第一章 误差
由观测产生的误会差，称为观测误差或参量误差. 由数值计算方法所得到的近似解与实际问题准确解之间出现的这种误差，称为截断误差或方法误差。 x *为准确值的一个近似值，则绝对误差: e *(x)= x-x * 绝对误差限：∣e *
(x)∣=∣x-x *
∣≤ε
*
（在知道x 准确值的条件下）相对误差：=x
x x x
x e
*
-=
)(*
=
*
*
*
*
)(x
x x x
x e -=
相对误差限：*
*
*
*
*
*
)()(r
r
x
x x x
x e x e
ε≤-=
=
误差传播规律：)
()()()()(2
*
*2
1
*
*1
*
x e x f
x e x f y e ??+??≈
*
)()(*
*
y y e y e r =
（看会第七页例题）
有效数字与有效数字位数：
例一：对于x=π=3.14159…,若取近似值=3.14,则绝对误差
∣
)
(*
x e ∣=0.00159…≤01.02
1?,即百分位数字4的半个单位(指
01
.02
1?）是*
x 的绝对误差限，故从*
x 最左边的非零数“3”开始
到百分位数字“4”的三个数都是有效数字，近似值*
x 具有三位有效数字。
例二：求
2
*10
49-?=x 的有效数字？
有两位有效数字
，即位有效数字，则有设的绝对误差限为，而可写为解：*
*
2
*
*x 2m 2
m 0m x 10
5.0x 1049.0x =-=-??-
第二章 非线性方程求根
二分法：[]b a x ,∈，2
b a x +=
分成两半，检查0)()(0
,x a 范围内。1 * 2 2+ -=-≤-k k k k a b a b x x 预估二分法的次数：ε ≤-+1 2 k a b ，ε为允许误差（精度）。 简单迭代法：) (0)(x g x x f =?= ,....)2,1,0)((1==+k x g x k k 满足条件：1.(1)当在区间 [] b a ,上g'存在，且 ) 1(1)('的正常数为小于其中L L x g <≤； （2）对任意[]b a x ,∈，都有[]b a x g ,)(∈， 则 （1）对任取初始近似值[] b a x ,0 ∈，迭代法) (1 x g x k =+产生的迭 代序列｛k x ｝都收敛于方程[]b a x g x ,)(在=上的唯一实根* x ； （2） . 1*;11*011x x L L x x x x L x x k k k k k --≤ ---≤-+ 误差估计表明:要使即可。只要 εε≤--≤-+k k k x x L x x 111 ,* 牛顿迭代法： ...) 2,1,0() (')(1=-=+k x f x f x x k k 若 [][][][][]法； 时，才可以用牛顿迭代且值上保号（同号）则当初在都有对任意上连续在使若存在区间0)(")(,x ,a )(".40 )(',.30 )()(.2,a )(".1,,a ,0)(000>∈≠∈<=x f x f b a b x f x f b a x b f a f b x f b x f 弦割法：（初值是两个，即是一个区间） .....)2,1,0)(-()()()(1 1 1=--=--+k x x x f x f x f x x k k k k k 其中x k 、x k-1为给定初值； 第三章 线性代数方程组的解法 高斯消元法： ??????? ??????? ??=nn n n n a a a a a a a a a a b A ................ . 1 2232221 1131211 ) 1,..2,1() (.2) .., 2,1() ... 2,1,(,.) 2,1(1..3,2,1.1,.) 2,1(.. .... ....... ... ... .. 1 1111 1 1 33 2211321222 113 1211 --=- ==++=-=++=-=++== -=== ???????? ????????? ? =??????? ???????????????? ?????????∑ +=++n n i a x a b x a b x n k k i b m b b n k k j i a m a a k k i a a m n k i a a m b b b b xn x x x a a a a a a a ii n n nn n n n k k ik k k k kj ik k ij k kk ik ik n n nn n n ij ij 回代求解：依次计算 消元计算：对 向量与矩阵的范数 5 515551555157}3,7max{6}4,6{max 1 2342 11+=-=+=====??? ???-=∞ A A A A A A T λλ，有特征值又因则设 列主消元法： 范数名称 记号 计算公式 “1”列模 1 A ∑ =≤≤n i ij n j a 1 1max “2”谱模 2 A ) (A A T λ “∞”行模 ∞ A ∑ =≤≤n j ij n i a 1 1max T r m r r r r m r r r X a a m a a m x x x x x x x x ) 0038 .0,69841 .0,9272.1(0.35160 0.39050- 000.40371 .0020 2 0029.20 4178.7 4 5625.5996.3) (4178 .7 .00202 0029.203816.1 0010.1 77.61.00 4178.74 5625 .5996 .3214178.7 4 5625 .5996 .33816 .1 0 78125.014 .022002.04178 .745625 .5 3.996 1.3816 78125.0 4 .022 002.02 3233 21 213 122 3232 2112132121321-=???? ???? ? ?-???→?= ????? ??? ? ?--???→?=??? ? ? ??? ??-=++=+=++--?-? ）（第一次消元 三角分解法： A=LU ( L 为下三角阵，U 为上三角阵) kk n k j j kj k k nn n n k j j ki k k kk k j jk ij ik k j ji kj ki ki i i i i i i i i i i u x u y x u y x y l b y b y u u l a lik u l a u u u l a l u l a u u a l a u u u u u u u U l l l L ) (11)()(,132111 1 11 1 1 122 12 12 21212211 1 11133 2322 131211 3121 ∑ ∑ ∑ ∑ +=-=-=-=- = = - ==- = →- =-= →-==→=???? ? ???? ?=????? ?????= 解三对角线方程组的追赶法： ?? ? ? ? -===??? ? ? ???????=?? ????????????????????? ?-------)(; 1111 11 21121121111 22211i i i i i n n n n n n n n n n a b c b c LU A f f f f x x x x b a c b a c b a c b ββββ ββ，，，算分解，即按递推公式计 ）实现 （计算过程： ?? ?-===?? ? ? ? --===+--1 1111 1)3()()(f )2(i i i i n n i i i i i i i x y x y x Y UX a b y a f y b f y LY ββ，相应的递推算式是 求解方程组，相应的递推算式是 求解方程组 解对称正定矩阵方程组的平方根法： （1）实现楚列斯基分解解AX=b ， ) ;,,1();,,1()(,~~11112 11 1 111 112 22 121112 12221 11n j n j i n j n j i l l l a l l a l l a l a l l l l l l l l l l l l l L L A jj j k jk ik ij ij j k jk jj jj i i nn n n nn n n T ≠+= ????? ? ??? ? ???≠+=-=-= = = ???? ? ???? ?????? ?????==∑∑-=-= （2）求解三角形方程组b Y L =~ ，相应的递推算式是 ?? ? ?? ? ? -==∑ -=ii i k k ik i i l y l b y l b y 1 1 111 1) ( （3）求解三角形方程组Y X L T =~ ,相应的递推算式是 ?? ? ?? ? ? -= =∑+=ii n i k k ki i i nn n n l x l y x l y x 1 )( 雅可比迭代法：例： ??? ????+ -=+ - =??? ????+ - =+- =?? ?=+=+++2 52 135312 521353152531 12 2 11 12 2 12 121k k k k x x x x x x x x x x x x 相应的迭代公式为：转化为： 高斯—赛德尔迭代法：例： ??? ????++=++=++=?????++=++=++=? ?? ??=+--=-+-=--++++++2 4.02.0 5.11.02.03.01.02.0: 2 4.02.0 5.11.02.03.01.02.010 52151023210)1(2 )1(1 )1(3 )3 )1(1)1(2)(3 )(2 )1(12 1 3 312321321321321k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x （故迭代公式为转化为： 迭代法收敛条件与误差估计： 定义3 矩阵n n R A ?∈的所有特征值),2,1( =i i λ的模的最大 值称为矩阵A 的谱半径，记作i n i 1max ),(λρρ≤≤=）（即A A 定理4 矩阵A 的谱半径不超过矩阵A 的任何一种算子范数r A 定理5 若迭代过程f BX X k K +=+) () 1(中迭代矩阵B 的某种 算子范数 1 <=q B r ，则 （1） 对任意初始向量) 0(X ,该迭代过程均收敛于方程 f BX X +=的唯一解* X ; （2） r k r k r k k r k X X q q X X X X q X X ) 0() 1() () () 1() (1*11*--≤ ---≤ -+ 定理6 若方程组AX=b 的系数矩阵[]n n ij a A ?=按行严格对角 占优或按列严格对角占优，即满足条件 ) ,,2,1() ,,2,1(11 n j a a n i a a n j i i ij jj n i j j ij ii => => ∑ ∑ ≠=≠=或 则方程组AX=b 有唯一解，且对任意初始向量) 0(X ,雅克比迭代 法与高斯—赛德尔迭代法都收敛。 定理7 若方程组AX=b 的系数矩阵为对称正定矩阵，则对任意初始向量) 0(X ，高斯—赛德尔迭代法收敛。 定理8 迭代过程f BX X k k +=+) () 1(对任给初始向量) 0(X 收敛的充 分必要条件是迭代矩阵的谱半径) (B ρ <1；且当) (B ρ <1时，迭 代矩阵谱半径越小，收敛速度越快。 条件数:记作Cond （A ），Cond （A ）=1 -A A )()()()()(min max 22 2 1 21 A A A A A Cond A A A Cond A A A Cond T T λλ= ?==-∞ ∞ -∞ 第四章 差值与拟合 一：插值余项 . ),(),()() (1n )() ()()(0 1n 1n 1n x b a x x x x f x R x p x f x R n i i n n n 且依赖于其中）！ （） （即：） （∈-=+=-=∏=+++ζωωζ 二：拉格朗日插值多项式 x x 1x … n x ) (x f y = 0 y 1y … n y ) )(())(() )(())(() )(())(()()() ())(()()())(()() ()(1202102 2101201 2010210 20 101 1 010 110100 x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L x x x x y x x x x y x L x x x x x x x x x x x x x x x x y x l y x L n k k k k k k n k k n k k n k k k n ----+----+----=--+--=-??--??--??--??-= = ++==∑ ∑ 三点插值（抛物插值）插值）其中：两点插值（线性 三：差商与牛顿基本插值多项式，记作)(x N n ，即 ] [] [][] [i k j i k j k j i i j i j j i i i n i n n n x x x x f x x f x x x f x x x f x f x x f y x N n i a x x x x x x a x x x x a x x a a x N --=--===-??--++--+-+=-,,,)()(,)(),,1,0()())(())(()()(110102010二阶差商：记作一阶差商：记作确定可由插值条件其中系数 [])(i i x f x f =零阶差商 差商的表格; k x ) (k x f 一阶差商 二阶差商 三阶差商 x ) (0x f []1 0,x x f 1 x ) (1x f []2 10,,x x x f []2 1,x x f []3 210,,,x x x x f 2 x ) (2x f []3 21,,x x x f []3 2,x x f 3 x ) (3x f [][][][])(())((,,,))((,,)(,)(: n 1 010*********x R x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x N n n 余项仍为上述余项公式计算公式为-??--++--+-+= 四:差分与等距结点下的牛顿公式 ? ? ???? ?? ? ??∈+-??-=+?+-??-++?-+?+=++=?? ??? ? ??-?=?-=??+=++++) ,() ()!1()()1()((!)1()1(!2)1()(,h 0)1(10n 0020000 12 10n n n n n k k k k k k k k x x f h n n t t t kh x R y n n t t t y t t y t y kh x N kh x x y y y y y y y kh x x ζζ ：前插公式的余项可写为 由公式 令计算过程： 二阶差分记作：一阶差分记作为步长。其中向前差分： k x k y k y ? k y 2 ? k y 3 ? x y y ? 1 x 1 y 2 y ? 1 y ? 3 y ? 2 x 2 y 1 2 y ? 2 y ? 3 x 3 y (2) 向后差分： [] n n n n n n n n n n n n k k k x x f h n n t t t th x R y n n t t t y t t y t y th x N th x x y y y ,) ()! 1() ()1()(! ) 1()1(! 2)1()(,0) 1(1 n 2 1∈++??+= +?-+??++ +?++?+=++=-=?++-ζζ其中后插公式的余项：由公式得令后插公式： 一阶向后差分： 五: 三次样条插值 x x 1x … n x ) (x f y = 0 y 1y … n y []?? ???? ? ? ??? ??-=---+= -=+=+=-=? ????=∈--+--+-+-=-++++++-------)1,,2,1()(6 1) ,,2,1,,()6()6(6)(6)()(11111 11111 22113 131 n i h y y h y y h h g h h h h h h x x h n i x x x h x x h M y h x x h M y h x x M h x x M x S i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i μλμ 第一种边界条件下： ??????? ? ???? ????--=?? ????????????? ???????????????? ?====??? ????-- =--= ??????? ??????? ??=??????????????? ????????? ????????-------------11 2 2 111 22 11 2 2 2 21 000 1 1 1 1 11 011 01 1 1 12 2 22)()() (6) ( 62 1 2212n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n y g g g y g M M M M y x S M y x S M h y y y h g y h y y h g g g g g M M M M λ μμ λ μ λμλλ μλμ 第二种边界条件： 第五章 数值微分与数值积分 ' ' 1.1()(0,1,,)()n (),()(),()() ()n ()() i n n n n n f x x i n f x x p x f x f x p x p x f x p x =≈≈ 利用插值多项式构造数值微分公式 若函数在结点处的函数值已知，那么就可作的次插值多项式p 并用近似替代即由于是不高于次的代数多项式，容易求导数，故对应于f (x )的每一个插值多项式，都易获得数值微分公式这样建立起来的数值微分公式，统称为插值型数值微分公式。 10' ' 10010' ' 101111n ,()() ()()()() ()()x x f x f x f x p x h f x f x f x p x h --≈=-≈= （）、当=1时，h =（两点公式） ' ' 0100' ' 11110101()()''() 2 ()()''() 2 h f x p x f h f x p x f ζζζζ-=--= ∈余项公式：其中，（x ,x ） [] [] [ ] 0' ' 020012' ' 12102' ' 2220122 ' ' 02002 ' ' 1211' 2n (0,1,2),(1()()3()4()()21()()()()21()()()4()3()2()()'''()3()()'''()6 ()k x x k h k f x p x f x f x f x h f x p x f x f x h f x p x f x f x f x h h f x p x f h f x p x f f x p ζζ=+=≈=-+-≈=-+≈=-+-= -=--当=2时，三点公式)余项为：[][]2' 22202'' 02'' '' 0200122 '' '' 1210122'' '' 222()'''() 3 n =2(0,1,2)''()()(0,1,2)1()()()2()()1()()()2()()1()()i k i i h x f x x k h k f x p x i f x p x f x f x f x h f x p x f x f x f x h f x p x h ζζ= ∈=+=≈=≈=-+≈=-+≈=其中（x ,x ）(i =0,1,2) 当时，，从出发，可得计算二阶导数的三点公式[ ] 0122 2 '' '' (4) 020122 '' '' (4) 12132 '' '' (4) 2224502()2()()()()'''()() 6 ()()()12 ()()'''()() 6 i f x f x f x h f x p x h f f h f x p x f h f x p x h f f ζζζζζζ-+-=-+-=- -=- ∈余项为： 其中（x ,x ）(i =0,1,2,3,4,5) []0 01n 0 01n n 2()() ,()n ()()() ()(0,1,,),,,n ()(),()()n b k k a k k k n n k k k k n f x d x A f x x A a b a x x x b f x L x f x l x l x k n x x x x f x f x d x L x d ==≈ ≤<<≤= =≈ ∑ ? ∑ 、构造数值积分公式的基本方法与有关概念 其中称为求积结点，称为求积系数。在积分区间上取有限个点作的次插值多项式 其中为结点上的次基本插值多项式。用L 近似代替被积函数则得 011011()()()()()()()()()()() n b b b k k a a a k b k k a b k k n a k k k k k k n x f x l x d x A l x d x x x x x x x x x d x x x x x x x x x =-+-+= = -??--??-= -??--??-∑ ? ? ?? ? 若记 即为插值型求积公式。 [](1) n 11013() ()(1)! ()()()()(,) n b n a n n f R f x d x n x x x x x x x a b ζωωζ+++=+=--??-∈? 、数值积分公式的余项其中， [] []() () 4()()()2 (2),,, (1) !()! (1)(1)(1)(),()()() b a n k n n t k k t k n b n k k a k b a f x d x f a f b b a a b n h x a th n C S d t n k n k S t t t k t k t n f x d x b a C f x -=-≈ +-==+-= ??-=-??-+--??-≈-? ? ∑? 、(1)梯形公式： 、将积分区间等分，记其中则 n k C -这就是一般的牛顿科茨公式，其中称为科茨系数。 3()()4()() 62b a b a a b f x d x f a f f b -+?? ≈ ++???? ? （）辛普森公式： n 0 n C 1 n C 2 n C 3 n C 4 n C 5 n C 6 n C 1 1 2 12 2 16 46 16 3 18 38 38 18 4 790 164 5 215 1645 790 5 19288 2596 25144 25144 2596 19288 6 41840 935 9280 34105 9280 935 41840 （4）科茨公式：当n=4时， []01234()7()32()12()32()7()90 (0,1,2,3,4). 4 b a k b a f x d x f x f x f x f x f x b a x a k k -≈ ++++-=+=? 其中 1 n 111 n 10121n 11004251()()2()()22()()4()2()()63()7()32()12()90n b k a k n n b k a k k k n n b a k k k k h f x d x T f a f x f b h f x d x S f a f x f x f b h f x d x C f a f x f x -=--+==-++==-??≈=++???? ? ?≈=+++?? ?? ≈=++∑? ∑∑? ∑? 、复合低阶牛顿科茨公式（）复合梯形公式 （）复合辛普森公式 （）复合科茨公式 111 301432()14()7()n n k k k k f x f x f b ---+==? ?+++???? ∑∑∑ 1134 2 4 113,,,4 2 4 k k k k k k b a x x h x x h x x h h n + + + -=+ =+ =+ = 其中 [][][][][][][]'' 3 '' 11(4) 4 (4) 2 2(6) 6 (6) 4 4'' ,()() 12 ,()() 1802 ,2()() 9454 ,i a b b a R f f a b b a b a R f f a b b a b a R f f a b ζζζζ-= - --= - --= - ∈定理2)若f (x )在上连续，则梯形公式的余项为若f (x )在上连续，则辛普森公式的余项为 若f (x )在上连续，则科茨公式的余项为 （）其中（a ,b ）(i =1,2,4)定理4 若f (x )在上连续，则复合梯形公式的[][]2'' n 1(4) 4 (4) n 2(6) 6 (6) n 4()() 12 ,()()() 180 2,2()()() 9454 b a b a b a i b a f x d x T h f a b b a h f x d x S f a b b a h f x d x C f ηηηη--=- --=- --=-∈? ? ? 余项为 若f (x )在上连续，则复合辛普森公式的余项为 若f (x )在上连续，则复合科茨公式的余项为 （）其中（a ,b ）(i =1,2,4) []0 1 k k -1 2 2 k k 2 2 1 222()()21(21)22 2(1,2,)4133161151564163 63k i n n n n n n n n n b a f a f b b a b a f a i k S T T C S S R C C -=-=+--? ?= + +-?? ?? ==- =-= - ∑ 6、变步长复合梯形法的递推算法T T T 常用的一些矢量运算公式 1.三重标量积 如a ，b 和c 是三个矢量，组合 ()a b c ??叫做他们的三重标量积。三重标量积等于这三 个矢量为棱边所作的平行六面体体积。在直角坐标系中，设坐标轴向的三个单位矢量标记为 (),,i j k ，令三个矢量的分量记为()()1 2 3 1 2 3 ,,,,,a a a a b b b b 及()1 2 3 ,,c c c c 则有 ( )() 123123123123 123123 c c c i jk a b c a a a c i c j c k a a a b b b b b b ??=?++= 因此，三重标量积必有如下关系式： ()()()a b c b c a c a b ??=??=??即有循环法则成立，这就是说不改变三重标量积中三个矢量顺序的组合，其结果相等。 2.三重矢量积 如a ，b 和c 是三个矢量，组合 ( ) a b c ??叫做他们的三重标量积，因有 ()()()a b c a c b c b a ??=-??=?? 故有中心法则成立，这就是说只有改变中间矢量时，三重标量积符号才改变。三重标量积有一个重要的性质（证略）:() ()()a b c a b c a c b ??=-?+? （1-209） 将矢量作重新排列又有：()()() a b c b a c b a c ?=??+? （1-210） 3.算子（ a ? ） ? 是哈密顿算子，它是一个矢量算子。（ a ? ）则是一个标量算子，将它作用于标量φ ，即 ()a φ?是φ在a 方向的变化速率的a 倍。如以无穷小的位置矢量 d r 代替以上矢量a ，则 ()dr φ ?是φ在位移方向 d r 的变化率的 d r 倍，即 d φ 。 () ()d dr dr φφφ=?=? 若将 () dr ?作用于矢量v ，则 ()dr v ?就是v 再位移方向 d r 变化率的 d r 倍，既为速度矢量 的全微分() dv dr v =? 应 用 三 重 矢 量 积 公 式 （ 1-209 ） ()()() 00()()()() a b a b a b b a a b b a a b ???=???+???=??-??-??+?? 图形 常用形体的体积、表面积计算公式 尺寸符号 a-棱於-对角 线S-表両积 K-侧表面积 讥h-边长 0-底面对角线的交点 a上川-边畏 力-高 F-JK S积 0 ■底両中线的交点 y-一个组合三角老的両积 左-组合三角形的个数 0-锻底答对角线交点 此凤-两平行底面的面积 力■底面间更离 。-一个组合梯形的面积 和-组合梯形数 卫-外半径一內 半径 ￡-柱壁厚度 P-平均半径勺= 内外侧面积 仿积（卩）底面积 （F）表面积（小侧表 面积（仓） /= Q?決h S = 2(c? ? E +a ? % +E ? %) 百度文库?让每个人平等地捉升口我 夙一球半径 ①巳-底面半径 /腰高 兔-球心o 至帝底圆心q 的距 离 对于抛物线形桶体 y = ^-（2D 2+Dd + -d 2） 15 4 对于回形桶仿 7略（仃+八） a,b,c ■半轴 交 叉 柱 体 卩=加（屮一些 心3-下底边长 上底边长 h_上、下底边距离（高） V = -[(2a +勺加+(2甸诃如 6 =—[ab+(a +(?})(& 十劣十 ? 如 6 、 常用图形求面积公式 图形 尺寸符号 而积（F ）表而积（S ） Q ■中间断面直径 H -底直径 I-桶高 ￥ r U : 数列基本公式 1、一般数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：a n =?? ? ≥-=-)2() 1(11n S S n S n n 2、等差数列的通项公式：a n =a 1+(n-1)d a n =a k +(n-k)d (其中a 1为首项、a k 为已知的第k 项) 当d ≠0时，a n 是关于n 的一次式；当d=0时，a n 是一个常数。 3、等差数列的前n 项和公式：S n =d n n na 2 ) 1(1-+ S n = 2)(1n a a n + S n =d n n na n 2 ) 1(-- 当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0；当d=0时（a 1≠0），S n =na 1是关于n 的正比例式。 4、等差数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：a n =1 21 2--n S n 5、等差中项公式：A= 2 b a + （有唯一的值） 6、等比数列的通项公式： a n = a 1 q n-1 a n = a k q n-k (其中a 1为首项、a k 为已知的第k 项，a n ≠0) 7、等比数列的前n 项和公式：当q=1时，S n =n a 1 (是关于n 的正比例式)； 当q≠1时，S n =q q a n --1) 1(1 S n =q q a a n --11 8、等比中项公式：G=ab ± （ab>0，有两个值） 9、等差数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m - S 3m 、……仍 为等差数列。 10、等差数列{a n }中，若m+n=p+q ，则q p n m a a a a +=+ 11、等比数列{a n }中，若m+n=p+q ，则q p n m a a a a ?=? 12、等比数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m - S 3m 、……仍为等比数列。 13、两个等差数列{a n }与{b n }的和差的数列{a n+b n }、{a n -b n }仍为等差数列。 14、两个等比数列{a n }与{b n }的积、商、倒数的数列{a n ?b n }、????? ?n n b a 、? ?? ???n b 1仍为等比数列。 15、等差数列{a n }的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。 16、等比数列{a n }的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。 工程施工常用计算公式 WEIHUA system office room 【WEIHUA 16H-WEIHUA WEIHUA8Q8- 工程施工常用计算公式各类钢材理论重量计算公式大全 1.钢板重量计算公式 公式：×长度(m)×宽度(m)×厚度(mm) 例：钢板6m(长)×(宽)×(厚) 计算：×6××= 2.钢管重量计算公式 公式：（外径-壁厚）×壁厚mm××长度m 例：钢管114mm(外径)×4mm(壁厚)×6m(长度) 计算：（114-4）×4××6= 3.圆钢重量计算公式 公式：直径mm×直径mm××长度m 例：圆钢Φ20mm(直径)×6m(长度) 计算：20×20××6= 4.方钢重量计算公式 公式：边宽(mm)×边宽(mm)×长度(m)× 例：方钢 50mm(边宽)×6m(长度) 计算：50×50×6×=(kg) 5.扁钢重量计算公式 公式：边宽(mm)×厚度(mm)×长度(m)× 例：扁钢 50mm(边宽)×(厚)×6m(长度) 计算：50×5×6×= 6.六角钢重量计算公式 公式：对边直径×对边直径×长度(m)× 例：六角钢 50mm(直径)×6m(长度) 计算：50×50×6×=102(kg) 7.螺纹钢重量计算公式 公式：直径mm×直径mm××长度m 例：螺纹钢Φ20mm(直径)×12m(长度) 计算：20×20××12= 8.扁通重量计算公式 公式：(边长+边宽)×2×厚××长m? 例：扁通 100mm×50mm×5mm厚×6m(长) 计算：(100+50)×2×5××6= 9.方通重量计算公式 公式：边宽mm×4×厚××长m? 例：方通 50mm×5mm厚×6m(长) 计算：50×4×5××6= 10.等边角钢重量计算公式 公式：边宽mm×厚××长m(粗算)? 例：角钢 50mm×50mm×5厚×6m(长) 计算：50×5××6=(表为 11.不等边角钢重量计算公式 公式：(边宽+边宽)×厚××长m(粗算)? 例：角钢 100mm×80mm×8厚×6m(长) 计算：(100+80)×8××6=(表 其他有色金属 12.黄铜管重量计算公式 公式：(外径-壁厚)×厚××长m? 例：黄铜管 20mm×厚×6m(长) 计算：×××6= 13.紫铜管重量计算公式 公式：(外径-壁厚)×厚××长m? 例：紫铜管 20mm×厚×6m(长) 计算：×××6= 14.铝花板重量计算公式 流体在一定时间内通过某一横断面的容积或重量称为流量。用容积表示流量单位是L/s或 （`m^3`/h）；用重量表示流量单位是kg/s或t/h。 流体在管道内流动时，在一定时间内所流过的距离为流速，流速一般指流体的平均流速，单位为 m/s。 流量与管道断面及流速成正比，三者之间关系： `Q = (∏D^2)/ 4 ·v ·3600 `(`m^3` / h ) 式中Q —流量（`m ^3` / h 或t / h ）； D —管道内径（m）； V —流体平均速度（m / s）。 根据上式，当流速一定时，其流量与管径的平方成正比，在施工中遇到管径替代时，应进行计算后方 可代用。例如用二根DN50的管代替一根DN100的管是不允许的，从公式得知DN100的管道流量是DN50管 道流量的4倍，因此必须用4根DN50的管才能代用DN100的管。 给水管道经济流速 影响给水管道经济流速的因素很多，精确计算非常复杂。 对于单独的压力输水管道，经济管径公式： D=（fQ^3)^[1/(a+m)] 式中：f——经济因素，与电费、管道造价、投资偿还期、管道水头损失计算公式等多项因素有关的系数；Q——管道输水流量；a——管道造价公式中的指数；m——管道水头损失计算公式中的指数。 为简化计算，取f=1，a=1.8，m=5.3，则经济管径公式可简化为：D=Q^0.42 例：管道流量 22 L/S，求经济管径为多少？ 解：Q=22 L/S=0.022m^3/s 经济管径D=Q^0.42=0.022^0.42=0.201m，所以经济管径可取200mm。 水头损失 没有“压力与流速的计算公式 管道的水力计算包括长管水力计算和短管水力计算。区别是后者在计算时忽略了局部水头损失，只考虑沿程水头损失。（水头损失可以理解为固体相对运动的摩擦力） 以常用的长管自由出流为例，则计算公式为 H=(v^2*L)/(C^2*R), 其中H为水头，可以由压力换算， L是管的长度， v是管道出流的流速， R是水力半径R=管道断面面积/内壁周长=r/2， C是谢才系数C=R^(1/6)/n， 电如_边長 馬-高 F-底面积 0-底両申銭的交点 卩=FJ — (c -+i H - c) * b+2F 禺="+6+c)*ft ，-一个粗合三箱我的両积 71 -组合三角形的惱 O-锥底备对角護交点 年店-两平行底面的面积 力L 底面间歴畫 "-一个爼舍梯戒的面积 R-组合梯形数 多面体的体积和表面积 体积（茁）庭百积（F ） 表面瞅门侧恚面积（鬲） 图形 尺寸符号 d-刘角爲 表 面积 覇-侧表面积 长 方 扩=Q S=6a 2 CS 血为-边拴 0-底面对角线的交点 V = a*h* h S = 2(a ? b 4-(j ? h +i * ft) ￡l-2Ma+&) 圆 柱 和 空 心 圆 柱 A 管 去-外宰径 —内半径 ￡-柱壁區度 p -平均半径 心=内外側面祝 B&- $=2滋?/! +2JC ￡^ E\ = 2/rR ? h 空心言圆柱: F =凤疋7勺=2叭伤 S=X?4F ）JU2/I （用-沔 场=2品第卄） 5=n?/ + F h -盘小高度 怒-毘大高度F-属面举径 尸-廐面半径巾-高卜母爼长 E工-虧面半径巾-高 ”母緩g ■制血+吩2*卩+—!_：cos a 禺F偽十吗) & = + F — ttri y-^^2+ ^+^) 禺■忒迎肝) 卩十押 十试疋■!■/) 球扇r-*e 4宜径 尸■兰直玉■輕：?口」 石6沪 3 6 S =血2 - 夙-球半径 ①巳-底面半径 S ■ 4nJ -2J &, ■ ￡戊■矽一4了*彷 V a,b,c-半轴 交 叉 圆 柱 体 球 缺 椭 球 体 A 胎 D-中间斷面苴狂 说 -廐直径 『-桶高 = 2冲丘= ST ⑷-Q 护=佩乃 -町 十山2 y~—(3R^3^+h^ $■2鈕 g= 2fviih 十牙叶 4-^) 卫-風总儒平旳半径 0-同环体平均半径 川-凰环体截面言径 r-回环体茁両半径 .—— 圆 环 体 为-球鎂的高 r- 瑋岐半栓 日-平切厨言径 业=曲面"5^ 球破表面积 用于抛物线我桶徘 卩=竺口“+戊4丄护） 15 4 对于园飛确体 卩皤用十吗 一：常用布宽计算公式 D：素材外径d:铁芯外径Ｗ：布宽Ｔ：布厚Ｎ：圈数π:圆周率 (１)：Ｎ=（Ｄ-d）/2T (2) : D=d+2TN (3) : d=D-2TN (4) : T= (D-d)/2TN (A) W=dπN+1.27(适用于４圈内) (Ｂ) W=dπN+1.１(适用于４圈内) (Ｃ) W=【d+（Ｎ-１）Ｔ】πN (最为精确) (Ｄ) W={ d+【ＮＴ（Ｎ-１）】/２}π (此公式Ｔ为２倍布厚) 例如：Ｄ=10mm d=8mm T=0.1mm π=3.1416 求Ｗ：布宽和Ｎ：圈数 则Ｎ=（Ｄ-d）/2T = (10-8)/(2*0.1)=10圈 **如果用公式（Ａ）则w=dπN+1.27=8*3.1416*10+1.27=252.6mm(此公式未考虑布厚，圈数多时误差大) ** 公式（Ｃ）则Ｗ=【d+（Ｎ-１）T】πn=【8+(10-1)*0.1】*3.1416*10=279.6mm(此公式考虑布厚) 二：常用物料用量计算公式 D=元径d=先径π=圆周率 L=长度Ｗ=宽度 (A)SLIT(或varn)用量公式计算：单位：米Ｗ１=slit宽度Ｗ2=间距N=为缠绕次数(1.2倍含宽放) (1)全满=1.2*(D+ d)/2*π* LN/Ｗ１(重叠需减去重叠宽度) 例如：Ｄ=10mm d=2mm π=3.1416 L=1000mm W=7mm 假设为外车slit全满 则用公式(1)=1.2*(D+ d)/2*π* LN/Ｗ１=1.2*(10+2)/2*(3.1416*1000*1)/7=3231 mm =3.231m (2) 半满=1.2*(Dπ+ dπ+2Ｗ2) * LN/2(Ｗ１+Ｗ2 ) (如交叉需乘交叉道数) 例如：Ｄ=10mm d=2mm π=3.1416 L=1000mm Ｗ１=7mm Ｗ2=7mm假设为外车slit交叉两道 则用公式(1)= 1.2*(Dπ+ dπ+2Ｗ2) * LN/2(Ｗ１+Ｗ2 ) =1.2*(10*3.1416+2*3.1416+2*20)*1000*2/2 (7+20) =3453.2 mm =3.453m (B)布料用量= 拉布长度= 裁布块数 (C)碳纤含量= 碳纤用量/ (GLASS用量+碳纤用量)*100% 假设：一支钓竿的碳纤用量= 0.15㎡玻纤用量= 0.05㎡ (D)纸带用量计算公式：（米） 用量= 1.4*【（D+ d）/2*π*L】/ 间距（*1.4倍含宽放用量） 假设Ｄ=10mm d=2mm π=3.1416 L=1000mm 间距=2mm 则用量= 1.4*【（D+ d）/2*π*L】/ 间距=1.4*【（10+2）/2*3.1416*1000】/ 2 = 13194.7 mm=13.19 m 建筑施工常用计算公式大全及附图 工程量计算公式 （建筑物场地厚度在±30cm以内的挖、填、运、找平。） 1、平整场地计算规则 （1）清单规则：按设计图示尺寸以建筑物首层面积计算。 （2）定额规则：按设计图示尺寸以建筑物外墙外边线每边各加2米以平方米面积计算。 2、平整场地计算公式 S=（A+4）×（B+4）=S底+2L外+16 式中：S——平整场地工程量； A—建筑物长度方向外墙外边线长度； B—建筑物宽度方向外墙外边线长度； S底—建筑物底层建筑面积； L外—建筑物外墙外边线周长。 该公式适用于任何由矩形组成的建筑物或构筑物的场地平整工程量计算。 点击>>工程资料免费下载 二、基础土方开挖计算 1、开挖土方计算规则 （1）清单规则：挖基础土方按设计图示尺寸以基础垫层底面积乘挖土深度计算。 （2）定额规则：人工或机械挖土方的体积应按槽底面积乘以挖土深度计算。槽底面积应以槽底的长乘以槽底的宽，槽底长和宽是指基础底宽外加工作面，当需要放坡时，应将放坡的土方量合并于总土方量中。2、开挖土方计算公式 （1）清单计算挖土方的体积：土方体积＝挖土方的底面积×挖土深度。（2）定额规则：基槽开挖：V=（A+2C+K×H）H×L。 式中：V—基槽土方量； A—槽底宽度； C—工作面宽度； H—基槽深度； L—基槽长度。. 其中外墙基槽长度以外墙中心线计算，内墙基槽长度以内墙净长计算，交接重合出不予扣除。 基坑开挖： V=1/6H[A×B+a×b+(A+a)×(B+b)+a×b]。 式中：V—基坑体积； A—基坑上口长度； B—基坑上口宽度； a—基坑底面长度； b—基坑底面宽度。 三、回填土工程量计算规则及公式 1、基槽、基坑回填土体积=基槽（坑）挖土体积-设计室外地坪以下建（构）筑物被埋置部分的体积。 式中室外地坪以下建（构）筑物被埋置部分的体积一般包括垫层、墙基础、柱基础、以及地下建筑物、构筑物等所占体积 2、室内回填土体积=主墙间净面积×回填土厚度-各种沟道所占体积 主墙间净面积=S底-（L中×墙厚+L内×墙厚） 式中：底—底层建筑面积； L中—外墙中心线长度； 流量与管径、压力、流速的一般关系 一般工程上计算时，水管路，压力常见为0.1--0.6MPa，水在水管中流速在1--3米/秒，常取1.5米/秒。 流量=管截面积X流速=0.002827X管内径的平方X流速(立方米/小时)。 其中，管内径单位：mm ，流速单位：米/秒，饱和蒸汽的公式与水相同，只是流速一般取20--40米/秒。 水头损失计算Chezy 公式 这里： Q——断面水流量（m3/s） C——Chezy糙率系数（m1/2/s） A——断面面积（m2） R——水力半径（m） S——水力坡度（m/m） 根据需要也可以变换为其它表示方法: Darcy-Weisbach公式 由于 这里： h f——沿程水头损失（mm3/s） f ——Darcy-Weisbach水头损失系数（无量纲） l——管道长度（m） d——管道内径（mm） v ——管道流速（m/s） g ——重力加速度（m/s2） 水力计算是输配水管道设计的核心，其实质就是在保证用户水量、水压安全的条件下，通过水力计算优化设计方案，选择合适的管材和确经济管径。输配水管道水力计算包含沿程水头损失和局部水头损失，而局部水头损失一般仅为沿程水头损失的5~10%，因此本文主要研究、探讨管道沿程水头损失的计算方法。 1.1 管道常用沿程水头损失计算公式及适用条件 管道沿程水头损失是水流摩阻做功消耗的能量，不同的水流流态，遵循不同的规律，计算方法也不一样。输配水管 道水流流态都处在紊流区，紊流区水流的阻力是水的粘滞力及水流速度与压强脉动的结果。紊流又根据阻力特征划分为水力光滑区、过渡区、粗糙区。管道沿程水头损失计算公式都有适用范围和条件，一般都以水流阻力特征区划分。 水流阻力特征区的判别方法，工程设计宜采用 常用数学计算公式 导读：我根据大家的需要整理了一份关于《常用数学计算公式》的内容，具体内容：数学计算公式可以帮助我们解题，那么数学有哪些常用的计算公式呢?接下来我为你整理了，一起来看看吧。(一)公式分类公式表达式乘法与因式分解a2-b... 数学计算公式可以帮助我们解题，那么数学有哪些常用的计算公式呢?接下来我为你整理了，一起来看看吧。 (一) 公式分类公式表达式乘法与因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)三角不等式|a+b||a|+|b||a-b||a|+|b||a|b-bab|a-b||a|-|b|-|a|a|a| 一元二次方程的解-b+(b2-4ac)/2a-b-b+(b2-4ac)/2a 根与系数的关系 X1+X2=-b/aX1*X2=c/a注：韦达定理判别式b2-4a=0 注：方程有相等的两实根b2-4ac>0 注：方程有一个实根b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根三角函数公式两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=co sAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/( 1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2co s2a-1=1-2sin2a半角公式 2013建设工程经济计算题考点 1.资金等值的计算 （1）掌握一次性支付的终值计算（已知P求F） 公式：F=P(1+i)n F= 一次支付n年末的终值（本利和） P=一次性支付（投资）的资金金额 i= 年、月、季度利率(计息期复利率) n= 计息的期数（P使用的时间） (1+i)n为终值系数，表示为（F/P,i,n）.如果题中给出系数，则计 算公式为：F=P（F/P,i,n） 例题：某公司借款1000万元，年复利率为10%，试问5年末连本带利一次偿还多少？ 答：F=P(1+i)n=1000*（1+10%）5=1610.51万元 （2）掌握一次性支付的现值计算（已知F求P） 公式：P=F/(1+i)n= F(1+i)-n F= 一次支付n年末的终值（本利和） P=一次性支付（投资）的资金金额 i= 年、月、季度利率(计息期复利率) n= 计息的期数（P使用的时间） (1+i)-n 为现值系数，表示为（P/F,i,n ）, 如果题中给出系数，则 计算公式为：P=F （P/F,i,n ） 例题：某公司希望所投资项目5年末有1000万元资金，年复利率为 10%，试问现在需一次性投资多少？ 答：P= F(1+i)-n =1000×（1+10%）-5=620.9万元 （3）掌握等额支付系列的终值计算（已知A 求F ） 公式：F=A i i n 1)1(-+ F= 等额支付系列的终值（本利和） A= 年金，等额支付每一次支付的资金金额 i= 年、月、季度利率(计息期复利率) n= 计息的期数（A 使用的时间） i i n 1)1(-+为等额支付系列的终值系数（年金终值系数），表示为：（F/A,i,n ），如果题中给出系数，则计算公式为： F=A （F/A,i,n ）。 例题：某投资人若10年内每年末存10000元，年利率8%，问10 年末本利和为多少？ 答：F=A i i n 1)1(-+=10000×%81%)81(10-+=144870元 （4）掌握等额支付系列的现值计算（已知A 求P ） 各种管道水头损失的简便计算公式 (879) 摘要：从计算水头损失的最根本公式出发，将各种管道的计算公式加以推导，得出了计算水头损失的简便公式，使得管道工程设计人员从繁琐的计算中解脱出来，提高了工作效率。 关键词：水头损失塑料管钢管铸铁管混凝土管钢筋混凝土管 在给水工程应用中经常要用到水头损失的计算公式，一般情况下计算水头损失都是从水力摩阻系数λ等基本参数出发，一步一步的代入计算。其实各个公式之间是有一定的联系的，有的参数在计算当中可以抵消。如果公式中只剩下流速、流量、管径这些基本参数，那么就会给计算者省去不少的麻烦。在此我们充分利用了各参数之间以及水头损失与水温的关系，将公式整理简化，供大家参考。 1、PVC-U、PE的水头损失计算 根据《埋地硬聚氯乙烯给水管道工程技术规程》规定，塑料管道沿程水头损失hf应按下式计算： （式1-1） 式中λ—水力摩阻系数； L—管段长度（m）； di—管道径（m）； v—平均流速（m/s）； g—重力加速度，9.81m/s2。 因考虑到在通常的流速条件下，常用热塑性塑料给水管PVC-U、PE管一般处于水力光滑区，管壁绝对当量粗糙度对结果的影响非常小或没有影响，故水力摩阻系数λ可按下式计算： （式1-2） 式中Re—雷诺数。 雷诺数Re应按下式计算： （式1-3） 式中γ—水的运动粘滞度（m3/s），在不同温度时可按表1采用。 表1水在不同温度时的γ值（×10-6） 水温℃ 05101520253040 γ（m3/s）1.78 1.52 1.31 1.14 1.000.890.80 0.66 从前面的计算可知，若要计算水头损失，需将表1中的数据代入，并逐步计算，最少需要3个公式，计算较为繁琐。为将公式和计算简化，以减少工作量，特推导如下： 因具体工程水温的变化较大，水力计算常按照基准温度计算，然后根据具体情况，决定是否进行校正。冷水管的基准温度多选择10℃。 当水温为10℃时的γ=1.31×10-6 m3/s，代入式1-3 得（式1-4） 将式1-4代入式1-2 （式1-5） 再将式1-5代入式1-1 1、C列分数化小数的记法：分子乘5，小数点向左移动两位。 2、D、E两列分数化小数的记法：分子乘4，小数点向左移动两位 常见分数、小数互化表 常见的分数、小数及百分数的互化 常见立方数 错位相加/减 A×9型速算技巧：A×9= A×10-A； 例：743×9=743×10-743=7430-743=6687 A×型速算技巧：A×= A×10+A÷10； 例：743×=743×10-743÷10== A×11型速算技巧：A×11= A×10+A； 例：743×11=743×10+743=7430+743=8173 A×101型速算技巧：A×101= A×100+A； 例：743×101=743×100+743=75043 乘/除以5、25、125的速算技巧： A×5型速算技巧：A×5=10A÷2； 例：×5=×10÷2=÷2= A÷5型速算技巧：A÷5=×2； 例：÷5=××2=×2= A×25型速算技巧：A×25=100A÷4； 例：7234×25=7234×100÷4=723400÷4=180850 A÷25型速算技巧：A÷25=×4； 例：3714÷25=3714××4=×4= A×125型速算技巧：A×5=1000A÷8； 例：8736×125=8736×1000÷8=8736000÷8=1092000 A÷125型速算技巧：A÷1255=×8； 例：4115÷125=4115××8=×8= 减半相加： A×型速算技巧：A×=A+A÷2； 例：3406×=3406+3406÷2=3406+1703=5109 “首数相同尾数互补”型两数乘积速算技巧： 积的头=头×（头+1）；积的尾=尾×尾 例：23×27=首数均为2，尾数3与7的和是10，互补 所以乘积的首数为2×（2+1）=6，尾数为3×7=21，即23×27=621 本方法适合 11~99 所有平方的计算。 11X11=121 21X21=4141 31X31=961 41X41=1681 12X12=148 22X22=484 32X32=1024 42X42=1764 52X52=2704 从上面的计算我们可以得出公式： 个位=个位×个位所得数的个位，如果满几十就向前进几， 十位=个位×（十位上的数字×2）+进位所得数的末位，如果满几十就向前进几，百位=两个十位上的数字相乘+进位。 例：26×26= 个位=6×6=36，满 30 向前进 3； 十位=6×（2×2）+3=27，满 20 向前=进 2； 百位=2×2+2=6 由此可见 26×26=676 23×23 个位=3×3=9 十位=3×（2×2）=12，写 2 进 1 百位=2×2+进 1=5 所以 23×23=529 46×46 个位=6×6= 36，写6进3 十位=6×（4×2）+进 3= 5 1，写 1 进 5 百位=4×4+进 5= 21，写 1 进 2 工程常用计算公式 平整场地: 建筑物场地厚度在±30cm以内的挖、填、运、找平. 1、平整场地计算规则 （1）清单规则：按设计图示尺寸以建筑物首层面积计算。 （2）定额规则：按设计图示尺寸以建筑物首层面积计算。 2、平整场地计算方法 （1）清单规则的平整场地面积：清单规则的平整场地面积＝首层建筑面积（2）定额规则的平整场地面积：定额规则的平整场地面积＝首层建筑面积 3、注意事项 （1）、有的地区定额规则的平整场地面积：按外墙外皮线外放2米计算。计算时按外墙外边线外放2米的图形分块计算，然后与底层建筑面积合并计算；或者按“外放2米的中心线×2=外放2米面积”与底层建筑面积合并计算。这样的话计算时会出现如下难点： ①、划分块比较麻烦，弧线部分不好处理，容易出现误差。 ②、2米的中心线计算起来较麻烦，不好计算。 ③、外放2米后可能出现重叠部分，到底应该扣除多少不好计算。 （2）、清单环境下投标人报价时候可能需要根据现场的实际情况计算平整场地的工程量，每边外放的长度不一样。 大开挖土方 1、开挖土方计算规则 （1）、清单规则：挖基础土方按设计图示尺寸以基础垫层底面积乘挖土深度计算。 （2）、定额规则：人工或机械挖土方的体积应按槽底面积乘以挖土深度计算。槽底面积应以槽底的长乘以槽底的宽，槽底长和宽是指混凝土垫层外边线加工作面，如有排水沟者应算至排水沟外边线。排水沟的体积应纳入总土方量内。当需要放坡时，应将放坡的土方量合并于总土方量中。 2、开挖土方计算方法 （1）、清单规则： ①、计算挖土方底面积： 法一、利用底层的建筑面积+外墙外皮到垫层外皮的面积。外墙外边线到垫层外边线的面积计算（按外墙外边线外放图形分块计算或者按“外放图形的中心线×外放长度”计算。） 方法二、分块计算垫层外边线的面积（同分块计算建筑面积）。 ②、计算挖土方的体积：土方体积＝挖土方的底面积*挖土深度。 （2）、定额规则： ①、利用棱台体积公式计算挖土方的上下底面积。 V=1/6×H×(S上+ 4×S中+ S下)计算土方体积（其中，S上为上底面积，S中为中截面面积，S下为下底面面积）。如下图 S下＝底层的建筑面积+外墙外皮到挖土底边线的面积（包括工作面、排水沟、放坡等）。 用同样的方法计算S中和S下 3、挖土方计算的难点 长方形的周长=（长+ 宽）×2 正方形的周长=边长×4 长方形的面积=长×宽 正方形的面积=边长×边长 三角形的面积=底×高÷2 平行四边形的面积=底×高 梯形的面积=（上底+ 下底）×高÷2 直径=半径×2 半径=直径÷2 圆的周长=圆周率×直径 圆的周长=圆周率×半径×2 圆的面积=圆周率×半径×半径 长方体的表面积= （长×宽长×高＋宽×高）×2 长方体的体积 =长×宽×高 正方体的表面积=棱长×棱长×6 正方体的体积=棱长×棱长×棱长 圆柱的侧面积=底面圆的周长×高 圆柱的表面积=上下底面面积侧面积 圆柱的体积=底面积×高 圆锥的体积=底面积×高÷3 长方体（正方体、圆柱体）的体积=底面积×高 平面图形 名称符号周长C和面积S 正方形 a—边长 C＝4a S＝a2 长方形 a和b－边长 C＝2(a b) S＝ab 三角形 a,b,c－三边长 h－a边上的高 s－周长的一半 A,B,C－内角 其中s＝(a b c)/2 S＝ah/2 ＝ab/2·sinC ＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 ＝a2sinBsinC/(2sinA) 四边形 d,D－对角线长 α－对角线夹角 S＝dD/2·sinα平行四边形 a,b－边长 h－a边的高 α－两边夹角 S＝ah ＝absinα 菱形 a－边长 α－夹角 D－长对角线长 d－短对角线长 S＝Dd/2 ＝a2sinα 梯形 a和b－上、下底长 h－高 m－中位线长 S＝(a b)h/2 ＝mh 圆 r－半径 d－直径 C＝πd＝2πr S＝πr2 ＝πd2/4 扇形 r—扇形半径 a—圆心角度数 C＝2r＋2πr×(a/360) S＝πr2×(a/360) 弓形 l－弧长 b－弦长 h－矢高 r－半径 α－圆心角的度数 S＝r2/2·(πα/180-sinα) ＝r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2 小学一至四年级数学公式及定义(人教版)常用数量关系及计算公式 1.每份数×份数=总数总数÷每份数=份数总数÷份数=每份数 2. 1倍数×倍数=几倍数几倍数÷1倍数=倍数几倍数÷倍数=1倍数 3.速度×时间=路程路程÷速度=时间路程÷时间=速度 4、单价×数量=总价总价÷单价=数量总价÷数量=单价 5、工作效率×工作时间=工作总量 工作总量÷工作效率=工作时间工作总量÷工作时间=工作效率 6、加数+加数=和和一一个加数=另一个加数 7、被减数-减数=差被减数一差=减数差+诚数=被减数 8、因数×因数=积积÷一个因数=另一个因数 9、被除数÷除数=商被除数÷商=除数商×除数=被除数 10、单产量×面积=总产量总产量÷面积=单产量总产量÷单产量=面积图形计算公式: 1、正方形周长=边长×4 字母公式:C=4a 面积=边长×边长 S=a×a 2.长方形周长=（长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽 S=a×b 三角形面积=底×高÷2 S=ah÷2 三角形高=面积×2÷底 h=S×2÷a 三角形底=面积×2÷高 a=S×2÷h 3.平行四边形面积=底×高 S=ah 4.梯形面积=（上底+下底)×高÷2 S=(a+b)×h÷2 单位换算: 长度单位： 一公里=1千米=1000米 1分米=10厘米 1米=10分米 1厘米=10毫米 面积单位: 1平方千米=100公顷 1公顷=100公亩 1公亩=100平方米 1平方千米=10000方米 1公顷=1000平方米 1平方米=100平方分米 1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米 重量单位: 1吨=1000千克 1千克=1000克 管径计算公式 LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】 流体在一定时间内通过某一横断面的容积或重量称为流量。用容积表示流量单位是L/s或 （`m^3`/h）；用重量表示流量单位是kg/s或t/h。 流体在管道内流动时，在一定时间内所流过的距离为流速，流速一般指流体的平均流速，单位为 m/s。 流量与管道断面及流速成正比，三者之间关系： `Q=(∏D^2)/4·v·3600`(`m^3`/h) 式中Q—流量（`m^3`/h或t/h）； D—管道内径（m）； V—流体平均速度（m/s）。 根据上式，当流速一定时，其流量与管径的平方成正比，在施工中遇到管径替代时，应进行计算后方可代用。例如用二根DN50的管代替一根DN100的管是不允许的，从公式得知DN100的管道流量是DN50管道流量的4倍，因此必须用4根DN50的管才能代用DN100的管。 给水管道经济流速 影响给水管道经济流速的因素很多，精确计算非常复杂。 对于单独的压力输水管道，经济管径公式： D=（fQ^3)^[1/(a+m)] 式中：f——经济因素，与电费、管道造价、投资偿还期、管道水头损失计算公式等多项因素有关的系数；Q——管道输水流量；a——管道造价公式中的指数；m——管道水头损失计算公式中的指数。 为简化计算，取f=1，a=，m=，则经济管径公式可简化为： D=Q^ 例：管道流量 22 L/S，求经济管径为多少？ 解：Q=22 L/S=0.022m^3/s 经济管径 D=Q^=^=0.201m，所以经济管径可取200mm。 水头损失 没有“压力与流速的计算公式管道的水力计算包括长管水力计算和短管水力计算。区别是后者在计算时忽略了局部水头损失，只考虑沿程水头损失。（水头损失可以理解为固体相对运动的摩擦力）以常用的长管自由出流为例，则计算公式为 H=(v^2*L)/(C^2*R), 其中H为水头，可以由压力换算， L是管的长度， v是管道出流的流速， R是水力半径R=管道断面面积/内壁周长=r/2， C是谢才系数C=R^(1/6)/n， 给水管径选择 1、支管流速选择范围0..8～1.2m/s。 内径计算的,16mm也就相当于3分管,20mm差不多相当于4分的镀锌管径 一般工程上计算时，水管路，压力常见为，水在水管中流速在1--3米/秒，常取1.5米/秒。 流量=管截面积X流速=管径^2X流速(立方米/小时)^2：平方。管径单位：mm 管径=sqrt流量/流速) sqrt：开平方 小学数学常用公式大全（数量关系计算公式） 1、单价×数量＝总价 2、单产量×数量＝总产量 3、速度×时间＝路程 4、工效×时间＝工作总量 5、加数+加数＝和一个加数＝和＋另一个加数 被减数－减数＝差减数＝被减数－差被减数＝减数＋差 因数×因数＝积一个因数＝积÷另一个因数 被除数÷除数＝商除数＝被除数÷商被除数＝商×除数 有余数的除法：被除数＝商×除数+余数 一个数连续用两个数除，可以先把后两个数相乘，再用它们的积去除这个数，结果不变。例：90÷5÷6＝90÷（5×6） 6、1公里＝1千米 1千米＝1000米 1米＝10分米 1分米＝10厘米 1厘米＝10毫米 1平方米＝100平方分米 1平方分米＝100平方厘米 1平方厘米＝100平方毫米 1立方米＝1000立方分米 1立方分米＝1000立方厘米 1立方厘米＝1000立方毫米 1吨＝1000千克 1千克= 1000克= 1公斤= 1市斤 1公顷＝10000平方米。 1亩＝平方米。 1升＝1立方分米＝1000毫升 1毫升＝1立方厘米 7、什么叫比：两个数相除就叫做两个数的比。如：2÷5或3:6或1/3 比的前项和后项同时乘以或除以一个相同的数（0除外），比值不变。 8、什么叫比例：表示两个比相等的式子叫做比例。如3:6＝9:18 9、比例的基本性质：在比例里，两外项之积等于两内项之积。 10、解比例：求比例中的未知项，叫做解比例。如3:χ＝9:18 11、正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着化，如果这两种量中相对应的的比值（也就是商k）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关系。如：y/x=k( k一定)或kx=y 12、反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系就叫做反比例关系。如：x×y = k( k一定)或k / x = y 百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。百分数也叫做百分率或百分比。 工程造价常用计算公式 汇总 集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY- 工程造价常用计算公式汇总！ 1、钢管重量（公斤）=0.00617×直径×直径×长度 2、方钢重量（公斤）=0.00785×边宽×边宽×长度 3、六角钢重量（公斤）=0.0068×对边宽×对边宽×长度 4、八角钢重量（公斤）=0.0065×对边宽×对边宽×长度 5、螺纹钢重量（公斤）=0.00617×计算直径×计算直径×长度 6、角钢重量（公斤）=0.00785×（边宽+边宽-边厚）×边厚×长度 7、扁钢重量（公斤）=0.00785×厚度×边宽×长度 8、钢管重量（公斤）=0.02466×壁厚×（外径-壁厚）×长度 9、钢板重量（公斤）=7.85×厚度×面积 10、园紫铜棒重量（公斤）=0.00698×直径×直径×长度 11、园黄铜棒重量（公斤）=0.00668×直径×直径×长度 12、园铝棒重量（公斤）=0.0022×直径×直径×长度 13、方紫铜棒重量（公斤）=0.0089×边宽×边宽×长度 14、方黄铜棒重量（公斤）=0.0085×边宽×边宽×长度 15、方铝棒重量（公斤）=0.0028×边宽1×边宽×长度 16、六角紫铜棒重量（公斤）=0.0077×对边宽×对边宽×长度 17、六角黄铜棒重量（公斤）=0.00736×边宽×对边宽×长度 18、六角铝棒重量（公斤）=0.00242×对边宽×对边宽×长度 19、紫铜板重量（公斤）=0.0089×厚×宽×长度 20、黄铜板重量（公斤）=0.0085×厚×宽×长度 21、铝板重量（公斤）=0.00171×厚×宽×长度 22、园紫铜管重量（公斤）=0.028×壁厚×（外径-壁厚）×长度 23、园黄铜管重量（公斤）=0.0267×壁厚×（外径-壁厚）×长度 24、园铝管重量（公斤）=0.00879×壁厚×（外径-壁厚）×长度 25、园钢重量（公斤）=0.00617×直径×直径×长度 注：公式中长度单位为米，面积单位为平方米，其余单位均为毫米 27、长方形的周长=（长+宽）×2 28、正方形的周长=边长×4 29、长方形的面积=长×宽 30、正方形的面积=边长×边长 31、三角形的面积=底×高÷2 32、平行四边形的面积=底×高 33、梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 34、直径=半径×2 半径=直径÷2 35、圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2 36、圆的面积=圆周率×半径×半径 37、长方体的表面积= （长×宽+长×高＋宽×高）×2 38、长方体的体积 =长×宽×高 39、正方体的表面积=棱长×棱长×6 40、正方体的体积=棱长×棱长×棱长 41、圆柱的侧面积=底面圆的周长×高 42、圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积 输水管道水力计算公式 1．常用的水力计算公式： 供水工程中的管道水力计算一般均按照均匀流计算，目前工程设计中普遍采用的管道水力计算公式有: 达西（DARCY ）公式： g d v l h f 22 **=λ （1） 谢才（chezy ）公式： i R C v **= （2） 海澄－威廉（HAZEN-WILIAMS ）公式： 87 .4852.1852.167.10d C l Q h h f ***= （3） 式中 h f -----------沿程损失，m λ----------沿程阻力系数 l -----------管段长度，m d-----------管道计算内径，m g-----------重力加速度，m/s 2 C-----------谢才系数 i------------水力坡降； R-----------水力半径，m Q-----------管道流量m/s 2 v------------流速 m/s C n -----------海澄―威廉系数 其中达西公式、谢才公式对于管道和明渠的水力计算都适用。海澄－威廉公式影响参数较小，作为一个传统公式，在国内外被广泛用于管网系统计算。三种水力计算公式中 ，与管道内壁粗糙程度相关的系数均是影响计算结果的重要参数。 2．规范中水力计算公式的规定 3．查阅室外给水设计规范及其他各管道设计规范，针对不同的设计条件，推荐 采用的水力计算公式也有所差异，见表1： 表1 各规范推荐采用的水力计算公式 3．1达西公式 达西公式是基于圆管层流运动推导出来的均匀流沿程损失普遍计算公式，该式适用于任何截面形状的光滑或粗糙管内的层流和紊流。公式中沿程阻力系数λ值的确定是水头损失计算的关键，一般采用经验公式计算得出。舍维列夫公式，布拉修斯公式及柯列勃洛克（C.F.COLEBROOK ）公式均是针对工业管道条件计算λ值的著名经验公式。 舍维列夫公式的导出条件是水温10℃，运动粘度1.3*10-6 m 2/s,适用于旧钢管和旧铸铁管,紊流过渡区及粗糙度区.该公式在国内运用较广. 柯列勃洛可公式)Re 51.27.3lg(21 λ λ+?*-=d (Δ为当量粗糙度,Re 为雷诺数)是根据大量工业管道试验资料提出的工业管道过渡区λ值计算公式，该式实际上是泥古拉兹光滑区公式和粗糙区公式的结合，适用范围为4000常用地一些矢量运算公式
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