（一）直线
1、 直线的斜率与倾斜角
(1)斜率：两点的斜率公式：1122(,),(,)P x y Q x y ，则212121()PQ y y k x x x x -=
≠- (2)直线的倾斜角范围：)0,180??
（3）斜率与倾斜角的关系：tan (90)k αα=≠
注：（1）每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率；
（2）特别地，倾斜角为0的直线斜率为0；倾斜角为90的直线斜率不存在。
2、直线方程
(1)点斜式：00()y y k x x -=-；适用于斜率存在的直线
（2）斜截式：y kx b =+；适用于斜率存在的直线
注：b 为直线在y 轴上的截距，截距不是距离，截距可正，可负，可为零
（3）两点式：1112122121
(,)x x y y x x y y x x y y --=≠≠--；适用于斜率存在且不为零的直线 （4）截距式：
1x y a b +=；适用于斜率存在，且不为零且不过原点的直线 （5）一般式：0Ax By C ++=（,A B 不同时为0）
（6）特殊直线方程
①斜率不存在的直线（与y 轴垂直）：0x x =；特别地，y 轴：0x =
②斜率为0的直线（与x 轴垂直）：0y y =；特别地，x 轴：0y =
③在两轴上截距相等的直线：（Ⅰ）y x b =-+；（Ⅱ）y kx =
在两轴上截距相反的直线：（Ⅰ）y x b =+；（Ⅱ）y kx =
在两轴上截距的绝对值相等的直线：（Ⅰ）y x b =-+；（Ⅱ）y x b =+；（Ⅲ）y kx =
3、平面上两直线的位置关系及判断方法
（1）111222:;:l y k x b l y k x b =+=+
①平行：12k k =且12b b ≠（注意验证12b b ≠）
②重合：12k k =且12b b =
③相交：12k k ≠ 特别地，垂直：121k k =-
（2）11112222:0;:0l A x B y C l A x B y C ++=++=
①平行：1221A B A B =且1221AC A C ≠（验证）
②重合：1221A B A B =且1221AC A C =
③相交：1221A B A B ≠ 特别地，垂直：12120A A B B +=
（3）与直线0Ax By C ++=平行的直线可设为：0Ax By m ++=
与直线0Ax By C ++=垂直的直线可设为：0Bx Ay n -+=
4、其他公式
（1）平面上两点间的距离公式：1122(,),(,)A x y B x y
，则AB =（2）线段中点坐标公式：1122(,),(,)A x y B x y ，则,A B 中点的坐标为1212(,)22
x x y y ++ （3）三角形重心坐标公式：112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则三角形ABC 的重心坐标公式为：123123(,)33
x x x y y y ++++ （4）点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=
的距离公式：d =
（5）两平行线112212:0;:0()l Ax By C l Ax By C C C ++=++=≠间的距离
：d =,x y 的系数统一）
（6）点A 关于点P 的对称点B 的求法：点P 为,A B 中点
（7）点A 关于直线l 的对称点B 的求法：利用直线AB 与直线l 垂直以及AB 的中点在直线l 上，列出方程组，求出点B 的坐标。
（二）、圆
1、圆的方程
（1）圆的标准方程：222
()()x a y b r -+-=，其中(,)a b 为圆心，r 为半径
（2）圆的一般方程：22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->，其中圆心为(,)22D E --
只有当22,x y 的系数化为1时才能用上述公式) 注意：已知圆上两点求圆方程时，运用圆心在这两点的垂直平分线上这个条件可简化计算。
2、直线与圆的位置关系
(1)直线:0l Ax By C ++=，圆222:()()C x a y b r -+-=，记圆心(,)C a b 到直线l
的距离d =①直线与圆相交,则0d r ≤<或方程组的0?>
②直线与圆相切，则d r =或方程组的0?=
③直线与圆相离，则d r >或方程组的0?<
（2）直线与圆相交时，半径r ，圆心到弦的距离d ，弦长l
，满足：l =（3）直线与圆相切时，
①切线的求法：
（Ⅰ）已知切点（圆上的点）求切线,有且只有一条切线,切点与圆心的连线与切线垂直； （Ⅱ）已知切线斜率求切线，有两条互相平行的切线，设切线方程为y kx b =+，利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求出b 的值；
（Ⅲ）已知过圆外的点00(,)P x y 求圆222
:()()C x a y b r -+-=的切线，有两条切线，若切线的斜率存在，设切线方程为：00()y y k x x -=-，利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求出k 的值；若切线的斜率不存在，则切线方程为0x x =，验证圆心到切线距离是否等于半径。
②由圆外点00(,)P x y 向圆222:()()C x a y b r -+-=引切线，记,P C 两点的距离为d ，则
切线长l =（4）直线与圆相离时，圆心到直线距离记为d ，则圆上点到直线的最近距离为d r -，最远距离为d r +
3、两圆的位置关系
圆2221111:()()C x a y b r -+-=，圆2222222:()()C x a y b r -+-=，两圆圆心距
离d =(1)两圆相离，则12d r r >+（2）两圆相外切，则12d r r =+（3）两圆相交，则1212r r d r r -<<+ 注：圆221111:0C x y D x E y F ++++=，圆222222:0C x y D x E y F ++++=相交，则两圆相交弦方程为：121212()()()0D D x E E y F F -+-+-=
（4）两圆相内切，则12d r r =-（5）两圆内含，则120d r r ≤<-
特别地，当0d =时，两圆为同心圆
直线与圆 ◆知识点归纳 直线与方程 1.直线的倾斜角 规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，它的倾斜角为0 范围：直线的倾斜角α的取值范围为),0[π 2.斜率：)2 (tan π α≠ =a k ，R k ∈ 斜率公式：经过两点),(111y x P ，),(222y x P )(21x x ≠的直线的斜率公式为1 21 22 1x x y y k P P --= 3.直线方程的几种形式 能力提升 斜率应用 例1.已知函数)1(log )(2+=x x f 且0>>>c b a ，则 c c f b b f a a f ) (,)(,)(的大小关系
例2.已知实数y x ,满足)11(222 ≤≤-+-=x x x y ，试求2 3 ++x y 的最大值和最小值 两直线位置关系 两条直线的位置关系 设两直线的方程分别为： 222111:b x k y l +=或0 :22221111=++C y B x A l ；当21k k ≠或1221B A B A ≠时它们 相交，交点坐标为方程组???+=+=2211b x k y b x k y 或???=++=++00 222 111C y B x A C y B x A 直线间的夹角： ①若θ为1l 到2l 的角，12121tan k k k k +-= θ或2 1211 221tan B B A A B A B A +-=θ； ②若θ为1l 和2l 的夹角，则12121tan k k k k +-= θ或2 1211 221tan B B A A B A B A +-=θ； ③当0121=+k k 或02121=+B B A A o 直线1l 到2l 的角θ与1l 和2l 的夹角α：) 2 (π θθα≤ =
（一)直线 1、 直线的斜率与倾斜角 （1)斜率：两点的斜率公式：1122(,),(,)P x y Q x y ，则212121()PQ y y k x x x x -= ≠- (２)直线的倾斜角范围:)0,180?? （3)斜率与倾斜角的关系：tan (90)k αα=≠ 注:(1)每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率; （2)特别地,倾斜角为0的直线斜率为0;倾斜角为90的直线斜率不存在。 2、直线方程 (１）点斜式:00()y y k x x -=-;适用于斜率存在的直线 （2）斜截式:y kx b =+;适用于斜率存在的直线 注：b 为直线在y 轴上的截距，截距不是距离,截距可正,可负，可为零 （3)两点式：1112122121 (,)x x y y x x y y x x y y --=≠≠--；适用于斜率存在且不为零的直线 (４)截距式：1x y a b +=;适用于斜率存在,且不为零且不过原点的直线 （5）一般式：0Ax By C ++=(,A B 不同时为0） （６）特殊直线方程 ①斜率不存在的直线（与y 轴垂直):0x x =；特别地,y 轴:0x = ②斜率为0的直线(与x 轴垂直）：0y y =;特别地，x 轴:0y = ③在两轴上截距相等的直线：(Ⅰ）y x b =-+；(Ⅱ）y kx = 在两轴上截距相反的直线:(Ⅰ）y x b =+;（Ⅱ)y kx = 在两轴上截距的绝对值相等的直线：（Ⅰ)y x b =-+;(Ⅱ）y x b =+;(Ⅲ)y kx = 3、平面上两直线的位置关系及判断方法 （１）111222:;:l y k x b l y k x b =+=+ ①平行:12k k =且12b b ≠（注意验证12b b ≠） ②重合:12k k =且12b b =
直线和圆知识点总结 1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0；（2）倾斜角的范围[)π,0。如（1）直线023cos =-+y x θ的倾斜角的范围是____（答：5[0][)66 ，，π ππ ）；（2）过点),0(),1,3(m Q P -的直线的倾斜角的范围m 那么],32,3[π πα∈值的范围是______ （答：42≥-≤m m 或） 2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212121x x x x y y k ≠--=；（3）直线的方向向量(1,)a k = ， 直线的方向向量与直线的斜率有何关系？（4）应用：证明三点共线： AB BC k k =。如(1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件（答：既不充分也不必要）；（2）实数,x y 满足3250x y --= (31≤≤x )，则 x y 的最大值、最小值分别为______（答：2,13 -） 3、直线的方程：（1）点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为 00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线。 （2）斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线。（3）两点式：已知直线经 过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点，则直线方程为1 21121x x x x y y y y --=--，它不包括垂直于坐标轴的直线。（4）截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,则直线方程为1=+b y a x ，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。（5）一般式：任何直线均可写成0Ax By C ++=(A,B 不同时为0)的形式。如（1）经过点（2，1）且方向向量为v =(－1,3) 的直线的点斜式方程是___________（答：1(2)y x -=-）；（2）直线(2)(21)(34)m x m y m +----=，不管m 怎样变化恒过点______（答：(1,2)--）；（3）若曲线||y a x =与(0)y x a a =+>有两个公共点，则a 的取值范围是_______（答：1a >） 提醒：(1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）；(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等?直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数?直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等?直线的斜率为1±或直线过原点。如过点(1,4)A ，且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条（答：3） 4.设直线方程的一些常用技巧：（1）知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+；（2）知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(它不适用于斜率为0的直线)；（3）知直线过点00(,)x y ，当斜率k 存在时，常设其方程为00()y k x x y =-+，当斜率k 不存在时，则其方程为0x x =；（4）与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=；（5）与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=. 提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。
《直线与圆》单元测试题（1） 班级 学号 姓名 一、选择题： 1. 直线20x y --=的倾斜角为( ) A ．30? B ．45? C. 60? D. 90? 2.将直线3y x =绕原点逆时针旋转90?，再向右平移1个单位，所得到的直线为（ ） A.1133y x =-+ B. 113 y x =-+ C.33y x =- D.31y x =+ 30y m -+=与圆22220x y x +--=相切，则实数m 等于（ ） A ．- B ．- D ．或4．过点(0,1)的直线与圆22 4x y +=相交于A ，B 两点，则AB 的最小值为（ ） A ．2 B ． C ．3 D ．5.若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线034=-y x 和x 轴都相切，则该圆的标准 方程是（ ） A. 1)3 7()3(22=-+-y x B. 1)1()2(2 2=-+-y x C. 1)3()1(2 2=-+-y x D. 1)1()2 3(22=-+-y x 6.已知圆1C ：2 (1)x ++2 (1)y -=1，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方 程为（ ） A.2 (2)x ++2 (2)y -=1 B.2 (2)x -+2 (2)y +=1 C.2 (2)x ++2 (2)y +=1 D.2 (2)x -+2 (2)y -=1 7.已知圆C 与直线0=-y x 及04=--y x 都相切，圆心在直线0=+y x 上，则圆C 的 方程为（ ） A.2 2 (1)(1)2x y ++-= B. 2 2 (1)(1)2x y -++= C. 2 2 (1)(1)2x y -+-= D. 2 2 (1)(1)2x y +++= 8．设A 在x 轴上，它到点P 的距离等于到点(0,1,1)Q -的距离的两倍，那么A 点的坐标是( ) A.（1，0，0）和（ -1，0，0） B.（2，0，0）和（-2，0，0）
点、直线、圆与圆的位置关系—知识讲解（基础） 【学习目标】 1.理解并掌握点与圆、直线与圆、圆与圆的各种位置关系； 2.理解切线的判定定理、性质定理和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，并熟练 掌握以上内容解决一些实际问题； 3.了解两个圆相离(外离、内含)，两个圆相切(外切、内切)，两圆相交，圆心距等概念．理解两圆的位 置关系与d、r1、r2等量关系的等价条件并灵活应用它们解题． 【要点梳理】 要点一、点和圆的位置关系 1．点和圆的三种位置关系： 由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有 2．三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等. 要点诠释： （1）点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系； （2）不在同一直线上的三个点确定一个圆. 要点二、直线和圆的位置关系 1．直线和圆的三种位置关系： (1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线． (2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． (3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 2．直线与圆的位置关系的判定和性质． 直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？ 由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．
直线和圆 一．直线 1．斜率与倾斜角：tan k θ=，[0,)θπ∈ （1）[0, )2 π θ∈时，0k ≥； （2）2 πθ=时，k 不存在；（3）( ,)2 π θπ∈时，0k < （4）当倾斜角从0? 增加到90? 时，斜率从0增加到+∞； 当倾斜角从90? 增加到180? 时，斜率从-∞增加到0 2．直线方程 （1）点斜式：)(00x x k y y -=- （2）斜截式：y kx b =+ （3）两点式： 1 21121x x x x y y y y --=-- （4）截距式： 1x y a b += （5）一般式：0C =++By Ax 3．距离公式 （1）点111(,)P x y ，222(,)P x y 之间的距离：12PP = （2）点 00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离：d = （3）平行线间的距离： 10Ax By C ++=与20Ax By C ++=的距离：d = 4．位置关系 （1）截距式：y kx b =+形式 重合：1212 k k b b == 相交：12k k ≠ 平行：1212 k k b b =≠ 垂直：121k k ?=- （2）一般式：0Ax By C ++=形式 重合：1221A B A B =且1221A C A C =且1212B C C B = 平行：1221A B A B =且1221A C A C ≠且1212B C C B ≠
垂直：12120A A B B += 相交：1221A B A B ≠ 5．直线系 1112220A x B y C A x B y C λ++++=＋（）表示过两直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=交点的所 有直线方程（不含2l ） 二．圆 1．圆的方程 （1）标准形式：2 2 2 ()()x a y b R -+-=（0R >） （2）一般式：2 2 0x y Dx Ey F ++++=（22 40D E F +->） （3）参数方程：00cos sin x x r y y r θ θ =+?? =+?（θ是参数） 【注】题目中出现动点求量时，通常可采取参数方程转化为三角函数问题去解决. （4）以11(,)A x y ,22(,)B x y 为直径的圆的方程是：()()()()0A B A B x x x x y y y y --+--= 2．位置关系 （1）点00(,)P x y 和圆222 ()()x a y b R -+-=的位置关系： 当22200()()x a y b R -+-<时，点00(,)P x y 在圆222 ()()x a y b R -+-=部 当22200()()x a y b R -+-=时，点00(,)P x y 在圆222 ()()x a y b R -+-=上 当22200()()x a y b R -+->时，点00(,)P x y 在圆222 ()()x a y b R -+-=外 （2）直线0Ax By C ++=和圆2 2 2 ()()x a y b R -+-=的位置关系： 判断圆心(,)O a b 到直线0Ax By C ++= 的距离d =R 的大小关系 当d R <时，直线和圆相交（有两个交点）； 当d R =时，直线和圆相切（有且仅有一个交点）； 当d R <时，直线和圆相离（无交点）； 判断直线与圆的位置关系常见的方法 (1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系． (2)代数法：联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断． (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆可判断直线与圆相交．
直线与圆、圆与圆的位置关系—知识讲解（提高） 【学习目标】 1.理解并掌握直线与圆、圆与圆的各种位置关系； 2.理解切线的判定定理、性质定理和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，并熟练 掌握以上内容解决一些实际问题； 3.了解两个圆相离(外离、内含)，两个圆相切(外切、内切)，两圆相交，圆心距等概念．理解两圆的位 置关系与d、r1、r2之间的等价条件并灵活应用它们解题． 【要点梳理】 要点一、点和圆的位置关系 1．点和圆的三种位置关系： 由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有 2．三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等. 要点诠释： （1）点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系； （2）不在同一直线上的三个点确定一个圆. 要点二、直线和圆的位置关系 1．直线和圆的三种位置关系： (1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线． (2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． (3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 2．直线与圆的位置关系的判定和性质． 直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？ 由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．
直线与圆位置关系 一．课标要求 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系； 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题； 3.在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。 二．知识框架 相离 几何法 弦长 直线与圆的位置关系 相交 代数法 切割线定理 相切 直线与圆 代数法 求切线的方法 几何法 圆的切线方程 过圆上一点的切线方程 圆的切线方程 切点弦 过圆外一点的切线方程 方程 三．直线与圆的位置关系及其判定方法 1.利用圆心0),(=++C By Ax b a O 到直线的距离2 2 B A C Bb Aa d +++=与半径r 的大小来判 定。 （1）?
（位置关系）1.已知动直线5:+=kx y l 和圆1)1(:2 2=+-y x C ，试问k 为何值时，直线与圆相切、相离、相交？ （位置关系）2.已知点),(b a M 在圆1:2 2 =+y x O 外，则直线1=+by ax 与圆O 的位置关系是（） A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 （最值问题）3.已知实数x 、y 满足方程0142 2 =+-+x y x ， （1）求 x y 的最大值和最小值； （2）求y x -的最大值和最小值； （3）求2 2 y x +的最大值和最小值。 〖分析〗考查与圆有关的最值问题，解题的关键是依据题目条件将其转化为对应的几何问题求解，运用数形结合的方法，直观的理解。①转化为求斜率的最值；②转化为求直线b x y +=截距的最大值；③转化为求与原点的距离的最值问题。 （位置关系）4.设R n m ∈,，若直线02)1()1(=-+++y n x m 与圆1)1()1(2 2 =-+-y x 相切，则n m +的取值围是（） （位置关系）5.在平面直角坐标系xoy 中，已知圆224x y +=上有且仅有四个点到直线 1250x y c -+=的距离为1，则实数c 的取值围是 6．直线0323=-+y x 截圆x 2+y 2=4得的劣弧所对的圆心角是 ( C ) A 、 6π B 、4π C 、3π D 、2 π （位置关系）7．圆01222 2 =+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ） A ．2 B ．21+ C ．2 2 1+ D ．221+ （最值问题）8.设A 为圆1)2()2(22=-+-y x 上一动点，则A 到直线05=--y x 的最大距离为______. 9．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆 C 的方程为（ ） A ．0322 2 =--+x y x B ．042 2=++x y x C ．0322 2 =-++x y x D ．042 2 =-+x y x
直线和圆的位置关系基础练习 命题人：杨健文 一、【直线与圆相切】 1．过坐标原点且与圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋52 =0相切的直线的方程为 （ ） A ．y=－3x 或y=13 x B ．y=3x 或y=－13 x C ．y=－3x 或y=－13 x D ．y=3x 或y=13 x A ． 提示：依据圆心到直线的距离求直线的斜率． ２．圆（x －1)2＋(y ＋ 3 )2=1的切线方程中有一个是 （ ） A ．x －y=0 B ．x ＋y=0 C ．x=0 D ．y=0 C ．提示：依据圆心和半径判断． 3．已知直线5x ＋12y ＋a=0与圆x 2＋y 2－2x=0相切，则a 的值为 ． －18或8．提示：用点到直线的距离公式，注意去绝对值符号时的两种可能情况． ４．设直线过点（0，a ），其斜率为1，且与圆x 2＋y 2=2相切，则a 的值为 （ ） A ．± 2 B ．±2 C ．±2 2 D ．±4 B ．提示：用点到直线的距离公式或用△法． 二、【直线与圆相交】
１．设直线0132=++y x 和圆0322 2=--+x y x 相交于点A 、B ，则弦AB 的垂直平分线方程是 . 0323=--y x ．提示：弦的垂直平分线过圆心． ２．设直线ax －y ＋3=0与圆（x －1)2＋(y －2)2=4有两个不同的交点A ，B ，且弦AB 的长为2 3 ，则a 等于 ． 0．提示：依据半径、弦长、弦心距的关系求解． ３．设圆上点A （2，3）关于直线x ＋2y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x －y ＋1=0相交的弦长为2 2 ，求圆的方程． 设圆的方程为（x －a)2＋(y －b)2=r 2, 点A （2，3）关于直线x ＋2y=0的对称点仍在圆上，说明圆心在直线x ＋2y=0上，a ＋2b=0，又（2－a)2＋(3－b)2=r 2,而圆与直线x －y ＋1=0相交的 弦长为2 2 ，，故r 2－ 2=2,依据上述方程解得： ｛b 1=－3 a 1=6r 12=52 或｛ b 2=－7a 2=14r 22=244 ∴所求圆的方程为（x －6)2＋(y ＋3)2=52，或（x －14)2＋(y ＋7)2=224． 三、【对称问题】
直线和圆知识点总结 1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ， 如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，那么α就 叫做直线的倾斜角。当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0；（2）倾斜角的范围 [)π,0。如（1）直线023cos =-+ y x θ的倾斜角的范围是____（答：5[0][)66，，πππ）； 倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这 条直线的斜率，常用k 表示.倾斜角是90°的直线没有斜率. （2）过点),0(),1,3(m Q P -的直线的倾斜角的范围m 那么],32,3[π πα∈值的范围是 ______（答：42≥-≤m m 或） 2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直 线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经 过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212 121x x x x y y k ≠--=；（3）直线的方向向量(1,)a k =，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？（4）应用：证明三点共线： AB BC k k =。如(1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件（答：既不充 分也不必要）；（2）实数,x y 满足3250x y --= (31≤≤x )，则x y 的最大值、最小值分别为______（答：2,13 -） 3、直线的方程：（1）点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为 00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线。直线的斜率0=k 时，直线方程为1y y =； 当直线的斜率k 不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为1x x =.（2）斜 截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于 x 轴的直线。（3）两点式：已知直线经过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点，则直线方程为 1 21121x x x x y y y y --=--，它不包括垂直于坐标轴的直线。若要包含倾斜角为00或090的直线，两点式应变为))(())((121121y y x x x x y y --=--的形式.（4）截距式：已知直线在x 轴 和y 轴上的截距为,a b ,则直线方程为1=+b y a x ，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点
直线与圆基础知识-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
（一）直线 1、 直线的斜率与倾斜角 (1)斜率：两点的斜率公式：1122(,),(,)P x y Q x y ，则212121 ()PQ y y k x x x x -= ≠- (2)直线的倾斜角范围：)0,180?? （3）斜率与倾斜角的关系：tan (90)k αα=≠ 注：（1）每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率； （2）特别地，倾斜角为0的直线斜率为0；倾斜角为90的直线斜率不存在。 2、直线方程 (1)点斜式：00()y y k x x -=-；适用于斜率存在的直线 （2）斜截式：y kx b =+；适用于斜率存在的直线 注：b 为直线在y 轴上的截距，截距不是距离，截距可正，可负，可为零 （3）两点式： 1112122121(,)x x y y x x y y x x y y --=≠≠--；适用于斜率存在且不为零的直线 （4）截距式：1x y a b +=；适用于斜率存在，且不为零且不过原点的直线 （5）一般式：0Ax By C ++=（,A B 不同时为0） （6）特殊直线方程 ①斜率不存在的直线（与y 轴垂直）：0x x =；特别地，y 轴：0x = ②斜率为0的直线（与x 轴垂直）：0y y =；特别地，x 轴：0y = ③在两轴上截距相等的直线：（Ⅰ）y x b =-+；（Ⅱ）y kx = 在两轴上截距相反的直线：（Ⅰ）y x b =+；（Ⅱ）y kx = 在两轴上截距的绝对值相等的直线：（Ⅰ）y x b =-+；（Ⅱ）y x b =+；（Ⅲ）y kx =
直线与圆、圆与圆的位置关系 一、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离?d r >?无交点； 2、直线与圆相切?d r =?有一个交点(切点）； 3、直线与圆相交?d r
B A C D O ∴ 当时，⊙A 与BC 相切；当 时，⊙A 与BC 相交； 当 时，⊙A 与BC 相离。 例2．如图，AB 为⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 在AB 的延长线上，且∠DCB=?∠A ． （1）CD 与⊙O 相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由． （2）若CD 与⊙O 相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O 的半径． 解题思路：（1）要说明CD 是否是⊙O 的切线，只要说明OC 是否垂直于CD ，垂足为C ，?因为C 点已在圆上． 由已知易得：∠A=30°，又由∠DCB=∠A=30°得：BC=BD=10 解：（1）CD 与⊙O 相切 理由：①C 点在⊙O 上（已知） ②∵AB 是直径 ∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90° ∵∠A=∠OCA 且∠DCB=∠A ∴∠OCA=∠DCB ∴∠OCD=90° 综上：CD 是⊙O 的切线． （2）在Rt △OCD 中，∠D=30° ∴∠COD=60° ∴∠A=30° ∴∠BCD=30° ∴BC=BD=10 ∴AB=20，∴r=10 答：（1）CD 是⊙O 的切线，（2）⊙O 的半径是10． 三、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA PB = PO 平分BPA ∠ （证明） 四、圆幂定理 （1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。 即：在⊙O 中，∵弦AB 、CD 相交于点P ， P O D C B A B O
人教A 版高中数学必修二第三、四章直线与圆部分基础知识 1. 两个基本量 倾斜角：当直线l 与x 轴相交时, 取x 轴作为基准， x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.特别地，当直线l 与x 轴平行或重合时， 规定α= 0. 易见直线倾斜角的取值范围是：[0,π) 斜率：一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率。斜率常用小写字母k 表示，也就是 k = tanα = y 1-y 2x 1-x 2 = -A B = f’(x 0). 特别的，（1）当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = t an 0°=0；（2）当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 2. 几个常见角及其取值范围： （1）直线的倾斜角α的取值范围是[0,π)； （2）两条直线的夹角α的取值范围是[0, π 2]； （3）两个平面的夹角α的取值范围是[0, π 2 ]； （4）两个半平面所成角（二面角）的平面角α的取值范围是[0,π] （5）直线与平面所成的角α的取值范围是[0, π 2] （6）两个向量的夹角α的取值范围是[0,π] （7）两异面直线所成角α的取值范围是[0,π 2) 3. 直线的五种方程 （1）点斜式： 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．不能表示斜率不存在的直线. （2）斜截式： y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).不能表示斜率不存在的直线. （3）两点式： 11 2121 y y x x y y x x --=--(两定点坐标分别是：111(,)P x y 、222(,)P x y (其中12x x ≠且12y y ≠)).不能表示平行于坐标轴的直线. （4）截距式： 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、)不能表示平行于坐标轴和过坐标原点的直线. （5）一般式： 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 4. 两条不同直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+，则①121212||,l l k k b b ?=≠;②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, 则：①111 12222 ||A B C l l A B C ? =≠或A 1B 2-A 2B 1=0且A 1C 2≠A 2C 1；②1212120l l A A B B ⊥?+=； 5. 夹角公式（现已不做要求） (1)21 21 tan | |1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)
（一）直线 1、直线的斜率与倾斜角 （1）斜率：两点的斜率公式：P(X1, yJ,Q(X2,y2)，则k PQ y y (x? xj x2 x1 ⑵直线的倾斜角范围：0°,180° （3 ）斜率与倾斜角的关系：k tan （90°） 注：（1）每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率； （2）特别地，倾斜角为0°的直线斜率为0 ;倾斜角为90°的直线斜率不存在。 2、直线方程 ⑴点斜式：y y k（x x°）；适用于斜率存在的直线 （2）斜截式：y kx b ；适用于斜率存在的直线 注：b为直线在y轴上的截距，截距不是距离，截距可正，可负，可为零 （3）两点式：丄丄（x, x21y, y2）;适用于斜率存在且不为零的直线 X2 x, y2 y i x y （4 ）截距式： 1 ;适用于斜率存在，且不为零且不过原点的直线 a b （5）一般式：Ax By C 0（A,B不同时为0 ） （6）特殊直线方程 ①斜率不存在的直线（与y轴垂直）：x x0；特别地，y轴：x 0 ②斜率为0的直线（与x轴垂直）：y y0;特别地，x轴：y 0 ③在两轴上截距相等的直线：（I）y x b ；（n）y kx 在两轴上截距相反的直线：（I）y x b ；（n）y kx 在两轴上截距的绝对值相等的直线：（I）y x b ；（n）y x b ；（m）y kx 3、平面上两直线的位置关系及判断方法 （1）l1: y k,x b1;l2: y k2x b2 ①平行：k1 k2且d b2 （注意验证d b2）
②重合：k1 k2且b b2 ③相交：k1 k2特别地，垂直：k1k2 1 (2) l1 : A1x B1 y C10;l2: A2x B?y C20 ①平 行： A1 B2A2B［且A1C2A2C1（验证） ②重 合： A1 B2A2B1 且AC A2G ③相 交：A1 B2A2B1特别地，垂直A1A2B1B20 （3）与直线Ax By C 0平行的直线可设为：Ax By m 0 与直线Ax By C 0垂直的直线可设为：Bx Ay n 0 4、其他公式 （1）平面上两点间的距离公式：A（x1, y1）, B（x2, y2），则AB （x i x2）2（% y2）2（2）线段中点坐标公式：A（x1, y1）, B（x2, y2），则代B中点的坐标为（乞产，_y二产）（3）三角形重心坐标公式：A（x1, y1）, B（x2, y2）, C（x3, y3），则三角形ABC的重心坐标公 式为： ( % X2 X3 y1 y2 y3) (3 ,3 ) - |Ax o By0C （4）点P（x0, y0）到直线l : Ax By C 0的距离公式：d _/ J A2B2 （5 ）两平行线h : Ax By C1 0;l2 : Ax By C2 0（C1 C2）间的距离 d 」一CL （用此公式前要将两直线中x, y的系数统一） A2B2 （6）点A关于点P的对称点B的求法：点P为代B中点 （7）点A关于直线I的对称点B的求法：利用直线AB与直线l垂直以及AB的中点在直线I上，列出方程组，求出点B的坐标。 （二八圆 1、圆的方程 （1 ）圆的标准方程：（x a）2（y b）2 r2，其中（a,b）为圆心，r为半径
(一)直线 1、 直线的斜率与倾斜角 (1)斜率:两点的斜率公式:1122(,),(,)P x y Q x y ,则21 2121 ()PQ y y k x x x x -= ≠- (2)直线的倾斜角范围:) 0,180?? o o (3)斜率与倾斜角的关系:tan (90)k αα=≠o 注:(1)每条直线都有倾斜角,但不就是每条直线都有斜率; (2)特别地,倾斜角为0o 的直线斜率为0;倾斜角为90o 的直线斜率不存在。 2、直线方程 (1)点斜式:00()y y k x x -=-;适用于斜率存在的直线 (2)斜截式:y kx b =+;适用于斜率存在的直线 注:b 为直线在y 轴上的截距,截距不就是距离,截距可正,可负,可为零 (3)两点式: 11 12122121 (,)x x y y x x y y x x y y --=≠≠--;适用于斜率存在且不为零的直线 (4)截距式: 1x y a b +=;适用于斜率存在,且不为零且不过原点的直线 (5)一般式:0Ax By C ++=(,A B 不同时为0) (6)特殊直线方程 ①斜率不存在的直线(与y 轴垂直):0x x =;特别地,y 轴:0x = ②斜率为0的直线(与x 轴垂直):0y y =;特别地,x 轴:0y = ③在两轴上截距相等的直线:(Ⅰ)y x b =-+;(Ⅱ)y kx = 在两轴上截距相反的直线:(Ⅰ)y x b =+;(Ⅱ)y kx = 在两轴上截距的绝对值相等的直线:(Ⅰ)y x b =-+;(Ⅱ)y x b =+;(Ⅲ)y kx = 3、平面上两直线的位置关系及判断方法 (1)111222:;:l y k x b l y k x b =+=+ ①平行:12k k =且12b b ≠(注意验证12b b ≠) ②重合:12k k =且12b b =
直线与圆 ?知识点归纳直线与方程 1.直线的倾斜角 规定：当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0 范围：直线的倾斜角的取值范围为［0,） 2斜率：k tan (a y)，k R 斜率公式：经过两点R（x i，y i），P2（X2,y2）（X i X2）的直线的斜率公式为k p^ X2 X1 直线方程的几种形式 能力提升 斜率应用 例1.已知函数f（X） log2（X 1）且a b c 0，则理，的大小关系a b c
例2.已知实数x,y 满足y X 2 2x 2( 1 x 1)，试求丄卫的最大值和最小值 x 2 两直线位置关系 直线间的夹角: 两条直线的位置关系 或 B 2y 设两直线的方程分别为:1 ；：y k ： b 2或丨二箴 B 1y C C 0 0 ；当 k 1 k 2 或 A 1B 2 A 2 B 1 时它们 ①若 为丨1到12的 角, ta n ■k2 —或 ta n 1 k 2^ A B 2 A 2 Bl AA B 1 B 2 ②若 为1l 和12的夹 角 ，则 tan k 2 k i 1 k 2k 1 或tan A B 2 A B 1 A A 2 B 1 B 2 ③当1 k 1k 2 0或A 1A 2 B 1B 2 0时， 90° ；直线11到丨2的角 与11和丨2的 夹角 ( 7) 相交，交点坐标为方程组 y k 1x k 2x b 1或Ax b 2 或 A 2x B 2y G C
(?) ； 距离问题 1.平面上两点间的距离公式R(x i, y i),P2(X2, y2)贝U PP2 J(X2 X i) (y2 y 2.点到直线距离公 式 点P(x0,y0)到直线l : Ax By C 0的距离为：d Ax0 By0 C 3.两平行线间的距离公 式 已知两条平行线直线l i和12的一般式方程为l i : Ax By C1 ，I2 : Ax By C2 0 ,则1i与12的距离为d I C1 C2 J A2B2 4.直线系方程：若两条直线1i: Ax B i y 0，I2: A2X B2y C2 0有交点，则过1i与12交点的直线系方程为(Ax B1y G) + (A2X B2y C2) 0 或 (A 2 x B 2 y C 2)+ (A i x B i y C1 )0 (入为常数) 对称冋题 X 1.中点坐标公式：已知点A(X1, yj, B(X2, y2)，则A, B中点H (x, y)的坐标公式为 y X1 X2 2 * y2 2 点P(x。，y。)关于A(a, b)的对称点为Q(2a X0,2b y。)，直线关于点对称问题可以化为点关于点对称问 题 。 2.轴对点P(a,b) 关于直线Ax By c 0(B 0)的对称点为P'(m,n),则有 n - b m -a A - m —— B 2 ，直线关于直线对称问题可转化为点关于直线对称问 题。 b n ——C 0 2 (1)中心对称: ①点关于点的对称: 该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点A(a, b)关于C(c,d)的对称点(2c a,2d b)
（一）直线 1、 直线的斜率与倾斜角 (1)斜率：两点的斜率公式：1122(,),(,)P x y Q x y ，则212121()PQ y y k x x x x -= ≠- (2)直线的倾斜角范围：)0,180?? （3）斜率与倾斜角的关系：tan (90)k αα=≠ 注：（1）每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率； （2）特别地，倾斜角为0的直线斜率为0；倾斜角为90的直线斜率不存在。 2、直线方程 (1)点斜式：00()y y k x x -=-；适用于斜率存在的直线 （2）斜截式：y kx b =+；适用于斜率存在的直线 注：b 为直线在y 轴上的截距，截距不是距离，截距可正，可负，可为零 （3）两点式：1112122121 (,)x x y y x x y y x x y y --=≠≠--；适用于斜率存在且不为零的直线 （4）截距式： 1x y a b +=；适用于斜率存在，且不为零且不过原点的直线 （5）一般式：0Ax By C ++=（,A B 不同时为0） （6）特殊直线方程 ①斜率不存在的直线（与y 轴垂直）：0x x =；特别地，y 轴：0x = ②斜率为0的直线（与x 轴垂直）：0y y =；特别地，x 轴：0y = ③在两轴上截距相等的直线：（Ⅰ）y x b =-+；（Ⅱ）y kx = 在两轴上截距相反的直线：（Ⅰ）y x b =+；（Ⅱ）y kx = 在两轴上截距的绝对值相等的直线：（Ⅰ）y x b =-+；（Ⅱ）y x b =+；（Ⅲ）y kx = 3、平面上两直线的位置关系及判断方法 （1）111222:;:l y k x b l y k x b =+=+ ①平行：12k k =且12b b ≠（注意验证12b b ≠） ②重合：12k k =且12b b =
圆的方程、直线和圆的位置关系 【知识要点】 一、圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆 (一) 圆的标准方程 (x a)2 (y b)2『这个方程叫做圆的标准方程。- ____ 2 2 2 说明：1、若圆心在坐标原点上，这时 a b 0，则圆的方程就是 x y r 。 2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了 圆，所以， 只要a ，b ，r 三个量确定了且r > 0,圆的方程就给定了。 就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件 -确定a ，b ，r ，可以根据条件，利用待定系数法来解决。 (二) 圆的一般方程 2 2 2 2 2 2 2 2 将圆的标准方程(x a) (y b) r ，展开可得x y 2ax 2by a b r 。可见，任何一个 2 圆的方程都可以写成 ：X 2 y Dx Ey F 0 2 2 问题：形如x y Dx Ey F 0 的方程的曲线是不是圆？ 2 2 F D 2 E 2 J D ‘ E 4F 将方程X y Dx Ey 左边配方得： 2) 2) 2 D E 0表示以 2 2为圆 2 2 (1)当 D E 4F >° 时， 方程(1 )与标准方程比较，方程x y Dx Ey F D 2 E 2 4F 心，以 2 为半径的圆。 DE DE ⑵当DmE —4F=Q 时,方fc a +y a +Dx+Ey+F = OR 有实数解汁亍 厂亍 所以表示一个点(亍-計 2 2 (3)当D 2 E 2 4F v 0时，方程x y Dx Ey F °没有实数解，因而它不表示任何图形。 圆的一般方程的定义： 2 2 当D 2 E 2 4F >°时，方程x y Dx Ey F °称为圆的一般方程. 圆的一般方程的特点： 2 2 (1) X 和y 的系数相同，不等于零； (2) 没有xy 这样的二次项。 (三) 直线与圆的位置关系 1、 直线与圆位置关系的种类 (1)相离---求距离； ⑵相切---求切线； (3)相交---求焦点弦长。 2、 直线与圆的位置关系判断方法： 几何方法主要步骤： (1) 把直线方程化为一般式，利用圆的方程求出圆心和半径 (2) 利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离 3) 作判断：当d>r 时，直线与圆相离；当 d = r 时，直线与圆相切；当d