抛物线中由动点产生的特殊三角形的存在性问题解析二次函数的图像与三角形的结合是代数与平面几何生成的综合性问题的一
种重要形式.其呈现方式多以抛物线为载体、探索满足某种条件的三角形的存在性.这类试题旨在全面考查学生分析问题、解决问题的能力和创新思维能力.由于其涉及的知识面广,内容丰富,综合性和灵活性以及解题技巧性都较强,因而对大
多数考生来说常感到束手无策.解决这类问题的关键是,弄清函数与几何图形之
间的关系,在解题过程中将函数问题几何化,几何问题数量化,数形统一.一般步骤是：先假设其存在,再画出相应的图形,然后根据所画的图形进行解答,得出某些结论；最后,如果结论符合题目要求或定义、定理,则假设成立;如果出现与题目要
求或定义、定理相悖的情况,则假设错误,所设不存在.
一.由抛物线上的动点产生的等腰三角形
用代数方法探求等腰三角形问题一般分三步：按腰相等分三种情况,再根据
两点间距离列方程,解之并检验.有些等腰三角形当角度特殊时,三种情况下的动
点可能会重合在一起.
例1如图1,在平面直角坐标系中,直线y=﹣2x+10与x轴,y轴
相交于A,B两点,点C的坐标是(8,4),连接AC,BC．
(1)求过O,A,C三点的抛物线的解析式,并判断△ABC
的形状；
(2)动点P从点O出发,沿OB以每秒2个单位长度的
速度向点B运动；同时,动点Q从点B出发,沿BC以每秒
1个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达
端点时,另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒,
当t为何值时,PA=QA？
图1
(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点M,使以A,B,M
为顶点的三角形是等腰三角形？若存在,求出点M的坐标；若不存在,
请说明理由．
【分析】(1)先确定出点A,B坐标,再用待定系数法求出抛物线解
析式；用勾股定理逆定理判断出△ABC是直角三角形；
(2)根据运动表示出OP=2t,CQ=10﹣t,判断出
Rt△AOP≌Rt△ACQ,得到OP=CQ即可；
(3)分三种情况用平面坐标系内,两点间的距离公式计算即可.
【解答】(1)∵直线y=﹣2x+10与x轴,y轴分别交于A,B两点, ∴A(5,0),B(0,10).
∵抛物线过原点, ∴设抛物线解析式为y=ax2+bx,
∵抛物线过点B(0,10),C(8,4),
∴2550,6484a b a b +=??+=? ∴16,5
6a b ?=????=-??
∴抛物线解析式为y=
16x 2﹣56
x, ∵A(5,0),B(0,10),C(8,4),
∴AB 2=52+102=125,BC 2=82+(8﹣5)2=100,AC 2=42+(8﹣5)2=25,
∴AC 2+BC 2=AB 2, ∴△ABC 是直角三角形．
(2)如图2,当P,Q 运动t 秒,即OP=2t,CQ=10﹣t 时,
由(1)得,AC=OA,∠ACQ=∠AOP=90°,
在Rt△AOP 和Rt△ACQ 中,
,AC OA PA QA =??=?
∴Rt△AOP ≌Rt△ACQ, ∴OP=CQ, ∴2t=10﹣t, ∴t=
103
, ∴当运动时间为103时,PA=QA ； (3)存在,
∵y=16x 2﹣56x, ∴抛物线的对称轴为x=52
, ∵A(5,0),B(0,10), ∴
AB=5如图3,设点M(52
,m), 按边相等分为三种情况： ①当BM=BA 时, ∴(52)2+(m ﹣10)2=125, ∴m 1
=2
=∴M 1(52
,202+),M 2(52
,202-). ②当AM=AB 时, ∴(
52)2+m 2=125, ∴m 3
=2, m 4=
﹣2, x
图2
∴M3(5
2
,
2
),M4(5
2
,
﹣
2
).
③当MA=MB时,
∴(5
2
﹣5)2+m2=(
5
2
)2+(10﹣m)2, ∴m=5,
∴M5(5
2
,5),此时点M恰为线段AB的中点,构不成三角形,舍去.
∴综合上所述点M的坐标为：
M1(5
2
,20
2
+
2
(5
2
,20
2
-
3
(5
2
,
2
),M4(5
2
,
﹣
2
)
【点评】本题作为压轴题,立意新颖,具有较强的综合性.试题主要考查一次函数、二次函数的性质,待定系数法求函数解析式,三角形全等的性质和判定,等腰三角形、直角三角形的性质.解本题第三问的关键是分情况讨论,这也是本题的难点．
二.由抛物线上的动点产生的直角三角形
对于直角三角形问题,若用代数方法探求,也需先按直角分三种情况,再根据两点间的距离列方程,然后解方程并检验.但下面例题中已指明斜边,故不需讨论.
例2.如图4,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,直线l与抛
物线y=mx2+nx相交于
A(1,3两点．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)在坐标轴上是否存在点D,使得△ABD是以线段AB为斜边的直角三角形？若存在,求出点D的坐标；若不存在,说明理由；
(3)点P是线段AB上一动点,(点P不与点A、B 重合),过点P作PM∥OA,交第一象限内的抛物线于点M,过点M作MC⊥x轴于点C,交AB于点N,若△BCN、△PMN的面积S△BC N、S△P MN满足S△B C N=2S△PMN,
求出MN
NC
的值,并求出此时点M的坐标．
【分析】(1)由A、B两点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线
解析式；
(2)分D在x轴上和y轴上,分别向不同的坐标轴坐垂线段.用点D的坐标
表示出AD、BD，列出关于d的方程,即可求得D点的坐标；
(3)过P作PF⊥CM于点F,利用Rt△ADO∽Rt△MFP以及三角函数,可用PF分别表示出MF和NF,从而可表示出MN,设BC=a,则可用a表示出CN,再利用S△BC N=2S△P M N,可用PF表示出a的值,从而
图4
可用PF 表示出CN,可求得
MN NC
的值；借助a 可表示出M 点的坐标,代入抛物线解析式可求得a 的值,从而可求出M 点的坐标． 【解答】(1)∵
A(1,3在抛物线y=mx 2+nx 的图象上,
∴,1640m n m n ?+=??+=?? 解
得m n ?=??=?? ∴抛物线解析式为y=
﹣2
+4；
(2)存在三个点满足题意,理由如下：
①当点D 在x 轴上时,如图4,过点A 作AD ⊥x 轴于点D, ∵
A(1,3 ∴D 坐标为(1,0)；
②当点D 在y 轴上时（图略）,设D(0,d),
则AD 2
=1+(3d)2,BD 2=42+d 2,且
AB 2=(4﹣1)2
+(32=36,
∵△ABD 是以AB 为斜边的直角三角形,
∴AD 2+BD 2=AB 2, 即
1+(3d)2+42+d 2=36,
解得
d=, ∴D 点坐标为
(0, )或
(0, )； 综上可知存在满足条件的D 点,其坐标为(1,0)或
(0,
) 或
(0,
)； (3)如图5,过P 作PF ⊥CM 于点F,
∵PM ∥OA, ∴Rt △ADO ∽Rt △MFP, ∴MF AD PF OA
=
=3 ∴
MF=3在Rt △ABD 中
,BD=3,AD=3∴tan ∠
ABD=∴∠ABD=60°,设BC=a,则
CN=图5
在Rt △PFN 中,∠PNF=∠BNC=30°,
∴tan ∠PNF=3
PF FN =, ∴FN=
∴MN=MF+FN=4
∵S △BC N =2S △P MN , ∴2
a 2=2××42,
∴a=2∴NC=
∴
MN NC = ∴MN=
∴MC=MN+NC=( ∴M 点坐标为(4﹣a,(
又M 点在抛物线上,代入可得﹣﹣a)2+4﹣a)=(
解得a=3﹣a=0(舍去), OC=4﹣a=
∴点M 的坐标为(．
【点评】本题是二次函数综合题,主要考查待定系数法求函数解析式,相似三角形、全等三角形以及直角三角形的性质.本题已指明了直角三角形的斜边是线段AB,不需要讨论；但需按点D 的位置分类讨论,这是解本题（2）的关键,也是本题之难点所在.
三.由抛物线上的动点产生的等腰直角三角形
此类问题可仿问题一、二的方法讨论.
例3.如图6,已知点A 的坐标为(﹣2,0),直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点B 和点C,连接AC,顶点为D 的抛物线y=ax 2+bx+c 过A 、B 、C 三点．
(1)请直接写出B 、C 两点的坐标,抛物线的解析式及顶点D 的坐标；
(2),设抛物线的对称轴DE 交线段BC 于点E,P 是第一象限内抛物线上一点,过点P 作x 轴的垂线,交线段BC 于点F,若四边形DEFP 为平行四边形,求点P 的坐标；
(3)设点M 是线段BC 上的一动点,过点M 作MN ∥AB,交AC 于点N,点Q 从点B 出发,以每秒1个单位长度的速度沿线段BA 向点A 运动,运动时间为t(秒),当t(秒)为何值时,存在△QMN 为等腰直角三角形？
【分析】(1)由 y=﹣
34
x+3易得B 和C 的坐标,然后设抛物线的交点式为y=a(x+2)(x ﹣4),把C 的坐标代入抛物线解析式即可求出a 的值和顶点D 的坐标； (2)若四边形DEFP 为平行四边形,则DP ∥BC,设直线DP 的解析式为
y=mx+n,则m=﹣34
,求出直线DP 的解析式后,联立抛物线解析式和直线DP 的解析式即可求出P 的坐标；
(3)由题意可知,0≤t≤6,若△QMN 为等腰直角三角形,则共有三种情况,①∠NMQ=90°；②∠MNQ=90°；③∠NQM=90°．
【解答】(1)B(4,O),C(0,3)．抛物线的解析式为
233 3.84y x x =++顶点D 的坐标为)8
27,1( . (2)如图6,把x=1代入,4
9343=+-=y x y 得， 9(1,),4
E ∴,8949827=-=∴DE 因点P 为第一象限内抛物线上一点,所以可设点P 坐标为
),34
383,(2++-x x m 点F 的坐标为(m,-4
3m+3)． 若四边形DEFP 为平行四边形,则PF=DE. 即-83m 2+43m+3-(-4
3m+3)=89. 解之,得m 1=3,m 2=1(不合题意,舍去)．
∴当点P 坐标为(3,8
15)时,四边形DEFP 为平行四边形. (3)设点M 的坐标为(m,-34
3+m ),MN 交y 轴于点G ． ,//AB MN ∴?MNC ∽?BAC, CO
CG AB MN =∴ ①如图图7-①,当∠QMN=90°,MN=MQ=OG 时,
,3
36MN MN -=解之,MN=2． ,2343=+-∴m 解之,?=)2,3
4(,34M m ?=-=∴3
8344),0.34(t Q 即 ②如图7-②,当∠QNM=90°,MN=NQ=OG 时 ∵,336MN MN -=解之,MN=2． 图 6 图7-① G G
,2343=+-∴m 解之,?=)2,3
4(,34M m ∴GM=43,NG=23, ?-)0,32(Q ?=--=∴314)32(4t ③如图7-③当∠MQN=90°,QM=QN 时, OG= QK= 2
1NM, ,3
2136MN MN -=∴解之,得MN=3．?=∴23OG ,23343=+-∴x 解之,得x=2,即).2
3.1(),23,2(-N M MN 的中点K 的坐标为??)2
321().0,21(Q ∴即.27214=-=t ∴当t 为38或314或2
7时,存在△QMN 为等腰直角三角形． 【点评】本题考查待定系数法求函数的解析式,及一次函数中 k 值和点的坐标的求法,抛物线的对称性,相似三角形、等腰直角三角形等知识. 是一道综合性较强的试题.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来,利用点的坐标的意义表示线段的长度,从而求出线段之间的关系．由于本题未指明三角形的直角,故需按直角分类讨论.
例4.如图8,抛物线y=﹣5
3 [(x ﹣2)2+n] 与x 轴交于点A(m ﹣2,0)和B(2m+3,0)(点A 在点B 的左侧), 与y 轴交于点C,连结BC ．
(1)求m 、n 的值；
(2)如图9,点N 为抛物线上的一动点,且位于直线BC 上方, 连接CN 、BN ．求△NBC 面积的最大值；
(3)如图10,点M 、P 分别为线段BC 和线段OB 上的动点,连接PM 、PC,是否存在这样的点P ,使△PCM 为等腰三角形,△PMB 为直角三角形同时成立？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由． 【分析】(1)易知抛物线的对称轴为直线x=2,由对称性得2﹣(m ﹣2)=2m+3﹣2,解得m 的值,即得A(﹣1,0),B(5,0),然后把A 点坐标代入
y=﹣35
[(x ﹣2)2+n]可求n 的值； (2)作ND ∥y 轴交BC 于D,如图9,由抛物线解析式确定C(0,3),再利用待
定系数法求出BC 的解析式为y=﹣35x+3,设N(x,﹣35
x 2+125x+3),则D(x,﹣图7-③ K G 图8
3
5
x+3),根据三角形面积公式,利用S△NBC=S△NDC+S△NDB可得S△BCN=﹣
3 2x2+15
2
x,然后利用二次函数的性质求解；
(3)先由勾股定理求出
,再分类讨论:当∠PMB=90°,则
∠PMC=90°,△PMC为等腰直角三角形,MP=MC,设PM=t,则
t,证明△BMP∽△BOC,利用相似比可求出BP的长,再计算OP后可得到P点坐标；当∠MPB=90°,则MP=MC,设PM=t,则
t,证明△BMP∽△BCO,利用相似比求出BP的长,再计算OP 后可得P点坐标．
【解答】解：(1)∵抛物线的解析式为y=﹣3
5
[(x﹣2)2+n]=﹣3
5
(x﹣2)2
﹣3
5 n,
∴抛物线的对称轴为直线x=2,
∵点A和点B为对称点, ∴2﹣(m﹣2)=2m+3﹣2,解得m=1, ∴A(﹣1,0),B(5,0),
把A(﹣1,0)代入y=﹣3
5
[(x﹣2)2+n]得9+n=0,解得n=﹣
9；
(2)作ND∥y轴交BC于D,如图9,
抛物线解析式为y=﹣3
5
[(x﹣2)2﹣9]=﹣3
5
x2+12
5
x+3,
当x=0时,y=3,则C(0,3),
设直线BC的解析式为y=kx+b,
把B(5,0),C(0,3)代入得
50
,
3
k b
b
+=
?
?
=
?
解得
3
,5
3
k
b
?
=-
?
?
?=
?
∴直线BC的解析式为y=﹣3
5
x+3,
设N(x,﹣3
5
x2+12
5
x+3),则D(x,﹣3
5
x+3),
∴ND=﹣3
5
x2+12
5
x+3﹣(﹣3
5
x+3)=﹣3
5
x2+3x,
∴S△NBC=S△NDC+S△NDB=1
2
?5?ND=﹣
3
2
x2+15
2
x=﹣(x﹣5
2
)2+75
8
,
当x=5
2
时,△NBC面积最大,最大值为
75
8
；
(3)存在．
图9
第一课时 抛物线与三角形 例1 如图，已知抛物线223y x x =-++经过A （－1，0）、B （3，0）、C （0，3）三点，直线l 是抛物线的对称轴． （1）设点P 为直线l 上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标； （2）在直线l 上是否存在点M ，使△MAC 为等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由． 例2 已知抛物线k kx kx y 322 -+=交x 轴于A 、B 两点（A 在B 的左边），交y 轴于C 点，且y 有最大值4．在抛物线上是否存在点P ，使△PBC 是直角三角形？若存在，求出P 点坐标，若不存在说明理由. 例3抛物线223y x x =-++经过点A （－1，0），C （0，3）． （1）如图①，P 为线段BC 上一点，过点P 作y 轴平行线交抛物线于点D ，当△BDC 的面积最大时，求点P 的坐标； （2）如图②，抛物线顶点为E ，EF ⊥x 轴于点F ，M （m ，0）是x 轴上一动点，N 是线段EF 上一点，若∠MNC =90°，请指出实数m 的变化范围，并说明理由．
例4（2014?苏州）如图，二次函数y=a（x2﹣2mx﹣3m2）（其中a，m是常数，且a＞0，m＞0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于C（0，﹣3），点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD，过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE． （1）用含m的代数式表示a；（2）求证：为定值； （3）设该二次函数图象的顶点为F，探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由． 例5（2014?常州）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=﹣x2+x+2的图象与x轴交于点A，B（点 B在点A的左侧），与y轴交于点C．过动点H（0，m）作平行于x轴的直线l，直线l与二次函数y=﹣x2+x+2的图象相交于点D，E． （1）若m＞0，以DE为直径作⊙Q，当⊙Q与x轴相切时，求m的值； （2）直线l上是否存在一点F，使得△ACF是等腰直角三角形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
1.如图2-1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动．在P、Q两点移动的过程中，当△PQC为等腰三角形时，求t的值． 知识点一（等腰三角形的存在性问题） 【知识梳理】 如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况． 已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线． 解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快． 几何法一般分三步：分类、画图、计算． 代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验． 【例题精讲】 例1.如图1-1，在平面直角坐标系xOy中，已知点D的坐标为(3, 4)，点P是x轴正半轴上的一个动点，如果△DOP是等腰三角形，求点P的坐标． 图1-1 【解析】分三种情况讨论等腰三角形△DOP：①DO＝DP，②OD＝OP，③PO＝PD． ①当DO＝DP时，以D为圆心、DO为半径画圆，与x轴的正半轴交于点P，此时点D在OP的垂直平分线上，所以点P的坐标为(6, 0)（如图1-2）． ②当OD＝OP＝5时，以O为圆心、OD为半径画圆，与x轴的正半轴交于点P(5, 0) （如图1-3）．
③当PO＝PD时，画OD的垂直平分线与x轴的正半轴交于点P，设垂足为E（如图1-4）． 在Rt△OPE中， 3 cos 5 OE DOP OP ∠==， 5 2 OE=，所以 25 6 OP=． 此时点P的坐标为 25 (,0) 6 ． 图1-2 图1-3 图1-4 上面是几何法的解题过程，我们可以看到，画图可以帮助我们快速找到目标P，其中①和②画好图就知道答案了，只需要对③进行计算． 代数法先设点P的坐标为(x, 0)，其中x＞0，然后罗列△DOP的三边长（的平方）． DO2＝52，OP2＝x2，PD2＝(x－3)2+42． ①当DO＝DP时，52＝(x－3)2+42．解得x＝6，或x＝0． 当x＝0时既不符合点P在x轴的正半轴上，也不存在△DOP． ②当OD＝OP时，52＝x2．解得x＝±5．当x＝－5时等腰三角形DOP是存在的，但是点P此时不在x轴的正半轴上（如图1-5）． ③当PO＝PD时，x2＝(x－3)2+42．这是一个一元一次方程，有唯一解，它的几何意义是两条直线（x轴和OD的垂直平分线）有且只有一个交点． 代数法不需要画三种情况的示意图，但是计算量比较大，而且要进行检验． 图1-5 【课堂练习】 1.如图2-1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动．在P、Q两点移动的过程中，当△PQC为等腰三角形时，求t的值．
二次函数中的特殊三角形存在性问题 例1 ：如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）求△ABC的面积；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标． 例2：如图，已知一次函数y=+2的图象与x轴交于点A，与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于y轴上的一点B，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．:（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）设一次函数y=+2的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且△PBD为直角三角形，求点P的坐标． 例3：如图所示，直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，抛物线过点B、C和D（3，0）．:（1）求直线BD和抛物线的解析式．（2）若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标．（3）在抛物线上是否存在点P，使S△PBD=6若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
1、如图，已知抛物线22 4233 y x x =-++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ． 点M 从O 点出发，以每秒1个单位长度的速度向B 运动，过M 作x 轴的垂线，交抛物线于点P ，交BC 于Q ．（1）求点B 和点C 的坐标；（2）设当点M 运动了x （秒）时，四边形OBPC 的面积为S ，求S 与x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围．（3）在线段BC 上是否存在点Q ，使得△DBQ 成为以．BQ ．．为一腰．．．的等腰三角形若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，说明理由． 2、二次函数21 8 y x =的图象如图所示，过y 轴上一点(0M ，2)的直线与抛物线交于A ，B 两点，过点A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ．⑴ 当点A 的横坐标为2-时，求点B 的坐标；⑵ 在⑴的情况下，分别过点A ，B 作AE x ⊥轴于E ，BF x ⊥轴于F ，在EF 上是否存在点P ，使APB ∠为直角．若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由；⑶ 当点A 在抛物线上运动时(点A 与点O 不重合)，求AC BD ?的值． y x O M D C B A
抛物线与相似三角形 点的运动既能改变图形相关的数量关糸，又能改变图形的形状及位置，从而造就相似三角形，抛物线与相似三角形的结合是抛物线上几何架构的重要表现形式。因点的运动或对应关糸的不确定而进行的讨论，是解决这类问题的关争键。 1. 如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣4，0）、B（1，0）、C（﹣2，6）． （1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式； （2）设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE； （3）设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似吗？ 2.如图1，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点． （1）求抛物线的解析式； （2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标； （3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，求点N的坐标； （4）在（2）与（3）的条件下，请直接写出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）． 3.如图，顶点坐标为（2，﹣1）的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点． （1）求抛物线的表达式； （2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积； （3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F．问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．
4. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3， ﹣）． （1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标； （2）在抛物线上求点P，使S△POA=2S△AOB； （3）在抛物线上是否存在点Q，使△AQO与△AOB相似？如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由． 5.如图，已知二次函数的图象过点A（﹣4，3），B（4，4）． （1）求二次函数的解析式： （2）求证：△ACB是直角三角形； （3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 6.如图，已知抛物线的方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧． （1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m的值； （2）在（1）的条件下，求△BCE的面积； （3）在（1）条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标； （4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由． 7. 如图，已知抛物线y=x2﹣（b+1）x+（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B （点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C． （1）点B的坐标为，点C的坐标为（用含b的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
二次函数中三角形问题(复习补充) 1、如图，抛物线y=ax 2+bx+c经过A（-1，0） 、B（3，0）、C（0 ， 3 ）三点，对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB． （1）求该抛物线的解析式；二次函数式为y=-x2+2x+3； （2）抛物线上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由； （3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使△RPM与△RMB的面积相等？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．2、如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式；y=-x2-2x+3； （2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
3、如图，抛物线y=ax2 +bx+c经过点A（-3，0），B（1.0），C（0，-3）． （1）求抛物线的解析式；y=x2+2x-3； （2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标； （3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 备用图 ①当A为直角顶点时∴点M的坐标为（0，）。 ②当D为直角顶点时∴点M的坐标为（0，） ③当M为直角顶点时，∴点M的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣3）。4、在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（1，0），如图所示，抛物线y=ax2-ax-2经过点B．（1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
《一次函数中特殊三角形的存在性问题》教学设计 【教学目标】 1、知识与技能 （1）使学生体会定点与动点之间的关系，做到以静制动。 （2）通过数形结合，利用几何法和代数法求一次函数中特殊三角形的存在性问题。 2、过程与方法 （1）借助几何画板探究一次函数中特殊三角形的存在性问题，使学生初步形成正确、科学的分析解决问题的方法。 （2）学生与其他人交流的过程中，能合理清晰地表达自己的思维过程。 （3）在自己动手画图的过程中，培养学生的动手实践能力及丰富的想象力，积累数学活动经验，增强学生的创新意识。 3、情感态度与价值观 （1）通过新媒体手段和个性化的学习方式，培养学生交流合作的意识，激发学生学习数学的兴趣，树立学生学好数学的信心，培养学生良好的学习习惯。 （2）以小组活动形式对本节内容进行综合探索，在与他人的合作过程中，培养学生敢于面对挑战和勇于克服困难的意志，鼓励学生大胆尝试，从中获得成功的体验，培养学生的合作意识和团队精神。 【教学重、难点】 教学重点：（1）一次函数中的动点问题； （2）两圆一中垂线求等腰三角形；外K全等求等腰指教三角形。 教学难点：（1）分类讨论思想的运用； （2）学会以静制动 【学情分析】 学生已经初步掌握了用待定系数法求解一次函数的解析式，联立方程组求解两个一次函数图像的交点，求解三个顶点为定点的三角形的面积以及用铅锤法表示有顶点是动点的三角形的面积，但是对一次函数中特殊三角形的存在问题还存在一定的困难。 【教学活动策略及教法设计】 1.活动策略 课堂组织策略：创设贴近学生生活、生动有趣的问题情境，开展有效的数学活动，组织学生主动参与、勤于动手、积极思考，使他们在自主探究与合作交流中，主动发现特殊三角形中动点坐标的规律。 学生学习策略：明确学习目标，了解所需掌握的知识，在教师的组织、引导、点拨下主动地从事观察、实验、猜测、验证与交流等教学活动，从而真正有效地理解和掌握知识。 辅助策略：借助几何画板，使学生直观形象地观察、操作。 2、教法 演示法：通过几何画板演示两圆一中垂线和外K全等，使学生直观、形象的感知因动点的移动，在何时会出现等腰三角形和等腰直角三角形，思考在没有几何画板的时候，我们自己该如何作图，快速确定动点的位置。 实验法：让学生自己动手、在探究过程中，自己发现动点的规律 讨论法：在学生进行了自主探索之后，进行小组讨论，让他们进行合作交流，使之互
专题动点与特殊三角形存在性问题大视野 【例题精讲】 题型一、等腰三角形存在性问题 例1. 【2019·黄石期中】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=2cm，E、F分别是AB、AC 的中点，动点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时动点Q从点B出发，沿BF方向匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ，设运动时间为ts（0＜t＜1），则当t=______时，△PQF为等腰三角形． 例2. 【2019·广州市番禺区期末】已知：如图，在Rt△ABC中，△C=90°，AB=5cm，AC=3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． （1）求BC边的长； （2）当△ABP为直角三角形时，求t的值； （3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
例3. 【2019·乐亭县期末】如图，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），点P 是边AB或边BC上的一点，连接OP，DP，当△ODP为等腰三角形时，点P的坐标为______． 题型二、直角三角形存在性问题 例1. 【2019·厦门六中月考】如图，在RtΔABC中，△B=90°，AC=60，△A=60°．点D从点C出发沿CA方向以每秒4个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动，设点D、E运动的时间是t秒(0 22．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P 是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标． 20．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M是抛物线在x轴下方上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值； （3）在（2）的条件下，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PBN是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 23．已知抛物线C1的顶点为P（1，0），且过点（0，）．将抛物线C1向下平移h个单位 （h＞0）得到抛物线C2．一条平行于x轴的直线与两条抛物线交于A、B、C、D四点（如图），且点A、C关于y轴对称，直线AB与x轴的距离是m2（m＞0）． （1）求抛物线C1的解析式的一般形式； （2）当m=2时，求h的值； （3）若抛物线C1的对称轴与直线AB交于点E，与抛物线C2交于点F．求证：tan∠EDF ﹣tan∠ECP=． 22．解：（1）∵B（4，m）在直线y=x+2上， ∴m=4+2=6， ∴B（4，6）， ∵A（，）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx+6上， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为y=2x2﹣8x+6． （2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n2﹣8n+6）， ∴PC=（n+2）﹣（2n2﹣8n+6）， =﹣2n2+9n﹣4， =﹣2（n﹣）2+， ∵PC＞0， ∴当n=时，线段PC最大且为． 10．（2016山东省临沂市）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+10与x 轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是（8，4），连接AC，BC． （1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状； （2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t 秒，当t为何值时，PA=QA？ （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 11．（2016山东省日照市）阅读理解： 我们把满足某种条件的所有点所组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．例如：角的平分线是到角的两边距离相等的点的轨迹． 问题：如图1，已知EF为△ABC的中位线，M是边BC上一动点，连接AM 交EF于点P，那么动点P为线段AM中点． 理由：∵线段EF为△ABC的中位线，∴EF∥BC，由平行线分线段成比例得：动点P为线段AM中点． 由此你得到动点P的运动轨迹是：． 知识应用： 如图2，已知EF为等边△ABC边AB、AC上的动点，连结EF；若AF=BE，且等边△ABC的边长为8，求线段EF中点Q的运动轨迹的长． 拓展提高： 如图3，P为线段AB上一动点（点P不与点A、B重合），在线段AB的同侧分别作等边△A PC和等边△PBD，连结AD、BC，交点为Q． （1）求∠AQB的度数； （2）若AB=6，求动点Q运动轨迹的长． 12．（2016山东省日照市）如图1，抛物线 2 3 [(2)] 5 y x n =--+ 与x轴交于 点A（m﹣2，0）和B（2m+3，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连结BC． （1）求m、n的值； （2）如图2，点N为抛物线上的一动点，且位于直线BC上方，连接CN、BN．求△NBC面积的最大值； （3）如图3，点M、P分别为线段BC和线段OB上的动点，连接PM、PC，是否存在这样的点P，使△PCM为等腰三角形，△PMB为直角三角形同时成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 13．（2016山西省）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 28 y ax bx =+-与x轴交于A，B 两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（﹣2，0），（6，﹣8）． （1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标； （2）试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形． 二次函数与三角形的存在性问题 一、预备知识 1、坐标系中或抛物线上有两个点为P （x1，y ），Q （x2，y ） (1)线段对称轴是直线2x 2 1x x += (2)AB 两点之间距离公式：221221)()(y y x x PQ -+-= 中点公式：已知两点 ()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为??? ??++222121y y ,x x 。 2、两直线的解析式为11b x k y +=与 22b x k y += 如果这两天两直线互相垂直，则有121-=?k k 3、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1 L2：y=k2x+b2 （1）当k1=k2，b1≠b2 ，L1∥L2 （2）当k1≠k2， ，L1与L2相交 （3）K1×k2= -1时， L1与L2垂直 二、三角形的存在性问题探究： 三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形，等边三角形，直角三角形 （一）三角形的性质和判定： 1、等腰三角形 性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。 判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。 2、直角三角形 性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。 判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。 3、等腰直角三角形 性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于45°。 判定：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形 4、等边三角形 性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。 判定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 抛物线中的三角形问题 一、教学目标： 1、知识、能力目标： 通过复习，使学生了解将抛物线与三角形有机地结合在一起的综合题。 2、情感目标： 感受数形结合的优美与和谐。 二、教学过程： 近年来在各地中考数学试题中出现了一类新的热点题型，将抛物线与三角形有机地结合在一起。这类题目综合性强，难度较大，本节来归纳这类试题的基本类型与求解。 一、根据已知条件判定或证明抛物线中三角形的形状 例1、已知二次函数y=(a+c)x 2 +2bx-(c-a),其中a,b,c,是△ABC 的三边，且a b ≥,a c ≥, a+c=2b,若这个二次函数的图象过原点，试证△ABC 是等边三角形。 证明 抛物线y=(a+b)x 2 +2bx-(c-a)过原点，将原点坐标（0，0）代入解得：a=c. 又a+c=2b ， ∴a=b=c ， 故△ABC 是等边三角形。 二、已知抛物线中三角形的形状，求解（证）有关二次函数问题 例2、已知抛物线y=x 2 +kx+1与x 轴的两 个交点A,B 都在原点右侧，顶点是C ，△ABC 是等腰直角三角形。求证：（1） ；(2)求k 的值。 分析：本题要沟通函数与方程的关系，方程的根即为抛物线与x 轴交点的横坐标。运用这一解题思想比较简捷。 解 （1）设A ，B 两点的坐标分别是（1x ,0）,(2x 0),则 ： 121 12x x k x x +=-= ∴AB= 21X X -= = (2) 抛物线y=2 x +kx+1的顶点C 的坐标是（-2 k ，2 44k -）。 △ABC 是等腰直角三角形的性质得： 244k -=12 k=±. A,B 两点在原点的右侧， ∴k=-(12x x +)<0,从而 k=- 三、已知抛物线中三角形的面积。求抛物线上点的坐标 例３、已知二次函数y=x 2 -(m-2)x+m 的图象经过（－１，１５），设此二次函数的图象与x 轴的交点是A,B,图象上的点C 使△ABC 的面积等于1，求点C 的坐标。 分析：根据题设条件易求得A 、B 两点的坐标，然后由面积公式确定C 点的坐标。 解：∵函数2(2)y x m x m =--+的图像过（-1，15）， ∴15=2 (1)(2)(1)m m ----+， ∴m=8。∴二次函数的解析式为2 68x y x -+=令y=0，则2 68x x -+=0。解得122,4x x ==。 从而求得A(2,0),B(4,0)。设图象上一点C(x,y)，则S △ABC=1 12AB y ??=, 二次函数与三角形的存在性问题 一、预备知识 1、坐标系中或抛物线上有两个点为P（ x1，y），Q（x2，y） x 1x 2 x 2 (1) 线段对称轴是直线 (2)AB 两点之间距离公式：PQ(x1x2 ) 2( y1 y2 )2 中点公式：已知两点P x 1 , y 1 x1 x 2 , y 1y2 ,Q x2 ,y 2，则线段 PQ的中点 M为22。 Q P G O 2 、两直线的解析式为y k 1 x b 1 与y k 2 x b2 如果这两天两直线互相垂直，则有k1k21 3、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1L2 ：y=k2x+b2 （1）当 k1=k2， b1≠b2，L1∥ L2 （2）当 k1≠ k2，，L1 与 L2 相交 （3）K1×k2= -1时，L1 与L2垂直 二、三角形的存在性问题探究： 三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形，等边三角形，直角三角形 （一）三角形的性质和判定： 1、等腰三角形 性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。 判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。2、直角三角形 性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。 判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。 3、等腰直角三角形 性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于 45°。判定： 具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形4、等边三 角形 性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。 判定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是 60°的等腰三角形是等 边三角形。 总结：（ 1）已知 A、B 两点，通过“两圆一线”可以找到所有满足条件的等腰三角形，要求 的点（不与 A、B 点重合）即在两圆上以及两圆的公共弦上 （2）已知 A、B 两点，通过“两线一圆” 可以找到所有满足条件的直角三角形，要求的点（不与A、B 点重合）即在圆上以及在两条与直径 AB垂直的直线上。 （二）关于等腰三角形找点（作点）和求点的不同， 1、等腰三角形找点（作点）方法：以已知边为边长，作等腰三角形，运用两园一线法，在图 上找出存在点的个数，只找不求。 2、等腰三角形求点方法：以已知边为边长，在抛物线或坐标轴或对称轴上找点，与已知点构 成等腰三角形，先设所求点的坐标，然后根据两点间的距离公式求出三点间的线段长度，然后分 顶点进行讨论， 如：已知两点 A、B，在抛物线上求一点 C，使得三角形 ABC 为等腰三角形 解法：这是求点法：先运用两点间的距离公式分别求出线段AB BC AC的长度， 第二步，作假设，（1）以点 A 为顶点的两条腰相等，即AB=AC（2）以点B为顶点的两条腰相等，即 BA=BC （ 3）以点 C为顶点的两条腰相等，即CA=CB 第三步，根据以上等量关系，求出所求点的坐标 第四步进行检验，这一步是非常重要的，因为求出的有些点是不符合要求的。 如：已知两点 A、 B，在抛物线上求一点C，使得三角形 ABC 为等腰三角形 解法：这是求点法：先运用两点间的距离公式分别求出线段AB BC AC的长度， 第二步，作假设，（1）以点 A 为顶点的两条腰相等，即 AB=AC （2）以点 B 为顶点的两条腰相等，即 BA=BC （3）以点 C 为顶点的两条腰相等，即CA=CB 第三步，根据以上等量关系，求出所求点的坐标 第四步，进行检验，这一步是非常重要的，因为求出的有些点是不符合要求的。 （三）关于直角三角形找点和求点的方法 1、直角三角形找点（作点）方法：以已知边为边长，作直角三角形，运用两线一园法，在图 上找出存在点的个数，只找不求。所谓的两线就是指以已知边为直角边，过已知边的两个端点分 别作垂线与抛物线或坐标轴或对称轴的交点，就是所求的点；一圆就是以已知边为直径，以已知 边的中点作圆，与抛物线或坐标轴或对称轴的交点即为所求的点。 2、具体方法 （ 1） k1 k21； （2）三角形全等（注意寻找特殊角，如 30°、 60°、 45°、 90 °） （3）三角形相似；经常利用一线三等角模型 （4）勾股定理； 当题目中出现了特殊角时，优先考虑全等法三、二 次函数的应用： 专题05 动点与特殊三角形存在性问题大视野 【例题精讲】 题型一、等腰三角形存在性问题 例1. 【2019·黄石期中】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=2cm，E、F分别是AB、AC 的中点，动点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时动点Q从点B出发，沿BF方向匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ，设运动时间为ts（0＜t＜1），则当t=______时，△PQF为等腰三角形． 【答案】2. 【解析】 解：∵∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=2， ∴AC=2AB=4，BC=√42?22=2√3， ∵E、F分别是AB、AC的中点， ∴EF=1 2 BC=√3，BF= 1 2 AC=2，EF∥BC， 由题意得：EP=t，BQ=2t，∴PF=√3-t，FQ=2-2t， ①当PF =FQ 时， 则√3-t =2-2t ， 解得：t =2-√3； ②当PQ =FQ 时，过Q 作QD ⊥EF 于D ， 则PF =2DF ， ∵BF =CF ， ∴∠FBC =∠C =30°， 由上知，EF ∥BC ， ∴∠BFP =∠C =30°， 则DF DQ ，PF ， -t 2-2t ） 解得：t = 611 ； ③当PF =PQ 时，∠PFQ =∠PQF =30°， ∴∠FPQ =120°， 而在P 、Q 运动过程中，∠FPQ 最大为90°，所以此种情况不成立； 故答案为：2-√3或 611 +． 例2. 【2019·广州市番禺区期末】已知：如图，在Rt ∥ABC 中，∥C =90°，AB =5cm ，AC =3cm ，动点P 从点B 出发沿射线BC 以1cm /s 的速度移动，设运动的时间为t 秒． 抛物线与三角形的面积-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 抛物线与三角形的面积 抛物线与三角形面积相结合的问题涉及代数、几何的许多定理、公式，有一定的难度，近年来的中考试题中，经常出现抛物线与三角形面积结合的综合题，以考查学生的综合运用所学知识解决问题的能力。 这节课我们共同来探索一下顶点都在抛物线2y ax bx c =++上的三角形面积的求法。 1、已知抛物线: 224 2 3 3 y x x =--+ (1)求抛物线与坐标轴交点坐标及顶点坐标; (2)画出抛物线的草图; (3)设抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于C 点，顶点为D 。 求：①△DAB 和△CAB 的面积； ②四边形ABCD 的面积； ③ △ACD 的面积 (4)求直线AC 的解析式； （5）抛物线上有一动点P 在直线AC 上方， 问：是否存在一点P ，使△PAC 的面积最大，若存在，求出△PAC 的最大面积及P 点坐标； 若不存在，请说明理由。 2、如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点， （1）求该抛物线的解析式； （2）设（1）中的抛物线交y 轴与C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由. （3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由. A B C 练习：1、在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM ＝x ． （1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ； （2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切 （3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少 2、如图1，抛物线经过点A (4，0)、B （1，0)、C （0，－2）三点． （1）求此抛物线的解析式； （2）P 是抛物线上的一个动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以A 、P 、M 为顶点的三角形与△OAC 相似若存在，请求出符合条件的 点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在直线AC 上方的抛物线是有一点D ，使得△DCA 的面积最大，求出点D 的坐标． 图1 A B M N D 图 2 O A B C M N P 图 1 O A B M N 图 3 O 等腰三角形存在性问题 几何图形存在性问题是中考二次函数压轴题一大常见类型，等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形等均有涉及，本系列从等腰三角形开始，逐一介绍各种问题及常规解法． 等腰三角形存在性问题 【问题描述】 如图，点A坐标为（1,1），点B坐标为（4,3），在x轴上取点C使得△ABC是等腰三角形． 【几何法】“两圆一线”得坐标 （1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB． 【注意】若有三点共线的情况，则需排除． 作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求． C 21+23,0() C 11-23,0()C 1H =C 2H =13-1=23作AH ⊥x 轴于H 点，AH =1AC 1=AB=4-1()2+3-1()2=13 34C C 、同理可求，下求5C ． 显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果A 、B 均往下移一个单位，当点A 坐标为（1,0），点B 坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解： 故C 5坐标为（ 196,0） 解得：x = 136 3-x ()2+22=x 2 设AC 5=x ，则BC 5=x ，C 5H =3-x AH =3， BH =2 而对于本题的5C ，或许代数法更好用一些． 【代数法】表示线段构相等 （1）表示点：设点5C 坐标为（m ，0），又A 点坐标（1,1）、B 点坐标（4,3） ， （2）表示线段：5AC = 5BC （3）分类讨论：根据 55AC BC = ， （4）求解得答案：解得：236m =，故5C 坐标为23,06?? ??? ． 【小结】 几何法：（1）“两圆一线”作出点； （2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标． 代数法：（1）表示出三个点坐标A 、B 、C ； （2）由点坐标表示出三条线段：AB 、AC 、BC ； （3）根据题意要求取①AB =AC 、②AB =BC 、③AC =BC ； （4）列出方程求解． 问题总结： （1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上； （2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解； （3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口． 【例1】 （2）可用铅垂法，当点D坐标为() 2,6 -时，△ADE面积最大，最大值为14；（3）这个问题只涉及到A、E两点及直线x=-1（对称轴） ①当AE=AP时，以A为圆心，AE为半径画圆，与对称轴交点即为所求P点． ∵AE = 1 AP AH=3 ，∴ 1 PH 故(1P- 、(21, P-． ②当EA=EP时，以E点为圆心，EA为半径画圆，与对称轴交点即为所求P点． 过点E作EM垂直对称轴于M点，则EM=1， 34 P M P M === ，故(31,2 P- -、(41,2 P---． ③当P A=PE时，作AE的垂直平分线，与对称轴交点即为所求P点． 设() 5 1, P m -，()() 22 2 5 140 P A m =-++-，()() 22 2 5 =102 P E m --++ ∴()2 2921 m m +=++，解得：m=1． 故() 5 1,1 P-． 综上所述，P点坐标为(1 P-、(21, P -、(31,2 P- -、(41,2 P--、 () 5 1,1 P-． 【例2】 （1）223 y x x =--； （2）①当PM=PC时，（特殊角分析） 考虑∠PMC=45°，∴∠PCM=45°， 即△PCM是等腰直角三角形，P点坐标为（2，-3）； ②当MP =MC 时，（表示线段列方程） 设P 点坐标为()2,23m m m --，则M 点坐标为(),3m m -， 故线段()()223233PM m m m m m =----=-+ 故点M 作y 轴的垂线，垂足记为N ，则MN =m ， 考虑△MCN 是等腰直角三角形，故MC =， ∴23m m -+ ，解得3m =或0（舍）， 故P 点坐标为(3-． 综上所述，P 点坐标为（2，-3 ）或(3-． 【例3】 （1）234y x x =-++； （2）①考虑到∠DPM =45°，当DP =DM 时，即∠DMP =45°， 直线AM ：y =x +1， 联立方程：2341x x x -++=+， 解得：13x =，21x =-（舍）． 此时t =1． 抛物线与坐标轴交点构成的三角形问题--------思考与探索 面积篇 例1:已知抛物线3+2x +x －=y 2与x 轴交于A,B 两点，其中A 点位于B 点的左侧，与y 轴交于C 点，顶点为P ， _________=S A O C △ _________=S BO C △ _________=S CO P △ _________=S PAB △ _________=S PCB △ _________=S A CP △ 例：在平面直角坐标系中，有两点A （-1，0），B （3，0），如图，小敏发现所有过A ，B 两点的抛物线如果与y 轴负半轴交于点C ，M 为抛物线的顶点，那么△ACM 与△ACB 的面积比不变，请你求出这个比值。 对称篇 例2、如图，一元二次方程2230x x +-=的二根12x x ，（ 12x x < ）是抛物线2y ax bx c =++与x 轴的两个交点B,C 的横坐标，且此抛物线过A(3，6)点． （1）求此二次函数的解析式． （2）设此抛物线的顶点为p ，对称轴与线段AC 相交于点Q ，求点P 和点Q 的坐标． （3）在X 轴上有一动点M ，当MQ+MA 取得最小值时，求点M 的坐标 （4）设AC 与Y 轴交与D 点，E 点坐标为(0,1)，在X 轴上找一点F ，抛物线对称轴上找一点G ，使四边形AFGE 的周长最短，并求出当四边形周长最短时的点F 、G 点坐标，并求出四边形AFGE 的周长。 形状篇 1、已知抛物线c +bx +ax =y 2与x 轴正、负半轴分别交于A 、B 两点，与y 轴负半轴交于点C 。若OA=4，OB=1，∠ACB=90°，求抛物线解析式。 2、已知：抛物线与x 轴的交点坐标为A(-1,0)和B （3，0）,顶点为C,若∠ACB=90度. 问1：C 点的坐标是多少？ 问2：在抛物线的解析式中，=-ac b 42 3. 若题设中的A 、B 两点的坐标未知，而已知∠ACB=90度，你能求出 =-ac b 42吗？ 4. 从上面的探索中我们看到解析式中的△与∠ACB 有关，那么如果△ACB 是等边三角形，则△是多少？ 最后, ①思因果 ; ②思规律 ; ③思多解 ; ④思变通; ⑤思归类; ⑥思错误． 中考数学压轴题解题策略（3） 直角三角形的存在性问题解题策略 《挑战压轴题·中考数学》的作者上海马学斌 专题攻略 解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根． 一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程． 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便． 解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起． 如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便． 在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到． 怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）． 例题解析 例?如图1-1，在△ABC中，AB＝AC＝10，cos∠B＝4 5 ．D、E为线段BC上的两个 动点，且DE＝3（E在D右边），运动初始时D和B重合，当E和C重合时运动停止．过E 作EF//AC交AB于F，连结DF．设BD＝x，如果△BDF为直角三角形，求x的值． 图1-1 【解析】△BDF中，∠B是确定的锐角，那么按照直角顶点分类，直角三角形BDF存在两种情况．如果把夹∠B的两条边用含有x的式子表示出来，分两种情况列方程就可以了．如图1-2，作AH⊥BC，垂足为H，那么H是BC的中点． 在Rt△ABH中，AB＝10，cos∠B＝4 5 ，所以BH＝8．所以BC＝16． 由EF//AC，得BF BE BA BC =，即 3 1016 BF x+ =．所以BF＝ 5 (3) 8 x+． 图1-2 图1-3 图1-4二次函数与三角形综合题型
等腰三角形的存在性问题
二次函数与三角形的存在性问题的解法
抛物线中的三角形问题
二次函数和三角形的存在性问题的解法
专题05 动点与特殊三角形存在性问题大视野(解析版)
抛物线与三角形的面积
等腰三角形存在性问题及真题典例分析(含解析)
第1讲-特殊三角形存在性问题参考答案
抛物线与坐标轴交点构成的三角形问题
直角三角形的存在性问题解题策略
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