反比例函数与面积、动点问题1、如图所示，Rt△ABC在第一象限，∠BAC=90°，AB=AC=2，
点A在直线y=x上，其中点A的横坐标为1，且AB∥x轴，
AC∥y轴，若双曲线y=k/x（k≠0）与△ABC有交点，则k
的取值范围是_________
2、如图，已知△ABO的顶点A和AB边的中点C都在双
曲线y= 4/x（x＞0）的一个分支上，点B在x轴上，CD
⊥OB于D，则△AOC的面积为（）
A、2
B、3
C、4
D、32
3、已知点A、B是反比例函数y=?2x（x＞0）的图象上任
两点，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为C、
D，连接AB，AO，BO，
则S四边形ABCD：S△AOB等于（）
4、在平面直角坐标系中，有反比例函数y=?1x与y=-?1x的图象和正方形ABCD，原点O与对角线AC、BD的交点重叠，且如图所示的阴影部分面积为8，则AB=__________
5、反比例函数y=-?5x的图象如图所示，P是图象上的任意点，过点P分别做两坐标轴的垂线，与坐标轴构成矩形OAPB，点D是对角线OP上的动点，连接DA、DB，则图中阴影部分的面积是
____________
6、如图，点A，C在反比例函数y=?3x（x＜0）的图象上，B，D在x轴上，△OAB，△BCD均为正三角形，则点C的坐标是____________
7、如图所示，P1（x1，y1）、P2（x2，y2），…P n
（x n，y n）在函数y=?9x（x＞0）的图象上，△OP1A1，
△P2A1A2，△P3A2A3…△P n A n-1A n…都是等腰直角三
角形，斜边OA1，A1A2…A n-1A n，都在x轴上，则
y1+y2+…y n=________
8、如图，在直角坐标平面内，函数y=mx（x＞0，m是常数）的图象经过A（1，4），B（a，b），其中a＞1．过点
A作x轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线，
垂足为D，连接AD，DC，CB．
（1）若△ABD的面积为4，求点B的坐标；
（2）求证：DC∥AB；
（3）当AD=BC时，求直线AB的函数解析式．
9、如图，直线y=k1x+b与反比例函数y=k2x的图象交于A（1，6），B（a，3）两点．
（1）求k1、k2的值．
（2）直接写出k1x+b-k2x＞0时x的取值范
围；
（3）如图，等腰梯形OBCD 中，BC ∥OD ，OB=CD ，OD 边在x 轴上，过点C 作CE ⊥OD 于点E ，CE 和反比例函数的图象交于点P ，当梯形OBCD 的面积为12时，请判断PC 和PE 的大小关系，并说明理由．
10、已知
(1)A m -，与(2B m +，是反比例函数k y x
=图象上的两个点．
（1）求k 的值；
（2）若点(10)C -，，则在反比例函数k y x =图象上是否存在点D ，使得以A B C D ，，，四点为顶点的四边形为梯形？若存在，
求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．
11、如图12，已知直线12y x =与双曲线(0)k y k x =>交
于A B ，两点，且点A 的横坐标为4．
（1）求k 的值；
（2）若双曲线(0)k y k x =>上一点C 的纵坐标为8求AOC △的面积；
（3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)k y k x =>于P Q ，两点（P 点在第一象限），若由点A B P Q ，，，为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标．
图
数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。 动态几何形成的面积问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的面积问题，双（多）动点形成的面积问题，线动形成的面积问题，面动形成的面积问题。本专题原创编写单动点形成的面积问题模拟题。 在中考压轴题中，单动点形成的面积问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类。 原创模拟预测题1.某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8. 问题思考： 如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC与正方形PBFE. （1）在点P运动时，这两个正方形面积之和是定值吗？如果时求出；若不是，求出这两个正方形面积之和的最小值. （2）分别连接AD、DF、AF， AF交DP于点A，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由. 问题拓展： （3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8.若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向D点运动，求点P从A到D的运动过程中， PQ 的中点O所经过的路径的长。
动点问题的函数图象选择方法 近几年中考试题中对动点问题的函数图象考察地很频繁，一般都作为选择题最后一道呈现。解答此类题目的一般过程为：读懂题意，牢牢抓住横轴和纵轴所表示的意义，在模拟运动过程中找到分界点，确定不同时间段并分析题意建立相对应函数模型，列出对应函数关系式，由函数关系式选择图象。但在实际的做题过程中，由于是选择题，我们可以选择不同的方法快速，准确地选出答案。 一．列函数关系式法 例1.（2014年河南第8.题）如图，在Rt △ABC 中，∠C=900，AC=1cm ，BC=2cm ，点P 从A 出发，以1cm/s 的速沿折线 AC CB BA 运动，最终回到A 点。设点P 的运动时间为x （s ），线段AP 的长度为y （cm ），则能反映y 与x 之间函数关系的图象大致是 （ ） 解析：由P 点运动过程AC CB BA 知，分为三个阶段，第一阶段AC 段， y=x(0≤x ≤1),第二阶段CB 段，y=2(1)1x -+(1≤x ≤3),这是一个在定义域内的增函数，但不 是一次函数。第三阶段BA 段，y=5+3-x(3≤x ≤5+3),所以本题选A 。 定评：分析不同阶段的运动过程，利用学习过的知识，建立函数模型，列出函数关系式，由关系式找出对应阶段的图象。这种方法要求高，没有较强的分析能力和数学素养关系式列不出来，当然这种方法耗时较多。 二．分析淘汰法 例2. （2014年兰州第15题）如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD 是边长为4的正方形，平行于对角线BD 的直线l 从O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l 与正方形没有交点为止．设直线l 扫过正方形OBCD 的面积为S ，直线l 运动的时间为t （秒），下列能反映S 与t 之间函数关系的图象是（ ） 解析：由l 运动 的过程，分为两个阶段，第一阶段从O 到BD,的过程中，X 轴，Y 轴方向上都在增加，而要表示面积这两个方向上都能用上，所以这必然为开口向上增大的二次函数模式，选择增长的曲线段。第二阶段从BD 到C 的过程，面积在DC,BC 两条边上增大，而此时面积的表示与这两边没有直接的联系，但可以断定是一个增长的二次函数模式，所以本题选D. 点评：分析运动过程，大体与学习过的正比列函数，一次函数，反比例函数，二次函数A ． B ． C ． D ．
第11题 B C A x y 1 O y 1＝x y 2＝4 x 中考数学4专题研究（不等式、动点问题、概率、反比例函数、函数应用题） 1. 不等式组及函数应用题专项训练 2. 动点问题专项训练 3. 概率专项训练 4. 反比例函数问题(2010-7-14) 反比例函数问题(2010-7-14) (2010山东聊城）11．函数y 1＝x (x ≥0)，y 2＝4 x (x ＞0)的图象如图所示，下列结论： ① 两函数图象的交点坐标为A （2，2）； ② 当x ＞2时，y 2＞y 1； ③ 直线x ＝1分别与两函数图象交于B 、C 两点，则 线段BC 的长为3； ④ 当x 逐渐增大时，y 1的值随着x 的增大而增大，y 2的 值随着x 的增大而减小． 则其中正确的是（） A ．只有①② B ．只有①③ C ．只有②④ D ．只有①③④ （2010湖北咸宁）16．如图，一次函数y ax b =+的图象与x 轴，y 轴交于A ，B 两点， 与反比例函数k y x = 的图象相交于C ，D 两点，分别过C ，D 两 点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ． 有下列四个结论： ①△CEF 与△DEF 的面积相等； ②△AOB ∽△FOE ； ③△DCE ≌△CDF ； ④AC BD =． 其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上） （2010江苏徐州）25．(本题8分)如图，已知A(n ，-2)，B(1，4)是一次函数y=kx+b 的图象 和反比例函数y= x m 的图象的两个交点，直线AB 与y 轴交于点C ． (1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)求△AOC 的面积； (3)求不等式kx+b-x m <0的解集(直接写出答案)． （2010江苏南通）21．（本小题满分9分） 如图，直线y x m =+与双曲线k y x =相交于A （2，1）、B 两点． （1）求m 及k 的值； A B O x y （第21题） 2 1 2 3 －3 －1 －2 1 3 －3 －1 －2 y x D C A B O F E
反比例函数图像上的动点问题 ——反比例函数复习 一、开门见山揭示课题 二、复习过程演绎 （一）问题1教学 出示右图：如图，坐标系内有一点A （2，4），有一反比例函数图像经过A 点。则它的函数关系式是什么？（学生口答） 变：过A 作AD ⊥x 轴于D ,连结OA ,则S △AOD =___. 学生口答。 （预设两种：S △AOD =12OD ×AD =4, S △AOD =12×8） 师：你是怎么知道的? 总结：①把点的坐标转化为线段的长，往往是解决直角坐标系中有关图形计算的手段（预设1）； 变1：若C 是图像上的一个动点，也构造这样的直角三角形COF ，则面积为多 少？你的理由？S △AOD =1 2︳k ︳（根据学生回答，引出C 为动点） 师：提问：连结AC ，在这个图形中，你还能找出其他面积相等的部分吗？（学生在工作单上试做） 学生回答：（1）S △AOM =S 梯MDFC ;S △AOC =S △ADFC 板书 （移动几何画板观看） 变2：若C 点坐标为（4，2），求S △AOC 生说师写过程（板书转化思想） 变3：S △AOC =6，求C 点坐标 学生试做。优生板演。 毕。师：请大家仔细看黑板上同学所做题目。请给与评价。有哪些地方值得你欣赏的？哪些地方你觉得要修正的？ （老师根据学生所言，共同规范书写过程）板书分类思想 阶段评价 （二）出示问题2 变4：延长AO 交图像于点B ,则B 点坐标为多少？（口答） 师：你的理由？（中心对称图形） 延长CO 、AO 交图像的另一分支于点E 、B ，连结AF 、BF ，四边形AEBC 是什么 C F O y O x A (2，4) D
题型一 动点问题的函数图像 (10年3考) 【题型解读】近10年考查3次，考查类型及频次：①判断函数图象考查1次；②分析函数图象考查2次. 类型一 判断函数图像 (2014.8) 1. 如图，AB 是半圆O 的直径，点P 从点O 出发，沿OA →AB ︵→BO 的路径运动一周，设点P 到点O 的距离为s ，运动时间为t ，则下列图象能大致地反映s 与t 之间的关系的是( ) 第1题图 2. 如图，在Rt △ABC 中，AC ＝BC ＝4 cm ，点D 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，动点E 从点C 出发，沿CD →DA 以1 cm/s 的速度运动至点A ，设点E 运动的时间为x s ，△EFC 的面积为y cm 2(当E ，F ，C 三点共线时，设y ＝0)，则y 与x 之间的函数关系的大致图象是( ) 第2题图 3.如图，A 、B 是反比例函数y ＝k x (k ＞0)在第一象限图象上的两点，动点P 从坐标原点O 出发，沿图中 箭头所指方向匀速运动，即点P 先在线段OA 上运动，然后在双曲线上由A 到B 运动，最后在线段BO 上运动，最终回到点O .过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，设△POM 的面积为S ，点P 运动时间为t ，则S 关于t 的函数图象大致为( )
第3题图 4.如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线BA→AC运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线AC→CD运动到点D，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止.设△APQ的面积为y，运动时间为x秒，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是() 第4题图 5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M为线段AC上一个动点，过点M作EF∥BD 交AD(或DC)于点E，交AB(或BC)于点F，已知AC＝5，设AM＝x，EF＝y，则y关于x的函数图象大致为() 第5题图 6. (2019衢州)如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB的中点，点P从点E出发，沿E→A→D→C 移动至终点C，设点P经过的路径长为x，△CPE的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是()
·、
' 一. 求函数解析式 。 例1. 如图1，P是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形PEOF的面积为3。求这个反函数的解析式。 图1 图2 二. 求面积 例2.图2中正比例函数和反比例函数的图象相交于A、B两点，分别以A、B两点为圆心，画与y轴相切的两个圆，若点A的坐标为（1，2），求图中两个阴影面积的和。
、 三. 特殊点组成图形的面积 例3. 如图3，反比例函数x 8 y - =与一次函数2x y +-=的图象相交于A 、B 两点。 （1）求A 、B 两点的坐标；（2）求AOB ?的面积。 图3 图4 ）
》 四. 探讨面积的变化 例4. 如图4，x y =和)0m (mx y >=的图象与)0k (x k y >= 的图象分别交于第一象限内的两点A ，C ，过A ，C 分别向x 轴作垂线，垂足分别为B ，D ，若直角三角形AOB 与直角三角形COD 的面积分别为2 1、S S ， 则1S 与2S 的关系为（ ） A. 21S S > B. 21S S = C. 21S S < D. 与k ,m 的值无关 五. 求参数的值 例5. 如图5，已知反比例函数x 12 y = 的图象和一次函数7kx y -=的图象都经过点P （m ，2）。（1）求这个一次函数的解析式；（2）如果等腰梯形ABCD 的顶点A 、B 在这个一次函数图象上，顶点C 、D 在这 个反比例函数图象上，两底AD ，BC 与y 轴平行，且A 和B 的横坐标分别为a 和a+2，求a 的值。 `
图5 （ 一、反比例函数与特殊四边形结合 1．如图1，已知双曲线y ＝ x k （k ＞0）与直线y ＝k ′ x 交于A ，B 两点，点A 在第一象限．试解答下列问题： （1）若点A 的坐标为（4，2）则点B 的坐标为_____________；若点A 的横坐标为m ，则点B 的坐标可表示为_____________； （2）如图2，过原点O 作另一条直线l ，交双曲线y ＝x k （k ＞0）于P ，Q 两点，点P 在第一象限． ①说明四边形APBQ 一定是平行四边形； ②设点A ，P 的横坐标分别为m ，n ，四边形APBQ 可能是矩形吗可能是正方形吗若可能，直接写出m ，n 应满足的条件；若不可能，请说明理由．
3.如图，A、B是反比例函数y＝(k＞0)在第一象限图象上的两点，动点P从坐标原点O出发，沿图中 题型一动点问题的函数图像 类型一判断函数图像 (2014.8) ︵ 1.如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿OA→AB→BO的路径运动一周，设点P到点O 的距离为s，运动时间为t，则下列图象能大致地反映s与t之间的关系的是() 第1题图 2.如图，在△Rt ABC中，AC＝BC＝4cm，点D是AB的中点，点F是BC的中点，动点E从点C出发，沿CD→DA以1cm/s的速度运动至点A，设点E运动的时间为x△s，EFC的面积为y cm2(当E，F，C 三点共线时，设y＝0)，则y与x之间的函数关系的大致图象是() 第2题图 k x 箭头所指方向匀速运动，即点P先在线段OA上运动，然后在双曲线上由A到B运动，最后在线段BO上运动，最终回到点O.过点P作PM⊥x轴，垂足为点△M，设POM的面积为S，点P运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为()
第3题图 4.如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线BA→AC运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线AC→CD运动到点D，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止△.设APQ的面积为y，运动时间为x秒，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是() 第4题图 5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M为线段AC上一个动点，过点M作EF∥BD 交AD(或DC)于点E，交AB(或BC)于点F，已知AC＝5，设AM＝x，EF＝y，则y关于x的函数图象大致为() 第5题图 6.(2019衢州)如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB的中点，点P从点E出发，沿E→A→D→C 移动至终点C，设点P经过的路径长为△x，CPE的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是()
中考动点型问题专题 一、中考专题诠释 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. “动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。 二、解题策略和解法精讲 解决动点问题的关键是“动中求静”. 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 三、中考考点精讲 考点一：建立动点问题的函数解析式（或函数图像） 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.例1 （2015?兰州）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半
径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为（） A．B．C．D． 思路分析：分析动点P的运动过程，采用定量分析手段，求出S与t的函数关系式，根据关系式可以得出结论． 解：不妨设线段AB长度为1个单位，点P的运动速度为1个单位，则： （1）当点P在A→B段运动时，PB=1-t，S=π（1-t）2（0≤t＜1）； （2）当点P在B→A段运动时，PB=t-1，S=π（t-1）2（1≤t≤2）． 综上，整个运动过程中，S与t的函数关系式为：S=π（t-1）2（0≤t≤2）， 这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线．结合题中各选项，只有B 符合要求． 故选B． 点评：本题结合动点问题考查了二次函数的图象．解题过程中求出了函数关系式，这是定量的分析方法，适用于本题，如果仅仅用定性分析方法则难以作出正确选择． 对应训练 1．（2015?白银）如图，⊙O的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O与∠α的两边相切，图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r（r＞0）变化的函数图象大致是（） A．B．C．D．
反比例函数与面积、动点问题1、如图所示，Rt△ABC在第一象限，∠BAC=90°，AB=AC=2， 点A在直线y=x上，其中点A的横坐标为1，且AB∥x轴， AC∥y轴，若双曲线y=k/x（k≠0）与△ABC有交点，则k 的取值范围是_________ 2、如图，已知△ABO的顶点A和AB边的中点C都在双 曲线y= 4/x（x＞0）的一个分支上，点B在x轴上，CD ⊥OB于D，则△AOC的面积为（） A、2 B、3 C、4 D、32 3、已知点A、B是反比例函数y=?2x（x＞0）的图象上任 两点，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为C、 D，连接AB，AO，BO， 则S四边形ABCD：S△AOB等于（） 4、在平面直角坐标系中，有反比例函数y=?1x与y=-?1x的图象和正方形ABCD，原点O与对角线AC、BD的交点重叠，且如图所示的阴影部分面积为8，则AB=__________ 5、反比例函数y=-?5x的图象如图所示，P是图象上的任意点，过点P分别做两坐标轴的垂线，与坐标轴构成矩形OAPB，点D是对角线OP上的动点，连接DA、DB，则图中阴影部分的面积是 ____________
6、如图，点A，C在反比例函数y=?3x（x＜0）的图象上，B，D在x轴上，△OAB，△BCD均为正三角形，则点C的坐标是____________ 7、如图所示，P1（x1，y1）、P2（x2，y2），…P n （x n，y n）在函数y=?9x（x＞0）的图象上，△OP1A1， △P2A1A2，△P3A2A3…△P n A n-1A n…都是等腰直角三 角形，斜边OA1，A1A2…A n-1A n，都在x轴上，则 y1+y2+…y n=________ 8、如图，在直角坐标平面内，函数y=mx（x＞0，m是常数）的图象经过A（1，4），B（a，b），其中a＞1．过点 A作x轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线， 垂足为D，连接AD，DC，CB． （1）若△ABD的面积为4，求点B的坐标； （2）求证：DC∥AB； （3）当AD=BC时，求直线AB的函数解析式． 9、如图，直线y=k1x+b与反比例函数y=k2x的图象交于A（1，6），B（a，3）两点． （1）求k1、k2的值． （2）直接写出k1x+b-k2x＞0时x的取值范 围；
浙江中考数学易错题复习——与函数有关的动点问题 一、单选题 1.如图，若点P为函数图象上的一动点，表示点P到原点O的距离，则下列图象中，能表示与点P的横坐标的函数关系的图象大致是（） A. B. C. D. 2.如图①，在中，动点从点出发，沿折线运动，设点经过的路程为 的面积为，把看做的函数，函数的图像如图②所示，则图②中a的值等于（） A. B. C. 14 D. 18 3.如图，已知线段AB＝12厘米，动点P以2厘米/秒的速度从点A出发向点B运动，动点Q以4厘米/秒的速度从点B出发向点A运动.两点同时出发，到达各自的终点后停止运动.设两点之间的距离为s(厘米)，动点P的运动时间为t秒，则下图中能正确反映s与t之间的函数关系的是( )
A. B. C. D. 4.如图，正方形的边长为，动点从点出发以的速度沿着边运动，到达点停止运动，另一动点同时从点出发，以的速度沿着边向点运动，到达点停止运动，设点运动时间为，的面积为，则关于的函数图象是（） A. B. C. D. 5.如图，点A是反比例函数y═ （x＞0）上的一点，过点A作AC⊥y轴，垂足为点C，AC交反比例函数y＝的图象于点B，点P是x轴上的动点，则△PAB的面积为（）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6.如图，点A是反比例函数y （x＞0）上的一点，过点A作AC⊥y轴，垂足为点C，AC交反比例函数y＝的图象于点B，点P是x轴上的动点，则△PAB的面积为（） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7.如图，在矩形中，，，动点P沿折线从点B开始运动到点D，设点P运动的路程为，的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是 A. B. C. D. 8.如图，已知A,B是反比例函数图象上的两点，轴，交x轴于点C.动点P从 坐标原点O出发，沿匀速运动，终点为C.过点P作轴于Q.设的面积为S,点P运动的时间为t则S关于t的函数图象大致为（）
题型一 动点问题的函数图像 类型一 判断函数图像 (2014.8) 1. 如图，AB 是半圆O 的直径，点P 从点O 出发，沿OA →AB ︵→BO 的路径运动一周，设点P 到点O 的距离为s ，运动时间为t ，则下列图象能大致地反映s 与t 之间的关系的是( ) 第1题图 2. 如图，在Rt △ABC 中，AC ＝BC ＝4 cm ，点D 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，动点E 从点C 出发，沿CD →DA 以1 cm/s 的速度运动至点A ，设点E 运动的时间为x s ，△EFC 的面积为y cm 2(当E ，F ，C 三点共线时，设y ＝0)，则y 与x 之间的函数关系的大致图象是( ) 第2题图 3.如图，A 、B 是反比例函数y ＝k x (k ＞0)在第一象限图象上的两点，动点P 从坐标原点O 出发，沿图中 箭头所指方向匀速运动，即点P 先在线段OA 上运动，然后在双曲线上由A 到B 运动，最后在线段BO 上运动，最终回到点O .过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，设△POM 的面积为S ，点P 运动时间为t ，则S 关于t 的函数图象大致为( )
第3题图 4.如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线BA→AC运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线AC→CD运动到点D，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止.设△APQ的面积为y，运动时间为x秒，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是() 第4题图 5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M为线段AC上一个动点，过点M作EF∥BD 交AD(或DC)于点E，交AB(或BC)于点F，已知AC＝5，设AM＝x，EF＝y，则y关于x的函数图象大致为() 第5题图 6. (2019衢州)如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB的中点，点P从点E出发，沿E→A→D→C 移动至终点C，设点P经过的路径长为x，△CPE的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是()
数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。 动态几何形成的面积问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的面积问题，双 （多）动点形成的面积问题，线动形成的面积问题，面动形成的面积问题。本专题原创编写单动点形成的面积问题模拟题。 在中考压轴题中，单动点形成的面积问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类。 原创模拟预测题1. 某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8. 问题思考： 如图1，点P 为线段AB 上的一个动点，分别以AP 、BP 为边在同侧作正方形APDC 与正方形PBFE. （1）在点P 运动时，这两个正方形面积之和是定值吗？如果时求出；若不是，求出这两个正方形面积之和的最小值. （2）分别连接AD 、DF 、AF ， AF 交DP 于点A ，当点P 运动时，在△APK 、△ADK 、△DFK 中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由. 问题拓展： （3）如图2，以AB 为边作正方形ABCD ，动点P 、Q 在正方形ABCD 的边上运动，且PQ=8.若点P 从点A 出发，沿A→B→C→D 的线路，向D 点运动，求点P 从A 到D 的运动过程中， PQ 的中点O 所经过的路径的长。 图1 F E D C A B P
动点问题专项训练 1．如图，在矩形ABCD中，AB=2，1 BC=，动点P从点B出发，沿路线B C D →→作匀速运动，那么ABP △的面积S与点P运动的路程x之间的函数图象大致是（） 2．如图1，在直角梯形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD运动至点D停止．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则△BCD的面积是（） A．3 D．6 3．如图，△ABC和的△DEF是等腰直角三角形，∠C=∠F=90°，AB=2.DE=4．点B与点D重合，点A,B(D),E在同一条直线上，将△ABC沿D E →方向平移，至点A与点E重合时停止．设点B,D之间的距离为x，△ABC与△DEF重叠部分的面积为y，则准确反映y与x之间对应关系的图象是（） 4．如图，点G、D、C在直线a上，点E、F、A、B在直线b上，若a b Rt GEF ∥，△从如图所示的位置出发，沿直线b向右匀速运动，直到EG与BC重合．运动过程中GEF △与矩形ABCD重合部分 ．．．．的面积（S）随时间（t）变化的图象大致是（） O 3 1 1 3 S x A． O 1 1 3 S x O 3 S x 3 O 1 1 3 S x B．C．D． 2 D C P B A 图1 2 O 5 x C P D 图2 G D C E F A B a （第4题s O s O s O s O
5．（2009年）如图，平面直角坐标系中，在边长为1的正方形ABCD 的边上有一动点P 沿A B C D A →→→→运动一周，则P 的纵坐标y 与点P 走过的路程s 之间的函数关系用图象表示大致是（ ） 6．如图1，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC 、CD 、DA 运动至点A 停止，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则矩形ABCD 的面积是( ) A ．10 8．16 C. 20 D ．36 7．如图，三个大小相同的正方形拼成六边形ABCDEF ，一动点P 从点A 出发沿着A →B →C →D →E 方向匀速运动，最后到达点E .运动过程中PEF ?的面积（s ）随时间（t ）变化的图象大致是（ ） 8．如图8， 点A 、B 、C 、D 为圆O 的四等分点，动点P 从圆心O 出发，沿O-C-D-O 的路线作匀速运动.设运动时间为t 秒, ∠APB 的度数为y 度，则下列图象中表示y 与t 之间函数关系最恰当的是 9． 13．一正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E ”图案，如图4所示，设小矩形的长和宽分别为x 、y ，剪去部分的面积为20，若2≤x ≤10，则y 与x 的函数图象是: 1 2 3 4 1 2 y s O 1 2 3 4 1 2 y s O s 1 2 3 4 1 2 y s O 12341 2 y O A B C D s t A ．。 O s t B O s D O s t C O t （第6题图） A B C D E . F . P . ·
九年级中考数学动点问题压轴题专题训练 1. 如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别为O(0，0)， A(3，33)，B(9，53)，C(14，0)．动点P与Q同时从O点出发，运动时间为t秒，点P沿OC方向以1单位长度/秒的速度向点C运动，点Q沿折线OA－AB －BC运动，在OA，AB，BC上运动的速度分别为3，3，5 2(单位长度/秒)．当P，Q中的一点到达C点时，两点同时停止运动． (1)求AB所在直线的函数表达式． (2)如图2，当点Q在AB上运动时，求△CPQ的面积S关于t的函数表达式及S 的最大值． (3)在P，Q的运动过程中，若线段PQ的垂直平分线经过四边形OABC的顶点，求相应的t值． 图1 图2 2. 如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点N，过A点的直线l:y=kx+n与y轴交于点C，与抛物线y=-x2+bx+c的另一个交点为D，已知A(-1，0)，D(5，-6)，P点为抛物线y=-x2+bx+c上一动点(不与A，D重合). (1)求抛物线和直线l的解析式; (2)当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作
PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值; (3)设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N，C，M，P为顶点的四边形为平行四边形.若存在，求出点M的坐标;若不存在，请说明理由. 3. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2, －4 )、O(0, 0)、B(2, 0)三点． （1）求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式； （2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM＋OM的最小值． 4. 设直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2，若l1⊥l2，垂足 为H，则称直线l1与l2是点H的直角线．
八下动点问题研究 1、如图下左，在矩形ABCD 中，AB=4cm ，AD=12cm ，点P 在AD 边上以每秒lcm 的速度从点A 向点D 运动，点Q 在BC 边上，以每秒4cm 的速度从点C 出发，在CB 间往返．．运动，两个点同时出发，当点P 到达点D 时停止(同时点Q 也停止)，在这段时间内，线段PQ 有多少次平行于AB （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2、如图下中，在ABC △中，2AB AC ==，20BAC ∠=．动点P Q ，分别在直线BC 上运动，且始终保持100PAQ ∠=。设BP x =，CQ y =，则y 与x 之间的函数关系式为 。 3. 如图下右，在⊿ABC 中，AB=10 cm ，BC=20cm ，点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以2 cm/s 的速度移动，点Q 从B 点开始沿边BC 以2 cm/s 的速度移动。如果点P 、Q 分别从点A 、B 同时出发，经过 秒钟后，以点P 、B 、Q 三点为顶点的三角形与⊿ABC 相似？ Q P C B A
4.如图，一条直线与反比例函数 k y x 的图象交于A（1，4）、B（4，n）两点，与x轴交于D 点，AC⊥x轴，垂足为C． （1）如图甲，①求反比例函数的解析式；②求n的值及D点坐标； （2）如图乙，若点E在线段AD上运动，连结CE，作∠CEF=45°，EF交AC于F点． ①试说明△CDE∽△EAF； ②当△ECF为等腰三角形时，直接写出F点坐标．
5、已知：如图，正方形ABCD 的边长是1，P 是CD 的中点， 点Q 是线段BC 上一动点，当BQ 为何值时，以A 、D 、P 为顶点 的三角形与以Q 、C 、P 为顶点的三角形相似 6、如图，在平面直角坐标系内，已知点A （0，6）、点B （8，0），动点P 从点A 开始在 线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上 以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，设点P 、Q 移动的时间为t 秒． ⑴求直线AB 的解析式； ⑵当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似？ y x O P Q A B
1、如图所示，Rt△ABC在第一象限，∠BAC=90°，AB=AC=2，点A在直线y=x 上，其中点A的横坐标为1，且AB∥x轴，AC∥y轴，若双曲线y=k/x（k≠0）与△ABC有交点，则k的取值范围是_________ 2、如图，已知△ABO的顶点A和AB边的中点C都在双曲线y= 4/x（x＞0） 的一个分支上，点B在x轴上，CD⊥OB于D，则△AOC的面积为（）A、2 B、3 C、4 D、32 3、已知点A、B是反比例函数y=2x（x＞0）的图象上任两点，过A、B两 点分别作y轴的垂线，垂足分别为C、D，连接AB，AO，BO， 则S四边形ABCD：S△AOB等于（） 4、在平面直角坐标系中，有反比例函数y= 1x与y=- 1x的图象和正方形ABCD，原点O与对角线AC、BD的交点重叠，且如图所示的阴影部分面积为8，则 AB=__________ 5、反比例函数y=- 5x的图象如图所示，P是图象上的任意点，过点P分 别做两坐标轴的垂线，与坐标轴构成矩形OAPB，点D是对角线OP上的 动点，连接DA、DB，则图中阴影部分的面积是____________
6、如图，点A，C在反比例函数y= 3x（x＜0）的图象上，B，D在x轴 上，△OAB，△BCD均为正三角形，则点C的坐标是____________ 7、如图所示，P1（x1，y1）、P2（x2，y2），…P n（x n，y n）在函数 y= 9x（x＞0）的图象上，△OP1A1，△P2A1A2，△P3A2A3…△P n A n-1A n… 都是等腰直角三角形，斜边OA1，A1A2…A n-1A n，都在x轴上，则 y1+y2+…y n=________ 8、如图，在直角坐标平面内，函数y=mx（x＞0，m是常数）的图象经过A（1，4），B（a，b），其中a＞1．过点A作x轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线，垂足为D，连接AD，DC，CB． （1）若△ABD的面积为4，求点B的坐标； （2）求证：DC∥AB； （3）当AD=BC时，求直线AB的函数解析式．
第二讲 因动点产生的四边形 例1：（两点固定求满足要求的四边形问题）如图，在直角梯形OABC 中，CB ∥OA ，90OAB ∠= ，点O 为坐标原点，点A 在x 轴的正半轴上，对角线OB ，AC 相交于点M ，4OA AB ==，2OA CB =． （1）线段OB 的长为，点C 的坐标为 ； （2）求△OCM 的面积； （3）求过O ，A ，C 三点的抛物线的解析式； （4）若点E 在（3）的抛物线的对称轴上，点F 点的四边形为平行四边形，求点F 的坐标． 【解答】解：（1）如图，作CG ⊥AO 与x ∵OA=2CB ，∴OA=2AG ，∵AO=4，∴OG=2， 由于AB 为4，CB ∥OA ，则C 点纵坐标为4，∴C （2，4）． （2）∵AO=2CB ，∴2S △CBO =S △AOB ， ∵S 梯形ABCO =（CB +AO ）?AB=×（2+4）×
=12×=4， ∴S △CBO ∵CB∥AO， ∴△CMB∽△AMO， ∴=， =， 则=， =S△COB=×4=； ∴S △COM （3）∵O（0，0），A（4，0），C（2，4）， ∴设解析式为y=a（x﹣0）（x﹣4）， 将（2，4）代入解析式得，4=a（2﹣0）（2﹣4）， 解得a=﹣1． 则解析式为y=﹣（x﹣0）（x﹣4）=﹣x2+4x． 由图可知F点横坐标为2+4=6， 将x=6代入y=﹣（x﹣0）（x﹣4）=﹣x2+4x得， y=﹣36+4×6=﹣12， 故F（6，﹣12）． 由图可知F1点横坐标为2﹣4=﹣2， 将x=﹣2代入y=﹣（x﹣0）（x﹣4）=﹣x2+4x得， y=﹣36+4×6=﹣12， 故F1（﹣2，﹣12）． 当F与C重合时，F2（2，4）． 故F点的坐标为：（6，﹣12），F1（﹣2，﹣12），F2（2，4）． 【点评】此题考查了二次函数的性质和梯形及平行四边形的性质，将坐标与图形相结合，使得这道题充分体现了数形结合的重要性，同时要注意分类讨论．
中考压轴题之动点问题 1、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD =90°，CE ⊥AD 于点E ，AD =8cm ，BC =4cm ，AB =5cm ．从初始时刻开始，动点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，运动速度均为1cm/s ，动点P 沿A -B -C -E 方向运动，到点E 停止；动点Q 沿B -C -E -D 方向运动，到点D 停止，设运动时间为x s ，△P AQ 的面积为y cm 2，（这里规定：线段是面积为0的三角形）解答下列问题： （1） 当x =2s 时，y =_____ cm 2；当x =9 2 s 时，y =_______ cm 2． （2）当5 ≤ x ≤ 14时，求y 与x 之间的函数关系式． （3）当动点P 在线段BC 上运动时，求出15 4 y S 梯形ABCD 时x 的值． （4）直接写出在整个．． 运动过程中，使PQ 与四边形ABCE 的对角线平行的所有x 的值．
D C B A 2、如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC =50，AD =75，BC =135．点P 从点B 出发沿折线段BA -AD -DC 以每秒5个单位长的速度向点C 匀速运动；点Q 从点C 出发沿线段CB 方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q 向上作射线QK ⊥BC ，交折线段CD -DA -AB 于点E ．点P 、Q 同时开始运动，当点P 与点C 重合时停止运动，点Q 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）． （1）当点P 到达终点C 时，求t 的值，并指出此时BQ 的长； （2）当点P 运动到AD 上时，t 为何值能使PQ ∥DC ？ （3）设射线QK 扫过梯形ABCD 的面积为S ，分别求出点E 运动到CD 、DA 上时，S 与t 的关系式； （4）△PQE 能否成为直角三角形？若能，写出t 的取值范围；若不能，请说明理由．
因动点产生的三角形问题 例1已知Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数(0)k y k x = ?在第一象限内的图象与BC 边交于点D （4，m ），与AB 边交于点E （2，n ），△BDE 的面积为2． （1）求m 与n 的数量关系； （2）当tan ∠A ＝ 1 2 时，求反比例函数的解析式和直线AB 的表达式； （3）设直线AB 与y 轴交于点F ，点P 在射线FD 上，在（2）的条件下，如果△AEO 与△EFP 相似，求 点P 的坐标． 例2在平面直角坐标系内，O 为原点，点A 的坐标为（1，0），点C 的坐标为（0，4），直线CM //x 轴（如图所示）．点B 与点A 关于原点对称，直线y ＝x ＋b （b 为常数）经过点B ，且与直线CM 相交于点D ，联结OD ． （1）求b 的值和点D 的坐标； （2）设点P 在x 轴的正半轴上，若△POD 是等腰三角形，求点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，如果以PD 为半径的圆与圆O 外切，求圆O 的半径．
例3 如图，直线43 4 +- =x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）． （1）试说明△ABC 是等腰三角形； （2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均 为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ． ①求S 与t 的函数关系式； ②设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明 理由； ③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．
动点问题专项训练 1.如图，△ABC 是边长为6的等边三角形，P 是AC 边上一动点，由A 向C 运动（与A 、C 不重合），Q 是CB 延长线上一点，与点P 同时以相同的速度由B 向CB 延长线方向运动（Q 不与B 重合），过P 作PE ⊥AB 于E ，连接PQ 交AB 于D ． （1）当∠BQD =30°时，求AP 的长； （2）当运动过程中线段ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED 的长；如果变化请说明理由． 【答案】解：（1）∵△ABC 是边长为6的等边三角形，∴∠ACB =60°。 ∵∠BQD =30°，∴∠QCP =90°。 设AP =x ，则PC =6﹣x ，QB =x ，∴QC =QB +C =6+x 。 ∵在Rt △QCP 中，∠BQD =30°，∴PC =12QC ，即6﹣x =1 2 （6+x ），解得x =2。 ∴当∠BQD =30°时，AP =2。 （2）当点P 、Q 运动时，线段DE 的长度不会改变。理由如下： 作QF ⊥AB ，交直线AB 的延长线于点F ，连接QE ，PF 。 ∵PE ⊥AB 于E ，∴∠DFQ =∠AEP =90°。 ∵点P 、Q 做匀速运动且速度相同，∴AP =BQ 。 ∵△ABC 是等边三角形，∴∠A =∠ABC =∠FBQ =60°。 ∴在△APE 和△BQF 中， ∵∠A =∠FBQ ，AP =BQ ，∠AEP =∠BFQ =90°，∴△APE ≌△BQF （AAS ）。 ∴AE =BF ，PE =QF 且PE ∥QF 。∴四边形PEQF 是平行四边形。 ∴DE = 1 2 EF 。 ∵EB +AE =BE +BF =AB ，∴DE = 1 2 AB 。 又∵等边△ABC 的边长为6，∴DE =3。 ∴当点P 、Q 运动时，线段DE 的长度不会改变。 2. 如图，已知一次函数1y kx b =+的图象与x 轴相交于点A ，与反比例函数2c y x = 的图象相交于B （－1，5）、C （2 5 ，d ）两点．点P （m ，n ）是一次函数1y kx b =+的图象上的动点． （1）求k 、b 的值； （2）设31m 2-<< ，过点P 作x 轴的平行线与函数2c y x =的图象相交于点D ．试问△P AD 的面积是 否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）设m 1a =-，如果在两个实数m 与n 之间（不包括m 和n ）有且只有一个整数，求实数a 的取值