高中数学“算法与框图”教学研究
一、整体把握“算法与框图”的教学内容
（一）算法
1．什么是算法
算法（ algorithm ）一词源于算术 (algorism) ，算术方法的原义是一个由已知推求未知的运算过程．后来，人们把它推广到一般，指算法是在有限步骤内求解某一问题所使用的一组定义明确的规则，甚至把把进行某一工作的方法和步骤也称为算法．
例如，人们在计算过程中，先乘除，后加减，从内到外去括号等规则，都是按部就班必须遵守的算法．人类最早关于算法的记录存在于在两河流域发现的公元前两三千年的泥板书上，其中的一个典型例子就是计算利息何时能够够等于本金．算法早期发展中值得一提的另一个成果应归功于古希腊的欧几里得，他提出的计算最大公约数的方法——辗转相除法（又称欧几里得算法）至今仍在使用．
我国古代数学发展的主导思想，就是构造“算法”，解决问题．可以说：我国古代数学中蕴含着丰富的算法思想，其中最具代表性的就是《九章算术》．
《九章算术》是战国、秦、汉时期数学发展的总结，就其数学成就来说，堪称是世界数学名著．其内容按类分章，以数学问题的形式出现，包括分数四则运算、开平方与开立方（包括二次方程数值解法）、盈不足术、各种面积和体积公式、线性方程组解法、正负数运算的加减法则、勾股形解法（特别是勾股定理和求勾股数的方法）等．其中方程组解法和正负数加减法则在世界数学发展上是遥遥领先的．就其特点来说，它形成了一个以筹算为中心，与古希腊数学完全不同的独立体系．
我们现在学习的算法，不同于求解某一个具体问题的方法，它应具有如下特点：
2．算法的特点
通用性：能解决一类问题．能重复使用．
程序性： step by step ．算法过程要一步一步执行．
确定性：算法的每一步执行的操作，必须确切，不能含混不清．
可行性：算法中的每一个步骤必须是能实现的．例如，在算法中，不允许出现分母为零的情况；在实数范围内不能求一个负数的平方根等．
有穷性：算法要有明确的开始和结束，当到达终止步骤时所要解决的问题必须有明确的结果，也就是说必须在有限步内完成任务，不能无限制的持续进行．
3．为什么要学习算法？
算法一方面具有具体化、程序化、机械化的特点，同时又有抽象性、概括性和精确性．对于一个具体算法而言，从算法分析到算法语言的实现，任何一个疏漏或错误都将导致算法的失败．算法是思维的条理化、逻辑化．算法所体现出来的逻辑化特点被有些学者看成是逻辑学继形式逻辑和数理逻辑之后发展的第三个阶段．因此，培养逻辑思维能力，不仅可以通过几何论证、代数运算等手段来进行，还可以通过算法设计的学习来达到．
4．整体把握“算法”教学内容
《课程标准》中算法的内容以两种形式呈现：一是在本模块中，相对集中地介绍算法的基本思想、基本结构、基本语句等；另外，《标准》还要求把算法思想渗透在其他相关内容之中．中学数学中的算法内容和其他内容是密切联系在一起的，比如线性方程组的求解、数列的求和等．具体来说，需要通过模仿、操作、探索，学习设计程序框图表达解决问题的过程，体会算法的基本思想和含义，理解算法的基本结构和基本算法语句，并了解中国古代数学中的算法．
（二）框图
框图是表示一个系统各部分和各环节之间关系的图示，它能够清晰地表达比较复杂的系统各部分之间的关系，是表达和交流思想的有力工具．
框图分为流程图和结构图两种．流程图用来描述动态过程，可用来刻画数学问题或其他问题的解决过程，结构图用来刻画系统结构或组成．流程图通常会有一个“起点”，一个或多个“终点”，其基本单元之间由流程线连接；结构图则更多表现为“树”形结构，其基本要素之间一般为概念上的从属关系或逻辑上的先后关系．
框图有直观、明确的特点．用框图表达数学问题解决的过程或事物之间的关系，有助于提高抽象概括能力和逻辑思维能力，提高清晰表达和交流思想的能力．
（三）重点、难点分析
课标要求：
1. 算法初步（约 12 课时）
（ 1 ）算法的含义、程序框图
①通过对解决具体问题过程与步骤的分析（如二元一次方程组求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义．
②通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程．在具体问题的解决过程中（如三元一次方程组求解等问题），理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环．
（ 2 ）基本算法语句
经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，进一步体会算法的基本思想．
（ 3 ）通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献．
2. 框图（约 6 课时） ( 文科 )
（ 1 ）流程图
①通过具体实例，进一步认识程序框图．
②通过具体实例，了解工序流程图（即统筹图）（参见例 4 、例 5 ）．
③能绘制简单实际问题的流程图，体会流程图在解决实际问题中的作用．
（ 2 ）结构图
①通过实例，了解结构图；运用结构图梳理已学过的知识、整理收集到的资料信息．
②结合作出的结构图与他人进行交流，体会结构图在揭示事物联系中的作用．
结合课标要求和前面的分析，可以看到：算法中，算法思想——即程序化处理问题的思想是教学的重点，而算法的基本结构、基本语句无疑也是算法学习的重点．难点则集中体现循环结构的学习中．程序框图，作为描述算法的一种简洁清晰地语言，是算法也是框图的重点．
另外，算法与框图除作为各自单元学习的内容之外，其思想方法也应渗透在高中教学课程其他有关内容中，鼓励学生尽可能地运用算法解决相关问题，运用框图表达知识结构．让程序化思想成为我们思考问题的习惯．
二、“算法与框图”教与学的策略
（一）注重算法基本思想的理解
算法与框图作为新名词，在以前的数学教材中没有出现，但是算法与框图本身，学生并不陌生，解方程的算法、解不等式的算法、每章的知识结构图，都是同学们熟知的内容．只是算法的基本思想、特点，学习算法的必要性等问题没有专门的涉及．
算法与框图首先培养学生的是一种思维习惯，为了让学生体会这种思想，这种思维方法的好处，一开始的时候，我们不应该让算理成为算法学习的难点．应选用大量具体的、学生熟悉的实例，在剖析具体实例的过程中，体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性．
例 1 ．让学生整理用加减消元法解二元一次方程组的步骤，并将步骤用语言描述；（该步骤即为算法）
在这个过程中，体会算法就是有条理地解决问题的步骤；体会算法的特性：通用性、程序性、确定性、可行性、精确性等．
给人看的算法与给机器用的算法．
例 2 ．红色的瓶装着红墨水，蓝色的瓶装着蓝墨水，请设计算法，将两瓶里的墨水互换．
S1 ：找一个空瓶．
S2 ：将红墨水倒在空瓶里，于是红瓶空了．
S3 ：将蓝墨水倒在红色的瓶里，于是蓝瓶空了．
S4 ：将空瓶里的红墨水倒在蓝瓶里．
例 3 ．判断 1997 是否质数？
算理：用小于 1997 的所有数去除 1997 ，看余数是否为 0
S1 ：用 2 去除 1997 ，看余数是否为 0 ，若余数为 0 ，输出“不是质数”，结束；若余数不为 0 ，执行下一步．
S2 ：用 3 去除 1997 ，看余数是否为 0 ，若余数为 0 ，输出“不是质数”，结束；若余数不为 0 ，执行下一步．
……
S1995 ：若 1996 去除 1997 ，看余数是否为 0 ，若余数为 0 ，输出“不是质数”，结束；若余数不为 0 ，输出“质数”．
（二）案例教学是算法与框图教学的基本方法
在算法与框图的教学中，案例应该贯穿始终．
从某种意义上来看，程序框图、程序语言其实都是一种描述算法的语言．那么，语言应该如何学习呢？适合在具体的语境中通过模仿、使用来学习．
比如算法的三种基本逻辑结构及其框图表示，可用下面的方法来教学．
（三）赋值语句与循环结构的教学
在算法中有两个难点：一个是赋值语句，一个是循环结构．
教学中，教师要注意分散这些难点．比如说：我们可以在讲完算法的概念之后，就安排一节课，专门讲“变量与赋值”，学生有了一定的了解之后，再讲算法的三种逻辑结构，并在这两种结构中有意识地运用“变量与赋值”，以求达到让学生逐步熟悉的目的，这样，循环结构中再用到变量与赋值的时候，就比较自然，学生可以将主要精力放在循环结构的其它部分，达到了分散难点的目的．
【案例 1 】变量与赋值
我们已经注意到，设计算法的过程中，解决问题的基本思想常常很简单，很清楚，但是表述却很麻烦，（比如说：判断 1997 是不是质数）．为了解决这个问题，需要引入变量与赋值，在初中我们就了解变量的含义：在研究问题的过程中可以取不同数值的量称为变量．
变量和函数是中学数学最重要和最基本的概念，在算法和程序设计中，它们仍然发挥着重要和基本的作用，它们会使算法的表述变得非常简洁、清楚．
这节课来介绍如何设置变量和给变量赋值．
例 1 ．设计一个算法，从 5 个数中找出最大数
剖析算理：解决这个问题的思想很简单，先选两个数进行比较，去掉小的，留下大的；再取第三个数与留下的数进行比较，去掉小的，留下大的；继续进行，直到每个数都被比较，最后留下的数就是最大数．
设计算法：
记这 5 个不同的数分别为a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 ，a 5 ，算法步骤如下：
1 ．比较a 1 与a
2 ，将较大的数记作b ．
｛在这一步中，b 表示的是前两个数中的最大数．｝
2 ．再将b 与a
3 进行比较，将较大的数记作b ．
｛执行完这一步后，b 的值就是前 3 个数中的最大数．｝
3 ．再将b 与a
4 进行比较，将较大的数记作b ．
｛执行完这一步后，b 表示的是什么？｝
4 ．再将b 与a
5 进行比较，将较大的数记作b ．
｛执行完这一步后， b 表示的是什么？｝
5 ．输出b ，b 的值即为所求的最大数．
上述算法的四个步骤中，每步都要与上一步中得到的最大数b 进行比较，得出新的最大数，也记作b ，b 可以取不同的值，通常把b 称作变量．
比如第 1 步中，如果a 1 > a 2 ，则把a 1 的值赋予b ，否则就把a 2 的值赋予b ．这个过程称为赋值．把将a 1 的值赋予b 记作：b = a 1 ．（b ? a 1 ．或b ： = a 1 ）．
其中“＝”为赋值符号．
第一步用赋值语句，可以表示为：
如果a 1 > a 2 ，则b ＝a 1 ，否则，b ＝a 2 ．
回到例１，在这个问题中，可以将a 1 作为初始值赋予变量b ．这样可以把算法步骤改写如下：
1 ．b ＝a 1 ；
2 ．比较b 与a 2 ，如果b < a 2 ，则b ＝a 2 ；
3 ．比较b 与a 3 ，如果b < a 3 ，则b = a 3 ；
4 ．比较b 与a 4 ，如果b < a 4 ，则b ＝a 4 ；
5 ．比较b 与a 5 ，如果b < a 5 ，则b = a 5 ；
6 ．输出b , b 就是这 5 个数中的最大数．
本题中只有一个变量b .
变量和赋值的概念在算法中十分重要．可以把变量想象成一个盒子，赋值就相当于往盒子里放东西．这个盒子可以装不同的数值，但是一次只能装一个．当赋予它新值的时候，原来的值将被新值取代．当变量参与运算和操作时，它表示的是想象中盒子里装的值．
有的老师用“喜新厌旧”来比喻赋值语句，只要给他一个新的数值，旧的数值马上不见踪影；形象有趣；还有“见异思迁”的条件语句；“不撞南墙不落泪”的循环结构．
例 2 ．现有一瓶红墨水，一瓶蓝墨水，红墨水装在了红瓶子中，蓝墨水装在了蓝瓶子中，设计一个算法，将两瓶墨水对调瓶子．
问题的实质就是：现有两个变量a , b , 设计算法，交换两个变量的值．于是，需增设一个变量c .
c = a ,
a =
b ,
b =c.
例 3 ．设计算法，判断一个大于 2 的正整数 n 是否质数？
剖析算理：先从具体的例子看起：如何判断 1997 是不是质数？
用小于 1997 的所有数去除 1997 ，看余数是否为 0 ．这个问题中有 1 个变量（除数），若有必要，余数也可设成变量．
S0 ：i =2 ．
S1 ：用i 去除 1997 ，看余数是否为 0 ，若余数为 0 ，输出“不是质数”；若余数不为 0 ，执行下一步．
S2 ：i = i +1 ．
S3 ：若i <1997 ，返回 S1 ；否则，输出“质数”．
算法教学要注意循序渐进，先具体再抽象，先了解算理，再描述算法．通常，我们说一个算法越是抽象，有一般意义，应用就越广泛，越能体现算法本身的应用价值．可是，作为教学意义上的算法则不同，一定要从具体问题出发分析算法的算理、步骤，然后抽象概括出一般意义的算法，画出算法流程图，并在这个过程中，学习使用变量，学习更好的表示算法，以便在计算机上操作执行．
【案例 2 】循环结构
循环结构之所以是教学的难点，主要的原因是由于它的高度抽象．循环结构的主要组成部分是循环体，而循环体中往往涉及两个变量——计数变量和累加变量，变量的选择、变量的初值、循环的终止条件，这些都是学生容易犯错误的地方．
如何突破这个难点？除了把变量和赋值先期处理，分散难点之外，更重要的是让学生明确循环体各部分的作用．
可以选择从顺序结构中生成循环结构，一方面可培养学生的抽象概括能力，另一方面，也便于学生迅速把握循环的主体，采用中心突破，前后补充的方法来生成循环结构．
可以从下面的问题引入：
画出计算的程序框图．
多数同学们都可以用顺序结构来实现．这时可以提问：
问题 1 ：如果画出的程序框图，我们还能够用顺序结构有效的实现该题的算法吗？如果累加到一百万分之一呢？
这就需要我们找到一个新的方法解决这个问题．
至此，学生已经体会到了循环结构的必要性．
在此基础上，抽丝剥茧，形成概念．
问题 2 ：观察这个结构里的这 5 个步骤有什么规律呢？
学生通过独立思考发现了两个规律：
(1) 变量S每次都重复加上一个形如形式的数重新赋值给S；
(2) 每次加上的数与步骤数 i有关，这几步是在重复地进行将 i+1赋值给 i这一过程．
至此，循环的主体已经形成．
从算法的有穷性出发，学生很自然地得到了循环终止条件，顺势抽象出循环结构的概念：
根据指定条件决定是否重复执行一条或多条指令的控制结构称为循环结构．
最后通过变式探究，来突破难点．
对循环体各部分作用的辨析，可以帮助学生在理解算法多样性的同时养成严谨细致的好习惯．
易错扫描：
不同的程序语言，对于程序框图的设计有细微的要求，比如 Basic 语言，要求弄清楚“当型循环”和“直到型循环”，这是为了后面程序语言的学习作准备；而 Scilab 语言的两种循环结构“ While 循环”、“ for 循环”，则没有这种要求．总的来说，最本质的是要搞清楚：条件框的位置、内容起决定作用．
（四）学会检验
所编写的程序框图是否正确？输出地结果应该是什么？框图实现的是什么功能？初值应该如何填写？……
这些问题都可以通过检验来得以解决．应该帮助学生学会通过对循环变量的追踪分析来检验框图的正确性．
检验步骤应该如何写？
例 1．检验：
检验的过程，也是循环过程的再现，不仅可以使学生加深对循环结构的理解，也是培养学生严肃认真的科学态度好时机．
例 2．求满足 1 2 +3 2 +5 2 +……+ n 2 <1000 的最大整数解的程序框图②处应为n － 4 .
（五）算法设计要注重算理
高中数学中学习算法，与计算机教学中学习算法有何区别？
本模块的主要目的是使学生体会算法的思想、提高逻辑思维能力，不要将此部分内容简单处理成程序语言的学习和程序设计．数学内容中学习算法，不同于计算机程序设计，更重要的是明确算理、优化算理．
循环结构的算法设计尤为困难，而明确算理，最关键的是在于从特殊中提炼一般，从具体中归纳抽象．变量的确定在其中起着至关重要的作用．
例 1．写出求（该式子中共有 6 个 2 ）的值的一个算法，并画出流程图．分析：如何从具体中抽象出算理？
例 2．设：，以下是计算分数中分子m 和分母n 的程序流程，试填入流程框图中所缺部分；
（ 1 ） __________________；（ 2 ） _____________________.
分析：
1 ）确定变量及其作用．
分子m ，分母n ，循环变量k ，变量t ．
2 ）研究算理：
从具体的开始：
抽象出算理：m = k m + n ，n = t
3 ）根据检验的步骤往下写：
m =7 ，n =1 ，k =6 ，否，t =7 ，m =6*7 +1 ，n =7 ，k =5
否，t =7 ，m =5*43+ ？，n = t ，k =5
例 3 ． S=1+(1+2)+(1+2+3)+ ... +(1+2+ (50)
分析：变量的设置．优化循环结构．
要帮助学生掌握解决算法问题的基本步骤：
第一、清晰地描述问题
第二、明确算理
第三、用自然语言描述解决问题的步骤
第四、确定问题中的常量与变量
第五、用框图描述解决问题的过程
第六、选择特殊情况进行检验
（六）程序语言的教学
本模块中的算法内容是将数学中的算法与计算机技术建立联系，形式化地表示算法，为了有条理地、清晰地表达算法，往往需要将解决问题的过程整理成程序图；为了能在计算机上实现，还需要将自然语言或程序框图翻译成计算机语言．在条件允许的学校，应该尽量为学生提供上机的机会，使其将设计的算法能在计算机上实现，一方面有助于学生养成重视细节的习惯，另一方面，计算机上实现算法，实际上是对于算法学习成果的检验，是算法学习中的一个重要环节．
关于语言的选择，可选择教材或学生熟悉的语言．一般在学习算法的时候，通过上计算机课，学生已经有了一定的计算机基础，要充分发挥学生的主动性和积极性，选出一部分程序语言较好的同学，采取小组互助学习的方式进行．
（七）框图（文科）的教学建议
框图是学生在必修三学习算法之后，为了强化文科同学的条理性和逻辑性而设置的板块．框图的内容学生并不陌生，算法中的流程图、各章节的知识结构图，都是学生熟悉的内容．
框图的教学，应从分析实例入手，引导学生运用框图表示数学计算与证明过程中的主要思路与步骤、实际问题中的工序流程、某一数学知识系统的结构关系等．使学生在运用框图的过程中理解流程图和结构图的特征，掌握框图的用法，体验用框图表示解决问题过程的优越性．也可以围绕学生感兴趣的话题展开，比如有的学生会选择画出红楼梦的人物关系图等．
流程图，可以用来描述具有时间特征的动态过程，关于流程图的教学，除了围绕算法展开，也可将解题（或干某件工作）的步骤条理化，形成操作程序．如，可让学生用流程图整理解解析几何题的常规步骤．
结构图则是用来刻画系统结构，其基本要素之间一般为概念上的从属关系或逻辑上的先后关系．如知识结构图、组织结构图等．要注意流程图与结构图的区别．
例 1．右图是《集合》的知识结构图，如果要加入“子集”，则应该放在（）
A ．“集合的概念”的下位
B ．“集合的表示”的下位
C ．“基本关系”的下位
D ．“基本运算”的下位
三、学生学习目标检测分析
（一）课程标准与高考对“算法与框图”的要求
依据课标要求和考试说明的要求，将算法与框图学习的主要检测内容与标准整理如下：
总体而言，高考中，程序框图是考察的重点，算法语句的考察需要结合各地所使用的教材．
另外，课标一再提到：算法与框图除作为各自单元学习的内容之外，其思想方法也应渗透在高中教学课程其他有关内容中．因此，不要只用高考的模式学算法，平时教学中，也不要只用高考的方式考算法．应鼓励学生尽可能地运用算法解决相关问题，运用框图表达知识结构．通过这些来考察学生对于程序化思想的掌握程度，并培养学生的逻辑思维能力．
下面我们选择一些例题加以说明：
（二）典型题目的检测分析
例 1．阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的值等于
（ A ） 2 （ B ） 3 （ C ） 4 （ D ） 5
【选题目的】考查认识程序框图的基本能力．选B 的学生是忽略了s = s + a 与i = i +1 的顺序，但明确算理．
可要求学生将此程序框图写成算法语言．考察对于算法语言的使用．
高考中对算法的考察，一般用程序框图考察循环结构，并且考察对象一般是循环体中的关键赋值语句、控制条件、变量初始值或者输出结果．解答问题的关键在于通过检验的步骤明确算理．
对输出结果的考察属于其中最简单的层次，只需按照程序框图依序执行即可．
例 2．阅读下边的程序框图，若输出s 的值为－ 7 ，则判断框内可填写
（ A ）i ＜ 3? （ B ）i ＜ 4?
（ C ）i ＜ 5? （ D ）i ＜ 6?
答案：D ．
解析：涉及循环语句的问题，通常可以采用依次执行循环体的方式解决．
第一次执行循环时s =1 ，i =3;
第二次执行循环时s = － 2 ，i =5 ；
第三次执行循环时s = － 7 ，i =7 ，
所以判断框内可填写“i <6?”，选 D.
可要求学生将此程序框图转化为程序语言，因为循环次数已知，可用 while 循环，也可用 for 循环．
例 3． 2010 年上海世博会园区每天 9:00 开园， 20:00 停止入园．在右边的框图中， S表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，表示整点报道前 1 个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入____________．
【选题目的】仍然考查学生认识程序框图的基本能力．但填写条件框和执行框属于其中较高层次的能力考察．例 2 考察学生是否会根据检验步骤填写条件；例 3 则考察学生是否学会通过阅读明确算理．
（ 3 ）国庆期间，某超市对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：
（i ）若不超过 200 元，则不予优惠；
（ ii ）若超过 200 圆，但不超过 500 元，则按标价价格给予 9 折优惠；
（ iii ）如果超过 500 元， 500 元的部分按照第（ ii ）条优惠，超过 500 元的部分给予 7 折优惠，设计一个收款的算法，画出程序框图．
【选题目的】编制程序框图是综合运用所学知识解决问题．属于高层次能力考察．在算法教学中要有这样的测试．
例 5．（ 1 ）画出算法一章的知识结构图．
（ 2 ）用流程图表示解析几何中求轨迹方程的一般步骤．
【选题目的】将算法与框图的知识运用到日常教学中，渗透到其它内容的学习中，将算法与框图的考察结合到整个高中数学内容中．
学习算法，能指导对问题的统筹操作，鼓励学生尽可能地运用算法解决相关问题，运用框图表达知识结构．把算法作为认识其他数学知识的工具，用算法思想突出逻辑思维能力的培养，增强学生对该部分知识的理解，增强学生的“算法意识”和“应用意识”，让学生体会学习的乐趣．
第一章算法初步 本章教材分析 算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础.算法的应用是学习数学的一个重要方面.学生学习算法的应用,目的就是利用已有的数学知识分析问题和解决问题.通过算法的学习,对完善数学的思想，激发应用数学的意识,培养分析问题、解决问题的能力，增强进行实践的能力等，都有很大的帮助. 本章主要内容：算法与程序框图、基本算法语句、算法案例和小结.教材从学生最熟悉的算法入手，通过研究程序框图与算法案例，使算法得到充分的应用，同时也展现了古老算法和现代计算机技术的密切关系.算法案例不仅展示了数学方法的严谨性、科学性，也为计算机的应用提供了广阔的空间.让学生进一步受到数学思想方法的熏陶，激发学生的学习热情. 在算法初步这一章中让学生近距离接近社会生活，从生活中学习数学，使数学在社会生活中得到应用和提高，让学生体会到数学是有用的，从而培养学生的学习兴趣.“数学建模”也是高考考查重点. 本章还是数学思想方法的载体，学生在学习中会经常用到“算法思想” “转化思想”，从而提高自己数学能力.因此应从三个方面把握本章： （1）知识间的联系； （2）数学思想方法； （3）认知规律. 本章教学时间约需12课时，具体分配如下（仅供参考）：
§1.1 算法与程序框图 §1.1.1 算法的概念 一、教材分析 算法在中学数学课程中是一个新的概念，但没有一个精确化的定义，教科书只对它作了如下描述：“在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤.”为了让学生更好理解这一概念，教科书先从分析一个具体的二元一次方程组的求解过程出发，归纳出了二元一次方程组的求解步骤，这些步骤就构成了解二元一次方程组的算法.教学中，应从学生非常熟悉的例子引出算法，再通过例题加以巩固. 二、教学目标 1、知识与技能： （1）了解算法的含义，体会算法的思想。 （2）能够用自然语言叙述算法。 （3）掌握正确的算法应满足的要求。 （4）会写出解线性方程（组）的算法。 （5）会写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。 （6）会应用Scilab求解方程组。 2、过程与方法： 通过求解二元一次方程组，体会解方程的一般性步骤，从而得到一个解二元一次方程组的步骤，这些步骤就是算法，不同的问题有不同的算法。由于思考问题的角度不同，同一个问题也可能有多个算法，能模仿求解二元一次方程组的步骤，写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。 3、情感态度与价值观： 通过本节的学习，使我们对计算机的算法语言有一个基本的了解，明确算法的要求，认识到计算机是人类征服自然的一各有力工具，进一步提高探索、认识世界的能力。 三、重点难点 教学重点：算法的含义及应用. 教学难点：写出解决一类问题的算法. 四、课时安排 1课时 五、教学设计 （一）导入新课 思路1（情境导入） 一个人带着三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可容纳一个人和两只动物，没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量狼就会吃羚羊.该人如何将动物转移过河？请同学们写出解决问题的步骤，解决这一问题将要用到我们今天学习的内容——算法. 思路2（情境导入） 大家都看过赵本山与宋丹丹演的小品吧，宋丹丹说了一个笑话，把大象装进冰箱总共分几步？ 答案：分三步，第一步：把冰箱门打开；第二步：把大象装进去；第三步：把冰箱门关上. 上述步骤构成了把大象装进冰箱的算法，今天我们开始学习算法的概念. 思路3（直接导入） 算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础.在现代社会里，计算机已成为人们日常生活和工作中不可缺少的工具.听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据，计算机是怎样工作的呢？要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始. （二）推进新课、新知探究、提出问题 （1）解二元一次方程组有几种方法？
基本算法语句 【基础知识】 1．输入、输出语句 输入语句INPUT 对应框图中表示输入的平行四边形框 输出语句PRINT 对应框图中表示输出的平行四边形框 2．赋值语句 格式为变量＝表达式，对应框图中表示赋值的矩形框 3．条件语句一般有两种：IF—THEN语句；IF—THEN—ELSE语句．语句格式及对应框图如下．(1)IF—THEN—ELSE格式 当计算机执行这种形式的条件语句时，首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，就执行THEN后的语句体1，否则执行ELSE后的语句体2. (2)IF—THEN格式 4．算法中的循环结构是由循环语句来实现的．对应于程序框图中的两种循环结构，一般程序设计语言中有当型(WHILE型)和直到型(UNTIL型)两种语句结构，即WHILE语句和UNTIL语句． (1)WHILE语句 (2)UNTIL语句 5. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．巧是把题目中的算法语言依照上面的对应关系翻译成框图。 ．．．．．解决算法语言试题的基本技 ．．温馨提示： 【例题分析】
考点一 输入、输出和赋值语句的应用 例1 分别写出下列语句描述的算法的输出结果： (1) a ＝5 b ＝3 c ＝(a ＋b )/2 d ＝c*c PRINT “d ＝”；d (2) a ＝1 b ＝2 c ＝a ＋b b ＝a ＋c －b PRINT “a ＝，b ＝，c ＝”；a ，b ，c 【解答】 (1)∵a ＝5，b ＝3，c ＝a ＋b 2 ＝4， ∴d ＝c 2＝16，即输出d ＝16. (2)∵a ＝1，b ＝2，c ＝a ＋b ，∴c ＝3，又∵b ＝a ＋c －b ， 即b ＝1＋3－2＝2，∴a ＝1，b ＝2，c ＝3， 即输出a ＝1，b ＝2，c ＝3. 练习1 请写出下面运算输出的结果__________． a ＝10 b ＝20 c ＝30 a ＝ b b ＝c c ＝a PRINT “a ＝，b ＝，c ＝”；a ，b ，c 【解答】经过语句a ＝b ，b ＝c 后，b 的值赋给a ，c 的值赋给b ，即a ＝20，b ＝30，再经过语句c ＝a 后，a 的当前值20赋给c ，∴c ＝20.故输出结果a ＝20，b ＝30，c ＝20. 考点二 条件语句的应用 例2 阅读下面的程序，当分别输入x ＝2，x ＝1，x ＝0时，输出的y 值分别为________、________、________. INPUT “x ＝”；x IF x>1 THEN y ＝1/(x －1) ELSE IF x ＝1 THEN y ＝x^2 ELSE y ＝x^2＋1/(x －1) END IF END IF PRINT y END 【解答】计算机执行这种形式的条件语句时，是首先对IF 后的条件进行判断，如果条件符合，就执行THEN 后的语句；如果条件不符合，则直接结束该条件语句，转而执行其他语句，嵌套时注意内外分层，避免逻辑混乱．
高考理科数学试题分类汇编：12程序框图 一、选择题 1 ① （高考北京卷（理））执行如图所示的程序框图,输出的S 值为 （ ） A ① 1 B ① 2 3 C ① 1321 D ① 610 987 【答案】C 2 ① （普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））某程序框图如图所示, 若该程序运行后输出的值是59 ,则 （ ） A ① 4=a B ① 5=a C ① 6=a D?7=a （第5题图）
【答案】A 3 ① （普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））如图所示,程序框图(算 法流程图)的输出结果是 （ ） A ① 16 B ① 2524 C ① 34 D ① 1112 【答案】D 4 ① （普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））执行如题(8)图所示的程 序框图,如果输出3s =,那么判断框内应填入的条件是 （ ） A ① 6k ≤ B ① 7k ≤ C ① 8k ≤ D ① 9k ≤ 【答案】B 5 ① （高考江西卷（理））阅读如下程序框图,如果输出5i =,那么在空白矩形框中应填入的 语句为 （ ） A ① 2*2S i =- B ① 2*1S i =- C ① 2*S i = D ① 2*4S i =+ 【答案】C 6 ① （普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））阅读如图所示的程序
框图,若输入的10k =,则该算法的功能是 （ ） A ① 计算数列{}12n -的前10项和 B ① 计算数列{}12n -的前9项和 C ① 计算数列{ } 21n -的前10项和 D ① 计算数列{ } 21n -的前9项和网Z ① X ① X ① K] 【答案】A 7 ① （普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））执行右面的程 序框图,如果输入的10N =,那么输出的S = （ ） A ① 1111+2310+ ++…… B ① 111 1+ 2310+ ++……！！！ C ①1111+2311+ ++…… D ① 111 1+ 2311+ ++……！！！ 【答案】B
高中数学知识点1 集合 123412n x A x B A B A B A n A ∈??? ????? ∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ?????????? ????????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。 真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ????? ?? ?? ?? ?? ?????????? ???????? ??????????????????????? ?????????????????????=???????
1.1.2 程序框图与算法的基本逻辑结构 整体设计 教学分析 用自然语言表示的算法步骤有明确的顺序性，但是对于在一定条件下才会被执行的步骤，以及在一定条件下会被重复执行的步骤，自然语言的表示就显得困难，而且不直观、不准确.因此，本节有必要探究使算法表达得更加直观、准确的方法.程序框图用图形的方式表达算法，使算法的结构更清楚、步骤更直观也更精确.为了更好地学好程序框图，我们需要掌握程序框的功能和作用，需要熟练掌握三种基本逻辑结构. 三维目标 1．熟悉各种程序框及流程线的功能和作用. 2．通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程.在具体问题的解决过程中，理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构. 3.通过比较体会程序框图的直观性、准确性. 重点难点 数学重点：程序框图的画法. 数学难点：程序框图的画法. 课时安排 4课时 教学过程 第1课时程序框图及顺序结构 导入新课 思路1（情境导入） 我们都喜欢外出旅游，优美的风景美不胜收，如果迷了路就不好玩了，问路有时还听不明白，真是急死人，有的同学说买张旅游图不就好了吗，所以外出旅游先要准备好旅游图.旅游图看起来直观、准确，本节将探究使算法表达得更加直观、准确的方法.今天我们开始学习程序框图. 思路2（直接导入） 用自然语言表示的算法步骤有明确的顺序性，但是对于在一定条件下才会被执行的步骤，以及在一定条件下会被重复执行的步骤，自然语言的表示就显得困难，而且不直观、不准确.因此，本节有必要探究使算法表达得更加直观、准确的方法.今天开始学习程序框图. 推进新课 新知探究 提出问题 （1）什么是程序框图？ （2）说出终端框（起止框）的图形符号与功能. （3）说出输入、输出框的图形符号与功能. （4）说出处理框（执行框）的图形符号与功能. （5）说出判断框的图形符号与功能. （6）说出流程线的图形符号与功能. （7）说出连接点的图形符号与功能. （8）总结几个基本的程序框、流程线和它们表示的功能. （9）什么是顺序结构？ 讨论结果： （1）程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形.
高中数学知识结构框图必修一：第一章集合 集合含义与表示 基本关系 基本运算 列举法{a,b,c,…} 描述法{x|p(x)} 图象法 包含关系 相等关系 交集:A∩B={x|x∈A且x∈B} 并集:A∪B={x|x∈A或x∈B} 补集:{|} U C A x x U x A =∈? 且 韦恩图; 数轴 子集; 真子集 函数概念 定义域 对应关系 值域 表示 解析法 图象法 列表法 性质 单调性 定义 图象特征 最值 奇偶性 定义 图象特征:对称性 映射映射的概念上升或下降 第二章函数
第三章基本初等函数(Ⅰ) 基本初等函数(Ⅰ) 指 数 与 指 数 函 数 指 数 根式n a 分数指数幂(0,,*,1) m n m n a a a m n N n =>∈> 无理数指数幂 运算性质 指 数 函 数 定义(0,1) x y a a a =>≠ 图象: “一撇或一捺”，过点(0,1).见教材P91 性质: 位于x轴上方,以x轴为渐近线 对 数 与 对 数 函 数 对 数 定义：x a N x a N = 若则叫以为底的对数 运算性质 对 数 函 数 定义：log(0,1) a y x a a =>≠ 图象：位于y轴右侧，以y轴为渐近线.见教材P103 性质：过点（1，0） log()log log log log log log log a a a a a a n a a M N M N M M N N M n M ?=+ =- = () () r s r s r s rs r r r a a a a a ab a b + = = = 幂 函 数 定义：y xα = 具体的五 个幂函数 2 3 1 2 1 y x y x y x y x y x- = = = = = 特征：过点（1，1）， 当0 α>时在(0,) +∞ 上递增；当0 α<时， 在(0,) +∞上递减。 换底公式： log log(0,1,0,1,0) log c a c b b a a c c b a =>≠>≠> 图象：P109
2021年高中数学1.1.2程序框图教学案新人教B版必修3 【教学目标】： （1）掌握程序框图的概念；会用通用的图形符号表示算法，掌握算法的三个基本逻辑结构 （2）掌握画程序框图的基本规则，能正确画出程序框图。 （3）通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程；学会灵活、正确地画程序框图。 【教学重点】经过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达求解问题的过程,重点是程序框图的基本概念、基本图形符号和3种基本逻辑结构 【教学难点】难点是能综合运用这些知识正确地画出程序框图。 【学法与教学用具】： 【教学过程】 引入： 算法可以用自然语言来描述，但为了使算法的程序或步骤表达得更为直观，我们更经常地用图形方式来表示它。 程序框图基本概念： （1）程序构图的概念 程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。 一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要的文字说明。 程序框名称功能 起止框表示一个算法的起始和结束，是任何流程图不可少的。 输入、输出框表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输入、输出的位置。
处理框 赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公 式等分别写在不同的用以处理数据的处理框 内。 判断框 判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明 “是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”。 学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规则如下： （3）、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。 顺序结构 顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的，它是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。 顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而 下地连接起来，按顺序执行算法步骤。如在示意图中，A框和B 框是依次执行的，只有在执行完A框指定的操作后，才能接着执 行B框所指定的操作。 例3、已知一个三角形的三边分别为2、3、4，利用海伦公式设计一个算法，求出它的面积，并画出算法的程序框图。 （算法—自然语言） 第一步： a＝2，b＝3，c＝4； 第二步：p＝ 2+3+4 2 ； 第三步：S＝p(p－2)(p－3)(p－4) 利用TI-voyage200图形计算器演示： A B 结束 开始 p＝ 2+3+4 2 S＝p(p－2)(p－3)(p－4) 输入S
中学教师课时教案 备课人授课时间 课题1．1．2程序框图与算法的基本逻辑结构（三） 课标要求1.掌握程序框图的概念；2.会用通用的图形符号表示算法； 3.掌握画程序框图的基本规则，能正确画出程序框图； 教学目标 知识目标 通过设计流程图来表达解决问题的过程，了解流程图的三种基本逻辑 结构：顺序、条件分支、循环。理解掌握三种基本逻辑结构，能设计 简单的流程图。 技能目标 通过模仿、操作和探索，抽象出算法的过程，培养抽象概括能力、语 言表达能力和逻辑思维能力。 情感态度价值观 通过算法实例，体会构造的数学思想方法；提高学生欣赏数学美的能 力，培养学生学习兴趣，增强学好数学的信心；通过学生的积极参与、 大胆探索，培养学生的探索精神和合作意识。 重点综合运用框图知识正确地画出程序框图难点综合运用这些知识正确地画出程序框图。 教学过程及方法 问题与情境及教师活动学生活动 一．导入新课 前面我们学习了顺序结构、条件结构、循环结构，今天我们系 统学习程序框图的画法。 提出问题 (1)请大家回忆顺序结构，并用程序框图表示. (2)请大家回忆条件结构，并用程序框图表示. (3)请大家回忆循环结构，并用程序框图表示. (4)总结画程序框图的基本步骤. 讨论结果： (1)顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的,这是任何一 个算法都离不开的基本结构.框图略. (2)在一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程 根据条件是否成立有不同的流向.条件结构就是处理这种 过程的结构.框图略. (3)在一些算法中要求重复执行同一操作的结构称为循环结 构.即从算法某处开始，按照一定条件重复执行某一处理 过程.重复执行的处理步骤称为循环体. 循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构. 框图略. (4)从前面的学习可以看出，设计一个算法的程序框图通常要 经过以下步骤：
算法与程序框图练习题 一、选择题： 1．阅读下面的程序框图，则输出的S = A ．14 B ．20 C ．30 D ．55 2．阅读图2所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是 A ．1 B. 2 C. 3 D. 4 3 ．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是 A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 4．如图的程序框图表示的算法的功能是 A ．计算小于100 的奇数的连乘积 B ．计算从1开始的连续奇数的连乘积 3题 2题 1题
C ．从1开始的连续奇数的连乘积，当乘积大于100时，计算奇数的个数 D ．计算100531≥???????n 时的最小的n 值. 5．运行如下程序框图,如果输入的[1,3]t ∈-,则输出s 属于 A ．[3,4]- B ．[5,2]- C ．[4,3]- D ．[2,5]- 6．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B 等于 A ．15 B ．29 C ．31 D ．63 7. 如图所示，是关于闰年的流程，则以下年份是闰年的为 A ．1996年 B ．1998年 C ．2010年 D ．2100年 5题 6题 7题
8.右面的程序框图，如果输入三个实数a ，b ，c ，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的( ) A. c x > B.x c > C ．c b > D.b c > 9．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为 （A ）k>4? （B ）k>5? (C) k>6? (D) k>7? 10 ．执行上边的程序框图，输出的T =（ ）. A. 12 B.20 C ．30 D.42 二、填空题： 11.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果i =___________. 12.如图所示，程序框图（算法流程图）的输出值x =________。 11题 10题 9题 12题 10题
§1.1.2 程序框图与算法的基本逻辑结构 一、教材分析 用自然语言表示的算法步骤有明确的顺序性，但是对于在一定条件下才会被执行的步骤，以及在一 定条件下会被重复执行的步骤，自然语言的表示就显得困难，而且不直观、不准确.因此，本节有必要探究使算法表达得更加直观、准确的方法.程序框图用图形的方式表达算法，使算法的结构更清楚、步骤更直观也更精确.为了更好地学好程序框图，我们需要掌握程序框的功能和作用，需要熟练掌握三种基本逻辑结构. 二、教学目标 1、知识与技能： 掌握程序框图的概念；会用通用的图形符号表示算法，掌握算法的三个基本逻辑结构；掌握画程序 框图的基本规则，能正确画出程序框图。 2、过程与方法： 通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程；学会灵活、正确地画程序框 图。 3、情感态度与价值观： 通过本节的学习，使我们对程序框图有一个基本的了解；掌握算法语言的三种基本逻辑结构，明确 程序框图的基本要求；认识到学习程序框图是我们学习计算机的一个基本步骤，也是我们学习计算机语 言的必经之路。 三、重点难点 数学重点：程序框图的画法. 数学难点：程序框图的画法. 四、课时安排
4课时 五、教学设计 第1课时程序框图及顺序结构 （一）导入新课 思路1（情境导入） 我们都喜欢外出旅游，优美的风景美不胜收，如果迷了路就不好玩了，问路有时还听不明白，真是 急死人，有的同学说买张旅游图不就好了吗，所以外出旅游先要准备好旅游图.旅游图看起来直观、准确，本节将探究使算法表达得更加直观、准确的方法.今天我们开始学习程序框图. 思路2（直接导入） 用自然语言表示的算法步骤有明确的顺序性，但是对于在一定条件下才会被执行的步骤，以及在一 定条件下会被重复执行的步骤，自然语言的表示就显得困难，而且不直观、不准确.因此，本节有必要探究使算法表达得更加直观、准确的方法.今天开始学习程序框图. （二）推进新课、新知探究、提出问题 （1）什么是程序框图？ （2）说出终端框（起止框）的图形符号与功能. （3）说出输入、输出框的图形符号与功能. （4）说出处理框（执行框）的图形符号与功能. （5）说出判断框的图形符号与功能. （6）说出流程线的图形符号与功能. （7）说出连接点的图形符号与功能. （8）总结几个基本的程序框、流程线和它们表示的功能. （9）什么是顺序结构？ 讨论结果：
输出 高一数学练习1——程序框图 班级座号姓名 1 ．执行如右图所示的程序框图,输出的S值为（） A．1 B． 2 3 C． 13 21 D． 610 987 2 ．如下图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是（ （）[来源:Z A． 1 6 B． 25 24 C． 3 4 D． 11 12 3.执行下面左边的程序框图,若第一次输入的a的值为-1.2,第二次输入的a的 值为1.2,则第一次、第二次输出的a的值分别为（） A．0.2,0.2 B．0.2,0.8 C．0.8,0.2 D．0.8,0.8 4.执行上面右图所示的程序框图，输出的S值为（） A. 2 B .4 C.8 D. 16
5. 如下左图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（） D8 ()A3()B4() C5() 6.执行上右图所示的程序框图,如果输出3 s=,那么判断框内应填入的条件是（） A．6 k≤ k≤D．9 k≤B．7 k≤C．8 7 ．阅读如下程序框图,如果输出5 i=,那么在空白矩形框中应填入的语句为（） A．2*2 S i =+ S i =D．2*4 S i =-B．2*1 S i =-C．2* t∈-,则输出s属于（） 8 ．运行如下程序框图,如果输入的[1,3] A．[3,4] -D．[2,5] - -C．[4,3] -B．[5,2] 9.阅读下左图所示的程序框图,运行相应的程序. 若输入m的值为2, 则输出的结果i=__________.
10.如果执行上右图所示的程序框图，输入1 x =-,n =3,则输出的数S = 11.阅读下左图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s = . 12.执行上右图所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出s 的值为 ． 13.下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是_________。 14．执行下左图所示的程序框图,如果输入1,2,a b a ==则输出的的值为_______.
程序框图与算法的基本逻辑结构 教学目标：(1) 掌握程序框图的概念； (2) 会用通用的图形符号表示算法； (3) 掌握算法的三个基本逻辑结构； 教学重点：程序框图的基本概念、基本图形符号和3种基本逻辑结构. 教学难点：三种基本逻辑结构的特点。 教学用具：投影仪 教学方法：类比、观察、交流、讨论、迁移 教学过程： 法：给定一个正整数n，判定n是否偶数； 2．用二分法设计一个求方程320 x的近似根的算法； 二、讲授新课： 1．程序框图的认识： ①讨论：如何形象直观的表示算法？→图形方法. （教师给出一个流程图（上面1题），学生说说理解的算法步骤.） ②定义程序框图： 程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的 图形。 ③基本的程序框和它们各自表示的功能： 程序框名称功能 终端框（起止框）表示一个算法的起始和结束 输入、输出框表示一个算法输入和输出的信息 处理框（执行框）赋值、计算 判断框判断一个条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N” 流程线连接程序框 ○ 连接点连接程序框图的两部分 画程序框图的规则如下： 1、使用标准的图形符号； 2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画； 3、除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号； 4、判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多 分支判断，有几种不同的结果；5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。 例：“判断整数n（n>2）是否为质数”的算法就可以用程序框图表示：
高中数学知识结构图 集合的概念与表示方法 集合集合的性质 集合之间的关系与运算 解析法 函数的概念与表示方法列表法 图像法 定义域 函数的三要素对应关系 值域 单调性 奇偶性 函数的性质周期性 极值 最值一次、二次函数 反比例函数 基本初等函数指数函数与对数函数图像、性质和应用函数函数的分类幂函数 复合函数三角函数 分段函数 函数图像及其变换平移、对称、翻折和伸缩变换 概念 反函数存在条件 与原函数的关系 函数与方程函数的零点对应方程的解 函数的应用建立函数模型 任意角弧度制与三角函数 同角三角函数关系 诱导公式 三角函数中的公式和角、差角公式 二倍角公式与半角公式 三角函数和差化积与积化和差公式 正弦函数三要素 三角函数余弦函数性质 正切函数图像及其变换 正弦定理 解三角形余弦定理 三角形面积
柱体结构 椎体 空间几何体台体三视图和直观图 球体 简单组合体表面积与体积 点、直线、平面的位置关系 点、直线、平面的关系直线、平面平行的性质和判定 直线、平面垂直的性质和判定立体几何点到点的距离 点到直线的距离 空间距离点到平面的距离 直线到平面的距离 平行平面间的距离 异面直线形成的角 空间的角直线与平面形成的角 倾斜角、斜率和截距 点斜式 斜截式 直线直线与方程两点式 截距式 一般式 直线之间的位置关系垂直与平行的条件 圆与方程一般方程与标准方程 几何圆点与圆的位置关系 位置关系直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 解析几何 圆锥曲线椭圆定义及标准方程 双曲线性质 离心率 点到点的距离 点到直线的距离 平面距离点到圆的距离 两平行线的距离 直线到圆的距离 相离圆的距离 对称问题中心对称关于点对称 轴对称关于直线对称 平面向量概念 向量加减法 向量运算向量的数乘 向量的数量积 空间向量几何意义及应用
框图 教学目的：巩固本章节学习的内容，提高学生解决问题的能力 教学过程： 1、．结构图一般由构成系统的和表达各要素之间构成．连线通常按照、的方向（方向箭头按照箭头所指的方向）表示要素的或 2．在表达逻辑先后关系的结构图中从上至下反映的是要素之间的，从属关系通常是“”形结构，然而有时也经常出现一些“”形结构．在组织结构图中一般都呈“”形结构，这种图直观，易于理解．被应用很多领域． 【例1 ：某班有 50 名学生，现将某科的成绩分为三个等级， 80 一 100 分为 A , 60 一79 分为 B , 60 分以下为 C ，试设计一程序框图来表示输出每一个学生成绩等级．解析：学生成绩的三个等级由是否小于等于 60 分的和是否小于等于 79 分这两个条件控制，因此可以将其分为两部分来设计框图，即判断框的选择问题，还应注意将全部学生的相应成绩等级全部显示．答案：依题意设计以下程序框图： 启示：该题也可以先用判断条件“是否小于等于 79 分”先行判断，再根据“是否小于等于 60 分”，从而将成绩分成三个等级． 【例 2 ］某工厂加工某种零件有三道工序：粗加工、返修加工和精加工．每道工序完成时，都要对产品进行检验．粗加工的合格品进人精加工，不合格品进人返修加工；返修加工的合格品进人精加工，不合格品作为废品处理；精加工的合格品为成品，不合格品为废品． ( 1 ）用流程图表示这个零件的加工过程． ( 2 ）一件成品在哪几个环节可导致废品产生．解析：( l ）本题是一个工序流程图，分为三道工序：粗加工、返修加工和精加工，在每道工序完成时须检 验，即有一个判断环节． ( 2 ）导致废品出现的环节在于检验工序，即判断是否合格．答案：( l ）按照工序要求，可以画出下面的工序流程图： ( 2 ）产品在返修加工和精加工可导致废品，这两道工序检验不合格则即成废品．而粗加工检验环节，若不合格则可以返修加工．启示：工序流程图是描述工农业生产过程的流程图，是一个动态过程，其中有时常见判断、循环等环节，依具体问题加以分析，主要线索是生产的工序．本题中废品的产生在于返修加工和精加工．最初的粗加工检验，若不合格则加以返
2014高中数学 1.2.1 流程图 顺序结构教案 苏教版必修3 总 课 题 算法初步 总课时 第 2 课时 分 课 题 流程图——顺序结构 分课时 第 2 课时 教学目标 了解常用流程图符号（输入输出框、处理框、判断框、起止框、流程线）的意义．能用流程图表示顺序结构．能识别简单的流程图所描述的算法． 重点难点 流程图框的分类和应用；用流程图表示顺序结构的算法．将自然语言表示 的算法转化成流程图；各种图框的正确应用． 引入新课 1．问题： （1）=++++100321 ； （2）=++++n 321 ； （3）求当2004321>++++n 时，满足条件的n 的最小正整数； 请设计第（3）个问题的算法： 2．流程图： 程序框 名称 功能 起止框 表示一个算法的起始和结束 输 入 输出框 表示一个算法输入和输出的信息 处理框 赋值、计算 判断框 判断某一个条件是否成立，成立的 在出口处标明“是”或“Y ”；不成 立时标明“否”或“N ”． 3．问题：写出作△ABC 的外接圆的算法，并用流程图表示． 4．顺序结构的含义及其表示． 例题剖析 例1 已知两个单元分别存放了变量x 和y 的值，试交换这两个变量值． 例2 半径为r 的圆的面积计算公式为2 r S =π，当10=r 时，写出计算圆面积的算法，画出流程图． 开始 输入n 计算2) 1(+n n 的值 >2004 使n 的值增加1 N 输出n 结束 Y
例 3 已知点()00y x P ，和直线0:=++C By Ax l ，写出求点()00y x P ，到直线l 的距离d 的算法，并 画出流程图． 巩固练习 1．画出下列图框： （1）起止框 （2）输入输出框 （3）处理框 （4）判断框 2．依次进行多个处理的结构称为 结构． 3．写出作棱长全为2的正三棱柱的直观图的算法． 4．写出解方程组?? ? ??=+=+=+453x z z y y x 的一个算法，并用流程图表示算法过程． 课堂小结 了解流程图框的分类和应用，能用流程图表示顺序结构的算法．
《程序框图》教案 教学目标 1．知识与技能：掌握程序框图的概念；会用通用的图形符号表示算法，掌握算法的三个基本逻辑结构；掌握画程序框图的基本规则，能正确画出程序框图. 2．过程与方法：通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程；学会灵活、正确地画程序框图. 3．情感态度与价值观：通过本节的学习，使我们对程序框图有一个基本的了解；掌握算法语言的三种基本逻辑结构，明确程序框图的基本要求；认识到学习程序框 图是我们学习计算机的一个基本步骤，也是我们学习计算机语言的必经之 路. 教学重点 重点：程序框图的基本概念、基本图形符号. 教学难点 难点：能综合运用这些知识正确地画出程序框图. 教学方法与手段分析 1．教学方法：采用“问题探究式”教学法，让学生主动发现问题、分析问题、解决问题，培养学生的探究论证、逻辑思维能力以及实际解决问题的能力. 2．教学手段：利用多媒体辅助教学，体现在计算机和图形计算器的使用，利用它们来演示程序的设计过程，让学生们能很清楚直观地看到整个经过，并激起他们学习 程序设计的兴趣. 教学过程分析 1．复习回顾，导入新课 回顾前面我们如何用自然语言来描述算法，然后向学生们提出问题：用自然语言描述算法有什么缺陷性？是不是不够直观清楚地让我们看到整个算法的程序和步骤？我们平时一般为了能让一个过程呈现得更加直观，我们一般会选择如何解决？解决方法就是作图.通过这几个问题，然后引出我们今天所要学习的内容，那就是为了能更形象直观地让我们看到算法的整个程序和步骤，我们选择用一种新的描述方式来描述算法——程序框图. 2．启发诱导，探索新知 （1）认识基本图形符号：认识程序框图里出现的基本图形符号，并且能很好地掌握他
高中数学必修三《算法与程序框图》教案 高中数学必修三《算法与程序框图》教案 高中数学必修三《算法与程序框图》教案设计 学习目标： 1.明确算法的含义，熟悉算法的三种基本结构：顺序、条件和循环，以及基本的算法语句. 2.能熟练运用辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法、进位制等典型的算法知识解决同类问 算法的基本知识与算法对应的程序框图的设计. 与算法对应的程序框图的设计及算法程序的编写. 要点梳理 知识点一：算法与程序框图 1.算法的定义：广义的算法是指完成某项工作的方法和步 骤，现代意义的算法是指可以用计算机来解决的某一类问 题的程序和步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的， 而且能够在有限步之内完成. 2.四种基本的程序框 3.三种基本逻辑结构 (1)顺序结构 (2)条件结构 (3)循环结构 要点诠释： 1.对于算法的理
解不能仅局限于解决 数学问题的方法，解 决任何问题的方法和 步骤都应该是算法.算法具有概括性、抽象性、正确性等特点，要通过具体问题的过程和步骤的分析去体会算法的思想，了解算法的含义. 2.在学习程序框图时要掌握各程序框的 作用，准确应用三种基本逻辑结构，即顺序结构、条件分支结构、循环结构来画程序框图，准确表达算法. 画程序框图是用基本语句来编 程的前提.知识点二：基本算法语句 1、输入语句 2、输出语句 3、赋值语句 4、条件语句 IF-THEN-ELSE格式 IF-THEN格式 5、循环语句 (1)WHILE语句 (2)UNTIL语句 要点诠释： 基本算法语句是程序设 计语言的组成部分，注意各语
句的作用，准确理解赋值语 句，灵活表达条件语句.计算机 能够直接或间接理解的程序语 言都包含输入语句、输出语句、 赋值语句、条件语句和循环语句 等基本算法语句.输入语句、输 出语句和赋值语句贯穿于大多 数算法的结构中，而算法中的条 件结构由条件语句来表述，循环 结构由循环语句来实现.学习中 要熟练掌握这些基本算法语句.知 识点三：算法案例 案例1、辗转相除法与更相减损术 1.利用辗转相除法求最大公 约数的步骤如下： (1)用较大的数m 除以较小的 数n得到一个商(2)若 商和一个余数；≠0，则用除数n除以余数得到一个=0，则n为m，n的最大公约数；若； 为m，n的最大公约数；若 =0，此时所得到的和一个余数=0，则(3)若商≠0，则用除数除以余数得到一个和一个余数依次计算直至即为所求的最大公约数.2.更相减损术 (1)任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数.若是，用2约简；若不是，执行第
高中数学知识点完整结 构图71750 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高中数学知识点1 集合 123412n x A x B A B A B A n A ∈????????∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ??????????????????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????=???????
高中数学《流程图》优秀教案 高中数学《流程图》优秀教案 制定计划使学习目的明确，时间安排合理，不慌不忙，稳打稳扎，它是推动我们主动学习和克服困难的内在动力。但计划一定要切实可行，既有长远打算，又有短期安排，执行过程中严格要求自己，磨炼学习意志。下面就是整理的有关高中数学《流程图》优秀教案。 高中数学选修1-2《流程图》教案 教学目标 1.能绘制简单实际问题的流程图，体会流程图在解决实际问题中的作用，并能通过框图理解某件事情的处理过程. 2.在使用流程图过程中，发展学生条理性思考与表达能力和逻辑思维能力. 教学重难点 【重点】识流程图 【难点】数学建模 教学过程 【引入】 例1按照下面的流程图操作，将得到怎样的数集? 9+（5+2）=9+7=16， 16+7+2）=16+9=25， 25+（9+2）=25+11=36， 36+（11+2）=36+13=49， 49+（13+2）=49+15=64， 64+（15+2）=64+17=81，
81+（17+2）=81+19=100. 这样，可以得到数集{1，4，9，16，25，36，49，64，81，100}. 我们知道用数学知识和方法解决实际问题的过程就是数学建模的过程，数学建模的过程可以用下图所示的流程图来表示: 【实际操作】 以哥尼斯堡七桥问题为例来体会数学建模的过程. （1）实际情景: 在18世纪的东普鲁士，有一个叫哥尼斯堡的城市.城中有一条河，河中有两个小岛，河上架有七座桥，把小岛和两岸都连结起来. （2）提出问题: 人们常常从桥上走过，于是产生了一个有趣的想法:能不能一次走遍七座桥，而在每座桥上只经过一次呢? 尽管人人绞尽脑汁，谁也找不出一条这样的路线来. （3）建立数学模型: 1736年，这事传到了瑞士大数学家欧拉的耳里，他立刻对这个问题产生了兴趣，动手研究起来.作为一个数学家，他的研究方法和一般人不同，他没有到桥上去走走，而是将具体问题转化为一个数学模型. 欧拉用点代表两岸和小岛，用线代表桥，于是上面的问题就转化为能否一笔画出图中的网络图形，即一笔画问题，所谓一笔画，通俗的说，就是笔不离开纸面，能不重复的画出网络图形中的每一条线. （4）得到数学结果: 在一笔画问题中，如果一个点不是起点和终点，那么有一条走向