方差分析简介
1. 引言
方差分析（analysis of variance，简称ANOV A）是一种假设检验方法，即基本思想可概述为：把全部数据的总方差分解成几部分，每一部分表示某一影响因素或各影响因素之间的交互作用所产生的效应，将各部分方差与随机误差的方差相比较,依据F分布作出统计推断，从而确定各因素或交互作用的效应是否显著。因为分析是通过计算方差的估计值进行的，所以称为方差分析。
方差分析的主要目标是检验均值间的差别是否在统计意义上显著。如果只比较两个均值，事实上方差分析的结果和t检验完全相同。只所以很多情况下采用方差分析，是因为它具有如下两个优点：（1）方差分析可以在一次分析中同时考察多个因素的显著性，比t检验所需的观测值少；（2）方差分析可以考察多个因素的交互作用。
方差分析的缺点是条件有些苛刻，需要满足如下条件：（1）各样本是相互独立的；（2）各样本数据来自正态总体（正态性：normality）；（3）各处理组总体方差相等（方差齐性：homogeneity of variance）。因此在作方差分析之前，要作正态性检验和方差齐性检验，如不满足上述要求，可考虑作变量变换。常用的变量变换方法有平方根变换，平方根反正弦变换、对数变换及倒数变换等。
方差分析在医药、制造业、农业等领域有重要应用，多用于试验优化和效果分析中。2. 单因素方差分析
2.1 基本概念
（1）试验指标：在一项试验中，用来衡量试验效果的特征量称为试验指标，有时简称指标，也称试验结果，通常用y表示。它类似于数学中的因变量或目标函数。试验指
标用数量表示称为定量指标，如速度、温度、压力、重量、尺寸、寿命、硬度、强
度、产量和成本等。不能直接用数量表示的指标称为定性指标。如颜色，人的性别
等。定性指标也可以转化为定量指标，方法是用不同的数表示不同的指标值。（2）试验因素：试验中，凡对试验指标可能产生影响的原因都称为因素(factor)，也称因子或元，类似于数学中的自变量。需要在试验中考察研究的因素，称为试验因素，
有时也称为因素，通常用大写字母A、B、C、……表示。在试验中，有些因素能严格控制，称为可控因素；有些因素难以控制，称为不可控因素。试验因素是试验中
的已知条件，能严格控制，所以是可控因素。通常把未被选作试验因素的可控因素
和不可控因素都称为条件因素，统称为试验条件。
（3）因素水平：因素在试验中所处的各种状态或所取的不同值，称为该因素的水平(level)，也简称为水平或位级，通常用下标1、2、3、……表示。若一个因素取K种状态或
K个值，就称该因素为K水平因素。因素的水平，有的可以取得具体值，如6Kg、10cm；有的只能取大致范围或某个模糊概念，如软、硬、大、小、好、较好等；但
也有无法用数值表征的，如履带的不同形式，轮胎花纹的不同种类，机器的不同操作方式，大豆的不同品种等。
（4） 处理组：所有试验因素的水平组合所形成的试验点称为处理组(treatment group)，也
称组合处理。三因素试验中，A 1B 2C 3是一个组合处理，它表示由A 因素1水平、B 因素2水平和C 因素3水平组合而形成的一个试验点。
2.2 主要步骤
假设我们在实验中只考虑因素A ，该因素有p 个水平，每个水平做r 次重复试验，设第i 个水平的第j 次重复试验的数据为ij y ，如表1所示。
表1 试验数据
1A 2A … i A … p A 1 11y 21y … 1i y … 1p y 2 12y
22y
… 2i y
… 2p y
… …
…
… …
… …
j 1j y
2j y
… ij y
… pj y
… …
…
… …
… …
r 1r y
2r y
…
ir y
…
pr y
根据这些数据，可以计算全体数据的均值y 和和各水平对应数据的均值.i y ：
1
1
1
p
r
ij i j y y rp
===
∑∑，.1
1
r
i ij j y y r
==
∑，i=1, 2, …, p
进一步，可以计算全体数据的偏差平方和T S 、因素A 对应的偏差平方和A S ，以及误差的偏差平方和e S ：
2
1
1()p
r
T ij
i j S y
y ===
-∑∑
2
.1
()p
A i i S r y y ==-∑
2
.1
1
()p r
e ij
i i j S y
y ===
-∑∑
下一步，需要计算这三个偏差平方和所对应的自由度。之所以要计算自由度，是因为如
果用偏差平方和除以对应的数据项数，得到的统计量并不是方差的无偏估计。而偏差平方和与对应的自由度的商才是方差的无偏估计。
设有n 个数据x 1, x 2, …, x n ，它们的平方和21
n
i i S x ==∑的自由度取决于{x i }之间有多少个
线性约束关系。 设X=(x 1, x 2, …, x n )T ，若存在秩为m 的矩阵A ，满足
0A X =
则S 的自由度是n-m 。
下面来求S T 的自由度。令k ij x y y =-，1,2,...,i p =，1,2,...,j r =，(1)k i r j =-+，
则{x i }之间存在一个线性约束
1
1
1
1
1
()0rp
p
p
r
r
i
ij
ij i i j i j x
y
y y rpy ======
-=
-=∑∑∑∑∑
即m=1，A=(1, 1, …, 1)，故1T f rp =-。同理可得1A f p =-，e f rp p =-。
可以证明（证明本文从略），对于偏差平方和与其对应的自由度，如下关系成立：
T A e S S S =+，T A e f f f =+
这就是Fisher 偏差平方和加性原理，它是全部方差分析的基础。
在得到偏差平方和及其对应的自由度后，就可以得到因素A 和误差e 对应的平均偏差平方和
/A A A S S f =，/e e e S S f =
平均偏差平方和是反映数据波动大小的一个测度，比较A S 和e S 的大小可以看出因素A 的不同水平带来的试验指标的波动是否与随机误差相同，所以，可以由此判断因素A 对试验指标是否有显著影响。判断A S 和e S 是否相同的方法采用F 检验（基于F 分布的假设检验），令
/A e F S S =
则可认为F 服从自由度为A f 和e f 的F 分布。用求出的F 值查F 分布表可得到对应的P 值，一般取置信水平α＝0.05，即当P 值小于0.05时拒绝原假设，认为因素A 对试验指标的影响显著，否则维持原假设，认为影响不显著。
2.3 数学模型
设因素A 取了p 个水平，每个水平重复了r 次试验，在水平A i 下的第i 次实验结果y ij
可以分解为
ij i ij y με=+
其中，i μ表示在水平Ai 下的理论指标值，ij ε是试验误差。我们把试验误差ij ε认为是相互
独立的随机变量，且服从正态分布2
(0,)N σ，这是方差的基本假设之一。 为了看出因素各水平的影响大小，将i μ再进行分解，令
1
1p
i
i p
μμ
==
∑
i i a μμ=-，i=1, 2, …, p
则
ij i ij y a με=++，i=1, 2, …, p; j=1, 2, …, r
显然{a i }之间有关系
1
0p
i
i a
==∑
a i 表示水平A i 对试验结果产生的影响，它称作水平A i 的效应。
方差分析的数学模型就是建立在这么几条假定的基础上的： （1）ij i ij y a με=++，i=1, 2, …, p; j=1, 2, …, r （2）10p
i i a ==∑
（3）ij ε相互独立且都服从分布2(0,)N σ 由这三条建立的模型叫做线性模型。
建立模型以后，统计分析需要解决下列问题：
1. 参数估计。即通过试验估计μ和{a i }，它们的估计量用?μ
和{?i a }表示。 11
1
?p
r
i i j y y rp
μ
====∑∑
.1
1
1
11?p
r
r
i i i ij i i j a
y y y y r
rp
====-=-
∑
∑∑
可以证明（本文从略），?μ
和{?i a }是μ和{a i }的无偏估计。 2. 假设检验。如果因素A 对指标有影响，效应{a i }不全为0，如果因素A 对指标没有
影响，则效应{a i }全为0。因此，要检验因素A 对指标影响是否显著就是检验假设
012: ...0p H a a a ====
这需要选择一个合适的统计量。令
.1
1
r
i ij
j r
εε==
∑，1
1
1
p r
ij
i j rp
εε===
∑∑
则
..1
1
1
1
()r
r
i ij i
ij i i j j y y a a r
r
μεμε===
=
++=++∑∑
1
1
1
()p
r
i
ij i j y a n
μεμε===
++=+∑∑
故
2
2
..1
1
2
2
..1
1
1
()()
2()()
p
p
A i i i i i p
p
p
i i i i i i i S r y y r a r a r a r εεεεεε======-=+-=+-+-∑∑∑∑∑
2
2
..
1
1
1
1
()()p p r
r
e ij
i i i j i j S y
y ε
ε=====
-=
-∑∑∑∑
如果原假设H 0成立，则12...0p a a a ====，有
2
.1
()p
A i i S r εε==-∑
因为ij ε相互独立且都服从分布2(0,)N σ，由统计理论推知2
A S σ
服从自由度为
(1)A f p =-的2
χ分布，2
e S σ服从自由度为()e
f n p =-的2
χ分布，而且两者独立，
从而
A A A e
e e
S S f F S S f =
=
服从自由度为A f ，e f 的F 分布。所以可以采用F 统计量作为假设检验的统计量（这种
假设检验称为F 检验），通过查F 分布表确定拒绝域或P 值，从而作出推断结论。
3. 多因素方差分析
所谓多因素方差分析，就是同时检验多个因素影响是否显著的方差分析方法。多因素方差分析。方差分析的一大优势就是可以同时考虑多个试验因素对试验指标的影响，这样，既节省了试验次数，试验误差也比进行多次单因素方差分析要小。
在多因素方差分析中，有一个很重要的问题，就是试验设计(DOE: Design of Experiment)。其主要目的是通过设计每次试验中因素水平的搭配，用尽可能少的试验次数和试验数据满足方差分析的要求，获得较好的分析结果。最常用的试验设计有析因设计和正交设计。前者是对所有因素的所有水平组合都进行试验，因此又称交叉分组设计；后者是按照某种正交表设计试验，以较少的试验次数即可接近析因设计的效果。因此，析因设计一般用于两个因素且水平数较少的情况，而因素和水平较多时则多采用正交设计。除正交设计外，还有其它许多实验设计方法，如系统分组设计（嵌套设计）、正交拉丁方设计、裂区设计等，它们一般用在并非任意组合都可以实现或找不到合适的正交表的情况。实验设计确定的一个水平组合，如A 1B 2A 3，称作一个处理组。如果在一个处理组内做多次重复试验得到多个试验数据，则称为有重复试验的设计，否则称无重复试验的设计。在方差分析中，一般要求各处理组内的重复试验数相等。对于不相等的情况，方差分析也可以计算，但公式略有差别，而且可靠性差，所以一般采用其它方法如通用线性模型（GLM: General Linear Model ）来计算。
在多因素方差分析中，还有一个重要的概念，这就是因素间的交互作用（interaction ），
它是指几个因素的某些水平互相增强或互相削弱的现象。表2中，当A 从A 1变化到A 2时，指标都增加，与B 取B 1或B 2无关；同样，B 从B 1变到B 2时，指标都增加，与A 的水平无关，此时，我们说A 和B 之间没有交互作用。而在表3中，因素A 对指标的影响与B 的水平有关，此时我们说A 和B 之间存在交互作用，记作A ×B 。
表2 无交互作用的试验数据
A 1 A 2
B 1 2 5 A 2
7
10
表3 有交互作用的试验数据
A 1 A 2
B 1 2 5 A 2
7
3 3.1 析因设计的方差分析
由于析因设计主要用于因素和水平数较少的情形，所以本文以双因素试验为例，介绍析因设计的方差分析的主要步骤。 设考虑两个试验因素A 和B ，A 有p 个水平，B 有q 个水平，每个处理组内做r 次重复试验，在A i B j 条件下的第k 次实验的数据记作y ijk ；在A i B j 条件下做的全部试验数据之和记作Y ij ，显然
1
1,2,..., 1,2,...,r
ij ijk k i p Y x j q ==??=
?=??
∑
令A
i K 表示在i A 条件下试验数据之和，B
j K 表示在j B 条件下试验数据之和，即
11
, (1,2,...,),
, (1,2,...,)
q
A
i ij
j q
B j ij
i K Y
i p K Y
i p ==?==????==??
∑∑
它们的平均值记为A i k 和B
j k
11, A
A B
B
i i j j k K k K qr
pr
=
=
整个试验的总平均
1
1
p
q
r
ijk i j k
y y ===
∑∑∑
则总偏差平方和T S ，因素A 和B 的偏差平方和A S ，B S ，误差的偏差平方和e S ，交互作用
的偏差平方和A B S ?分别计算如下
2
1
11()p
q
r
T ijk
i j k S y
y ====
-∑∑∑
2
1
()p
A
A i i S qr k y ==-∑，2
1
()q
B
B j j S pr k y ==-∑
2
..1
11
1(), p q r
e ijk ij ij ij i j k S y y y Y r
====
-=
∑∑∑
2
.
1
1
()p q
A B A B T A B e ij i j i j S S S S S r y
k k y ?===---=--+∑
∑
它们的自由度分别为
1, 1, 1A B T f p f q f pqr =-=-=- (1)(1), (1)A B e f p q f pq r ?=--=-
需要注意的是：如果各处理组中没有重复试验，即r=1，那么按上式计算出的e S =0，这
将导致后续步骤无法开展。因此，在无重复试验的情形，应该用下式计算e S 和e f
2
.
1
1
()p
q
A B e T A B ij i j i j S S S S y
k k y ===--=
--+∑∑
(1)(1)e f p q =--
此时，将无法计算A B S ?。因此，无重复试验的设计无法考察交互作用。
然后，计算平均偏差平方和
/, /, /, / A A A B B B A B A B A B e e e S S f S S f S S f S S f ???====
和F 值
/ , /, /A A e B B e A B A B e F S S F S S F S S ??===
把这些F 值查F 表求得拒绝域或P 值，即可做出统计推断。
类似于2.3节，也可以得到双因素方差分析的数学模型：
(), 1,2,...,, 1,2,...,, 1,2,...,ijk i j ij ijk y a b ab i p j q k r με=++++===
其中，{i a }，{j b }，{()ij ab }分别为因素A ，B 的主效应以及A 与B 的交互效应，满足
1
1
0p
q
i
j
i j a
b
===
=∑∑，1
1
()()
0p
q
ij ij
i j ab ab ===
=∑∑
{ijk ε}为实验的随机误差，它们相互独立且都服从正态分布2(0,)N σ。
由这一模型，可以与2.3节类似地得出各参数的估计，以及采用F 检验的原因。
3.2 正交设计的方差分析
正交设计是利用一系列规格化的正交表来科学地安排多因素试验的一种十分有效的设计方法。其原理是从各因素各水平的全搭配中选择一部分必不可少的搭配进行试验，从而大大减少试验次数，又基本不降低研究效率。
正交表是已经制作好的规格化的表，可分为同水平的和混合水平的２大类。等水平表一般记作形如()c a L b ，其中a 表示正交表的行数，即试验的次数；b 表示因素的水平数，即每个因素有b 个水平；c 表示正交表的列数即因素数。所以，正交表()c a L b 用于c 个因素，每个因素b 个水平的情形，按该表设计共需做a 次试验。表4所示为等水平表34(2)L 。表5所示为一个混合正交表139(23)L ?，这表示可以安排4个因素，其中一个因素有2水平，另外3个因素有3水平，共需9次试验。
表4 正交表34(2)L
试验号 列号 1 2 3 1 1 1 1 2 1 2 2 3 2 1 2 4 2 2 1 列名 A
B
A ×B
表5 正交表13
9(23)
L ?
试验号 列号 1 2 3 4 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 3 1 3 3 3 4 1 1 2 3 5 1 2 3 1 6 1 3 1 2 7 2 1 3 2 8 2 2 1 3 9 2
3
2
1
之所以选用正交表，是因为它具有如下性质：在任何一列中各水平都出现且出现的次数
相等，在任意两列之间各种不同水平的所有可能组合都出现，且出现的次数相等。这就使得部分试验中所有因素的所有水平信息即两两因素间的所有组合信息无一遗漏，且任一因素各水平的试验条件相同，从而能最大限度的反映该因素不同水平对试验指标的影响。 在3.1节中讨论了双因素情况下的交互作用，事实上，当有多个因素时，还存在多个因素的交互作用，称为高级交互作用，记作A ×B ×C 。在正交试验设计中，交互作用一律当
作因素看待，这是处理交互作用问题的一条总的原则。在正交表中，一般都为交互作用安排了相应的列，如表4中的34(2)L 的第3列即用于安排交互作用A ×B ，这意味着使用这一正交表时，如果要考察交互作用，则只能考虑两个因素，因为第3列已经被占用了。但和因素不同的是，用于考虑交互作用的列并不影响试验方案及其实施，也就是说不必在试验中刻意安排交互作用，只需计算时按第3列计算即可，而且一个交互作用不一定只占1列，也可能占有多列。
因为正交设计中把交互作用看作因素安排到正交表的列中，因此使得方差分析的计算过
程更加简单了。设选用正交表()c a L b 进行正交试验，即有c 列，每列b 个水平，共a 个处理组，设每个处理组有r 个数据，第i 个处理组的第t 个数据记为it y ，则全体的均值y 和第j 列第k 个水平的均值jk y 为
11
1
a r
it i t y y ar
===
∑∑，(,)1
1(,)
r
jk it g i j k t y y r c j k ===
?∑∑
其中，(,)c j k 表示第j 列中第k 个水平出现的次数，
(,)g i j k
=表示第i 个处理组中第j
列的水平是k 。由此，总偏差平方和T S ，各列的偏差平方和j S 为
2
11
()a
r
T ik
i k S y
y ===
-∑∑，2
1
()b
j jk
k ar S y
y b
==
-∑
其对应的自由度分别为
1T f ar =-，1j f b =-
注意，第j 列的偏差平方和j S 可能是因素的偏差平方和，可能是交互作用的偏差平方和，也可能是空列的偏差平方和。如果正交表中留有空列，则令
1e j
c S S
=
∑空
，1e j c f f =
∑
空
其中C 空表示空列。
在无重复实验的情况下，可把1e S 看作是误差的偏差平方和，即1e e S S =，1e e f f =。
在有重复实验的情况下，令
1
1
r
i it t y y r
==
∑
2
211
()a r
e it
i i t S y
y ===
-∑∑，2(1)e f a r =-
即2e S 表示各处理组内随机误差的偏差平方和的总和。则在有重复实验时，总体试验误差的
偏差平方和
12e e e S S S =+，12e e e f f f =+
可见，当正交表无空列时，2e e S S =，2e e f f =，即直接计算各处理组内误差的偏差平
方和，将其总和作为总体试验误差的偏差平方和。另外，也可以看出，若正交表无空列，且无重复试验，则方差分析无法开展，因此试验设计时必须保证两者有其一。
在计算出偏差平方和与自由度后，即可由各因素和交互作用的平均偏差平方和与误差的平均偏差平方和的比值计算F 统计量，从而进行F 检验。
4. 总结
本文主要介绍了方差分析的特点、原理、计算步骤和数学模型。方差分析的主要目的是检验均值间的差别在统计意义上是否显著。这是通过对方差进行分析而完成的，其方法是把总体方差分析成随机误差导致的方差（处理组内的方差）和均值的差别导致的方差，然后用F 检验比较这两类方差，以决定是否拒绝 “均值相等”的原假设。
和方差分析相关的另一个重要问题是试验设计，本文主要介绍了析因设计和正交设计。前者主要用于因素和水平较少的情况，而后者是效率更高的方法，能够在因素和水平较多时达到较好的分析效果。
统计学方差分析练习题与答案一、单项选择题 1．在方差分析中，（）反映的是样本数据与其组平均值的差异 A 总离差 B 组间误差 C 抽样误差 D 组内误差 2．是（） A 组内平方和 B 组间平方和 C 总离差平方和 D 因素B的离差平方和 3．是（） A 组内平方和 B 组间平方和 C 总离差平方和 D 总方差 4．单因素方差分析中，计算F统计量，其分子与分母的自由度各为（） A r，n B r-n，n-r C r-1.n-r D n-r，r-1 二、多项选择题 1．应用方差分析的前提条件是（） A 各个总体报从正态分布 B 各个总体均值相等 C 各个总体具有相同的方差 D 各个总体均值不等 E 各个总体相互独立 2．若检验统计量F= 近似等于1，说明（） A 组间方差中不包含系统因素的影响 B 组内方差中不包含系统因素的影响 C 组间方差中包含系统因素的影响 D 方差分析中应拒绝原假设 E方差分析中应接受原假设 3．对于单因素方差分析的组内误差，下面哪种说法是对的？（） A 其自由度为r-1 B 反映的是随机因素的影响 C 反映的是随机因素和系统因素的影响 D 组内误差一定小于组间误差 E 其自由度为n-r 4．为研究溶液温度对液体植物的影响，将水温控制在三个水平上，则称这种方差分析是（） A 单因素方差分析 B 双因素方差分析 C 三因素方差分析 D 单因素三水平方差分析 E 双因素三水平方差分析 三、填空题 1．方差分析的目的是检验因变量y与自变量x是否，而实现这个目的的手段是通过
的比较。 2．总变差平方和、组间变差平方和、组内变差平方和三者之间的关系是。3．方差分析中的因变量是，自变量可以是，也可以是。4．方差分析是通过对组间均值变异的分析研究判断多个是否相等的一种统计方法。 5．在试验设计中，把要考虑的那些可以控制的条件称为，把因素变化的多个等级状态称为。 6．在单因子方差分析中，计算F统计量的分子是方差，分母是方差。 7．在单因子方差分析中，分子的自由度是，分母的自由度是。 四、计算题 1．有三台机器生产规格相同的铝合金薄板，为检验三台机器生产薄板的厚度是否相同，随机从每台机器生产的薄板中各抽取了5个样品，测得结果如下： 机器1：0.236,0.238,0.248,0.245,0.243 机器2：0.257,0.253,0.255,0.254,0.261 机器3：0.258,0.264,0.259,0.267,0.262 问：三台机器生产薄板的厚度是否有显著差异？ 2．养鸡场要检验四种饲料配方对小鸡增重是否相同，用每一种饲料分别喂养了6只同一品种同时孵出的小鸡，共饲养了8周，每只鸡增重数据如下：（克） 配方：370，420，450，490，500，450 配方：490，380，400，390，500，410 配方：330，340，400，380，470，360 配方：410，480，400，420，380，410 问：四种不同配方的饲料对小鸡增重是否相同？ 3．今有某种型号的电池三批，它们分别为一厂、二厂、三厂三个工厂所生产的。为评比其质量，各随机抽取5只电池为样品，经试验测得其寿命（小时）如下： 一厂：40，48，38，42，45 二厂：26，34，30，28，32 三厂：39，40，43，50，50 试在显著性水平下检验电池的平均寿命有无显著的差异。 4．一个年级有三个小班，他们进行了一次数学考试。现从各个班级随机抽取了一些学生，记录其成绩如下： 1班：73，89，82，43，80，73，66，60，45，93，36，77 2班：88，78，48，91，51，85，74，56，77，31，78，62，76，96，80 3班：68，79，56，91，71，71，87，41，59，68，53，79，15
方差分析简介（一） 方差分析是我们从心理统计这门课就提到一个基本的统计方法。但或许很多人到做研究生毕业论文的时候，还没搞清楚到底方差分析是怎么一回事。我们的老师对很多基本的地方也是含糊不清。我就我几年学习和应用的理解，粗略讲一下方差分析是怎么回事。 什么是方差分析？就是对方差的分析。有人说你这不废话么？这还真不是废话。t检验就不是对方差的分析。独立样本t检验是对两个样本均值的差异进行检验，而相关样本t检验是对两个样本差异的均值进行检验。而方差分析就是对引起样本数据出现差异的若干因素影响孰强孰弱的分析。换句话说，当样本数据差异较小的时候，t检验会认为不存在差异，但方差分析可以从这较小的差异中分析出实验处理和随机误差谁对这个差异贡献更大。所以说在控制水平一定的情况下，方差分析更容易得到显著性水平高，但power较低的结果。（因为虽然差异贡献大，但本身差异不大。翻译为人话就是这个研究结果虽然显著但没什么意义。） 既然是对方差的分析，那么研究者对数据就有一定的要求。不是什么样的数据都适合做方差分析。这其中最重要最重要的，违反了就无从可谈的就是至少要等距数据(interval data)。因为至少等距数据才能做参数检验。称名数据(nominal data)和顺序数据(ordinal data)只能做非参数检验。既然要分析方差，就得有均值，有方差。 第二重要的是要正态分布的数据。为什么要强调数据正态分布呢？这要从平均数说起，平均数，从定义上来说，是一组数据中唯一对其离均差之和为0的数值。如果数据呈正态分布，平均数就是一组数据中最具有代表性的那个值。好比说一次考试全班的平均分为81.6分，我们大概可以知道有两个事实：1）多数同学考试分数是七八十分，2）如果你高于82分说明你考的还算不错，低于81分就说明考得不够理想。这个高低差距越大，这个结论的信心就越强。这两个结论是基于考试分数是基本上的正态分布推断出来的。如果不是正态分布怎么样呢？拿工资说话，以我所在的圣安东尼奥市为例，这个城市适合工作年龄的人，大约有55%的“蓝领”，30%的“白领”，14%学生或自由职业者，和1%的绝对高收入者。这个差别有多大呢？“蓝领”的税后工资大约是年收入25,000～45,000，白领大约是50,000～80,000，而超高收入者，例如蒂姆邓肯同学，他的税后收入大约是20,000,000。如果算个平均数，统计局说圣安东尼奥市人民平均收入高达50,000，大家过着幸福美满的生活。那55%的蓝领和14%的学生肯定想抽这个发
非参数检验 实验报告 方差分析 学院: 参赛队员: 参赛队员: 参赛队员: 指导老师:
目录 一、实验目的 (1) 1.了解方差分析的基本内容； (1) 2.了解单因素方差分析； (1) 3.了解多因素方差分析； (1) 4.学会运用spss软件求解问题； (1) 5.加深理论与实践相结合的能力。 (1) 二、实验环境 (1) 三、实验方法 (1) 1. 单因素方差分析； (1) 2. 多因素方差分析。 (1) 四、实验过程 (1) 问题一： (1) 1.1实验过程 (1) 1.1.1输入数据，数据处理； (1) 1.1.2单因素方差分析 (1) 1.2输出结果 (3) 1.3结果分析 (3) 1.3.1描述 (3) 1.3.2方差性检验 (4) 1.3.3单因素方差分析 (4) 问题二： (4) 2.1实验步骤 (5) 2.1.1命名变量 (5) 2.1.2导入数据 (5) 2.1.3单因素方差分析 (5) 2.1.4输出结果 (7) 2.2结果分析 (7) 2.2.1描述 (7) 2.2.2方差性检验 (8)
2.2.3单因素方差分析 (8) 问题三： (8) 3.1提出假设 (8) 3.2实验步骤 (8) 3.2.1数据分组编号 (8) 3.2.2多因素方差分析 (9) 3.2.3输出结果 (13) 3.3结果分析 (14) 五、实验总结 (14)
方差分析 一、实验目的 1.了解方差分析的基本内容； 2.了解单因素方差分析； 3.了解多因素方差分析； 4.学会运用spss软件求解问题； 5.加深理论与实践相结合的能力。 二、实验环境 Spss、office 三、实验方法 1.单因素方差分析； 2.多因素方差分析。 四、实验过程 问题一： 1.1.1输入数据，数据处理； 1.1.2单因素方差分析 选择：分析→比较均值→单因素AVONA；
第五节方差分析的SPSS操作 一、完全随机设计的单因素方差分析 1．数据 采用本章第二节所用的例1中的数据，在数据中定义一个group变量来表示五个不同的组，变量math表示学生的数学成绩。数据输入格式如图6－3（为了节省空间，只显示部分数据的输入）： 图 6-3 单因素方差分析数据输入 将上述数据文件保存为“6-6-1.sav”。 2．理论分析 要比较不同组学生成绩平均值之间是否存在显著性差异，从上面数据来看，总共分了5个组，也就是说要解决比较多个组（两组以上）的平均数是否有显著的问题。从要分析的数据来看，不同组学生成绩之间可看作相互独立，学生的成绩可以假设从总体上服从正态分布，在各组方差满足齐性的条件下，可以用单因素的方差分析来解决这一问题。单因素方差分析不仅可以检验多组均值之间是否存在差异，同时还可进一步采取多种方法进行多重比较，发现存在差异的究竟是哪些均值。 3．单因素方差分析过程 （1）主效应的检验 假如我们现在想检验五组被试的数学成绩（math）的均值差异是否显著性，可依下列操作进行。 ①单击主菜单Analyze/Compare Means/One-Way Anova…，进入主对话框，请把math选入到因变量表列（Dependent list）中去，把group选入到因素（factor）中去，如图6-4所示：
图6-4：One-Way Anova主对话框 ②对于方差分析，要求数据服从正态分布和不同组数据方差齐性，对于正态性的假设在后面非参数检验一章再具体介绍；One-Way Anova可以对数据进行方差齐性的检验，单击铵钮Options，进入它的主对话框，在Homogeneity-of-variance项上选中即可。设置如下图6-5所示： 图6-5：One-Way Anova的Options对话框 点击Continue，返回主对话框。 ③在主对话框中点击OK，得到单因素方差分析结果 4．结果及解释 （1）输出方差齐性检验结果 Test of Homogeneity of Variances MATH Levene Statistic df1 df2 Sig. 1.238 4 35 .313 上表结果显示，Levene方差齐性检验统计量的值为1.238，Sig=0.313>0.05，所以五个组的方差满足方差齐性的前提条件，如果不满足方差齐性的前提条件，后面方差分析计算F统计量的方法要稍微复杂，本章我们只考虑方差齐性条件满足的情况。 （2）输出方差分析主效应检验结果（方差分析表）
第八章单因素方差分析 8.1黄花蒿中所含的青蒿素是当前抗疟首选药物，研究不同播期对黄花蒿种子产量的影响，试验采用完全随机化设计，得到以下结果(kg/小区)[47]： 重复2月19日3月9 3月28日4月13日 日 1 0.26 0.14 0.1 2 0.03 2 0.49 0.24 0.11 0.02 3 0.36 0.21 0.15 0.04 对上述结果做方差分析。 答：所用程序及结果如下： options linesize=76 nodate; data mugwort; do date=1 to 4; do repetit=1 to 3; input yield @@; output; end; end; cards; 0.26 0.49 0.36 0.14 0.24 0.21 0.12 0.11 0.15 0.03 0.02 0.04 ; run; proc anova; class date; model yield=date; means date/duncan; run; One-Way ANOVA Analysis of Variance Procedure Class Level Information Class Levels Values DATE 4 1 2 3 4 Number of observations in data set = 12 One-Way ANOVA Analysis of Variance Procedure Dependent Variable: YIELD Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Pr > F Model 3 0.18515833 0.06171944 14.99 0.0012 Error 8 0.03293333 0.00411667 Corrected Total 11 0.21809167
SPSS——单因素方差分析 来源：李大伟的日志 单因素方差分析 单因素方差分析也称作一维方差分析。它检验由单一因素影响的一个(或几个相互独立的)因变量由因素各水平分组的均值之间的差异是否具有统计意义。还可以对该因素的若干水平分组中哪一组与其他各组均值间具有显著性差异进行分析，即进行均值的多重比较。One-Way ANOVA过程要求因变量属于正态分布总体。如果因变量的分布明显的是非正态，不能使用该过程，而应该使用非参数分析过程。如果几个因变量之间彼此不独立，应该用Repeated Measure 过程。 [例子] 调查不同水稻品种百丛中稻纵卷叶螟幼虫的数量，数据如表1-1所示。 表1-1 不同水稻品种百丛中稻纵卷叶螟幼虫数 数据保存在“data1.sav”文件中，变量格式如图1-1。 图1-1 分析水稻品种对稻纵卷叶螟幼虫抗虫性是否存在显著性差异。
1）准备分析数据 在数据编辑窗口中输入数据。建立因变量“幼虫”和因素水平变量“品种”，然后输入对应的数值，如图1-1所示。或者打开已存在的数据文件“data1.sav”。 2）启动分析过程 点击主菜单“Analyze”项，在下拉菜单中点击“Compare Means”项，在右拉式菜单中点击“0ne-Way ANOVA”项，系统 打开单因素方差分析设置窗口如图1-2。 图1-2 单因素方差分析窗口 3）设置分析变量 因变量:选择一个或多个因子变量进入“Dependent List”框中。本例选择“幼虫”。 因素变量:选择一个因素变量进入“Factor”框中。本例选择“品种”。 4）设置多项式比较 单击“Contrasts”按钮，将打开如图1-3所示的对话框。该对话框用于设置均值的多项式比较。
22. 方差分析 一、方差分析原理 1. 方差分析概述 方差分析可用来研究多个分组的均值有无差异，其中分组是按影响因素的不同水平值组合进行划分的。 方差分析是对总变异进行分析。看总变异是由哪些部分组成的，这些部分间的关系如何。 方差分析，是用来检验两个或两个以上均值间差别显著性（影响观察结果的因素：原因变量（列变量）的个数大于2，或分组变量（行变量）的个数大于1）。一元时常用F检验（也称一元方差分析），多元时用多元方差分析（最常用Wilks’∧检验）。 方差分析可用于： （1）完全随机设计（单因素）、随机区组设计（双因素）、析因设计、拉丁方设计和正交设计等资料； （2）可对两因素间交互作用差异进行显著性检验； （3）进行方差齐性检验。 要比较几组均值时，理论上抽得的几个样本，都假定来自正态总体，且有一个相同的方差，仅仅均值可以不相同。还需假定每一个观察值都由若干部分累加而成，也即总的效果可分成若干部分，而每一部分都有一个特定的含义，称之谓效应的可加性。所谓的方差是离均差平方和除以自由度，在方差分析中常简称为均方（Mean Square）。
2. 基本思想 基本思想是，将所有测量值上的总变异按照其变异的来源分解为多个部份，然后进行比较，评价由某种因素所引起的变异是否具有统计学意义。 根据效应的可加性，将总的离均差平方和分解成若干部分，每一部分都与某一种效应相对应，总自由度也被分成相应的各个部分，各部分的离均差平方除以各自的自由度得出各部分的均方，然后列出方差分析表算出F检验值，作出统计推断。 方差分析的关键是总离均差平方和的分解，分解越细致，各部分的含义就越明确，对各种效应的作用就越了解，统计推断就越准确。 效应项与试验设计或统计分析的目的有关，一般有：主效应（包括各种因素），交互影响项（因素间的多级交互影响），协变量（来自回归的变异项），等等。 当分析和确定了各个效应项S后，根据原始观察资料可计算出各个离均差平方和SS，再根据相应的自由度df，由公式MS=SS/df，求出均方MS，最后由相应的均方，求出各个变异项的F值，F值实际上是两个均方之比值，通常情况下，分母的均方是误差项的均方。
单因素方差分析的结果解释 1.基本描述性统计量 分析：上表给出基本描述性统计量。由上表可以看出，在4个行业中，样本数量分别为7，6，5，5，其中家电制造业投诉次数最多，零售业和旅游业相近，航空公司投诉最少，这一点也可以通过均值折线图得到验证。 2．方差齐性检验 分析：上表是方差齐性检验结果表。从表中可以看出，方差齐性检验计算出的概率p值为0.898，在给定显著性水平α为0.05的前提下，通过方差齐性检验，即不同行业投诉次数认为是来自于相同方差的不同总体，满足方差分析的前提。
3．单因素方差分析表 分析：上表是单因素方差分析表。第2列表示偏差平方和（Sum of Squares）,其中组间偏差平方和为1456.609,组内偏差平方和为2708.000，总偏差平方和为4164.609. 第3列是检验统计量的自由度（df）,组间自由度为3，组内自由度为19，总自由度为22。 第4列是均方，表示偏差平方和与自由度的商，分别为485.536和142.526,两者之比为F分布的观测值3.407，它对应的概率p值为0.039。在给定显著性水平α为0.05的前提下，由于概率p值小于α，故应拒绝原假设，即认为不同行业间的次数有显著差异。 4．多项式检验结果
分析：上面两个表格中，表1给出了线性多项式的系数，表2给出了比较检验结果。利用计算得到的概率p值可知，在Contrast 1的情形下，无论假设为方差齐性，还是方差不齐，都有p<0.05，小于显著性水平，故应拒绝原假设，即认为零售业、航空公司投诉次数之和与旅游业、家电制造业投诉次数之和在0.05水平上差异显著；在Contrast 2的情形下，无论假设为方差齐性，还是方差不齐，都有p>0.05，大于显著性水平，故应接受原假设，即认为零售业、旅游业投诉次数之和与航空公司、家电制造业投诉次数之和在0.05水平上无显著差异。 5．LSD和Bonferroni验后多重比较 分析：下表是利用LSD、Bonferroni、Sidak和Scheffe检验方法分别显示两两行业之间投诉次数均值的检验比较结果。表中的星号表示在显著性水平为0.05的情况下，相应的两组均值存在显著差异。 各种检验方法对抽样分布标准误差的定义不尽相同，但在系统中皆采用LSD 方法的标准误差，故表中两种方法的两列数据完全相同。第3列Sig.是检验统计量的观测值在不同分布中的概率p值。 两种方法存在一定的差异，两者之间由于对误差率的控制不同，所以敏感度也不同，从表中可以明显地看出，LSD方法的概率p值都比Bonferroni方法的相应概率p值小一些，和其它方法相比，LSD方法的敏感度是比较高的。 例如，在显著性水平为0.05的前提下，LSD检验中航空公司和家电制造业之间的投诉次数均值存在显著差异，其概率p值为0.005，Bonferroni方法中两者之间虽然也存在显著性差异，但其统计量的概率p值为0.03，远远大于LSD方法的概率p值。
第九章 方差分析与回归分析习题参考答案 1. 为研究不同品种对某种果树产量的影响，进行试验，得试验结果（产量）如下表，试分析果树品种对产量是否有显著影响. （0.05(2,9) 4.26F =，0.01(2,9) 8.02F =） 解 ： r=3, 12 444n n 321=++=++=n n , T=120 ,120012 1202 2===n T C 计 算 统 计 值 722 8.53, 389 A A A e e SS f F SS f = =≈…… 方差分析表 方差来源 平方和 自由度 均方 F 值 临界值 显著性 品种A 72 2 36 8.53 误差 38 9 4.22 总 计 110 11 结论:由于0.018.53(2,9)8.02, A F F ≈>=故果树品种对产量有特别显著影响. 2. 解 ： 22..4,3,12,180122700 l m n lm C x n ======= 计算 统 计 值 90310.52 51.43,3.56 3.56 A A B B A B e e e e S f S f F F S f S f = =≈==≈ 方差来源 平方和 自由度 F 值 临界值 显著性 品种 试验结果 行和??=i x T i 行均值.i x A 1 10 7 13 10 40 10 A 2 12 13 15 12 52 13 A 3 8 4 7 9 28 7 试验 结果 燃料B B 1 B 2 B 3 推进器 A A 1 14 13 12 39 13 A 2 18 16 14 48 16 A 3 13 12 11 36 12 A 4 20 18 19 57 19 65 59 56 180 16.25 14.75 14 15
第一节方差分析的基本思想 1、方差分析的意义 前述的t检验和u检验适用于两个样本均数的比较，对于k个样本均数的比较，如果仍用t检验或u检验， 需比较次，如四个样本均数需比较次。假设每次比较所确定的 检验水准=0.05，则每次检验拒绝H0不犯第一类错误的概率为1-0.05=0.95；那么6次检验都不犯第一类错误的概率为(1-0.05)6=0.7351，而犯第一类错误的概率为0.2649，因而t检验和u检验不适用于多个样本均数的比较。用方差分析比较多个样本均数,可有效地控制第一类错误。方差分析(analysis of variance,ANOVA)由英国统计学家R.A.Fisher首先提出，以F命名其统计量，故方差分析又称F检验。 2、方差分析的基本思想 下面通过表5.1资料介绍方差分析的基本思想。 例如，有4组进食高脂饮食的家兔，接受不同处理后，测定其血清肾素血管紧张素转化酶（ACE）浓度（表5.1），试比较四组家兔的血清ACE浓度。 表5.1对照组及各实验组家兔血清ACE浓度（u/ml） (
由表5.1可见，26只家兔的血清ACE浓度各不相同，称为总变异；四组家兔的血清ACE浓度均数也各不相同，称为组间变异；即使同一组内部的家兔血清ACE 浓度相互间也不相同，称为组内变异。该例的总变异包括组间变异和组内变异两部分，或者说可把总变异分解为组间变异和组内变异。组内变异是由于家兔间的个体差异所致。组间变异可能由两种原因所致，一是抽样误差；二是由于各组家兔所接受的处理不同。正如第四章所述，在抽样研究中抽样误差是不可避免的，故导致组间变异的第一种原因肯定存在；第二种原因是否存在，需通过假设检验作出推断。假设检验的方法很多，由于该例为多个样本均数的比较，应选用方差分析。 方差分析的检验假设H0为各样本来自均数相等的总体，H1为各总体均数不等或不全相等。若不拒绝H0时，可认为各样本均数间的差异是由于抽样误差所致，而不是由于处理因素的作用所致。理论上，此时的组间变异与组内变异应相等，两者的比值即统计量F为1；由于存在抽样误差，两者往往不恰好相等，但相差不会太大，统计量F应接近于1。若拒绝H0，接受H1时，可认为各样本均数间的差异，不仅是由抽样误差所致，还有处理因素的作用。此时的组间变异远大于组内变异，两者的比值即统计量F明显大于1。在实际应用中，当统计量F值远大于1且大于某界值时，拒绝H0，接受H1，即意味着各样本均数间的差异，不仅是由抽样误差所致，还有处理因素的作用。 （5.1） 方差分析的基本思想是根据研究目的和设计类型，将总变异中的离均差平方和SS及其自由度分别分解成相应的若干部分，然后求各相应部分的变异；再用各部分的变异与组内（或误差）变异进行比较，得出统计量F值；最后根据F值的大小确定P值，作出统计推断。 例如，完全随机设计的方差分析，是将总变异中的离均差平方和SS及其自由度 分别分解成组间和组内两部分，SS组间/组间和SS组内/组内分别为组间变异（MS组间）和组内变异（MS组内），两者之比即为统计量F（MS组间/MS组内）。 又如，随机区组设计的方差分析，是将总变异中的离均差平方和SS及其自由度 分别分解成处理间、区组间和误差3部分，然后分别求得以上各部分的变异（MS 处理、MS 区组和MS误差），进而得出统计量F值（MS处理/MS误差、MS区组/MS误差）。 3、方差分析的计算方法 下面以完全随机设计资料为例，说明各部分变异的计算方法。将N个受试对象随机分为k组，分别接受不同的处理。归纳整理数据的格式、符号见下表：
实验三多元方差分析 一、实验目的 用多元方差分析说明民族和城乡对人均收入和文化程度的影响。 二、实验要求 调查24个社区，得到民族与城乡有关数据如下表所示，其中人均收入为年 均，单位百元。文化程度指15岁以上小学毕业文化程度者所占百分比。试依此 数据通过方差分析说明民族和城乡对人均收入和文化程度的影响。 三、实验内容 1．依次点击“分析”---- “常规线性模型”----“多变量”，将“人均收入”和“文化程 度”加到“因变量”中，将“民族”和“居民”加到“固定因子”中，如下图一所示。 民族农村城市 人均收入文化程度人均收入文化程度 1 46，50，60，68 70，78，90，93 52，58，72，75 82，85，96，98 2 52，53，63，71 71，75，86，88 59，60，73，77 76，82，92，93 3 54，57，68，69 65，70，77，81 63，64，76，78 71，76，86，90
【图一】 2.点击“选项”，将“输出”中的相关选项选中，如下图二所示： 【图二】 3.点击“继续”，“确定”得到如下表一的输出：
【表一】 常规线性模型 主体间因子 值标签N 民族 1.00 1 8 2.00 2 8 3.00 3 8 居民 1.00 农村12 2.00 城市12 描述性统计量 民族居民均值标准差N 人均收入1 农村56.0000 9.93311 4 城市64.2500 11.02648 4 总计60.1250 10.66955 8 2 农村59.7500 8.99537 4 城市67.2500 9.10586 4 总计63.5000 9.28901 8 3 农村62.0000 7.61577 4 城市70.2500 7.84750 4 总计66.1250 8.40812 8 总计农村59.2500 8.45442 12 城市67.2500 8.89458 12 总计63.2500 9.41899 24 文化程度1 农村82.7500 10.68878 4 城市90.2500 7.93200 4 总计86.5000 9.59166 8
SPSS- 单因素方差分析( ANOVA) - 案例解 析
SPSS单因素方差分析（ANOVA）案例解析 2011-08-30 11:10 这几天一直在忙电信网上营业厅用户体验优化改版事情，今天将我最近习SPSS单因素方差分析（ANOVA分析，今天希望跟大家交流和分享一下： 继续以上一期的样本为例，雌性老鼠和雄性老鼠，在注射毒素后，经过一段时间，观察鼠死亡和存活情况。 研究的问题是：老鼠在注射毒液后，死亡和存活情况，会不会跟性别有关？ 样本数据如下所示：（a代表雄性老鼠b代表雌性老鼠0代表死亡1代表着tim 代表注射毒液后，经过多长时间，观察结果） 点击“分析”一一比较均值-------- 单因素AVOVA,如下所示:
从上图可以看出，只有“两个变量”可选，对于“组别（性别）”变量不可选， 进行“转换”对数据重新进行编码， 点击“转换”一“重新编码为不同变量”将a,b"分别用8,9进行替换，得到如下结果”这里可能需
此时的8代表a（雄性老鼠）9代表b雌性老鼠，我们将“生存结局”变量移入“因变量列表框内，将“性别”移入“因子”框内，点击“两两比较”按钮，如下所示：
“勾选“将定方差齐性”下面的项 点击继续 LSD选项，和“未假定方差齐性”下面的Tamhane's T2 选点击“选项”按钮，如下所示: I固疋和随枫效果(号 IN有建同備性檯验迥) 匚旦rown-Forsythe(B) El Welches} 姑朱値 ?按分析顺序排麒个案? 「I I S3 Affifi 勾选“描述性”和“方差同质检验”以及均值图等选项，得到如下结果:
第10章 方差分析与试验设计 三、选择题 1.方差分析的主要目的是判断 （ ）。 Ａ. 各总体是否存在方差 Ｂ. 各样本数据之间是否有显著差异 Ｃ. 分类型自变量对数值型因变量的影响是否显著 Ｄ. 分类型因变量对数值型自变量的影响是否显著 2.在方差分析中，检验统计量Ｆ是 （ ）。 Ａ. 组间平方和除以组内平方和 Ｂ. 组间均方除以组内均方 Ｃ. 组间平方除以总平方和 Ｄ. 组间均方除以总均方 3.在方差分析中，某一水平下样本数据之间的误差称为 （ ）。 Ａ. 随机误差 Ｂ. 非随机误差 Ｃ. 系统误差 Ｄ. 非系统误差 4.在方差分析中，衡量不同水平下样本数据之间的误差称为 （ ）。 Ａ. 组内误差 Ｂ. 组间误差 Ｃ. 组内平方 Ｄ. 组间平方 5.组间误差是衡量不同水平下各样本数据之间的误差，它 （ ）。 Ａ. 只包括随机误差 Ｂ. 只包括系统误差 Ｃ. 既包括随机误差，也包括系统误差 Ｄ. 有时包括随机误差，有时包括系统误差 6.组内误差是衡量某一水平下样本数据之间的误差，它 （ ）。 Ａ. 只包括随机误差 Ｂ. 只包括系统误差 Ｃ. 既包括随机误差，也包括系统误差 Ｄ. 有时包括随机误差，有时包括系统误差 7.在下面的假定中，哪一个不属于方差分析中的假定 （ ）。 Ａ. 每个总体都服从正态分布 Ｂ. 各总体的方差相等 Ｃ. 观测值是独立的 Ｄ. 各总体的方差等于0 8.在方差分析中，所提出的原假设是210:μμ=H = ···=k μ，备择假设是（ ） Ａ. ≠≠H 211:μμ···k μ≠ Ｂ. >>H 211:μμ···k μ> Ｃ. < 体育统计与SPSS读书笔记(八)—多因素方差分析(1) 具有两个或两个以上因素的方差分析称为多因素方差分析。 多因素是我们在试验中会经常遇到的，比如我们前面说的单因素方差分析的时候，如果做试验的不是一个年级，而是多个年纪，那就成了双因素了：不同教学方法的班级，不同年级。如果再加上性别上的因素，那就成了三因素了。如果我们把实验前和试验后的数据用一个时间的变量来表示，那又多了一个时间的因素。如果每个年级都是不同的老师来上，那又多了一个老师的因素，等等等等，所以我们在设计试验的时候都要进行充分考虑，并确定自己只研究哪些因素。 下面用例子的形式来说说多因素方差分析的运用。还是用前面说单因素的例子，前面的例子说了只在五年级抽三个班进行不同教学方法的试验，现在我们还要在初二和高二各抽三个班进行不同教学方法的试验。形成年级和不同教学法班级双因素。 分析： 1.根据实验方案我们划出双因素分析的表格，可以看出每个单元格都是有重复数据(也就是不只一个数据)， 年级 不同教学方法的班级 定性班 定量班 定性定量班 五年级 (班级每个人) (班级每个人) (班级每个人) 初中二年级 (班级每个人) (班级每个人) (班级每个人) 高中二年级 (班级每个人) (班级每个人) (班级每个人) 2.因为有重复数据，所以存在在数据交互效应的可能。我们来看看交效应的含义：如果在A因素的不同水平上,B因素对因变量的影响不同,则说明A、B两因素间存在交互作用。交互作用是多因素实验分析的一个非常重要的内容。如因素间存在交互作用而又被忽视,则常会掩盖因素的主效应的显著性,另一方面,如果对因变量Y,因素A与B之间存在交互作用,则已说明这两个因素都Y对有影响,而不管其主效应是否具有显著性。在统计模型中考虑交互作用,是系统论思想在统计方法中的反映。在大多数场合,交互作用的信息比主效应的信息更为有用。根据上面的判断。根据上面的说法，我也无法判断是否有交互作用，不像身高和体重那么直接。这里假设他们之间有交互作用。 单因素方差分析 定义： 单因素方差分析测试某一个控制变量的不同水平是否给观察变量造成了显著差异和变动。例如，培训是否给学生成绩造成了显著影响；不同地区的考生成绩是否有显著的差异等。 前提： 1总体正态分布。当有证据表明总体分布不是正态分布时，可以将数据做正态转化。 2变异的相互独立性。 3各实验处理内的方差要一致。进行方差分析时，各实验组内部的方差批次无显著差异，这是最重要的一个假定，为满足这个假定，在做方差分析前要对各组内方差作齐性检验。 一、单因素方差分析 1选择分析方法 本题要判断控制变量组别”是否对观察变量成绩”有显著性影响，而控制变量只有一个，即组别”所以本题采用单因素分析法，但需要进行正态检验和方差齐性检验。 2建立数据文件 在SPSS17.0中建立数据文件，定义3个变量：“人名”成绩”组别”。控制变量为组别”观察变量为成绩”在数据视图输入数据，得到如下数据文件： 3正态检验（P>0.05,服从正态分布）正态检验操作过程： “分析”7“描述统计”7“探索”，出现“探索”窗口，将因变量“成绩”放入因变量列 表”，将自变量组别”放入因子列表”，将“人名”放入“标注个案”； 点击“绘制”，出现“探索：图”窗口，选中直方图”和“带检验的正态图”，点击继续”; 点击“探索”窗口的“确定”，输出结果。 因变量是用户所研究的目标变量。因子变量是影响因变量的因素，例如分组变量。标注个案 是区分每个观测量的变量。 带检验的正态图（Normality plots with test，复选框）：选择此项，将进行正态性检验，并生成正态Q-Q 概率图和无趋势正态Q-Q概率图。 *.这是真实显著水平的下限。 正态检验结果分析： p值都大于0.05，因而我们不能拒绝零假设，也就是说没有证据表明各组的数据不服从 正态分布（检验中的零假设是数据服从正态分布）。即p值》0.05，数据服从正态分布。 4单因素方差分析操作过程 “分析”7 “比较均值”7 “单因素ANOVA”，出现“单因素方差分析”窗口，将因变量“成绩”放入因变量列表”，将自变量组别”放入因子”列表；点击选项”选择方差同质性检验”和描述性”，点击继续”，回到主对话框；点击两两比较”选择“LS却“S-N-K”、“Dunnett' s C”，点击继续”，回到主对话框；点击对比”，选择多项式”，点击继续”，回到主对话框；点击“单因素方差分析”窗口的“确定”，输出结果。 第九章方差分析 【思考与练习】 一、思考题 1. 方差分析的基本思想及其应用条件是什么？ 2. 在完全随机设计方差分析中SS SS SS 、、各表示什么含义？ 总组间组内 3. 什么是交互效应？请举例说明。 4. 重复测量资料具有何种特点？ 5. 为什么总的方差分析的结果为拒绝原假设时，若想进一步了解两两之间的差别需要进行多重比较？ 二、最佳选择题 1. 方差分析的基本思想为 A. 组间均方大于组内均方 B. 误差均方必然小于组间均方 C. 总变异及其自由度按设计可以分解成几种不同来源 D. 组内方差显著大于组间方差时，该因素对所考察指标的影响显著 E. 组间方差显著大于组内方差时，该因素对所考察指标的影响显著 3. 完全随机设计的方差分析中，下列式子正确的是 4. 总的方差分析结果有P<0.05，则结论应为 A. 各样本均数全相等 B. 各总体均数全相等 C. 各样本均数不全相等 D. 各总体均数全不相等 E. 至少有两个总体均数不等 5. 对有k 个处理组，b 个随机区组的资料进行双因素方差分析，其误差的自由度为 A. kb k b -- B. 1kb k b --- C. 2kb k b --- D. 1kb k b --+ E. 2kb k b --+ 6. 2×2析因设计资料的方差分析中，总变异可分解为 A. MS MS MS =+B A 总 B. MS MS MS =+B 总误差 C. SS SS SS =+B 总误差 D. SS SS SS SS =++B A 总误差 E. SS SS SS SS SS =+++B A AB 总误差 7. 观察6只狗服药后不同时间点(2小时、4小时、8小时和24小时)血药浓度的变化，本试验应选用的统计分析方法是 A. 析因设计的方差分析 篇一：spss的方差分析实验报告 实 验 报告 篇二：方差分析实验报告 方差分析实验报告 学生姓名：琚锦涛学号：091230126 一．实验目的 根据方差分析的相关方法，利用excel中的相关工具，将数据收集，整理，从而了解方差分析的特点和性质。 二．实验内容 1.单因素方差分析 利用以下数据进行单因素方差分析,判断不同产地的原材料是否显著影响产品的质量指标； 2.双因素方差分析 利用以下数据进行双因素方差分析，检验因素a与因素b搭配下是否对其有显著差异，交互作用是否显著； 三．实验结果分析 1.单因素方差分析由以上数据可知，p-value=0.2318>0.05，因此可得出：原材料产地的这一质量指标无显著影响。 2.双因素方差分析 样本、列及交互的p-value远小于0.05，由此可得出燃料和推进器两因素对于火箭影响显著。数据来源：《应用统计学》第二版；篇三：单因素方差分析实验报告 天水师范学院数学与统计学院 实验报告 实验项目名称单因素方差分析所属课程名称实验类型设计型实验日期2011.11.22 班级 09统计一班学号 291050146 姓名成绩 【实验目的】 通过测量数据研究各个因素对总体的影响效果，判定因素在总变异中的重要程度 【实验原理】 比较因素a的r个水平的差异归结为比较这r个总体的均值.即检验假设 ho : μ1 = μ2 = … = μr, h1 : μ1, μ2, … , μr 不全相等给定显著水平α，用p 值检验法， 当p值大于α时，接受原假设ho，否则拒绝原假设ho 【实验环境】 r 2.13.1 pentinu(r)dual-core cpu e6700 3.20ghz 3.19ghz,2.00gb的内存【实验方案】 准备数据，查找相关r程序代码并进行编写运行得出结果进行分析总结 【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析） 1.根据四种不同配方下的元件寿命数据 材料使用寿命 a1 1600 1610 1650 1680 1700 1700 1780 a2 1500 1640 1400 1700 1750 a3 1640 1550 1600 1620 1640 1600 1740 1800 a4 1510 1520 1530 1570 1640 1600 2.利用主函数aov()编写该数据的方差分析r程序 3.运行得出结果 df sum sq mean sq f value pr(>f) a3 49212 16404 2.1659 0.1208 residuals 22 166622 7574 多因素方差分析 定义： 多因素方差分析中的控制变量在两个或两个以上，研究目的是要分析多个控制变量的作用、多个控制变量的交互作用以及其他随机变量是否对结果产生了显著影响。 前提： 1总体正态分布。当有证据表明总体分布不是正态分布时，可以将数据做正态转化。 2变异的相互独立性。 3各实验处理内的方差要一致。进行方差分析时，各实验组内部的方差批次无显著差异，这是最重要的一个假定，为满足这个假定，在做方差分析前要对各组内方差作齐性检验。 多因素方差分析的三种情况： 只考虑主效应，不考虑交互效应及协变量； 考虑主效应和交互效应，但不考虑协变量； 考虑主效应、交互效应和协变量。 一、多因素方差分析 1选择分析方法 本题要判断控制变量“组别”和“性别”是否对观察变量“数学”有显著性影响，而控制变量只有两个，即“组别”、“性别”，所以本题采用双因素分析法，但需要进行正态检验和方差齐性检验。 2建立数据文件 在SPSS17.0中建立数据文件，定义4个变量：“人名”、“数学”、“组别”、“性别”。控制变量为“组别”、“性别”，观察变量为“数学”。在数据视图输入数据，得到如下数据文件： 3正态检验（P>0.05，服从正态分布） 正态检验操作过程: “分析”→“描述统计”→“探索”，出现“探索”窗口，将因变量“成绩”放入“因变量列表”，将自变量“组别”、“性别”放入“因子列表”，将“人名”放入“标注个案”； 点击“绘制”，出现“探索：图”窗口，选中“直方图”和“带检验的正态图”，点击“继续”；点击“探索”窗口的“确定”，输出结果。 因变量是用户所研究的目标变量。因子变量是影响因变量的因素，例如分组变量。标注个案是区分每个观测量的变量。 带检验的正态图（Normality plots with test，复选框）：选择此项，将进行正态性检验，并生成正态Q-Q概率图和无趋势正态Q-Q概率图。 方差分析简介 1. 引言 方差分析（analysis of variance，简称ANOV A）是一种假设检验方法，即基本思想可概述为：把全部数据的总方差分解成几部分，每一部分表示某一影响因素或各影响因素之间的交互作用所产生的效应，将各部分方差与随机误差的方差相比较,依据F分布作出统计推断，从而确定各因素或交互作用的效应是否显著。因为分析是通过计算方差的估计值进行的，所以称为方差分析。 方差分析的主要目标是检验均值间的差别是否在统计意义上显著。如果只比较两个均值，事实上方差分析的结果和t检验完全相同。只所以很多情况下采用方差分析，是因为它具有如下两个优点：（1）方差分析可以在一次分析中同时考察多个因素的显著性，比t检验所需的观测值少；（2）方差分析可以考察多个因素的交互作用。 方差分析的缺点是条件有些苛刻，需要满足如下条件：（1）各样本是相互独立的；（2）各样本数据来自正态总体（正态性：normality）；（3）各处理组总体方差相等（方差齐性：homogeneity of variance）。因此在作方差分析之前，要作正态性检验和方差齐性检验，如不满足上述要求，可考虑作变量变换。常用的变量变换方法有平方根变换，平方根反正弦变换、对数变换及倒数变换等。 方差分析在医药、制造业、农业等领域有重要应用，多用于试验优化和效果分析中。 2. 单因素方差分析 2.1 基本概念 （1）试验指标：在一项试验中，用来衡量试验效果的特征量称为试验指标，有时简称指标，也称试验结果，通常用y表示。它类似于数学中的因变量或目标函数。试验指标用数量表示称为定量指标，如速度、温度、压力、重量、尺寸、寿命、硬度、强度、产量和成本等。不能直接用数量表示的指标称为定性指标。如颜色，人的性别等。定性指标也可以转化为定量指标，方法是用不同的数表示不同的指标值。（2）试验因素：试验中，凡对试验指标可能产生影响的原因都称为因素(factor)，也称因子或元，类似于数学中的自变量。需要在试验中考察研究的因素，称为试验因素，有时也称为因素，通常用大写字母A、B、C、……表示。在试验中，有些因素能严格控制，称为可控因素；有些因素难以控制，称为不可控因素。试验因素是试验中的已知条件，能严格控制，所以是可控因素。通常把未被选作试验因素的可控因素和不可控因素都称为条件因素，统称为试验条件。 （3）因素水平：因素在试验中所处的各种状态或所取的不同值，称为该因素的水平(level)，也简称为水平或位级，通常用下标1、2、3、……表示。若一个因素取K种状态或K个值，就称该因素为K水平因素。因素的水平，有的可以取得具体值，如6Kg、10cm；有的只能取大致范围或某个模糊概念，如软、硬、大、小、好、较好等；但SPSS多因素方差分析报告
单因素方差分析讲解学习
第9章方差分析思考与练习-带答案
方差分析实验报告
多因素方差分析讲解
方差分析简介复习课程
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