一、填空题（每小题2分，共20分）
1.如果行列式2333231232221131211=a a a a a a a a a ，则=---------33
32
31
232221
13
1211
222222222a a a a a a a a a 。
2.设2
3
2
6219321862
131-=
D ，则=+++42322212A A A A 。
3.设1
,,4321,0121-=???
? ??=???? ??=A E ABC C B 则且有= 。 4.设齐次线性方程组???
??
??=????? ??????? ??000111111321x x x a a a 的基础解系含有2个解向量，则
=a 。
、B 均为5阶矩阵，2,2
1
==
B A ，则=--1A B T 。 6.设T )1,2,1(-=α,设T A αα=，则=6A 。
7.设A 为n 阶可逆矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若λ是矩阵A 的一个特征值，则*A 的一个特征值可表示为 。
8.若31212322
212232x x x tx x x x f -+++=为正定二次型，则t 的范围是 。
9.设向量T T )1,2,2,1(,)2,3,1,2(-=β=α，则α与β的夹角=θ 。 10. 若3阶矩阵A 的特征值分别为1，2，3，则=+E A 。
二、单项选择（每小题2分，共10分）
1.若齐次线性方程组???
??=λ++=+λ+=++λ0
00321
321321x x x x x x x x x 有非零解,则=λ（ ）
A .1或2
B . －1或－2
C .1或－2
D .－1或2.
2.已知4阶矩阵A 的第三列的元素依次为2,2,3,1-，它们的余子式的值分别为
1,1,2,3-，则=A （ ）
A .5
B .-5
C .-3
D .3
3.设A 、B 均为n 阶矩阵，满足O AB =，则必有（ ）
A .0=+
B A B .））B r A r ((=
C .O A =或O B =
D .0=A 或0=B
4. 设21β,β是非齐次线性方程组b X A =的两个解向量，则下列向量中仍为该方程组解的是
（ ）
A ．21+ββ
B ．
()21235
1
ββ+ C ．()21221ββ+ D ．21ββ-
5. 若二次型3231212
322
2166255x x x x x x kx x x f -+-++=的秩为2，则=k （ ）
A . 1
B .2
C . 3
D . 4
三、计算题 (每题9分，共63分)
1.计算n 阶行列式a
b
b
b a b b b a
D n
=
2. 设B A ,均为3阶矩阵，且满足B A E AB +=+2，若矩阵???
?
? ??-=101020101A ，
求矩阵B 。
3.已知向量组????? ??-=????? ??=????? ??-=769,103,321321ααα和???
?
? ??=????? ??=????? ??-=01,12,110321b a βββ；
已知3β可以由321,,ααα线性表示, 且321,,ααα与321,,βββ具有相同的秩,求a ,b 的值。
4. 已知向量组????
??
? ??-=??????? ??=??????? ??-=??????? ??=??????? ??-=0221,8451,6352,2130,421154321ααααα
（1）求向量组54321,,,,ααααα的秩以及它的一个极大线性无关组； （2）将其余的向量用所求的极大线性无关组线性表示。
5. 已知线性方程组???
??=+--=+++=+++a
x x x x x x x x x x x x 4321
432143219105363132
（1）a 为何值时方程组有解（2）当方程组有解时求出它的全部解（用解的结构表示）.
6. 设矩阵???
?
??-=????
??--=2001,1141D P ，矩阵A 由关系式D AP P =-1确定，试求5A
7.将二次型3231212322213214222),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=化为标准形，并写
出相应的可逆线性变换。
四、证明题（7分）
已知3阶矩阵O B ≠，且矩阵B 的列向量都是下列齐次线性方程组的解
???
??=-+=+-=-+0
3020
232
1321321x x x x x x x x x λ，
（1）求λ的值；（2）证明：0=B 。
参考答案与评分标准
一.
填空题
1．-16； 2. 0；3.???? ??21107； 4. 1； ； 6. ?
???
? ??----=121242121665
5A ； 7.λ1A ；8.3535
<<-
t ； 9. 2
π
； 10. 24。 二. 单项选择： 1. C ； 2. A ；3. D ； 4. B ； 5. C .
三.计算题：
1. a
b
b a b b b n a a b b
b a b b b a
D n
1
11]
)1([-+==
4分
1)]()1([0
001]
)1([---+---+=n b a b n a b
a b a b b
b n a
9分
2. B A E AB +=+2
?E A B AB -=-2
?))(()(E A E A B E A +-=-
3分 因为???
?
?
?
?-=-00101
010
0E A 显然可逆 6分
则 ????
?
??-=+?????
?
?-=+=201030102101020
101E E A B
9分
3. ,3/3/52100012
6093101713602931???
??
??----→????? ??--b b b b 3分 即5=b ，且2),,(321=αααr 5分 那么2),,(321=βββr ，则
6分 ???
?
? ??-→????? ??→????? ??-0150130
121
501301*********a a b a ，即15=a 9分
4.
??
?
?
?
?
?
??-→
??????? ??-----→??????? ??---00000
10000
02110
012
0144220021101633011
20108624243122553111201
4分
3),,,,(54321=αααααr
5分 其极大线性无关组可以取为521,,ααα
7分 且：521302αααα+-=，521402αααα++=
9分
5. ???
?? ??+-→????? ??----→????? ??--5000011210040011612602242013211910513163
11321
1a a a 当5-=a 时，线性方程组有解 4分
即???+-=-=4
3241214x x x x x ，特解为????
?
?? ??=γ00100， 6分
其导出组的一般解为???+-=-=4
324124x x x x x ，基础解系为????
?
?
? ??-=η??????? ??-=η1014,012021 8分 原线性方程组的通解为2122110,(k k k k η+η+γ为任意常数） 9分
6. 由D AP P =-1，得1-=PDP A
2分
155-=P PD A
4分 ???? ??--???? ??-???? ??--=???? ??--???? ??-???? ?
?--=1141313200111411141
31200111415
7分 ???
? ??--=???? ??--???? ??--=121144431141321128131 9分
7. f x x x x x x x x x x x x (,,)123122232
1213232224=+++++ =x x x x x x x x x 12
123232
22
2322++++++()() 2分 =()()x x x x x x 1232
232
32
++++-
4分 令y x x x y x x y x 1123
2233
3=++=
+=???
?? 6分
即作线性变换x y y x y y x y 1122233
3=-=-=???
??
8分
可将二次型化成标准形f y y y =+-12
22
32
9分
四.证明题：
因为O B ≠，所以齐次线性方程组有非零解，故其方程组的系数行列式
051
1
3
1
21
21=λ=-λ--，所以0=λ 3分
（2）???
?
? ??--→????? ??---=000250121113012121A ，2)(=A r ，因此齐次线性方程组的基础解系
所含解的个数为3-2=1，故1)(≤B r ，因而0=B 。 7分
~