2007年硕士研究生入学考试数学二试题及答案解析
一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
(1) 当0x +
→
(A) 1-
(B) ln
(C) 1.
(D) 1- [ B ]
【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案. 【详解】 当0x +
→
时，有1(1)~-=--
1~
；
211
1~
.22
x -= 利用排除法知应选(B). (2) 函数11()tan ()()
x
x
e e x
f x x e e +=
-在[,]ππ-上的第一类间断点是x =
(A) 0. (B) 1. (C) 2
π
-
. (D)
2
π
. [ A ] 【分析】 本题f (x )为初等函数，找出其无定义点即为间断点，再根据左右极限判断其类型。
【详解】 f (x )在[,]ππ-上的无定义点，即间断点为x =0,1,.2
π±
又 111
10
()tan tan lim lim 1(1)1()
x
x
x x x
x e e x x e e
x
x e e e e -
-
→→++=?=?-=---， 111
10
()tan tan lim lim 111()
x
x
x x x
x e e x x e e
x
x e e e e
+
+
→→++=?=?=--， 可见x =0为第一类间断点，因此应选(A).
(3) 如图，连续函数y =f (x )在区间[?3，?2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[?2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0
()().
x
F x f t dt =?
则下列结论正确的是
(A) 3(3)(2)4F F =-
-. (B) 5
(3)(2)4F F =. (C) )2(43)3(F F =-. (D) )2(4
5
)3(--=-F F . [ C ]
【分析】 本题考查定积分的几何意义，应注意f (x )在不同区间段上的符号，从而搞清
楚相应积分与面积的关系。
【详解】 根据定积分的几何意义，知F (2)为半径是1的半圆面积：1
(2)2
F π=， F (3)是两个半圆面积之差：22113(3)[1()]228F πππ=
?-?==3
(2)4
F ， ??
---==-0
3
3
)()()3(dx x f dx x f F )3()(3
F dx x f ==?
因此应选(C).
(4) 设函数f (x )在x =0处连续，下列命题错误的是
(A) 若0()lim
x f x x →存在，则f (0)=0. (B) 若0()()
lim x f x f x x
→+-存在，则f (0)=0.
(C) 若0()lim x f x x →存在，则(0)f '存在. (D) 若0()()
lim x f x f x x
→--存在，则(0)f '存在
[ D ]
【分析】 本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算等进行分析讨论。
【详解】 (A),(B)两项中分母的极限为0，因此分子的极限也必须为0，均可推导出f (0)=0. 若0
()lim
x f x x →存在，则00()(0)()
(0)0,(0)lim
lim 00x x f x f f x f f x x
→→-'====-，可见(C)也正确，故应选(D). 事实上，可举反例：()f x x =在x =0处连续，且
()()
lim
x f x f x x →--=0lim
0x x x x
→--=存在，但()f x x =在x =0处不可导. (5) 曲线1
ln(1)x y e x
=
++，渐近线的条数为 (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. [ D ]
【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。
【详解】 因为0
1lim[ln(1)]x
x e x
→++=∞，所以0x =为垂直渐近线；
又 1lim [ln(1)]0x
x e x
→-∞
++=，所以y=0为水平渐近线；
进一步，21ln(1)ln(1)lim lim[]lim x x x x x y e e x x x x
→+∞→+∞→+∞++=+==lim
11x
x x e e →+∞=+， 1
lim [1]lim [ln(1)]x x x y x e x x
→+∞
→+∞
-?=++-=lim[ln(1)]x
x e x →+∞+-
=lim [ln (1)]lim ln(1)0x x
x
x x e e x e --→+∞
→+∞
+-=+=，
于是有斜渐近线：y = x . 故应选(D).
(6) 设函数f (x )在(0,)+∞上具有二阶导数，且()0.f x ''> 令),,2,1)(( ==n n f u n , 则下列结论正确的是
(A) 若12u u >，则{}n u 必收敛. (B) 若12u u >，则{}n u 必发散.
(C) 若12u u <，则{}n u 必收敛. (D) 若12u u <，则{}n u 必发散. [ D ]
【分析】 利用反例通过排除法进行讨论。
【详解】 设f (x )=2
x , 则f (x )在(0,)+∞上具有二阶导数，且12()0,f x u u ''><，但
2{}{}n u n =发散，排除(C); 设f (x )=
1
x
, 则f (x )在(0,)+∞上具有二阶导数，且12()0,f x u u ''>>，但1
{}{}n u n
=收敛，排除(B); 又若设()ln f x x =-，则f (x )在(0,)+∞上
具有二阶导数，且12()0,f x u u ''>>，但{}{ln }n u n =-发散，排除(A). 故应选(D).
(7) 二元函数f (x , y )在点(0，0) 处可微的一个充分条件是 (A)
(,)(0,0)
lim [(,)(0,0)]0x y f x y f →-=.
(B) 0
(,0)(0,0)lim
0x f x f x →-=，且0(0,)(0,0)
lim 0y f y f y
→-=.
(C)
(,)lim
0x y →=.
(D) 0
lim[(,0)(0,0)]0x x x f x f →''-=，且0
lim[(0,)(0,0)]0y y y f y f →''-=. [ C ]
【详解】 选项(A)相当于已知f (x , y )在点(0,0)处连续，选项(B)相当于已知两个一阶偏导数(0,0),(0,0)x y f f ''存在，因此(A),(B)均不能保证f (x , y )在点(0，0)处可微。
选项(D)相当于已知两个一阶偏导数(0,0),(0,0)x y f f ''存在，但不能推导出两个一阶偏导函数(,),(,)x y f x y f x y ''在点(0,0)处连续，因此也不能保证f (x , y )在点(0，0) 处可微。
若
(,)lim
0x y →=，则
00(,0)(0,0)lim 0x x f x f x →→-==，即(0,0)0,x f '=同理有
(0,0)0.y f '=
从而 0
[(,)(0,0)]((0,0)
(0,0)
)
l i m
x y f x y f
f x f y ρρ
→''??--?+?
= 0
(,)(,)(0,0)
lim
lim
x y f x y f ρρ
→??→??-==0
根据可微的定义，知函数f (x , y ) 在(0，0) 处可微，故应选(C). (8) 设函数f (x , y )连续，则二次积分1
sin 2
(,)x
dx f x y dy ππ??
等于
(A) 1
0arcsin (,)y
dy f x y dx π
π+?
?
. (B)
1
arcsin (,)y
dy f x y dx π
π-?
?
.
(C)
1
arcsin 0
2
(,)y
dy f x y dx ππ
+?
?. (D)
1
arcsin 0
2
(,)y
dy f x y dx ππ
-?
?. [ B ]
【分析】 先确定积分区域，画出示意图，再交换积分次序。 【详解】 积分区域 D:
,sin 12
x x y π
π≤≤≤≤, 也可表示为
D: 01,arcsin y y x ππ≤≤-≤≤, 故
1
sin 2
(,)x
dx f x y dy π
π
??
=10
arcsin (,)y
dy f x y dx π
π-??
，应选(B).
(9) 设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是 (A)
133221,,αααααα---. (B) 133221,,αααααα+++.
(C) 1332212,2,2αααααα---. (D)
1332212,2,2αααααα+++. [ A ]
【详解】 用定义进行判定:令
0)()()(133322211=-+-+-ααααααx x x ，
得 0)()()(332221131=+-++-+-αααx x x x x x .
因321,,ααα线性无关，所以 1312230,0,0.x x x x x x -=??
-+=??-+=?
又 01
1
011
101
=---， 故上述齐次线性方程组有非零解, 即133221,,αααααα---线性相关. 类似可得(B), (C), (D)中的向量组都是线性无关的.
(10) 设矩阵????? ??------=211121112A , ???
?
? ??=000010001B ,则A 与B
(A) 合同, 且相似. (B) 合同, 但不相似 .
(C) 不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又不相似. [ B ] 二、填空题 (11－16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.)
(11) 30arctan sin lim
x x x x →-=
1
.6
- 【详解】 30arctan sin lim x x x x →-=22222001
cos 111(1)cos 1lim lim 331x x x x x x x x x
→→--++=??+ =2012cos (1)sin 111lim
(1).32326x x x x x x →-++=?-+=- (12) 曲线2cos cos ,1sin x t t y t
?=+?=+?上对应于4t π
=
的点处的法线斜率为1
【详解】 因为
cos sin 2cos sin t t y dy t dx x t t t '==
'--
，于是4
t dy dx
π
=
=故法线斜率
为
1
(13) 设函数1,23y x =
+则()(0)n y =12
(1)!().33
n n n - 【详解】 1(23),y x -=+ 2
23
12(23),1(2)2(23)
y x y x --'''=-?+=-?-?+ 一般地，()1(1)!2(23)n n n n y n x --=-?+， 从而 ()
(0)n y
=12(1)!().33
n n n -
(14) 二阶常系数非齐次线性微分方程2432x y y y e '''-+=的通解为
32122.x x x y C e C e e =+- 其中21,C C 为任意常数.
【详解】 特征方程为 2
430λλ-+=，解得121, 3.λλ== 可见对应齐次线性微分方程430y y y '''-+=的通解为 312.x x y C e C e =+
设非齐次线性微分方程2432x
y y y e '''-+=的特解为*
2x
y ke =，代入非齐次方程可得k = ?2. 故通解为32122.x
x
x
y C e C e e =+-
(15) 设f (u ,v )是二元可微函数，(,),y x
z f x y =则z z x
y x y ??-=?? =1222.y x f f x y
''-+ 【详解】
1221()z y f f x x y ?''=?-+??，1221()z x
f f y x y
?''=?+?-?，于是有
z z x
y x y ??-=??12122211[][]y x x f f y f f x y x y ''''-+--=1222.y x f f x y
''-+ (16) 设矩阵??????
? ?
?=00
0010000100001
A , 则3
A 的秩为1. 【详解】 依矩阵乘法直接计算得 ??????
?
?
?=00
000000000010003
A , 故r (3
A )=1. 三、解答题：(17－24小题，共86分. )
(17)（本题满分10分）
设f (x )是区间[0,]4
π
上的单调、可导函数，且满足 ()
1
cos sin ()sin cos f x x
t t
f t dt t
dt t t
--=+?
?，
其中1
f
-是f 的反函数，求f (x ).
【分析】 等式两端先对x 求导，再积分即可。
【详解】 在等式
()
1
00cos sin ()sin cos f x x
t t
f t dt t
dt t t
--=+??两端先对x 求导，得 1
cos sin [()]()sin cos x x f f x f x x x x
--'=+，
即 c o s s i n ()sin cos x x xf x x x x -'=+， 也即 c o s s i n
()sin cos x x f x x x -'=+.
于是 c o s s i n (s i n c o s )
()sin cos sin cos x x d x x f x dx x x x x
-+==++??
=ln(sin cos ).x x c ++
由题设知, f (0)=0, 于是c = 0，故()ln(sin cos ).f x x x =+ (18)（本题满分11分）
设D
是位于曲线2(1,0)x
a
y a x -
=
>≤<+∞下方、x 轴上方的无界区域。
(I) 求区域D 绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积V (a ); (II) 当a 为何值时，V (a )最小? 并求此最小值.
【分析】 V (a )的值可通过广义积分进行计算，再按通常方法求V (a ) 的最小值即可。 【详解】 (I) 2
()x a
V a y dx xa dx π
π-
+∞
+∞
==?
?
=0
ln x a a
xda a π-+∞-?
=0
[]ln x x a a
a
xa a dx a
π--
+∞
+∞--=?
22
.(ln )
a a π
(II) 224
1
2(ln )(2ln )()0(ln )a a a a a V a a π-?
'=?
=,
得 ln [ln 1]0a a -=， 即 a = e .
由于a = e 是唯一的驻点，是极小值点，也是最小值点，最小值为2().V e e π= (19)（本题满分10分）
求微分方程2()y x y y ''''+=满足初始条件(1)(1)1y y '==的特解。
【分析】 本题为可降阶的二阶微分方程，作变量代换即可。 【详解】 令y u '=，则原方程化为 2()u x u u '+= 即
1
dx x u du u
-=， 其解为 11
()(),du
du u
u x e
ue du C u u C ---??=+=+?
利用u =(1)1y '=,有C =0, 于是 2
x u =, 由 1)1(='y
知应取u =
再由
y '
，积分得3
2123
y x C ==+?
，代入初始条件y (1)=1，得113C =，
故满足初始条件(1)(1)1y y '==的特解为3221
33
y x =+.
(20)（本题满分11分）
已知函数f (u )具有二阶导数，且(0)1f '=，函数y =y (x )由方程11y y xe --=所确定，设
(ln sin )z f y x =-，求
200
2
,
.x x dz
d z dx
dx ==
【详解】
(ln sin )(cos )dz y f y x x dx y
'
'=-?-， 222
22
(cos )(sin )d z y y y y f x f x dx y y
''''-'''=?-+?+ 在1
1y y xe
--=中, 令x = 0 得y =1 . 而由11y y xe --=两边对x 求导得
110y y y e xe y --''--=
再对x 求导得 111210y y y y y e y e y xe y xe y ----'''''''----= 将x =0, y =1代入上面两式得 (0)1,(0)y y '''==
故
(0)(00)0,x dz
f dx
='=-=
20
2
(0)(21) 1.x d z f dx ='=?-=
（21）（本题满分11分）
设函数f (x ), g (x )在[a , b ]上连续，在(a , b )内具有二阶导数且存在相等的最大值，f (a )=g (a ), f (b )=g (b ), 证明：存在(,)a b ξ∈，使得()().f g ξξ''''=
【分析】 需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理。事实上，若令
()()()F x f x g x =-，则问题转化为证明()0F ξ''=, 只需对()F x '用罗尔定理，关键是找
到()F x '的端点函数值相等的区间(特别是两个一阶导数同时为零的点)，而利用F (a )=F (b )=0, 若能再找一点(,)c a b ∈，使得()0F c =，则在区间[,],[,]a c c b 上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点，再对()F x '用罗尔定理即可。
【证明】 构造辅助函数()()()F x f x g x =-，由题设有F (a )=F (b )=0. 又f (x ), g (x )在(a , b )内具有相等的最大值, 不妨设存在21x x ≤, ),(,21b a x x ∈使得
12[,]
[,]
()max (),()max ()a b a b f x M f x g x M g x ====，
若21x x =，令1x c =, 则()0.F c =
若21x x <，因111222()()()0,()()()0F x f x g x F x f x g x =-≥=-≤，从而存在
12[,](,)c x x a b ∈?，使()0.F c =
在区间[,],[,]a c c b 上分别利用罗尔定理知，存在12(,),(,)a c c b ξξ∈∈，使得
12()()0F F ξξ''==.
再对()F x '在区间12[,]ξξ上应用罗尔定理，知存在12(,)(,)a b ξξξ∈?，有
()0F ξ''=， 即 ()().f g ξξ''''=
（22）（本题满分11分） 设二元函数
2,
1,(,)12,
x x y f x y x y ?+≤?
=<+≤
计算二重积分
(,)D
f x y d σ??，其中{(,)
2}.D x y x y =+≤
【分析】 被积函数为分区域函数，利用积分的可加性分区域积分，在计算过程中注意利用区域的对称性和被积函数的奇偶性进行化简。
【详解】 由区域的对称性和被积函数的奇偶性有
????=1
),(4),(D D
d y x f d y x f σσ
其中1D 为D 在第一象限的部分.
设 }1010|),{(11≤≤-≤≤=x x y y x D ，,
}0,021|),{(12≥≥≤+≤=y x y x y x D ，
????=1
1
2
),(D D d x
d y x f σσ?
?-=x
dx x dx 10
210
?-=1
2)1(dx x x 12
1
=
, ??
??+=12
12
2
2
1),(D D d y
x d y x f σσ?
?++=θ
θθ
θπ
θcos sin 2cos sin 220
dr d
)12ln(2+=.
因此
????
=1
),(4),(D D
d y x f d y x f σσ)12l n (243
1
++=
. (23) (本题满分11分)
设线性方程组
???
??=++=++=++.
04,02,
03221
3
21321x
a x x ax x x x x x ①
与方程 12321-=++a x x x ②
有公共解，求a 的值及所有公共解．
【分析】 两个方程有公共解就是①与②联立起来的非齐次线性方程组有解. 【详解】 将①与②联立得非齐次线性方程组:
???????-=++=++=++=++.12,04,02,032132
213
213
21a x x x x a x x ax x x x x x
③ 若此非齐次线性方程组有解, 则①与②有公共解, 且③的解即为所求全部公共解. 对③的增广矩阵A 作初等行变换得:
→???????
?
?-=11
21041021
0111
2a a a A ??
?
?
?
?
?
??-----11000)1)(2(000110
0111a a a a a .
于是1° 当a =1时，有)()(A r A r ==2<3，方程组③有解, 即①与②有公共解, 其全部公共解即为③的通解，此时
??????
?
?
?→00
00000000100101
A ， 此时方程组③为齐次线性方程组，其基础解系为: ???
?
?
??-101, 所以①与②的全部公共解为
???
?
? ??-101k ，k 为任意常数. 2° 当a =2时，有)()(A r A r ==3，方程组③有唯一解, 此时
????
??
?
?
?-→000
0110010100001A ， 故方程组③的解为: ?
??
?? ??-110, 即①与②有唯一公共解: 为????
? ??-=????? ??=110321x x x x .
(24) (本题满分11分)
设3阶对称矩阵Ａ的特征值,2,2,1321-===λλλ
T )1,1,1(1-=α是Ａ
的属于1λ的一个特征向量,记E A A B +-=3
54其中E 为3阶单位矩阵.
(I) 验证1α是矩阵Ｂ的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量．
(II) 求矩阵Ｂ．
【分析】 根据特征值的性质可立即得B 的特征值, 然后由B 也是对称矩阵可求出其另外两个线性无关的特征向量.
【详解】 (I) 由11αα=A 得 1112ααα==A A , 进一步 113αα=A , 115αα=A ， 故 1351)4(ααE A A B +-=
113154ααα+-=A A 1114ααα+-= 12α-=，
从而1α是矩阵Ｂ的属于特征值?2的特征向量.
因E A A B +-=3
5
4, 及Ａ的3个特征值,2,2,1321-===λλλ 得 B 的3个特征值为1,1,2321==-=μμμ.
设32,αα为B 的属于132==μμ的两个线性无关的特征向量, 又
Ａ为对称矩阵，得B 也是对称矩阵, 因此1α与32,αα正交, 即
0,03121==ααααT T
所以32,αα可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解：
0)1,1,1(321=???
?? ??-x x x ,
其基础解系为: ???
?
? ??011,
??
??? ??-101 , 故可取2α=????? ??011, 3α=????
? ??-101.
即B 的全部特征值的特征向量为: ????? ??-1111k , ???
?
? ??-+????? ??10101132k k , 其中01≠k ,是不为零的任
意常数, 32,k k 是不同时为零的任意常数.
(II) 令),,(321ααα=P =????? ??--101011111, 则 ???
?
? ??-=-1121BP P ，
得 1112-???
?
? ??-=P P B
=????? ??--101011111?????
?
?-112
????? ??--21112111131 =????? ??---102012112????? ??--211121
11131?
???
? ??--=011101110.
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2017年全国硕士研究生入学统一考试 数学二真题分析 （word 版） 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上. （1） ）若函数10(),0x f x ax b x ?->?=??≤? 在0x =处连续，则（ ） (A)12ab = (B)12ab =- (C)0ab = (D)2ab = 【答案】A 【解析】001112lim lim ,()2x x x f x ax ax a ++→→-==Q 在0x =处连续11.22b ab a ∴=?=选A. （2）设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且''()0f x >，则（ ） 【答案】B 【解析】 ()f x 为偶函数时满足题设条件，此时01 10()()f x dx f x dx -=??，排除C,D. 取2()21f x x =-满足条件，则()112112()2103 f x dx x dx --=-=-
【答案】D 【解析】特值法：（A ）取n x π=，有limsin 0,lim n n n n x x π→∞→∞ ==，A 错； 取1n x =-，排除B,C.所以选D. （4）微分方程的特解可设为 （A ）22(cos 2sin 2)x x Ae e B x C x ++ （B ）22(cos 2sin 2)x x Axe e B x C x ++ （C ）22(cos 2sin 2)x x Ae xe B x C x ++ （D ）22(cos 2sin 2)x x Axe e B x C x ++ 【答案】A 【解析】特征方程为：2 1,248022i λλλ-+=?=± 故特解为：***2212(cos 2sin 2),x x y y y Ae xe B x C x =+=++选C. （5）设(,)f x y 具有一阶偏导数，且对任意的(,)x y ，都有(,)(,)0,0f x y f x y x y ??>>??，则 （A ）(0,0)(1,1)f f > （B ）(0,0)(1,1)f f < （C ）(0,1)(1,0)f f > （D ）(0,1)(1,0)f f < 【答案】C 【解析】(,)(,)0,0,(,)f x y f x y f x y x y ??>
2006年数学（二）考研真题及解答 一、填空题 （1）曲线4sin 52cos x x y x x += -的水平渐近线方程为 . （2）设函数23 1sin ,0, (), x t dt x f x x a x ?≠? =??=? ? 在0x =处连续，则a = . （3）广义积分 22 (1) xdx x +∞=+? . （4）微分方程(1) y x y x -'= 的通解是 . （5）设函数()y y x =由方程1y y xe =-确定，则0 A dy dx == . （6）设矩阵2112A ?? = ?-?? ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则B = . 二、选择题 （7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在0x 处的增量，y ?与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则 （A ）0.dy y <
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上. (1) 当0x +→时，若ln (12)x +α ，1 (1cos )x -α 均是比x 高阶的无穷小，则α的取值范围是( ) (A) (2,)+∞ (B) (1,2) (C) 1 (,1)2 (D) 1(0,)2 (2) 下列曲线中有渐近线的是 ( ) (A) sin y x x =+ (B) 2 sin y x x =+ (C) 1 sin y x x =+ (D) 21sin y x x =+ (3) 设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上 （ ） (A) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≥ (B) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ (C) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥ (D) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤ (4) 曲线2 2 7 41 x t y t t ?=+??=++??上对应于1t =的点处的曲率半径是 （ ） (A) 50 (B) 100 (C) (D)(5) 设函数()arctan f x x =，若()()f x xf '=ξ，则2 2 lim x x →=ξ （ ） (A)1 (B) 2 3 (C) 12 (D) 13 (6) 设函数(,)u x y 在有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有2阶连续偏导数，且满足20 u x y ?≠??及22220u u x y ??+=??，则 （ ） (A)(,)u x y 的最大值和最小值都在D 的边界上取得 (B) (,)u x y 的最大值和最小值都在D 的内部上取得 (C) (,)u x y 的最大值在D 的内部取得，最小值在D 的边界上取得
1..【分析】 本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐 函 数 求 导 . 【详解】 方法一： x x y )sin 1(+==)sin 1ln(x x e +，于是 ] sin 1cos )sin 1[ln()sin 1ln(x x x x e y x x +? ++?='+， 从而 π =x dy = .)(dx dx y ππ-=' 方法二： 两边取对数， )sin 1ln(ln x x y +=，对x 求导，得 x x x x y y sin 1cos )sin 1ln(1++ +='， 于是 ] sin 1cos )sin 1[ln()sin 1(x x x x x y x +? ++?+='，故 π =x dy = .)(dx dx y ππ-=' 【评注】 幂指函数的求导问题，既不能单纯作为指数函数对待，也不能单纯作为幂函数，而直接运用相应的求导公式. 2..【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可. 【详解】 因为a= ,1) 1(lim )(lim 2 3=+=+∞→+∞ →x x x x x f x x []23)1(lim )(lim 2 32 3 = -+=-=+∞ →+∞ →x x x ax x f b x x ， 于是所求斜渐近线方程为 . 23 +=x y 【评注】 如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线，是基本要求，应熟练掌握。这里应注意两点：1） 当存在水平渐近线时，不需要再求斜渐近线；2）若当∞→x 时，极限x x f a x ) (lim ∞ →=不存在，则应进 一步讨论+∞→x 或-∞→x 的情形，即在右或左侧是否存在斜渐近线，本题定义域为x>0，所以只 考虑+∞→x 的情形. 3..【分析】 作三角代换求积分即可. 【详解】 令t x sin =，则
2017考研数学二真题及答案解析 一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分） （1）若函数?? ? ??≤>-=0,,0,cos 1)(x b x ax x x f 在0=x 处连续，则（ ） )(A 21= ab 。 )(B 2 1-=ab 。 )(C 0=ab 。 D (2=ab 。 【答案】)(A 【解】a ax x f x 21 cos 1lim )00(0=-=++→，b f f =-=)00()0(， 因为)(x f 在0=x 处连续，所以)00()0()00(-==+f f f ，从而2 1 = ab ，应选)(A 。 （2）设二阶可导函数)(x f 满足1)1()1(=-=f f ，1)0(-=f ，且0)(>''x f ，则（ ） ) (A ? ->1 10)(x f 。 ) (B ? -<1 1 0)(x f 。 )(C ??->10 1 )()(dx x f x f 。 )(D ??-<1 1 )()(dx x f x f 。 【答案】)(B 【解】取12)(2 -=x x f ，显然 ? -<1 1 0)(x f ，应选)(B 。 （3）设数列}{n x 收敛，则 （ ） )(A 当0sin lim =∞ →n n x 时，0lim =∞ →n n x 。 )(B 当0)||(lim =+∞ →n n n x x 时，0lim =∞ →n n x 。 )(C 当0)(lim 2 =+∞ →n n n x x 时，0lim =∞→n n x 。)(D 当0)sin (lim =+∞→n n n x x 时，0lim =∞ →n n x 。 【答案】)(D 【解】令A x n n =∞ →lim ，由0sin )sin (lim =+=+∞ →A A x x n n n 得0=A 。 （4）微分方程)2cos 1(842x e y y y x +=+'-''的特解可设为=* y （ ） )(A )2sin 2cos (22x C x B e Ae x x ++。 )(B )2sin 2cos (22x C x B xe Axe x x ++。 )(C )2sin 2cos (22x C x B xe Ae x x ++。)(D )2sin 2cos (22x C x B xe Axe x x ++。
2019全国研究生招生考试数学二真题及答案解析 一、选择题 1.当0→x 时，若x x tan -与k x 是同阶无穷小，则=k A.1. B. 2. C. 3. D. 4. 2.）（π202≤≤+=x x cos x sin x y 的拐点 A.??? ? ?2,2ππ B.()2,0 C.()2,π D.??? ? ?-23,23ππ 3.下列反常积分收敛的是（） A.dx xe x ?+∞ -0 B.dx xe x ? +∞ -02 C. dx x x ? +∞ +0 2 1arctan D. dx x x ? +∞ +0 21 4.c ,b ,a ,x C C y ce by y a y x -x x 则的通解为已知e )e (21++==+'+'' 的值为（ ） A.1,0,1 B.1,0,2 C.2,1,3 D.2,1,4 5.已知积 分区域???? ?? ≤+=2πy x |y ,x D ） （，dxdy y x I D ??+=221， dxdy y x I D ??+=222sin ，(dxdy y x I D )cos 1223??+-=，试比较321,,I I I 的大小 A.123I I I << B.321I I I << C.312I I I << D.132I I I << 6.已知)()(x g x f 是二阶可导且在a x =处连续，请问)()(x g x f 相切于a 且曲率相等是 0)() ()(lim 2 =--→a x x g x f a x 的什么条件 A.充分非必要条件 B.充分必要条件 C.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件 7.设A 是四阶矩阵，* A 是A 的伴随矩阵，若线性方程组0=Ax 的基础解系中只有2个向量，则* A 的秩是
1..【分析】本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或 取 对 数 后 转 化 为 隐 函 数 求 导 . 【详解】方法一：x x y )sin 1(+==)sin 1ln(x x e +，于是 ] sin 1cos )sin 1[ln()sin 1ln(x x x x e y x x +? ++?='+， 从而 π =x dy =.)(dx dx y ππ-=' 方法二：两边取对数，)sin 1ln(ln x x y +=，对x 求导，得 x x x x y y sin 1cos )sin 1ln(1+++='， 于是 ] sin 1cos )sin 1[ln()sin 1(x x x x x y x +? ++?+='，故 π =x dy =.)(dx dx y ππ-=' 【评注】幂指函数的求导问题，既不能单纯作为指数函数对待，也不能单纯作为幂函数，而直接运用相应的求导公式. 2..【分析】本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可. 【详解】因为a= ,1) 1(lim )(lim 2 3=+=+∞→+∞ →x x x x x f x x []23)1(lim )(lim 2 32 3= -+=-=+∞ →+∞ →x x x ax x f b x x ， 于是所求斜渐近线方程为 . 23 +=x y 【评注】如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线，是基本要求，应熟练掌握。这 里应注意两点：1）当存在水平渐近线时，不需要再求斜渐近线；2）若当∞→x 时，极限 x x f a x ) (lim ∞ →=不存在，则应进一步讨论+∞→x 或-∞→x 的情形，即在右或左 侧是否存在斜渐近线，本题定义域为x>0，所以只考虑+∞→x 的情形. 3..【分析】作三角代换求积分即可. 【详解】令t x sin =，则
2017年考研数学二真题 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． 1 ．若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在0x =处连续，则 （A ）12ab = （B ）1 2 ab =- （C ）0ab = （D ）2ab = 【详解 】0001112lim ()lim lim 2x x x x f x ax ax a +++→→→-=== ，0lim ()(0)x f x b f -→==，要使函数在0x =处连续，必须满足11 22 b ab a =?=．所以应该选（A ） 2．设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1f f =-=，(0)1f =-，且()0f x ''>，则（ ） （A ）1 1()0f x dx ->? （B ）1 1 ()0f x dx -? ? （D ）01 1 ()()f x dx f x dx -，则知道曲线()f x 在[][]1,0,0,1-上都是凹的，根据凹凸性的定义，显然当[]1,0x ∈-时，()21f x x ≤--，当[]0,1x ∈时，()21f x x ≤-，而且两个式子的等号不是处处成立，否则不满足二阶可导．所以 1 01 1 1 ()(21)(21)0f x dx x dx x dx --<--+-=? ??．所以选择（B ）． 当然，如果在考场上，不用这么详细考虑，可以考虑代一个特殊函数2 ()21f x x =-，此时 11011 (),()33 f x dx f x dx -=-=-??，可判断出选项（A ），（C ），（D ）都是错误的，当然选择（B ）．希望同学们在复习基础知识的同时，掌握这种做选择题的技巧． 3．设数列{}n x 收敛，则 （A ）当limsin 0n n x →∞ =时，lim 0n n x →∞ = （B ）当lim(0n n x →∞ + =时，lim 0n n x →∞ = (C ）当2 lim()0n n n x x →∞ +=时，lim 0n n x →∞ = （D ）当lim(sin )0n n n x x →∞ +=时，lim 0n n x →∞ = 【详解】此题考核的是复合函数的极限运算法则，只有（D ）是正确的． 其实此题注意，设lim n n x A →∞ =，则 2 2limsin sin ,lim(),lim(sin )sin n n n n n n n n n n x A x A x x A A x x A A →∞ →∞ →∞ →∞ ==+=++=+ 分别解方程2sin 0,0,0,sin 0A A A A A A ==+=+=时，发现只有第四个方程sin 0A A +=有唯
推荐：考研数字题库与资料 2014年考研数学二真题与解析 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． １．当+→0x 时，若)(ln x 21+α ，α 1 1)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围是（ ） （A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(2 10 【详解】α ααx x 221~)(ln +，是α阶无穷小，ααα2 11 21 1x x ~)cos (-是α2阶无穷小，由题意可知?????>>121 α α 所以α的可能取值范围是),(21，应该选（B ）． 2．下列曲线有渐近线的是 （A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2 （C ）x x y 1sin += （D ）x x y 12 sin += 【详解】对于x x y 1sin +=，可知1=∞→x y x lim 且01 ==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y = 应该选（C ） 3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ） （A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法． 【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然 x f x f x g )())(()(110+-=就是联接))(,()),(,(1100f f 两点的直线方程．故当0≥'')(x f 时，曲线是凹 的，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ） 【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令 x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当
2014年考研数学二真题与解析 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． １．当+→0x 时，若)(ln x 21+α ，α1 1)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围是（ ） （A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(2 10 【详解】α ααx x 221~)(ln +，是α阶无穷小，ααα2 11 211x x ~)cos (-是α2阶无穷小，由题意可知?????>>121 α α 所以α的可能取值范围是),(21，应该选（B ）． 2．下列曲线有渐近线的是 （A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2 （C ）x x y 1sin += （D ）x x y 12 sin += 【详解】对于x x y 1sin +=，可知1=∞→x y x lim 且01 ==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y = 应该选（C ） 3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ） （A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法． 【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然 x f x f x g )())(()(110+-=就是联接))(,()),(,(1100f f 两点的直线方程．故当0≥'')(x f 时，曲线是凹 的，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ） 【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令 x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，从而010==≤)()()(F F x F ，即0≤-=)()()(x g x f x F ，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）
1997年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 已知2 (cos ), 0, (), x x x f x a x -?≠?=? =??在0x =处连续,则a = . (2) 设y =则0x y =''= . (3) = . (4) 2 48 dx x x +∞=++? . (5) 已知向量组123(1,2,1,1),(2,0,,0),(0,4,5,2)t ααα=-==--的秩为2,则t = . 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1) 设0x →时,tan x x e e -与n x 是同阶无穷小,则n 为 ( ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (2) 设在区间[,]a b 上()0,()0,()0,f x f x f x '''><>记12(),()()b a S f x dx S f b b a = =-? , 31 [()()]()2 S f a f b b a =+-,则 ( ) (A) 123S S S << (B) 231S S S << (C) 312S S S << (D) 213S S S << (3) 已知函数()y f x =对一切x 满足2()3[()]1x xf x x f x e -'''+=-,若00()0(0),f x x '=≠ 则 ( ) (A) 0()f x 是()f x 的极大值 (B) 0()f x 是()f x 的极小值 (C) 00(,())x f x 是曲线()y f x =的拐点 (D) 0()f x 不是()f x 的极值,00(,())x f x 也不是曲线()y f x =的拐点 (4) 2sin ()sin ,x t x F x e tdt π += ? 设则()F x ( )
https://www.doczj.com/doc/8514840313.html,/ 2015年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题及答案解析 一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的。） (1)下列反常积分中收敛的是 (A) (B) (C) (D) 【答案】D。 【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。 ； ； ； ， 因此(D)是收敛的。 综上所述，本题正确答案是D。 【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数在(-,+)内 (A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B 【解析】这是“”型极限，直接有 , 在处无定义， 且所以是的可去间断点，选B。 综上所述，本题正确答案是B。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数， ().若在处连续，则 (A) (B) (C) (D)【答案】A
https://www.doczj.com/doc/8514840313.html,/ 【解析】易求出 ， 再有 不存在，， 于是，存在，此时. 当时，， = 不存在，， 因此，在连续。选A 综上所述，本题正确答案是C。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限 (4)设函数在(-,+)内连续，其 二阶导函数的图形如右图所示， 则曲线的拐点个数为 A O B (A) (B) (C) (D) 【答案】C 【解析】在(-,+)内连续，除点外处处二阶可导。的可疑拐点是的点及不存在的点。 的零点有两个，如上图所示，A点两侧恒正，对应的点不是拐点，B点两侧 异号，对应的点就是的拐点。 虽然不存在，但点两侧异号，因而() 是的拐点。 综上所述，本题正确答案是C。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点 (5)设函数满足，则与依次是 (A)(B) (C)(D) 【答案】D 【解析】先求出 令 于是 因此
2015年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题及答案解析 一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的。） (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫√x 2 (B)∫lnx x +∞2 dx (C)∫1xlnx +∞ 2 dx (D) ∫x e x +∞2dx 【答案】D 。 【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。 ∫x 2 =2√x|2+∞ =+∞； ∫lnx x +∞2dx = ∫lnx +∞ 2d(lnx) =1 2(lnx)2 | 2 +∞=+∞； ∫1xlnx +∞ 2dx =∫1 lnx +∞2d(lnx)=ln?(lnx)|2+∞=+∞； ∫x e x +∞2 dx =?∫x +∞ 2 de ?x =?xe ?x |2+∞ +∫e ?x +∞2 dx =2e ?2?e ?x |2 +∞ =3e ?2， 因此(D)是收敛的。 综上所述，本题正确答案是D 。 【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数f (x )=lim t→0 (1+ sin t x )x 2 t 在(-∞,+∞)内 (A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点
【答案】B 【解析】这是“1∞”型极限，直接有f (x )=lim t→0 (1+ sin t x )x 2t =e lim t→0x 2t (1+ sin t x ?1)=e x lim t→0sint t =e x (x ≠0), f (x )在x =0处无定义， 且lim x→0 f (x )=lim x→0 e x =1,所以 x =0是 f (x )的可去间断点，选B 。 综上所述，本题正确答案是B 。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数f (x )={ x αcos 1x β ,x >0， 0,x ≤0 (α>0,β>0).若f ′(x )在x =0处连续，则 (A)α?β>1 (B)0<α?β≤1 (C)α?β>2 (D)0<α?β≤2 【答案】A 【解析】易求出 f′(x )={αx α?1cos 1 x β+βx α?β?1sin 1 x β,x >0， 0,x ≤0 再有 f +′(0 )=lim x→0 + f (x )?f (0) x =lim x→0 + x α?1 cos 1 x β={0, α>1, 不存在，α≤1， f ?′(0)=0 于是，f ′(0)存在?α>1，此时f ′(0)=0. 当α>1时，lim x→0 x α?1cos 1 x β=0， lim x→0 βx α?β?1 sin 1 x β={0, α?β?1>0, 不存在，α?β?1≤0， 因此，f′(x )在x =0连续?α?β>1。选A 综上所述，本题正确答案是C 。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限
中业考研数学二真题及答案解析-精品 2020-12-12 【关键字】条件、领域、矛盾、充分、统一、研究、位置、需求、关系、满足 2016年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1 ）设( ) ( 1231,1,1a x a a ===.当0x +→时，以上3个无穷小量按照从低阶到高 阶的排序是 （A ）123,,a a a （B ）231,,a a a （C ）213,,a a a （D ）321,,a a a （2）已知函数()()21,1 ln ,1 x x f x x x -
2007年硕士研究生入学考试数学二试题及答案解析 一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (1) 当0x + → (A) 1- (B) ln (C) 1. (D) 1- [ B ] 【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案. 【详解】 当0x + → 时，有1(1)~-=-- 1~ ； 211 1~ .22 x -= 利用排除法知应选(B). (2) 函数11()tan ()() x x e e x f x x e e += -在[,]ππ-上的第一类间断点是x = (A) 0. (B) 1. (C) 2 π - . (D) 2 π . [ A ] 【分析】 本题f (x )为初等函数，找出其无定义点即为间断点，再根据左右极限判断其类型。 【详解】 f (x )在[,]ππ-上的无定义点，即间断点为x =0,1,.2 π± 又 111 10 ()tan tan lim lim 1(1)1() x x x x x x e e x x e e x x e e e e - - →→++=?=?-=---， 111 10 ()tan tan lim lim 111() x x x x x x e e x x e e x x e e e e + + →→++=?=?=--， 可见x =0为第一类间断点，因此应选(A). (3) 如图，连续函数y =f (x )在区间[?3，?2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[?2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0 ()(). x F x f t dt =? 则下列结论正确的是 (A) 3(3)(2)4F F =- -. (B) 5 (3)(2)4F F =. (C) )2(43)3(F F =-. (D) )2(4 5 )3(--=-F F . [ C ] 【分析】 本题考查定积分的几何意义，应注意f (x )在不同区间段上的符号，从而搞清
考研数学二真题及答案 解析 Revised as of 23 November 2020
2015年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题及答案解析 一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是 符合题目要求的。） (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫√x 2 (B)∫lnx x +∞2 dx (C)∫1 xlnx +∞ 2 dx (D) ∫x e x +∞2dx 【答案】D 。 【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。 ∫√x 2 =2√x|2 +∞ =+∞； ∫lnx x +∞2dx = ∫lnx +∞ 2d(lnx)=1 2(lnx)2| 2 +∞=+∞； ∫1xlnx +∞2dx =∫1 lnx +∞2 d(lnx)=ln?(lnx)|2+∞=+∞； ∫x e x +∞2 dx =?∫x +∞ 2 de ?x =?xe ?x |2+∞+∫e ?x +∞2 dx =2e ?2?e ?x |2 +∞ =3e ?2， 因此(D)是收敛的。 综上所述，本题正确答案是D 。 【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数f (x )=lim t→0 (1+ sin t x )x 2t 在(-∞,+∞)内 (A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B 【解析】这是“1∞”型极限，直接有f (x )=lim t→0 (1+ sin t x )x 2t =e lim t→0x 2t (1+ sin t x ?1)=e x lim t→0sint t =e x (x ≠0), f (x )在x =0处无定义， 且lim x→0 f (x )=lim x→0 e x =1,所以 x =0是 f (x )的可去间断点，选B 。 综上所述，本题正确答案是B 。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数f (x )={x αcos 1 x β,x >0， 0,x ≤0 (α>0,β>0).若f ′(x )在x =0处连续，则
2020考研数学二真题及解析完整版 来源：文都教育 一、选择题：1~8小题，第小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.0x + →，下列无穷小量中最高阶是（ ） A.( ) 2 0e 1d x t t -?B.(30 ln d x t t ?C.sin 20 sin d x t t ? D. 1cos 30 sin d t t -? 答案：D 解析:A.( ) 2 32001~3 x x t x e dt t dt -= ??B.(3 5 322002ln 1~5 x x t dt t x =??C.sin 223001sin ~3 x x t dt t dt x =??D.2 3 1 1cos 3220 sin ~x tdt t dt -??2512 20 25 x t =5 225 2152102 x ??== ???2.11 ln |1| ()(1)(2) x x e x f x e x -+=--第二类间断点个数（） A.1 B.2 C.3 D.4 答案：C 解析：0,2,1,1x x x x ====-为间断点
1111 0000ln |1|ln |1|ln |1|lim ()lim lim lim (1)(2)222x x x x x e x e x e x e f x e x x x ----→→→→+++===-=----0x =为可去间断点1 1 2 2ln |1| lim ()lim (1)(2) x x x x e x f x e x -→→+==∞ --2x =为第二类间断点11 1 1 ln |1| lim ()lim 0 (1)(2)x x x x e x f x e x -- -→→+==--11 1 1 ln |1| lim ()lim (1)(2) x x x x e x f x e x ++ -→→+==∞--1x =为第二类间断点111 1ln |1| lim ()lim (1)(2) x x x x e x f x e x -→-→-+==∞ --1x =-为第二类间断点 3. 1 (1) x x x x = -? A. 2π4B.2π8C.π4D.π8 答案：A 解析： 1 (1) x x x x -? 令u x =，则 原式= 1 2 2 d (1) u u u u -?
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上．) (1) 已知当0x →时，()3sin sin3f x x x =-与k cx 是等价无穷小，则( ) (A) 1,4k c ==． (B) 1,4k c ==-． (C) 3,4k c ==． (D) 3,4k c ==-． (2) 已知()f x 在0x =处可导，且()00f =，则()()23302lim x x f x f x x →-=( ) (A) ()20f '-． (B) ()0f '-． (C) ()0f '． (D) 0． (3) 函数()ln (1)(2)(3)f x x x x =---的驻点个数为( ) (A) 0． (B) 1． (C) 2． (D) 3． (4) 微分方程2(0)x x y y e e λλλλ-''-=+>的特解形式为( ) (A) ()x x a e e λλ-+． (B) ()x x ax e e λλ-+． (C) ()x x x ae be λλ-+． (D) 2()x x x ae be λλ-+． (5) 设函数(),()f x g x 均有二阶连续导数，满足(0)0,(0)0,f g ><且(0)(0)0f g ''==，则函数()()z f x g y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( ) (A) (0)0,(0)0.f g ''''<> (B) (0)0,(0)0.f g ''''<< (C) (0)0,(0)0.f g ''''>> (D) (0)0,(0)0.f g ''''>< (6) 设40ln sin I x dx π=?，4 0ln cot J x dx π =?，40ln cos K x dx π=?，则,,I J K 的大 小关系是( ) (A) I J K <<． (B) I K J <<． (C) J I K <<． (D) K J I <<． (7) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3 行得单位矩阵，记11001 10001P ?? ?= ? ???，2100001010P ?? ?= ? ??? ，则A =( ) (A) 12PP ． (B) 112P P -． (C) 21P P ． (D) 121P P -． (8) 设1234(,,,)A αααα=是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若(1,0,1,0)T 是方程组
2006年数学（二）考研真题及解答 一、填空题 （1）曲线4sin 52cos x x y x x += -的水平渐近线方程为 . （2）设函数23 1sin ,0, (), x t dt x f x x a x ?≠? =??=? ? 在0x =处连续，则a = . （3）广义积分 22 (1)xdx x +∞=+? . （4）微分方程(1) y x y x -'= 的通解是 . （5）设函数()y y x =由方程1y y xe =-确定，则0 A dy dx == . （6）设矩阵2112A ?? = ?-?? ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则B = . 二、选择题 （7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在0x 处的增量，y ?与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则 （A ）0.dy y <