《相似三角形（第1课时）》同步测试
1. 如图，在△ABC 中，∠A =78°，AB =4，AC =6，将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A ．
B .
C .
D .
2. 如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）
A. ①和② B . ②和③ C . ①和③ D . ②和④
3. 下列说法：①所有等腰三角形都相似；②有一个底角相等的两个等腰三角形相似；③有一个角相等的等腰三角形相似；④有一个角为60°的两个直角三角形相似，其中正确的说法是（ ）
A . ②④
B . ①③
C . ①②④
D . ②③④
1. 如图，在△ABC 中，AB ≠AC 。D 、E 分别为边AB 、AC 上的点。AC =3AD ，AB =3AE ，点F 为BC 边上一点，添加一个条件： ，可以使得△FDB 与△ADE 相似。（只需写出一个） ◆ 选择题
◆ 填空题
2. 如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，AC=12cm，点P从点B出发，沿BC以2cm/s 的速度向点C移动，点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点A移动，若点P、Q分别从点B、C同时出发，设运动时间为t s，当t= 时，△CPQ与△CBA相似。
3. 如图，点P是矩形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD，已知AB=3，BC=4，设△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的面积分别为S1、S2、S3、S4，以下判断：
①PA+PB+PC+PD的最小值为10；
②若△PAB≌△PDC，则△PAD≌△PBC；
③若S1=S2，则S3=S4；
④若△PAB∽△PDA，则PA=2.4
其中正确的是。
1. 如图，已知：∠BAC=∠EAD，AB=20.4，AC=48，AE=17，AD=40。
求证：△ABC∽△AED。
◆解答题
2. 如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF。
①求证：△DAE≌△DCF；
②求证：△ABG∽△CFG。
答案与解析
1. C
2. C
3. A
1. DF ∥AC ，或∠
BFD =∠A 。
2. 4.8或11
64 3. ①②③④
1. 证明：∵AB =20.4，AC =48，AE =17，AD =40。
∴2.1174.20==AE AB ，2.14048==AD AC ，∴AD
AC AE AB =，∵∠BAC =∠EAD ， ∴△ABC ∽△AED 。
2. 证明：①∵正方形ABCD ，等腰直角三角形EDF ，∴∠ADC =∠EDF =90°，AD =CD ，DE =DF ，∴∠ADE +∠ADF =∠ADF +∠CDF ，∴∠ADE =∠CDF ，在△ADE 和△CDF 中，
DE DF ADE CDF DA DC =??∠=∠??=?
，∴△ADE ≌△CDF ；
②延长BA 到M ，交ED 于点M ，∵△ADE ≌△CDF ，
∴∠EAD =∠FCD ，即∠EAM +∠MAD =∠BCD +∠BCF ，
∵∠MAD =∠BCD =90°，∴∠EAM =∠BCF ，
∵∠EAM =∠BAG ，∴∠BAG =∠BCF ，∵∠AGB =∠CGF ，∴△ABG ∽△CFG 。
… 相似三角形的判定练习题 1、如图，点D 在△ABC 的边AC 上，添加 条件，可判定△ADB 与△ABC 相似。 2、如图，在△ABC 中．∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，则图中相似三角形有 。 3、如图，在?ABCD 中，E 、F 分别是AD 、CD 边上的点，连接BE 、AF ，他们相交于G ，延长BE 交CD 的延长线于点H ，则图中的相似三角形是 。 4、如图，P 为线段AB 上一点，AD 与BC 交干E ，∠CPD=∠A=∠B ，BC 交PD 于E ，AD 交PC 于G ，则图中相似三角形 有 。 & 5、如图，已知AB=AC ，∠A=36°，AB 的中垂线MD 交AC 于点D 、交AB 于点M ．下列结论： ①BD 是∠ABC 的平分线；②△BCD 是等腰三角形；③△ABC ∽△BCD ；④△AMD ≌△BCD ．正确的有 。 6、如图，在Rt △ABC 中，AB=AC ，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE=45°，将△ADC 绕点A 顺时针旋转90°后，得到△AFB ，连接EF ，下列结论中正确的是 ①∠EAF=45°；②△ABE ∽△ACD ；③EA 平分∠CEF ；④BE 2 +DC 2 =DE 2 7、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，将△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△A′B′C，点B′在AB 上，A′B′交AC 于F ，则图中与△AB'F 相似的三角形有（不再添加其它线段）是 。 8、如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且CF= 4 1 CD ，下列结论：①∠BAE=30°，②△ABE ∽△AEF ，③AE ⊥EF ，④△ADF ∽△ECF ．其中正确的为 。 、 9、在△ABC 中，∠C=90°，D 是边AB 上一点（不与点A ，B 重合），过点D 作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线有 条。 10、在△ABC 中，AB=6，AC=4，P 是AC 的中点，过P 点的直线交AB 于点Q ，若以A 、P 、Q 为顶点的三角形和以A 、B 、C 为顶点的三角形相似，则AQ 的长为 11、如图，AD ∥BC ，∠D=90°，DC=7，AD=2，BC=4．若在边DC 上有点P 使△PAD 和△PBC 相似，求PD 的值。 ？ # 12、如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点G ，E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于F ，连接FD ，若∠BFA=90°，求证：①△ BEA ∽△ACD ；②△FED ∽△DEB ；③△CFD ∽△ABG # 13、如图，△ABC 与△AFG 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠F=90°，BC 分别与AF ，AG 相交于点D ，E ．找出图中所有不全等的相似三角形并证明。 ！ % 14、如图，四边形ABCD 是平行四边形．O 是对角线AC 的中点，过点O 的直线EF 分别交AB 、DC 于点E 、F ，与CB 、AD 的延长线分 别交于点G 、H ． （1）写出图中所有不全等的两个相似三角形（并选择一种情况证明）； （2）除AB=CD ，AD=BC ，OA=OC 这三对相等的线段外，图中还有多对相等的线段， 请选出其中一对加以证明． ]
相似三角形的判定和应用 知识点： 1. 对应角________，对应边_________的两个三角形叫做相似三角形. 2. 相似三角形的对应角________，对应边_________. 3. 相似三角形中，对应边的比叫做___________(或相似系数). 4.证明两个三角形相似的方法: (1)先证_____组对应角相等. (2)先证两边对应成比例,并且____________. (3)先证三边对应___________. 5.如图1，如果ΔABC与ΔA/B/C/的相似比是AB∶A/B/=k,那么ΔA/B/C/与ΔABC的相似比是_ . 6.在图2和图3中: 要证明ΔADE∽ΔABC，只需先证明_________(填一个条件)。 7.在图3中，若DE∥BC，DB∶DA=9∶4，则ΔABC与ΔADE的相似比是______. 8.如图4, ABCD中，G是BC边延长线上一点，AG交DB、DC于E、F, 则图中的相似三角形共有_____对；若AE∶EF=4∶3则ΔAFD与ΔGFC的相似比是______. 9．如图5，当∠ADC=∠____时，ΔABC∽ΔACD；当A2=_________时，ΔABC∽ΔACD. 10. ΔABC的三边长为3、4、5,ΔA/B/C/的最短边为5,若ΔABC∽ΔA /B / C /,则ΔA/B/C/的面积为____. 一、选择题 1.如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形一共有（） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 第1题第2题第3题第4题第5题 2.如图，P是Rt ABC △斜边AB上任意一点（A，B两点除外），过P点作一直线，使截得的三角形与Rt ABC △相似，这样的直线可以作（） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 3.如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件不能使ΔABE和ΔACD相似的是（） A. ∠B=∠C . ∠ADC=∠AEB C. BE=CD，AB=AC D. AD∶AC=AE∶AB 4.在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，若∠AEF=90°，则一定有（） A ΔADE∽ΔAEF B ΔECF∽ΔAEF C ΔADE∽ΔECF D ΔAEF∽ΔABF 5.如图，E是□ABCD的边BC的延长线上的一点，连结AE交CD于F，图中有相似三角形（） 1
第27章 相似三角形测试题 一、选择题:（每小题3分共30分） 1、下列命题中正确的是 （ ） ①三边对应成比例的两个三角形相似 ②二边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似 ③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似 ④一个角对应相等的两个等腰三角形相似 A 、①③ B 、①④ C 、①②④ D 、①③④ 2、如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式中错误的是（ ） A AC AE AB AD = B FB EA CF CE = C BD AD BC DE = D CB CF AB EF = 3、如图，D 、E 分别是AB 、AC 上两点，CD 与BE 相交于点O ，下列条件中 不能使ΔABE 和ΔACD 相似的是 （ ） A. ∠B=∠C B. ∠ADC=∠AEB C. BE=CD ，AB=AC D. AD ∶AC=AE ∶AB 4、如图，E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上的一点， 连结AE 交CD 于F ，则图中共有相似三角形 （ ） A 1对 B 2对 C 3对 D 4对 5、在矩形ABCD 中，E 、F 分别是CD 、BC 上的点， 若∠AEF=90°，则一定有 （ ） A ΔADE ∽ΔAEF B ΔECF ∽ΔAEF C ΔADE ∽ΔECF D ΔAEF ∽ΔABF 6、如图1，ADE ?∽ABC ?，若4,2==BD AD ， 则ADE ?与ABC ?的相似比是（ ） A ．1：2 B ．1：3 C ．2：3 D ．3：2 7、一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则其它两边的和是（ ） A ．19 B ．17 C ．24 D ．21 8、在比例尺为1:5000的地图上,量得甲,乙两地的距离25cm,则甲,乙的实际距离是( ) A.1250km B.125km C. 12.5km D.1.25km 9、在相同时刻，物高与影长成正比。如果高为1.5米的标杆影长为2.5米，那么影长为30
18.5 相似三角形的判定 自主学习 主干知识←提前预习勤于归纳→ 认真阅读教材,完成下列各题 1.判定两个三角形全等的主要依据有哪些? 答案：主要有：边角边公理，角边角公理，角角边定理，边边边公理，若两个三角形为直角三角形，则还有“HL”定理. 2.判定两个三角形相似的主要依据有哪些? 答案：主要依据有：两角对应相等，两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；三边对应成比例，两三角形相似. 3.平行于三角形一边的直线,截其他两边所得的三角形与原三角形______. 答案：相似 4.以下选项中不正确的是( ) A.所有的等边三角形都相似 B.含30°角的直角三角形都相似 C.所有的直角三角形都相似 D.顶角相等的两等腰三角形相似 答案：C 点击思维←温故知新查漏补缺→ 1.对于说法： ①都含有80°角的两个等腰三角形相似；②都含有100°角的两个等腰三角形相似. 下列结论正确的是( )
A.只有①对 B.只有②对 C.①、②均对 D.①、②均不对 答案：B 解析：对于①，如图所示，显然不相似.但对于②，由内角和定理知，显然100°的角只能是顶角，由判定定理可知，②是正确的. 2.一个钢筋三脚架A 的三边长分别是20 cm 、60 cm 、50 cm,现在要做一个与其相似的钢筋三脚架B,已知三脚架B 的一边长为30 cm,试确定三脚B 的另外两边长. 答案：解析：设三脚架B 的另外两边长分别为x cm ，y cm. (1)当30 cm 的边长为最长边时， 30605020==y x ，解得x=10 cm ，y=25 cm ； (2)当30 cm 的边长为最短边时，y x 60503020==，解得x=75 cm ，y=90 cm. (3)当30 cm 的边长为另外一条边时， y x 60305020==，解得x=12 cm ，y=36 cm ； 所以三脚架B 的另外两边长为10 cm ，25 cm ，或12 cm ，36 cm ，或75 cm,90 cm.
相似三角形的判定练习 【知能点分类训练】 知能点1 角角识别法 1．如图1，（1）若OA OB =_____，则△OAC∽△OBD，∠A=________． （2）若∠B=________，则△OAC∽△OBD，________与________是对应边． （3）请你再写一个条件，_________，使△OAC∽△OBD． 2．如图2，若∠BEF=∠CDF，则△_______∽△________，△______∽△_______． (1) (2) (3) 3．如图3，已知A（3，0），B（0，6），且∠ACO=?∠BAO，?则点C?的坐标为________，?AC=_______． 4．已知，如图4，△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，则图中共有________对相似三角形．5．下列各组图形一定相似的是（）． A．有一个角相等的等腰三角形 B．有一个角相等的直角三角形 C．有一个角是100°的等腰三角形 D．有一个角是对顶角的两个三角形 6．如图5，AB=BC=CD=DE，∠B=90°，则∠1+∠2+∠3等于（）． A．45° B．60° C．75° D．90° (4) (5) (6) 7．如图6，若∠ACD=∠B，则△_______∽△______，对应边的比例式为_____________，∠ADC=________． 8．如图，在△ABC中，CD，AE是三角形的两条高，写出图中所有相似的三角形，简要说明理由．
9．如图，D ，E 是AB 边上的三等分点，F ，G 是AC 边上的三等分点，?写出图中的相似三角形，并求出对应的相似比． 10．如图，在直角坐标系中，已知点A （2，0），B （0，4），在坐标轴上找到点C （1，0）?和点D ，使△AOB 与△DOC 相似，求出D 点的坐标，并说明理由． 【综合应用提高】 11．已知：如图是一束光线射入室内的平面图，?上檐边缘射入的光线照在距窗户 2.5m 处，已知窗户AB 高为2m ，B 点距地面高为1.2m ，求下檐光线的落地点N?与窗户的距离NC ． 12．如图，等腰直角三角形ABC 中，顶点为C ，∠MCN=45°，试说明△BCM ∽△ANC ． 13．在ABCD 中，M ，N 为对角线BD 的三等分点，连接AM 交BC 于E ，连接EN 并延长交AD 于F ．（1）试说明△AMD ∽△EMB ；（2）求FN NE 的值．
4.4两个相似三角形的判定（2） 教学目标： 1、经历三角形相似的判定方法“两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似”和“三边对应成比例的两个三角形线相似”的探索过程. 2、掌握“两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似”和“三边对应成比例的两个三角形线相似”的两个三角形相似的判定方法. 3、能运用上述两个判定方法判定两个三角形相似. 重点与难点： 1、本节教学的重点是相似三角形的判定方法“两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似”和“三边对应成比例的两个三角形线相似”及其应用. 2、例3的解答首先要选择用什么判定方法，然后利用方格进行计算，根据计算结果来判断两个三角形的三边是否对应成比例，需要学生有一定的分析、判断和计算能力，是本节教学的难点. 知识要点： 三角形相似的条件： 1、有两个角对应相等的两个三角形相似. 2、两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似. 3、三边对应成比例的两个三角形线相似. 重要方法： 1、利用两对对应角相等证相似，关键是找出两对对应角. 2、三边对应成比例的两个三角形相似中，三边对应是有序的即：大
C 对大，小对小，中对中. 3、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，一定要弄清边与角的位置关系.即边是指夹角的两边，角是成比例的两边的夹角. 4、在相似三角形条件（3）中，如果对应相等的角不是两条对应边的夹角，那么这两个三角形不一定相似，如在图4-3-14△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝120°，在△A ′B ′C ′中，A ′B ′＝A ′C ′，∠A ′＝30°，可以说AB ∶A ′B ′＝AC ∶A ′C ′，∠B ＝∠A ′，但两个三角形不相似. 教学过程： 一、复习 1、我们已经学习了几种判定三角形相似的方法？（1）平行于三角形一边直线定理 ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC （2 ∠A ′，∠B=∠B ′，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′（3 ∵∠ACB=Rt ∠，CD ⊥AB ，∴△ABC ∽△ACD ∽△CDB 二、新课 1、合作学习 A B C A ′ B ′ C ′ 4-3-14
第二十七章《相似三角形》单元测试题 一、 精心选一选（每小题4分，共32分） 1. 下列各组图形有可能不相似的是( ). (A)各有一个角是50°的两个等腰三角形 (B)各有一个角是100°的两个等腰三角形 (C)各有一个角是50°的两个直角三角形 (D)两个等腰直角三角形 2. 如图，D 是⊿ABC 的边AB 上一点，在条件（1）△ACD ＝∠B ，（2）AC 2＝AD·AB，（3）AB 边上与点C 距离相等的点D 有两个，（4）∠B ＝△ACB 中，一定使⊿ABC ∽⊿ACD 的个数是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 3．如图，∠ABD ＝∠ACD ，图中相似三角形的对数是（ ） （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 4.如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 上任意一点，则有（ ） （A ）△ABE 的周长＋△CDE 的周长＝△BCE 的周长 （B ）△ABE 的面积＋△CDE 的面积＝△BCE 的面积 （C ）△ABE ∽△DEC （D ）△ABE ∽△EBC 5.如果两个相似多边形的面积比为9:4,那么这两个相似多边 形的相似比为( ) A.9:4 B.2:3 C.3:2 D.81:16 6. 下列两个三角形不一定相似的是（ ）。 A. 两个等边三角形 B. 两个全等三角形 C. 两个直角三角形 D. 两个等腰直角三角形 7. 若⊿ABC ∽⊿C B A ''，∠A=40°, ∠B=110°,则∠C '=( ) A. 40° B110° C70° D30°
8.如图，在ΔABC中，AB=30，BC=24，CA=27， AE=EF=FB， EG∥FD∥BC，FM∥EN∥AC，则图中阴影部分的三个三角形的周 长之和为（） A、70 B、75 C、81 D、80 二、细心填一填（每小题3分，共24分） 9.如图，在△ABC中，△BAC＝90°，D是BC中点，AE∥AD交CB延长线于点E，则⊿BAE相似于______． 10、在一张比例尺为1：10000的地图上，我校的周长为18cm，则我校的实际 周长为。 11、如果两个相似三角形对应高的比为4：5，则这两个三角形的相似比是 ，它们的面积的比是。 12、已知⊿ABC∽⊿DEF,AB=21cm,DE=28cm,则⊿ABC和⊿DEF的相似比为 13、某同学利用影子长度测量操场上旗杆的高度，在同一时刻，他测得自己影子长为0.8m，旗杆的影子长为7m，已知他的身高为1.6m，则旗杆的高度为 m． 14. 在长8cm，宽6cm的矩形中，截去一个矩形，使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形面积是_______cm2 15.如图，由边长为1的25个小正方形网格上有一个与⊿ABC相似且面积最大的⊿A1B1C1，使它的三个顶点都落在小正方形的顶点上，则⊿A1B1C1的面积为___________ 16. 如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地上形成阴影（圆形）的示意图，已知桌面的直径为1.2米，桌面距地面1米，灯泡距地面3米，则地上阴影部分的面积是______. 三、小试牛刀（17题10分、18题8分,19、20题7分,共32分） 17. 如图，点C、D在线段AB上，⊿PCD是等边三角形． （1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，⊿ACP∽⊿PDB？ （2）当⊿ACP∽⊿PDB时，求⊿APB的度数．
人教版数学九年级下册 第二十七章 相似 27.2.1 相似三角形的判定 同步练 习 一、单选题（共9题；共18分） 1.如图，在 中， ， ， ，将 沿图示中的虚线 剪开， 剪下的三角形与原三角形不． 相似的是（ ） A. B. C. D. 2.下列各组长度的线段（单位： ）中，成比例线段的是（ ） A. 1，2，3，4 B. 1，2，3，5 C. 2，3，4，5 D. 2，3，4，6 3.已知四条线段a,b,c,d 是成比例线段，即 ＝ ，下列说法错误的是（ ） A. ad=bc B. ＝ C. ＝ D. ＝ 4.下列判断中，错误的有（ ） A. 三边对应成比例的两个三角形相似 B. 两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似 C. 有一个锐角相等的两个直角三角形相似 D. 有一个角是100°的两个等腰三角形相似 5.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，AD ：BD=5：3，CF=6，则DE 的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 6.下列条件中，不能判断△ABC 与△DEF 相似的是（ ） A. ∠A =∠D ， ∠B =∠F B. 且∠B =∠D C. D. 且∠A =∠D 7.如图所示，在?ABCD.BE 交AC ，CD 于G ，F ，交AD 的延长线于E ，则图中的相似三角形有（ ）
A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对 8.如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是（） A. ∠ADC＝∠ACB B. C. ∠ACD＝∠B D. AC2＝AD?AB 9.如图，AG：GD=4：1，BD：DC=2：3，则AE：EC 的值是（） A. 3：2 B. 4：3 C. 6：5 D. 8：5 二、填空题（共4题；共4分） 10.如图，在△ABC中，D，E两点分别在AB，AC边上，DE∥B C．如果，AC＝10，那么EC ＝________． 11.如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝16 cm，AC＝12 cm，点P从点B出发，沿BC以2 cm/s的速度向点C移动，点Q从点C出发，以1 cm/s的速度向点A移动，若点P、Q分别从点B、C同时出发，设运动时间为ts，当t＝________时，△CPQ与△CBA相似． 12.的边长分别为的边长分别，则与________（选填“一定”“不一定” “一定不”）相似 13.如图所示，在△ABC中，已知BD＝2DC，AM＝3MD，过M作直线交AB，AC于P，Q两点．则 ＝________．
相似三角形的判定练习题 1、如图，点D在△ABC的边AC上，添加条件，可判定△ADB与△ABC相似。 2、如图，在△ABC中．∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形有。 3、如图，在?ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，连接BE、AF，他们相交于G，延长BE交CD的延长线于点H，则图中 的相似三角形是。 4、如图，P为线段AB上一点，AD与BC交干E，∠CPD=∠A=∠B，BC交PD于E，AD交PC于G，则图中相似三角形 有。 5、如图，已知AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线MD交AC于点D、交AB于点M．下列结论： ①BD是∠ABC的平分线；②△BCD是等腰三角形；③△ABC∽△BCD；④△AMD≌△BCD．准确的有。 6、如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB， 连接EF，下列结论中准确的是①∠EAF=45°；②△ABE∽△ACD；③EA平分∠CEF；④BE2+DC2=DE2 7、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，点B′在AB上，A′B′交AC于F，则图 中与△AB'F相似的三角形有（不再添加其它线段）是。 8、如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF= 4 1 CD，下列结论：①∠BAE=30°，②△ABE∽△AEF， ③AE⊥EF，④△ADF∽△ECF．其中准确的为。 9、在△ABC中，∠C=90°，D是边AB上一点（不与点A，B重合），过点D作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形相 似，这样的直线有条。 10、在△ABC中，AB=6，AC=4，P是AC的中点，过P点的直线交AB于点Q，若以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C 为顶点的三角形相似，则AQ的长为 11、如图，AD∥BC，∠D=90°，DC=7，AD=2，BC=4．若在边DC上有点P使△PAD和△PBC相似，求PD的值。 12、如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点G，E为AD的中点，连接BE交AC于F，连接FD，若∠BFA=90°，求 证：①△BEA∽△ACD；②△FED∽△DEB；③△CFD∽△ABG 13、如图，△ABC与△AFG是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠F=90°，BC分别与AF，AG相交于点D，E．找出图中所有 不全等的相似三角形并证明。 14、如图，四边形ABCD是平行四边形．O是对角线AC的中点，过点O的直线EF分别交AB、DC于点E、F，与CB、AD的 延长线分别交于点G、H． （1）写出图中所有不全等的两个相似三角形（并选择一种情况证明）； （2）除AB=CD，AD=BC，OA=OC这三对相等的线段外，图中还有多对相等的线段，请选出其中一对加以证明．
A B C A 1 B 1 C 1 A B C D O 1、 相似三角形判定定理2 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似． 如图，在ABC ?与111A B C ?中，1A A ∠=∠，1111 AB AC A B AC = ，那么ABC ?∽111A B C ?． 【例1】 如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ， 2OA =，3OB =，6OC =，4OD =． 求证：OAD ?与OBC ?是相似三角形． 相似三角形判定定理2 知识精讲
A B C D A B C D E 【例2】 如图，点D 是ABC ?的边AB 上的一点，且2AC AD AB =g ． 求证：ACD ?∽ABC ?． 【例3】 如图，在ABC ?与AED ?中， AB AC AE AD = ，BAD CAE ∠=∠． 求证：ABC ?∽AED ?． 【例4】 下列说法一定正确的是（ ） A ．有两边对应成比例且一角相等的两个三角形相似 B ．对应角相等的两个三角形不一定相似 C ．有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 D ．一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似 【例5】 在ABC ?和DEF ?中，由下列条件不能推出ABC ?∽DEF ?的是（ ） A ．A B A C DE DF = ，B E ∠=∠ B ．AB AC =，DE DF =，B E ∠=∠ C ．AB AC DE DF = ，A D ∠=∠ D ．AB AC =，DE DF =，C F ∠=∠
相似三角形单元测试卷（共100分） 一、填空题:（每题5分，共35分） 1、已知a ＝4，b ＝9，c 是a b 、的比例中项，则c ＝ ． 2、一本书的长与宽之比为黄金比，若它的长为20cm ，则它的宽 是 cm （保留根号）． 3、如图1，在ΔABC 中，DE ∥BC ，且AD ∶BD ＝1∶2，则 S S ADE ?=四边形DBCE : ． 图1 图2 图3 4、如图2，要使ΔABC ∽ΔACD ，需补充的条件是 ．（只要写出一种） 5、如图3，点P 是RtΔABC 斜边AB 上的任意一点（A 、B 两点除外）过点作一条直线，使截得的三角形与RtΔABC 相似，这样的直线可以作 条． 图4 图5 图6 6、如图4，四边形BDEF 是RtΔABC 的内接正方形，若AB ＝6，BC ＝4，则DE ＝ ． 7、如图5，ΔABC 与ΔDEF 是位似三角形，且AC ＝2DF ，则OE ∶OB ＝ ． 二、选择题: （每题5分，共35分） 8、若 k b a c a c b c b a =+=+=+，则k 的值为（ ） A 、2 B 、-1 C 、2或-1 D 、不存在 9、如图6，F 是平行四边形ABCD 对角线BD 上的点，BF ∶FD=1∶3，则BE ∶EC= （ ） A 、 21 B 、3 1 C 、3 2 D 、4 1 图7 图8 图9 10、如图7，△ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，且DE 、FG 将△ABC 的面积三等分，若BC=12cm ， 则FG 的长为（ ） A 、8cm B 、6cm C 、64cm D 、26cm 11、下列说法中不正确的是（ ） A ．有一个角是30°的两个等腰三角形相似； B ．有一个角是60°的两个等腰三角形相似； C ．有一个角是90°的两个等腰三角形相似； D ．有一个角是120°的两个等腰三角形相似. 12、如图9, D 、E 是AB 的三等分点, DF∥EG∥BC , 图中 三部分的面积分别为S 1,S 2,S 3, 则S 1:S 2:S 3( ) A.1:2:3 B.1:2:4 C.1:3:5 D.2:3:4 13、两个相似多边形的面积之比为1∶3 ，则它们周长之比为（ ） A ．1∶3 B ．1∶9 C ．1 D ．2∶3
①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。 则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF === ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。 ③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 ○4推论：如果一条直线平行于三角形的一条边，截其它两边(或其延长线)，那么所截得的三角形与原三角形相似．推论○4的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE ∥BC ，∴△ABC ∽△ADE ； 知识点二、相似三角形的判定
判定定理1：两角对应相等，两三角形相似． 符号语言： 拓展延伸： （1）有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似。 （2）顶角或底角对应相等的两个等腰三角形相似。 例题1．如图，直线DE 分别与△ABC 的边AB 、AC 的反向延长线相交于D 、E ，由ED ∥BC 可以推出 AD AE BD CE = 吗？请说明理由。（用两种方法说明） 例题2．（射影定理）已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D. 求证：（1）2AB BD BC =?；（2）2AD BD CD =?；（3）CB CD AC ?=2 例题3．如图，AD 是Rt ΔABC 斜边BC 上的高，DE ⊥DF ，且DE 和DF 分别交AB 、AC 于E 、F.则 BD BE AD AF =例题精讲 A E D B C A B C D
吗？说说你的理由. 例题4．如图，在平行四边形ABCD 中，已知过点B 作BE ⊥CD 于E,连接AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE=∠C （1） 求证：△ABF ∽△EAD ； （2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE 的长；3分之8倍根号3 （3）在（1）（2）条件下，若AD=3，求BF 的长。 2分之3倍根号3 随练： 一、选择题 1．如图，△ABC 经平移得到△DEF ，AC 、DE 交于点G ，则图中共有相似三角形（ ）D A ． 3对 B ． 4对 C ． 5对 D ． 6对 2．如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式中错误的是（ ）C A D C B E F G F E D C B A
《相似三角形》测试题 班级：__________姓名：___________ 学号：________ 分数：________ 一、选择题（每小题3分，共30分） 1、下列命题中正确的是（） ①三边对应成比例的两个三角形相似②二边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似③ 一个锐角对应相等的两个直角三角形相似④一个角对应相等的两个等腰三角形相似 A、①③ B、①④ C、①②④ D、①③④ 2、如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（） A AC AE AB AD = B FB EA CF CE = C BD AD BC DE = D CB CF AB EF = 3、如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O， 下列条件中不能使ΔABE和ΔACD相似的是（） A. ∠B=∠C B. ∠ADC=∠AEB C. BE=CD，AB=AC D. AD∶AC=AE∶AB 4、如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点， 连结AE交CD于F，则图中共有相似三角形（） A 1对 B 2对 C 3对 D 4对 5、在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点， 若∠AEF=90°，则一定有（） A ΔADE∽ΔAEF B ΔECF∽ΔAEF C ΔADE∽ΔECF D ΔAEF∽ΔABF 6、如图1，ADE ?∽ABC ?，若4 ,2= =BD AD，则ADE ?与ABC ?的 相似比是（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．3：2 7、一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则其它两边的和是（）A．19 B．17 C．24 D．21 8、在比例尺为1:5000的地图上,量得甲,乙两地的距离25cm,则甲,乙的实际距离是( ) A.1250km B.125km C. 12.5km D.1.25km 9、在相同时刻，物高与影长成正比。如果高为1.5米的标杆影长为2.5米，那么影长为30米的旗杆的高为( ) A 20米 B 18米 C 16米 D 15米 10、．如图3，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与ABC ?相似的是（） 二、填空题（每空4分，共32分） 1、已知 4 3 = y x ,则. _____ = - y y x 2、两个相似三角形的面积之比为4:9，则这两个三角形周长之比为。 3、如图，在△ABC中，D为AB边上的一点，要使△ABC～△AED成立，还需要添加一个条件 A B C E D 第 1 页共3 页
相似三角形的定义及其判定——典型题专项训练知识点 1 对相似三角形定义的理解 1．下列说法中错误的是( ) A．两个全等三角形一定相似 B．两个直角三角形一定相似 C．两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例 D．相似的两个三角形不一定全等 2．已知△ABC∽△A′B′C′，且BC∶B′C′＝AC∶A′C′，若AC＝3，A′C′＝4.5，则△A′B′C′与△ABC的相似比为( ) A．1∶3 B．3∶2 C．3∶5 D．2∶3 3．2017·贵阳期末一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则该三角形的最短边是( ) A．6 B．9 C．10 D．15 4．如图4－4－1，已知△ADE∽△ACB，且∠ADE＝∠C，则AD∶AC等于( ) 图4－4－1 A．AE∶AC B．DE∶CB C．AE∶BC D．DE∶AB 5．若△ABC∽△A′B′C′，AB＝2，BC＝3，A′B′＝1，则B′C′等于( ) A．1.5 B．3 C．2 D．1 6．如图4－4－2所示，已知△ABC∽△ADE，AD＝6 cm，BD＝3 cm，BC＝9.9 cm，∠A ＝70°，∠B＝50°.
求：(1)∠ADE的度数； (2)∠AED的度数； (3)DE的长． 图4－4－2 知识点 2 利用两角分别相等判定三角形相似 7．如图4－4－3所示的三个三角形，相似的是( ) 图4－4－3 A．(1)和(2) B．(2)和(3) C．(1)和(3) D．(1)和(2)和(3) 8．教材习题4.5第3题变式题如图4－4－4，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则图中相似三角形有( ) A．0对 B．1对 C．2对 D．3对 图4－4－4 图4－4－5 9．如图4－4－5，添加一个条件：__________(写出一个即可)，使△ADE∽△ACB.
《相似三角形》判定与性质测试卷 一、细心填一填（共30分） 1．已知：如图，在ABC △中，DE ∥BC ，DE 分别与AB 、AC 相交于D 、E ，:1:3AD AB =．若2DE =，则BC =_________． 第１题图 第2题图 第6题图 第7题图 2.在□ABCD 中,E 为CD 上一点,连接AE 、BD,且AE 、BD 交于点F ，S △DEF ：S △ABF =4：25，则DE ：AB=_________． 3.已知789x y z ==，则x y z x z +++的值为 . 4.在一张由复印机复印出来的纸上，一个多边形图案的一条边由原来的1cm 变成2cm ，那么这次复印出来的多边形图案面积是原来的 . 5.已知,,,a b c d 是成比例线段，且3,6,15,a cm b cm c cm d ===则= . 6.如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O ）20米的A 处，则小明的影子AM 长为 米． 7.如图,∠DAB=∠CAE,请你再补充一个条件___ （写一个即可）使得△ABC ∽△ADE. 8.在ΔABC 中，AB ＝4，BC ＝9，AC ＝8，在AC 上取一点M ，当AM 的长为 时，ΔAMB∽ΔABC． 9.如图，已知L 1//L 2//L 3，下列比例式中不成立的是 . (填序号及可) ① BC CE DF AD = ②AF BC BE AD = ③CE AD DF BC = ④CE BE DF AF = 第9题图 第11题图 第13题图 10.已知AD 为Rt △ABC 斜边BC 上的高，且AB=15cm ，BD=9cm ，则AD= ，CD= . 二、选择题 (每题3分,共30分) 11.如图，在Rt △ABC 中，AD ⊥BC 与D ，DE ⊥AB 与E ，若AD=3，DE=2，则AC=（ ） A 、2 21 B 、215 C 、29 D 、15 12.下列三角形中，一定相似的是（ ） A ．两个等腰三角形 B ．两个直角三角形 C ．两个等边三角形 D ．两个钝角三角形
《相似三角形》单元测试题 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 1. 下列各组图形有可能不相似的是( ). (A)各有一个角是50°的两个等腰三角形 (B)各有一个角是100°的两个等腰三角形 (C)各有一个角是50°的两个直角三角形 (D)两个等腰直角三角形 2. 如图，D 是⊿ABC 的边AB 上一点，在条件（1）△ACD ＝∠B ，（2）AC 2＝AD·AB，（3） AB 边上与点C 距离相等的点D 有两个，（4）∠B ＝△ACB 中，一定使⊿ABC ∽⊿ACD 的个数是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 3．如图，∠ABD ＝∠ACD ，图中相似三角形的对数是（ ） （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 4.如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 上任意一点，则有（ ） （A ）△ABE 的周长＋△CDE 的周长＝△BCE 的周长 （B ）△ABE 的面积＋△CDE 的面积＝△BCE 的面积 （C ）△ABE ∽△DEC （D ）△ABE ∽△EBC 5.如果两个相似多边形的面积比为9:4,那么这两个相似多边 形的相似比为( ) A.9:4 B.2:3 C.3:2 D.81:16 6. 下列两个三角形不一定相似的是（ ）。 A. 两个等边三角形 B. 两个全等三角形 C. 两个直角三角形 D. 两个等腰直角三角形 7. 若⊿ABC ∽⊿C B A ''，∠A=40°, ∠B=110°,则∠C '=( ) A. 40° B110° C70° D30° 8.如图，在ΔABC 中，AB=30，BC=24，CA=27， AE=EF=FB ， EG ∥FD ∥BC ，FM ∥EN ∥AC ，则图中阴影部分的三个三角形的周 长之和为（ ） A 、70 B 、75 C 、81 D 、80 二、细心填一填 （每小题3分，共24分） 9.如图，在△ABC 中，△BAC ＝90°，D 是BC 中点，AE ∥AD 交CB 延长线于点E ，则⊿BAE 相似于______．
初三相似三角形的判定培优同步讲义 学科教师辅导讲义 体系搭建 一、知识框架 二、知识概念 (一)相似三角形的概念 对应角相等,对应边之比相等的三角形叫做相似三角形. 1、相似三角形是相似多边形中的一种; 2、应结合相似多边形的性质来理解相似三角形; 3、相似三角形应满足形状一样,但大小可以不同; 4、母子型:已知∠ACB=90°,AB ⊥CD ,则△CBD ∽△ABC ∽△ACD . 5、斜交型: 如图:其中∠1=∠2,则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。 (有“反 A 共 角型”、“反 A 共角共边型”、 “蝶型”)b5E2RGbCAP 6、垂直型:有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型(也称“射影定理型”)”“三垂 直型”) 考点 1:三角形相似判定方法的运用 例 1、如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于点 D ,则图中相似三角形共有( ) A .1 对 B .2 对 C .3 对 D .4 对 p1EanqFDPw 例 2、如图,下列条件不能判定△ADB ∽△ABC 的是( ) A .∠ABD=∠ACB B .∠ADB=∠ABCDXDiTa9E3d C .AB 2 =AD?AC D .= 典例分析 A B C D A B C D E 12 A
A B B C C D D E E 124 1 2 E C B D A B C D E A E
( )
A D C B 例 3、已知:在梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90°,BC=2AD,E 是 BC 的中点,连接 AE、 AC.RTCrpUDGiT (1)点 F 是 DC 上一点,连接 EF,交 AC 于点 O(如图 1),求证:△AOE∽△COF; (2)若点 F 是 DC 的中点,连接 BD,交 AE 与点 G(如图 2),求证:四边形 EFDG 是菱形. 例 4、如图,在△ABC 中,AB=AC=1,BC=,在 AC 边上截取 AD=BC,连接 BD. (1)通过计算,判断 AD2 与 AC?CD 的大小关系; (2)求∠ABD 的度数. 考点 2:网格图中相似三角形的判定 例 1、下列四个三角形中,与图中的三角形相似的是() A.B.C.D. 实战演练 课堂狙击 1、下列命题中,是真命题的为() A.锐角三角形都相似
《相似三角形的判定》专题练习 1．下列命题中正确的是（ ） ① 任意两个等腰三角形都相似 ② 任意两个直角三角形都相似 ③ 任意两个等边三角形都相似 ④ 任意两个等腰直角三角形都相似 A ．①③ B ．①④ C ．②④ D ．③④ 2．在△ABC 和△A 1B 1C 1中，有下列条件：① 1111AB BC A B B C =，② 1111 BC AC B C A C = ，③∠A ＝∠A 1 ，④∠B ＝∠B 1 ，⑤∠C ＝∠C 1 ，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC ∽△A 1B 1C 1的有（ ） A ．4组 B ．5组 C ．6组 D ．7组 3．在等腰△ABC 和等腰△DEF 中，∠A 与∠D 是顶角，下列判断正确的是（ ） ①∠A ＝∠D 时，两三角形相似； ②∠A ＝∠ E 时，两三角形相似； ③EF DE BC AB =时，两三角形相似； ④∠B ＝∠E 时，两三角形相似。 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．如图，P 是Rt △ABC 的斜边BC 上异于B ，C 的一点，过P 点作直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，满足这样条件的直线共有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 5．如图所示，点E 是 ABCD 的边BC 延长线上的一点，AE 与CD 相交于点F ，则图中相似三角形共有（ ） A ．2对 B ．3对 C ．4对 D ．5对 6．如图，锐角△ABC 的高CD 和B E 相交于点O ，图中与△ODB 相似的三角形有（ ） A ．4个 B ．3个 C ． 2个 D ．1个 （第4题图） （第5题图） （第6题图） 7．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ） ① ② ③ ④ A ．①和② B ．①和③ C ．②和③ D ．②和④ 8．如图，若A 、B 、C 、P 、Q 、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△PQR∽△ABC，则点R 应是甲、乙、丙、 丁四点中的（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 9．如图：点P 是△ABC 边AB 上一点（AB ＞AC ），下列条件不一定能使△ACP ∽△ABC 的是（ ）