第一章 非线性方程和方程组的数值解法 1）二分法的基本原理，误差：~
1
2
k b a
x α+--<
2）迭代法收敛阶：1lim
0i p
i i
c εε+→∞
=≠，若1p =则要求01c <<
3）单点迭代收敛定理：
定理一：若当[],x a b ∈时，[](),x a b ?∈且'()1x l ?≤<，[],x a b ?∈，则迭代格式收敛于唯一的根；
定理二：设()x ?满足：①[],x a b ∈时，[](),x a b ?∈， ②[]121212,,, ()(),01x x a b x x l x x l ???∈-≤-<<有 则对任意初值[]0,x a b ∈迭代收敛，且：
110
1
11i i i
i
i x x x l
l x x x l
αα+-≤
---≤--
定理三：设()x ?在α的邻域内具有连续的一阶导数，且'
()1?α<，则迭代格式具有局部收敛性；
定理四：假设()x ?在根α的邻域内充分可导，则迭代格式1()i i x x ?+=是P 阶收敛的 ()
()()0,1,,1,()0j P j P ?
α?α==-≠L （Taylor 展开证明）
4）Newton 迭代法：1'()
()
i i i i f x x x f x +=-，平方收敛 5）Newton 迭代法收敛定理：
设()f x 在有根区间[],a b 上有二阶导数，且满足： ①：()()0f a f b <； ②：[]'
()0,,f x x a b ≠∈；
③：[]''
,,f x a b ∈不变号
④：初值[]0,x a b ∈使得''
()()0f x f x <；
则Newton 迭代法收敛于根α。
6）多点迭代法：1111111
()()()
()()()()()()i i i i i i i i i i i i i i i f x f x f x x x x x f x f x f x f x f x f x x x -+-----=-
=+----
收敛阶：P =
7）Newton 迭代法求重根（收敛仍为线性收敛），对Newton 法进行修改 ①：已知根的重数r ，1'()
()
i i i i f x x x r
f x +=-（平方收敛） ②：未知根的重数：1''
()()
,()()()
i i i i u x f x x x u x u x f x +=-=，α为()f x 的重根，则α为()u x 的单根。
8）迭代加速收敛方法：
221
1211212()()
i i i i i i i i i i i x x x x x x x x x x x ??++++++++-=
-+==当不动点迭代函数()x ?在α的某个邻域内具有二阶导数，
'()1,0L ?α=≠平方收敛
9）确定根的重数：当Newton 迭代法收敛较慢时，表明方程有重根
2211212121
1
2i i i i i i i i i i i x x x x r x x x x x x x +++++++++-≈-
-+-- 10）拟Newton 法
1111111
1
1111
()()()()()
(()())()i i i i i i i i i i i i i i i i i
i
i i i i i i i i i x x A F x A x x F x F x A H A A A A
x x H F x H F x F x x x H H H
+-++-+++++++?=-?-=-=??=+???=-?-=-??=+??若非奇异，则
其中11
11
2
22
2'1
21
2()i i i n i i i i
n i n n n i i i n f f f x x x f f f x x x A F x f f f x x x ?????
?????????????????==?????
?????????????
L
L M M M L
11）秩1拟Newton 法：
11111
(),,()()()()()i i i i i i i i i i i T i i i i i i T i x x A F x r x x y F x F x r A A y A r r r +-+++?=-?=-=-?=+-??
其中 Broyden 秩1方法
11()
()()()i i i i i T i i
i i i i i T i
i x x H F x r H H H r H y r H y ++?=-??=+-??
第二章 线性代数方程组数值解法
1）向量范数：
①：非负性：0x >，且0x =的充要条件是0x =； ②：齐次性：
x x αα=
③：三角不等式：x y x y +≤+
1范数：11n
i
i x x
==
∑
2范数：12
2
2
1
()n
i i x
x ==∑
∞范数：1max i i n
x
x ∞
≤≤=
p 范数：11
()n
p
p
i p
i x
x ==∑
2）矩阵范数：
①：非负性：0A >，且0A =的充要条件是0A =； ②：齐次性：
A A αα=
③：三角不等式：A B A B +≤+ ④：乘法不等式：AB A B ≤
F 范数：1
2
211n n ij F
i j A
a ==??= ???
∑∑ 1范数：111
max
n
ij
j n
i A a
≤≤==∑，列和最大
∞范数：111
max n
ij i n
j A a ≤≤==∑，行和最大
2
范数：2
A
=
1max i i n
λ≤≤=，i λ为H A A 的特征值，()A A ρ≤
3）Gauss 消元法（上三角阵）：3
13
M n ≈；
Gauss-Jordan 消元法（对角阵）：3
12
M n ≈；
列选主元消元法：在消元之前进行行变换，将该列最大元素换置对角线主元位置；（可用于求逆矩阵） 全选主元消元法：全矩阵搜索矩阵最大元素进行行变换和列变换至其处于对角线主元位置；
4）三角分解法：
①：Doolittle 分解法：A=LU ，L 单位下三角阵，U 上三角阵 ②：Crout 分解法：A=LU ，L 下三角阵，U 单位上三角阵 ③：Cholesky 分解法：A 对称正定，T A LL =，L 为单位下三角阵
④：改进的Cholesky 分解法：A 对称正定，T A LDL =，L 为单位下三角阵，D 为对角阵 ⑤：追赶法：Crout 分解法解三对角方程
5）矩阵的条件数1()1cond A A A -=≥，谱条件数：122
2
()cond A A
A -=
()1()
A
Cond A x
A
A
x
Cond A A
δδδ≤
-
6）如果1B <，则I B +为非奇异阵，且1
1
()1I B B
-+≤
-
7）迭代法基本原理： ①：迭代法：1
i i x
Bx K +=+
②：()1B ρ<( lim 0i
i B →∞
=，迭代格式收敛) ③：至少存在一种矩阵的从属范数，使1B < 8）Jacobi 迭代：A L D U =++
111()i i x I D A x D b +--=-+
9）Gauss-Seidel 迭代：1
11()()i i x L D Ux L D b +--=-+++
10）超松弛迭代法1
1i i i x
x r ω++=+
11）二次函数的一维搜索：21
11x x P α=+
12）最速下降法：
选择方向0000()Z gradf x r b Ax =-==-
进行一维搜索：1
0x x r α=+，其中00000(,)
(,)
r r Ar r α=
13）共轭梯度法：
第一步：最速下降法，00P r =，11
r b Ax =-，0
1
(,)0r r =
第二步：过1
x 选择0P 的共轭方向110
P r P β=+，其中1000
(,)(,)
r AP P AP β=-，过1x 以1
P 为方向的共轭直线为11
x x tP =+，进行二次函数的一维搜索211111111(,)(,)x x P r P AP P αα?=+??=??
14）一般的共轭梯度法： 第三章 插值法与数值逼近 1）Lagrange 插值：0
()()()n
n j
j
j L x l x f x ==
∑，
1111'1111()()()()()
()()()()()
()()
j j n n j j j j j j j n j n j x x x x x x x x P x l x x x x x x x x x x x P x -++-++----=
=
-----L L L L
余项：(1)1()
()()(1)!
n n f E x P x n ξ++=
+ 2）Newton 插值：差商表
0x 0()f x 1x 1()f x 01[ ]f x x
2x 2()f x 02[ ]f x x 012[ ]f x x x
3x 3()f x
03[ ]f x x
013[ ]f x x x 0123[ ]f x x x x
00100101010()()[ ]()[ ]()()[ ]()()
n n n n f x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x -=+-++--+--L L L L L 余项(1)0101()
()[ ]()()()(1)!
n n n n f E x f x x x x x x x x P x n ξ++=--=
+L L 3）反插值
4）Hermite 插值（待定系数法）'210
()[()()()()]n
n j
j j j j H x x f x x f x α
β+==
+∑
其中2'''1,1
()()(),2(),12(),()n
j j j j j j j j
j k k j j k
x ax b l x a l x b x l x l x x x α=≠=+=-=+=-∑ 2()()()j j j x x x l x β=-
余项：(22)2
1()()()(22)!
n n f E x P x n ξ++=
+ 5）分段线性插值：111
1()()()j j j j j j j j j
x x x x L x f x f x x x x x ++++--=
+
--
插值基函数：011
010101
111
0,,(),(),0,n n n n n n n n x x x x x x x x x x l x l x x x x x x x x x x x ----<<-??≤≤??
-==-??≤≤??
<≤-?? 1
111
11,(),0,j j j j j j j j j j j x x x x x x x x x l x x x x x x ---+++-?≤≤?
-??-?=≤≤?-?????
余项：分段余项2
(2)22,max ()8
M h M f x ≤
= 6）有理逼近：反差商表
有理逼近函数式：0
00111122()()()()()
n n n x x f x v x x x v x x x v x v x --=+
-+
-++
L
7）正交多项式的计算：
定理：在[,]a b 上带权函数()x ρ的正交多项式序列{}0()n x ?∞
，若最高项系数唯一，它便是唯一的，且由以下的递推公式确定
11()n n n n n x ?α?β?+-=--
1011(,)(,)
,,0,1(,)(,)
n n n n n n n n n n x ????αβ??????---=
===
其中(,)()b
i j i j a
x dx ??ρ??=?
定理3.8
8）连续函数的最佳平方逼近：在2{1,,,,}n
Span x x x Φ=L 上，法方程为n H a d =，
其中1
121(1)12131(2)1(1)12)1(21)n n n H n n n +??
??+?
?=??
?
?
+++??
L L
M M M L
，10
(,)()k k k d f f x dx ??==?
均方误差：2
2
*
*
2
1(,)(,)n
i i i f f P f f
a d δ==-=-∑ 最大误差：*01
max x f P δ
∞
≤≤=-
9）离散函数的最佳平方逼近（曲线的最小二乘拟合）： 法方程
(,)(,)n
j
k
j k j a f ??
?==∑
其中
(,)()()
(,)()()
m
j k i j i k i i m
k i i k i i x x f f x x ??ρ???ρ?====∑∑
第四章 数值积分
1）代数精度的概念及应用：对r 次多项式的精确成立，以及代入法求解系数。 2）Lagrange 插值代入 Lagrange 插值基函数011011()()()()()()()()
j j n j j j j j j j n x x x x x x x x l x x x x x x x x -+-+----=
----L L L L
()()n
b
j j a
j f x dx H f x =≈∑?
，其中()b
j j a
H l x dx =?
误差：(1)1()
()()(1)!
n b
n a
f E f P x dx n ξ++=
+?
定理：数值积分公式具至少有n 次代数精度 其是差值型的 3）等距节点的Newton-Cotes 公式
将拉格朗日差值积分公式中的差值节点i x a ih =+即可，其中b a
h n
-=
； 00,(1)()!()!n j n
n j i i j h H t i dt j n j -=≠-=--∏?，令j j H C b a =-（Cotes 系数）则：
0()()()n
j j j Q f b a C f x ==-∑
N-C 公式的数值稳定性：当j C 同号时是稳定的，否则不稳定，0
()n
j
j b a C
ηε
=≤-∑（其中
0max j j n
εε≤≤=）
N-C 公式至少具有n 次代数精度，若n 为偶数，则其代数精度可提高到n+1次； 余项：
当n 为偶数时，(2)1()()()(2)!n b
n a f E f xP x dx n ξ++=+? 当n 为奇数时，(1)1()()()(1)!n b
n a
f E f P x dx n ξ++=
+? 4）复化的N-C 公式
复化的梯形公式：将积分区间n 等分，然后在每个区间上应用梯形公式
1
1
1
10
0()()()()()()2j j
n n b
x j j n n n a
x j j f x f x I f x dx f x dx h E f T E f +--+==+??
===+=+????
∑∑??
2
''1()()()()122
n h E f b a f η=-
- 复化的Simpson 公式：将积分区间n 等分，然后在每个区间上应用Simpson 公式
1
11112
1100024()()()2()()()66663n n n j j j n j j j j j j f x f x f x h S f x f x f x h ---++++===??????=++=++??????
∑∑∑ 4
(4)1()()()()1802n h E f b a f η=--
243
n n n T T S -=
5）Romberg 积分法
0212()()1()()()4()()2221411()2m m m m m m m m m T h T h h h T T h T T h T +=???--?==?--?? ()m T h 逼近()I f 的阶为2(1)m h +
0()T h 0()2h T 0()4h T 0()8
h T
1()T h 1()2h T 1()4
h
T
6）求积节点为n+1的机械求积公式的代数精度<=2n+1；
7）Gauss 求积公式
'
()()()()()()n
j j j j j f x x f x x f x E x αβ=??=++??∑
(22)21()()()(22)!
n n f E x P x n ξ++=+
'
'
00
'0
()()()()()()() ()()()()() ()()
n
b
b b
j j j j a a a j n
n
b b
b
j j j j a
a
a
j j n
n
j j j j j j I f f x dx x f x x f x dx E x dx x dxf x x dxf x E x dx
H f x H f x αβαβ=====??==++??=++=+∑??
?∑∑???∑∑
21'
1()
()()()()
b b
n j j j j a
a
n P x H x x l x dx l x dx P x ++=-=??
1()n P x +在[a ，b]上与所有次数<=n 的多项式带权1ρ≡正交 上式为Gauss 求积公式、
8）Gauss-Legendre 求积公式 给
出
1()
n P x +公式：
0()1
P x =、
1()P x x
=、
22(31)
2
x P -=······{}21()(1)2!n n n n
n d P x x n dx =- 给出区间[1,-1]上的求积公式，取()n P x 的零点为求积节点 ① 取1()P x 零点为0
00()()()b
a
f x dx H f x E f =+?
02H =
② 取2P
零点为3
±
0011()()()()b
a
f x dx H f x H f x E f =++?
001H H ==
对于区间[a,b]上的
Gauss
求积公式，令,[,]22
a b b a
x t t a b +-=
+∈，()(
)()22a b b a
f x f t
g t +-=+=，则： 11
11
()()()22b
a
b a b a f x dx g t dt g t dt ----==?
??
余项：2(1)12
1101()()(),()()()2(22)!
n n n n b a g E f P t dt P t t t t t n ξ+++--==--+?L
第五章 乘幂法 1）基本定理：
定理一：若12,,,n λλλL 为A 的特征值，()P x 为某一多项式，则矩阵()P A 的特征值是
12(),(),,()n P P P λλλL 。特别地，k A 的特征值是12,,k k k n λλλL 。
定理二：如果A 为实对称矩阵，则A 的所有特征值均为实数，且存在n 个线性无关的特征向量；不同特征值所对应的特征向量正交。
定理三：设A 与B 为相似矩阵，即存在非奇异阵P ，使1PAP B -=，则A 与B 有相同的特征值。
定理四：如果A 有n 个不同的特征值，则存在一个相似变换矩阵P ，使得1P AP D -=，其中D 是一个对角矩阵，它的对角线元素就是A 的特征值。
定理五：对于任意方阵A ，存在一个酉变矩阵Q ，使得H
Q AQ T =，其中T 是一个上三角矩阵，H
Q 是Q 是共轭转置矩阵。
推论：如果A 是实对称矩阵，则存在一个正交矩阵Q ，使T
Q AQ D =，其中D 是对角矩阵，它的对角线元素是A 的特征值，而Q 的各列即为A 的特征向量，并且T
T
Q Q QQ I ==。 定理六：设(),(1,,)ii n n i A a C i n ?==L 是以ii a 为中心的一些圆，其半径为
1,,1,,n
i ik k k i
r a i n =≠=
=∑
L ，设1
n
i i C =Ω=U ，则A 的所有特征值都位于区域Ω内。
推论：1
A -的谱半径满足1
11,1
min()()n
ii ik i n k k i
a a A ρ-≤≤=≠≥-∑。 定理七：设A 为对称正定阵，则有0()max H H x x Ax
A x x
ρ≠=，101min ()H H x x Ax A x x ρ-≠=，其中，x 是任意复向量，H
x 表示x 的共轭转置。 定理八：对任意非奇异矩阵A ，有
21
1()()T
i T A A A A λρρ-≤≤????
，其中i λ为A 的任一特征值。
2）求按模最大的特征值和对应的特征向量
11
0max()
m m m m A v v Au A v --==，1max()m v λ→ 3）
第六章 常微分方程的数值解法（差分法）
1）离散化方法：Taylor 展开、差商代替求导、数值积分 2）Euler 公式：110()()(,())
n n n n y x y x hf x y x y η
++-=??
=?
Euler 隐式11110
()()(,())
n n n n y x y x hf x y x y η++++-=??=?（1阶）
改进的Euler 公式11
110()()((,())(,()))2
n n n n n n h y x y x f x y x f x y x y η
++++?
-=+???=?（2阶精确解） 3）截断误差和P 阶精确解：截断误差1
1()P n T O h ++=
4）S 级Runge-Kuta 法
11
1
1(,s
n n i i i i i n i n ij j j y y h b k k f x c h y h k α+=-=?
=+????=++??
∑∑ 1110,0,(,)j n n c k f x y α=== 2级Runge-Kuta 法
1
2
11122
1222
22112121121(,)2(,n n n n
n n b c y y hb k hb k k f x y b c k f x c h y h k c αα+?
=-??=++???
==????
=++??=??其中（2阶精度） 2c 的取值1/2（中点公式）、2/3（Heun 公式）、1（改进的Euler 方法）
5）单步法1(,,)n n n n y y hf x y h +=+（*）
相容性：(,,0)(,)n n n n x y f x y ?=则（*）式与初值问题相容
收敛性：对于固定的0n x x nh =+当0h →时有()n n y y x →则称（*）式收敛
数值稳定性：若一数值方法在n y 上有扰动n S 而于以后的各节点值()m y m n >上产生的偏差均不超过n S ，则称该方法绝对收敛
试验方程：[]'0
,0
, ,Re()0(0)R y y x a b C y y λλλλλ?∈<=?∈??∈<=??用以求解绝对稳定区间
绝对收敛：用单步法求解试验方程，若绝对收敛则称该方法绝对稳定
6）线性多步法德一般格式：'
10
1
()()()p
p
n i n i i
n i i i y x a y x
h b y x +--==-=
+∑∑ 局部阶段误差'()01()()()q q n n n q n T C y x C hy x C h y x =++++L L （系数通过Taylor 展开构造）
其中00
10110111[()]11()()!p i i p p i i i i p p q
q q i i i i C a C i a b C i a q i b q ===--==-?
?=-???
=--+??
??????=--+-??
????????
∑∑∑∑∑
线性多步法的阶数通过误差系数来判断，最高阶数22r p =+ 7）线性多步法的收敛性判断：00C =10C =称线性多步法相容 满足根条件：第一特征多项式1
0()p
p p i i i r r
a r ρ+-==-∑，
第二特征多项式1
()p
p i
i
i r b r
σ-=-=
∑
当第一特征多项式所有根的模均不大于1，且模为1的根均是单根，称满足根条件
收敛 相容且满足根条件 8）数值稳定性判断：
稳定多项式（特征多项式）(,)()()r h r h r πλρλσ=- 令h h λ=，()i r h 是稳定多项式的根，20()1()r h h o h λ=++
①：若对任意[,]h a b R ∈?有0()()i r h r h ≤，且当0()()i r h r h =时，()i r h 为单根，则称
[,]a b 为相对稳定区间；
②：若对任意[,]h a b R ∈?有()1i r h <，则称[,]a b 为绝对稳定区间
数值分析试题 一、 填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位 有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代 函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商 公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当 系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收 敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差 r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。 13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f (x )
第一章 非线性方程和方程组的数值解法 1）二分法的基本原理，误差：~ 1 2 k b a x α+--< 2）迭代法收敛阶：1lim 0i p i i c εε+→∞ =≠，若1p =则要求01c << 3）单点迭代收敛定理： 定理一：若当[],x a b ∈时，[](),x a b ?∈且' ()1x l ?≤<，[],x a b ?∈，则迭代格式收敛 于唯一的根； 定理二：设()x ?满足：①[],x a b ∈时，[](),x a b ?∈， ②[]121212,,, ()(),01x x a b x x l x x l ???∈-≤-<<有 则对任意初值[]0,x a b ∈迭代收敛，且： 110 1 11i i i i i x x x l l x x x l αα+-≤ ---≤-- 定理三：设()x ?在α的邻域内具有连续的一阶导数，且'()1?α<，则迭代格式具有局部收敛性； 定理四：假设()x ?在根α的邻域内充分可导，则迭代格式1()i i x x ?+=是P 阶收敛的 () ()()0,1,,1,()0j P j P ? α?α==-≠ （Taylor 展开证明） 4）Newton 迭代法：1'() () i i i i f x x x f x +=-，平方收敛 5）Newton 迭代法收敛定理： 设()f x 在有根区间[],a b 上有二阶导数，且满足： ①：()()0f a f b <； ②：[]' ()0,,f x x a b ≠∈； ③：[]'' ,,f x a b ∈不变号 ④：初值[]0,x a b ∈使得'' ()()0f x f x <； 则Newton 迭代法收敛于根α。
实验一 误差分析 实验（病态问题） 实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 问题提出：考虑一个高次的代数多项式 )1.1() ()20()2)(1()(20 1∏=-=---=k k x x x x x p 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 )2.1(0 )(19=+x x p ε 其中ε是一个非常小的数。这相当于是对（）中19x 的系数作一个小的扰动。我们希望比较（）和（）根的差别，从而分析方程（）的解对扰动的敏感性。 实验内容：为了实现方便，我们先介绍两个Matlab 函数：“roots ”和“poly ”。 roots(a)u = 其中若变量a 存储n+1维的向量，则该函数的输出u 为一个n 维的向量。设a 的元素依次为121,,,+n a a a ，则输出u 的各分量是多项式方程 01121=+++++-n n n n a x a x a x a 的全部根；而函数 poly(v)b =
的输出b 是一个n+1维变量，它是以n 维变量v 的各分量为根的多项式的系数。可见“roots ”和“poly ”是两个互逆的运算函数。 ;000000001.0=ess );21,1(zeros ve = ;)2(ess ve = ))20:1((ve poly roots + 上述简单的Matlab 程序便得到（）的全部根，程序中的“ess ”即是（）中的ε。 实验要求： （1）选择充分小的ess ，反复进行上述实验，记录结果的变化并分析它们。 如果扰动项的系数ε很小，我们自然感觉（）和（）的解应当相差很小。计算中你有什么出乎意料的发现表明有些解关于如此的扰动敏感性如何 （2）将方程（）中的扰动项改成18x ε或其它形式，实验中又有怎样的现象 出现 （3）（选作部分）请从理论上分析产生这一问题的根源。注意我们可以将 方程（）写成展开的形式， ) 3.1(0 ),(1920=+-= x x x p αα 同时将方程的解x 看成是系数α的函数，考察方程的某个解关于α的扰动是否敏感，与研究它关于α的导数的大小有何关系为什么你发现了什么现象，哪些根关于α的变化更敏感 思考题一：（上述实验的改进） 在上述实验中我们会发现用roots 函数求解多项式方程的精度不高，为此你可以考虑用符号函数solve 来提高解的精确度，这需要用到将多项式转换为符号多项式的函数poly2sym,函数的具体使用方法可参考Matlab 的帮助。
二 1 求A的LU分解，并利用分解结果求 解由紧凑格式 故 从而 故 2求证：非奇异矩阵不一定有LU分解 证明设非奇异，要说明A不一定能做LU分解，只需举出一个反例即可。现考虑矩阵，显然A为非奇异矩阵。若A有LU分解，则 故，而，显然不能同时成立。这矛盾说明A不能做LU分解，故只假定A非奇异并不能保证A能做LU分解，只有在A的前阶顺序主子式时才能保证A一定有LU分解。 3用追赶法求解如下的三对角方程组 解设有分解 由公式 其中分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元素，故有 从而有 故，，， 故，，， 4设A是任一阶对称正定矩阵，证明是一种向量范数 证明（1）因A正定对称，故当时，，而当时， （2）对任何实数，有 （3）因A正定，故有分解，则 故对任意向量和，总有 综上可知，是一种向量范数。 5 设，，已知方程组的精确解为 （1）计算条件数； （2）若近似解，计算剩余； （3）利用事后误差估计式计算不等式右端，并与不等式左边比较，此结果说明了什么？解（1） （2）
（3）由事后误差估计式，右端为 而左端 这表明当A为病态矩阵时，尽管剩余很小，误差估计仍然较大。因此，当A病态时，用大小作为检验解的准确度是不可靠的。 6矩阵第一行乘以一数成为，证明当时，有最小值 证明设，则 又 故 从而当时，即时，有最小值，且 7 讨论用雅可比法和高斯-赛德尔法解方程组时的收敛性。如果收敛，比较哪一种方法收敛较快，其中 解对雅可比方法，迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛。 对高斯-赛德尔法，迭代矩阵 ，故高斯-赛德尔法收敛。 因=故高斯-赛德尔法较雅可比法收敛快。 8设，求解方程组，求雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法收敛的充要条件。 解雅可比法的迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛的充要条件是。 高斯-赛德尔法的迭代矩阵 ， 故高斯-赛德尔法收敛的充要条件是。 9 设求解方程组的雅可比迭代格式为，其中，求证：若，则相应的高斯-赛德尔法收敛。证明由于是雅可比法的迭代矩阵，故 又，故， 即，故故系数矩阵A按行严格对角占优，从而高斯-赛德尔法收敛。 10设A为对称正定矩阵，考虑迭代格式 求证：（1）对任意初始向量，收敛； （2）收敛到的解。 证明（1）所给格式可化为 这里存在是因为，由A对称正定，，故也对称正定。 设迭代矩阵的特征值为，为相应的特征向量，则与做内积，有 因正定，故，从而，格式收敛。
数值分析心得体会 篇一：学习数值分析的经验 数值分析实验的经验、感受、收获、建议班级：计算131 学号：XX014302 姓名：曾欢欢 数值分析实验主要就是学习MATLAB的使用以及对数值分析类容的应用，可以使学生更加理解和记忆数值分析学得类容，也巩固了MATLAB的学习，有利于以后这个软件我们的使用。在做实验中，我们需要具备较好的编程能力、明白MATLAB软件的使用以及掌握数值分析的思想，才能让我们独立自主的完成该作业，如果是上述能力有限的同学，需要借助MATLAB的书以及网络来完成实验。数值分析实验对于我来说还是有一定难度，所以我课下先复习了MATLAB的使用方法以及编写程序的基本类容，借助互联网和同学老师资源完成了数值分析得实验的内容。在实验书写中，我复习了各种知识，所以我认为这门课程是有必要且是有用处的，特别是需要处理大量实验数据的人员，很有必要深入了解学习它，这样在以后的工作学习里面就减少了很多计算问题也提高了实验结果的精确度。 学习数值分析的经验、感受、收获、建议数值分析的内容包括插值与逼近，数值微分与数值积分，非线性方程与线性方程组的数值解法，矩阵的特征值与特征向量计算，常微分方程数值解等。
首先我们必须明白数值分析的用途。通常所学的其他数学类学科都是由公式定理开始，从研究他们的定义，性质再到证明与应用。但实际上，尤其是工程，物理，化学等其它具体的学科。往往我们拿到 手的只是通过实验得到的数据。如果是验证性试验，需要代回到公式 进行分析，验证。但往往更多面对的是研究性或试探性试验，无具体 公式定理可代。那就必须通过插值，拟合等计算方法进行数据处理以得到一个相对可用的一般公式。还有许多计算公式理论上非常复杂，在工程中不实用，所以必须根据实际情况把它转化成多项式近似表 示。学习数值分析，不应盲目记公式，因为公事通常很长且很乏味。其次，应从公式所面临的问题以及用途出发。比如插值方法，就 是就是把实验所得的数据看成是公式的解，由这些解反推出一个近似公式，可以具有局部一般性。再比如说拟合，在插值的基础上考虑实 验误差，通过拟合能将误差尽可能缩小，之后目的也是得到一个具有 一定条件下的一般性的公式。。建议学习本门课程要结合知识与实际，比如在物理实验里面很多
二 1求A的LU分解，并利用分解结果求 解由紧凑格式 故 从而 故 2求证：非奇异矩阵不一定有LU分解 证明设非奇异，要说明A不一定能做LU分解，只需举出一个反例即可。现考虑矩阵，显然A为非奇异矩阵。若A有LU分解，则 故，而，显然不能同时成立。这矛盾说明A不能做LU分解，故只假定A非奇异并不能保证A能做LU分解，只有在A的前阶顺序主子式 时才能保证A一定有LU分解。
3用追赶法求解如下的三对角方程组 解设有分解 由公式 其中分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元素，故有 从而有 故，，， 故，，，
4设A是任一阶对称正定矩阵，证明是一种向量范数 证明（1）因A正定对称，故当时，，而当时， （2）对任何实数，有 （3）因A正定，故有分解，则 故对任意向量和，总有 综上可知，是一种向量范数。 5 设，，已知方程组的精确解为 （1）计算条件数； （2）若近似解，计算剩余； （3）利用事后误差估计式计算不等式右端，并与不等式左边比较，此结果说明了什么？解（1） （2） （3）由事后误差估计式，右端为 而左端
这表明当A为病态矩阵时，尽管剩余很小，误差估计仍然较大。因此，当A病态时，用大小作为检验解的准确度是不可靠的。 6矩阵第一行乘以一数成为，证明当时，有最小值 证明设，则 又 故 从而当时，即时，有最小值，且 7讨论用雅可比法和高斯-赛德尔法解方程组时的收敛性。如果收敛，比较哪一种方 法收敛较快，其中 解对雅可比方法，迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛。 对高斯-赛德尔法，迭代矩阵
，故高斯-赛德尔法收敛。 因=故高斯-赛德尔法较雅可比法收敛快。 8设，求解方程组，求雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法收敛的充要条件。 解雅可比法的迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛的充要条件是。 高斯-赛德尔法的迭代矩阵 ，
1、（本题5分）试确定7 22 作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。 解 因为 7 22 =3.142857…=1103142857 .0-? π=3.141592… 所以 312102 11021005.0001264.0722--?=?=<=- π （2分） 这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22 作为π的近似值具有3位有效数字。 （1分） 而相对误差限 3102 1 0005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：??? ?? ??=????? ??????? ??--654131*********x x x ； 解 设???? ? ??????? ? ?????? ??===????? ??--11111 1 131321112323121 32 132 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,215 27 ,25,2323121321- ==-== -==l l l d d d （3分） 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23 ,97,910(,)563, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组???????=++-=+-+=-+-=-+17 7222382311387 510432143213 21431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性； 解 1）Jacoib 迭代格式为
第一章 绪 论 1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。 解：近似值*x 的相对误差为* **** r e x x e x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈ 2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。 解：设()n f x x =，则函数的条件数为'()||() p xf x C f x = 又1'()n f x nx -= , 1 ||n p x nx C n n -?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈? 且(*)r e x 为2 ((*))0.02n r x n ε∴≈ 3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指 出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*5 7 1.0.x =? 解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =?是二位有效数字。 4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) *** 124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24 /x x . 其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。 解：
*4 1*3 2*13*3 4*1 51 ()102 1()102 1()102 1()102 1()102x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=? ***124***1244333 (1)() ()()() 111101010222 1.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=? ***123*********123231132143 (2)() ()()() 1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222 0.215 x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈ **24****24422 *4 33 5 (3)(/)()() 110.0311056.430102256.43056.430 10x x x x x x x εεε---+≈??+??=?= 5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为343V R π= 则何种函数的条件数为 2 3 '4343 p R V R R C V R ππ=== (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈= 又(*)1r V ε=
第一章绪论（1-4） 一、误差来源及分类 二、误差的基本概念 1.绝对误差及绝对误差限 2.相对误差及相对误差限 3.有效数字 三、数值计算的误差估计 1.函数值的误差估计 2.四则运算的误差估计 四、数值计算的误差分析原则 第二章插值（1.2.4-8） 一、插值问题的提法（定义）、插值条件、插值多项式的存在唯一性 二、拉格朗日插值 1.拉格朗日插值基函数的定义、性质 2.用拉格朗日基函数求拉格朗日多项式 3.拉格朗日插值余项（误差估计） 三、牛顿插值 1.插商的定义、性质 2.插商表的计算 3.学会用插商求牛顿插值多项式 四、等距节点的牛顿插值 1.差分定义、性质及计算（向前、向后和中心） 2.学会用差分求等距节点下的牛顿插值公式 五、学会求低次的hermite插值多项式 六、分段插值 1.分段线性插值 2.分段三次hermite插值 3.样条插值 第三章函数逼近与计算（1-6） 一、函数逼近与计算的提法（定义）、常用两种度量标准（一范数、二范数\平方逼近） 二、基本概念 连续函数空间、最佳一次逼近、最佳平方逼近、内积、内积空间、偏差与最小偏差、偏差点、交错点值、平方误差 三、学会用chebyshev定理求一次最佳一致逼近多项式，并估计误差（最大偏差） 四、学会在给定子空间上通过解方程组求最佳平方逼近，并估计误差（平方误差） 五、正交多项式（两种）定义、性质，并学会用chebyshev多项式性质求特殊函数的（降阶）最佳一次逼近多项式 六、函数按正交多项式展开求最佳平方逼近多项式，并估计误差 七、一般最小二乘法（多项式拟合）求线性拟合问题 第四章数值分析（1-4） 一、数值求积的基本思想及其机械求积公式
数值分析实验报告总结 随着电子计算机的普及与发展，科学计算已成为现代科 学的重要组成部分，因而数值计算方法的内容也愈来愈广泛和丰富。通过本学期的学习，主要掌握了一些数值方法的基本原理、具体算法，并通过编程在计算机上来实现这些算法。 算法算法是指由基本算术运算及运算顺序的规定构成的完 整的解题步骤。算法可以使用框图、算法语言、数学语言、自然语言来进行描述。具有的特征：正确性、有穷性、适用范围广、运算工作量少、使用资源少、逻辑结构简单、便于实现、计算结果可靠。 误差 计算机的计算结果通常是近似的，因此算法必有误差， 并且应能估计误差。误差是指近似值与真正值之差。绝对误差是指近似值与真正值之差或差的绝对值；相对误差：是指近似值与真正值之比或比的绝对值。误差来源见表 第三章泛函分析泛函分析概要 泛函分析是研究“函数的函数”、函数空间和它们之间 变换的一门较新的数学分支，隶属分析数学。它以各种学科
如果 a 是相容范数，且任何满足 为具体背景，在集合的基础上，把客观世界中的研究对象抽 范数 范数，是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函 分析及相关的数学领域，泛函是一个函数，其为矢量空间内 的所有矢量赋予非零的正长度或大小。这里以 Cn 空间为例， Rn 空间类似。最常用的范数就是 P-范数。那么 当P 取1, 2 ,s 的时候分别是以下几种最简单的情形: 其中2-范数就是通常意义下的距离。 对于这些范数有以下不等式: 1 < n1/2 另外，若p 和q 是赫德尔共轭指标，即 1/p+1/q=1 么有赫德尔不等式: II = ||xH*y| 当p=q=2时就是柯西-许瓦兹不等式 般来讲矩阵范数除了正定性，齐次性和三角不等式之 矩阵范数通常也称为相容范数。 象为元素和空间。女口：距离空间，赋范线性空间， 内积空间。 1-范数: 1= x1 + x2 +?+ xn 2-范数: x 2=1/2 8 -范数: 8 =max oo ，那 外，还规定其必须满足相容性: 所以
1、（本题5分）试确定7 22作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。 解 因为 7 22=3.142857…=1103142857.0-? π=3.141592… 所以 3 12 10 2 110 21005.0001264.07 22--?= ?= <=- π （2分） 这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22作为π的近似值具有3位有效数字。 （1分） 而相对误差限 3 10 2 10005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：???? ? ??=????? ??????? ??--654131321 112321x x x ； 解 设???? ? ? ?????? ? ?????? ??===????? ? ?--11 1 11113 1321 11232312132 1 32 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,21527,25,2323121321- == - == -==l l l d d d （3分） 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23,97,910( ,)5 63, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组??? ? ? ??=++-=+-+=-+-=-+17722238231138751043214321 321431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性； 解 1）Jacoib 迭代格式为
第一章 引论（习题） 2．证明：x 的相对误差约等于x 的相对误差的1/2. 证明 记 x x f = )( ，则 ) ()(* ** x x x x x x x x f E r +-= -= )(21**x E x x x x x x r ≈-?+= . □ 3．设实数a 的t 位β进制浮点机器数表示为)(a fl . 试证明 t b a b a fl -≤ +*=*12 1||),1/()()(βδδ， 其中的记号*表示+、-、?、/ 中一种运算. 证明： 令： ) () ()(b a fl b a fl b a **-*= δ 可估计： 1|)(|-≥*c b a fl β （c 为b a *阶码）， 故： 121||--≤ c t c ββδt -=12 1β 于是： )1()()(δ+*=*b a b a fl . □ 4．改变下列表达式使计算结果比较精确： （1） ;1||, 11211<<+--+x x x x 对 （2） ;1,11>>- -+ x x x x x 对 （3） 1||,0,cos 1<<≠-x x x x 对. 解 (1) )21()1(22 x x x ++. (2) ) 11(2x x x x x -++. (3) x x x x x x x cos 1sin )cos 1(sin cos 12+≈+=-. □
6．设937.0=a 关于精确数x 有3位有效数字，估计a 的相对误差. 对于x x f -=1)(，估计)(a f 对于)(x f 的误差和相对误差. 解 a 的相对误差：由于 31021|)(|-?≤ -=a x x E . x a x x E r -=)(, 221018 1 10921)(--?=?≤ x E r . （1Th ） )(a f 对于)(x f 的误差和相对误差. |11||)(|a x f E ---== ()25 .0210 11321??≤ -+---a x x a =3 10- 33 104110 |)(|--?=-≤a f E r . □ 9．序列}{n y 满足递推关系：1101.100-+-=n n n y y y . 取01.0,110 ==y y 及 01.0, 101150=+=-y y ，试分别计算5y ，从而说明该递推公式对于计算是不稳 定的. 解 递推关系： 1101.100-+-=n n n y y y (1) 取初值 10=y ， 01.01=y 计算 可得： 110 01.1002 2-?=-y 10001.1-=410-= 6 310-=y ， 8 410 -=y ， 10 510-=y ， … (2) 取初值 5 0101-+=y ， 2 110 -=y , 记： n n n y y -=ε, 序列 {}n ε ，满足递推关系，且 5 010--=ε ， 01=ε 1101.100-+-=n n n εεε, 于是： 5210-=ε, 531001.100-?=ε, 55241010)01.100(---?=ε, 5 5351002.20010)01.100(--?-?=ε,
计算方法实验报告 实验：求解线性方程组的两种方法班级：工力13-02 姓名：刘志强 学号：02130857
实验内容 分别用列主元素法和LU 分解法编程求解，并对A 或b 做微小改动后观察结果 1 -1 2 -1 0 6 1 0 1 1 0 4 2 1 3 -4 4 X = -2 0 -1 1 -1 4 5 3 7 8 2 3 1 实验原理 列主元素法 方法说明（以4阶为例）： ????? ???????=?????????????????????????n n nn n n n n b b b x x x a a a a a a a a a 21212122221 11211 第1步消元——在增广矩阵（A ，b ）第一列中找到绝对值最大的元素，将其所在行与第一行交换，再对（A ，b ）做初等行变换使原方程组转化为如下形式： ????? ???????=?????????????????????????*******0***0***0****4321x x x x 第2步消元——在增广矩阵（A ，b ）中的第二列中（从第二行开始）找到绝对值最大的元素，将其所在行与第二行交换，再对（A ，b ）做初等行变换使原方程组转化为： ????? ???????=?????????????????????????******00**00***0****4321x x x x 第3步消元——在增广矩阵（A ，b ）中的第三列中（从第三行开始）找到绝对值最大的元素，将其所在行与第二行交换，再对（A ，b ）做初等行变换使原方程组转化为： ????? ???????=?????????????????????????*****000**00***0****4321x x x x 按x 4 → x 3→ x 2→ x 1 的顺序回代求解出方程组的解。
一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式 ()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? ，则A ＝（ ） A ． 16 B ．13 C ．12 D ．2 3 3. 通过点 ()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ） A ． ()00l x ＝0， ()110l x = B ． ()00l x ＝0， ()111l x = C ．() 00l x ＝1，()111 l x = D ． () 00l x ＝1，()111 l x = 4. 设求方程 ()0 f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组 1231231 220223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）. A ． 232 x x -+= B ．232 1.5 3.5 x x -+= C ． 2323 x x -+= D ． 230.5 1.5 x x -=- 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得 分 评卷人 二、填空题（每小题3分，共15分）
1. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = . 2. 一阶均差 ()01,f x x = 3. 已知3n =时，科茨系数()()() 33301213,88C C C ===，那么 () 33C = 4. 因为方程()420 x f x x =-+=在区间 []1,2上满足 ，所以()0f x =在区间 内有根。 5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题 ()211y y y x y ?'=+?? ?=? 的计算公式 . 填空题答案 1. 9和29 2. ()() 0101 f x f x x x -- 3. 1 8 4. ()()120 f f < 5. ()12 00.1 1.1,0,1,210.11k k y y k k y +???? ?=+? ?=+???? =??L 得 分 评卷人 三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数 21 1y x = +的一组数据： 求分 段线性插值函数，并计算 () 1.5f 的近似值. 计算题1.答案 1. 解 []0,1x ∈， ()1010.510.50110x x L x x --=?+?=---% []1,2x ∈，()210.50.20.30.81221x x L x x --=?+?=-+--%
第一章 绪论（12） 1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。 [解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=* ****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为* * ** ln ln ) (ln )(ln x x x x r δ εε= = 。 2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。 [解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而n x 的误差为n n x x n x n x x n x x x ** 1 *** %2%2) ()()()(ln * ?=='=-=εε， 相对误差为%2) () (ln )(ln *** n x x x n r == εε。 3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字： 1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5 ?=x 。 [解]1021.1*1 =x 有5位有效数字；0031.0* 2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56* 4 =x 有5位有效数字；0.17*5?=x 有2位有效数字。 4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中* 4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给 的数。 （1）* 4*2*1x x x ++； [解]3 334* 4*2*11** *4*2*1*1005.1102 1 10211021)()()()()(----=?=?+?+?=++=? ??? ????=++∑x x x x x f x x x e n k k k εεεε； （2）* 3*2 *1x x x ；
实验报告 实验项目名称数值积分与数值微分实验室数学实验室 所属课程名称数值逼近 实验类型算法设计 实验日期 班级 学号 姓名 成绩
实验概述： 【实验目的及要求】 本次实验的目的是熟练《数值分析》第四章“数值积分与数值微分”的相关内容，掌握复合梯形求积公式、复合辛普森求积公式、龙贝格求积公式以及高斯-勒让德公式。 本次试验要求编写复合梯形求积公式、复合辛普森求积公式、龙贝格求积公式以及高斯-勒让德公式的程序编码，并在MATLAB软件中去实现。 【实验原理】 《数值分析》第四章“数值积分与数值微分”的相关内容，包括：复合梯形求积公式、复合辛普森求积公式、龙贝格求积公式以及高斯-勒让德公式的相应算法和相关性质。 【实验环境】（使用的软硬件） 软件： MATLAB 2012a 硬件： 电脑型号：联想 Lenovo 昭阳E46A笔记本电脑 操作系统：Windows 8 专业版 处理器：Intel（R）Core（TM）i3 CPU M 350 @2.27GHz 2.27GHz 实验内容： 【实验方案设计】 第一步，将书上关于复合梯形求积公式、复合辛普森求积公式、龙贝格求积公式以及高斯-勒让德公式的内容转化成程序语言，用MATLAB实现；第二步，分别用以上求积公式的程序编码求解不同的问题。 【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析） 实验的主要步骤是：首先分析问题，根据分析设计MATLAB程序，利用程序算出问题答案，分析所得答案结果，再得出最后结论。 实验：用不同数值方法计算积分 (1) 取不同的步长h.分别用复合梯形及复合辛普森求积计算积分，给出误差中关于h的函数，并与积分精确值比较两个公式的精度，是否存在一个最小的h，使得精度不能再被改善？ (2) 用龙贝格求积计算完成问题（1）。 (3)用勒让德多项式确定零点，再代入计算高斯公式，使其精度达到10-4 （1）在MATLAB的Editor中建立一个M-文件，输入程序代码，实现复合梯形求积公式的程序代码如下：
《数值计算方法》复习试题 一、填空题： 1、 ?? ??? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ? ???????? ???=????????? ?? ?。 答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(, 0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求 得?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：2.367，0.25 3、1)3(,2)2(, 1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数 为 ，拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对 1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公
数值分析试题及答案汇 总 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
数值分析试题 一、填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =(x )在有解区间满足 |’(x )| <1 ，则使用该迭代函数 的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差 商公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当系数 a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…) 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 (B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。
第一章 1 误差 相对误差和绝对误差得概念 例题: 当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程时, 一般要经历哪几个阶段? 在哪些阶段将有哪些误差产生? 答: 实际问题-数学模型-数值方法-计算结果 在这个过程中存在一下几种误差: 建立数学模型过程中产生:模型误差 参数误差 选用数值方法产生:截断误差 计算过程产生:舍入误差 传播误差 6．设937.0=a 关于精确数x 有3位有效数字，估计a 的相对误差. 对于 x x f -=1)(，估计)(a f 对于)(x f 的误差和相对误差. 解 a 的相对误差：由于 31021|)(|-?≤ -≤a x x E . x a x x E r -=)(, 221018 1 10921)(--?=?≤ x E r . （1Th ） )(a f 对于)(x f 的误差和相对误差. |11||)(|a x f E ---==()25 .0210113 21??≤ -+---a x x a =310- 33104110|)(|--?=-≤a f E r . □ 2有效数字 基本原则:1 两个很接近的数字不做减法: 2: 不用很小得数做分母(不用很大的数做分子)
例题: 4．改变下列表达式使计算结果比较精确： （1） ;1||, 11211<<+--+x x x x 对 （2） ;1,11>>- -+ x x x x x 对 （3） 1||,0,c o s 1<<≠-x x x x 对. 解 (1) )21()122x x x ++. (2) ) 11(2x x x x x -++. (3) x x x x x x x cos 1sin )cos 1(sin cos 12+≈ +=-. □ 第二章 拉格朗日插值公式（即公式（1）） ∑==n i i i n x l y x p 0)()( 插值基函数（因子）可简洁表示为 )()() () ()()(0 i n i n n i j j j i j i x x x x x x x x x l ωω'-= --=∏ ≠= 其中: ()∏∏≠==-='-= n i j j j i i n n j j n x x x x x x 00 )(,)()(ωω. 例1 n=1时，线性插值公式 ) ()()()()(010110101x x x x y x x x x y x P --?+--? =， 例2 n=2时，抛物插值公式 ) )(())(())(())(())(() )(()(1202102210120120102102x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x P ----? +----? +----? = 牛顿（Newton ）插值公式
1. 已知325413.0,325413*2*1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分） 解： 由已知可知6 5.0102 1 ,0,6,10325413.0016*1=?= =-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 620*2102 1 ,6,0,10325413.0-?= -=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 2. 已知?? ???=0 01 A 220- ?????440求21,,A A A ∞ （6分） 解： {}, 88,4,1max 1==A 1分 {}, 66,6,1max ==∞A 1分 () A A A T max 2λ= 1分 ?????=0 1 A A T 4 2 ???? ? -420?????0 01 2 20 - ???? ?440= ?????0 01 80 ???? ?3200 2分 {}32 32,8,1max )(max ==A A T λ
1分 24322==A 3. 设32)()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的迭代格式 ② 当a 为何值时，)(1k k x x ?=+ （0,1……）产生的序列{}k x 收敛于 2 解： ①迭代格式为： x a x x x a x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2 2 32 1 += +=---=-=+? 3 分 ②时迭代收敛即当222,112 10)2(',665)('2<<-<-=-= a a x a x ?? 3分 4. 给定线性方程组，其中：?? ?=13A ?? ?2 2，?? ? ???-=13b 用迭代公式 )()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（0,1……）求解，问取什么实数α ，可使 迭代收敛 （8分） 解： 所给迭代公式的迭代矩阵为?? ? --???--=-=ααααα21231A I B 2分