§9．8曲线与方程
1．曲线与方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：
(1)曲线上点的坐标都是________________．
(2)以这个方程的解为坐标的点都是______________．那么这个方程叫做
____________，这条曲线叫做_____________________________________________．2．求动点的轨迹方程的一般步骤
(1)建系——建立适当的坐标系．
(2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)．
(3)列式——列出动点P所满足的关系式．
(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程
式，并化简．
(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．
3．两曲线的交点
(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的
__________，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点，方程组________，两条曲线就没有交点．
(2)两条曲线有交点的________条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，
求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题．
[难点正本疑点清源]
1．求轨迹方程的常用方法
(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0；
(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的
方程，再由条件确定其待定系数；
(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出
动点的轨迹方程；
(4)代入转移法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，
y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程；
(5)参数法：当动点P(x，y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，
可考虑将x，y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程．
2．曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响．
1．与两条坐标轴的距离的积是常数k (k >0)的点的轨迹方程是______________． 2．直角坐标平面xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →
＝4，则点P 的轨迹方程是____________．
3．已知点A (－2,0)、B (3,0)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →
＝x 2－6，则点P 的轨迹方程是__________．
4．已知两定点A (－2,0)、B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积为________．
5．方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是
( )
A ．两条直线
B ．两条射线
C ．两条线段
D ．一条直线和一条射线
题型一 直接法求轨迹方程
例1 已知M (4,0)，N (1,0)，若动点P 满足MN →·MP →＝6|NP →
|． (1)求动点P 的轨迹C 的方程；
(2)设Q 是曲线C 上任意一点，求Q 到直线l ：x ＋2y －12＝0的距离的最小值． 探究提高 (1)用直接法求轨迹方程的步骤：建系，设标，列方程化简．其关键是根据条件列出方程来．
(2)求轨迹方程时，最后要注意它的完备性与纯粹性，多余的点要去掉，遗漏的点要补上．
(2011·课标全国)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－1)，B 点在直线
y ＝－3上，M 点满足MB →∥OA →，MA →·AB →＝MB →·BA →
，M 点的轨迹为曲线C ． (1)求C 的方程；
(2)P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 距离的最小值． 题型二 相关点法(坐标转移法)求轨迹方程
例2 已知△ABC ，A (－2,0)，B (0，－2)，第三个顶点C 在曲线y ＝3x 2－1上移动，求△ABC 的重心的轨迹方程．
探究提高 在上述问题中，动点C (主动点)在已知曲线上运动，动点G (被动点)依赖点C 的运动而运动，这种求轨迹问题所应用的方法称为“相关点法”． 其基本步骤为：
(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)；
(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式?
????
x 1＝f (x ，y )，
y 1＝g (x ，y )；
(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．
已知长为1＋2的线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，P
是AB 上一点，且AP →
＝
22
PB →，求点P 的轨迹C 的方程．
题型三 定义法求轨迹方程
例3 已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别是1和2，且|O 1O 2|＝4．动圆M 与圆O 1内切，又与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．
探究提高 求曲线的轨迹方程时，应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量．
如图，点A 为圆形纸片内不同于圆心
C 的定点，动点M 在圆周上，将纸片折起，使点
M 与点A 重合，设折痕m 交线段CM 于点N ．现 将圆形纸片放在平面直角坐标系xOy 中，设圆
C ：(x+1)2+y2=4a2 (a>1)，A(1,0)，记点N 的轨迹为曲线E ． (1)证明曲线E 是椭圆，并写出当a=2时该椭圆的标准方程；
(2)设直线l 过点C 和椭圆E 的上顶点B ，点A 关于直线l 的对称点为点Q ，若椭圆E 的离心率e ∈ ，求点Q 的纵坐标的取值范围．
23．参数法求轨迹方程
试题：(14分)已知抛物线y 2＝4px (p >0)，O 为顶点，A 、B 为抛物线上的两动点，且满足OA ⊥OB ，如果OM ⊥AB 于M 点，求点M 的轨迹方程．
审题视角 (1)点M 的运动是由A 点的运动引起的，而A 的变动又和OA 的斜率有关．(2)若OA 的斜率确定，A 的坐标确定，M 的坐标也确定，所以可选OA 的斜率为参数． 规范解答
解 设点M 的坐标为(x ，y)，直线OA 的
方程为y=kx ， [1分] 显然k ≠0，则直线OB 的方程为
y ＝－1
k
x ． [2分]
由?
????
y ＝kx ，y 2＝4px ， 解得A 点的坐标为????
4p k 2，4p k ，
类似地可得B 点的坐标为(4pk 2，－4pk )， [6分]
从而知当k ≠±1时，k AB ＝
4p ???
?
1k ＋k 4p ????1k 2－k 2＝
1
1k －k
．
故得直线AB 的方程为y ＋4pk ＝1
1k
－k (x －4pk 2)，
即????1k －k y ＋4p ＝x ， ① [9分]
直线OM 的方程为y ＝－????
1k －k x ． ② [10分] 可知M 点的坐标同时满足①②， 由①及②消去k 得4px ＝x 2＋y 2， 即(x －2p )2＋y 2＝4p 2 (x ≠0)，
[12分]
当k ＝±1时，容易验证M 点的坐标仍适合上述方程．
故点M 的轨迹方程为(x －2p )2＋y 2＝4p 2(x ≠0)，它表示以点(2p,0)为圆心，以2p 为半径的圆．
[14分]
批阅笔记 (1)本题通过引入参数、用参数法求解较为简捷．但很多考生找不到破解问题的切入口，无从入手．(2)个别考生由于参数选取不恰当，造成计算繁杂冗长，难以求出最终结论．(3)应用参数法求轨迹方程时，首先要选择恰当的参数，参数必须能刻画动点的运动变化，而且与动点坐标有直接的内在联系．如果需要，还应顾及消去参数的方便，选定参数之后，即可当作已知数，运用轨迹条件，求出动点的坐标，即得轨迹的参数方程，消去参数即得轨迹的普通方程．
方法与技巧 求轨迹的方法： (1)直接法
如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量(如距离与角)的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系转化为x 、y 的等式就得到曲线的轨迹方程． (2)定义法
其动点的轨迹符合某一基本轨迹(如直线与圆锥曲线)的定义，则可根据定义采用设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程．
在判断轨迹符合哪一个基本轨迹时，常常用几何性质列出动点满足的距离关系后，可判断轨迹是否满足圆锥曲线的定义．
定义法与其它求轨迹方程的思维方法不同之处在于：此方法通过曲线定义直接判断出所求曲线轨迹类型，再利用待定系数法求轨迹方程． (3)相关点法
当所求动点M 是随着另一动点P (称之为相关点)而运动．如果相关点P 所满足某一曲线方程，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关点代入曲线方程，就把相关
点所满足的方程转化为动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或坐标转移法． 失误与防范
1．求曲线方程时有已知曲线类型与未知曲线类型，一般当已知曲线类型时一般用待定系数法求方程；当未知曲线类型时常用求轨迹方程的方法求曲线方程． 2．求出方程后，一定要分析轨迹与方程是否具备纯粹性和完备性．
§9.8 曲线与方程
(时间：60分钟)
A 组 专项基础训练题组 一、选择题
1．f (x 0，y 0)＝0是点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的
( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是 ( )
A.x 29－y 216＝1
B.x 216－y 29＝1
C.x 29－y 216＝1 (x >3)
D.x 216－y 29
＝1 (x >4) 3．动点P 为椭圆x 2a 2＋y
2b 2＝1 (a >b >0)上异于椭圆顶点(±a,0)的一点，F 1、F 2为椭圆的两个
焦点，动圆C 与线段F 1P 、F 1F 2的延长线及线段PF 2相切，则圆心C 的轨迹为( ) A ．椭圆
B ．双曲线
C ．抛物线
D ．直线 4．有一动圆P 恒过定点F (a,0) (a >0)且与y 轴相交于点A 、B ，若△ABP 为正三角形，
则点P 的轨迹为
( )
A ．椭圆
B ．双曲线
C ．抛物线
D ．圆
二、填空题
5．过点P (1,1)且互相垂直的两条直线l 1与l 2分别与x 、y 轴交于A 、B 两点，则AB 中点M 的轨迹方程为____________．
6．点P 到点(1,1)和到直线x ＋2y ＝3的距离相等，则点P 的轨迹方程为____________． 7．已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是_______________________________________________________________________． 三、解答题
8．有一种大型商品，A 、B 两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后，回运的费用是：每单位距离A 地的运费是B 地运费的3倍，已知A 、B 两地间的距离为10千米，顾客选A 或选B 购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总
费用较低，求A 、B 两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点． B 组 专项能力提升题组 一、选择题
1．已知点M (－3,0)，N (3,0)，B (1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为
( )
A ．x 2－y 28＝1 (x >1)
B ．x 2－y
28＝1 (x <－1)
C ．x 2＋y 2
8＝1 (x >0) D ．x 2
－y 210＝1 (x >1)
2．(2010·重庆)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于
另一条直线的平面内的轨迹是
( )
A ．直线
B ．椭圆
C ．抛物线
D ．双曲线 3．点P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆上一点，过焦点作∠F 1PF 2外角平分线的垂线．垂足为M ，则点M 的轨迹是
( )
A ．圆
B ．椭圆
C ．双曲线
D ．抛物线
二、填空题
4．已知⊙O 的方程是x 2＋y 2－2＝0，⊙O ′的方程是 x 2＋y 2－8x ＋10＝0，若由动点P 向⊙O 和⊙O ′所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是___________________． 5．如图所示，正方体ABCD —A
1B 1C 1D 1的棱长为1，
点M 在AB 上，且AM ＝1
3AB ，点P 在平面ABCD
上，且动点P 到直线A 1D 1的距离的平方与P 到点 M 的距离的平方差为1，在平面直角坐标系 xAy 中，动点P 的轨迹方程是____________．
6． P 是椭圆x 2a 2＋y 2b
2＝1上的任意一点，F 1、F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→
，则动点Q 的轨迹方程是________________________________________． 三、解答题
7．已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆的圆心为点C . (1)求动点C 的轨迹方程；
(2)过点F 的直线l 2交轨迹于两点P 、Q ，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →
的最小值． 8．(2011·陕西)如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，
点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，
且|MD |＝4
5
|PD |.
(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为4
5
的直线被C 所截线段的长度．
答案
要点梳理
1．(1)这个方程的解 (2)曲线上的点 曲线的方程 方程的曲线 3．(1)公共解 无解 (2)充要 基础自测
1．xy ＝±k 2.x ＋2y －4＝0 3.y 2＝x 4．4π 5.D 题型分类·深度剖析
例1 解 (1)设动点P (x ，y )， 则MP →＝(x －4，y )，MN →
＝(－3,0)，
PN →＝(1－x ，－y )，由已知得
－3(x －4)＝6(1－x )2＋(－y )2，
化简得3x 2＋4y 2
＝12，即x 24＋y 23
＝1.
∴点P 的轨迹方程是椭圆C ：x 24＋y 2
3
＝1.
(2)由几何性质意义知，椭圆C 与平行于l 的切线l ′的距离等于Q 与l 的距离的最小值．设l ′：x ＋2y ＋D ＝0.将其代入椭圆方程消去x ，化简得：16y 2＋12Dy ＋3(D 2－4)＝0. ∴Δ＝144D 2－192(D 2－4)＝0?D ＝±4，
l ′和l 的距离的最小值为|12±4|
5.
∴点Q 与l 的距离的最小值为85
5
.
变式训练1 解 (1)设M (x ，y )，由已知得B (x ，－3)．又A (0，－1)， 所以MA →＝(－x ，－1－y )，MB →＝(0，－3－y )，AB →
＝(x ，－2)． 再由题意可知(MA →＋MB →)·AB →
＝0，
即(－x ，－4－2y )·(x ，－2)＝0.
所以曲线C 的方程为y ＝1
4
x 2－2.
(2)设P (x 0，y 0)为曲线C ：y ＝14x 2－2上一点．因为y ′＝12x ，所以l 的斜率为1
2x 0.
因此直线l 的方程为y －y 0＝1
2x 0(x －x 0)，
即x 0x －2y ＋2y 0－x 20＝0.
所以O 点到l 的距离d ＝|2y 0－x 20|x 20＋4
.
又y 0＝1
4x 20－2，
所以d ＝1
2
x 20＋4x 20＋4
＝12? ??
??
x 20＋4＋4x 20＋4≥2. 当x 0＝0时取等号，所以O 点到l 距离的最小值为2.
例2 解 设△ABC 的重心G 的坐标为(x ，y )，顶点C 的坐标为(x 1，y 1)，
∴y 1＝3x 21－1.①
由三角形的重心坐标公式 ???
x ＝x 1－2
3
，y ＝y 1
－23，
∴?
????
x 1＝3x ＋2，y 1＝3y ＋2. 代入①中，并整理，得y ＝9x 2＋12x ＋3. ∴△ABC 的重心的轨迹方程为 y ＝9x 2＋12x ＋3.
变式训练2 解 设A (x 0,0)，B (0，y 0)， P (x ，y )，AP →
＝
22
PB →， 又AP →＝(x －x 0，y )，PB →
＝(－x ，y 0－y )，
所以x －x 0＝－22x ，y ＝2
2(y 0－y )，
得x 0＝?
???1＋2
2x ，y 0＝(1＋2)y .
因为|AB |＝1＋2，即x 20＋y 20＝(1＋2)2，
所以?????
???1＋22x 2＋[(1＋2)y ]2＝(1＋2)2
，化简得x 22＋y 2＝1.
∴点P 的轨迹方程为x
22＋y 2＝1.
例3 解 如图所示，以O1O2的中点O 为原点， O1O2所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．
由|O1O2|=4，得O1(-2,0)、O2(2,0)．设动圆M 的 半径为r ，则由动圆M 与圆O1内切，有|MO1|=r-1； 由动圆M 与圆O2外切，有|MO2|=r+2.
∴|MO2|-|MO1|=3.
∴点M 的轨迹是以O1、O2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支．
∴a ＝32，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝74
.
∴点M 的轨迹方程为4x 29－4y 27＝1 (x ≤－3
2)．
变式训练3 (1)证明 依题意，直线m 为线段 AM 的垂直平分线，∴|NA|=|NM|. ∴|NC|+|NA| =|NC|+|NM|
=|CM|=2a>2，∴N 的轨迹是以C 、A 为焦点，
长轴长为2a ，焦距为2的椭圆． 当a=2时，长轴长为2a=4，焦距为2c=2， ∴b2=a2-c2=3.
∴椭圆的标准方程为x 24＋y 2
3
＝1.
(2)解 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1 (a >b >0)．
由(1)知：a 2－b 2＝1.又C (－1,0)，B (0，b )，
∴直线l 的方程为x －1＋y
b
＝1.
即bx －y ＋b ＝0.
设Q (x ，y )，因为点Q 与点A (1,0)关于直线l 对称，∴???
y
x －1·
b ＝－1，b ·x ＋12－y
2＋b ＝0.
消去x 得y ＝4b
b 2＋1
.
∵离心率e ∈???
?12，3
2，∴14≤e 2≤34，
即14≤1a 2≤34.∴4
3≤a 2≤4. ∴43≤b 2＋1≤4，即3
3
≤b ≤3， ∵y ＝4b b 2＋1
＝4
b ＋1b
≤2，当且仅当b ＝1时取等号．
又当b ＝3时，y ＝3；当b ＝3
3
时，y ＝3，
∴3≤y ≤2.
∴点Q 的纵坐标的取值范围是[3，2]． 课时规范训练 A 组
1．C 2.C 3.D 4.B 5.x ＋y －1＝0 6．2x －y －1＝0 7.x 2＋y 2＝4 (x ≠±2) 8．解 如图所示，以AB 所确定的直线为 x 轴，AB 中点O 为坐标原点建立平面直
角坐标系，则A (－5,0)，B (5,0)．设某地P 的坐标为(x ，y )，且P 地居民选择A 地购 买商品便宜，并设A 地的运费为3a 元/千米， B 地的运费为a 元/千米． ∴价格＋x A 地运费≤价格＋x B 地运费， 即3a (x ＋5)2＋y 2≤a (x －5)2＋y 2. ∵a >0，∴3(x ＋5)2＋y 2≤(x －5)2＋y 2.
两边平方，得9(x ＋5)2＋9y 2≤(x －5)2＋y 2，即????x ＋2542＋y 2≤???
?15
42. ∴以点C ????－254，0为圆心，15
4
为半径的圆是这两地购货的分界线；圆C 内居民从A
地购货便宜；圆C 外的居民从B 地购货便宜；圆C 上的居民从A 、B 两地购货的总费用相等，可随意从A 、B 两地之一购货． B 组
1．A 2.D 3.A 4.x ＝32 5．y 2＝23x －19 6.x 24a 2＋y 24b 2＝1. 7．解 (1)由题设知点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离，
∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线，∴动点C 的轨迹方程为x 2＝4y . (2)由题意知，直线l 2的方程可设为y ＝kx ＋1 (k ≠0)，与抛物线方程联立消去y ， 得x 2－4kx －4＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 又易得点R 的坐标为???
?－2
k ，－1， ∴RP →·RQ →
＝????x 1＋2k ，y 1＋1·????x 2＋2k ，y 2＋1 ＝?
???x 1＋2k ????x 2＋2
k ＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋????2k ＋2k (x 1＋x 2)＋4k
2＋4＝－4(1＋k 2)＋4k ????2k ＋2k ＋4k 2＋4 ＝4????k 2＋1
k 2＋8. ∵k 2＋1
k 2≥2，当且仅当k 2＝1时取等号，
∴RP →·RQ →≥4×2＋8＝16，即RP →·RQ →
的最小值为16.
8．解 (1)设M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x P ，y P )，由已知得?????
x P ＝x ，y P ＝5
4y ， ∵P 在圆上，∴x 2＋(5
4y )2＝25，
即轨迹C 的方程为x 225＋y 2
16＝1.
(2)过点(3,0)且斜率为4
5
的直线方程为
y ＝4
5(x －3)， 设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
将直线方程y ＝4
5(x －3)代入C 的方程，得
x 225＋(x －3)2
25
＝1，即x 2－3x －8＝0. ∴x 1＝3－412，x 2＝3＋412.
∴线段AB 的长度为 |AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝4125×41＝41
5
曲线与方程 命题人：褚晓清 审核人：王焕功 一、选择题 1、方程(x 2＋y 2－4) x ＋y ＋1＝0的曲线形状是( ) 2、已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1，2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( ) A ．2x ＋y ＋1＝0 B ．2x －y －5＝0 C ．2x －y －1＝0 D ．2x －y ＋5＝0 3、已知命题“曲线C 上的点的坐标是方程(,)0f x y =的解”是正确的，则下列命题中正确的是 A ．满足方程(,)0f x y =的点都在曲线C 上 B ．方程(,)0f x y =是曲线 C 的方程 C ．方程(,)0f x y =所表示的曲线不一定是C D ．以上说法都正确 4、方程2(326)[log (2)3]0x y x y --+-=表示的图形经过点(0,1)A -，(2,3)B ，(2,0)C ，57(,)34 D -中的 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 52(2)0y +=表示的图形是 A ．圆 B ．两条直线 C ．一个点 D ．两个点 6、方程y =- A B C D
7、一条线段的长等于10，两端点,A B 分别在x 轴和y 轴上滑动，M 在线段AB 上 且4AM MB =，则点M 的轨迹方程是 A ．221664x y += B ． 221664x y += C ．22168x y += D ．22168x y += 8、“点M 在曲线||y x =上”是“点M 到两坐标轴距离相等”的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 9、已知(2,0)M -，(2,0)N ，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是 A ． 222x y += B ．224x y += C ．222(2)x y x +=≠± D ．224(2)x y x +=≠± 10、一动点C 在曲线221x y +=上移动时，它和定点B (3，0)连线的中点P 的轨迹方程是 A ．22(3)4x y ++= B ．22(3)1x y -+= C ．22(23)41x y -+= D ．223()12 x y ++= 11、已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23 ＝1的左、右焦点，点P 为椭圆C 上的动点，则△PF 1F 2的重心G 的轨迹方程为( ) A.x 236＋y 227＝1(y ≠0) B.4x 29 ＋y 2＝1(y ≠0) C.9x 24＋3y 2＝1(y ≠0) D ．x 2＋4y 23＝1(y ≠0) 12、设圆C 与圆x 2＋(y －3)2 ＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为( ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．圆 二、填空题 13、已知△ABC 的顶点B (0，0)，C (5，0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为__________． 14、曲线y =||0()y ax a +=∈R 的交点有______个． 15、已知两定点A (－2，0)，B (1，0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的 轨迹所包围的图形的面积为__________．
高考复习之参数方程 一、考纲要求 1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程. 2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点. 二、知识结构 1.直线的参数方程 (1)标准式 过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是 ? ? ?+=+=a t y y a t x x sin cos 00 (t 为参数) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α= a b 的直线的参数方程是 ?? ?+=+=bt y y at x x 00(t 不参数) ② 在一般式②中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义，若a 2 +b 2 =1,②即为标准式，此 时， ｜ t ｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2+b 2 ≠1，则动点P 到定点P 0的距离是 22b a +｜t ｜. 直线参数方程的应用 设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ? ??+=+=a t y y a t x x sin cos 00 （t 为参数） 若P 1、P 2是l 上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，则 (1)P 1、P 2两点的坐标分别是 (x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α) (x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α)； (2)｜P 1P 2｜=｜t 1-t 2｜; (3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ，则 t= 2 2 1t t + 中点P 到定点P 0的距离｜PP 0｜=｜t ｜=｜2 2 1t t +｜ (4)若P 0为线段P 1P 2的中点，则 t 1+t 2=0.
第八讲曲线与方程 ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知识梳理·双基自测 知识梳理 知识点一曲线与方程的定义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系： 那么，这个方程叫做__曲线__的方程；这条曲线叫做__方程__的曲线． 知识点二求动点的轨迹方程的基本步骤 重要结论 1．“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件． 2．求轨迹问题常用的数学思想 (1)函数与方程思想：求平面曲线的轨迹方程就是将几何条件(性质)表示为动点坐标x，y 的方程及函数关系． (2)数形结合思想：由曲线的几何性质求曲线方程是“数”与“形”的有机结合． (3)等价转化思想：通过坐标系使“数”与“形”相互结合，在解决问题时又需要相互转化．
双基自测 题组一 走出误区 1．(多选题)下列结论错误的是( ABCD ) A ．方程x 2＋xy ＝x 的曲线是一个点和一条直线 B ．到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x 2＝y 2 C ．y ＝kx 与x ＝1 k y 表示同一直线 D ．动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的 题组二 走进教材 2．(必修2P 37T3)已知点F (14，0)，直线l ：x ＝－1 4，点B 是l 上的动点，若过点B 垂直于 y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( D ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．圆 D ．抛物线 [解析] 由已知|MF |＝|MB |，根据抛物线的定义知，点M 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线． 题组三 考题再现 3．(2019·广东汕头模拟)一动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则此动圆必过定点( B ) A ．(4,0) B ．(2,0) C ．(0,2) D ．(0,0) [解析] 圆心C 在抛物线上，设与直线x ＋2＝0相切的切点为A ，与x 轴交点为M ，由抛物线的定义可知，CA ＝CM ＝R ，直线x ＋2＝0为抛物线的准线，故根据抛物线的定义得到该圆必过抛物线的焦点(2,0)，故选B ． 4．(2019·长春模拟)如图所示，A 是圆O 内一定点，B 是圆周上一个动点，AB 的中垂线CD 与OB 交于点E ，则点E 的轨迹是( B )
曲线和方程练习题 一、选择题 1、（2014·安徽高考文科·Ｔ3）抛物线2 14 y x = 的准线方程是（ ） A. 1-=y B. 2-=y C. 1-=x D. 2-=x 【解题提示】 将抛物线化为标准形式即可得出。 【解析】选A 。22 144 y x x y = ?，所以抛物线的准线方程是y=-1. 2. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T10) (2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T10)设F 为抛物线C:y 2=3x 的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点,则 AB = ( ) A. B.6 C.12 D. 【解题提示】画出图形,利用抛物线的定义求解. 【解析】选C.设AF=2m,BF=2n,F 3,04?? ??? .则由抛物线的定义和直角三角形知识可得, 2m=2· 34·34n,解得m=32 ),n=3 2 所以m+n=6. AB=AF+BF=2m+2n=12.故选C. 3. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T10)设F 为抛物线C:y 2=3x 的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( ) A. 4 B. 8 C. 6332 D. 9 4 【解题提示】将三角形OAB 的面积通过焦点“一分为二”,设出AF,BF,利用抛物线的定义求得面积. 【解析】选D.设点A,B 分别在第一和第四象限,AF=2m,BF=2n,则由抛物线的定义和直角三角形知识可 得,2m=2· 34+m,2n=2·34-n,解得m=32 (2+),n=3 2 (2-),所以m+n=6.所以S △OAB =1324?·(m+n)=94 .故选D. 4. （2014·四川高考理科·Ｔ10）已知F 为抛物线x y =2 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两 侧，2OA OB ?=u u u r u u u r （其中O 为坐标原点），则ABO ?与AFO ?面积之和的最小值是（ ） A. 2 B.3 C. 8 【解题提示】
§8.圆锥曲线方程 知识要点 一、椭圆方程. 1. 椭圆方程的第一定义：为端点的线段 以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2, 2, 2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+ ⑴①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x 轴上：)0(12 222 b a b y a x =+ . ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：)0(12 22 2 b a b x a y =+ . ②一般方程：)0,0(122 B A By Ax =+. ③椭圆的标准方程：12 22 2=+ b y a x 的参数方程为?? ?==θ θsin cos b y a x （一象限θ应是属于20π θ ）. ⑵①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±. ②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2. ③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -. ④焦距：2221,2b a c c F F -==. ⑤准线：c a x 2±=或c a y 2 ±=. ⑥离心率：)10( e a c e =. ⑦焦点半径： i. 设),(00y x P 为椭圆)0(12 22 2 b a b y a x =+上的一点，21,F F 为左、右焦点，则 ii.设),(00y x P 为椭圆 )0(12 22 2 b a a y b x =+ 上的一点，21,F F 为上、下焦点，则 由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002 2002 01 x a ex x c a e pF x ex a c a x e pF -=-=+=+=归结起来为“左加右减”. 注意：椭圆参数方程的推导：得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆. ⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：),(222 2a b c a b d -=和),(2a b c ⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆 )0(12 22 2 b a b y a x =+的离心率是)(22b a c a c e -== ，方程t t b y a x (2 22 2=+是大于0的参数，)0 b a 的离心率也是a c e = 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. ⑸若P 是椭圆：12 22 2=+ b y a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ?的面积为2 tan 2θ b （用 余弦定理与a PF PF 221=+可得）. 若是双曲线，则面积为2 cot 2θ ?b . ?-=+=0201,ex a PF ex a PF ? -=+=0201,ey a PF ey a PF
9．5曲线与方程 1．曲线与方程 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系： (1)______________________________________； (2)______________________________________． 那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线． 2．求曲线方程的一般步骤 (1)建立适当的__________，用有序实数对(x，y)表示曲线上____________M的坐标； (2)写出__________________的点M的集合：P＝{M | p(M)}； (3)用__________表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0； (4)化方程f(x，y)＝0为____________形式； (5)说明以化简后的方程的________为坐标的________都在曲线上． 注：步骤(5)可以省略不写，如有特殊情况，可以作适当说明，另外，也可以根据情况省略步骤(2)． 3．求曲线的轨迹方程的常用方法 (1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系f(x，y)＝0.也就是：建系设点、列式、代换、化简、证明，最后的证明可以省略，必要时加以说明． (2)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知的曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程． (3)待定系数法：已知所求的曲线类型，先根据条件设出曲线方程，再由条件确定其待定系数． (4)相关点法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，首先用x，y表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得到要求的轨迹方程． (5)交轨法：动点P(x，y)是两动直线(或曲线)的交点，解决此类问题通常是通过解方程组得到交点(含参数)的坐标，再消去参数求出所求的轨迹方程． (6)参数法：当动点P(x，y)的坐标之间的关系不易找到，可考虑将x，y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得方程f(x，y)＝0. (4)、(5)两种方法本质上也是参数法，只不过是多参数的参数方程或是隐性式的参数方程． 自查自纠 1．(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解 (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 2．(1)坐标系任意一点(2)适合条件p (3)坐标(4)最简(5)解点 方程x2＋xy＋x＝0表示的曲线是()
椭圆 1、椭圆的第一定义：平面一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。. 注意：若)(2121 F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的 轨迹无图形. 2、椭圆的标准方程 1）．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：122 22=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -=； 2）．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：122 22=+b x a y )0(>>b a ，其中222b a c -=； 注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示： 221x y m n += 或者 mx 2+ny 2=1 。 3、椭圆：122 22=+b y a x )0(>>b a 的简单几何性质 （1）对称性：对于椭圆标准方程122 22=+b y a x )0(>>b a ：是以x 轴、y 轴 为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对 称中心称为椭圆的中心。 （2）围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。 （3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。②椭圆 122 22=+b y a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B 。 ③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=,b B B 221=。 a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 （4）离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作a c a c e == 22。②因为)0(>>c a ，所以e 的取值围是)10(<
8 曲线与方程 一、选择题(每小题7分，共35分) 1．f (x 0，y 0)＝0是点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0的曲线是( ) A ．一条直线和一条双曲线 B ．两条双曲线 C ．两个点 D ．以上答案都不对 3．如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一 动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设 CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆 4．有一动圆P 恒过定点F (a,0)(a >0)且与y 轴相交于点A 、B ，若△ABP 为正三角形，则点 P 的轨迹为( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线 5．到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平 面内的轨迹是( ) A ．直线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．双曲线 二、填空题(每小题6分，共24分) 6．过点P (1,1)且互相垂直的两条直线l 1与l 2分别与x 、y 轴交于A 、B 两点，则AB 中点M 的轨迹方程为____________． 7．点P 到点(1,1)和到直线x ＋2y ＝3的距离相等，则点P 的轨迹方程为____________． 8．P 是椭圆b y a x 2222 =1上任意一点,F F 2 1,是它的两个焦点，O 为坐标原点,OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是______________． 9．已知两条直线l 1：2x －3y ＋2＝0和l 2：3x －2y ＋3＝0，有一动圆(圆心和半径都动)与l 1、 l 2都相交，且l 1、l 2被圆截得的弦长分别是定值26和24，则圆心的轨迹方程是____________．
第8讲 曲线与方程 基础知识整合 1．曲线与方程 在平面直角坐标系中，如果某曲线C (看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上点的坐标都是01这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都在02曲线上. 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线． 2．曲线的交点 设曲线C 1的方程为F 1(x ，y )＝0，曲线C 2的方程为F 2(x ，y )＝0，则C 1，C 2的交点坐标即为方程组??? F 1(x ，y )＝0， F 2(x ，y )＝0的03实数解，若此方程组无解，则两曲 线无交点． 3．求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系——建立适当的坐标系； (2)设点——设轨迹上的任一点P (x ，y )； (3)列式——列出动点P 所满足的关系式； (4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x ，y 的方程式，并化简； (5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程． 1．“曲线C 是方程f (x ，y )＝0的曲线”是“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”的充分不必要条件． 2．求轨迹问题常用的数学思想 (1)函数与方程思想：求平面曲线的轨迹方程就是将几何条件(性质)表示为动点坐标x ，y 的方程及函数关系．
(2)数形结合思想：由曲线的几何性质求曲线方程是“数”与“形”的有机结合． (3)等价转化思想：通过坐标系使“数”与“形”相互结合，在解决问题时又需要相互转化． 1．(2019·云南质量检测)已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为() A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4 C．x2＋y2＝2(x≠±2) D．x2＋y2＝4(x≠±2) 答案 D 解析MN的中点为原点O，易知|OP|＝1 2|MN|＝2，得P的轨迹是以原点O 为圆心，2为半径的圆，除去与x轴的两个交点，即顶点P的轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)，故选D． 2．(2019·金华模拟)已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是() A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0 C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0 答案 D 解析设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0，得Q点的轨迹方程为2x－y＋5＝0. 3．已知平面内有一条线段AB，其长度为4，动点P满足|P A|－|PB|＝3，O为AB的中点，则|OP|的最小值为() A．1 B．3 2 C．2 D．3 答案 B 解析以AB的中点为原点，中垂线为y轴建立直角坐标系，P点的轨迹为双曲线，得c＝2，a＝1.5，所以|OP|min＝a＝1.5.
第8讲 曲线与方程 一、选择题 1．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为( )． A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 解析 依题意，点P 到直线x ＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P 的轨迹是抛物线． 答案 D 2． 动点P (x ，y )满足5x －1 2 y －2 2 ＝|3x ＋4y －11|，则点P 的轨迹 是 ( )． A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．直线 解析 设定点F (1,2)，定直线l ：3x ＋4y －11＝0，则|PF |＝ x －1 2 y －2 2 ，点P 到直线l 的距离d ＝|3x ＋4y －11| 5 . 由已知得|PF | d ＝1，但注意到点F (1,2)恰在直线l 上，所以点P 的轨迹是直 线．选D. 答案 D 3．设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为 ( )． A.4x 221－4y 2 25＝1 B.4x 221＋4y 2 25＝1 C.4x 225－4y 2 21 ＝1 D.4x 225＋4y 2 21 ＝1 解析 M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |，∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹为椭圆，∴
a ＝52，c ＝1，则 b 2＝a 2－ c 2＝214 ， ∴椭圆的标准方程为4x 225＋4y 2 21＝1. 答案 D 4．在△ABC 中，A 为动点，B ，C 为定点，B ? ? ???－ a 2，0，C ? ????a 2，0且满足条件 sin C －sin B ＝1 2sin A ，则动点A 的轨迹方程是( ) A.16x 2 a 2－16y 2 15a 2＝1(y ≠0) B.16y 2a 2－16x 2 3a 2＝1(x ≠0) C.16x 2a 2－16y 2 15a 2＝1(y ≠0)的左支 D.16x 2a 2－16y 2 3a 2＝1(y ≠0)的右支 解析：sin C －sin B ＝12sin A ，由正弦定理得|AB |－|AC |＝12|BC |＝12a (定值)． ∴A 点的轨迹是以B ，C 为焦点的双曲线的右支，其中实半轴长为a 4，焦距为 |BC |＝a . ∴虚半轴长为? ????a 22－? ?? ??a 42 ＝34a ，由双曲线标准方程得动点A 的轨迹方程 为16x 2 a 2－16y 2 3a 2＝1(y ≠0)的右支． 答案：D 5．正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝3 7 .动点 P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为( )． A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 解析 当E 、F 分别为AB 、BC 中点时，显然碰撞的结果为4，当E 、F 分别为
圆锥曲线与方程单元知识总结、公式及规律 一、圆锥曲线 1．椭圆 (1)定义 定义1：平面内一个动点到两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)，这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点)． 定义2：点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常 数＝＜＜时，这个点的轨迹是椭圆． e (0e 1)c a (2)图形和标准方程 图－的标准方程为：＋＝＞＞图－的标准方程为：＋＝＞＞811(a b 0) 821(a b 0) x a y b x b y a 222 2222 2 (3)几何性质
2．双曲线 (1)定义 定义1：平面内与两个定点F F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点 1、
的轨迹叫做双曲线(这两个定点叫双曲线的焦点)． 定义2：动点到一定点的距离与它到一条定直线的距离之比是常数e(e＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线(这定点叫做双曲线的焦点)． (2)图形和标准方程 图8－3的标准方程为： x a y b 2 2 2 2 －＝＞，＞ 1(a0b0) 图8－4的标准方程为： y a x b 2 2 2 2 －＝＞，＞ 1(a0b0) (3)几何性质
3．抛物线 (1)定义 平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． (2)抛物线的标准方程，类型及几何性质，见下表： ①抛物线的标准方程有以下特点：都以原点为顶点，以一条坐标轴为对称轴；方程不同，开口方向不同；焦点在对称轴上，顶点到焦点的距离等于顶点到准线距离． ②p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离． ③弦长公式：设直线为＝＋抛物线为＝，＝y kx b y 2px |AB|212+k |x x ||y y |2121－＝－11 2+ k 焦点弦长公式：|AB|＝p ＋x 1＋x 2 4．圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义 与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线，定点叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率，用e 表示，当0＜e ＜1时，是椭圆，当e ＞1时，是双曲线，当e ＝1时，是抛物线． 二、利用平移化简二元二次方程 1．定义 缺xy 项的二元二次方程Ax 2＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(A 、C 不同时为0)※，通过配方和平移，化为圆型或椭圆型或双曲线型或抛物线型方程的标准形式的过程，称为利用平移化简二元二次方程． A ＝C 是方程※为圆的方程的必要条件． A 与C 同号是方程※为椭圆的方程的必要条件． A 与C 异号是方程※为双曲线的方程的必要条件． A 与C 中仅有一个为0是方程※为抛物线方程的必要条件．
9-8曲线与方程(理)
一、选择题 1．到点F (0,4)的距离比它到直线y ＝－5的距离小1的动点M 的轨迹方程为( ) A ．y ＝16x 2 B ．y ＝－16x 2 C ．x 2＝16y D ．x 2＝－16y [答案] C [解析] ∵动点M 到点F (0,4)的距离比它到直线y ＝－5的距离小1，∴动点M 到点F (0,4)的距离与它到直线y ＝－4的距离相等．根据抛物线的定义可得点M 的轨迹是以F (0,4)为焦点，以直线y ＝－4为准线的抛物线，其标准方程为x 2＝16y ，故选C. 2．(2012·山东实验中学模拟)已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 满足PM →·PN → ＝0，则点P 的轨迹方程为( ) A.x 216 ＋y 2＝1 B ．x 2＋y 2＝4 C ．y 2－x 2＝8 D ．x 2＋y 2＝8 [答案] B [解析] 设点P 的坐标为(x ，y )，即PM →·PN → ＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝－4＋x 2＋y 2＝0，即得点P 的轨迹为x 2＋y 2＝4.
3．(2012·珠海模拟)方程(x ＋y －1)x 2＋y 2－4＝0，表示的曲线是( ) A ．一直线与一圆 B ．一直线与一半圆 C ．两射线与一圆 D ．两射线与一半圆 [答案] C [解析] 由式可知??? x ＋y －1＝0x 2＋y 2－4≥0，或x 2＋y 2－4＝0，前者表示直线x ＋y －1＝0在圆x 2＋y 2＝4上及圆外的部分，后者表示圆x 2＋y 2＝4，所以选C. 4．(2012·山东潍坊)已知圆x 2＋y 2＝4，过点A (4,0)作圆的割线ABC ，则弦BC 中点的轨迹方程为( ) A ．(x －1)2＋y 2＝4(－1≤x <12 ) B ．(x －1)2＋y 2＝4(0≤x <1) C ．(x －2)2＋y 2＝4(－1≤x <12 ) D ．(x －2)2＋y 2＝4(0≤x <1) [答案] D [解析] 由圆的几何性质知，BC 的中点到A 与圆心连线的中点的距离为2，即方程为(x －2)2＋y 2＝4，又中点在圆内，∴0≤x <1. 5．F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的两焦点，P 是椭圆上任一点，过一焦点引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，则垂足Q 的轨迹为( )
高二数学第二章曲线与方程学案 学习目标： 1、理解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”的含义； 2、掌握求曲线的方程的方法及一般步骤； 学习重点：理解曲线和方程的概念，掌握求曲线的方程的方法及一般步骤； 学习难点：曲线和方程概念的理解； 学习过程： 完成教学目标1：理解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”的含义； 新授知识：曲线的方程与方程的曲线的概念 一般地，在直角坐标系中，如果其曲线C 上的点与一个二元方程f (x ,y )=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点； 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线. 例1、判断下列结论的正误并说明理由 （1）过点A （3，0）且垂直于x 轴的直线为x=3 ； （2）到x 轴距离为2的点的轨迹方程为y=2 ； （3）到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程为xy=1 ； 练习：1、到两坐标轴距离相等的点组成的直线方程是0=-y x 吗？ 2、已知等腰三角形三个顶点的坐标是)3,0(A ，)0,2(-B ，)0,2(C ，中线O AO (为原点）的 方程是0=x 吗？为什么？ 3、若曲线C 上的点的坐标满足方程(,)0f x y =，则下列说法正确的是（ ） A.曲线C 的方程是(,)0f x y = B.方程(,)0f x y =的曲线是C C.坐标不满足方程(,)0f x y =的点都不在曲线C 上 D.坐标满足方程(,)0f x y =的点都在曲线C 上 例2、已知方程252 2=+by ax 的曲线经过点)3 5,0(A 和点)1,1(B ，求a 、b 的值。 练习：已知方程 2 2 25x y +=表示的曲线C 经过点)A m ，求m 的值。 完成教学目标2：掌握求曲线的方程的方法及一般步骤； 类型一：待定系数法求轨迹方程（设出标准方程，根据题意求出a ，b ，p ） 例1：已知A,B,C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆的中心O ， 且0=?,||2||=,求椭圆的方程。 练习：已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．求椭圆C 的标准方程； 类型二：直接法求轨迹方程（根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，即把这种关系“翻译”成含x ,y 的等式就得到曲线的轨迹方程了。注意：是否应该建立适当的坐标系） 例2：已知点Ｆ（１，０），直线ｌ：x ＝－１，Ｐ为平面上的动点，过点Ｐ作直线ｌ的垂线，垂 足为点Ｑ，且FQ FP QF QP ?=?,求动点Ｐ的轨迹Ｃ的方程； **练习：已知动点M 到定点A （1,0）与到定直线l ：x=3的距离之和等于4，求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？
（鲁京津琼专用）高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第8 讲曲线与方程练习（含解析） 第8讲 曲线与方程 一、选择题 1.方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是( ) A.两条直线 B.两条射线 C.两条线段 D.一条直线和一条射线 解析 原方程可化为? ????2x ＋3y －1＝0， x －3≥0或 x －3－1＝0，即2x ＋3y －1＝0(x ≥3)或x ＝4， 故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线. 答案 D 2.(2017·衡水模拟)若方程x 2 ＋y 2 a ＝1(a 是常数)，则下列结论正确的是( ) A.任意实数a 方程表示椭圆 B.存在实数a 方程表示椭圆 C.任意实数a 方程表示双曲线 D.存在实数a 方程表示抛物线 解析 当a >0且a ≠1时，方程表示椭圆，故选B. 答案 B 3.(2017·长春模拟)设圆(x ＋1)2 ＋y 2 ＝25的圆心为C ，A (1，0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点.线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( ) A.4x 2 21－4y 2 25＝1 B.4x 221＋4y 2 25＝1 C.4x 2 25－4y 2 21 ＝1 D.4x 2 25＋4y 2 21 ＝1 解析 ∵M 为AQ 的垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |，∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹是以定点C ，A 为焦点的椭圆. ∴a ＝52，∴c ＝1，则b 2＝a 2－c 2 ＝214， ∴M 的轨迹方程为4x 2 25＋4y 2 21＝1. 答案 D 4.设点A 为圆(x －1)2 ＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA |＝1，则点P 的轨迹方程是( ) A.y 2 ＝2x B.(x －1)2＋y 2 ＝4 C.y 2＝－2x D.(x －1)2 ＋y 2 ＝2
§8.圆锥曲线方程 知识要点 一、椭圆方程. 1. 椭圆方程的第一定义：为端点的线段 以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2, 2, 2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+ ⑴①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x 轴上：)0(12 222 b a b y a x =+ . ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：)0(12 22 2 b a b x a y =+ . ②一般方程：)0,0(122 B A By Ax =+. ③椭圆的标准方程：122 2 2=+ b y a x 的参数方程为?? ?==θ θsin cos b y a x （一象限θ应是属于20π θ ）. ⑵①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±. > ②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2. ③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -. ④焦距：2221,2b a c c F F -==. ⑤准线：c a x 2±=或c a y 2 ±=. ⑥离心率：)10( e a c e =. ⑦焦点半径： i. 设),(00y x P 为椭圆 )0(12222 b a b y a x =+ 上的一点，21,F F 为左、右焦点，则 》 ii.设),(00y x P 为椭圆)0(12 22 2 b a a y b x =+ 上的一点，21,F F 为上、下焦点，则 由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002 200201 x a ex x c a e pF x ex a c a x e pF -=-=+=+=归结起来为“左加右减”. 注意：椭圆参数方程的推导：得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆. ⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：),(222 2a b c a b d -=和),(2a b c ⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆 )0(12 22 2 b a b y a x =+的离心率是)(22b a c a c e -== ，方程t t b y a x (2 22 2=+是大于0的参数，)0 b a 的离心率也是a c e = 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. ⑸若P 是椭圆： 12 22 2=+b y a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ?的面积为2 tan 2θ b （用 ? -=+=0201,ex a PF ex a PF ? -=+=0201,ey a PF ey a PF
曲线与方程、圆的方程 江苏 郑邦锁 1．曲线C 的方程为:f(x,y)=0?曲线C 上任意一点P （x 0,y 0）的坐标满足方程f(x,y)=0，即f （x 0,y 0）=0；且以f(x,y)=0的任意一组解（x 0,y 0）为坐标的点P （x 0,y 0）在曲线C 上。 依据该定义：已知点在曲线上即知点的坐标满足曲线方程；求证点在曲线上也只需证点的坐标满足曲线方程。求动点P(x,y)的轨迹方程即求点P 的坐标(x,y)满足的方程（等式）。求动点轨迹方程的步骤：①建系，写（设）出相关点的坐标、线的方程，动点坐标一般设为(x,y)，②分析动点满足的条件，并用等式描述这些条件，③化简，④验证：满足条件的点的坐标都是方程的解，且以方程的解为坐标的点都满足条件。 [举例1] 方程04)1(22=-+-+y x y x 所表示的曲线是： （ ） A B C D 解析：原方程等价于：???≥+=--4 0122y x y x ，或422=+y x ； 其中当01=--y x 需422-+y x 有意义，等式才成立，即422≥+y x ，此时它表示直 线01=--y x 上不在圆422=+y x 内的部分，这是极易出错的一个环节。选D 。 [举例2] 已知点A （－1，0），B （2，0），动点M 满足2∠MAB=∠MBA ，求点M 的轨迹方程。 解析：如何体现动点M 满足的条件2∠MAB=∠MBA 是解决本题的关键。用动点M 的坐标体现2∠MAB=∠MBA 的最佳载体是直线MA 、MB 的斜率。 设M （x ，y ），∠MAB=α，则∠MBA=2α，它们是直线 MA 、MB 的倾角还是倾角的补角，与点M 在x 轴的上方 还是下方有关；以下讨论： ① 若点M 在x 轴的上方, ,0),90,0(00>∈y α 此时，直线MA 的倾角为α，MB 的倾角为π-2α， ,2 )2tan(,1tan -=-+==∴x y x y k MA απα （2090≠α） ,2tan )2tan(ααπ-=- ,)1(11222 2+-+?=--∴x y x y x y 得： 132 2 =-y x ，∵1,>∴>x MB MA ．
[练案57]第八讲曲线与方程 A组基础巩固 一、单选题 1．(2019·云南质量检测)已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为( D ) A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4 C．x2＋y2＝2(x≠±2) D．x2＋y2＝4(x≠±2) [解析] MN的中点为原点O，易知|OP|＝1 2 |MN|＝2，∴P的轨迹是以原点 O为圆心，2为半径的圆，除去与x轴的两个交点，即P的轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)，故选D. 2．方程x－1lg(x2＋y2－1)＝0所表示的曲线图形是( D ) 3．已知点F(1,0)，直线l：x＝－1，点B是l上的动点．若过B垂直于y 轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是( D ) A．双曲线B．椭圆 C．圆D．抛物线 [解析] 连接MF，由中垂线性质知|MB|＝|MF|，
即M 到定点F 的距离与它到直线x ＝－1距离相等． ∴点M 的轨迹是抛物线，∴D 正确． 4．(2019·金华模拟)已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q 点的轨迹方程是( D ) A ．2x ＋y ＋1＝0 B ．2x －y －5＝0 C ．2x －y －1＝0 D ．2x －y ＋5＝0 [解析] 设Q(x ，y)，∵|PM|＝|MQ|，∴M 为线段PQ 的中点，∴则P 为(－2－x,4－y)，代入2x －y ＋3＝0，得Q 点的轨迹方程为2x －y ＋5＝0. 5．(2019·四川雅安调研)设动点P 在直线x ＝1上，O 为坐标原点，以OP 为直角边、点O 为直角顶点作等腰Rt △OPQ ，则动点Q 的轨迹是( B ) A ．圆 B ．两条平行直线 C ．抛物线 D ．双曲线 [解析] 设P(1，a)，Q(x ，y)．以点O 为直角顶点作等腰直角三角形OPQ ，ay x ×1 ＝－1，x ＝－ay ，∵|OP|＝|OQ|，∴1＋a 2＝x 2＋y 2＝a 2y 2＋y 2＝(a 2＋1)y 2，而a 2＋1>0，∴y 2＝1，∴y ＝1或y ＝－1，∴动点Q 的轨迹是两条平行于x 轴的直线． 6．若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点A(－5,0)，B(5,0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”，以下曲线不是．． “好曲线”的是( B ) A ．x ＋y ＝5 B ．x 2＋y 2＝9 C.x 2 25＋y 2 9＝1 D ．x 2＝16y