校本课程教案
王乐教学目的
1.通过分析数学思维的特殊性，让学生意识到自己在数学学习中存在的问题.
2.让学生明确数学思维具有变通性.
3.让学生明确高中数学解题思维全过程.
教学重难点
重点:1.明确数学思维的特点,并能合理的加以应用.
2.明确数学解题思维全过程.
3.了解提高解题能力的技巧.
难点:对数学思维的特点的理解及其应用.
第一课时
数学思维的变通性
思维的变通性——善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。
数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，要善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。要想在解题过程中灵活的变通需做到:
（1）善于观察
任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。要想解决它，就必须依据
题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。观察看起来是一种表面现象，但实际上是认识事物内部规律的基础。接下来,我们通过一些例子来体会观察的重要性.
例1 已知d c b a ,,,都是实数，求证.)()(222222d b c a d c b a -+-≥+++ 思路分析 从题目的外表形式观察到，要证的 结论的右端与平面上两点间的距离公式很相似，而 左端可看作是点到原点的距离公式。根据其特点，
可采用下面巧妙而简捷的证法，这正是思维变通的体现。
证明 不妨设),(),,(d c B b a A 如图1－2－1所示，
则.)()(22d b c a AB -+-=
,,2222d c OB b a OA +=+=
在OAB ?中，由三角形三边之间的关系知：
AB OB OA ≥+ 当且仅当O 在AB 上时，等号成立。 因此，.)()(222222d b c a d c b a -+-≥+++
例2 已知二次函数),0(0)(2>=++=a c bx ax x f 满足关系
)2()2(x f x f -=+，试比较)5.0(f 与)(πf 的大小。
思路分析 由已知条件)2()2(x f x f -=+可知，在与2=x 左右等距离的点的函数值相等，说明该函数的图像关于直线2=x 对称，又由 已知条件知它的开口向上，所以，可根据该函数的大致
x
y
)
,(b a A )
,(d c B 图1－2
－1
图像简捷地解出此题。
解 （如图1－2－2）由)2()2(x f x f -=+， 知)(x f 是以直线2=x 为对称轴，开口向上的抛物线 它与2=x 距离越近的点，函数值越小。
)()5.0(25.02ππf f >∴->- （2） 善于联想
联想是问题转化的桥梁。稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显的、间接的、复杂的。因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，做出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入。同样我们从实际出发来分析如何联想.
例1 解方程组???-==+3
2
xy y x .
这个方程指明两个数的和为2，这两个数的积为3-。由此联想到韦达定理，
x 、y 是一元二次方程 0322=--t t 的两个根，
所以???=-=31y x 或???-==1
3y x .可见，联想可使问题变得简单。
例2 若.2,0))((4)(2z x y z y y x x z +==----证明：
思路分析 此题一般是通过因式分解来证。但是，如果注意观察已知条件的特点，不难发现它与一元二次方程的判别式相似。于是，我们联想到借助一元二次方程的知识来证题。
x
y
O
2
图1－2－2
证明 当0≠-y x 时，等式 0))((4)(2=----z y y x x z
可看作是关于t 的一元二次方程0)()()(2=-+-+-z y t x z t y x 有等根的条件，在进一步观察这个方程，它的两个相等实根是1 ，根据韦达定理就有：
1=--y
x z
y 即 z x y +=2 若0=-y x ，由已知条件易得 ,0=-x z 即z y x ==,显然也有z x y +=2. （3） 善于将问题进行转化
数学家G . 波利亚在《怎样解题》中说过：数学解题是命题的连续变换。可见，解题过程是通过问题的转化才能完成的。转化是解数学题的一种十分重要的思维方法。那么怎样转化呢？概括地讲，就是把复杂问题转化成简单问题，把抽象问题转化成具体问题，把未知问题转化成已知问题。在解题时，观察具体特征，联想有关问题之后，就要寻求转化关系。
例 1 如果函数c bx x x f ++=2
)(对任意实数t 都有f(2+t)=f(2-t)，比较
f(2),f(1),f(4)的大小关系 解析 转化为在同一个单调区间上比较大小问题.
由f(2+t)=f(2-t)知f(x)的对称轴为x=2.
∴f(x)在［2，+∞）上为单调增函数.
例2 已知非空集合A={x|x2-4mx+2m+6=0，x ∈R}，若 φ≠-R A 求实数m 的取 值范围(R-表示负实数集,R+表示正实数集
).
解 设全集U={m|Δ=16m2-8m-24≥0}
.
231????
??≥-≤=m m m 或
方程x2-4mx+2m+6=0的两根均非负的充要条件是
.23,
062,04,
≥??
?
?
?≥+≥∈m m m U m 可得
∴ φ
=-R A 时,
实数m
的取值范围为.23???
???≥m m
∴ φ≠-R A 时,
实数m 的取值范围为{m|m ≤-1}.
思维变通性的对立面是思维的保守性，即思维定势。思维定势是指一个人用同一种思维方法解决若干问题以后，往往会用同样的思维方法解决以后的问题。它表现就是记类型、记方法、套公式，使思维受到限制，它是提高思维变通性的极大的障碍，必须加以克服。
综上所述，善于观察、善于联想、善于进行问题转化，是数学思维变通性的具体体现。要想提高思维变通性，必须作相应的思维训练。
高中数学竞赛校本课程 一、课程目标 数学是研究空间形式和数量关系的学科，也是研究模式与秩序的一门学科。数学本身的特点决定了它作为科学基础的地位，中学数学的内容与其中蕴含的数学思想方法，尤其是通过数学学习培养的思考问题、解决问题的数学能力将在更深一层次的科学研究中大有作为。 1、夯实学生数学基础，使学生熟练掌握各种数学基本技能；全面提高学生演绎推理、直觉猜想、归纳抽象、体系构建、算法设计等诸多方面的能力，并在此基础上培养学生学习新的数学知识的能力，数学地提出、分析、解决问题的能力，数学表达与交流的能力；发展学生数学应用意识与数学创新意识。 2、努力扩展学生的数学视野，全面渗透研究性学习，激发学生学习数学的兴趣，使学生能欣赏数学的美学魅力，认识数学的价值，崇尚数学的思考，培养从事科学研究的精神与方法。 3、多角度衔接高等教育，大胆引入现代数学基本理念，为学生继续从事高深科学领域的学习奠定所必需的数学基础。 二、课程设计理念与课程内容特色 本课程始终围绕学生群体设计，从他们的学习与发展的实际学情为基本出发点。课程的内容的选择是严格的，它具有鲜明的针对性，能体现数学教学的特点。本课程设计向要突现以下几点： 1、注重发展学生的数学综合能力 “学以致用”，数学知识的学习必须进入运用的层次，接受实践的考验。20世纪下半叶以来，数学的最大发展是应用，这也对数学教学产生了深刻的影响。本课程在数学知识的理论应用与实践运用上大大加强，数学的融会贯通与“数学建模”成为主体；加强了数学各分支间的结合，以重要的数学思想方法来贯穿数学学习。 2、重视数学思想与数学方法养成的创新学习理念 传授数学知识不是数学教学的重点，‘授人以鱼，不若授之以渔’。引导学生掌握解决问题的科学的数学思想与数学方法是本课程的核心。课程不完全以知识系统为主线，很多例题与练习是为了凸现其中的蕴含的数学思想方法而设计。本课程试图通过数学思想方法的养成为学生形成正确的，积极主动的学习方式创造有利条件，为学生提供“提出问题，探索研究，实践应用”的空间，帮助学生形成独立思考、自主钻研的习惯，培养学生的自主能力，提高理性的数学思维，养成勇于创新的科学理念。 3、拓展数学视野，形成开放体系，努力增强时代感 由于本课程的学习对象为具备教好的数学基础与学习能力的学生，因此在内容上必须有一定的深度与广度，要能够印发学生的思考，要有新的知识内容与视角，传统的 数学课程内容长期以来已经模式化，可选择性不强，本课程大胆突破高考限制，引入“向量几何”、“矩阵理论”、“概率统计”、“线性规划”、“微积分初步”等现代数学内容，摆脱以往数学课程内容的被动与滞后，是本课程力图突破的一点。此外，本课程通过每个章节设置的“本章阅读”介绍著名数学家、数学趣题、数学发展史以及最新数学进展来拓展学生的视野，提高学习数学兴趣。 三、课程内容与数学计划 高一上学期 第一章.集合与命题 第二章.函数 第三章.不等式 第四章.三角函数
升腾教育高一数学 满分150分 姓名 一、选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 （ ） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （ ） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=- 的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ， {}2 |20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是 （ ） A 4 B 3 C 2 D 1 8、设集合A=} { 12x x <<，B=} { x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是 （ ） A } { 2a a ≥ B } { 1a a ≤ C } { 1a a ≥ D } { 2a a ≤ 9、 满足条件M U }{1=}{ 1,2,3的集合M 的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4
二、填空题 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2 A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2 +x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U={ } 2 2,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={} 5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________. 三、解答题 17、已知集合A={x| x 2 +2x-8=0}, B={x| x 2 -5x+6=0}, C={x| x 2 -mx+m 2 -19=0}, 若B ∩C ≠Φ，A∩C=Φ，求m 的值 18、已知二次函数f (x )=2 x ax b ++,A=}{ }{ ()222x f x x ==,试求 f ()x 的解析式 19、已知集合{}1,1A =-，B=} { 2 20x x ax b -+=，若B ≠?，且A B A ?= 求实数 a ， b 的值。
三、函数思想方法的应用 【要点】 1．函数的思想，是指运用运动变化的观点，分析和研究数量关系，通过建立或构造函数关系式，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法． 2．方程的思想，是指根据数学问题中变量间的特殊关系，有意识地构造方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法． 3．函数和方程是密切相关的，可以互相转化。比如研究函数y=f(x)与y=g(x)的图象的交点问题，就是研究方程f(x)=g(x)的实数解的问题；解方程f(x)=0，就是求函数y=f(x)的零点． 4．函数应用题的解题步骤简述如下： （1）审题：阅读理解文字表达的题意,分清条件和结论； （2）建模：将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型,； （3）求模：求解数学模型，得到数学结论； （4）作答：对结果进行验证或评估，作出解释或回答。 解应用题可归结为“过三关”：一是事理关，即读懂题意，需要一定的阅读理解能力；二是文理关，即把文字语言转化为数学的符号语言；三是数理关，即构建相应的数学模型，构建之后还需要扎实的基础知识和较强的数理能力。 【例题】 1．方程x 2=2x 的解的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．已知 155=-a c b ，（a 、b 、c ∈R ），则有（ ） A ．ac b 42> B ．ac b 42≥ C ．ac b 42< D ．ac b 42≤ 3．已知关于x 的方程 2x －(2 m －8)x +2m －16 = 0的两个实根 1x 、2x 满足 1x ＜2 3＜2x ，则实数m 的取值范围_______________． 4．关于x 的方程|x 2－4x +3|－a =0有三个不相等的实数根，则实数a 的值是______． 5．若不等式x 4x 2--≥ 3 4x+11-a 的解集为{x|-4≤x≤-2}，求实数a 的值．
2020-2021学年北京市朝阳区高一上学期期末数学试题 一、单选题 1．已知集合{} 12A x x =-<<，{}2,1,0,1,2B =--，则A B =（ ） A ．{}1,0- B ．{}0,1 C ．{}1,0,1- D ． 1,0,1,2 【答案】B 【分析】利用集合的交运算即可求解. 【详解】由{} 12A x x =-<<，{}2,1,0,1,2B =--， 则A B ={}0,1. 故选：B 2．命题“0,sin 1x x ?≥≤”的否定是（ ） A ．0,sin 1x x ?<> B ．0,sin 1x x ?≤> C ．0,sin 1x x ?<> D ．0,sin 1x x ?≥> 【答案】D 【分析】根据全称命题的否定是特称命题，sin 1x ≤的否定是sin 1x >，即可得到答案. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题，sin 1x ≤的否定是sin 1x >， 所以命题“0,sin 1x x ?≥≤”的否定是0,sin 1x x ?≥> 故选：D 【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于简单题. 3．下列函数中，既是奇函数又在区间()0,1上单调递增的是（ ） A ．sin y x = B ．y = C ．3y x =- D ．lg y x = 【答案】A 【分析】根据解析式可直接判定奇偶性和单调性，得出答案. 【详解】对A ，根据正弦函数的性质可得sin y x =是奇函数，在()0,1单调递增，故A 正确； 对B ，y = [)0,+∞，不关于原点对称，故不是奇函数，故B 错误； 对C ，3 y x =-在()0,1单调递递减，故C 错误；
课题：数学在生活中的应用 本课题分三个部分： 1、分段函数模型在实际问题中的应用 2、概率在生活中的应用 3、函数在现实生活中的应用 第一部分：分段函数在实际问题中的应用 数学应用意识的考查是高考命题的指导思想，考查应用意识是通过解答应 用问题来体现的，考查的重点是客观事物的数学化，这个过程主要是依据现实生活的背景，提炼相关的数量关系，构造数学模型，将现实问题转化为数学问题，并加以解决。我们会遇到如关于醉酒驾车问题、工作安排问题、学生听课注意力问题、通讯话费问题、阶梯电价问题、计程车计费问题、停车费问题、邮资问题、个人所得税等诸如此类问题， 加以说明。 一、醉酒驾车问题 举例1. 某驾驶员喝了m 升酒后，血液中的酒精含量f(x)(毫克/毫升)随时间x(小 实际问题 (核心) 数学模型 (关键) 还原说明 (验证) 模型的解 (目的) 分析模型 (重点)
时)变化的规律近似地满足表达式f(x)=()?????>?≤≤-1 ,10,531532x x x x 。《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定: 驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.02毫克/毫升.此驾驶员至少要过______小时后才能开车。(精确到1小时) 分析:本题为分段函数型。根据解答分段函数“对号入座”的解题原则，分别利用两段函数表达式求解。 解析:当0≤x ≤1时,f(x)为增函数，f(x )≥50-2=0.04>0.02；当x>1时, f(x)=()x 3153?≤0.02得()x 31≤301，3x ≥30, 33=27<30, 34=81>30,x ≥4,故该驾驶员至少要过4小时后才能开车. 二、工作安排问题 举例2. 某车间有50名工人，要完成150件产品的生产任务，每件产品由3个A 型零件和1个B 型零件配套组成，每个工人每小时能加工5个A 型零件或者3个B 型零件，现在把这些工人分成两组同时工作(分组后人数不再进行调整)，每 组加工同一种型号的零件。设加工A 型零件的工人人数为x 名(*∈N x ). ⑴分别用含x 的式子表示完成A 型零件加工所需时间和完成B 型零件加工所需时间； ⑵为了在最短时间内完成全部生产任务，x 应取何值? 解析: ⑴生产150件产品，需加工A 型零件450个，则完成A 型零件加工所需时间f(x)= () 491,905450 ≤≤∈=*x N x x x . 生产150件产品，需加工B 型零件150个，则完成B 型零件加工所需时间g(x)=()() 491,5050503150≤≤∈=*--x N x x x . (2)设完成全部生产任务所需时间为h(x)小时，则h(x)为f(x)与g(x)的较大者。令 f(x)≥g(x)，即x 90≥x -5050，解得1≤x ≤3271.所以当1≤x ≤32时，f(x)>g(x)，当33
典型例题一 例1圆9 )3 ( )3 (2 2= - + -y x上到直线0 11 4 3= - +y x的距离为1的点有几个？ 分析：借助图形直观求解．或先求出直线 1 l、 2 l的方程，从代数计算中寻找解答．解法一：圆9 )3 ( )3 (2 2= - + -y x的圆心为)3,3( 1 O，半径3 = r． 设圆心 1 O到直线0 11 4 3= - +y x的距离为d，则3 2 4 3 11 3 4 3 3 2 2 < = + - ? + ? = d． 如图，在圆心 1 O同侧，与直线0 11 4 3= - +y x平行且距离为1的直线 1 l与圆有两个交点， 这两个交点符合题意． 又1 2 3= - = -d r． ∴与直线0 11 4 3= - +y x平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意．∴符合题意的点共有3个． 解法二：符合题意的点是平行于直线0 11 4 3= - +y x，且与之距离为1的直线和圆的交点． 设所求直线为0 4 3= + +m y x，则1 4 3 11 2 2 = + + = m d， ∴5 11± = + m，即6 - = m，或16 - = m，也即 6 4 3 1 = - +y x l：，或0 16 4 3 2 = - +y x l：． 设圆9 )3 ( )3 (2 2 1 = - + -y x O：的圆心到直线 1 l、 2 l的距离为 1 d、 2 d，则 3 4 3 6 3 4 3 3 2 2 1 = + - ? + ? = d，1 4 3 16 3 4 3 3 2 2 2 = + - ? + ? = d． ∴ 1 l与 1 O相切，与圆 1 O有一个公共点； 2 l与圆 1 O相交，与圆 1 O有两个公共点．即符合 题意的点共3个． 说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：
《集合》常考题型 题型一、集合元素的意义+互异性 例.设集合 ｛0｝ 例.已知A ＝{2，4，a 3－2a 2－a ＋7}，B ＝{1，a ＋3，a 2－2a ＋2，a 3＋a 2＋3a ＋7}，且A ∩B ＝{2，5}，则A ∪B =____________________________ 解：∵A∩B＝{2，5}，∴5∈A. ∴a 3－2a 2－a ＋7＝5解得a ＝±1或a ＝2. ①若a ＝－1，则B ＝{1，2，5，4}，则A∩B＝{2，4，5}，与已知矛盾，舍去． ②若a ＝1，则B ＝{1，4，1，12}不成立，舍去． ③若a ＝2，则B ＝{1，5，2，25}符合题意．则A ∪B ＝{1，2，4，5，25}． 题型二、空集的特殊性 例.已知集合{}{}25,121A x x B x m x m =-<≤=-+≤≤-，且BA ， 则实数m 的取值范围为_____________ 例.已知集合{}R x x ax x A ∈=++=，012，{} 0≥=x x B ，且φ=B A I ， 求实数a 的取值范围。 解：①当0a =时，{|10,}{1}A x x x R =+=∈=-，此时{|0}A x x ≥=ΦI ； ②当0a ≠时，{|0}A x x ≥=ΦQ I ，A ∴=Φ或关于x 的方程2 10ax x ++=的根均为负数. （1）当A =Φ时，关于x 的方程210ax x ++=无实数根， 140a ?=-<，所以14a > . （2）当关于x 的方程210ax x ++=的根均为负数时， 12121401010a x x a x x a ???=-≥??+=-?? 140a a ?≤?????>?104a <≤. 综上所述，实数a 的取值范围为{0}a a ≥. 题型三、集和的运算 例.设集合S ＝{x |x >5或x <－1}，T ＝{x |a 寒假高中数学学习计划 寒假高中数学学习计划(一) 去年此时，大部分学校正为了区统考拼命复习。 今年此时，大部分学校自主进行期末考试的命题。 从新课改对各科的影响来看，数学影响最大，直观表现就是目前各校进度差异很大。 有一个现实必须要认清：每次变革都有一部分人成为牺牲品。在各校进行尝试性调整进度时，自己心里也要有一定的超前意识，千 万不要沦为牺牲品。有的学校对期中考试之后的进度一周三变，周 一告知学必修三，周三告知学必修4，周五告知学必修五的部分内容;有的学校在某一章节花费太多时间，导致后续内容跳跃式略讲， 知识想掌握牢固是不可能的! 期末考完之后能做什么?这是每个学生和家长都想问的问题。每 次大考，总是会给学生带来很大的触动，很多人开始懂得了要好好 学习，很多人通过考试发现了自己的不足，大多数人只有在这个时 候才显得认识很“深刻”。而寒假恰好是一个查漏补缺的最佳时机。 寒假高中数学学习计划(二) 高三上半学期结束之后，多数学校高中阶段的数学知识就已经全部学完，并且进行了第一轮的复习，有的学校甚至开始第二轮复习。那么，在高中的最后一个寒假，高考生应如何做好数学这一重要科 目的复习呢?科苑学校和学大教育的老师给出了一些建议。 对于今年高考数学科目的难易程度，学大教育的徐新平老师认为整套考卷的难易比例分配不会有变化，还是7：2：1，但今年的整 体难度可能会比往年大一点儿，因为去年和前年的高考题相对比较 简单。科苑学校的雷校长则认为，20xx年高考试题的难度总体上不 会有大的变化，高考试题的策划和设计上同样不会有较大的变化， 将继续体现大纲卷向课改卷的平稳过渡。 高三学生的寒假时间虽然比较短，但是同样要制订好学习计划，而且最好针对每一科都有详细的计划。就数学这一科来说，查漏补缺是最为重要的，学大教育的徐新平老师说，寒假的数学复习，要针对每位学生的实际，全面落实考点，构建知识网络，掌握高考数学的知识体系，对没学好的章节内容各个击破，补全补牢不透彻的知识点;再就是学习好各种解题技能技巧，拓展解题思路，理清数学方法在解题中的应用。科苑学校的雷校长希望高三的学生在计划中订立短期目标与长期目标，短期目标就是每天熟记5至10个常用公式，做5道例题，一套综合卷子等;长期目标则是双基考试、一模考试、二模考试、高考中能取得什么样的进步。 高考数学科目中，占比最大的仍然是基础知识。包括优秀学生在内的任何一个学生，其复习质量高低的关键都在于是否切实抓好基础。函数、不等式、数列、三角、立体几何中的空间线面关系、解析几何中的曲线与方程是高中数学的主干知识，也是高考的重点，这些地方有明显漏洞必须首先弥补。抓基础不是把书上的结论看一遍，高三复习仍要强调理解知识的来源及其所蕴含的数学思想、数学方法，把握知识的横纵联系，在理解的基础上实现网络化并牢固熟练地记忆。抓基础离不开做题，要通过解题的思考过程(解题中模糊想法的澄清，不同想法的比较分析)并结合解题研读课本，深入理解基础知识。 做题是很多学生喜欢的复习方法，但是此时不应再盲目做题，需要重质而不是重量。高考数学考试的一个特点是研究题目就可以获得解题的方法，所以不建议高三学生在寒假期间再做模拟题，而应该在寒假期间对最近几年的真题进行分析研究，总结出一些解题的方法。对于平时数学成绩较好的学生来说，学会总结学习的思维，做到快速解题，把所有的题目固定成一种思维，同时总结出变型的主要原则。对于平时数学成绩不太理想的学生来说，这个时候还是应以课本知识点理解为主，在做历年的真题时，结合课本看哪些方面是没有掌握的，根据题目把课本上涉及的知识点标出来。看看这些知识点在应用的时候有何先决条件，知识点如何反向应用，具体的解题过程中在何处卡壳。 北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学 （理） 2019．3 本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答 无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合{|1}A x x =>，集合2{|4}B x x =<，则A B = A ．{|2}x x >- B ．{|12}x x << C ．{|12}x x ≤< D ．R 2．在复平面内，复数12i i z += 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．41 ()x x -的展开式中的常数项为 A ．12- B ．6- C ．6 D ． 12 4．若函数22, 1, ()log , 1x x f x x x ?<=? -≥?, 则函数()f x 的值域是 A ．(,2)-∞ B ．(,2]-∞ C ．[0,)+∞ D ．(,0) (0,2)-∞ 5．如图，函数()f x 的图象是由正弦曲线或余弦曲线经过变换得到的，则()f x 的解析式可以是 A ．()sin(2)3f x x π =+ B ．()sin(4)6f x x π =+ C ．()cos(2)3 f x x π =+ D ．()cos(4)6 f x x π =+ 6．记不等式组0,3,y y x y kx ≥?? ≤+??≤? 所表示的平面区域为D ．“点(1,1)D -∈”是“1k ≤-”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 7．某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该三棱锥的体积为 A ．4 B ．2 C ．8 D ．4 正（主）视图 俯视图 侧（左）视图 12π 1- 1 O 3 π x y 712 π 函 数 练 习 题 班级 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴y = ⑵y = ⑶01 (21)111 y x x =+-++ - 2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2 的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x +的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，数m 的取值围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴2 23y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷31 1 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y =⑹ 22 5941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y ⑽ 4y = ⑾y x =- 6、已知函数22 2()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2 (1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2 (1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1()()1 f x g x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ 2 23y x x =++ ⑵y =⑶ 2 61y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2 (1)f x -的单调递增区间是 8、函数236 x y x -= +的递减区间是 ；函数y =的递减区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3 ) 5)(3(1+-+= x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ； 新教材高一数学寒假作业（1）集合新人教A 版 1、下列命题中正确的是( ) ①{}00=; ②由1,2,3组成的集合可以表示为{}1,2,3或{}3,2,1; ③方程2(1)(2)0x x --=的所有解构成的集合可表示为{}1,1,2; ④集合{}|25x x <<可以用列举法表示. A.①和④ B.②和③ C.② D.以上命题都不对 2、若x A ∈,则1A x ∈,就称A 是伙伴集合.其中12,1,0,,2,32M ??=--???? 的所有非空子集中具有伙伴关系的集合个数是( ) A.1 B.3 C.7 D.1 3、若集合{}|0,N A x x a x =<<∈有且只有一个元素,则实数a 的取值范围为( ) A.(1,2) B.[]1,2 C.[)1,2 D.(]1,2 4、设集合{}{}2,1,1,2A B =-=-,定义集合{}1212|,,A B x x x x x A x B ?==∈∈,则A B ?中所有元素之积为( ) A.8- B.16- C.8 D.16 5、已知{}|5,R ,M x x x a b =≤∈==则( ) A.,a M b M ∈∈ B.,a M b M ∈? C.,a M b M ?∈ D.,a M b M ?? 6、已知集合{}{}1,2,|,,A B x x a b a A b A ===+∈∈,则集合B 中元素的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 7、设集合{}{}N |12,Z |23A a a B b b =∈-<≤=∈-≤<,则A B ?=( ) A.{}0,1 B.{}1,0,1- C.{}0,1,2 D.{}1,0,1,2- 8、已知集合{}{}|12,|1A x x B x x =-<<=>,则A B ?=( ) A.(1,1)- B.(1,2) C.(1,)-+∞ D.(1,)+∞ 9、已知集合{}1,2A =,非空集合B 满足{}1,2A B ?=,则满足条件的集合B 有( ) 北京市朝阳区2020学年度第二学期期末质量检测 高一年级数学学科试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 10y -+= 倾斜角的大小是（ ） A. 6 π B. 3 π C. 23 π D. 56 π 【答案】B 【解析】 【分析】 把直线方程化成斜截式，根据斜率等于倾斜角的正切求解. 10y -+= 化成斜截式为1y =+， 因为tan k α==，所以3 π α=. 故选B. 【点睛】本题考查直线的斜截式方程和基本性质，属于基础题. 2.在ABC △ 中，a =，4b =，π 3A =，则B = （ ） A. π6 B. π3 C. π2 D. 2π3 【答案】A 【解析】 【分析】 根据正弦定理 sin sin a b A B =求解. 【详解】由正弦定理可得 sin sin a b A B = ， 4sin 1sin 2b A B a ∴=== 又4,a b A B =>=∴>Q 6 B π ∴= . 故选A. 【点睛】本题考查解三角形，正弦定理余弦定理是常用方法.注意增根的排除，大边对大角是常用排除方法. 3.已知直线1:1l y kx =+，2:(2)l y k x =-，若12l l ⊥，则实数k 的值是（ ） A. 0 B. 1 C. 1- D. 0或 1- 【答案】B 【解析】 【分析】 根据直线垂直斜率之积为1求解. 【详解】因为12l l ⊥， 所以(2)1k k -=-， 解得1k =. 故选B. 【点睛】本题考查直线垂直的斜率关系，注意斜率不存在的情况. 4.在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是棱1,AA AB 的中点，则异面直线EF 和1C D 所成角的大小是（ ） A. π 6 B. π4 C. π3 D. π2 【答案】D 【解析】 【分析】 平移EF 到1A B ，平移1C D 到1AB ，则1A B 与1AB 所求的角即为所求的角. 【详解】如图所示， 新课标必修3概率部分知识点总结及典型例题解析 ◆ 事件：随机事件（ random event ），确定性事件: 必然事件( certain event )和不 可能事件( impossible event ) ? 随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件 A 在n 次实验中发生了m 次，当实验的次数n 很大时，我们称事件A 发生的概率为()n m A P ≈ 说明：① 一个随机事件发生于具有随机性，但又存在统计的规律性，在进行大量的重复事件时某个事件是否发生，具有频率的稳定性 ，而频率的稳定性又是必然的，因此偶然性和必然性对立统一 ② 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况 ③ 随机事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这个摆动的幅度越来越小，而这个接近的某个常数，我们称之为概事件发生的概率 ④ 概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是一种大的整体的趋势，而频率是具体的统计的结果 ⑤ 概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值 ? 概率必须满足三个基本要求：① 对任意的一个随机事件A ，有()10≤≤A P ② ()()0,1,=Φ=ΩΦΩP P 则有可能事件分别表示必然事件和不和用③如果事件 ()()()B P A P B A P B A +=+:,则有互斥和 ? 古典概率（Classical probability model ）：① 所有基本事件有限个 ② 每个基本事件发生的可能性都相等 满足这两个条件的概率模型成为古典概型 如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个n ，则每一个基本事件发生的概率都是n 1，如果某个事件A 包含了其中的m 个等可能的基本事件，则事件A 发生的概率为 ()n m A P = ? 几何概型（geomegtric probability model ）：一般地，一个几何区域D 中随机地取一点， 记事件“改点落在其内部的一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率为 ()的侧度 的侧度D d A P = （ 这里要求D 的侧度不为0，其中侧度的意义由D 确定，一般地，线段的侧度为该线段的长度；平面多变形的侧度为该图形的面积；立体图像的侧度为其体积 ） 几何概型的基本特点：① 基本事件等可性 ② 基本事件无限多 颜老师说明：为了便于研究互斥事件，我们所研究的区域都是指的开区域，即不含边界，在区域D 内随机地取点，指的是该点落在区域D 内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的侧度成正比，而与其形状无关。 互斥事件(exclusive events)：不能同时发生的两个事件称为互斥事件 高中数学必修1课程纲要 郑州九中高一数学组 ◆课程类型：必修课程 ◆课程名称：高中数学必修1 ◆授课时间：36课时 ◆授课对象：高一年级学生（上学期） ◆课程目标 （一）集合与函数的概念 1.通过实例,知道集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系。 2.能选择自然语言、图形语言、集合语言、（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。 3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． 4. 在具体情境中，知道全集与空集的含义． 5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。 6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。 7. 能使用Ｖｅｎｎ图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。 8.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；知道构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；知道映射的概念。 9.在实际情境中，会根据不同的需要选择不同的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数。 10.通过具体实例，知道简单的分段函数，并能简单应用。 11.通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，知道奇偶性的含义。 12.学会运用函数图像理解和研究函数的性质。 （二）基本初等函数 1. 知道指数函数模型的实际背景。 2. 理解有理指数幂的含义，通过具体实例知道实数指数幂的意义，掌握幂的运算。 3. 理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点。 4. 在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。 5. 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数。 6.通过具体实例，直观知道对数函数所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函 2018-2019学年北京市朝阳区高一（下）期末数学试卷 一、选择题：本大题共10小题每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．（510y -+=的倾斜角为( ) A ． 6 π B ． 3 π C ． 23 π D ． 56 π 2．（5分）在ABC ?中，a =4b =，3 A π =，则(B = ) A ． 6 π B ． 3 π C ． 2 π D ． 23 π 3．（5分）已知直线1:1l y kx =+，2:(2)l y k x =-，若12l l ⊥，则实数k 的值是( ) A ．0 B ．1 C ．1- D ．0或1- 4．（5分）在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱1AA ，AB 的中点，则异面直线EF 和1C D 所成角的大小是( ) A ． 6 π B ． 4 π C ． 3 π D ． 2 π 5．（5分）已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是 ( ) A ．若//l α，l m ⊥，则m α⊥ B ．若//l α，//l β，则//αβ C ．若l α⊥，αβ⊥，则//l β D ．若l α⊥，l β⊥，则//αβ 6．（5分）从某小学随视抽取100名学生，将他们的身高数据（单位：厘米）按[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130.140)，[140，150]分组，绘制成频率分布直方图（如图） 从身高在[120，130)，[130，140)，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法抽取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为( ) 竞赛讲座一 函数的性质 第一讲 函数的单调性 一．学习目标 会判断较复杂的函数的单调区间，能利用函数的单调性解决最值问题及解不等式、解方程。 二．知识要点 单调性的定义，复合函数的单调性，抽象函数的单调性 三．例题讲解 例1.已知???>≤+-=1)(x log )1( 4)13()(x x a x a x f a 是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是 （A ）(0,1) （B ）1(0,)3 （C ）11[,)73 （D ）1[,1)7 【答案】C 【解析】由题意知)1(log )(>=x x x f a 在),1(+∞上为减函数，所以10< ∴该函数在区间[),0∞+上的单调递增。 例3. 已知f ( x )=－x 2 + 2x + 8，g ( x ) = f ( 2－x 2 )，求g ( x )的单调增区间． 【讲解】很明显这是一个复合函数的单调性问题，所以应“分层剥离”为两个函数 t =－x 2+2 ① y = f ( t ) =－t 2 + 2t + 8 ② 对于②f ( t ) =2)1(--t +9,可知当)1,(-∞∈t 时是增函数，当),1(+∞∈t 时是减函数。 对于①由t =－x 2+2＞1得11<<-x ，当)0,1(-∈x 时是增函数，当)1,0(∈x 时是减函数。 由t =－x 2+2＜1得1>x 或1- 发散思维培训班测试题 一、选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 （ ） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （ ） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=- 的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ，{}2|20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是 （ ） A 4 B 3 C 2 D 1 7、点的集合M ＝｛(x,y)｜xy≥0｝是指 ( ) A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集 C. 第一、第三象限内的点集 D. 不在第二、第四象限内的点集 8、设集合A=}{12x x <<，B=}{x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是 （ ） A }{2a a ≥ B }{1a a ≤ C }{1a a ≥ D } {2a a ≤ 9、 满足条件M }{1=}{1,2,3的集合M 的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 10、集合{}|2,P x x k k Z ==∈，{}|21,Q x x k k Z ==+∈， {}|41,R x x k k Z ==+∈，且,a P b Q ∈∈，则有 （ ） A a b P +∈ B a b Q +∈ C a b R +∈ D a b +不属于P 、Q 、R 中的任意一个 二、填空题 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2 A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2+x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U={}22,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={} 5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________. 15、已知集合A={x|20x x m ++=}, 若A ∩R=?，则实数m 的取值范围是 16、50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人. 三、解答题 17、已知集合A={x| x 2+2x-8=0}, B={x| x 2-5x+6=0}, C={x| x 2-mx+m 2-19=0}, 若B ∩C ≠Φ，A∩C=Φ，求m 的值 18、已知二次函数f (x )=2x ax b ++,A=}{}{ ()222x f x x ==,试求 f ()x 的解析式 第一讲 集合及其应用 一、知识梳理 1.元素与集合：把一些能够确定的不同的对象看作一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）.构成集合的每个对象叫做这个集合的元素.常用数集的符号：自然数集N ，正整数集+N 或*N ，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R .不含任何元素的集合叫做空集，记为?. 注：集合中元素的三个特性：元素的确定性、元素的互异性、元素的无序性. 2.集合与元素的关系：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A ；如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ?A . 3.集合表示法： 列举法：将元素一一列出并用花括号括起来表示集合. 描述法：用集合所含元素的特征性质描述集合.{})(x p I x ∈表示集合A 是由集合I 中具有性质) (x p 的所有元素构成的. Venn 图： 4.集合间的基本关系： 子集：如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，我们称集合A 为集合B 的子集，记作 A ? B ，读作A 包含于B .空集是任何一个集合的子集. 真子集：如果集合A ?B ，但存在元素x ∈B ，且x ?A ，我们称集合A 为集合B 的真子集，记作 A B . 集合的相等：如果构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.集合A 与集合B 是 相等的，记作A ＝B . 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集. 5.集合的运算： 交集：由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为集合A 与B 的交集，记作：A ∩B ，读作：A 交B . 并集：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作：A ∪B ，读作：A 并B . 补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合，叫做集合A 在全集U 中的补集，记作：?U A ，读作：A 在U 中的补集.寒假高中数学学习计划
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