第一章 行列式 复习题
一、填空题
1.已知
1
11113
21
--x 是关于x 的一次多项式，该式中x 的系数为____________.
2.设
33(),||2,ij A a A ?==则2112112221323()a A a A a A +++
22212122222323312132223323()()a A a A a A a A a A a A +++++= .
3.方程
22
2312
2712
0538653815x x -=- 的全部根为 .
4.已知四阶行列式
D
中第三列元素依次为
1,2,0,1-，它们的代数余子式依次分别为
5,3,7,4---，则D =_______.
5.n D n
1111
3
1
1
1121
1111
== .
6.行列式
2223
3
3
a
b c
a b c a b c = . 7.当a = 时，方程组1231231
23(2)404(3)404(4)0
a x x x x a x x x x a x +++=??
-+-+=??-+++=? 有非零解.
8.四阶方阵
()
44
ij A a ?=的行列式
A
中含14233241a a a a 的项的符号是__________.
9.设行列式
304
0222207005322
A =
--, 则第四行各元素的代数余子式之和为________.
10.已知齐次线性方程组 12312312
326030230
x x x x x x x x x λ--=??
+-=??++=? 有无穷多解，则必有____________.λ=
11.六阶行列式
A
中的乘积项a a a a a a 352113664254 前面所带符号是_______________.
12.若行列式
41
0204
001101
3
2
a a =-, 则a =___________.
13.在五阶行列式中，项4321145532a a a a a 的符号取 .
14.行列式
=---0
00
c
b
c a b
a . 15.排列986532417的逆序数是 (奇、偶)数.
16.齐次线性方程组???
??=++=++=++0
00321
321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足的条件是
.
17.设
2312
01
()214214x x x f x x x x
=
,则4
x 项的系数为 ,常数项为 .
18.行列式
=x
y
y
y x y y
y x
. 19.四阶行列式4
4?=ij
a D
中,含1123a a 且带负号的项为_____.
20.已知D=
8
818
97424444
8672,则
___44434241=+++A A A A .
二、计算题
1.计算4阶行列式11111111
11111111
a a D a a +----=+----.
2.计算0000
0000
a b
a
b D b a
b a =
3.计算a
b a b D b a b a a b
a b +=
++.
4. 计算
325110*********
4
A =
---. 5.计算
4
5
222
11
1
1
λλλ--+-- 6.计算n n a a a a D
00100100111121
1
=+ ),,1,0,0(n i a i
=≠
7.计算123000000n
n
x a a a a
x D a x a x =
(0,1,2,,)i
x i n ≠=
8.计算1
2212
5
4
3
1432
321
-++++=n n n n n n n D n
9.计算x a a a a
x a a a
a x a a
a a x D n
=. 10.计算n 阶行列式 11111111
1n x x
D x
++=
+
.
11.计算10
00100011z
y x
c b a D =
. 12.计算1111111111111111x x D y y +-=+-
13.解方程：
2
2
11231223
0231523
19x x -=-.
14.判别方程组123412341
2344750248602430
x x x x x x x x x x x x +-+=??
--+=??-++-=? 是否有非零解,为什么？
第二章 矩阵及其运算 复习题
一、填空题
1.????
??3152
X =???
?
??-1264, 则X =__________. 2.21121214X ????
=
? ?????
，则X = .
3.设A =
a b c d ?? ?
??，且det()0A ad bc =-≠，则1
A -= . 4.设A =
1231-?? ???
，B =2103?? ???
，(2,1)C =-，则()T
A B C -= . 5.设二阶矩阵X 满足矩阵方程：232122344321X ??????
=
? ? ???????
, 则X =__________.
6.设235α-?? ?= ? ???
,则矩阵_____________.T
A αα==
7.设 232110344301A ??????
=
? ? ???????
,则_______________.A =
8.设
A 是n 阶可逆方阵,*A 是A 的伴随矩阵,则*A = .
9.已知C B A ,,为同阶方阵,且C 可逆,若B AC C =-1
,则=-C A C m 1 (m 是整数).
10.设*
A 是n 阶方阵
A 的伴随矩阵, d A =,则=*A A .
11.设????
? ??=300020001A ,则1
-A = .
12.设()()1,1,1,3,2,1==B A ,则=2)(B A T .
13.设
A 是n 阶可逆矩阵,*A 是A 的伴随矩阵,则*
A 与
A
的关系是 .
14.设D C B A ,,,均为n 阶方阵，且E ABCD =，则________________)()(=T T DA BC . 15.设C B A ,,
均为n 阶方阵，且E ABC =，则______________)(=T T CA B .
16.设矩阵?????
??=300041003A ，则逆阵______________1
-A .
17设矩阵????? ??=300220111A ，则1
________________A -=.
18.设矩阵500031021A ?? ?= ? ???，则1
______________A -=.
19.12_________________01n
??
= ???
.
20.设向量(1,3,1)T α=-，那么T αα= ______.
21.若
A ，
B 都是n 阶方阵，1=A ，3-=B ，则_____________31*=-B A .
22.设矩阵001010700A ????=-??????
, 则1
A -=______________.
23.设*
A 是矩阵
A 的伴随矩阵，则**_____________.AA A A ==
24.设矩阵123200749A -?? ?=- ? ???
, 则 A -=1
______________.
25.设三阶方阵A 的行列式为
A A =2,*为A 的伴随矩阵, 则行列式 1*
A A -+_____________.
26.设A a b c d =
F H
G I K J , 则A 的伴随矩阵 A *
等于___________.
27.设三阶方阵
A 的行列式3A =，则A 的伴随矩阵*A 的行列式为 .
28.设
A 是n 阶方阵，且3A =，A
*
是
A 的伴随矩阵，则*
3A = .
二、判别说理题：
1.n 阶方阵A 满足220A A E --=，则E A -可逆.
2对任意n 阶方阵,,A B C ，若AB AC =，且0A ≠，则一定有B C =.
3.设
,,A B C 都是n 阶矩阵，且,AB E CA E ==，则B C =.
4.若2
0A =，则必有0A =.
5.方阵A 满足A A =2，则E A =或0=A .
6.设
A ,
B 都是n 阶方阵,若A ,B 都可逆,则B A +可逆. 7.若AY AX =，且O A ≠，则Y X =.
8.设
A 是n 阶矩阵,*A 是A 的伴随矩阵，则当A 为非奇异阵时，*A 也非奇异，且1
*n A A
-=.
9.设
A 是n 阶方阵， 且0A a =≠， 则 *11A A a
=
=. 10.若n 阶方阵A 可逆，则其伴随矩阵*A 同样可逆.
三、计算题
1.已知矩阵A 和B 满足关系式：B A AB +=2，其中423110123B ??
?
=
? ?-??
，求矩阵A 。 2.设101020110A ?? ?= ? ?
??
，求1
A - 3.设1
200230000310
02
4A ??
? ?= ?- ???
，求1
A -. 4.设111022110A -?? ?= ? ?-??，111110211
B -?? ?
= ? ???
，且满足XA B =，求X .
5.设1221A ??=
??
??
, 求A n
, 其中n 是自然数. 6.设
A =---F H
G G I
K
J J 100
1
1011
1 ,求 ()
().A E A E +--221
7.设四阶矩阵??????
? ?
?=41
210312
0021
0001A ,试求A 的逆矩阵1
-A 8.设三阶矩阵,A B 满足方程2
,A ABA E += 其中111122211A -??
?=- ? ???, 试求矩阵B .
9.已知矩阵???? ??-=130321A ，?
???
?
??=101012031B .计算AB ,T
AB AB -.
10.设四阶矩阵???
???
?
?
?-=110
02100
0012
0025
A ,试求A 的逆矩阵1
-A .
11.已知矩阵???? ??-=311412A ，?
????
??--=131210131B .计算AB ,T
AB AB -.
12.设100110011A -??
?=- ? ?-??
, 求1
(2)(2)A E A E -+-.
13.设2112A -??= ?-??，求n
A . 14.设033110123A ?? ?= ?
?
-??
，2AB A B =+，求B . 15.设3阶方阵
A 的伴随矩阵为*A ，且2
1=
A ，求*--A A 2)4(1.
16.已知????
? ??--=100110111A ，且E AB A =-2，求矩阵B ．
17.已知10102
12000101
11
1A ?????
?=??????
，求逆阵1A -. 18．设
A 是n 阶方阵,且2=A ,求*
--A A 231,其中*
A 是
A 的伴随矩阵.
19.设 232131231214212112832A ????
??????=-??????--??????--???? , 求 A . 20.设 2321312331214231112832A ????--??????+=??????-??????--????
, 求 A . 21．设100111A ??=
?-??，124142B -??= ?-??
，求T
B A
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 复习题
一、填空题:
1.矩阵123235471A ??
?
=- ? ?
??
的秩为__________. 2.???? ??3152X =???
?
??-1264
, 则X =__________. 3.设
A 是n 阶方阵，且秩()A r n =<，则齐次线性方程组0Ax =的基础解系中含
个解向量.
4.矩阵101112110A -??
?
=- ?
?
??
的秩为 .5.21121214X ????= ? ?????，则X = . 6.方程组12341
23423320
7230x x x x x x x x -+-=??-++=? 的解空间的维数为 .
7.当a = 时，方程组1231231
23(2)40
4(3)404(4)0
a x x x x a x x x x a x +++=??
-+-+=??-+++=? 有非零解.
8.设12,
αα是(3)n n ≥元齐次线性方程组0Ax =的基础解系，则秩(A )= .
9.矩阵n m A ?的秩为r ，则
0=AX 的基础解系一定由________个线性无关的解向量构成.
10.若方程组1231001110020x x x λλ-??????
??????--=??????
??????-??????
有非零解，则 0 λλ==或.
11.设二阶矩阵X 满足矩阵方程：232122344321X ??????
=
? ? ???????
, 则X =__________.
12.已知方程组 12312312326030230
x x x x x x x x x λ--=??
+-=??++=? 有无穷多解，则必有____________.λ= .
13.设123221343A ??
?
= ?
?
??，则()___.R A = 14.矩阵????
? ??--330204212的秩= . 15.设 232110344301A ??????=
? ? ???????
,则_______________.A =
16.设
A 是n 阶方阵,若线性方程组0=AX 有非零解,则必有=A .
17.设A 是34?矩阵,2)(=A R ,又???
?
? ??=301020201B ,则=)(AB R .
18.齐次线性方程021
=+++n x x x 的解空间为_________维线性空间.
19.矩阵n m A ?的秩为r ，则0=AX 的基础解系一定由________个线性无关的解向量构成.
20.设
A 是n 阶方阵,()2-=n A R ,则线性方程组0=AX 的基础解系所含向量的个数是 .
21.齐次线性方程组???
??=++=++=++0
00
321
321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足的条件是
.
22.设n 阶方阵
A 满足A A =2,E 为n 阶单位阵,则=-+)()(E A R A R .
23.非齐次线性方程组b AX =有解的充分必要条件是 .
24.设齐次线性方程组??
?
??=--=++=-+0002z y x z y kx z y x 有非零解，则___________
=k . 25.若n 阶方阵
A 满足0,0*≠=A A ，则_________)(=A R .
二、判别说理题：
1.若,αβ是线性方程组Ax b =的两个解向量， 则αβ
-是方程组
0Ax =的解.
2.设4阶方阵
A 的秩为2，则其伴随矩阵*A 的秩为零.
3.设向量12,ηη是n 元线性方程组Ax b =的解向量，那么1212
33
ηη+也是这个方程组的一个解向量.
4.若ξ是
0AX =的解,若η
是
(0)AX b b =≠的解，则ξη
+是b AX
=的解.
5.n 元线性方程组(0)Ax b b =≠当()R A n <时有无穷多解.
6.设
A 是n 阶方阵,若方程组b AX =满足),()(b A R A R =,则b AX =有唯一解.
7.对于线性方程组Ax b = (这里A 为n 阶方阵), 如果该方程组有解，则必有 ()R A n = .
8.设
A ,
B 都是n 阶方阵,若k n B R n k k A R -=<<=)(),1(,)(,则必有n B A R =+)(.
9.若线性方程组b AX =有解,则A 的秩一定为零.
10.设
A 是n 阶方阵,则()()R A E R A E n ++-≥
11.设矩阵A 的秩为)1(>r r ，则A 中必有一个1-r 级子式不为零.
12.设
A 为n 元线性方程组b AX =，则秩n A <)(时有无穷组解.
13.若AY
AX =，且
O A ≠，则Y X =.
14.对于具相同系数矩阵的非齐次方程组(I)：Ax b = 及 (II)：Ax d =, 成立以下结论：
若方程组(I)有解，则方程组(II)必然也有解.
15.方程组 1234123412
3423135322223
x x x x x x x x x x x x -+-=??
-+-=??++-=? 中，方程个数少于未知量个数，因而方程组有无限多解.
16.若矩阵
A 的秩为r ，则A 中必有某一个1r -阶子式不等于零.
17.对于n 阶矩阵A ，如果齐次方程组0Ax =存在无穷多组解，则对于任何一个非零n 维列向量b ，对应
的非齐次线性方程组Ax b =至少存在一个解.
18.若12,ηη是(0)AX b b =≠的解，则12ηη+也是b AX =的解.
19.若n 阶方阵
A 的秩()1R A n <-，则其伴随阵*0A =.
三、计算题:
1.讨论方程组???
??=+-+=++=+-+2
)1(2221
)1(321
321321kx x k kx x kx kx x x k kx ，当k 取何值时
（1）方程组无解？（2）方程组有无穷多解？并求出通解.（3）方程组有唯一解？求出解.
2.λ取何值时，线性方程组???
??-=++-=++-=++2
23321
321321x x x x x x x x x λλλλ有唯一解，无解或有无穷多解？当方程组有无穷多
解时求其通解.
3.已知10102
12000101
11
1A ?????
?=??????
，求逆阵1A -. 4.设111022110A -?? ?= ? ?-??，111110211B -?? ?
= ? ???
，且满足XA B =，求X .
5.求非齐次线性方程组????
???
-=+--=+--=-+-212201432
143214321x x x x x x x x x x x x 的通解.
6..求方程组???
??=+--=-+-=+--0
32030
4321
43214321x x x x x x x x x x x x 的基础解系与其通解.
7.求齐次线性方程组123412341
24220230570x x x x x x x x x x x -++=??
-+-=??-+-=?的解空间的基与维数.
8.已知线性方程组12341234
12341234135335351112x x x x x x x x x x x x x x x x k +++=??+++=??--+=??--+=?，求k ，使得上述方程组有解，并求出所有的解．
9.利用初等变换求矩阵??
??
?
?????------=321131111111A 的秩.
10.试用矩阵的初等变换求方阵021302230A -?? ?=- ?
?-??或120111002A ??
?=-- ? ???的逆矩阵1
-A .
11. 求非齐次线性方程组???
??
=+++=+++=+3
223512254321432121x x x x x x x x x x 的通解.
12.求非齐次线性方程组124123412326
13
x x x x x x x x x x +-=-??
-+-=??---=?
的通解.
13.讨论方程组???
??=+-+=++=+-+,
2)1(22,2,1)1(321
321321kx x k kx x kx kx x x k kx 当k 取何值时:
(1)方程组无解？(2)方程组有唯一解？(3)方程组有无穷多解？
14.当,a b 取何值时，方程组12356x y z x y z a x y bz ++=??
-+=??++=?
,
（1）无解？ （2）有唯一解？ （3）有无穷解？并在有无穷解时，求出通解.
15.证明线性方程组1234134
123412343212 1412222133963x x x x x x x x x x x x x x x -++=??++=??---=??-++=? 有解，并求该方程组的通解.
16.求线性方程组123412
4124232314262x x x x x x x x x x +-+=??
+-=??--+=-? 的通解. 17.对于非齐次线性方程组：1231231
23321
232442 3.
x x x x x x x x x ++=??
+-=??+-=?
1) 证明该线性方程组有解且有无穷多解. 2) 写出该线性方程组的基础解系及通解.
18. 判别方程组123412341
2344750
248602430
x x x x x x x x x x x x +-+=??
--+=??-++-=? 是否有非零解,如果存在非零解，请写出方程组的通解.
19. 求非齐次线性方程组1234124235
243
x x x x x x x +++=??
+-=-?的通解.
20. 试问λ为何值时，非齐次线性方程组
1231231231+x 0131x x x x x x x x λλλλ++=??
+++=??+++=?（）（）（
） 无解？有惟一解？无数个解？并写出无数解情形时的通解.
21. 已知非齐次线性方程组???
??-=+++-=-++=-+-6
242163511
3254321
43214321x x x x x x x x x x x x
(1) 求对应齐次线性方程组的基础解系; (2) 求原非齐次线性方程组的一个特解; (3) 求原非齐次线性方程组的通解.
22. 对于线性方程组123412341
234212125x x x x x x x x x x x x a
-++=??
--+=-??-++=?，设确定常数a ，使得该线性方程组有解，并写出方程
组的通解.
23.试问当λ取何值时，非齐次线性方程组12312321231
x x x x x x x x x λλλλλ
?++=?
++=??++=?
(1) 有唯一解 ; (2) 无解 ; (3) 有无穷多解，并求通解.
第四章 向量组的线性相关性 复习题
一、 填空题
1.1(1,3,5)α=, 2(1,1,3)α=, 3(1,,6)a α=线性相关 ,则a 的值为__________.
2.设
A 是n 阶方阵，且秩()A r n =<，则齐次线性方程组0Ax =的基础解系中含 个解向量.
3.若向量 (2,3,1,0,1)-与 (4,6,2,,2)a ---线性相关，则a 的取值为 .
4.方程组12341
234233207230x x x x x x x x -+-=??-++=? 的解空间的维数为 .
5.设12,
αα是(3)n n ≥元齐次线性方程组0Ax =的基础解系，则秩(A )= .
6.设向量组1
(1,2,3)α=，2(2,1,3)α=，3(1,1,0)α=-,则向量组123,,ααα的秩是 .
7.已知向量组222(1,,),(1,,),(1,,),a a b b c c αβγ=== 则当常数,,a b c 满足_________时该向量
组线性无关.
8.设向量组I ：αα1,
, r 的秩为p ， 向量组II ：ββ1,
, s 秩为q ， 且向量组I 能由向量组II 线性表出，则
p 与q 的大小关系是_________________.
9设4321,,,αααα线性无关，且144433322211,,,ααβααβααβααβ+=+=+=+=，则
向量组4321,,,ββββ的秩为______.
10.112023510111A -?? ?
=-- ? ?-??
，则齐次线性方程组 0Ax =的任一基础解系所含向量个数为____.
11.设向量组 I:αα1,
, s 线性无关，而ββ12, 都能由I 线性表出，则秩(ααββ112,,,, s )= 12.设向量组 I : 12,,,s ααα ， 向量组 II : 12,,,t βββ ，若向量组 II 可由向量组I 线性表出， 则秩( I )与秩( II )间成立大小关系式： _________________. 13.当=a
时,向量组),2
1
,21(),21,,21(),21,21,(321a a a --=--=-=ααα线性相关.
14.已知一个向量组含有两个或两个以上的最大线性无关组,则各个最大线性无关组所含向量的个数必定 .
15.设向量组321,,ααα线性相关,则向量组133221,,αααααα+++线性 .
16.设
A 是n 阶方阵,()2-=n A R ,则线性方程组0=AX 的基础解系所含向量的个数是 .
17.已知向量组()()()1,3,2,1,,2,3,4,1321
-=-==αααt 线性相关,则t 应满足 .
18.向量??????????=??????????=??????????=111,110,011γβα是3
R 的一组基，则向量????
??????=343ξ在该基下的坐标为 .
19.设向量 (1,5,1)T
-与向量(2,,2)T
m -线性相关 , 则______.m =
20.矩阵n m A ?的秩为r ，则0=AX 的基础解系一定由________个线性无关的解向量构成.
21.设1
(1,1,0)ξ=，2(0,1,1)ξ=，3(1,1,1)ξ= 是3R 的一组基，则(3,1,1)ρ=-在该基下的坐标
为________________.
22.设向量(3,5,7,9)α
=，(1,5,2,0)β=-，向量γ满足325α
γβ
-=，则向量γ= .
23.齐次线性方程021=+++n x x x 的解空间为_________维线性空间.
二、 判别说理题
1.1,a
2a 线性相关，1,b 2b 也线性相关，则11,a b + 22a b +一定线性相关.
2.向量空间{}22(0,,,)|,,T n n V
x x x x x R ==∈ 是n 维向量空间.
3.设向量12,ηη是n 元线性方程组
Ax b =的解向量，那么1212
33
ηη+也是这个方程组的一个解向量.
4.3维向量组1234,,,αααα必线性相关。
5.如果向量组12,,,s ααα 线性相关，那么这个向量组中一定有两个向量成比例.
6.若向量组12,,,r a a a 线性相关，则组中任一向量都可由其余向量线性表示.
7.向量组12,,,m ααα 中任意两个向量都线性无关，则向量组线性无关.
8.若,αβ是线性方程组Ax b =的两个解向量， 则αβ
-是方程组
0Ax =的解.
9.向 量 组( I ):12(1,2),(2,3)αα==- 与向量组( II ):12(1,1),(2,1)ββ=-=等价.
10.设向量组I ：1
2,,,s k
k k ααα 是向量组II ：12,,,p ααα 的部分组，如果向量组I 线性相关，
则向量组II 也线性相关. 11.设向量组I ：1
2,,,s k
k k ααα 是向量组II ：12,,,p ααα 的部分组，如果向量组I 线性无关，则向
量组II 也线性无关.
12.如果向量组ααββ112,
,,, s 线性无关，则向量组 1,,s αα 也线性无关. 13.如果向量组12,,,m ααα 线性无关，则该向量组的任何部分组必线性无关. 14.设向量组321,,ααα线性无关,于是向量组133221
,,αααααα+++也线性无关.
15.设n 维向量组s ααα,,,21 线性相关,于是s αααβ,,,,21 也线性相关,其中β为一n 维向量. 16.若向量组n ααα,,,21 线性相关,则1α一定可由n αα,,2 线性表示. 17.设向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)可互相线性表示,则秩(Ⅰ)= 秩(Ⅱ). 18.设向量组s ααα,,,21 线性相关,则该向量组中一定含有零向量. 19. 若ξ是
0AX =的解,若η
是
(0)AX b b =≠的解，则ξη
+是b AX =的解.
20.若有不全为零的数n k k k ,,21使02211≠+++n n k k k ααα ，则n ααα ,,21线性无关.
21.向量βα,线性相关的充要条件是β
αk =（k 为常数）.
22.包含零向量的向量组是线性相关的. 23.若12,ηη是
(0)AX b b =≠的解，则12ηη+也是b AX =的解.
24.n 维向量组s ααα,,,21 与n 维向量组s βββ,,,21 秩相等，则这两个向量组必能互相线性表出.
三、计算题
1.设123221(,,)212122A a a a -?? ?==- ? ?-??，1214(,)0342B b b ??
?
== ? ?-??
.
验证1a ，2a ，3a 是3
R 的一个基，并求 1,b 2b 在这个基中的坐标.
2.求向量组1
(2,4,2)T a =，2(1,1,0)T a =，3(2,3,1)T a =，4(3,5,2)T
a =的一个最大无
关组，并把其它向量用该最大无关组线性表示.
3.求齐次线性方程组123412341
24220230570x x x x x x x x x x x -++=??
-+-=??-+-=?的解空间的基与维数.
4.设矩阵211121121
4462243697
9A --??
?-
?
= ?--
?-??
，求矩阵A 的列向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量用该最大无关组线性表示.
5.已知向量(1,2,0)β
=-可由向量组1(1,1,2)α=-，2(0,1,1)α=-，3(2,3,)αλ=-唯
一地线性表示，讨论λ的取值范围. 6.对于向量组(4,1,3,2),(2,1,5,2),(3,1,4,2)T T T α
βγ=--=--=-- , 试求该向量组的秩，并
从中找出一个最大线性无关组. 7.()
1
1,1,2,1T
α=- , ()
2
1,2,1,5T
α=-- , ()
3
1,1,0,3T
α=-- , ()
4
3,1,2,5T
α=---,
求向量组αααα1234,
,, 的秩及其最大无关组. 8. 设()
1
1,0,1,2T
α= ,()
2
2,4,0,3T
α= , ()
3
3,4,3,5T
α=-- , ()
4
1,2,2,1T
α=---,
()
52,10,1,0T
α=-,求向量组αααα1234,
,, 的秩及其最大无关组. 9. 判断)1,3,1(),1,2,3(),3,2,1(321
===ααα是否线性相关.
10. 设向量组
()()()()()
123451,0,1,0,1,2,0,1,1,4,1,2,0,0,5,5,0,1,1,2T
T
T
T
T
ααααα=-=-=--==试求该向量组的秩和一个最大无关组;并将其余向量由此最大无关组线性表出.
11. 已知一个向量组为????
?
?
??????--=????????????-=????????????=????????????=????????????=1311,4152,2312,1021,120154321ααααα，求该向量组的
一个最大线性无关组及该向量组的秩.
12.判别向量组 ??????? ??=01211a ，??????? ??=20142a ，??????? ??---=63113a ，????
??
? ??--=31304a 是否线性相关？并求该向量组的
最大无关组及该向量组的秩. 13.设)0,1,(),2,2,(),3,1,6(321
a a a =-=+=ααα，求a 为何值时，
（1）321,,ααα线性相关？（2）321,,ααα线性无关？
第五章相似矩阵及二次型 复习题
一、填空题
1.设二次型
32212
3222122x tx x x x x x f ++++=正定，则t 的取值范围是___________．
2.若n 阶方阵A 与B 相似，且2A =，则BA = .
3.实二次型
222123112132233(,,)2426f x x x x x x x x x x x x λ=+++++为正定二次型，则 λ
的取值
范围为 . 4.二次型
221231122(,,)23f x x x x x x x =++的矩阵A = .
5.向量121a ?? ?= ? ?-?? 与 101b ?? ?
= ? ???
的内积为 ，夹角为 .
6.3阶方阵
A 的特征值为3,1,2-，则A =_______.
7.当λ _______时，二次型222123112132233(,,)2426f x x x x x x x x x x x x λ=+++++正定.
8.设
A 是n 阶正交矩阵，则A =___________.
9.二次型
22256444f x y z xy xz =---++的秩为 .
10.已知1234,,,a a a a 为非零3维向量组，且123,,a a a 两两正交，则向量组1234,,,a a a a 的秩为____________. 11.若3λ
=是可逆方阵A 的一个特征值，则1A -必有一个特征值为 .
12.设12,αα是分别属于方阵A 的不同特征值12,λλ的特征向量，则12,αα必线性 .
13.设实对称矩阵A =2101103a a ??
?
- ? ???
是二次型123(,,)f x x x 的矩阵，则二次型123(,,)f x x x =
(写成123,,x x x 的多项式) .
14.实对称矩阵
A =L N M O Q P 0223 的两个特征值为__________.
15.
已知矩阵0
a A a
b ????
=-???????
?
为正交矩阵，则矩阵元素,a b 分别为 __________ .
16.二次型
22123121223(,,)244f x x x x x x x x x =+--的秩为 ______________.
17.已知三阶矩阵
A 的特征值为1,2,3，则_______A =.
18.设实数λ是实矩阵A 的某个特征值，则可知矩阵 322B A A E =-+的某个特征值_____.μ=
19.设向量(1,5,,1)T k α
=- 与向量(2,3,2,)T k k β=- 相互正交， 则k = .
20.若已知n 阶方阵
A 的行列式2A =, 2λ=是矩阵A 的一个特征值，则其伴随矩阵*A 必有一个特
征值为__________. 21.设
A 是正交矩阵，(2,2)T α=，则向量A α
的长度为 .
22.二次型222
123123121323(,,)3223f x x x x x x x x x x x x =+-++-的矩阵_____________.
23.向量(1,2,3)T α
=与(1,2,)T b β=-正交，则b =_______________.
24.已知3阶矩阵
A 的特征值为1,1,2-，则矩阵322
B A A =-的特征值为_______________.
25.设对称矩阵111A ?
? ?
= ? ???
，则与A 对应的二次型为________________________. 26.设12,,,n λλλ 是n 阶矩阵A 的n 个特征值， 则_________.A =
27.若向量12(1,0,1) ,(2,10,6) T T a a αα=-=-正交，则a =_______________.
28.设二次型
223
123123121323(,,)553266f x x x x x x x x x x x x =++-+-，则二次型f
的秩为
_____.
29.设n λλλ,,,21 是方阵
n n ij a A ?=)(的n 个特征值，=+++n λλλ 21 .
30.若23y x ??
???与?
??
?
??4321相似,则=x ,=y . 31.二次型31212
32221321222),,(x x x tx x x x x x x f +-++=正定,则t 应满足的条件是 .
32.已知)1,0,2,1(),1,0,1,1(--=-=βα
.则内积=+-),3(βαβα . 33.n 阶方阵
A 的属于不同特征值的特征向量必定线性 .
34.设321,,ααα是3
R 的一组规范正交基,令()()32123211
223
1,2231
αααβαααβ+-=-+=
,
则内积
()=21,ββ .
35.已知3阶方阵
A 的特征值为3,2,1-,则E A A ++22的特征值为 .
36.与n 阶单位矩阵E 相似的矩阵是 . 37.二次型322
42322214321252)(x x x x x x x x x x f +-+-=+++的矩阵是 ,秩是 .
38.设()()1,2,,4,4,,2,1--==b a βα
,若α与β
正交,则b a ,应满足的关系为 .
39.设方阵A 的特征多项式为()(2)(1)k f E A λλλλ=-=-+,则=A .
40.设1λ
=是方阵A 的一个特征值，则矩阵3233A A A ++的一个特征值是 .
41.若????
??x y 127与???
? ??4231相似,则=x ,=y . 42.向量()()1,4,3,2,2,2αβ==--的夹角 .
43.设A 是幂零矩阵,即存在正整数k ,使得0=k A ,则A 的特征值为 . 44.设
A 为n 阶方阵，且O E A A =+-652，则A 的特征值只能是______
__________.
45.二次型22212312132325226f x x x x x x x x x =+++++的秩为____________.
46.向量()
1,2,1T
a
=-与()
1,0,1T
b
=-的内积为 __________，夹角为 .
47.设向量????? ??=0111α和???
?
?
??=1012α都是矩阵A 对应特征值2=λ的特征向量，且向量212ααβ-=，
则向量
=βA .
48.若n 阶方阵A 满足0342=+-E A A ，则A 的特征值只能是_________.
49.设
A 为n 阶正交阵，则A 必可逆，且_____________1=-A .
50.向量(1,1,0)T
与(0,1,1)
T
的夹角为 .
51.已知2是
A 的一个特征值，则_______________|6|2=-+E A A .
52.设向量βα,分别为实对称阵
A 的两个不同特征值21,λλ所对应的特征向量，则),(βα=________.
53.已知矩阵52344644A x -?? ?=- ? ?-??和123B ?? ?
= ? ???
相似 , 则x =_______.
54.实对称阵A 的所有特征值均大于零是A 正定的______条件.
55.设12,αα是分别属于实对称阵A 的不同特征值12,λλ的特征向量，则12(,)αα= .
56.若
A 为n 阶实矩阵，且0322
=-+E A A ，则A 的特征值只能是______.
57.二次型
22212312132323482f x x x x x x x x x =++++-对应的矩阵是_____________________.
58.设3阶矩阵3个特征值为8,1,
1--，则________
=A . 二、判别说理题
1.矩阵1112
311122
11132
A ?
?-
? ?
?=- ? ? ?- ??
?
是正交矩阵. 2.正交阵的列向量都是单位向量，且两两正交. 3.如果两个n 阶矩阵
A 与
B 合同，则A 与B 也相似.
4.相似矩阵的行列式相等.
5.
12(,,,)T n f x x x x Ax = 是负定二次型的充分必要条件是它的矩阵A 的n 个顺序主子式都小于零。
6.设
A 为实对称矩阵，若行列式0A >，则A 正定.
7.若λ是n 阶矩阵A 的特征值，则2
λ是2A 的特征值.
8.设A 为实对称矩阵，若A 的主对角线上的元素都为正，则A 正定.
9.设
A 为正交阵，则矩阵A 的特征值λ
满足等式：2
1λ
=.
10.1
23(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)T T T a a a ===是3维向量空间3R 的一个规范正交基.
11.n 阶矩阵A 与B 相似，则A 与B 也等价. 12.已知矩阵A 负定，则0A <.
13.若
A 的主对角线上的元素都为负，则A 负定.
14.如果矩阵
A 相似于矩阵
B , 则2A 与2B 也必相似.
15.若n 阶方阵A 与某对角矩阵相似，则方阵A 的秩等于n .
16.设A ,B 都是n 阶方阵,若A 与B 相似,则A 与B 有相同的特征值. 17.设A ,B 都是n 阶方阵,若A ,B 有相同的特征值,则A 与B 相似.
工程学院2011年度（线性代数）期末考试试卷样卷 一、填空题（每小题2分，共20分） 1.如果行列式233 32 31 232221 131211 =a a a a a a a a a ，则=---------33 32 31 232221 13 1211222222222a a a a a a a a a 。 2.设2 3 2 6219321862 131-= D ，则=+++42322212A A A A 。 3.设1 ,,4321,0121-=??? ? ??=???? ??=A E ABC C B 则且有= 。 4.设齐次线性方程组??? ?? ??=????? ??????? ??000111111321x x x a a a 的基础解系含有2个解向量，则 =a 。 、B 均为5阶矩阵，2,2 1 == B A ，则=--1A B T 。 6.设T )1,2,1(-=α,设T A αα=，则=6A 。 7.设A 为n 阶可逆矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若λ是矩阵A 的一个特征值，则*A 的一个特征值可表示为 。 8.若31212322 212232x x x tx x x x f -+++=为正定二次型，则t 的范围是 。
9.设向量T T )1,2,2,1(,)2,3,1,2(-=β=α，则α与β的夹角=θ 。 10. 若3阶矩阵A 的特征值分别为1，2，3，则=+E A 。
二、单项选择（每小题2分，共10分） 1.若齐次线性方程组??? ??=λ++=+λ+=++λ0 00321 321321x x x x x x x x x 有非零解,则=λ（ ） A .1或2 B . －1或－2 C .1或－2 D .－1或2. 2.已知4阶矩阵A 的第三列的元素依次为2,2,3,1-，它们的余子式的值分别为 1,1,2,3-，则=A （ ） A .5 B .-5 C .-3 D .3 3.设A 、B 均为n 阶矩阵，满足O AB =，则必有（ ） A .0=+ B A B .））B r A r ((= C .O A =或O B = D .0=A 或0=B 4. 设21β,β是非齐次线性方程组b X A =的两个解向量，则下列向量中仍为该方程组解的是 （ ） A ．21+ββ B ． ()21235 1 ββ+ C ．()21221ββ+ D ．21ββ- 5. 若二次型3231212 3222166255x x x x x x kx x x f -+-++=的秩为2，则=k （ ） A . 1 B .2 C . 3 D . 4 三、计算题 (每题9分，共63分) 1.计算n 阶行列式a b b b a b b b a D n Λ ΛΛΛΛΛΛ=
线性代数考试题库及答案 一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分） 1.在111 ()111111 x f x x x -+=-+-展开式中，2x 的系数为 （ ） (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 2.A 是m ×n 矩阵，(),r A r B =是m 阶可逆矩阵，C 是m 阶不可逆矩阵，且 ()r C r <，则 （ ） (A) BAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (B) BAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 (C) CAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (D) CAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 3.设n 阶矩阵,A B 有共同的特征值，且各自有n 个线性无关的特征向量，则（ ） (A) A B = (B) ,0A B A B ≠-=但 (C) A B (D) A B 与不一定相似，但 A B = 4.设,,A B C 均为n 阶矩阵，且AB BC CA E ===，其中E 为n 阶单位阵，则 222A B C ++= （ ） (A) O (B) E (C) 2E (D) 3E 5．设1010,0203A B ???? == ? ????? ，则A B 与 （ ） (A)合同，且相似 (B)不合同，但相似 (C)合同，但不相似 （D ）既不合同，又不相似
二、填空题（共 二、填空题（共10小题，每题 2分，共计 20 分） 1．已知11 122 233 30a b c a b c m a b c =≠，则1111 22223333 232323a b c c a b c c a b c c ++=+ 。 2．设 1 010 2010 1A ?? ?= ? ?? ? ，若三阶矩阵Q 满足2,AQ E A Q +=+则Q 的第一行的行向量是 。 3．已知β为n 维单位列向量， T β为β的转置，若T C ββ= ，则 2C = 。 4．设12,αα分别是属于实对称矩阵A 的两个互异特征值12,λλ的特征向量，则 12T αα= 。 5．设A 是四阶矩阵，A * 为其伴随矩阵，12,αα是齐次方程组0AX =的两个线 性无关解，则()r A *= 。 6．向量组1 23(1,3,0,5,0),(0,2,4,6,0),(0,3,0,6,9)T T T ααα===的线性关系 是 。 7．已知三阶非零矩阵B 的每一列都是方程组1231231 23220 2030 x x x x x x x x x λ+-=?? -+=??+-=?的解，则 λ= 。 8．已知三维向量空间3R 的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)T T T ααα===，则向量 (2,0,0)T β=在此基底下的坐标是 。 9．设21110012100,112004A a a ?? ?? ? ?== ? ? ? ????? 则 。 10．二次型2 2 2 123123121323(,,)222222f x x x x x x x x x x x x =++++-的秩为 。
第一部分专项同步练习 第一章行列式 一、单项选择题 1．下列排列是 5 阶偶排列的是( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列j1 j2 j n 的逆序数是k , 则排列j n j2 j1的逆序数是( ). n! (A) k (B) n k (C) k 2 n(n 1) (D) k 2 3. n 阶行列式的展开式中含a11a12 的项共有( )项. (A) 0 (B) n 2 (C) (n 2)! (D) (n 1)! 0 0 0 1 4． 1 1 ( ). 1 0 0 0 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 0 0 1 0 5.0 1 1 ( ). 1 0 0 0 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 2x x 1 1 6．在函数 1 x 1 2 f (x) 中 3 2 x 3 3 x 项的系数是( ). 0 0 0 1 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 1
7. 若 a a a 11 12 13 1 D a a a ，则 21 22 23 2 a a a 31 32 33 2a a 13 a 33 a 11 a 31 2a 12 2a 32 11 D 2a a a 2a ( ). 1 21 23 21 22 2a 31 (A) 4 (B) 4 (C) 2 (D) 2 a a 11 ，则 12 8．若 a a a 21 22 a 12 a 11 ka 22 ka 21 ( ). 2 (D) k2a (A) ka (B) ka (C) k a 9．已知 4 阶行列式中第 1 行元依次是4, 0, 1, 3, 第 3 行元的余子式依次为2, 5,1, x, 则x ( ). (A) 0 (B) 3 (C) 3 (D) 2 8 7 4 3 10. 若 6 2 3 1 D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). 1 1 1 1
微 信 公 众 号 ： 学 习 资 料 杂 货 铺 同济大学课程考核试卷（A 卷） 2009—2010学年第一学期 一、填空题（每空3分，共24分） 1、 设1α、2α、3α均为3维列向量，已知矩阵 123(,,)A ααα=, ()123123123927,248B ααααααααα=++++++，3，且1A =，那么B = -12 . 2、 设分块矩阵A O C O B ?? =? ??? , ,A B 均为方阵，则下列命题中正确的个数为4 . (A).若,A B 均可逆, 则C 也可逆. (B).若,A B 均为对称阵, 则C 也为对称阵. (C).若,A B 均为正交阵, 则C 也为正交阵. (D).若,A B 均可对角化, 则C 也可对角化. 3、 设23413 451 45617891 D = ，则D 的第一列上所有元素的代数余子式之和为 0. 4、 设向量组(I):12,,,r αααL 可由向量组(II):12,,,s βββL 线性表示，则 D 成立.(注：此题单选) (A)．当r s <时，向量组（II）必线性相关 (B)．当r s >时，向量组（II）必线性相关 (C)．当r s <时，向量组（I）必线性相关 (D)．当r s >时，向量组（I）必线性相 关 5、 已知方阵A 满足2 23A A O +=, 则() 1 A E ?+= E+2A . 6、 当矩阵A 满足下面条件中的 ABC 时,推理“若AB O =， 则B O =”可成立. （注：此题可多选） (A).A 可逆(B).A 为列满秩（即A 的秩等于A 的列数） (C).A 的列向量组线性无关 (D).A O ≠7、 设矩阵,A B 分别为3维线性空间V 中的线性变换T 在某两组基下的矩阵，已知1,2?为 A 的特征值， B 的所有对角元的和为5， 则矩阵B 的全部特征值为 1,-2,6 . 8、 设n J 是所有元素均为1的n 阶方阵(2n ≥)，则n J 的互不相同的特征值的个数为2 . 二、（10分）已知矩阵200011031A ????=??????，100052021B ????=??????, 112101030C ???? =??????? .
线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题 5 分，共 25 分） 1 3 1 1.若0 5 x 0 ，则__________。 1 2 2 x1 x2 x3 0 2．若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解，则应满足。 x1x2x30 3．已知矩阵 A，B，C (c ij )s n，满足 AC CB ，则 A 与 B 分别是阶矩阵。 4．已知矩阵A 为 3 3的矩阵，且| A| 3，则| 2A|。 5．n阶方阵A满足A23A E 0 ，则A1。 二、选择题（每小题 5 分，共 25 分） 6．已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时，该二次型为正定？（） A. 4 0 B. 4 4 C. 0 t 4 4 1 t 5 t D. t 2 5 5 5 5 1 4 2 1 2 3 7．已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ，求x的值（） 0 4 3 0 0 5 A.3 B.-2 C.5 D.-5 8 ．设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（） A. A0 B. A 1 0 C.r (A) n D.A 的行向量组线性相关 9 ．过点（ 0， 2， 4）且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为（） 1
x y 2 z 4 A. 3 1 2 x y 2 z 4 C. 3 1 2 x y 2 z 4 B. 3 2 2 x y 2 z 4 D. 3 2 2 10 3 1 ．已知矩阵 A , 其特征值为（ ） 5 1 A. 1 2, 2 4 B. C. 1 2, 2 4 D. 三、解答题 （每小题 10 分，共 50 分） 1 1 2, 2, 2 2 4 4 1 1 0 0 2 1 3 4 0 2 1 3 0 1 1 0 11.设B , C 0 2 1 且 矩 阵 满足关系式 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 2 T X (C B) E ，求 。 a 1 1 2 2 12. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？ 1 1 1 , 2 a , 3 。 2 1 2 1 a 2 2 x 1 x 2 x 3 3 13. 为何值时，线性方程组 x 1 x 2 x 3 2 有唯一解，无解和有无穷多解？当方 x 1 x 2 x 3 2 程组有无穷多解时求其通解。 1 2 1 3 14.设 1 4 , 2 9 , 3 0 , 4 10 . 求此向量组的秩和一个极大无关 1 1 3 7 0 3 1 7 组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。 15. 证明：若 A 是 n 阶方阵，且 AA A1， 证明 A I 0 。其中 I 为单位矩阵 I ， 2
WORD 格式整理 2009－2010学年第一学期期末考试 《线性代数》试卷 答卷说明：1、本试卷共6页，五个大题，满分100分，120分钟完卷。 2、闭卷考试。 评阅人:_____________ 总分人：______________ 一、单项选择题。(每小题3分,共24分) 【 】1.行列式=----3111131111311113 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 【 】2.设A 为3阶方阵，数2-=λ，3=A ，则=A λ (A) 24 (B) 24- (C) 6 (D) 6- 【 】3.已知,,B A 为n 阶方阵，则下列式子一定正确的是 (A)BA AB = (B)2222B)(A B AB A ++=+ (C)BA AB = (D) 22))((B A B A B A -=-+ 【 】4.设A 为3阶方阵, 0≠=a A ，则=*A (A) a （B) 2a (C) 3a (D) 4a __ __ ___ __ __ ___ __ __ 系_ __ __ ___ __ 专业_ __ __ ___ __ _班级 姓名_ __ ___ __ __ ___ __ 学号__ ___ __ __ ___ __ _ ………… … … … … … … … … （ 密） … … … … … … … … … … … … （ 封 ） … … … …… … … … … … … … （ 线 ） … … … … … … … … … … … …
(A) )()(B R A R < (B) )()(B R A R > (C) )()(B R A R = (D) 不能确定)(A R 和)(B R 的大小 【 】6.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ，则0=Ax 有非零解 的充分必要条件是 (A) n r = (B) n r ≥ (C) n r < (D) n r > 【 】7. 向量组)2(,,,21≥m a a a m 线性相关的充分必要条件是 (A) m a a a ,,,21 中至少有一个零向量 (B) m a a a ,,,21 中至少有两个向量成比例 (C) m a a a ,,,21 中每个向量都能由其余1-m 个向量线性表示 (D) m a a a ,,,21 中至少有一个向量可由其余1-m 个向量线性表示 【 】8. n 阶方阵A 与对角阵相似的充分必要条件是 (A)n A R =)( (B)A 有n 个互不相同的特征值 (C)A 有n 个线性无关的特征向量 (D)A 一定是对称阵 二、填空题。(每小题3分,共15分) 1.已知3阶行列式D 的第2行元素分别为1,2,1-，它们的余子式分别为2,1,1-，则=D 。 2.设矩阵方程??????-=???? ??12640110X ，则=X 。 3.设*=ηx 是非齐次线性方程组b Ax =的一个特解，21,ξξ为对应齐次线性方程组 0=Ax 的基础解系， 则非齐次线性方程组b Ax =的通解为 . 4.设n m ?矩阵A 的秩r A R =)(，则n 元齐次线性方程组0=Ax 的解集S 的最大无关组S 的秩=R 。
第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2η1+1 2 η2是Ax=b的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解 9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）
《线性代数B 》 2010～ 2011 学年第 一 学期课程试卷A 一、填空 1. 125 642782516945 4321111= 12 . 2． 设A 、B 为4阶方阵，且,2||1 =-A 813=B ，则=||AB 1/2 . 3. 给定矩阵A ，且E A -可逆,满足B A E AB +=+2,则=B E A + . 4．设??????????=210110001A ，则=-1A ???? ??????--11012000 1 . 5．已知321,,ααα线性相关,3α不能由21,αα线性表示，则21,αα线性 相关 ． 6．设???? ? ?????=??????????=??????????=120,61,321321αααt ，且1α,32αα,线性相关， 则=t 8 ． 7.设A 是34?矩阵,且2)(=A R ，???? ? ?????=213010321B 则=)(AB R __2___ 8．设三阶方阵A 的每行元素之和均为零，又2)(=A R ，则齐次线性方程组O Ax =的通解为 )(111R k k ∈???? ?????? . 9. 向量组,11011????????????-=α,02132????????? ???-=α,31103????????????-=α???? ? ? ??????-=01014α的一个最大线性无关组为 421,,ααα . 10. 设A 为n 阶方阵,0=Ax 有非零解,则A 必有一个特征值为 0 . 二、单项选择
1..若=---+=--1 2 1 203242,112 2013z y x z y x 则( A ) )A ( 1- ； )B ( 2 ； )C ( 1 ； )D ( 0. 2．设C B A ,,均为二阶方阵，AC AB =，则当(C )时，可以推出C B =． .1111)D (;0110)C (;0011)B (;0101)A (? ? ? ???=? ?? ???=? ?? ???=? ?? ???=A A A A 3. 下列结论正确的是( A ) ． )A ( s ααα,,,21 线性无关的充要条件是其中任意一个向量都不是其余向量的线性组合; )B ( 若向量321,,ααα线性相关，则21,αα线性相关； )C ( 若n 阶方阵A 与对角阵相似，则A 有n 个不同的特征值; )D ( 若方程组O Ax =有非零解，则b Ax =有无穷多解. 4. 已知321,,ηηη是四元方程组b Ax =的三个解，其中,3)(=A R ? ? ??? ???????=43211η，???? ????????=+444432ηη， 则以下不是方程组b Ax =的通解为( D ) . )A (;43214202???? ?? ??????+????????????--k )B ( ;43212101????????????+????????????--k )C (;22222101???? ????????+????????????--k )D (????? ? ??????+????????????43210123k . 5. 设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ B ） )A (133221,,αααααα--- ; )B (1321,,αααα+ ; )C (212132,,αααα- ; )D (32322,,αααα+. 6．若n 阶矩阵B A ,有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则（A ）
×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号填“√”，错误的在括号填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ￡ s ￡ n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示
线性代数（A 卷） 一﹑选择题(每小题3分,共15分) 1. 设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ) (A)AB BA = (B)222()AB A B = (C)222()2A B A AB B +=++ (D)A B B A +=+ 2. 如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为( ) (A) n (B) s (C) n s - (D) 以上答案都不正确 3.如果三阶方阵33()ij A a ?=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于( ) (A) 10, 8 (B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8-- 4. 设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ?? ??= ? ?-???? 的矩阵为A ,那么( ) (A) 2331A ??= ?-?? (B) 2241A ??= ?-?? (C) 2121A ??= ? -?? (D) 1001A ?? = ??? 5. 若方阵A 的行列式0A =，则( ) (A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关 二﹑填空题(每小题3分,共30分) 1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ； 2. 设100210341A -?? ? =- ? ?-?? ，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ； 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解,若λαμβ+也是它的解, 那么λμ+= ； 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ； 5. 设A 为正交矩阵,则A = ；
线性代数 一. 单项选择题 1。设A 、B 均为n 阶方阵，则下列结论正确的是 . （a)若A 和B 都是对称矩阵，则AB 也是对称矩阵 （b ）若A ≠0且B ≠0,则AB ≠0 (c)若AB 是奇异矩阵，则A 和B 都是奇异矩阵 (d ）若AB 是可逆矩阵,则A 和B 都是可逆矩阵 2. 设A 、B 是两个n 阶可逆方阵，则()1-?? ????'AB 等于（ ） （a ）()1-'A ()1-'B (b ） ()1-'B ()1-'A （c ）() '-1B )(1'-A （d ）() ' -1B ()1-'A 3.n m ?型线性方程组AX=b,当r(A ）=m 时，则方程组 。 （a ） 可能无解 (b)有唯一解 (c)有无穷多解 （d ）有解 4.矩阵A 与对角阵相似的充要条件是 。 (a ）A 可逆 (b)A 有n 个特征值 (c) A 的特征多项式无重根 （d) A 有n 个线性无关特征向量 5。A 为n 阶方阵,若02 =A ，则以下说法正确的是 。 (a ） A 可逆 (b ） A 合同于单位矩阵 (c ） A =0 (d ） 0=AX 有无穷多解 6．设A ,B ，C 都是n 阶矩阵，且满足关系式ABC E =,其中E 是n 阶单位矩阵， 则必有（ ） （A ）ACB E = (B)CBA E = (C ）BAC E = (D ） BCA E = 7．若233 32 31 232221 131211 ==a a a a a a a a a D ，则=------=33 32 3131 2322 212113 1211111434343a a a a a a a a a a a a D ( ） （A ）6- （B ）6 （C ）24 （D ）24- 二、填空题 1.A 为n 阶矩阵，|A ｜=3,则|AA '｜= ，｜ 1 2A A -* -|= . 2．设???? ??????=300120211A ,则A 的伴随矩阵=*A ； 3．设A ＝? ? ?? ??--1112，则1 -A ＝ 。
线性代数期末考试试卷 答案合集 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=3231 2221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。 ( )
三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2 分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 12-n ③ 12+n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，， ， 21（3 s n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，， ， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。 ① 若A ，B 均可逆，则B A +可逆 ② 若A ，B 均可逆，则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆，则 B A -可逆 ④ 若B A +可逆， 则 A ，B 均可逆 5. 若4321νννν，，，是线性方程组0=X A 的基础解系，则4321νννν+++是0=X A 的（ ） ① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A 的行向量 四、计算题 ( 每小题9分，共63分) 1. 计算行列式 x a b c d a x b c d a b x c d a b c x d ++++。
江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（ ） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. A.B 同为n 阶方阵，则（ ）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（ ）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （ ） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（ ） （A ）任意r 个列向量线性无关
《线性代数》重点题 一． 单项选择题 1.设A 为3阶方阵，数 = 3，|A | =2，则 | A | =（ ）. A ．54； B ．-54； C ．6； D ．-6. 解. .54227)3(33-=?-=-==A A A λλ 所以填: B. 2、设A 为n 阶方阵，λ为实数，则|λA |=（ ） A 、λ|A |； B 、|λ||A |； C 、λn |A |； D 、|λ|n |A |. 解. |λA |=λn |A |.所以填: C. 3.设矩阵()1,2,12A B ?? ==- ??? 则AB =（ ）. 解. ().24121,221???? ??--=-???? ??=AB 所以填: D. A. 0； B. ()2,2-； C. 22?? ?-??； D. 2142-?? ?-?? . 4、123,,a a a 是3维列向量，矩阵123(,,)A a a a =.若|A |=4，则|-2A |=（ ）. A 、-32； B 、-4； C 、4； D 、32. 解. |-2A |=(-2)3A =-8?4=-32. 所以填: D. 5.以下结论正确的是（ ）. A .一个零向量一定线性无关； B .一个非零向量一定线性相关； C .含有零向量的向量组一定线性相关； D .不含零向量的向量组一定线性无关. 解. A .一个零向量一定线性无关；不对,应该是线性相关. B .一个非零向量一定线性相关；不对,应该是线性无关. C .含有零向量的向量组一定线性相关；对. D .不含零向量的向量组一定线性无关. 不对, 应该是:不能判断. 所以填: C. 6、 1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(1,1,1,1),αααα====设则它的极 大无关组为( ) A 、 12,; αα B 、 123,, ;ααα C 、 124,, ;ααα D 、1234,, ,αααα
线性代数期末考试题样卷 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ，Λ21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，，Λ21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，，Λ21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ，Λ21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ，Λ21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ，Λ21中任一个向量都不能用其余向量线性表示
线性代数B 期末试题 一、判断题(正确填T ，错误填F 。每小题2分，共10分) 1． A 是n 阶方阵，R ∈λ，则有A A λλ=。 （ ） 2． A ，B 是同阶方阵，且0≠AB ，则111)(---=A B AB 。 （ ） 3．如果A 与B 等价，则A 的行向量组与B 的行向量组等价。 ( ) 4．若B A ,均为n 阶方阵，则当B A >时，B A ,一定不相似。 ( ) 5．n 维向量组{}4321,,,αααα线性相关，则{}321,,ααα也线性相关。 （ ） 二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1．下列矩阵中，（ ）不是初等矩阵。 （A ）001010100????????? ? (B)100000010?????????? (C) 100020001??????????(D) 100012001?? ??-?????? 2．设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）。 （A ）122331,,αααααα--- （B ）1231,,αααα+ （C ）1212,,23αααα- （D ）2323,,2αααα+ 3．设A 为n 阶方阵，且250A A E +-=。则 1(2)A E -+=（ ） (A) A E - (B) E A + (C) 1()3A E - (D) 1 ()3A E + 4．设A 为n m ?矩阵，则有（ ）。 （A ）若n m <，则b Ax =有无穷多解； （B ）若n m <，则0=Ax 有非零解，且基础解系含有m n -个线性无关解向量； （C ）若A 有n 阶子式不为零，则b Ax =有唯一解； （D ）若A 有n 阶子式不为零，则0=Ax 仅有零解。 5．若n 阶矩阵A ，B 有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则（ ） （A ）A 与B 相似 （B ）A B ≠，但|A-B |=0
诚实考试吾心不虚 ，公平竞争方显实力， 考试失败尚有机会 ，考试舞弊前功尽弃。 上海财经大学《 线性代数 》课程考试卷（B ）闭卷 课程代码 105208 课程序号 姓名 学号 班级 一、单选题(每小题2分，共计20分) 1. 当=t 3 时，311244s t a a a a 是四阶行列式中符号为负的项。 2. 设A 为三阶方阵，3A = ，则* 2A -=__-72__。 3. 设矩阵01000 01000010 00 0A ????? ?=?????? ，4k ≥,k 是正整数，则=k P 0 。 4. 设A 是n 阶矩阵，I 是n 阶单位矩阵,若满足等式2 26A A I +=，则 () 1 4A I -+= 2 2A I - 。 5. 向量组()()()1,2,6,1,,3,1,1,4a a a +---的秩为1，则 a 的取值为__1___。 6. 方程组1243400x x x x x ++=??+=? 的一个基础解系是 ???? ? ? ? ??--??????? ??-1101,0011 。 7. 设矩阵12422421A k --?? ?=-- ? ?--??，500050004A ?? ? = ? ?-?? ，且A 与B 相似，则=k 4 。 …………………………………………………………… 装 订 线…………………………………………………
8. 123,,ααα是R 3 的一个基,则基312,,ααα到基12,αα,3α的过渡矩阵为 ???? ? ??001100010 。 9. 已知413 1 210,32111 a A B A A I -===-+-, 则B 的一个特征值是 2 。 10. 设二次型222 12312132526f x x x tx x x x =++++为正定, 则t 为 5 4||< t 。 二．选择题（每题3分，共15分） 1. 设A 为n 阶正交方阵，则下列等式中 C 成立。 (A) *A A =; (B)1*A A -= (C)()1T A A -=; (D) *T A A = 2. 矩阵 B 合同于145-?? ? - ? ??? (A) 151-?? ? ? ??? ; （B ）????? ??--321;（C ）???? ? ??112;（D ）121-?? ? - ? ?-?? 3. 齐次线性方程组AX O =有唯一零解是线性方程组B AX =有唯一解的（ C ）。 （A ）充分必要条件； （B ）充分条件； （C ）必要条件； （D ）无关条件。 4．设,A B 都是n 阶非零矩阵，且AB O =，则A 和B 的秩（ B ）。 （A ）必有一个等于零；（B ）都小于n ；（C ）必有一个等于n ；（D ）有一个小于n 。 5．123,,ααα是齐次线性方程组AX O =的基础解系，则__B___也可作为齐次线性方程组 AX O =的基础解系。 (A) 1231231222,24,2αααααααα-+-+--+ （B ）1231212322,2,263αααααααα-+-+-+
《线性代数A 》试题（A 卷） 试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数考试时间：学号：姓名：
《线性代数A》参考答案（A卷）一、单项选择题（每小题3分，共30分） 二、填空题（每小题3分，共18分）
1、 256； 2、 132465798?? ? --- ? ???； 3、112 2 112 21122 000?? ?- ? ?-?? ； 4、 ； 5、 4； 6、 2 。 三． 解：因为矩阵A 的行列式不为零,则A 可逆,因此1X A B -=.为了求1A B -,可利用下列初等行变换的方法： 2312112 01012 010******* 12101 141103311033102321102721 002781 002780 11410 101440 10144001103001103001103---?????? ? ? ? -??→-??→-- ? ? ? ? ? ?--? ?? ?? ?-?????? ? ? ? ??→--??→-??→-- ? ? ? ? ? ??????? ―――――（6分） 所以1 278144103X A B -?? ?==-- ? ??? .―――――（8分） 四．解：对向量组12345,,,,ααααα作如下的初等行变换可得： 12345111 4 3111431132102262(,,,,)21355011313156702262ααααα--???? ? ? ----- ? ? = → ? ? --- ? ? ? ?---???? 11 1 431 2 12011310 1131000000 0000000000 0000--???? ? ? ---- ? ? →→ ? ? ? ? ? ?? ???――――（5分） 从而12345,,,,ααααα的一个极大线性无关组为12,αα，故秩 12345{,,,,}ααααα＝2（8分）