28.2.2 应用举例
第2课时 利用仰俯角解直角三角形
1．使学生掌握仰角、俯角的意义，并学会正确地判断；(重点)
2．初步掌握将实际问题转化为解直角三角形问题的能力．(难点)
一、情境导入
在实际生活中，解直角三角形有着广泛的应用，例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形．当我们测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．今天我们就学习和仰角、俯角有关的应用性问题．
二、合作探究
探究点：利用仰(俯)角解决实际问题
【类型一】 利用仰角求高度
星期天，身高均为1.6米的小红、小涛来到一个公园，用他们所学的知识测算一
座塔的高度．如图，小红站在A 处测得她看塔顶C 的仰角α为45°，小涛站在B 处测得塔顶C 的仰角β为30°，他们又测出A 、B 两点的距离为41.5m ，假设他们的眼睛离头顶都是10cm ，求塔高(结果保留根号)．
解析：设塔高为x m ，利用锐角三角函数关系得出PM 的长，再利用CP PN
＝tan30°，求出x 的值即可．
解：设塔底面中心为O ，塔高x m ，MN ∥AB 与塔中轴线相交于点P ，得到△CPM 、△CPN
是直角三角形，则x －（1.6－0.1）PM
＝tan45°，∵tan45°＝1，∴PM ＝CP ＝x －1.5.在Rt △CPN
中，CP PN ＝tan30°，即x －1.5x －1.5＋41.5＝33
，解得x ＝833＋894. 答：塔高为833＋894
m. 方法总结：解决此类问题要了解角与角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形．当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第7题
【类型二】 利用俯角求高度
如图，在两建筑物之间有一旗杆EG ，高15米，从A 点经过旗杆顶部E 点恰好看
到矮建筑物的墙角C 点，且俯角α为60°，又从A 点测得D 点的俯角β为30°.若旗杆底部G 点为BC 的中点，求矮建筑物的高CD .
解析：根据点G 是BC 的中点，可判断EG 是△ABC 的中位线，求出AB .在Rt △ABC 和Rt △AFD 中，利用特殊角的三角函数值分别求出BC 、DF ，继而可求出CD 的长度．
解：过点D 作DF ⊥AF 于点F ，∵点G 是BC 的中点，EG ∥AB ，∴EG 是△ABC 的中位线，∴AB ＝2EG ＝30m.在Rt △ABC 中，∵∠CAB ＝30°，∴BC ＝AB tan ∠BAC ＝30×
33＝103m.在Rt △AFD 中，∵AF ＝BC ＝103m ，∴FD ＝AF ·tan β＝103×33
＝10m ，∴CD ＝AB －FD ＝30－10＝20m.
答：矮建筑物的高为20m.
方法总结：本题考查了利用俯角求高度，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题
【类型三】 利用俯角求不可到达的两点之间的距离
如图，为了测量河的宽度AB ，测量人员在高21m 的建筑物CD 的顶端D 处测得
河岸B 处的俯角为45°，测得河对岸A 处的俯角为30°(A 、B 、C 在同一条直线上)，则河的宽度AB 约是多少m(精确到0.1m ，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)?
解析：在Rt △ACD 中，根据已知条件求出AC 的值，再在Rt △BCD 中，根据∠EDB ＝45°，求出BC ＝CD ＝21m ，最后根据AB ＝AC －BC ，代值计算即可．
解：∵在Rt △ACD 中，CD ＝21m ，∠DAC ＝30°，∴AC ＝CD tan30°＝213
3
＝213m.∵在Rt △BCD 中，∠EDB ＝45°，∴∠DBC ＝45°，∴BC ＝CD ＝21m ，∴AB ＝AC －BC ＝213－21≈15.3(m)．则河的宽度AB 约是15.3m.
方法总结：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，把实际问题化归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第3题
【类型四】 仰角和俯角的综合
某数学兴趣小组的同学在一次数学活动中，为了测量某建筑物AB 的高，他们来
到与建筑物AB 在同一平地且相距12m 的建筑物CD 上的C 处观察，测得此建筑物顶部A 的仰角为30°、底部B 的俯角为45°.求建筑物AB 的高(精确到1m ，可供选用的数据：2≈1.4，3≈1.7)．
解析：过点C 作AB 的垂线CE ，垂足为E ，根据题意可得出四边形CDBE 是正方形，再由BD ＝12m 可知BE ＝CE ＝12m ，由AE ＝CE ·tan30°得出AE 的长，进而可得出结论．
解：过点C 作AB 的垂线，垂足为E ，∵CD ⊥BD ，AB ⊥BD ，∠ECB ＝45°，∴四边形CDBE 是正方形．∵BD ＝12m ，∴BE ＝CE ＝12m ，∴AE ＝CE ·tan30°＝12×33
＝43(m)，∴AB ＝43＋12≈19(m)．
答：建筑物AB 的高为19m.
方法总结：本题考查的是解直角三角形的应用中仰角、俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题
三、板书设计
1．仰角和俯角的概念；
2．利用仰角和俯角求高度；
3．利用仰角和俯角求不可到达两点之间的距离；
4．仰角和俯角的综合．
备课时尽可能站在学生的角度上思考问题，设计好教学过程中的每一个细节．上课前多揣摩，让学生更多地参与到课堂的教学过程中，让学生体验思考的过程，体验成功的喜悦和失败的挫折，舍得把课堂让给学生，让学生做课堂这个小小舞台的主角．使课堂更加鲜活，充满人性魅力，下课后多反思，做好反馈工作，不断总结得失，不断进步．只有这样，才能
真正提高课堂教学效率.
28.2.2 应用举例 第2课时利用仰俯角解直角三角形 1．使学生掌握仰角、俯角的意义，并学会正确地判断；(重点) 2．初步掌握将实际问题转化为解直角三角形问题的能力．(难点) 一、情境导入 在实际生活中，解直角三角形有着广泛的应用，例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形．当我们测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．今天我们就学习和仰角、俯角有关的应用性问题． 二、合作探究 探究点：利用仰(俯)角解决实际问题 【类型一】利用仰角求高度 星期天，身高均为1.6米的小红、小涛来到一个公园，用他们所学的知识测算一座塔的高度．如图，小红站在A处测得她看塔顶C 的仰角α为45°，小涛站在B处测得塔顶C的仰角β为30°，他们又测出A、B两点的距离为41.5m，假设他们的眼睛离头顶都是10cm，求塔高(结果保留根号)．
解析：设塔高为x m ，利用锐角三角函数关系得出PM 的长，再利用CP PN ＝tan30°，求出x 的值即可． 解：设塔底面中心为O ，塔高x m ，MN ∥AB 与塔中轴线相交于点P ， 得到△CPM 、△CPN 是直角三角形，则x －（1.6－0.1）PM ＝tan45°，∵tan45°＝1，∴PM ＝CP ＝x －1.5.在Rt △CPN 中，CP PN ＝tan30°，即 x －1.5 x －1.5＋41.5＝33，解得x ＝833＋894 . 答：塔高为833＋894 m. 方法总结：解决此类问题要了解角与角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形．当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第7题 【类型二】 利用俯角求高度 如图，在两建筑物之间有一旗杆EG ，高15米，从A 点经过旗杆顶部E 点恰好看到矮建筑物的墙角C 点，且俯角α为60°，又从A 点测得D 点的俯角β为30°.若旗杆底部G 点为BC 的中点，求矮建
28.2.2 应用举例 第1课时解直角三角形的简单应用 1．通过生活中的实际问题体会锐角三角函数在解题过程中的作用；(重点) 2．能够把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并运用解直角三角形求解．(难点) 一、情境导入 为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具．图①所示的是一辆自行车的实物图，图②是这辆自行车的部分几何示意图，其中车架档AC与CD的长分别为45cm和60cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20cm.点A、C、E在同一条直线上，且∠CAB＝75°.
你能求出车架档AD的长吗？ 二、合作探究 探究点：解直角三角形的简单应用 【类型一】求河的宽度 根据网上消息，益阳市为了改善市区交 通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图，新大桥的两端位于A、B 两点，小张为了测量A、B之间的河宽，在垂直于新大桥AB的直线型道路l上测得如下数据：∠BDA＝76.1°，∠BCA＝68.2°，CD＝82米．求AB的长(精确到0.1米)．参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0；sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5.
解析：设AD ＝x m ，则AC ＝(x ＋82)m.在Rt △ABC 中，根据三角函数得到AB ＝2.5(x ＋ 82)m ，在Rt △ABD 中，根据三角函数得到AB ＝4x ，依此得到关于x 的方程，进一步即可求解． 解：设AD ＝x m ，则AC ＝(x ＋82)m.在Rt △ABC 中，tan ∠BCA ＝AB AC ，∴AB ＝AC ·tan ∠BCA ＝2.5(x ＋82)．在Rt △ABD 中，tan ∠BDA ＝AB AD ，∴AB ＝AD ·tan ∠BDA ＝4x ，∴2.5(x ＋82)＝4x ，解得x ＝4103.∴AB ＝4x ＝4×4103 ≈546.7m. 答：AB 的长约为546.7m. 方法总结：解题的关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第3题 【类型二】 求不可到达的两点的高度 如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂 AB 长为30cm ，灯罩BC 长为20cm ，底座厚度为2cm ，灯臂与底座构成的∠BAD ＝60°.使
28.2.2 应用举例 第2课时 利用仰俯角解直角三角形 1．使学生掌握仰角、俯角的意义，并学会正确地判断；(重点) 2．初步掌握将实际问题转化为解直角三角形问题的能力．(难点) 一、情境导入 在实际生活中，解直角三角形有着广泛的应用，例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形．当我们测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．今天我们就学习和仰角、俯角有关的应用性问题． 二、合作探究 探究点：利用仰(俯)角解决实际问题 【类型一】 利用仰角求高度 星期天，身高均为1.6米的小红、小涛来到一个公园，用他们所学的知识测算一座塔的高度．如图，小红站在A 处测得她看塔顶C 的仰角α为45°，小涛站在B 处测得塔顶C 的仰角β为30°，他们又测出A 、B m ，假设他们的眼睛离头顶都是10cm ，求塔高(结果保存根号)． 解析：设塔高为x m ，利用锐角三角函数关系得出PM 的长，再利用CP PN ＝tan30°，求出x 的值即可． 解：设塔底面中心为O ，塔高x m ，MN ∥AB 与塔中轴线相交于点P ，得到△CPM 、△CPN 是直角三角形，那么x －〔1.6－0.1〕PM ＝tan45°，∵tan45°＝1，∴PM ＝CP ＝x Rt △CPN 中，
CP PN ＝tan30°，即x x －1.5＋41.5＝33 ，解得x ＝833＋894. 答：塔高为833＋894 m. 方法总结：解决此类问题要了解角与角之间的关系，找到与和未知相关联的直角三角形．当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形． 变式训练：见?学练优?本课时练习“课堂达标训练〞 第7题 【类型二】 利用俯角求高度 如图，在两建筑物之间有一旗杆EG ，高15米，从A 点经过旗杆顶部E 点恰好看到矮建筑物的墙角C 点，且俯角α为60°，又从A 点测得D 点的俯角β为30°.假设旗杆底部G 点为BC 的中点，求矮建筑物的高CD . 解析：根据点G 是BC 的中点，可判断EG 是△ABC 的中位线，求出AB .在Rt △ABC 和Rt △AFD 中，利用特殊角的三角函数值分别求出BC 、DF ，继而可求出CD 的长度． 解：过点D 作DF ⊥AF 于点F ，∵点G 是BC 的中点，EG ∥AB ，∴EG 是△ABC 的中位线，∴AB ＝2EG ＝30m.在Rt △ABC 中，∵∠CAB ＝30°，∴BC ＝AB tan ∠BAC ＝30×33＝103m.在Rt △AFD 中，∵AF ＝BC ＝103m ，∴FD ＝AF ·tan β＝103× 33 ＝10m ，∴CD ＝AB －FD ＝30－10＝20m. 答：矮建筑物的高为20m. 方法总结：此题考察了利用俯角求高度，解答此题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度． 变式训练：见?学练优?本课时练习“课堂达标训练〞第6题 【类型三】 利用俯角求不可到达的两点之间的距离 如图，为了测量河的宽度AB ，测量人员在高21m 的建筑物CD 的顶端D 处测得河岸B 处的俯角为45°，测得河对岸A 处的俯角为30°(A 、B 、C 在同一条直线上)，那么河的宽度AB 约是多少m(准确到0.1m ，参考数据：2≈1.41，3≈)?
的邻边的对边A A ∠ ∠28.2.2 应用举例 第2课时 利用仰俯角解直角三角形 【学习目标】 ⑴ 使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题． ⑵ 逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． ⑶ 渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识 【学习重点】 将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决． 【学习难点】 实际问题转化成数学模型 【导学过程】 一、自学提纲： 1．解直角三角形指什么？ 2．解直角三角形主要依据什么？ (1)勾股定理： (2)锐角之间的关系： (3)边角之间的关系： tanA= 二、合作交流： 仰角、俯角 当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角． 三、教师点拨： 例3 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km 的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地球表面上P 点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置?这样的最远点与P 点的距离是多少?(地球半径约为6 400 km ，结果精确到0. 1 km) 斜边的邻边A A ∠=cos 斜边的对边A A ∠=sin
例4热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)? 四、学生展示： 一、课本76页练习第1 、2题 五、课堂小结： 六、作业设置： 课本第78页习题28．2复习巩固第3、4题 七、自我反思： 本节课我的收获:
28.2.2 应用举例 新竹高于旧竹枝，全凭老干为扶持。出自郑燮的《新竹》 前进学校史爱东 第2课时利用仰俯角解直角三角形 1．使学生掌握仰角、俯角的意义，并学会正确地判断；(重点) 2．初步掌握将实际问题转化为解直角三角形问题的能力．(难点) 一、情境导入 在实际生活中，解直角三角形有着广泛的应用，例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形．当我们测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．今天我们就学习和仰角、俯角有关的应用性问题． 二、合作探究 探究点：利用仰(俯)角解决实际问题 【类型一】利用仰角求高度 星期天，身高均为1.6米的小红、小涛来到一个公园，用他们所学的知识测算一座塔的高度．如图，小红站在A处测得她看塔顶C的仰角α为45°，小涛站在B处测得塔顶C的仰角β为30°，他们又测出A、B两点的距离为41.5m，假设他们的眼睛离头顶都是10cm，求塔高(结果保留根号)． 解析：设塔高为x m，利用锐角三角函数关系得出PM的长，再利用CP PN ＝tan30°，
求出x的值即可． 解：设塔底面中心为O，塔高x m，MN∥AB与塔中轴线相交于点P，得到△CPM、 △CPN是直角三角形，则x－（1.6－0.1） PM ＝tan45°，∵tan45°＝1，∴PM＝CP ＝x－1.5.在Rt△CPN中，CP PN ＝tan30°，即 x－1.5 x－1.5＋41.5 ＝ 3 3 ，解得x＝ 833＋89 4 . 答：塔高为833＋89 4 m. 方法总结：解决此类问题要了解角与角之间的关系，找到已知和未知相关联的直角三角形．当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题 【类型二】利用俯角求高度 如图，在两建筑物之间有一旗杆EG，高15米，从A点经过旗杆顶部E 点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°.若旗杆底部G点为BC的中点，求矮建筑物的高CD. 析：根据点G是BC的中点，可判断EG是△ABC的中位线，求出AB.在Rt△ABC和Rt△AFD中，利用特殊角的三角函数值分别求出BC、DF，继而可求出CD 的长度．
课题：28.2.2解直角三角形的应用1（仰角和俯角）课型：新授课 班级：9.7 教学目标 知识与技能：能根据解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题，逐 步培养学生分析问题、解决问题的能力． 过程与方法：借助辅助线把实际问题转化为解直角三角形的问题，渗透转化思想 和数形结合的思想. 情感态度与价值观：在探索过程中，发展学生的探究意识和合作交流的习惯. 学情分析 解直角三角形的应用1的主要内容是利用解直角三角形的基本理论知识去解决生活中与仰角和俯角有关的简单实际问题.学生已经学习了"锐角三角函数、解直角三角形的条件、方法，已具备了一定的几何识图及计算能力，也掌握了一定的数学思想方法和数学活动经验。但是把一些实际问题转化为解直角三角形的数学问题，对学生分析问题的能力要求较高，而我所任教班级的学生在这方面的能力有所欠缺，所以这会使学生学习感到困难，因此在教学中我以例题为主，进行了层层递进的变式训练，引导学生学会分析问题，获得解决实际问题的一般策略。 教学重点：根据解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题 教学难点：将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系， 从而解决问题. 教学流程 一、复习回顾： 直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1) 三边之间关系： (2) 锐角之间关系： (3) 边角之间关系： 设计意图：引导学生回顾直角三角形中五个元素的关系， 为学生利用解直角三角解决实际问题为做好铺垫。 说明：此环节用PPT 课件显示，省时、高效，知识的内在联系一目了然。 A C B a c b
28.2 解直角三角形及其应用 28.2.2 应用举例（第2课时） 一、教学目标 【知识与技能】 1.使学生了解仰角、俯角的概念，并能够根据直角三角形的知识解决实际问题； 2.进一步掌握用解直角三角形的知识解决实际问题的方法. 【过程与方法】 注重由已知到未知的探索发现过程，通过温故知新部分进行承前启后，让学生感悟知识的形成与发展过程，由简单到复杂，由已知到未知，由具体到抽象，渗透分类讨论、数形结合、用字母表示数、化归等数学思想和方法. 【情感态度与价值观】 体现数学与现实的联系，激发学生学习数学的主动性，通过小组交流合作，提高学生的交往能力，提高团队合作精神. 二、课型 新授课 三、课时 第2课时共3课时 四、教学重难点 【教学重点】 用仰角、俯角等概念解决实际问题.
【教学难点】 实际问题转化为数学模型. 五、课前准备 教师：课件、直尺、三角板等. 学生：直尺、三角板. 六、教学过程 ㈠导入新课（出示课件2） 如图所示,一只猫在窝顶A处测得老鼠所在地B处的俯角为60°,然后下到猫窝的C处,测得B处的俯角为30°.已知AC =40 m,若这只猫以 5 m/s的速度从猫窝底部D处出发,几秒钟后能抓到老鼠?(结果精确到个位)(假设老鼠不动) ㈡探索新知 知识点仰角、俯角问题（出示课件4） 在测量中，我们把在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，视线在水平线下方的叫做俯角.
教师强调：巧记“上仰下俯”. 考点1 一个观测点构造两个直角三角形解答实际问题. 例 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120m ，这栋楼有多高（结果取整数）？（出示课件5） 师生共同分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，α=30°,β=60°. 在Rt △ABD 中，α=30°，AD ＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD ；类似地可以求出CD ，进而求出BC ． 师生共同解决：（出示课件6） 解：如图，α=30°,β=60°，AD ＝120m ． tan ,tan .BD CD AD AD βα== tan 120tan 30BD AD α∴=⋅=⨯120== tan 120tan 60CD AD β=⋅=⨯120=⨯= BC BD CD ∴=+=277=≈（m ）. 答：这栋楼高约为277m.
28．2 解直角三角形及其应用 人非圣贤，孰能无过？过而能改，善莫大焉。《左传》 原创不容易，【关注】店铺，不迷路！ 28．2.1 解直角三角形(第1课时) 教学目标 一、基本目标 【知识与技能】 1．了解什么叫解直角三角形． 2．掌握解直角三角形的根据． 3．能由已知条件解直角三角形． 【过程与方法】 在探索解直角三角形的过程中，渗透数形结合思想． 【情感态度与价值观】 在探究活动中，培养学生的合作交流意识，让学生在学习中感受成功的喜悦，增强学习数学的信心． 二、重难点目标 【教学重点】 解直角三角形的方法． 【教学难点】 会将求非直角三角形中的边角问题转化为解直角三角形问题． 教学过程 环节1 自学提纲，生成问题 【5min阅读】 阅读教材P72～P73的内容，完成下面练习． 【3min反馈】 1．任何一个三角形都有六个元素，三条边、三个角，在直角三角形中，已知有一个角是直角，我们把利用已知的元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.
2．在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c. (1)两锐角互余，即∠A＋∠B＝90°； (2)三边满足勾股定理，即a2＋b2＝c2； (3)边与角关系sin A＝cos B＝a c ，cos A＝sin B＝ b c ，tan A＝ a b ，tan B＝ b a . 3．Rt△ABC中，若∠C＝90°，sin A＝4 5 ，AB＝10，那么BC＝8，tan B＝ 3 4 . 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】见教材P73例1. 【例2】见教材P73例2. 活动2 巩固练习(学生独学) 1．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果a2＋b2＝c2，那么下列结论正确的是( A ) A．c sin A＝a B．b cos B＝c C．a tan A＝b D．c tan B＝b 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，则AB的长为4 3. 3．根据下列条件解直角三角形． (1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝4，c＝8； (2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，a＝12. 解：(1)a43，∠B＝30°，∠A＝60°. (2)∠B＝30°，b＝43，c＝8 3. 活动3 拓展延伸(学生对学) 【例3】一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝122，试求CD的长． 【互动探索】过点B作BM⊥FD于点M，求出BM与CM的长度，在△EFD中求出∠EDF＝60°，再解直角三角形即可．【解答】如题图，过点B作BM⊥FD于点
28.2解直角三角形的实际应用——仰角、俯角及方位角的重 难点解析 今天我说课的课题是28.2解直角三角形的实际应用（第一课时），下面我将从教材分析、教法学法、教学程序、设计思路四个方面进行阐述。 一、教材分析 （一）教材地位和作用 这是一节复习课，是在学生学习了《解直角三角形》和《解直角三角形的应用》后进行的阶段性小结。《解直角三角形的应用》是第二十八章锐角三角函数的延续，渗透着数形结合思想、方程思想、转化思想。因此本课无论是在本章还是在整个初中数学中都具有重要的地位，在中考中是个比较重要的考点。（分值约占6---10分，常出现在第19题—第21题）（二）教学目标 1、知识技能目标：进一步理解并掌握直角三角形中各元素之间的内在联系，会利用解直角三角形的知识解决仰角、俯角及方位角等有关的综合性实际问题. 2、过程方法目标：在将实际问题抽象为数学问题，画出示意图，转化为解直角三角形问题的过程中，体会“数学建模”和“数形结合”的思想，培养学生分析问题、解决问题的能力． 3、情感态度目标：渗透数形结合和数学建模的数学思想，激发学生学习兴趣，调动学生的积极性和主动性；培养学生理论联系实际，勇于探索敢于创新的精神. （三）教学重点与难点 重点：熟练解直角三角形及会利用解直角三角形的知识去解决有关仰角、俯角及方位角的实际问题。 难点：把实际问题转化为解直角三角形的问题。 二、教法学法 （一）教法分析
本节课着重采用的是探究启发、分组讨论、讲练结合等教学方法，通过多媒体课件，以历年中考题创设问题情境，引出课题，简洁回顾原有的知识，引导学生从实际应用中建立数学模型。 （二）学法分析 通过独立思考、小组合作、讲练结合、学生讲评等学习方式，理解直角三角形中各元素之间的内在联系，发挥学生的主观能动性。使学生在这一过程中主动获得知识，通过例题的实践应用，能提高学生分析、解决问题的能力和综合运用知识的能力。 三、教学程序 本节课我将围绕 情景引入、复习回顾、探索知识、课堂练习、小结梳理、作业布置 这六个环节展开复习教学，具体步骤是： （一）情景引入 问题：(2015云南19题6分)为解决江北学校学生上学过河难的问题，乡政府决定修建一座桥．建桥过程中需测量河的宽度(即两平行河岸AB 与MN 之间的距离)．在测量时，选定河对岸MN 上的点C 处为桥的一端，在河岸点A 处，测得∠CAB ＝30°，沿河岸AB 前行30米后到达B 处，在B 处测得∠CBA ＝60°.请你根据以上测量数据求出河的宽度？ 方式：是以云南省去年的中考题为问题而引出的。目的：（1）突出解直角三角形应用的广泛性和重要性，揭示本课学习解直角三角形应用知识的必要性和意图。（2）创设问题情景，为自然引出本课主题和目标，且有利于激发学生兴趣和解决问题的欲望。 （二）复习回顾 1. 回顾直角三角形具有的基本性质（三边关系、两锐角关系、边角关系（三角函数））。 ；结果保留整数） ，（73.1341.12≈≈
《解直角三角形的应用-----仰角、俯角》教学设计 授课人： 班级：
一、教学任务分析 二、教学流程安排
视频导入学习新知例题讲解知识应用课堂小结布置作业通过观察火箭击中空中目标，引入本节课主题，增强学生学习数学的兴趣，增加学生的爱国热情，对学生进行德育教育. 结合生活实际,让学生了解仰角和俯角概念.并会在简单的几何图形中，认识仰角和俯角，结合三角函数解决简单的应用问题. 通过具体例题教学帮助学生如何分析问题、解决问题，归纳解题方法. 通过习题考察学生对本节课的掌握情况，体会分析问题的方法，如何用解直角三角形的方法解决实际问题. 由学生总结本节课收获. 分层次布置作业，有必做题和选做题. 三、教学过程设计 视频导入师生行为设计意图火箭筒要想准确打中空中目标，对视线和水平线的夹角 有精确地要求，这就是本节课将要学习的《解直角三角形的应用---仰角、俯角》师生观看视 频，通过实际 问题引入课 题. 数学来源于 生活，学会数 学知识能解 决生活问题， 同时对学生 进行德育教 育. 学习新知师生行为设计意图仰角和俯角 在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 与学生一起学 习仰角和俯角 的概念，让学 生从复杂图中 寻找仰角和俯 角 学习概念、认 识概念
学以致用 （1）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， BC=2，从B 点看A点的仰角为60°, 则AC=____ (2)如图，A点看B点的俯角为α，BC=m,则AC=____ (3)如图，A，B两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A同侧的河岸边选定一点C，测出AC=a 米，∠BAC=90°，∠ACB=40°，则AB=____ 学生口答解题 思路，总结解 题方法 结合生活实 际认识数学 条件，会将题 目文字条件 转化为数学 条件 例题讲解师生行为设计意图
第二十八章锐角三角函数 28.2 解直角三角形及其应用 28.2.2 应用举例 课时2 俯角、仰角问题 【知识与技能】 1.了解仰角、俯角、方位角、坡度、坡角等有关概念,知道坡度与坡角之间的关系. 2.经历对实际问题的探究,会利用解直角三角形的知识解决实际问题. 3.在具体情景中从数学的角度发现问题和提出问题,并综合运用数学知识解决简单实际问题. 【过程与方法】 1.通过画示意图,将实际问题转化为数学问题,发展学生的抽象概括能力,提高应用数学知识解决实际问题的能力. 2.经历从实际问题中建立数学模型的过程,增强应用意识,体会数形结合思想的应用. 3.通过探究将实际问题转化为数学问题的过程,培养学生分析问题和解决问题的能力,培养学生思维能力的灵活性. 【情感态度与价值观】 1.学生积极参与探索活动,并在探索过程中发表自己的见解,体会三角函数是解决实际问题的有效工具. 2.通过探索三角函数在实际问题中的应用,感受数学来源于生活又应用于生活以及勇于探索的创新精神. 3.让学生在自主探索、合作交流中获得成功的体验,建立自信心,让学生在解决问题的过程中体会学数学、用数学的乐趣. 能根据题意画出示意图,将实际问题的数量关系转化为直角三角形元素之间的
关系. 正确理解题意,将实际问题转化为数学模型的建模过程. 多媒体课件. 导入一: 【复习提问】 1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c. (1)三边a,b,c有什么关系? (2)∠A,∠B有怎样的关系? (3)边与角之间有怎样的关系? 2.解直角三角形应具备怎样的条件? 【师生活动】学生回答问题,教师点评归纳. 导入二: 如图,要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子AB的顶端,梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°.现有一架长6m的梯子. (1)使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙? (2)当梯子底端距离墙面2.4m时,α等于多少度?此时人能否安全使用这架梯子?
2019-2020学年九年级数学下册 28.2《仰角、俯角》教案（新版）新人教版 1.理解解直角三角形在实际问题中的应用 (1)解决实际问题时,关键是根据题意抽象出其几何模型,然后再通过解决几何模型的问题得到实际问题的答案. (2)与斜三角形有关的问题,往往通过作一边上的高,把其转化为的问题. 2.掌握与测量有关的几个概念 如图,在测量时,视线与水平线所成的角中,视线在水平线的角叫仰角,在水平 线的角叫俯角. 重点一:解直角三角形解决简单实际问题 利用解直角三角形解决实际问题的步骤: (1)将实际问题抽象为数学问题; (2)画出平面图形,转化为三角形的问题; 通过作辅助线利用直角三角形的边角关系 1. 如图所示,A、B两点在河的两岸,要测量这两点之间的距离,测量者在与A同 侧的河岸边选定一点C,测出AC=a米,∠A=90°,∠C=40°,则AB等于( ) (A)asin 40°米(B)acos 40°米(C)atan 40°米(D)米 2. 如图是某水库大坝横断面示意图.其中CD、AB分别表示水库上下底面的水平线, ∠ABC=120°,BC的长是50 m,则水库大坝的高度h是( ) (A)25 m (B)25 m (C)25 m (D) m 3.某学校的校门是伸缩门,伸缩门中的每一行菱形有20个,每个菱形边长为30厘米.校门关闭时,每个菱形的锐角度数为60°(如图1),校门打开时,每个菱形的锐角度数从60°缩小为10°(如图2).问校门打开了多少米?(结果精确到1米,参考数据:sin 5°≈0.0872,cos 5°≈0.9962,sin 10°≈0.1736,cos 10°≈0.9848) 重点二:有关仰角、俯角的测量问题
28.2.2 解直角三角形的应用举例（1） 路秀霞 一、学习目标 知识与技能：1.了解仰角、俯角概念，提高计算能力，能应用解直角三角形解决观测中的实际问题. .学会把实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）. 过程与方法：逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．渗透数学建模及方程思想和方法，能将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系． 情感与价值观：体会数学与生活的密切联系.培养学生应用数学的意识. 二、教学重点、难点 1．重点：应用解直角三角形的有关知识解决观测问题． 2．难点：能够准确分析问题并将实际问题转化为数学模型． 三、教学设计 1．情境引入 ［播放神舟十一号发射升空与天宫二号成功交会对接的视频，时长1分33秒］ 刚才我们大家欣赏的视频是2016年10月19日“神舟十一号”载人飞船成功发射并与’天宫二号”顺利实现交会对接，这为我国未来建设空间站奠定了坚实的基础，这一事件成功的背后离不开航天人员的汗水与智慧，从飞船的设计到制造，再到时间和坐标的精确把握，无一不用到我们的数学知识。数学来源于生活，而又应用于生活，本节课，我们需要用数学知识解决生活中的一些问题，同学们，你们准备好了吗？请同学们齐声朗读育人目标。 熟话说：磨刀不误砍材工。同学们，你们的准备工作做好了吗？请一位同学带领大家解决预习案中的问题。 (一)温故知新 1.如图1，在直角三角形中，除直角外的五个元素之间有哪些关系？ （1）锐角之间的关系： 边之间的关系： 角与边之间的关系(以∠A为例)： (2)至少知道五个元素中的几个，就可以求其余元素？图1 2.请写出30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值： （二）问题导学 1.如图2，当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为________. 当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称_________. 图2 2.如图3，2016年10月19日，“神舟”十一号载人航天飞船与“天宫”二号目标飞行器成功实
第2课时方向角和坡角问题 东宫白庶子,南寺远禅师。——白居易《远师》 枫岭头学校张海泉 【知识与技能】 进一步掌握用解直角三角形的知识解决实际问题的方法，体会方位角、仰角、俯角、坡度（坡比）的含义及其所代表的实际意义，能用它们进行有关的计算. 【过程与方法】 通过实际问题的求解，总结出用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程，增强分析问题和解决问题的能力. 【情感态度】 渗透数形结合的思想方法，增强学生的数学应用意识和能力. 【教学重点】 用三角函数有关知识解决方位角问题. 【教学难点】 学会准确分析问题，并将实际问题转化为数学模型. 一、复习回顾，新知导引 1.仰角、俯角概念； 2.方位角的意义. 【教学说明】教师提出问题顾，为后继学习作好准备. 二、典例精析，掌握新知 例1 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B 处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远 (结果取整数）？ 分析与解易知P点正东方向与AC具有垂直关系，即图中 PC丄AB，若记垂足为C，则图中出现了两个直角三角形APC和直角三角形BPC.而在Rt△APC中，知AP=80，∠APC=90°-65°=25°，故可求出线段PC的长，
即由AP PC =∠APC cos ,得PC=AP · cos25°=80·cos25°≈72.505，因此在Rt △BPC 中，由PB PC PB =∠C cos ，得，13056cos 505.7256cos ≈︒=︒=PC PB 从而可得知海轮在B 处时距离灯塔P 约130海里. 【教学说明】本例的设计较上节课所学过的应用问题不同之处在于用其中一个直角三角形中所获得的结论来作为另一个直角三角形的条件而获得问题的解答，这正是学生感到困难的地方，因而教师应作为引导，帮助学生进行观察思考. 例2 如图，拦水坝的横断面是梯形ABCD (图中i=1:3是指坡面的铅直高度DE 与水平宽度CE 的比，也称为坡度、坡比），根据图中数据求： （1）坡角α和β； （2）斜坡AB 的长（结果保留小数点后一位）. 【教学说明】本例可由学生独立完成，教师巡视指导，让学生在自主探究中体会用解直角三角形的知识来解决史问题的方法，在完成上述例题后，教师引导学生完成创优作业中本课时的“名师导学”部分. 三、师生互动，课堂小结 问题 通过学习用解直角三角形知识解决实际问题过程中，你有哪些收获？ 【教学说明】师生共同探索，完善知识体系. 1.布置作业：从教材P77〜79习题28.2中选取.
《解直角三角形应用举例》教案 教学目标： 知识与技能： 1、使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决． 2、逐步培养学生分析问题、提出问题、解决问题的能力． 3、渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识。 过程与方法： 1、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、提出问题、解决问题的能力． 2、注意加强知识间的纵向联系． 情感态度与价值观： 1.渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯． 2.进行爱国主义教育，增强学生的爱国热情。 重难点、关键： 重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决． 难点：实际问题转化成数学模型 教学过程： 一、复习旧知、引入新课 【复习引入】 1、直角三角形中除直角外五个元素之间具有什么关系？请学生口答． 2、在中Rt△ABC中已知a=12,c=13 求角B应该用哪个关系？请计算出来。 师生活动：教师提问学生回答，并适时引导。 点评：复习巩固解直角三角形的知识，为所有学生能够积极主动地投入到探索活动创设情境，激发学生学习热情． 二、探索新知、分类应用 【活动一】例1：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角︒≤α≤︒，(如图).现有一个长6m的梯子，问: α一般要满足5070 (1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到m) (2)当梯子底端距离墙面m时，梯子与地面所成的角α等于多少(精确到1o) 这时人是否能够安全使用这个梯子。 师生活动：教师引导学生结合图形，考察已知的边和要求的角之间的关系，寻求解决问题的方法。 师问：你们在解答过程中有什么思维障碍？ 生答：角α没有确定怎么办？教师通过角度变化与高度变化进行分析解答。教师反问：
28. 2. 2应用举例 第1课时俯角、仰角问题——数学人教版九年级下册 作者姓名：杜巧云 工作单位：周至县二曲初级中学 区县：周至县 邮政编码：710400
教学目标： 【知识与技能】 使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，并利用解直角三角形方法来解决问题. 【过程与方法】 将实际问题转化为解直角三角形问题过程中，培养学生的转化能力，增强分析问题和解决问题的能力. 【情感态度】 进一步增强学生数学应用意识，感知数学来源于生活又服务于生活的辩证关系. 【教学重点】 学会将实际问题转化为解直角三角形问题，并能综合运用所学知识来解决这些应用问题. 【教学难点】 将实际问题抽象为数学模型. 教学过程： 一、情境导入，初步认识 情景：2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接. “神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地面343 km的圆形轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少(地球半径约为6400 km，π取3.142，结果取整数)？
问题：你能运用解直角三角形和圆的知识解决这个问题吗？ 1.板书课题 2.出示学习目标 3.明确学习重、难点 【教学说明】引导学生先把实际问题转化成数学模型后，明确本节课的学习方向. 二、典例精析，掌握新知 问题1：例1 2012年6月i8日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343 km的圆形轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面犘点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少（地球半径约为6400km，π取3.142，结果取整数）？ 分析与解从组合体上能直接看到的地球上最远的点，应是视线与地球相切时的切点.如图，⊙O表示地球，点F表示组合体的位置FQ是⊙O的切线，则Q点是从组合体上观测地球时的最远点，的