2007年数学三试题分析、详解和评注
一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
（1）当0x +
→
(A) 1- (B) ln(1. (C) 1. (D) 1-. 【 】
【答案】 应选(B). 【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案.
【详解】当0x +
→时，有1(1)~-=--ln(1~
1~
211
1~.22
x -= 可见应选(B). 完全类似例题见《经典讲义》P.26例1.60, 例1.61, 例1.62及辅导班讲义例1.6
（2）设函数f (x )在x =0处连续，下列命题错误的是：
(A) 若0()lim
x f x x →存在，则f (0)=0. (B) 若0()()
lim x f x f x x
→+-存在，则f (0)=0.
(C) 若0()lim x f x x →存在，则(0)f '存在. (D) 若0()()
lim x f x f x x
→--存在，则(0)f '存在
【 】
【答案】 应选(D).
【分析】 本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算等进行分析讨论。
【详解】(A),(B)两项中分母的极限为0，因此分子的极限也必须为0，均可推导出f (0)=0. 若0
()lim
x f x x →存在，则00()(0)()
(0)0,(0)lim
lim 00x x f x f f x f f x x
→→-'====-，可见(C)也正确，故应选(D). 事实上，可举反例：()f x x =在x =0处连续，且
()()
lim
x f x f x x →--=0lim
0x x x x
→--=存在，但()f x x =在x =0处不可导 . 重要提示见《经典讲义》P.38，完全类似例题见P.40例2.1, 例2.6及P.56习题2及辅
导班讲义例2.5
(3)如图，连续函数y =f (x )在区间[?3，?2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[?2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设0
()().x
F x f t dt =?
则
下列结论正确的是
(A) 3(3)(2)4F F =-
-. (B) 5
(3)(2)4
F F =.
(C) )2(43)3(F F =
-. (D) )2(4
5
)3(--=-F F . 【 】 【答案】 应选(C).
【分析】 本题考查定积分的几何意义，应注意f (x )在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。
【详解】 根据定积分的几何意义，知F (2)为半径是1的半圆面积：1
(2)2
F π=， F (3)是两个半圆面积之差：22113(3)[1()]228F πππ=
?-?==3
(2)4
F ， ??
---==-0
3
3
)()()3(dx x f dx x f F )3()(3
F dx x f ==?
因此应选(C).
【评注1】 本题F (x )由积分所定义，应注意其下限为0，因此
2
2
(2)()()F f x dx f x dx ---==-?
?，也为半径是1的半圆面积。可知(A) (B) (D)均不成立.
【评注2】若试图直接去计算定积分，则本题的计算将十分复杂，而这正是本题设计的巧妙之处。
完全类似例题见《经典讲义》P.143例7.15, 例7.16，例7.18及辅导班讲义例7.12
（4）设函数f (x , y )连续，则二次积分1
sin 2
(,)x
dx f x y dy π
π
??
等于
(A) 1
0arcsin (,)y
dy f x y dx π
π+?
?
. (B)
1
arcsin (,)y
dy f x y dx π
π-?
?
.
(C)
1
arcsin 0
2
(,)y
dy f x y dx ππ
+?
?. (D)
1
arcsin 0
2
(,)y
dy f x y dx ππ
-?
?. 【 】
【答案】 应选(B).
【分析】 先确定积分区域，画出示意图，再交换积分次序。 【详解】 积分区域 D:
,sin 12
x x y π
π≤≤≤≤, 也可表示为
D: 01,arcsin y y x ππ≤≤-≤≤, 故
1
sin 2
(,)x
dx f x y dy π
π
??
=10
arcsin (,)y
dy f x y dx π
π-??
，应选(B).
【评注】 确定y 的取值范围时应注意：当
2
x π
π≤≤时，y =sinx=sin(),02
x x π
ππ-≤-≤
,
于是sin x arc y π-=，从而arcsin .x y π=-
完全类似例题见《经典讲义》P.189例10.13, 例10.14,例10.15及辅导班讲义例10.9
（5）设某商品的需求函数为1602Q P =-，其中Q ，P 分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是
(A) 10. (B) 20. (C) 30. (D) 40. 【 】 【答案】 应选(D).
【详解】 由题设，有 1Q P
Q
'
=，即211602P
P -=-，解得P=40. 应选(D). 完全类似例题见《经典讲义》P.214例12.6, 例12.16
（6）曲线1
ln(1)x y e x
=
++，渐近线的条数为 (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. 【 】 【答案】 应选(D).
【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。 【详解】 因为0
1lim[ln(1)]x
x e x
→++=∞，所以0x =为垂直渐近线；
又 1lim [ln(1)]0x
x e x
→-∞
++=，所以y=0为水平渐近线；
进一步，21ln(1)ln(1)lim lim[]lim x x x x x y e e x x x x
→+∞→+∞→+∞++=+==lim
11x
x x e e →+∞=+， 1
lim [1]lim [ln(1)]x x x y x e x x
→+∞
→+∞
-?=++-=lim[ln(1)]x
x e x →+∞+-
=lim [ln (1)]lim ln(1)0x x
x
x x e e x e --→+∞
→+∞
+-=+=，
于是有斜渐近线：y = x . 故应选(D).
【评注】 一般来说，有水平渐近线(即lim x y c →∞
=)就不再考虑斜渐近线，但当lim x y →∞
不
存在时，就要分别讨论x →-∞和x →+∞两种情况，即左右两侧的渐近线。本题在x <0 的一侧有水平渐近线，而在x >0的一侧有斜渐近线。关键应注意指数函数x
e 当x →∞时极限不存在，必须分x →-∞和x →+∞进行讨论。
重要知识点提示见《经典讲义》P.136页，类似例题见P.141例7.13, 例7.14及辅导班讲义例7.8
(7) 设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是 (A)
133221,,αααααα---. (B) 133221,,αααααα+++.
(C) 1332212,2,2αααααα---. (D)
1332212,2,2αααααα+++. 【 】
【答案】应选(A) .
【详解1】直接可看出(A)中3个向量组有关系 )()()(133221αααααα--=-+-， 即(A)中3个向量组有线性相关, 所以选(A) . 【详解2】用定义进行判定:令
0)()()(133322211=-+-+-ααααααx x x ，
得 0)()()(332221131=+-++-+-αααx x x x x x .
因321,,ααα线性无关，所以 1312230,0,0.x x x x x x -=??
-+=??-+=?
又 01
1
011
101
=---， 故上述齐次线性方程组有非零解, 即133221,,αααααα---线性相关. 类似可得(B), (C), (D)中的向量组都是线性无关的.
这是一个基本题，完全类似的问题见《经典讲义》P265例3.5和辅导班上对应章节的例题
(8) 设矩阵????? ??------=211121112A , ???
?
? ??=000010001B , 则A 与B
(A)合同, 且相似. (B) 合同, 但不相似 .
(C)不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又不相似. 【 】 【答案】应选 (B) .
【详解】 由0||=-A E λ 得A 的特征值为0, 3, 3, 而B 的特征值为0, 1, 1，从而A 与B 不相似.
又r (A )=r (B )=2, 且A 、B 有相同的正惯性指数, 因此A 与B 合同. 故选(A) .
【评注】1)若A 与B 相似, 则| A |=| B |；r (A )= r (B )；tr (A )= tr (B ); A 与B 有相同的特征值. 2)若A 、B 为实对称矩阵, 则 A 与B 合同? r (A )= r (B ), 且A 、B 有相同的正惯性指数. 完全类似的问题见《历年真题（三）》P253的小结
(9) 某人向同一目标独立重复射击, 每次射击命中目标的概率为p (0
(A) 2
)1(3p p -． (B) 2
)1(6p p -.
(C) 2
2
)1(3p p -． (D) 2
2
)1(6p p -． 【 】 【答案】应选 (C) .
【详解】“第4次射击恰好第2次命中”表示4次射击中第4次命中目标, 前3次射击中有1次命中目标. 由独立重复性知所求概率为：2
2
1
3)1(p p C -. 故选(C) .
几乎原题见《经典讲义》P445例题4.1中的4k =情况, 完全类似的问题见P386例1.44
(10) 设随机变量(Ｘ,Ｙ)服从二维正态分布，且Ｘ与Ｙ不相关，)()(y f x f Y X 分别表示Ｘ，Ｙ
的概率密度，则在Ｙ＝y 的条件下，Ｘ的密度)|(|y x f Y X 为 (A) )(x f X ． (B) )(y f Y ． (C ) )()(y f x f Y X . (D)
)
()
(y f x f Y X ． 【 】 【答案】应选 (A) .
【详解】因(Ｘ,Ｙ)服从二维正态分布，且Ｘ与Ｙ不相关，故Ｘ与Ｙ相互独立，于是
)|(|y x f Y X =)(x f X . 因此选(A) .
【评注】对于二维连续型随机变量(Ｘ,Ｙ)，有
Ｘ与Ｙ相互独立? f (x , y )=)()(y f x f X X ?)|(|y x f Y X =)(x f X ?)|(|x y f X Y =)(y f Y .
完全相同的问题见《经典讲义》P422二维正态分布的性质4
二、填空题：11－16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.
（11）323
1
lim
(sin cos )2x x x x x x x →+∞++++= . 【答案】 应填0.
【详解】 因为323
1
lim
02x x x x x →+∞++=+，而sinx+cosx 有界，故 323
1
lim
(sin cos )2x x x x x x x →+∞++++=0. 重要知识点提示见P.6，完全类似例题见《经典讲义》P.15例1.27, 例1.33
（12）设函数1
,23y x =
+则()(0)n y = . 【答案】 应填12(1)!().33
n
n n -
【详解】 1
(23),y x -=+ 2
23
12(23),1(2)2(23)
y x y x --'''=-?+=-?-?+
一般地， ()
1(1)!2(23)n n n n y n x --=-?+，
从而 ()
(0)n y
=12
(1)!().33
n n n -
完全类似例题见《经典讲义》P.53例2.42, 例2.44及辅导班讲义例2.16
（13）设f (u , v )是二元可微函数，(,),y x z f x y =则z z
x
y x y
??-=?? . 【答案】 应填 1222.y x
f f x y
''-
+
【详解】
1221()z y f f x x y ?''=?-+??，1221()z x
f f y x y ?''=?+?-?，于是有 z z x
y x y ??-=??12122211[][]y x
x f f y f f x y x y
''''-+-- =1222.y x
f f x y
''-
+ 完全类似例题见辅导班讲义例9.6及《经典讲义》P182习题1-3 （14）微分方程
3
1()2dy y y dx x x
=-满足1
1x y ==的特解为 .
【答案】应填
y =
【详解】作变量代换y u x =，则dy du u x dx dx
=+，代入原方程得 31
2du u x u u dx +=-， 即 31
2du dx u x
=-
， 积分并代入初始条件得
y =
重要知识点说明见《经典讲义》P.154，完全类似例题见《真题三》P.146-147
(15) 设矩阵??????
? ?
?=00
00100001000010A , 则3
A 的秩为___________. 【答案】应填1 .
【详解】依矩阵乘法直接计算得 ??????
? ?
?=00
000000
00001000
3
A , 故r (3
A )=1.
完全类似的问题见《经典讲义》P.253题型七和辅导班上对应章节的例题
(16) 在区间(0, 1)中随机地取两个数, 则两数之差的绝对值小于2
1
的概率为____________． 【答案】应填
4
3.
【详解】这是一个几何概型, 设x , y 为所取的两个数, 则样本空间
}1,0|),{(<<=y x y x Ω, 记}2
1||,),(|),{(<-∈=y x y x y x A Ω.
故 Ω
S S A P A =
)(4
3
143
==，其中ΩS S A ,分别表示A 与Ω 的面积. 几乎原题见《经典讲义》P378例1.21和辅导班上对应章节的例题
三、解答题：(17－24小题，共86分.) （17）（本题满分10分）
设函数y = y (x )由方程0ln =+-y x y y 确定, 试判断曲线y = y (x )在点(1, 1)附近的凹凸性. 【分析】 由凹凸性判别方法和隐函数的求导即得. 【详解1】在0ln =+-y x y y 两边对x 求导得 012ln =-'+'y y y 解得 2ln 1
+=
'y y
两边对x 再求导得 2)2(l n 1+'
?-
=''y y y
y 3
)
2(l n 1+-=y y . 将x =1, y =1 代入得 8
1
-
=''y 由于二阶导函数y ''在x =1的附近是连续函数, 所以由8
1
-=''y , 可知在x =1的附近有
y ''<0, 故曲线y = y (x )在点(1, 1)附近是凸的.
【详解2】 在0ln =+-y x y y 两边对x 求导得
012ln =-'+'y y y 两边对x 再求导得 021
ln =''+'?'+''y y y
y y y 将x =1, y =1 代入得上两式得 21=
'y , 8
1
-=''y 由于二阶导函数y ''在x =1的附近是连续函数, 所以由8
1
-=''y , 可知在x =1的附近有y ''<0,
故曲线y = y (x )在点(1, 1)附近是凸的.
【详解3】 将x 看作y 的函数, 在0ln =+-y x y y 两边对y 求导得
1
ln 1ln 2x y y y y
'=+?
+=+ 两边再对y 求导得 1x y
''=
将x =1, y =1 代入得式得 1x ''=. 因为二阶导函数x ''在y =1的附近是连续函数, 所以由1x ''=可知在y =1的附近有x ''>0, 由此可知曲线x = x (y )在点(1, 1)附近是凹的, 故曲线y = y (x )在点(1, 1)附近是凸的.
完全类似例题见辅导班讲义例7.7及《经典讲义》P.142例7.14
（18）（本题满分11分） 设二元函数
2,
1,(,)12,
x x y f x y x y ?+≤?
=<+≤
计算二重积分
(,)D
f x y d σ??，其中{(,)
2}.D x y x y =+≤
【分析】被积函数为分区域函数，利用积分的可加性分区域积分，在计算过程中注意利用区域的对称性和被积函数的奇偶性进行化简。
【详解1】由区域的对称性和被积函数的奇偶性有
????=1
),(4),(D D
d y x f d y x f σσ
其中1D 为D 在第一象限的部分.
设 }1010|),{(11≤≤-≤≤=x x y y x D ，,
}0,021|),{(12≥≥≤+≤=y x y x y x D ，
????
=1
1
2),(D D d x d y x f σσ?
?-=x
dx x dx 10
210
?-=1
2)1(dx x x 12
1
=
, ??
??+=12
12
2
2
1),(D D d y
x d y x f σσ?
?++=θ
θθ
θπ
θcos sin 2cos sin 220
dr d
)12ln(2+=.
因此
????
=1
),(4),(D D
d y x f d y x f σσ)12l n (243
1
++=
.
【详解2】记121{(,)1},D x y x y D D D =+≤=-，则
(,)D
f x y d σ??=1
2
(,)(,)D D f x y d f x y d σσ+????
=
1
2
2D D x d σσ+??
=1
122112
4
4[]x
x
x
x dx dy dx dx ---+-?
?
??
??
=
1
1).3
+ 【评注】被积函数包含
22y x +时,
可考虑用极坐标较容易；解法二在计算积分
2
D σ时, 利用了将区域2D 转化为区域D 减去1D ,而后面这两块区域均方便积分.
完全类似例题见《经典讲义》P.191例10.19及辅导班讲义例10.9
（19）（本题满分11分）
设函数f (x ), g (x )在[a , b ]上连续，在(a , b )内具有二阶导数且存在相等的最大值，f (a )=g (a ), f (b )=g (b ), 证明：存在(,)a b ξ∈，使得()().f g ξξ''''=
【分析】需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理，事实上，若令
()()()F x f x g x =-，则问题转化为证明()0F ξ''=, 只需对()F x '用罗尔定理，关键是找
到()F x '的端点函数值相等的区间(特别是两个一阶导数同时为零的点)，而利用F (a )=F (b )=0, 若能再找一点(,)c a b ∈，使得()0F c =，则在区间[,],[,]a c c b 上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点，再对()F x '用罗尔定理即可。
【证明】构造辅助函数()()()F x f x g x =-，由题设有F (a )=F (b )=0. 又f (x ), g (x )在(a , b )内具有相等的最大值, 不妨设存在21x x ≤, ),(,21b a x x ∈使得
12[,]
[,]
()max (),()max ()a b a b f x M f x g x M g x ====，
若21x x =，令1x c =, 则()0.F c =
若21x x <，因111222()()()0,()()()0F x f x g x F x f x g x =-≥=-≤，从而存在
12[,](,)c x x a b ∈?，使()0.F c =
在区间[,],[,]a c c b 上分别利用罗尔定理知，存在12(,),(,)a c c b ξξ∈∈，使得
12()()0F F ξξ''==.
再对()F x '在区间12[,]ξξ上应用罗尔定理，知存在12(,)(,)a b ξξξ∈?，有
()0F ξ''=， 即 ()().f g ξξ''''=
完全类似例题见《经典讲义》P.114例5.11，例5.12, P.121例5.26及辅导班讲义
例5.3-5
（20）（本题满分10分） 将函数21
()34
f x x x =
--展开成x ?1的幂级数，并指出其收敛区间.
【详解】21()34f x x x =
--=
1111
()(4)(1)541
x x x x =--+-+ =
1111
1115101132
x x -
----+ 011()153
n
n x ∞=-=-∑01(1)(1)102n
n n n x ∞=---∑ 其中，第一个幂级数的收敛区间为13x -<，第二个幂级数的收敛区间为12x -<，故幂级数的收敛区间为：12x -<，即1 3.x -<<
完全类似例题见《经典讲义》P.206例11.14
(21) (本题满分11分)
设线性方程组 ???
??=++=++=++.
04,02,03221
3
21321x
a x x ax x x x x x ①
与方程 12321-=++a x x x ②
有公共解，求a 的值及所有公共解． 【分析】 两个方程有公共解就是①与②联立起来的非齐次线性方程组有解. 【详解1】将①与②联立得非齐次线性方程组:
???????-=++=++=++=++.12,04,02,032132
213
213
21a x x x x a x x ax x x x x x
③
若此非齐次线性方程组有解, 则①与②有公共解, 且③的解即为所求全部公共解. 对③的增广矩阵A 作初等行变换得:
→???????
?
?-=11
21041021
0111
2a a a A ??
?
?
?
?
?
??-----11000)1)(2(000110
0111a a a a a .
于是1° 当a =1时，有)()(A r A r ==2<3，方程组③有解, 即①与②有公共解, 其全部公共解即为③的通解，此时
??????
?
?
?→00
00000000100101
A ， 此时方程组③为齐次线性方程组，其基础解系为: ???
?
?
??-101,
所以①与②的全部公共解为????
? ??-101k ，k 为任意常数. 2° 当a =2时，有)()(A r A r ==3，方程组③有唯一解, 此时
???
?
??
?
?
?-→000
0110010100001
A ，
故方程组③的解为: ?
??
?? ??-110, 即①与②有唯一公共解: 为????
? ??-=????? ??=110321x x x x .
【详解2】将方程组的系数行列式:
2412
111
1a a )2)(1(1
301101
112--=--=a a a a 当21≠≠a a 且时，①只有唯一零解, 但它不是②的解, 此时①与②没有公共解.
当a =1时, ???
?
? ??→????? ??000010101141121111, ①的解为
???
?
?
??-101k , k 为任意常数. 将其代入与方程 112321-=++x x x 知， ???
?? ??-101k 也是②的解.
所以①与②的全部公共解为???
?
? ??-101k ，k 为任意常数.
当a = 2时, ???
?
? ??→????? ??000110001441221111, ①的解为
???
?
?
??-110k , k 为任意常数; 将其代入与方程 122321-=++x x x ，得k = ?1.
即①与②有唯一公共解: 为???
?
? ??-=????? ??=110321x x x x .
完全类似的问题见《经典讲义》P.299题型四例4.20-4.22和辅导班上对应章节的例题
(22) (本题满分11分)
设3阶对称矩阵Ａ的特征值,2,2,1321-===λλλ
T )1,1,1(1-=α是Ａ
的属于1λ的一个特征向量,记E A A B +-=3
5
4其中E 为3阶单位矩阵. (I) 验证1α是矩阵Ｂ的特征向量，并求B 的全部特征值的特征向量．
(II) 求矩阵Ｂ．
【分析】 根据特征值的性质可立即得B 的特征值, 然后由B 也是对称矩阵可求出其另外两个线性无关的.
【详解】(I) 由11αα=A 得 1112
ααα==A A ,
进一步 113
αα=A
, 115αα=A ，
故 13
5
1)4(ααE A A B +-=
113154ααα+-=A A 1114ααα+-=
12α-=，
从而1α是矩阵Ｂ的属于特征值?2的特征向量.
因E A A B +-=3
5
4, 及Ａ的3个特征值,2,2,1321-===λλλ 得 B 的3个特征值为1,1,2321==-=μμμ.
设32,αα为B 的属于132==μμ的两个线性无关的特征向量, 又 为Ａ对称矩阵，得B 也是对称矩阵, 因此1α与32,αα正交, 即
0,03121==ααααT T
所以32,αα可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解：
0)1,1,1(321=???
?? ??-x x x ,
其基础解系为: ???
?
? ??011,
????? ??-101 , 故可取2α=????? ??011, 3α=????
? ??-101. 即B 的全部特征值的特征向量为: ????? ??-1111k , ???
?
?
??-+????? ??10101132k k , 其中01≠k ,是不为零的任
意常数, 32,k k 是不同时为零的任意常数.
(II) 方法一：令),,(321ααα=P =????? ??--101011111, 则 ???
?
? ??-=-1121BP P ，
得 1112-???
?
?
??-=P P B
=????
? ??--101011111?????
??-112
????? ??--21112111131
=????? ??---102012112????? ??--21112111131?
??
?
?
??--=011101110. 方法二: 将32,αα正交化得, 22αβ==???
?
? ??011,
2222333)
,()
,(ββββααβ-==???
?
? ??-21121,
将1α,32,ββ单位化得 ????? ??-=111311γ, ????? ??=011212γ, ?
??
?? ??-=211613γ.
令 ?????
???
? ??-
-==620
3
1612131
612131),,(321γγγP ， 则 ???
?? ??-==-1121BP P BP P T ，
故 T
P P B ????
?
??-=112
????????? ??-
-
=620316121316121
31???
?
? ??-112????????
? ?
?-
-
626
161021213131
31
????????
?
?
?-
-
-
=620
32612132612132????????
? ?
?-
-
626
161021213131
31
????
? ??--=011101110. 完全类似的问题见《经典讲义》P318重要公式与结论1、P326例5.13、P.354例6.10
和辅导班上对应章节的例题
(23) (本题满分11分)
设二维随机变量(X , Y )的概率密度为 2,01,01,
(,)0,
x y x y f x y --<<<
(I) 求{}Y X P 2>；
(II) 求Z ＝Ｘ+Ｙ的概率密度)(z f Z . 【详解】(I) {}Y X P 2>??>=
y
x dxdy y x f 2),(??--=1
2210
)2(y
dx y x dy 24
7=
. (II) 方法一： 先求Z 的分布函数: ??≤+=
≤+=z
y x Z dxdy y x f Z Y X P z F ),()()(
当z <0时, 0)(=z F Z ; 当10<≤z 时, ??
=
1
),()(D Z dxdy y x f z F ?
?---=y
z z
dx y x dy 0
)2(
3
2
3
1z z -
=； 当21<≤z 时, ??-
=2
),(1)(D Z dxdy y x f z F ?
?
-----=111
)2(1y
z z dx y x dy
3)2(3
1
1z --=； 当2≥z 时, 1)(=z F Z . 故Z ＝Ｘ+Ｙ的概率密度
)(z f Z =)(z F Z '??
?
??<≤-<<-=.,0,21,)2(,10,222其他z z z z z
方法二： ?
∞
+∞
--=
dx x z x f z f Z ),()(，
?
?
?<-<<<---=-.,0,
10,10),(2),(其他x z x x z x x z x f ??
?+<<<<-=.,
0,
10,10,2其他x z x z 当z ≤0 或z ≥ 2时, 0)(=z f Z ; 当01z <<时, ?-=z
Z dx z z f 0
)2()()2(z z -=；
当21<≤z 时, ?
--=11
)2()(z Z dx z z f 2)2(z -=；
故Z ＝Ｘ+Ｙ的概率密度
)(z f Z ??
?
??<≤-<<-=.,0,21,)2(,
10,222其他z z z z z
完全类似的问题见《经典讲义》P.433例3.22、P.434例3.24及后面评注和辅导班上对
应章节的例题
(24) (本题满分11分)
设总体X 的概率密度为
???
?
????
?<≤-<<=.,
0,1,)1(21
,0,
21
),(其它x x x f θθθθθ 其中参数θ(0<θ<1)未知, n X X X 21,是来自总体X 的简单随机样本, X 是样本均值 (I) 求参数θ的矩估计量θ?；
(II) 判断2
4X 是否为2
θ的无偏估计量,并说明理由. 【详解】(I) dx x xf X E ),()(θ?
∞
+∞
-=
dx x
dx x ??
-+=10)
1(22θθ
θθ .4
1
2)1(414
+=++
=
θθθ
令 X =+412θ
, 其中 ∑==n
i i X n X 1
1，解方程得θ的矩估计量为: θ?=212-X .
(II) )]()([4)(4)4(2
22X E X D X E X E +==)]()
([
42X E n
X D +=,
而 dx x f x X E ),()(2
2
θ?
∞+∞
-=
dx x dx x ??-+=12
02)
1(22θθ
θθ .6
1
6132
++=
θθ )()()(2
2
X E X E X D -=22
)4
1
21(61613+-++=θθθ 48
5
1211212+-=
θθ， 故 )4(2X E )]()([42X E n X D +=n
n n n n n 125
3133132++-++=θθ2θ≠, 所以2
4X 不是2
θ的无偏估计量.
完全类似的问题见《经典讲义》P492例7.7、P495例7.13和辅导班上对应章节的例题
全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案 答案速查： 一、选择题 二、填空题 三、解答题 （17）曲线()y y x =在点（1，1）附近是凸的. （18） 1 1)3 + （19）略 （20）11011(1)()()(1),(1,3)532 n n n n n f x x x ∞++=-=-+-∈-∑ （21）1a =，此时所有公共解为[1,0,1]T x k =-，其中k 为任意常数；2a =，此时唯一公共解为[0,1,1]T x =- （22）（Ⅰ）B 的特征值为-2,1,1；B 的属于特征值-2的全部特征向量为11k α（1k 为非零的任意常数），B 的属于特征值1的全部特征向量为2233k k αα+（23,k k 为不全为零的任意常数） （Ⅱ）011101110B -?? ? = ? ?-?? （23）（Ⅰ）{}7224P X Y >=；（Ⅱ）2 (2),01, ()(2),12,0,Z z z z f z z z -<
ln(1:故选B.. （2）【答案】 (D) 【解析】方法1:论证法，由0() lim x f x x →存在及()f x 在0x =处连续，所以 00() (0)lim ()lim()0,x x f x f f x x x →→===（A ）正确； 由于00()(0)() lim lim 0x x f x f f x x x →→-=-存在，所以'(0)f 存在.（C ）也正确； 由()f x 在0x =处连续，所以()f x -在0x =处连续，从而()()f x f x +-在0x =处 连续，将它看成（A ）中的()f x ，从而推知(0)(0)0,f f +-=即有2(0)0,(0)0f f ==.所以（B ）正确，此题选择（D ）. 方法2：举例法，举例说明（D ）不正确.例如取()f x x =，有 00()() lim lim 00x x x x f x f x x x →→----==- 而'(0)f 并不存在. （D ）不正确，选（D ）. （3）【答案】（C ） 【解析】由题给条件知，()f x 为x 的奇函数，故()F x 为x 的偶函数，所以(3)(3).F F -=而 323 2 2 3(3)()()(),2 8 8 (2)(), 2 F f t dt f t dt f t dt F f t dt π π π π ==+= - = == ???? 所以(3)F - 3 (2)4 F = ，选择C （4）【答案】（B ） 【解析】画出该二次积分所对应的积分区域D ，交换为先x 后y 1 1sin 0 sin 2 (,)(,)x arc y dx f x y dy dy f x y dx ππ ππ-=?? ?? ， 所以选择(B). （5）【答案】（D ） 【解析】'()22.()16021602Q P P P P Q P P P -= ==--需求弹性 由题知，它等于1，解之，40.P =所以选(D) （6）【答案】（D ） 【解析】0 01lim lim ln(1),x x x y e x →→?? =++=∞ ??? 所以0x =是一条垂直渐近线；
2007年研究生入学考试数学三试题 一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）当0x +→ 等价的无穷小量是 （A ）1- （B ）ln （C 1 （D ）1- [ ] （2）设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是： （A ）若0()lim x f x x →存在，则(0)0f = （B ）若0()() lim x f x f x x →+-存在，则(0)0f = . （B ）若0()lim x f x x →存在，则(0)0f '= （D ）若0()() lim x f x f x x →--存在，则(0)0f '=. [ ] （3）如图，连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设0()()d x F x f t t =?，则下列结论正确 的是： （A ）3(3)(2)4F F =-- (B) 5 (3)(2)4F F = （C ）3(3)(2)4 F F = （D ）5 (3)(2)4F F =-- [ ] （4）设函数(,)f x y 连续，则二次积分1 sin 2 d (,)d x x f x y y ππ?? 等于 （A ）10arcsin d (,)d y y f x y x π π+?? （B ）1 0arcsin d (,)d y y f x y x π π-?? （C ）1arcsin 0 2 d (,)d y y f x y x ππ +?? （D ）1arcsin 0 2 d (,)d y y f x y x ππ -?? （5）设某商品的需求函数为1602Q P =-，其中,Q P 分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是 (A) 10. (B) 20 (C) 30. (D) 40. [ ] （6）曲线()1 ln 1e x y x =++的渐近线的条数为 （A ）0. （B ）1. （C ）2. （D ）3. [ ] （7）设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是 线性相关，则 (A) 122331,,αααααα--- (B) 122331,,αααααα+++ (C) 1223312,2,2αααααα---. (D) 1223312,2,2αααααα+++. [ ] （8）设矩阵211100121,010112000A B --???? ? ? =--= ? ? ? ?--???? ，则A 与B
2010年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷) 理科数学试题 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分． 第I 卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 (1)已知集合{||2}A x R x =∈≤ },{| 4}B x Z =∈≤,则A B ?= (A)(0,2) (B)[0,2] (C){0,2] (D){0,1,2} (2) 已知复数z = ，z 是z 的共轭复数，则z z ?= (A) 14 (B)1 2 (C) 1 (D)2 (3)曲线2 x y x =+在点(1,1)--处的切线方程为 (A)21y x =+ (B)21y x =- (C) 23y x =-- (D)22y x =-- (4)如图，质点P 在半径为2 的圆周上逆时针运动，其初始位置为 0P ，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为 A B C D (5)已知命题 1p ：函数22x x y -=-在R 为增函数， 2p ：函数22x x y -=+在R 为减函数， 则在命题1q ：12p p ∨，2q ：12p p ∧，3q ：()12p p ?∨和4q ：()12p p ∧?中，真命题是 （A ）1q ，3q （B ）2q ，3q （C ）1q ，4 q （D ）2q ，4q
(6)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为 (A)100 （B ）200 (C)300 （D ）400 (7)如果执行右面的框图，输入5N =，则输出的数等于 (A)54 （B ）45 (C)65 （D ）56 (8)设偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥， 则{|(2)0}x f x ->= (A) {|24}x x x <->或 (B) {|04}x x x <>或 (C) {|06}x x x <>或 (D) {|22}x x x <->或 (9)若4 cos 5 α=- ，α是第三象限的角，则1tan 21tan 2 αα +=- (A) 12- (B) 12 (C) 2 (D) 2- (10)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 (A) 2 a π (B) 273 a π (C) 2 113 a π (D) 25a π (11)已知函数|lg |,010,()16,10.2 x x f x x x <≤?? =?-+>??若,,a b c 互不相等，且()()(),f a f b f c ==则abc 的取值范围是 (A) (1,10) (B) (5,6) (C) (10,12) (D) (20,24) (12)已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两 点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为 (A) 22136x y -= (B) 22 145x y -= (C) 22163x y -= (D) 22 154 x y -=
2005年河南省普通高等学校 选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试 高等数学 试卷 一、单项选择题（每小题2分，共计60分） 在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题 干后面的括号内。不选、错选或多选者，该题无分. 1.函数x x y --=5) 1ln(的定义域为为 （ ） A. 1>x B.5
A. 1 B. -1 C. 21 D. 2 1 - 解：2 1 )11(1lim )11(lim 11lim )(lim 0000=-+=-+=--=→→→→x x x x x x x f x x x x ,应选C. 6.设函数)(x f 在点1=x 处可导,且2 1 )1()21(lim 0=--→h f h f h ,则=')1(f （ ） A. 1 B. 21- C. 41 D. 4 1 - 解：4 1 )1(21)1(22)1()21(lim 2)1()21(lim 020-='?='-=----=--→-→f f h f h f h f h f h h , 应选D. 7.由方程y x e xy +=确定的隐函数)(y x 的导数dy dx 为 （ ） A.)1()1(x y y x -- B.)1()1(y x x y -- C.)1()1(-+y x x y D.)1()1(-+x y y x 解：对方程y x e xy +=两边微分得)(dy dx e ydx xdy y x +=++, 即dy x e dx e y y x y x )()(-=-++, dy x xy dx xy y )()(-=-, 所以 dy dx ) 1() 1(x y y x --= ,应选A. 8.设函数)(x f 具有任意阶导数,且2)]([)(x f x f ='，则=)()(x f n （ ） A. 1)]([+n x f n B. 1)]([!+n x f n C. 1)]()[1(++n x f n D. 1)]([)!1(++n x f n 解：423)]([3)()(32)()]([2)()(2)(x f x f x f x f x f x f x f x f ！ ='?='''?='='', ?ΛΛ=)()(x f n 1)]([!+n x f n ,应选B. 9.下列函数在给定的区间上满足罗尔定理的条件是 （ ） A.]1,1[,1)(2--=x x f B.]1,1[,)(-=-x xe x f C.]1,1[,11 )(2 --=x x f D ．]1,1[|,|)(-=x x f 解：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等来确定,只有]1,1[,1)(2--=x x f 满足,应选A. 10.设),(),12)(1()(+∞-∞∈+-='x x x x f ,则在)1,2 1 (内,)(x f 单调 ( ) A.增加,曲线)(x f y =为凹的 B.减少,曲线)(x f y =为凹的 C.增加,曲线)(x f y =为凸的 D.减少,曲线)(x f y =为凸的 解: 在)1,21 (内,显然有0)12)(1()(<+-='x x x f ,而014)(>-=''x x f ,故函 数)(x f 在)1,2 1 (内单调减少,且曲线)(x f y =为凹的,应选B.
2004年考研数学（三）真题 一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） (1) 若5)(cos sin lim 0=--→b x a e x x x ，则a =______，b =______. (2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y ) ≠ 0，则2f u v ?= ??. (3) 设?? ???≥ -<≤-=21,12121,)(2 x x xe x f x ，则212(1)f x dx -=?. (4) 二次型2 132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 . (5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>}{DX X P _______. (6) 设总体X 服从正态分布),(2 1σμN , 总体Y 服从正态分布),(22σμN ,1,,21n X X X 和 2 ,,21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则 12221112()()2n n i j i j X X Y Y E n n ==?? -+-????=??+-?????? ∑∑. 二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求， 把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数2 ) 2)(1() 2sin(||)(---= x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. (A) (-1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3). [ ] (8) 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且a x f x =∞ →)(lim ， ?????=≠=0 ,00 ,)1()(x x x f x g ，则 (A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点. (C) x = 0必是g (x )的连续点. (D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. [ ] (9) 设f (x ) = |x (1 - x )|，则 (A) x = 0是f (x )的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (C) x = 0是f (x )的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (D) x = 0不是f (x )的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点. [ ] (10) 设有下列命题： (1) 若 ∑∞=-+1 212)(n n n u u 收敛，则∑∞ =1 n n u 收敛.
2006年全国硕士研究生入学考试数学（三） 一 填空 (1)()11lim _________n n n n -→∞ +?? = ??? (2)设函数()x 2f x =在 的 某领域内可导,且()() (),21f x f x e f '==,则 ()2_________f '''= (3)设函数()f u 可微,且()1 02 f '= ,则()224Z f x y =-在点(1,2)处的全微分()1,2_________dz = (4)设矩阵2112A ?? = ?-?? ,E 为2阶单位矩阵,矩阵E 满足BA=B+2E,则_________B = (5)设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从区间[]0,3上的均匀分布,则 (){}max ,1_________P X Y ≤= (6)设总体X 的概率密度为()()121,,, (2) x n f x e x x x x -= -∞<<+∞为总体的简单随机样本,其样本方差2 S ,则E 2 S =__________ 二 选择题 (7) 设函数()y f x =具有二阶导数,且()()0,0,f x f x x '''>>?为自变量x 在点0x 处的增量,y dy ?与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ?>,则 ( ) (A)0dy v <
]x 2010年考研数学一真题 一、选择题(1?8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的 个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。) ⑴极限皿—［金而］_ (A) l (B)e (C)e a ~b (D)e b ~a 【考点】Co 【解析】 【方法一】 这是一个“I 00”型极限 Um [—— l x (x-a)(x+b) (a-b)x+ab j (a-D)x+ad J(x- a)(x+ b)X 【方法二】 原式="Hl 評”(x-a )("b) XT 8 rfii/im xln ----- - ----- = lim x/n(l + xt8 (x-a)(x+&) xt8 (x-a)(x+&) 【方法三】 对于“18”型极限可利用基本结论: 若Mm a(x) = 0, lim 0(x) = 0,且"m (a-b)x^ab (―a)(+) lim x ? *T8 (a-b)x+ab (x-a)(x+b) (等价无穷小代换) x 2 DM)
a(x) 0(x) = A ]x
由于"mis Q (x)0(x) = Um 曽；驚；；)? x XT8 (x-a)(x+fc) ■ ? (a -b)x 2^abx f =恐乔亦Li 则叫g[高而F =宀 【方法四】 综上所述，本题正确答案是C 。 【考点】高等数学一函数、极限.连续一无穷小量的性质及无穷 小量的比较，极限的四则运算，两个重要极限 (A)x (C)-x 【答案】Bo 【解析】 空=_鱼=_只(-召)+ E (一刼=Eg+f 茫 缺 F ； 磅 叫 9 dz °y 综上所述，本题正确答案是(B)。 所以唏+y 辭警現F , yfi -珈 X 2 (x-a)(x+b). ：(x-a)(x+b)] -X X 2 =塑a 一 沪?慟(i+「宀 ea 'b (2)设函数z = z(x,y)由方程 F (gm = 0确定，其中F 为可微函数，且 f”2工°，则燈+琲= (D)-z 因为
2005年考研数学一真题 一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1）曲线1 22 +=x x y の斜渐近线方程为 _____________. （2）微分方程x x y y x ln 2=+'满足9 1)1(-=y の解为. ____________. （3）设函数181261),,(222z y x z y x u +++=，单位向量}1,1,1{3 1= n ρ，则) 3,2,1(n u ??=.________. （4）设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成の空间区域，∑是Ωの整个边界 の外侧，则 ??∑ =++zdxdy ydzdx xdydz ____________. （5）设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵 ),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ， 如果1=A ，那么=B .. （6）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从X ,,2,1Λ中任取一个数，记为Y , 则 }2{=Y P =____________. 二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出の四个选项中，只有一项符合题目要求， 把所选项前の字母填在题后の括号内） （7）设函数n n n x x f 31lim )(+=∞ →，则f(x)在),(+∞-∞内 (A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点. (C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ ] （8）设F(x)是连续函数f(x)の一个原函数，""N M ?表示“M の充分必要条件是N ”，则必有 (A) F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. (C) F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. (D) F(x)是单调函数?f(x)是单调函数. [ ] （9）设函数? +-+-++=y x y x dt t y x y x y x u )()()(),(ψ??, 其中函数?具有二阶导数，ψ 具有一阶导 数，则必有 (A) 2222y u x u ??-=??. （B ） 2222y u x u ??=??. (C) 222y u y x u ??=???. (D) 222x u y x u ??=???. [ ]
２0１2年考研数学三真题 一、选择题(１~8小题，每小题４分,共３2分。下列每题给出的四 个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。） (1)曲线y=x 2+x x2?1 渐近线的条数为 (Ａ)0 (B）1 (C)2 （D)3 【答案】C。 【解析】 由lim x→+∞y=lim x→+∞ x2+x x2?1 =1=lim x→?∞ y=lim x→?∞ x2+x x2?1 ， 得y=1是曲线的一条水平渐近线且曲线没有斜渐近线； 由lim x→1y=lim x→1 x2+x x?1 =∞得x=1是曲线的一条垂直渐近线； 由lim x→?1y=lim x→?1 x2+x x?1 =1 2 得x=?1不是曲线的渐近线; 综上所述，本题正确答案是C 【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸、拐点及渐近线 (2)设函数f(x)=(e x?1)(e2x?2)?(e nx?n)，其中n为正整数， 则f′(0)= （A）(?1)n?1(n?1)! (B)(?1)n(n?1)! （C)(?1)n?1(n)! (D）(?1)n(n)! 【答案】A 【解析】 【方法1】
令g (x )=(e 2x ?2)?(e nx ?n)，则 f (x )=(e x ?1) g (x ) f ′(x)=e x g (x )+(e x ?1)g′(x ) f ′(0)= g (0)=(?1)(?2)?(?(n ?1)) =(?1)n?1(n ?1)! 故应选Ａ． 【方法2】 由于f (0)=0,由导数定义知 f ′(0)=lim x→0f(x)x =lim x→0 (e x ?1)(e 2x ?2)?(e nx ?n)x =lim x→0(e x ?1)x ?lim x→0(e 2x ?2)?(e nx ?n) =(?1)(?2)?(?(n ?1))=(?1)n?1(n ?1)!. 【方法3】 排除法，令n =2,则 f (x )=(e x ?1)(e 2x ?2) f ′(x )=e x (e 2x ?2)+2e 2x (e x ?1) f ′(0)=1?2=?1 则（B)(C)（D)均不正确 综上所述，本题正确答案是(A ） 【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念 (3)设函数f(t)连续，则二次积分∫dθπ20∫f(r 2)rdr 22cos θ = (A )∫dx 20∫√x 2+y 2f(x 2+y 2)dy √4?x 2√2x?x 2 (Ｂ) ∫dx 20 ∫f(x 2+y 2)dy √4?x 2√2x?x 2
2007 年考研数学二真题 一、选择题（ 1 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） (1) 当时，与等价的无穷小量是 (A)(B) (C)(D) 【答案】 B。 【解析】 当时 几个不同阶的无穷小量的代数和，其阶数由其中阶数最低的项来决定。 综上所述，本题正确答案是B。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较 (2) 函数在上的第一类间断点是 (A)0(B)1 (C)(D) 【答案】A。 【解析】
A：由得 所以是的第一类间断点； B： C： D： 所以都是的第二类间断点。 综上所述，本题正确答案是A。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数间断点的类型 (3) 如图，连续函数在区间上的图形分别是直 径为 1 的上、下半圆周，在区间上的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周，设则下列结论正确的是 , (A) (B) (C) (D) -3-2-10123
【答案】 C。 【解析】 【方法一】 四个选项中出现的在四个点上的函数值可根据定积分的几何意义 确定 则 【方法二】 由定积分几何意义知,排除 (B) 又由的图形可知的奇函数，则为偶函数，从而 显然排除 (A) 和(D), 故选 (C) 。 综上所述，本题正确答案是C。 【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质，定积分的应用 (4) 设函数在处连续，下列命题错误的是 ．． (A) 若存在，则
(B) 若存在，则 (C)若存在，则存在 (D) 若存在，则存在 【答案】 D。 【解析】 (A) ：若存在，因为,则,又已知函数在处连续，所以, 故,(A) 正确； (B) ：若 (C),则 存在，则， 故 (B) 正确。存 在，知，则 则存在，故 (C) 正确 (D)存在， 不能说明存在 例如在处连续， 存在，但是不存在，故命题 (D) 不正确。 综上所述，本题正确答案是D。 【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念 (5) 曲线渐近线的条数为 (A)0(B)1 (C)2(D)3
2010年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)极限= (A)1 (B) (C) (D) 【考点分析】：考察1∞型不定性极限。 【求解过程】： ? 方法一：利用求幂指型极限的一般方法： I = lim x→∞[x 2 x?a x+b ]x =lim x→∞ e x ln x 2 ( x?a )(x+b) 归结为求 2 22 lim ln ()()lim ln 11()()lim 1()()()lim ()() x x x x x w x x a x b x x x a x b x x x a x b a b x ab x x a x b a b →∞→∞→∞→∞ =-+????=+-?? ?-+? ?????=-?? -+??-+=? -+=- 因此，I =e a?b ，选C 【基础回顾】：对于一般的幂指型极限有： ()()ln ()lim ()ln ()lim ()lim g x g x f x g x f x f x e e == ? 方法二：利用第二个重要极限求解 22 ()lim ()()lim lim 11()()()()()lim 1()()x x x x x x a b x ab x x a x b x a b x x I x a x b x a x b a b x ab e x a x b e →∞→∞→∞-+?-+→∞-??????==+-?? ???-+-+??? ?????-+=+=??-+??= 2 lim ()()x x x x a x b →∞????-+?? e e a b -e b a -
2005年普通高等学校招生全国统一考试 数学（全国3理）试题精析详解 一、选择题(每小题5分，共60分) 1．已知α为第三象限角，则2 α所在的象限是 （ ） A ．第一或第二象限 B ．第二或第三象限 C ．第一或第三象限 D ．第二或第四象限 【思路点拨】本题考查任意角的表示方法及讨论整数的奇偶性. 【正确解答】解法(1)因为α为第三象限角，所以(2,2)()2 k k k Z π απππ∈--∈， 所以 (,)()2 24k k k Z α π πππ∈- -∈，即2 α 所在的象限是第二或第四象限.选D 解法(2)用图象法类似角分线，由图象可以轻易得到答案.选D 解法(3)用特值法令 0135α=-和0225α=,也可以得到答案D 【解后反思】熟悉角的终边在坐标系内的画法,可以求任意角简单分割后的终边所在象限.如何求任意角经复杂分割后的终边所在象限如 n α (1)先写出α范围(2)再求出除以n 的范围(3)再分成n 类情况讨论可完成. 2．已知过点A(－2，m)和B(m ，4)的直线与直线2x +y －1=0平行，则m 的值为 （ ） A ．0 B ．－8 C ．2 D ．10 【思路点拨】本题考查直线方程中系数与直线几何性质的关系. 【正确解答】解法(1)两直线平行，则斜率相等，因此有422 m m -=-+，得8m =-. 选B. 解法(2)可用特值法逐个代入,与条件相匹配.也能得到答案B. 【解后反思】掌握直线方程五种形式的相互转化及其参数对几何性质的影响.即把相应条件变成等式,从平行等重要条件入手. 3．在8)1)(1(+-x x 的展开式中5x 的系数是 （ ） A ．－14 B ．14 C ．－28 D ．28 【思路点拨】本题考查二项式定理通项公式的应用. 【正确解答】8 8 8 (1)(1)(1)(1)x x x x x -+=+-+，5x 的系数为45 8814C C -=.
2005年考研数学（三）真题 一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1）极限1 2sin lim 2 +∞ →x x x x = . （2） 微分方程0=+'y y x 满足初始条件2)1(=y 的特解为______. （3）设二元函数)1ln()1(y x xe z y x +++=+，则=) 0,1(dz ________. （4）设行向量组)1,1,1,2(，),,1,2(a a ，),1,2,3(a ，)1,2,3,4(线性相关，且1≠a ，则a=_____. （5）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从X ,,2,1Λ中任取一个数，记为Y , 则 }2{=Y P =______. （6）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，则a= ， b= . 二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）当a 取下列哪个值时，函数a x x x x f -+-=1292)(2 3 恰好有两个不同的零点. (A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. [ ] （8）设σd y x I D ??+= 221cos ,σd y x I D ??+=)cos(222,σd y x I D ??+=2223)cos(,其中 }1),{(22≤+=y x y x D ，则 (A) 123I I I >>. （B ）321I I I >>. (C) 312I I I >>. (D) 213I I I >>. [ ] （9）设,,2,1,0Λ=>n a n 若 ∑∞ =1 n n a 发散， ∑∞ =--1 1 ) 1(n n n a 收敛，则下列结论正确的是 (A) ∑∞ =-11 2n n a 收敛， ∑∞ =1 2n n a 发散 . （B ） ∑∞ =1 2n n a 收敛， ∑∞ =-1 1 2n n a 发散. (C) )(1 21 2∑∞ =-+n n n a a 收敛. (D) )(1 21 2∑∞ =--n n n a a 收敛. [ ] （10）设x x x x f cos sin )(+=,下列命题中正确的是
2004年普通高等学校招生上海卷理工类数学试题 一、填空题(本大题满分48分,每小题4分) 1.若tgα= 21,则tg(α+4 π )= . 2.设抛物线的顶点坐标为(2,0),准线方程为x=－1,则它的焦点坐标为 . 3.设集合A={5,log 2(a+3)},集合B={a,b}.若A∩B={2},则A ∪B= . 4.设等比数列{a n }(n ∈N)的公比q=－ 21,且∞→n lim (a 1+a 3+a 5+…+a 2n-1)=3 8 ,则a 1= . 5.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x ∈[0,5]时,f(x)的图象如右图,则不等式f(x)<0的解是 . 6.已知点A(1, －2),若向量与={2,3}同向 =213,则点B 的坐标为 . 7.在极坐标系中,点M(4,3 π )到直线l:ρ(2cosθ+sinθ)=4的距离d= . 8.圆心在直线2x －y －7=0上的圆C 与y 轴交于两点A(0, -4),B(0, -2),则圆C 的方程为 . 9.若在二项式(x+1)10的展开式中任取一项,则该项的系数为奇数的概率是 . (结果用分数表示) 10.若函数f(x)=a 2+-b x 在[0,+∞)上为增函数,则实数a 、b 的取值范围是 . 11.教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是 . 12.若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{a n }是公比为q 的无穷等比数列,下列{a n }的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是第 组.(写出所有符合要求的组号) ①S 1与S 2; ②a 2与S 3; ③a 1与a n ; ④q 与a n .其中n 为大于1的整数, S n 为{a n }的前n 项和. 二、选择题(本大题满分16分,每小题4分) 13.在下列关于直线l 、m 与平面α、β的命题中,真命题是( ) (A)若l ?β且α⊥β,则l ⊥α. (B) 若l ⊥β且α∥β,则l ⊥α. (C) 若l ⊥β且α⊥β,则l ∥α. (D) 若α∩β=m 且l ∥m,则l ∥α. 14.三角方程2sin( 2π -x)=1的解集为( ) (A){x│x=2kπ+3 π,k ∈Z}. (B) {x│x=2kπ+35π ,k ∈Z}. (C) {x│x=2kπ±3 π ,k ∈Z}. (D) {x│x=kπ+(-1)K ,k ∈Z}. 15.若函数y=f(x)的图象可由函数y=lg(x+1)的图象绕坐标原点O 逆时针旋转 2 π 得到,则 f(x)=( ) (A) 10-x -1. (B) 10x -1. (C) 1-10-x . (D) 1-10x . 16.某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下 若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况,则根据表中数据,就业形势一定是 (A)计算机行业好于化工行业. (B) 建筑行业好于物流行业.
2007年数学一 一、选择题：(本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) (1) 当0x + →等价的无穷小量是 (A) 1- (B) (C) 1. (D) 1- [ B ] 【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案. 【详解】 当0x + →时，有1(1)~-=--1~ ； 211 1~ .22 x -= 利用排除法知应选(B). (2) 曲线1 ln(1)x y e x = ++，渐近线的条数为 (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. [ D ] 【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。 【详解】 因为0 1lim[ln(1)]x x e x →++=∞，所以0x =为垂直渐近线； 又 1lim[ln(1)]0x x e x →-∞ ++=，所以y=0为水平渐近线； 进一步，21ln(1)ln(1)lim lim []lim x x x x x y e e x x x x →+∞→+∞→+∞++=+==lim 11x x x e e →+∞=+， 1 lim[1]lim[ln(1)]x x x y x e x x →+∞ →+∞ -?=++-=lim[ln(1)]x x e x →+∞ +- =lim[ln (1)]lim ln(1)0x x x x x e e x e --→+∞ →+∞ +-=+=， 于是有斜渐近线：y = x . 故应选(D). (3) 如图，连续函数y =f (x )在区间[?3，?2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[?2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0 ()().x F x f t dt = ? 则下列结论正确的是 (A) 3(3)(2)4F F =- -. (B) 5 (3)(2)4F F =. (C) )2(43)3(F F =-. (D) )2(4 5 )3(--=-F F . [ C ] 【分析】 本题考查定积分的几何意义，应注意f (x )在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的 关系。 【详解】 根据定积分的几何意义，知F (2)为半径是1的半圆面积：1 (2)2 F π=， F (3)是两个半圆面积之差：22113(3)[1()]228F πππ= ?-?==3 (2)4 F ， ?? ---==-0 3 3 )()()3(dx x f dx x f F )3()(3 F dx x f ==? 因此应选(C).
2004年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线ln y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程为__________ . (2)已知(e )e x x f x -'=,且(1)0f =,则()f x =__________ . (3)设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分,则曲线积分?-L ydx xdy 2的值为__________. (4)欧拉方程)0(0242 22 >=++x y dx dy x dx y d x 的通解为__________ . (5)设矩阵210120001?? ??=?? ???? A ,矩阵 B 满足**2=+ABA BA E ,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,则B =__________ . (6)设随机变量X 服从参数为λ的指数分布,则}{DX X P >= __________ . 二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (7)把+ →0x 时的无穷小量dt t dt t dt t x x x ???===03002 sin ,tan ,cos 2 γβα,使排在后面的 是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是 (A)γβα,, (B)βγα,, (C)γαβ,, (D)αγβ,, (8)设函数()f x 连续,且,0)0(>'f 则存在0>δ,使得 (A)()f x 在(0,)δ内单调增加 (B)()f x 在)0,(δ-内单调减少 (C)对任意的),0(δ∈x 有()(0)f x f > (D)对任意的)0,(δ-∈x 有()(0)f x f >
2010年4月高等教育自学考试全国统一命题考试 高等数学(工本)试题 课程代码：00023 一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.在空间直角坐标系中,方程122 2222=++c z b y a x 表示的图形是( ) A.椭圆抛物面 B.圆柱面 C.单叶双曲面 D.椭球面 2.设函数z =x 2y ,则 =??x z ( ) A.212-y yx B.x x y ln 2 C.x x y ln 22 D.()12-y yx 3.设Ω是由平面01=-+-z y x 及坐标面所围成的区域,则三重积分=???Ω dxdydz ( ) A.8 1 B. 61 C.31 D.21 4.已知微分方程)()(x Q y x P y =+'的两个特解为y 1=2x 和y 2=cos x ,则该微分方程的通解是y =( ) A.2C 1x +C 2cos x B.2Cx +cos x C.cos x +C (2x -cos x ) D.C (2x -cos x ) 5.设幂级数∑∞--1)3(n n n x a 在x =1处收敛,则在x =4处该幂级数( ) A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.敛散性不定 二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6.设函数y x y z cos sin =,则=??x z .
7.已知dy e dx e y x y x +++是某函数()y x u ,的全微分,则()=y x u , . 8.设∑是上半球面()01222≥=++z z y x ,则对面积的曲面积分??∑ =dS . 9.微分方程x y 2sin =''的通解为y= . 10.无穷级数∑∞ =0!2n n n 的和为 . 三、计算题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 11.求过点P (3,-1,0)并且与直线0 321-=-=z y x 垂直的平面方程. 12.设函数()y x x f z -=,3,其中f 是可微函数,求 x z ??,y z ??. 13.设方程x y x ln =确定函数()y x z z ,=,求全微分dz. 14.求函数()22,xy y x y x f +=在点(1,-1)沿与x 轴正向成30°角的方向l 的方向导数. 15.求空间曲线t z t y t x ===,sin ,cos 在点???? ??4,22,22π处的切线方程. 16.计算二重积分()dxdy e I D y x ??+-=22,其中区域D ：.0,422≥≤+y y x 17.计算二次积分?? =2 0 2 sin ππy dx x x dy I . 18.计算对弧长的曲线积分 ()?+-L ds y x 132,其中L 是直线2-=x y 上从点(-1,-3)到点(1,-1)的直线段. 19.计算对坐标的曲线积分 ?+L ydx xdy 其中L 是抛物线2x y =上从点(-2,4)到点(2,4)的一段 弧. 20.求微分方程034=+'-''y y y 满足初始条件()8)0(,40='=y y 的特解. 21.判断级数()∑∞=-+-131321n n n n 是否收敛,如果收敛,是条件收敛还是绝对收敛? 22.设函数()? ??<≤<≤-=ππx x x x f 0,0,0的傅里叶级数展开式为()∑∞=++10sin cos 2n n n nx b nx a a ,求系数b 7. 四、综合题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）