（A，E）；（E，L）；
（L，B）。注意迭代中点的对应，当迭代框遮住图像的时候可用鼠标选
中拖动开。单击迭代，隐藏不必要的点。
如果我们制作任意三角形的Sierpinski三角形和任意四边形的Sierpinski 地毯（即三角形和四边形的顶点都是自由点），然后按照多面体的侧面数将他们复制。利用画板合并点的功能，将它们“粘贴”到三棱锥和正方体的各个侧面上，（如下图）可以制作空间的Sierpinski三角形和地毯。是不是很漂亮呢？
【摇曳的Pythagorean Tree(毕达哥拉斯树)】
毕达哥拉斯学派发现勾股定理(西方叫做毕达哥拉斯定理)闻名于世，又由此导致不可通约量的发现。1988年，劳威尔通过数值研究发现毕达哥拉斯树花是一迭代函数系的J集。
【步骤】
1.在屏幕上以任取两点A和B，作正方形ABCD，以CD为直径作圆O，取
半圆弧OCD，在该弧上任取一点E，连接CE，DE。隐藏不必要的对象。
2.填充四边形ABCD，度量ABCD的面积。选择四边形和度量结果，单击【显
示】【颜色】【参数】。则四边形的颜色会随它的面积变化而变化。
3.新建参数n＝4，选择A、B和n，作深度迭代，(A,B)(D,E),(E,C)
。
第2 步第 3 步
4.选择E点，单击【编辑】【操作类按钮】【动画】，E点变动，很漂亮的
效果。当E点在OCD的中点时，整个树显出对称美。
【分形树】
【分析】和毕达哥拉斯树类似，树枝按一定的规律生长。
【过程】
1.在垂直方向上画线段AB，在AB左上区域任取一点C。
2.度量CB，BA的长度，计算CB/BA；度量CBA
∠的大小。
3.双击C点作为旋转中心，旋转角度为CBA
∠，旋转B得到点E；继续以CB/BA为缩放比例，E点缩为F点；双击线段CB作为标记镜面，得到F 点关于线段CB的对称点G。连接GC，FC。
4.双击线段AB作为标记镜面，得到C、F、G关于线段AB的对称点D、H、
I，连接BD、HD、ID。
第 3 步第4 步
5.新建参数n=3。顺次选择A、B、C三点和参数n，作深度迭代，(A,B,C)
? (B,C,G),(B,C,F),(B,D,H),(B,D,I)。
6.移动C点的位置，改变树枝的形状。
【KOCH 曲线】
瑞典数学家柯赫于1904年构造了如今称之为“柯赫曲线”(Koch curve)的几何对象，这一年他一共发表了两篇论文描述这种曲线，他画出了此曲线的图形，给出了生成步骤。它的构造过程如下：取一条长度为L的直线段，与构造三分康托尔点集那样先将它三等分，然后保留两侧的两段，将中间的一段改成夹角为60o的两个等长的直线，每段长度均为L/3，这是n=1的第一次操作。类似地，第二次操作是将上次所得的四段边长为L/3的线段都进行三等分，现在每段长度为L/9，并将它们中间的一段改成夹角为60o的两个长度为L/9的直线。如果将上述操作一直进行下去，最终得到一条具有自相似结构的曲线，称为三次科赫曲线。
【步骤】
1.画线段AB，以A为缩放中心，B缩短为1/3,得到C点；同理以B为缩
放中心，A缩短为1/3，得到D点。以C点为旋转中心，D点顺时针旋
转60度，得到E点。
2.隐藏线段AB，连接线段AC、CE、ED、DB。
3.新建参数n＝3，顺次选择A、B两点和n，作深度迭代。(A,B)
(A,C),(C,E),(E,D),(D,B)。（如下图所示）
4.单击迭代框的“显示”按钮，选择“显示最终迭代”。隐藏线段AC、CE、
ED、DB（如下图所示）。
5.改变参数n，观察图形变化。
【KOCH雪花】
因为它酷似雪花，所以叫“雪花曲线”(snowflake curve)，也很像海岸线。柯赫曲线的生成过程很简单，以一个三角形作为源多边形，即初始元，将三角形的每一边做三等分，舍去中间的1/3，然后按科赫曲线的规则产生生成元。从源多边形开始，第一步形成一个六角星形，第二步将六角星形的12条边然后按科赫曲线的生成规则进行同样的操作得48条边星形，如图4-5，以后依此进行同样得操作，直至无穷，生成称为科赫雪花的图形。在极限的情况下，科赫雪花的上的折线演变成为曲线。由于科赫曲线生成中的每一步操作都会使折线的长度增加，所以在极限的情况下，科赫雪花边的总长度将趋于无穷。
柯赫曲线是很复杂的，首先它有许多折点，到处都是“尖端”，用数学的语言讲，曲线虽然连续，但处处不可微，即没有切线。
【步骤】
1.在平面上取AB做一个KOCH曲线，然后在A的左端任取一点G，在B的
右边任取一点F，分别在AG和BF上做KOCH雪花，注意三个迭代深度都必须为n。
2.以B点为旋转中心，A顺时针旋转60度得到H点。选择G，H两点，单
击【编辑】【合并点】，则G点与H点合并。同理，再合并H、F两点。
KOCH雪花完成了。
【数学之美】
【步骤】
1.任取两点A、B，并作正方形ABCD。
2.在AB上任取一点E,连接BE，度量线段BE的长度并计算BE/AB。
3.双击A点作为缩放中心，选择D点，单击【变换】【缩放】以计算结果
‘AE/AB’为比例缩放，得到点F；同理以D点为中心，缩放C点得到点G；以C点为缩放中心，缩放B点得到点H。连接正方形EFGH。
4.新建参数n＝5，顺次选择A、B两点，和参数n，按下shift键不放，
作深度迭代，(A,B)(F,E)
。如下图所示：
5.选择E点，点击【编辑】【操作类按钮】【动画】。E点变动，产生梦幻
般的效果。
【H迭代】
【步骤】
1.在水平直线上取两点A和B，连接AB。以A点为旋转中心，B点顺时针
旋转90度，得到C点，再取AC中点D。
2.以D为旋转中心，C点顺时针旋转90度得到E点，取DE中点F。以D
为旋转中心，F点再旋转180度得到G点。连接FG。
3.同理再画出H、I两点。以AB为标记镜面，得到F、G、H、I关于AB
的对称点J、K、L、M，连接线段JK，LM。（如下图所示）
4.隐藏不必要的点，新建参数n＝4。顺次选择A、B两点、参数n，作深
度迭代，
(A,B)(F,G),(H,I),(J,K),(L,M)
?.
5.单击迭代，隐藏各点的标签。
【蜂巢】
蜜蜂地巢你观察过没有？是什么形状呢？聪明的蜜蜂选择了正六边形，因为这样可以填充整个空间，而且正六边形是最省材料的一中结构。从蜂巢中我们也可以发现许多自相似的结构。由三条边迭代就可以得到蜂巢了，不信？请看。
【步骤】
1.屏幕上任取线段AB，以B为旋转中心，A点顺时针旋转120度得到点C，
A点逆时针旋转120度得到点D。
2.新建参数n＝5。选择A、B和参数n，作深度迭代，(A,B)(,),(B,D)
?。
B C
3.单击迭代，得到蜂巢的图像。
上面的迭代只是分形几何的一部分，由于篇幅所限，下面给出其余一些分形几何的图片，以供欣赏：
基于分形几何的分形图绘制与分析 摘要：基于分形几何的分形图绘制方法源于l系统、迭代函数系统ifs、复动力系统等。在运用分形原理及算法编程绘制多种分形图的基础上，重点对ifs参数进行实验分析，ifs吸引集实现了对原图形的几何变换。分形图的演变具有渐变性。 关键词：分形几何迭代函数系统分形图绘制渐变 1 分形几何学 现代数学的一个新的分支——，它是由美籍法国数学家曼德勃罗（b.b.mandelbrot）1973年在法兰西学院讲课时，首次提出了分形几何的设想。分形（fractal）一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。分形几何的诞生无论是在理论上还是在实践上都具有重要价值。 2 分形的定义 目前分形还没有最终的科学定义，曼德勃罗曾经为分形下过两个定义： （1）分形是hausdorff-besicovitch维数严格大于拓扑维数的集合。因为它把许多hausdorff维数是整数的分形集合排除在外，例如，经典分形集合peano曲线分形维数 （2）局部与整体以某种方式自相似的形，称为分形。 然而，经过理论和应用的检验，人们发现这两个定义很难包括分形
如此丰富的内容。实际上，对于什么是分形，到目前为止还不能给出一个确切的定义，正如生物学中对“生命”也没有严格明确的定义一样，人们通常是列出生命体的一系列特征来加以说明。对分形的定义也可同样的处理。 (ⅰ) 分形集合在任意小尺度下，它总有复杂的细节，或者说它具有精细的结构。 (ⅱ) 分形集合是非常不规则的，用传统的几何语言无法来描述它的局部和整体，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。 (ⅲ) 分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。 (ⅳ) 以某种方式定义的分形集合的“分形维数”，严格大于它相应的拓扑维数。 (ⅴ) 在大多数令人感兴趣的情形下，分形集合是以非常简单的递归的方法产生的。 3 分形研究的对象 几何学的研究对象是物体的形状，在自然界中，许多物体的形状是极不规则的，例如：弯弯曲曲的海岸线，起伏不平的山脉，变化无偿的浮云，以及令人眼花缭乱的满天繁星，等等。这些物体的形状有着共同的特点，就是极不规则，极不光滑。但是，所有的经典几何学都是以规则而光滑的形状为其研究对象的，例如：初等平面几何的主要研究对象是直线与圆；平面解析几何的主要研究对象是一
运用几何画板辅助初中数学教学的实践及案例 摘要：当我们从数学的本质特点和学生的认知特点出发，运用“几何画板”这种工具，通过数学实验这种教与学的方式，去影响学生数学认知结构的意义建构，帮助学生本质地理解数学，培养学生的数学精神、发现与创新能力时，我们就把握住了数学教育的时代性和科学性。 关键词：素质教育新课程改革信息技术与课程的整合数学实验室 一、运用几何画板辅助初中数学教学的实践及案例 1．有效创设动态情境，激发学生学习兴趣 几何画板能简单、准确、动态地表达几何图形和现象，这就为学生学习知识、观察思维提供了一个良好的场所和环境。在课堂中数学老师可以展示一些与学习内容关系非常密切的实例，使学生观其形，闻其音，丰富学生的感观，使学生自然地深入教师精心设计的情景中，不知不觉地思索着，学习着。如用几何画板制作一辆公路上运动的自行车，并请学生思考图中包含了哪些图形，在学生思考的过程中，双击“动画”按钮，使屏幕上的自行车往返运动。还可利用“轨迹跟踪点”的功能演示出自行车行进时车轮上一点、脚蹬上一点或车把上一点形成的轨迹，来说明“点动成线”的事实。这辆平常的自行车在数学课上出现，给刚步入几何大门的孩子们带来了欢笑和几分神奇。就在这愉悦的气氛中，他们迈进了平面几何的门槛，点、直线、线段、圆等几何图形已从他们最熟悉的现实世界中抽象出来了。而这种抽象是他们用眼观察，同时是自己亲身感受到的，激发了他们学习几何的动机，点燃了他们学习的热情。 2．利用几何画板辅助教师讲授基础知识，帮助学生理解基本概念，帮助概念解析 概念是一事物区别于它事物的本质属性，概念来源于生活。在教学中讲授或学习概念常常需要借助图形进行直观性表述。几何中的概念，如“中点”，如果离开了具体的图形的帮助，那么其本质含义就无法揭示和表现出来，因而，图形成为说明概念的“形态式”语言。平面几何教学难，难在于学生不能把概念转换为图形语言，从图形中理解抽象的概念，学习也就望而却步。为此，在几何教学中，要善于利用几何画板强大的图形功能，使概念有具体直接的形象。例如用几何画板教学“三线八角”时，可以先让学生观察课件中八个角之间的位置关系，在学生观察思考的过程中，双击“同位角”按钮，几何画板能把图中的四组同位角从图中自动地拉出，单击鼠标，显示在屏幕上的四组同位角又分别返回原图中去；内错角、同旁内角类似，起到了快速、直观的效果。更重要的是还可以拖动其中任何一条直线使图形发生变化，来说明这些角的位置关系并未发生变化，从而使学生进一步认识其质的规定性，深化了对概念的理解，提高了课堂教学的效率。 例如反比例函数的图像的特点，学生不好把握，什么叫“与坐标轴无限接近，但永不相交”？为了帮助学生理解双曲线的特点，可以利用几何画板来形象地展示这一特点。如要作y= 图像，需要首先建立坐标系，在x轴上取点a，度量该点的横坐标，然后利用“度量”菜单中的“计算”功能计算出，“度量”菜单下的“绘制点”绘出点b（x, y），最后依次选中点a、b，选择“构造”菜单中的“轨迹”，完成双曲线的绘制。然后演示拖动图中的点a向右运动，让学生观察点的运动和数据的变化，问：当x值越来越大，y是如何变化的？学生会看到随着点a向右运动，点a与x轴的距离越来越小。教师趁机再问：图像上的点会与两轴相交吗？再仔细观察双曲线与坐标轴的关系，猜想的结果是不会相交，教师再引导分析，找出真正的原因在于x和y不能为0。
几何画板实例教程：（1）模拟时钟 1，制作表盘 打开图表----定义坐标系，以原点为圆心构造圆O，右击圆周选选择粗线，颜色任意。在圆周上取点B，选取点O、B打开菜单变换---缩放选择固定比为4：5得到点B′ 构造线段BB′右击选择粗线，选择点O 打开变换标记中心，选择线段BB′（不要断点）打开菜单变换---旋转六十度，同理旋转十一次得到 。
在圆周任意取点C，选取O和C打开菜单变换---缩放，固定比选择为9：10 得到C′构造线段CC′，选取点C和线段CC′变换旋转6°，C旋转得到点D，然后选取点C打开菜单变换---迭代，影像选择点D，迭代次数操作键盘加号得到58次：
设y轴与圆的交点为E以点0为缩放中心将点E分别缩放90％，60℅，30％，得到点F、G、H隐藏网格和坐标轴，分别构造线段OF,OG,OH并设置为虚线、细线、粗线得到图：到此为止表盘完成了。 2：制作按钮操作时钟 打开菜单图标—新建参数标签改为秒，值的精确度选择为百分之一 打开菜单度量---计算，使用函数trunc分别计算一下结果：秒针旋转的角度、分针的旋转角度、时针的旋转角度。
选取参数“秒=1”打开编辑---操作类按钮—动画 范围设置为0到86400（一天一夜二十四小时共86400秒），标签改为“启动时钟”。 再次选择参数秒同上面一样打开动画按钮，不同的是把范围改为0到0.001，（此范围保证各指针的旋转的角度为0°），标签改为“归零”
选取打开菜单变换---标记角度，然后选取秒针（即图中的虚线）做变换—旋转变换，同理再分别选取分针和时针的旋转角度
做分针和时针的旋转变换。 此时点击启动时钟和归零就可以得到时钟的转动的效果了。(没有用的线可以隐藏了) 3.制作合并文本 用文本工具分别作时、分、秒三个独立的文本 再分别打开度量---计算下面三个值： 此结果是小时的取整； 此结果是秒的显示数字； 此结果为分的显示数字 分别右键单击三个结果选择属性—值的精确度选择单位。 依次选择下面的文本和值打开菜单编辑—合并文本
实验名称：迭代与分形 专业：信息工程 班级：09级四班 姓名： 序号：29，38 提交日期：2011年4月29日 一、实验目的与要求 1．认识Fibonacci数列，体验发现其通项公式的过程； 2．了解matlab软件中进行数据显示与数据拟合的方式； 3．掌握matlab软件中plot, polyfit等函数的基本用法； 4．提高对数据进行分析与处理的能力。 二、问题描述 几何学研究的对象是客观世界中物体的形状。传统欧氏几何学的研究对象，都是规则并且光滑的，比如：直线、曲线、曲面等。但客观世界中物体的形状，并不完全具有规则光滑等性质，因此只能近似当作欧氏几何的对象，比如：将凹凸不平的地球表面近似为椭球面。虽然多数情况下通过这样的近似处理后，能够得到符合实际情况的结果，但是对于极不规则的形态，比如：云朵、烟雾、树木等，传统的几何学就无能为力了。 如何描述这些复杂的自然形态？如何分析其内在的机理？这些就是分形几何学所面对和解决的问题。 三、问题解决 （1）对一个等边三角形，每条边按照Koch曲线的方式进行迭代，产生的分形图称为Koch雪花。编制程序绘制出它的图形，并计算Koch雪花的面积，以及它的分形维数。 （2）自己构造生成元（要有创意），按照图形迭代的方式产生分形图，用计算机编制程序绘制出它的图形，并计算其分形维数。 1、程序如下： function plottrkoch(a,k)％函数，a为迭代0次的三角形的边长，k为迭代 次数
p=[0 0;a 0;a/2 a/2*sqrt(3);0 0]; n=3; A=[cos(pi/3) -sin(pi/3);sin(pi/3) cos(pi/3)]; for s=1:k j=0; for i=1:n q1=p(i,:); q2=p(i+1,:); d=(q2-q1)/3; j=j+1;r(j,:)=q1; j=j+1;r(j,:)=q1+d; j=j+1;r(j,:)=q1+d+d*A'; j=j+1;r(j,:)=q1+2*d; end n=4*n; clear p p=[r;q2]; end mianji=sqrt(3)*(1+3*(1-(4/9)^k)/5)/4*a^2％计算迭代k次后的面积大小weishuD=log(4)/log(3)％计算维数 plot(p(:,1),p(:,2)) axis equal 当k=1时 当k=3时
几何画板迭代全解 佛山市南海区石门中学谢辅炬 目录 ?迭代的基本概念以及迭代的基本操作 ◆迭代的概念 ◆迭代在代数、几何中的应用 ◆画正多边形 ◆数列的图像、前n项和与积 ?迭代与分形几何 ◆Sierpinski 三角形 ◆Sierpinski 地毯 ◆摇曳的Pythagorean Tree毕达哥拉斯树 ◆分形树 ◆KOCH 曲线 ◆KOCH Snowflake柯克雪花 ◆数学之美 ◆H迭代 ◆蜂巢 ◆其它分形欣赏 ?函数迭代：函数映射，M集，朱丽亚集 ◆迭代法求方程解 ◆MIRA ◆Henon-Attractor ◆Mandelbrot集合 ◆Julia Sets集合 ◆牛顿迭代法 ?下期预告
第一章：迭代的概念和操作 迭代是几何画板中一个很有趣的功能，它相当于程序设计的递归算法。通俗的讲就是用自身的结构来描述自身。最典型的例子就是对阶乘运算可看作一下的定义：!(1)!(1)!(1)(2)! n n n n n n =?--=-?- 。递归算法的特点是书写简单，容易理解，但是运算消耗内存较大。我们先来了解下面这几个最基本的概念。 迭代：按一定的迭代规则，从原象到初象的反复映射过程。 原象：产生迭代序列的初始对象，通常称为“种子”。 初象：原象经过一系列变换操作而得到的象。与原象是相对概念。 更具体一点，在代数学中，如计算数列1，3，5，7，9......的第n 项。我们知道12n n a a -=+，所以迭代的规则就是后一项等于前一项加2。以1作为原像，3作为初像，迭代一次后得到5，再迭代一次得到7，如此下去得到以下数值序列7 , 9，11, 13, 15......如图1.1所示。 图 1.1 图 1.2 在几何学中，迭代使一组对象产生一组新的对象。图1.2中A 、B 、C 、D 、E 、F 、G ，各点相距1cm ，那么怎么由A 点和B 点得到其它各点呢？我们可以发现其中的规律就是从左到右，每一个点相当于前面一个点向右平移了1cm 。所以我们以A 点作为原像，B 点作为初像，迭代一次得到B 点，二次为C 点，以此类推。 所以，迭代像就是迭代操作产生的象的序列，而迭代深度是指迭代的次数。那么下面我们通过例子来进一步地了解迭代以及相关的概念。 几何画板中迭代的控制方式分为两种，一种是没有参数的迭代，另一种是带参数的迭代，我们称为深度迭代。两者没有本质的不同，但前者需要手动改变迭代的深度，后者可通过修改参数的值来改变迭代深度。我们先通过画圆的正n
数学实验报告：分形迭代 练习1 1.实验目的：绘制分形图案并分析其特点。 2.实验内容：绘制Koch曲线、Sierpinski三角形和树木花草图形，观察这些图形的局部和原来分形图形的关系。 3.实验思路：利用函数反复调用自己来模拟分形构造时的迭代过程，当迭代指标n为0时运行作图操作，否则继续迭代。 4.实验步骤： （1）Koch曲线 function koch(p,q,n) % p、q分别为koch曲线的始末复坐标，n为迭代次数 if (n==0) plot([real(p);real(q)],[imag(p);imag(q)]); hold on; axis equal else a=(2*p+q)/3; % 求出从p 到q 的1/3 处端点a b=(p+2*q)/3; % 求出从p 到q 的2/3 处端点b c=a+(b-a)*exp(pi*i/3);% koch(p, a, n-1); % 对pa 线段做下一回合 koch(a, c, n-1); % 对ac 线段做下一回合 koch(c, b, n-1); % 对cb 线段做下一回合 koch(b, q, n-1); % 对bq 线段做下一回合 end （2）Sierpinski三角形 function sierpinski(a,b,c,n) % a、b、c为三角形顶点，n为迭代次数 if (n==0) fill([real(a) real(b) real(c)],[imag(a) imag(b) imag(c)],'b');% 填充三角形abc hold on; axis equal else a1=(b+c)/2; b1=(a+c)/2; c1=(a+b)/2; sierpinski(a,b1,c1,n-1); sierpinski(a1,b,c1,n-1); sierpinski(a1,b1,c,n-1); end （3）树木花草 function grasstree(p,q,n) % p、q分别为树木花草始末复坐标，n为迭代次数
中学数学全套课件制作实例（几何画板） 1、《几何画板》：绘制三角形内接矩形的面积函数图像 2、《几何画板》：求过两点的直线方程 3、《几何画板》：验证两点间距离公式 4、《几何画板》：绘制分段函数的图像 5、《几何画板》：绘制某区间内的函数图像 6、《几何画板》：运用椭圆工具制作圆柱 7、《几何画板》：绘制四棱台 8、《几何画板》：绘制三棱柱 9、《几何画板》：绘制正方体 10、《几何画板》：绘制三角形的内切圆 11、《几何画板》：通过不在一条直线上的3点绘制圆 12、《几何画板》：给定半径和圆心绘制圆 13、《几何画板》：绘制棱形 14、《几何画板》：绘制平行四边形 15、《几何画板》：绘制等腰直角三角形 16、《几何画板》：旋转体教学 17、《几何画板》：画角度的箭头 18、《几何画板》：“派生”关系进行轨迹教学板 19、《几何画板》：制作“椭圆”工具 20、《几何画板》：显示圆和直线的位置关系 21、《几何画板》：研究圆切线的性质 22、《几何画板》：“垂径定理”的教学
23、《几何画板》：证明三角形的中线交于一点 24、《几何画板》：验证分割高线长定理 25、《几何画板》：证明三角形外心和重心的距离等于垂心与重心的距离的一半 26、《几何画板》：证明三角形内角和等于180度 27、《几何画板》：验证三角形面积公式 28、《几何画板》：验证勾股定理 29、《几何画板》：验证正弦定理 30、《几何画板》：验证圆弧的三项比值相等 31、《几何画板》：巧用Excel制作函数图像 32、《几何画板》：绘制极坐标系中的曲线函数图像 33、《几何画板》：绘制带参数的幂函数图像 34、《几何画板》：绘制带参数的正弦函数图像 35、《几何画板》：绘制带参数的抛物线函数图像 36、《几何画板》：绘制带参数的圆函数图像 37、《几何画板》绘制带参数直线函数图像
如何用好几何画板的深度迭代 第一章：迭代的概念和操作 迭代是几何画板中一个很有趣的功能，它相当于程序设计的递归算法。通俗的讲就是用自身的结构来描述自身。最典型的例子就是对阶乘运算可看作一下的定义：!(1)!(1)!(1)(2)! n n n n n n =?--=-?- 。递归算法的特点是书写简单，容易理解，但是运算消耗内存较大。我们先来了解下面这几个最基本的概念。 迭代：按一定的迭代规则，从原象到初象的反复映射过程。 原象：产生迭代序列的初始对象，通常称为“种子”。 初象：原象经过一系列变换操作而得到的象。与原象是相对概念。 更具体一点，在代数学中，如计算数列1，3，5，7，9......的第n 项。我们知道12n n a a -=+，所以迭代的规则就是后一项等于前一项加2。以1作为原像，3作为初像，迭代一次后得到5，再迭代一次得到7，如此下去得到以下数值序列7 , 9，11, 13, 15......如图1.1所示。 图 1.1 图 1.2 在几何学中，迭代使一组对象产生一组新的对象。图1.2中A 、B 、C 、D 、E 、F 、G ，各点相距1cm ，那么怎么由A 点和B 点得到其它各点呢？我们可以发现其中的规律就是从左到右，每一个点相当于前面一个点向右平移了1cm 。所以我们以A 点作为原像，B 点作为初像，迭代一次得到B 点，二次为C 点，以此类推。 所以，迭代像就是迭代操作产生的象的序列，而迭代深度是指迭代的次数。那么下面我们通过例子来进一步地了解迭代以及相关的概念。 几何画板中迭代的控制方式分为两种，一种是没有参数的迭代，另一种是带参数的迭代，我们称为深度迭代。两者没有本质的不同，但前者需要手动改变
上篇用几何画板做数理实验 图1-0.1 我们主要认识一下工具箱和状态栏，其它的功能在今后的学习过程中将学会使用。 案例一四人分饼 有一块厚度均匀的三角形薄饼，现在要把它平 均分给四个人，应该如何分？ 图1-1.1 思路：这个问题在数学上就是如何把一个三角形分成面积相等的四部分。 方案一：画三角形的三条中位线，分三角形所成的四部 分面积相等，（其实四个三角形全等）。如图1-1.2。 图1-1.2
方案二：四等分三角形的任意一边，由等底等高的三角形面积相等，可以得出四部分面积相等，如图1-1.3。 图1-1.3 用几何画板验证： 第一步：打开几何画板程序，这时出现一个新绘图文件。 说明：如果几何画板程序已经打开，只要由菜单“文件”→“新绘图”，也可以新建一个绘图文件。 第二步：(1)在工具箱中选取“画线段”工具； (2)在工作区中按住鼠标左键拖动，画出一条线段。如图 1-1.4。 注意：在几何画板中，点用一个空心的圈表示。 图1-1.4 第三步：(1)选取“文本”工具；(2)在画好的点上单击左键，可以标出两点的标签，如图1-1.5： 注意：如果再点一次，又可以隐藏标签，如果想改标签为其它字母，可以这样做： 用“文本”工具双击显示的标签，在弹出的对话框中进行修改，(本例中我们不做修改)。如图 1-1.6 图1-1.6 在后面的操作中，请观察图形，根据需要标出点或线的标签，不再一一说明 B 图1-1.5 第四步：(1)再次选取“画线段”工具，移动鼠标与点A 重合，按左键拖动画出线段AC ；(2)画线段BC ，标出标签C ，如图1-1.7。 注意：在熟悉后，可以先画好首尾相接的三条线段后再标上标签更方便。 B 图1-1.7 第五步：(1) 用“选择”工具单击线段AB ，这时线段上出现两个正方形的黑块，表示线段处于被选取状态；(2) 由菜单“作图”→“中点”，画出线段AB 的中点，标上标签。得如图1-1.8。 注意：如果被选取的是点，点的外面会有一个粗黑圆圈。在几何画板中，选取线段是不包括它的两个端点的，以后的问题都是这样，如果不小心多选了某个对象，可以 B C D 图1-1.8
2 分形几何学的基本概念 本章讨论分形几何学的一些基本内容，其中：第1节讨论自相似性与分形几何学的创立；第2节讨论分形几何学的数学量度，即三种不同的维数计算方法；第3节讨论应用分形几何方法所实现的对自然有机体的模拟。 2.1自相似性与分形几何学 无论人们通过怎样的方式把欧几里得几何学的形体与自然界关联起来，欧氏几何在表达自然的本性时总是会遇到一个难题：即它无法表现自然在不同尺度层次上的无穷无尽的细节。欧氏几何形体在局部放大后呈现为直线或光滑的曲线，而自然界的形体（如山脉、河流、云朵等）则在局部放大后仍呈现出与整体特征相关的丰富的细节（图版2-1图1），这种细节特征与整体特征的相关性就是我们现在所说的自相似性。
自相似性是隐含在自然界的不同尺度层次之间的一种广义的对称性，它使自然造化的微小局部能够体现较大局部的特征，进而也能体现其整体的特征。它也是自然界能够实现多样性和秩序性的有机统一的基础。一根树枝的形状看起来和一棵大树的形状差不多；一朵白云在放大若干倍以后，也可以代表它所处的云团的形象；而一段苏格兰的海岸线在经过数次局部放大后，竟与放大前的形状惊人地相似（图版2-1图2）。这些形象原本都是自然界不可琢磨的形状，但在自相似性这一规律被发现后，它们都成为可以通过理性来认识和控制的了。显然，欧氏几何学在表达自相似性方面是无能为力了，为此，我们需要一种新的几何学来更明确地揭示自然的这一规律。这就是分形几何学产生的基础。
1977年，曼德布罗特（Benoit Mandelbrot）出版了《自然的分形几何学》（The Fractal Geometry of Nature）一书，自此分形几何学得以建立，并动摇了欧氏几何学在人们形态思维方面的统治地位。分形几何学的研究对象是具有如下特性的几何形体：它们能够在不断的放大过程中，不停地展现出自相似的、不规则变化着的细节（图2-1图3）。这些几何形状不同于欧氏几何形体的一维、二维或三维形状，它们的维数不是简单的1、2或3，而是处于它们之间或之外的分数。 科赫曲线（Koch Curve）是分形几何学基本形体中的一个典型实例，它是由这样一种规律逐次形成的：用一根线段做为操作对象，对其三等分，把中间一段向侧面旋转60度，并增加另一段与之长度相同的线段把原来的三条线段连接为一体，这四条线段组成的形状就是第一代的科赫曲线；分别对它的每一条线段重复上述的操作，将形成第二代科赫曲线；再对其每一条线段进行上述操作，可得第三代，等等；如此迭代下去（图版2-1图4）。显然，对每一代的构成元素的同样操作决定了自相似性的代代传递，使形成的科赫曲线已经明确地具有了自然的特征。如果再进一步在操作中增加一点随机成分的话，那么所得的随机科赫曲线的自然性就更强列了。[回本章页首] 2.2维数计算：分形几何学的数学量度 既然分形几何学是一种严格的数学，那么它一定有自身的数学量度。分形几何学的数学量度是分形几何形体的维数。如前所述，分形几何形体的维数不是整数而是分数，它的计算是分形几何的创立者们在总结归纳的基础上产生的。 分形几何体的维数计算的数学推导是复杂的，也不是我们所关心的内容。但维数计算所代表的形象意义却值得我们关注。如前所述，分形几何形体的本质属性是自相似性，而这一自相似性一定是在同一形体的不同层次之间（不论是对自然形体的不同程度的放大，还是对人工形体迭代操作所得到的不同代）得以体现的。因而，分形几何形的维数正是在形状的不同层次的比较之间所反映出来的规律。这一规律所代表的是分形几何形状在空间中的扩张趋势。维数越大，就表明它在空间的扩张趋势越强，形状本身的变化可能性也越丰富。
迭代：分形 姓名： 学号： 班级：数学与应用数学4班
实验报告 实验目的：以迭代的观点介绍分形的基本特性以及生成分形图形的基本方法，使读者在欣赏美丽的分形图案的同时对分形几何这门学科有一个直观的了解，并从哲理的高度理解这门学科诞生的必然，激发读者探寻科学真理的兴趣。 实验环境：Mathematica软件 实验基本理论和方法： 在19世纪末及20世纪初，一些数学家就构造出一些边界形状极不光滑的图形，而这类图形的构造方式都有一个共同的特点，即最终图形F都是按照一定的规则R通过对初始图形不断修改得到的。其中最有代表性的图形是Koch曲线，Koch曲线的构造方式是：给定一条直线段，将该直线段三等分，并将中间的一段用以该线段为边的等边三 角形的另外两条边代替，得到图形，然后再对图形中的每一小段都按上述方式修改，以至无穷。则最后得到的极限曲线即是所谓的Koch曲线。 生成元：Koch曲线的修改规则R是将每一条直线段用一条折线代替，我们称为该分形的生成元。 分形的基本特性完全由生成元确定，因此，给定一个生成元，我们就可以生成各种各样的分形图形。 Julia集绘制方法：（1）设定初值p，q，一个最大的迭代次数N，图形的分辨率的大小a，b，和使用的颜色数(如K=16)（或者给定灰度 级L）；（2）设定一个上界值；（3）将矩形区域
分成的网格，分别以每个网格点， ，，，作为初值利用riter做迭代（实际上，只需对满足的初值点做迭代）。如果对所有，，则将图形的像素点用黑 色显示，否则，如果从迭代的某一步开始有，则用 modK种颜色显示相应像素（或者用相应的灰度级显示）。Mandelbrot集绘制方法：设定一个最大的迭代次数N，图形的分辨率的大小a，b，和使用的颜色数(如K=16)（或者给定灰度级L）；（2） 设定一个上界值；（3）将矩形区域分成 的网格，分别以每个网格点，，， ，作为参数值利用riter做迭代（实际上，只需对的初值点做迭代），每次迭代的初值均取为。如果对所有，，则将图形的像素点用黑色显示，否则，如果从迭代的某一步开始有，则用modK种颜色显示相应像素（或者用相应的灰度级显示）。IFS迭代绘制分形：设计算机屏幕的可视窗口为 ， 按分辨率大小的要求将分成的网格，网格点为，这里 ，， ，， 用表示矩形区域，假设我们采取具有
上篇用几何画板做数理实验 图1-0、1 我们主要认识一下工具箱与状态栏,其它的功能在今后的学习过程中将学会使用。 案例一四人分饼 有一块厚度均匀的三角形薄饼,现在要把它平 均分给四个人,应该如何分？ 图1-1、1 思路:这个问题在数学上就就是如何把一个三角形分成面积相等的四部分。 方案一:画三角形的三条中位线,分三角形所成的四部分 面积相等,(其实四个三角形全等)。如图1-1、2。 图1-1、2 方案二:四等分三角形的任意一边,由等底等高的三角形 面积相等,可以得出四部分面积相等,如图1-1、3。 图1-1、3 用几何画板验证: 第一步:打开几何画板程序,这时出现一个新绘图文件。 说明:如果几何画板程序已经打开,只要由菜单“文件” “新绘图”,也可以新建一个绘图文件。
第二步:(1)在工具箱中选取“画线段”工具; (2)在工作区中按住鼠标左键拖动,画出一条线段。如图1-1、4。 注意:在几何画板中,点用一个空心的圈表示。 图1-1、4 第三步:(1)选取“文本”工具;(2)在画好的点上单击左键,可以标出两点的标签,如图1-1、5: 注意:如果再点一次,又可以隐藏标签,如果想改标签为其它字母,可以这样做: 用“文本”工具双击显示的标签,在弹出的对话框中进行修改,(本例中我们不做修改)。如图1-1、6 图1-1、6 在后面的操作中,请观察图形,根据需要标出点或线的标签,不再一一说明 B 图1-1、5 第四步:(1)再次选取“画线段”工具,移动鼠标与点A 重合,按左键拖动画出线段AC;(2)画线段BC,标出标签C,如图1-1、7。 注意:在熟悉后,可以先画好首尾相接的三条线段后再标上标签更方便。 B 图1-1、7 第五步:(1) 用“选择”工具单击线段AB,这时线段上出现两个正方形的黑块,表示线段处于被选取状态;(2) 由菜单“作图”→“中点”,画出线段AB 的中点,标上标签。得如图1-1、8。 注意:如果被选取的就是点,点的外面会有一个粗黑圆圈。在几何画板中,选取线段就是不包括它的两个端点的,以后的问题都就是这样,如果不小心多选了某个对象,可以按Shi f t 键后用左键再次单击该对象取消选取。 B D 图1-1、8 第六步:用同样的方法画出其它两边的中点。得如图1-1、9。 技巧:最快的方法就是:按住Shift 不放,用“选择”工具分别点击三条线段,可以同时选取这三条线段,再由“作图”→“画中点”(或按快捷键Ctrl+M),就可以同时画好三条边的中点。 B D E F 图1-1、9 第七步:用“画线段”工具连结DE 、EF 、FD,得如图1-1、10: 技巧:画线段的另一方法,在保证画线工具出现的就是“画线段”按钮(不必选取)的前提下。 选取两点后,由菜单“作图”→“画线段”,(或按快捷键Ctrl+L),可以画出连结两点的线段。 本例最快的做法: B D E F
几何画板迭代全解 目录 ?迭代的基本概念以及迭代的基本操作 ◆迭代的概念 ◆迭代在代数、几何中的应用 ◆画正多边形 ◆数列的图像、前n项和与积 ?迭代与分形几何 ◆Sierpinski 三角形 ◆Sierpinski 地毯 ◆摇曳的Pythagorean Tree毕达哥拉斯树 ◆分形树 ◆KOCH 曲线 ◆KOCH Snowflake柯克雪花 ◆数学之美 ◆H迭代 ◆蜂巢 ◆其它分形欣赏 ?函数迭代：函数映射，M集，朱丽亚集 ◆迭代法求方程解 ◆MIRA ◆Henon-Attractor ◆Mandelbrot集合 ◆Julia Sets集合 ◆牛顿迭代法 ?下期预告
第一章：迭代的概念和操作 迭代是几何画板中一个很有趣的功能，它相当于程序设计的递归算法。通俗的讲就是用自身的结构来描述自身。最典型的例子就是对阶乘运算可看作一下的定义： !(1)! (1)!(1)(2)! n n n n n n =?--=-?- 。递归算法的特点是书写简单，容易理解，但 是运算消耗内存较大。我们先来了解下面这几个最基本的概念。 迭代：按一定的迭代规则，从原象到初象的反复映射过程。 原象：产生迭代序列的初始对象，通常称为“种子”。 初象：原象经过一系列变换操作而得到的象。与原象是相对概念。 更具体一点，在代数学中，如计算数列1，3，5，7，9......的第n 项。我们知道12n n a a -=+，所以迭代的规则就是后一项等于前一项加2。以1作为原像，3作为初像，迭代一次后得到5，再迭代一次得到7，如此下去得到以下数值序列7 , 9，11, 13, 15......如图1.1所示。 在几何学中，迭代使一组对象产生一组新的对象。图1.2中A 、B 、C 、D 、E 、F 、G ，各点相距1cm ，那么怎么由A 点和B 点得到其它各点呢？我们可以发现其中的规律就是从左到右，每一个点相当于前面一个点向右平移了1cm 。所以我们以A 点作为原像，B 点作为初像，迭代一次得到B 点，二次为C 点，以此类推。 所以，迭代像就是迭代操作产生的象的序列，而迭代深度是指迭代的次数。那么下面我们通过例子来进一步地了解迭代以及相关的概念。 几何画板中迭代的控制方式分为两种，一种是没有参数的迭代，另一种是带参数的迭代，我们称为深度迭代。两者没有本质的不同，但前者需要手动改变迭代的深度，后者可通过修改参数的值来改变迭代深度。我们先通过画圆的正n 边形这个例子来看一下它们的区别。 【例1】画圆的内接正7边形。
迭代·混沌·分形 柴文斌 (四川省遂宁中学校629000) 一、课例背景 在20世纪下半叶，计算机的“魔杖”不断制造出新的数学分支，它最拿手的迭代计算引出了“混沌学”，接着又导致了分形几何的产生. 分形的思想和方法在模式识别，自然图象的模拟，信息讯号的处理，以及金融模型，艺术的制作等领域都取得了极大的成功. 二、教学目标 ①本课例按《新课标》的要求，通过分形为载体，引起学生深厚的兴趣，在探究过程中，浅介数学新思想、新发展，同时让学生发现数学美，激发他们勇敢地追求美，主动地创造美，从而陶冶他们的情操，培养他们创新的精神. ②总结平常练习过的从迭代、分形为背景数学试题，让他们用联系、发展的眼光，体会“背景深刻，方法独到”高考压轴题设计意图，明白“基础扎实，能力到位”明确要求. 三、教学重点 ①应用计算机让学生感受分形图之美妙及形成数学原理. ②分析分形为背景数学试题，形成高观点下审视数学问题. 四、教学难点 ①迭代、混沌、分形定义度的把握. ②Julia集、Mandelbrot集及其特征. 五、教学过程 (一)美丽的分形图形 运用多媒体展放《孔雀开屏》等11幅分形艺术作品. 师：这些美丽图形自然而优美，纷繁而有序，放射出诱人的色彩，在绚丽的色彩变化背后有几分神秘，似乎没有人会对这些图形无动于衷，你们相信，这些
美妙的图形是运用数学知识，通过计算机构造出来的吗？是如何构造的呢？我们还得从函数迭代说起！ (二)函数的迭代 问题1： 计算：①x n n sin lim ∞→ ②=∞ →x n n cos lim 问题2： 211n n x x +=- 11=x 轨道：1，0，－1，0，－1，…… 5.02=x 轨道：0.5，―0.75，―0.4375，―0.80859，…―1，0，―1，0，－1 问题3：①有没有这样一个初态把它代入211-+=n n x x ，结果不变吗？ · · A B 251- 2 51+ ②618.11=x 写出系统轨道 ③619.11=x 写出系统轨道 问题4：二次函数2)(z z f =进行迭代 ①i z 2 11=，写出系统轨道 ②i z +=11，写出系统轨道 问题5：2)(z z f =且1||0 几何画板迭代全解 市南海区石门中学辅炬 目录 ?迭代的基本概念以及迭代的基本操作 ◆迭代的概念 ◆迭代在代数、几何中的应用 ◆画正多边形 ◆数列的图像、前n项和与积 ?迭代与分形几何 ◆Sierpinski 三角形 ◆Sierpinski 地毯 ◆摇曳的Pythagorean Tree毕达哥拉斯树 ◆分形树 ◆KOCH 曲线 ◆KOCH Snowflake柯克雪花 ◆数学之美 ◆H迭代 ◆蜂巢 ◆其它分形欣赏 ?函数迭代：函数映射，M集，朱丽亚集 ◆迭代法求方程解 ◆MIRA ◆Henon-Attractor ◆Mandelbrot集合 ◆Julia Sets集合 ◆牛顿迭代法 ?下期预告 第一章：迭代的概念和操作 迭代是几何画板中一个很有趣的功能，它相当于程序设计的递归算法。通俗的讲就是用自身的结构来描述自身。最典型的例子就是对阶乘运算可看作一下的定义： !(1)! (1)!(1)(2)! n n n n n n =?- -=-?- 。递归算法的特点是书写简单，容易理解，但是运算消耗存较大。我们先来了解下面这几个最基本的概念。 迭代：按一定的迭代规则，从原象到初象的反复映射过程。 原象：产生迭代序列的初始对象，通常称为“种子”。 初象：原象经过一系列变换操作而得到的象。与原象是相对概念。 更具体一点，在代数学中，如计算数列1，3，5，7，9......的第n项。我 们知道 1 2 n n a a - =+，所以迭代的规则就是后一项等于前一项加2。以1作为原像，3作为初像，迭代一次后得到5，再迭代一次得到7，如此下去得到以下数值序列7 , 9，11, 13, 15......如图1.1所示。 图 1.1 图 1.2 在几何学中，迭代使一组对象产生一组新的对象。图1.2中A、B、C、D、E、F、G，各点相距1cm，那么怎么由A点和B点得到其它各点呢？我们可以发现其中的规律就是从左到右，每一个点相当于前面一个点向右平移了1cm。所以我们以A点作为原像，B点作为初像，迭代一次得到B点，二次为C点，以此类推。 所以，迭代像就是迭代操作产生的象的序列，而迭代深度是指迭代的次数。那么下面我们通过例子来进一步地了解迭代以及相关的概念。 几何画板中迭代的控制方式分为两种，一种是没有参数的迭代，另一种是带参数的迭代，我们称为深度迭代。两者没有本质的不同，但前者需要手动改变迭代的深度，后者可通过修改参数的值来改变迭代深度。我们先通过画圆的正n 实验三迭代与分形 一、实验目的与要求 1．了解分形几何的基本情况； 2．了解通过迭代方式产生分形图的方法； 3．了解matlab软件中简单的程序结构； 4．掌握matlab软件中plot, fill等函数的基本用法； 二、问题描述 1．对一个等边三角形，每条边按照Koch曲线的方式进行迭代，产生的分形图称为Koch雪花。编制程序绘制出它的图形，并计算Koch 雪花的面积，以及它的分形维数。 2．自己构造生成元（要有创意），按照图形迭代的方式产生分形图，用计算机编制程序绘制出它的图形，并计算其分形维数。 三、问题分析 1．第一题要求我们利用一个等边三角形然后在三角形的基础上利用 理论课上的Koch曲线的画法，产生一朵Koch雪花，由于Koch 雪花的产生相当于将三条等长的直线分别产生的Koch曲线按照 等边三角形的坐标形式组合起来然后在同一个坐标系中表示出来， 这就形成了Koch雪花图案。 四、背景知识介绍 1．什么是迭代 迭代法是常用的一种数学方法，就是将一种规则反复作用在某个对象上，它可以产生非常复杂的行为。我们这里介绍图形迭代和函数迭代两种方式。 (1)图形迭代。给定初始图形F0，以及一个替换规则R,将R反复作用在初始图形F0上,产生一个图形序列： R（F ）＝F1，R（F1）＝F2，R（F2）＝F3，… (2)函数迭代。给定初始值x0，以及一个函数f(x),将f(x)反复作用在初始值x0上，产生一个数列： f（x 0）＝x 1 ，f（x1）＝x2，f（x2）＝x3，… 2．p lot函数介绍 plot是最重要最基本的二维曲线绘图指令，基本功能是画折线和曲线。基本调用格式如下： (1)plot(Y,LineSpec)。其中，Y一般是数组；而LineSpec是用来指定线型、色彩等的选项字符串，可省略。本功能是以数组Y作为竖坐标，以数组元素的下标为横坐标，画出一条折线。当数组元素很多时，就出现连续曲线的效果。 (2) plot(X,Y)。其中，X、Y一般是相同长度的数组。本功能是以数组Y作为 摘 要 分形是美籍法国应用数学家蒙德布罗特所提出的，它和英文中的 fracture(断裂）和fraction （分数）有一定联系，体现出蒙德布罗特创立这 个新的几何思想。分形几何作为一门新兴的交义学科，正在被越来越多的人 所认识和学习。据美国科学家情报所调查，八十年代，全世界有1257种重要 学术刊物所发表的论文中，有37.5%与分形有关。美国著名的物理学家Wheeler 说：“可以相信，明天谁不熟悉分形，谁就不能被认为是科学上的文化人”】16【。 传统的欧式几何主要研究对象是规则图形和光滑曲线，对自然景物的描述却 显得无能为力。而分形几何的创立，就是用来描述那些欧式几何无法描述的 几何现象和事物的，被誉为“大自然本身的几何学”，使自然景物的描绘得以 实现，这也是分形几何得到高度重视的原因之一。 斐波那契数列产生于一个关于兔子繁殖后代的问题：某人有一对兔子饲 养在围墙中，如果它们每个月生一对兔子，且新生的兔子在第二个月后也是 每个月生一对兔子，问一年后围墙中共有多少对兔子？斐波那契数列从问世 到现在，不断显示出它在数学理论和应用上的重要作用。如今，斐波那契数 列渗透到了数学的各个分支中。同时，在自然界和现实生活中斐波那契数列 也得到了广泛的应用。如一些花草长出的枝条会出现斐波那契数列现象，大 多数植物的花的花瓣数都恰是斐波那契数列等等。 斐波那契数列又被称为是黄金分割数列，而黄金分割本身就是一种分形 的例子。二者都可以解决一些传统数学所不能解决的问题，所不同的是分形 几何是通过几何的角度来解决问题，而斐波那契数列则是通过代数的角度来 解决实际问题。 作为一门新兴的对现实生活有重要影响的两个定义，研究两者的对比关 系，探讨如何更好地运用这两个定义来解决现实中的一些实际问题，具有重要 意义。 关键字：斐波那契数列；分形几何；应用；对比 ABSTRACT Fractal is first put forward by French-American applied mathematician Mandelbrot. It relates to the words “fracture” and “fraction”, reflecting Mandelbrot’s opinion on creating the new definition. As a rising interdiscipline subject, Fractal is being understood and learned by more and more people. According to the survey of 几何画板课件制作实例教程_小学数学篇 几何画板课件制作实例教程 第一章小学数学 1. 1数与代数 实例1 整数加法口算出题器 实例2 5以内数的分成 实例3 分数意义的动态演示 实例4 求最大公约数和最小公倍数 实例5 直线上的追及问题 1.2 空间与图形 实例6 三角形分类演示 实例7 三角形三边的关系 实例8 三角形内角和的动态演示 实例9 三角形面积公式的推导 实例10 长方形周长的动态演示 实例11 长方体的初步认识 实例12 长方体的体积 1.3 统计与概率 实例13 数据的收集与整理 实例14 折线统计图 “几何画板”软件以其动态探究数学问题的功能，为数学教育活动施行“动手实践、自主探索、合作交流”的学习方式提供了可能性。经笔者们的尝试，她除了 可在小学数学中“空间与图形”这个学习领域中大展手脚，在“数与代数”、“统计与概率”这两个学习领域中，同样也能折射出其独特的魅力光芒。 小学生的数学学习心理的特点决定其数学学习活动需以直观的形象作为探索数学问题的支撑，以操作、实验作为主要途径之一。因此，本章实例课件的制作以几何画板善于表现数学思想的特色积极渗透各种数学思想，注重以课件所蕴含的思想推行“致力于改变学生的学习方式”教学策略，同时也努力实现学生个体在自主操作与学习课件中充分进行“观察、实验、猜测、验证、推理与交流”等数学活动，促使学生在课件的引导下亲身体验“做数学”，实现数学的“再创造”。 1. 1数与代数 培养学生的数感与符号感是“数与代数”学习内容的一个很重要的目标，而采用几何画板能较轻易地实现“数形结合”。以“数形结合”的方式可帮助小学生体会数与运算的意义以及其所含的数学思想。因此，本节实例课件的设计体现了促进学生经历从实际问题到抽象出数与运算的全过程的观念，同时也充分展露了几何画板善于以直观的图形表现抽象的数学思想的特点。 实例1 整数加法口算出题器 【课件效果】 新课程标准规定：小学一年级学生要求熟练掌握20以内整数的口算加减法。编制“口算出题器”类课件，以往可能要在可编程类软件的平台上进行，现在却可以利用几何画板的参数【动画】功能，较轻易地实现。 如图1-1所示，单击按钮，出示随机加法算式，单击按钮，显示当前算式的结果。本实例适用于整数加法意义的教学、20以内的加法口算测试等，显示了信息技术与学科整合的优势。 整数加法口算出题器 4+8= 图1.1 图1-1 课件效果图 【构造分析】 1．技术要点 υ几何画板软件参数【动画】的运用 υ【带参数的迭代】的运用 2．思想分析几何画板迭代全解(谢辅炬)
分形与迭代
分形几何与斐波那契数列的对比
几何画板课件制作实例教程
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