2017年普通高等学校招生全国统一考试（Ⅱ卷）逐题解析
理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、【题目1】(2017·新课标全国Ⅱ卷理1)1.31i
i
+=+（） A ．12i +B ．12i -C ．2i +D ．2i -
【命题意图】本题主要考查复数的四则运算及共轭复数的概念，意在考查学生的运算能力.
【解析】解法一：常规解法 解法二：对十法
31i
i ++可以拆成两组分式数3111，运算的结果应为a bi +形式，223111211a ?+?==+（分子十字相乘，
分母为底层数字平方和），22
1131
111
b ?-?==-+（分子对位之积差，分母为底层数字平方和）. 解法三：分离常数法 解法四：参数法
()()()()3331311a b i
a bi i a bi i i a
b a b i a b i -=?+=+?+=++?+=-++??+=+?，解得21a b =??=-?
故321i i i
+=-+
【知识拓展】复数属于新课标必考点，考复数的四则运算的年份较多，复数考点有五：1.复数的
几何意义（2016年）；2.复数的四则运算；3.复数的相等的充要条件；4.复数的分类及共轭复数； 5.复数的模
【题目2】(2017·新课标全国Ⅱ卷理2)2.设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若
{}1A B =I ，则B =（）
A ．{}1,3-
B ．{}1,0
C ．{}1,3
D ．{}1,5
【命题意图】本题主要考查一元二次方程的解法及集合的基本运算，以考查考生的运算能力为目 的.
【解析】解法一：常规解法 ∵{}1A B =I
∴1
是方程240x x m -+=的一个根，即3m =，∴{}2430B x x x =-+=
故{}1,3B =
解法二：韦达定理法 ∵{}1A B =I
∴1
是方程240x x m -+=的一个根，∴利用伟大定理可知：114x +=，解得：
13x =，故{}1,3B =
解法三：排除法
∵集合B 中的元素必是方程方程240x x m -+=的根，∴124x x +=，从四个选项A ﹑B ﹑C ﹑D 看只有C 选项满足题意.
【知识拓展】集合属于新课标必考点，属于函数范畴，常与解方程﹑求定义域和值域﹑数集意义
相结合，集合考点有二：1.集合间的基本关系；2.集合的基本运算.
【题目3】(2017·新课标全国Ⅱ卷理3)3.我国古代数学名着《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（） A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏
【命题意图】本题主要考查等比数列通向公式n a 及其前n 项和n S ，以考查考生的运算能力为主目
的.
【解析】解法一：常规解法
一座7层塔共挂了381盏灯，即7381S =；相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，即
2q =，塔的顶层为1a ；由等比前n 项和()()1111n n a q S q q
-=
≠-可知：()171238112
n a S -=
=-，解得
13a =.
解法二：边界效应
等比数列为递增数列，则有1n n a S +≈，∴87381a S ≈=，解得1 2.9a =，∴13a =.
【知识拓展】数列属于高考必考考点，一般占10分或12分，即两道小题或一道大题，其中必
有一道小题属于基础题，一道中档偏上题或压轴题，大题在17题出现，属于基础题型，高考所
占分值较大，在高中教学中列为重点讲解内容，也是大部分学生的难点，主要是平时教学题型难
度严重偏离高考考试难度，以及研究题型偏离命题方向，希望能引起注意；考试主线非常明晰，
1.等差数列通向公式n a 及其前n 项和n S ；
2.等比数列通向公式n a 及其前n 项和n S . 【题目4】(2017·新课标全国Ⅱ卷理4)4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，学科&网粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（） A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π
【命题意图】本题主要考查简单几何体三视图及体积，以考查考生的空间想象能力为主目的.
【解析】解法一：常规解法
从三视图可知：一个圆柱被一截面截取一部分而剩余的部分，具体图像如下：
从上图可以清晰的可出剩余几何体形状，该几何体的体积分成两部分，部分图如下：
下
2
是
【知识拓展】三视图属于高考必考点，几乎年年考三视图，题型一般有五方面，1.求体积；2.求面
积（表面积，侧面积等）；3.求棱长；4.视图本质考查（推断视图，展开图，空间直角坐标系视
图）；5.视图与球体综合联立，其中前三个方面考的较多.
【题目5】(2017·新课标全国Ⅱ卷理5)5.设x，y满足约束条件
2330 2330
30
x y
x y
y
+-≤
?
?
-+≥
?
?+≥
?
，则
2
z x y
=+的最小值是（）
A．15
-B．9-C．1D．9
【命题意图】本题主要考查线性规划问题，以考查考生数形结合的数学思想方法运用为
目的，
属于过渡中档题.
【解析】解法一：常规解法
根据约束条件2330
233030x y x y y +-≤??-+≥??+≥?
画出可行域（图中阴影部分）,作直线:20l x y +=，平移直线l ，
将直线平移到点A 处Z 最小，点A 的坐标为()6,3--，将点A 的坐标代到目标函数2Z x y =+， 可得15Z =-，即min 15Z =-.
()6,3-，点C 的坐标为()0,1，所求值分 别为15-﹑9﹑1，故min 15Z =-，max 9Z =.
解法三：隔板法
首先看约束条件方程的斜率
约束条件方程的斜率分别为23
-﹑23
﹑0；
其次排序
按照坐标系位置排序23
-﹑0﹑23
；
再次看目标函数的斜率和y 前的系数
看目标函数的斜率和y 前的系数分别为2-﹑1； 最后画初始位置，跳格，找到最小值点
目标函数的斜率在2,03
??-
???
之间，即为初始位置，y 前的系数为正，则按逆时针旋转，第一格为
最大值点，即22,33??- ???
，第二个格为最小值点，即20,3??
???
，只需解斜率为0和23
这两条线的交
3
点
即可，其实就是点A，点A的坐标为()
6,3
--，将点A的坐标代到目标函数2
Z x y
=+，
可得15
Z=-，即min15
Z=-.
【知识拓展】线性规划属于不等式范围，是高考必考考点，常考查数学的数形结合能力，一般
变化只在两个方向变化，1.约束条件的变化；2.目标函数的变化；约束条件变化从封闭程度方面
变化，目标函数则从方程的几何意义上变化，但此题型属于高考热点题型（已知封闭的约束条
件，求已知的二元一次方程目标函数），此题型属于过渡中档题，只需多积累各题型解决的方法
即可.
【题目6】(2017·新课标全国Ⅱ卷理6)6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少
完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）
A．12种B．18种C．24种D．36种
【命题意图】本题主要考查基本计数原理的应用，以考查考生的逻辑分析能力和运算求解能力
为主.
【解析】解法一：分组分配之分人
首先分组
将三人分成两组，一组为三个人，有3
36
A=种可能，另外一组从三人在选调一人，有133
C=种可
能；
其次排序
两组前后在排序，在对位找工作即可，有2
22
A=种可能；共计有36种可能. 解法二：分组分配之分工作
工作分成三份有2
46
C=种可能，在把三组工作分给3个人有336
A=可能，共计有36种可能. 解法三：分组分配之人与工作互动
先让先个人个完成一项工作，有3
424
A=种可能，剩下的一项工作在有3人中一人完成有
1 33
C=
种可能，但由两项工作人数相同，所以要除以2
22
A=，共计有36种可能. 解法四：占位法
其中必有一个完成两项工作，选出此人，让其先占位，即有12
3418
C C?=中可能；剩下的两项工作
由剩下的两个人去完成，即有2
22
A=种可能，按分步计数原理求得结果为36种可能. 解法五：隔板法和环桌排列
首先让其环桌排列，在插两个隔板，有2
46
C=种可能，在分配给3人工作有336
A=种可能，按分
步计数原理求得结果为36种可能.
【知识拓展】计数原理属于必考考点，常考题型有1.排列组合；2.二项式定理，几乎二者是隔一
年或隔两年交互出题，排列组合这种排序问题常考，已经属于高考常态，利用二项式定理求某一
项的系数或求奇偶项和也已经属于高考常态，尤其是利用二项式定理求某一项的系
数更为突出.
【题目7】(2017·新课标全国Ⅱ卷理7)7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询
问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、
丙的成绩，给乙看丙的成绩，学科&网给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不
知道我的成绩．根据以上信息，则（）
A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩
【命题意图】本题考查推理与证明的有关知识，考查考生推理论证能力.
【解析】解法一：假设法
甲看乙﹑丙成绩，甲不知道自己的成绩，那么乙﹑丙成绩中有一人为优，一人为良；乙已经知道
自己的成绩要么良，要么优，丙同样也是，当乙看到丙的成绩，一定知道自己的成绩，但是丙一
定不知道自己的成绩；而丁同学也知道自己的成绩要么良，要么优，只有看到甲的成绩，才能判
断自己的成绩，丁同学也一定知道自己的成绩，故只有乙﹑丁两位同学知道自己的成绩. 解法二：选项代入法
当我们不知道如何下手,则从选项入手，一一假定成立，来验证我们的假设是否成立，略【知识拓展】推理与证明近两年属于热点考题，2016年的第15题（理）﹑第16题（文），今年
的理（7）﹑文（9），属于创新题，突出新颖，但题的难度不大，需要考生冷静的思考，抓住主
要知识要点，从而能够快速做题，属于中档题.
【题目8】(2017·新课标全国Ⅱ卷理8)8.执行右面的程序框图，如果输入的1
a=-，
则输出的S=（）
A．2B．3C．4D．5
【命题意图】本题考查程序框图的知识，意在考查考生对循环结构的理解与应用.
【解析】解法一：常规解法
∵00S =，01K =，01a =-，S S a K =+?，a a =-，∴执行第一次循环：11S =-﹑11a =﹑ 12K =；
执行第二次循环：21S =﹑21a =-﹑23K =；执行第三次循环：32
S =-﹑
31a =﹑
34K =；执行第四次循环：42S =﹑41a =-﹑45K =；执行第五次循
环：53
S =-﹑51a =﹑
止循环，
56K =；执行第五次循环：63S =﹑61a =﹑67K =；当676K =>时，终
输出63S =， 故输出值为3. 解法二：数列法
()11n
n n S S n -=+-?，1n K n =+，裂项相消可得()12
1n
i
n i S S i =-=-?∑；执行第一次循环：11S =-﹑
11a =﹑12K =，当6n K >时，6n =即可终止，61234564S +=-+-+=，即63S =，故输出
值为3.
【题目9】(2017·新课标全国Ⅱ卷理9)9.若双曲线C:22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的一条渐
近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（） A ．2B 3C 2D 23
【命题意图】主要考查双曲线的性质及直线与圆的位置关系，意在考查考生的转化与化归思想.
【解析】解法一：常规解法
根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为b y x a
=±，根据直线与圆的位置关系可求得圆
心到
32
21b a
b a ???+ ???2
231b a
b a ?
=??+ ???
，解得2e =.
解法二：待定系数法
设渐进线的方程为y kx =，根据直线与圆的位置关系可求得圆心到渐进线的距离为3，
∴圆心到渐近线的距离为
2
21k k +，即
2
231k k =+，解得23k =；由于渐近线的斜率与离心率
关系为221k e =-，解得2e =. 解法三：几何法
从题意可知：112OA OO O A ===，1OO A ?为 等边三角形，所以一条渐近线的倾斜较为3
π，
由于tan k θ=，可得3k =，
渐近线的斜率与离心率关系为221k e =-，解得2e =. 解法四：坐标系转化法
根据圆的直角坐标系方程：()2224x y -+=，可得极坐标方程4cos ρθ=，由4cos 2θ=可得极 角3
πθ=，从上图可知：渐近线的倾斜角与圆的极坐标方程中的极角相等，所以3k =
，
渐近线的斜率与离心率关系为221k e =-，解得2e =. 解法五：参数法之直线参数方程
如上图，根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为b y x a
=±，可以表示点A 的坐标为
()2cos ,2sin θθ，∵cos a c
θ=，sin b c θ=∴点A 的坐标为22,a b c c ??
???
，代入圆方程中， 解得2e =.
【知识拓展】双曲线已成为高考必考的圆锥曲线内容（理科），一般与三角形﹑直线与圆﹑向量
相结合，属于中档偏上的题，但随着二卷回归基础的趋势，圆锥曲线小题虽然处于中档题偏上
位置，但难度逐年下降.
【题目10】(2017·新课标全国Ⅱ卷理10)10.已知直三棱柱111C C AB -A B 中，
C 120∠AB =o ，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（）
A ．
32B ．155C ．105
D ．33 【命题意图】本题考查立体几何中的异面直线角度的求解，意在考查考生的空间想象能力
【解析】解法一：常规解法
在边1BB ﹑11B C ﹑11A B ﹑AB 上分别取中点
E ﹑
F ﹑
G ﹑
H ，并相互连接.
由三角形中位线定理和平行线平移功能，异面
直线1AB 和1BC 所成的夹角为FEG ∠或其补角，
通过几何关系求得2
2EF =
，52
FG =， 11
2
FH =
，利用余弦定理可求得异面直线
1AB 和1BC 所成的夹角余弦值为
105
.
解法二：补形
通过补形之后可知：1BC D ∠或其补角为异面
直线1AB 和1BC 所成的角，通过几何关系可知：
12
BC =，15
C D =
，3BD =，由勾股定
理
或余弦定理可得异面直线1AB 和1BC 所成的
.
解法三：建系
?
??
?
解法四：投影平移-三垂线定理 【知识拓展】立体几何位置关系中角度问题一直是理科的热点问题，也是高频考点，证明的方
法大体有两个方向：1.几何法；2.建系；几何法步骤简洁，但不易想到；建系容易想到，但计算
量偏大，平时复习应注意各方法优势和不足，做到胸有成竹，方能事半功倍. 【题目11】(2017·新课标全国Ⅱ卷理11)11.若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（） A.1-B.32e -- C.35e -D.1
【命题意图】本题主要考查导数的极值概念及其极大值与极小值判定条件，意在考查考
生的运 算求解能力.
【解析】解法一：常规解法
∵()()211x f x x ax e -=+-∴导函数()()21
21x f x x a x a e -'??=+++-??
∵()20f '-=∴1a =- ∴导函数()()212x f x x x e -'=+- 令()0f x '=，∴12x =-，11x =
当x 变化时，()f x ，()f x '随变化情况如下表：
从上表可知：极小值为()11f =-.
【知识拓展】导数是高考重点考查的对象，极值点的问题是非常重要考点之一，大题﹑小题都
会考查，属于压轴题，但难度在逐年降低.
【题目12】(2017·新课标全国Ⅱ卷理12)12.已知ABC ?是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC
内一点，则()PA PB PC ?+u u u r u u u r u u u r
的最小值是（）
A.2-
B.3
2
- C.43
- D.1-
【命题意图】本题主要考查等边三角形的性质及平面向量的线性运算﹑数量积，意在考查考生
转化与化归思想和运算求解能力 【解析】解法一：建系法
.
解法二：均值法
∵2PC PB PO +=u u u r u u u r u u u r ，∴()2PA PC PB PO PA ?+=?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
由上图可知：OA PA PO =-u u u r u u u r u u u r ；两边平方可得()
()
2
2
32PA PO
PA PO =+-?u u u r
u u u r
u u u r u u u r
∵()()
22
2PA PO
PA PO +≥-?u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴3
22
PO PA ?≥-u u u r u u u r
∴()
322PA PC PB PO PA ?+=?≥-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，∴最小值为32
-
解法三：配凑法
∵2PC PB PO +=u u u r u u u r u u u r
∴()(
)(
)(
)()
22
22
322
2
2
PO PA PO PA
PO PA AO
PA PC PB PO PA +--+-?+=?==≥-
u u u r u u u r u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
∴最小值为32
-
【知识拓展】三角形与向量结合的题属于高考经典题，一般在压轴题出现，解决此类问题的通
法就是建系法，比较直接，易想，但有时计算量偏大. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【题目13】(2017·新课标全国Ⅱ卷理13)13.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D X =． 【命题意图】本题考查二项分布概念及其数字特征，意在考查学生的运算求解能力. 【解析】解法一：一般解法
随机变量()100,0.02∽B X ，()()1 1.96D X np p =-=
【知识拓展】离散型随机变量是高考考点之一，随机变量分布是热点话题，正态分布和二项分
布都以小题出现，且在基础题位置，难度较低，在平时复习时不宜研究难题.
【题目14】(2017·新课标全国Ⅱ卷理14)14.函数(
)23
sin 4
f x x x =+-（0,2x π??∈????
）
的最大值是．
【命题意图】本题考查三角函数同角基本关系及函数性质—最值，意在考查考生转化与化归思
想和运算求解能力 【解析】解法一：换元法 ∵(
)23sin 0,42f x x x x π??
??=-∈ ???????
，22sin cos 1x x +=
∴(
)21
cos 4
f x x x =-+
设cos t x =，[]0,1t ∈，∴(
)214
f x t =-+
函数对称轴为[]0,1t =
，∴()max 1f x = 【知识拓展】此类问题属于热点题型，2016年二卷（文11）﹑2010年和2014广西卷均出现此
题型，解决方法相同，但二卷近几年不会再出了.
【题目15】(2017·新课标全国Ⅱ卷理15)15.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，
410S =，则11
n
k k
S ==∑
． 【命题意图】本题主要考查等差数列通向公式n a 及其前n 项和以及叠加法求和， 【解析】解法一：常规解法 ∵410S =，2314a a a a +=+，∴235a a += ∵33a =，∴22a =∴n a n =
∵()12
n n n a a
S +=∴()2
1n S n n =
+∴()1211211n S n n n n ??==- ?++??
∴1
1
122111n
i n n S n n =?
?=-=
?++??∑ ∴1
12,1
n
i n n n N S n *==∈+∑
【知识拓展】本题不难，属于考查基础概念，但有一部分考生会丢掉n N *∈这个条件，此处属于 易错点.
【题目16】(2017·新课标全国Ⅱ卷理16)16.已知F 是抛物线C:28y x =的焦点，M 是
C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为F N 的中点，则F N =．
【命题意图】本题主要考查抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系，意在考查考生的转化与
化归思想运算求解的能力 【解析】解法一：几何法
【知识拓展】本题从抛物线定义入手，定比分点求坐标，这是基础概念题，课本习题常有练习.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。
【题目17】(2017·新课标全国Ⅱ卷理17)17.（12分）
ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2
sin()8sin 2
B
A C +=． (1)求cos B
(2)若6a c +=,ABC ?面积为2,求.b
【命题意图】本题考查三角恒等变形，解三角形．
【试题分析】在第（Ⅰ）中，利用三角形内角和定理可知A C B π+=-，将
2
sin 8)sin(2
B C A =+转化为角B 的方程，思维方向有两个：①利用降幂公式化简2sin 2B ，
结合22sin cos 1B B +=求出cos B ；②利用二倍角公式，化简2sin 8sin 2B B =，两边约去2
sin B
，
求得2tan B
，进而求得B cos .在第（Ⅱ）中，利用（Ⅰ）中结论，利用勾股定理和面积
公式求出a c ac +、，从而求出b ． （Ⅰ） 【基本解法1】
由题设及2
sin 8sin ,2
B
B C B A ==++π，故 上式两边平方，整理得217cos B-32cosB+15=0 解得15cosB=cosB 17
1（舍去），= 【基本解法2】
由题设及2sin 8sin ,2
B B
C B A ==++π，所以2sin 82cos 2sin 22B B B =，又02
sin ≠B
，所以4
12tan =B ，17152
tan 12tan 1cos 2
2
=+-=
B B
B （Ⅱ）由158cosB sin B 1717==得，故14
a sin 217ABC S c B ac ?==
又17
=22
ABC S ac ?=，则
由余弦定理及a 6c +=得 所以b=2
【知识拓展】解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac a c ++三者的关系，这样的题目小而活，备受老师和学生的欢迎．
【题目18】(2017·新课标全国Ⅱ卷理18)18.（12分）
淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比学|科网，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率直方图如下：
（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到
0.01）
【命题意图】概率统计,独立检验等知识的综合运用
【基本解法】
（Ⅰ）旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为0.012×5+0.014×5+0.024×5+0.034×5+0.040×5=0.62，由于两种养殖方法的箱产量相互独立，
于是P（A）=0.62×0.66=0.4092
（Ⅱ）旧养殖法的箱产量低于50kg的有100×0.62=62箱，不低于50kg的有38箱，新养殖法的箱产量不低于50kg的有100×0.66=66箱，低于50kg的有34箱，得到2×2列联表如下：
所以
2 6.635K ∴>，所以有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关。
（III ）根据箱产量的频率分布直方图，新养殖法的箱产量不低于50kg 的频率为0.038×5+0.046×5+0.010×5+0.008×5=0.66>0.50，不低于55kg 的频率为0.046×5+0.010×5+0.008×5=0.32<0.50，于是新养殖法箱产量的中位数介于50kg 到55kg 之间，设新养殖法箱产量的中位数为x ，则有
（55-x ）×0.068+0.046×5+0.010×5+0.008×5=0.50 解得x=52.3529
因此，新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35。
【知识拓展】首先，先表示事件，再写出其发生的概率，将未知事件用已知事件表示，依据事件间的关系，求出未知事件的概率.统计的基本原理是用样本估计总体.独立性检验，先填2*2列联表，再计算
,与参考值比较，作出结论；中位数的计算
要根据中位数以左其频率和为50%.求面积和计算频率. 【题目19】(2017·新课标全国Ⅱ卷理19)19.（12分）
如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，
o 1
,90,2
AB BC AD BAD ABC ==
∠=∠=E 是PD 的中点. （1）证明：直线//CE 平面PAB
（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成锐角为o 45，求二面角M -AB -D 的余弦值
【命题意图】线面平行的判定，线面垂直的判定，面面垂直的性质，线面角、二面角的求解
【标准答案】（1）证明略；（2）105
【基本解法1】
（1）证明：取PA 中点为F ，连接EF 、AF
因为90BAD ABC ∠=∠=?，12BC AD =所以BC 1
2
AD 因为E 是PD 的中点，所以EF
1
2
AD ，所以EF BC 所以四边形EFBC 为平行四边形，所以//EC BF 因为BF ?平面PAB ，EC ?平面PAB
所以直线//CE 平面PAB
（2）取AD 中点为O ，连接OC OP 、
因为△PAD 为等边三角形，所以PO ⊥AD
因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =，PO ?平面PAD 所以PO ⊥平面ABCD
因为AO BC ，所以四边形OABC 为平行四边形，所以//AB OC 所以OC AD ⊥
以,,OC OD OP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图
设1BC =，则(0,0,3),(0,1,0),(1,1,0),(1,0,0)P A B C --，所以(1,0,3)PC =-u u u r
设(,,)M x y z ，则(,,3)PM x y z =-u u u u r ，(1,0,0)AB =u u u r
因为点M 在棱PC 上，所以(01)PM PC λλ=≤≤u u u u r u u u r
，即(,,3)(1,0,3)x y z λ-=-
所以(,0,33)M λλ-，所以(1,1,33)BM λλ=--u u u u r
平面ABCD 的法向量为(0,0,1)n =r
因为直线BM 与底面ABCD 所成角为45?，
所以222|||33|2
|sin 45||cos ,|2||||(1)1(33)1
BM n BM n BM n λλλ?-?=<>===-++-?u u u u r r
u u u u r r u u u u r r
解得2
12
λ=-，所以26(,1,)22BM =--u u u u r
设平面MAB 的法向量为(,,)m x y z =u r ，则0
26
022
AB m x BM m x y z ??==?
??=-
+-=??u u u r u r
u u u u r u r 令1z =，则6
(0,,1)2m =u r
所以22110
cos ,5||||6
()12
m n m n m n ?<>==?+u r r
u r r u r u u r
所以求二面角M AB D --的余弦值10
5
【基本解法2】
（1）证明：取AD 中点为O ，连接OC OE 、
因为90BAD ABC ∠=∠=?，12
BC AD =所以BC
1
2
AD ，即BC AO
所以四边形OABC 为平行四边形，所以//OC AB 因为AB ?平面PAB ，OC ?平面PAB
所以直线//OC 平面PAB
2017高考全国2卷理科数学试题及答案
2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的 1. =++i i 13（ ） A 、i 21+ B 、i 21- C 、i +2 D 、i -2 2、设集合} 04|{},4,2,1{2 =+-==m x x x B A ，若} 1{=B A I ，则= B （ ） A 、}3,1{- B 、}0,1{ C 、}3,1{ D 、}5,1{ 3、我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座７层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 （ ） A 、1盏 B 、3盏 C 、5盏 D 、9盏 4、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平
面将一圆柱截取一部分所得，则该几何体的体积为 （ ） A 、90π B 、63π C 、42π D 、36π 5、设y x ,满足约束条件?? ? ??≥+≥+-≤-+0303320 332y y x y x ，则y x z +=2的最小 值为 （ ） A 、15- B 、9- C 、1 D 、9 6、安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有 （ ） A 、12种 B 、18种 C 、24种 D 、36种 7、甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问 成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。
绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域 内。 2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 31i i +=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 2.设集合{}1,2,4A =，{} 2 40x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（ ） A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏
4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，学科&网粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（） A．90πB．63πC．42πD．36π 5.设x，y满足约束条件 2330 2330 30 x y x y y +-≤ ? ? -+≥ ? ?+≥ ? ，则2 z x y =+的最小值是（） A．15 -B．9-C．1D．9 6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（） A．12种B．18种C．24种D．36种7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，学科&网给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（） A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩 8.执行右面的程序框图，如果输入的1 a=-，则输出的S=（） A．2 B．3 C．4 D．5
2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(全国2卷) 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 31i i +=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 2.设集合{}1,2,4A =，{} 2 40x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（） A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π 5.设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤?? -+≥??+≥? ，则2z x y =+的最小值是（） A ．15- B ．9- C ．1 D ．9 6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种 7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（） A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩 8.执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 9.若双曲线C:22221x y a b -=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2 224x y -+=所 截得的弦长为2，则C 的离心率为（） A ．2 B D ． 3 10.已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1 AB 与1C B 所成角的余弦值为（）
范文范例指导学习 2016 年全国高考理科数学试题全国卷2 一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、已知 z=(m+3)+(m – 1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是 ( ) A． ( – 3,1)B． ( –1,3)C． (1,+∞ )D．( –∞, – 3) 2、已知集合 A={1,2,3} ， B={x|(x+1)(x–2)<0 ， x∈ Z} ，则 A∪B=() A． {1}B． {1,2}C． {0,1,2,3}D． { – 1,0,1,2,3} 3、已知向量 a=(1,m)，b=(3, – 2) ，且 ( a+b) ⊥ b，则 m=() A．– 8B．– 6C． 6D． 8 22 ax+y– 1=0 的距离为1，则 a=( ) 4、圆 x +y – 2x–8y+13=0 的圆心到直线 43 A．–3B．–4C． 3D． 2 5、如下左 1 图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( ) A．24B．18C．12D．9 6、上左 2 图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为() A．20πB．24πC．28πD．32π 7、若将函数 y=2sin2x π ()的图像向左平移12 个单位长度，则平移后图象的对称轴为 kπ πkπ πkπ πkπ πA． x=2–6 (k ∈ Z) B． x=2 + 6 (k ∈ Z)C．x= 2–12(k ∈ Z)D． x= 2 +12(k ∈ Z) 8、中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，上左 3 图是实现该算法的程序框图。执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的 a 为 2， 2， 5，则输出的 s=() A． 7B． 12C． 17D． 34 π3 9、若 cos(4–α )= 5，则 sin2 α= () 7117 A．25B．5C．–5D．–25 word 版本整理分享
2016年全国高考理科数学试题全国卷2 、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的已知z=(m+3)+(m - 1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是() A. - 8 6、上左2图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 A ? 20 n B ? 24 n C ? 28 n D ? 32 n n y=2sin2x的图像向左平移石个单位长度，则平移后图象的对称轴为 8、中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，上左3图是实现该算法的程序框图。执行该程序框图，若输入的 x=2 , n=2,依次输入的a为2, 2, 5,则输出的s=() A ? 7 B ?12 C ?17 D ?34 n 3 则sin2 9、若cos( 7-a )=：5, a =( ) 7_ 1 1 7 A ?25 B — C ? -一 D —- ? 5 5 25 1、 A . ( - 3,1) B ?( - 1,3) C .(1,+ g) D . ( - a, - 3) 已知集合A={1,2,3} ,B={x|(x+1)(x —2)<0 , x€ Z}，贝U AU B=() A. {1} ?{1,2} C ?{0,1,2,3} D ?{ - 1,0,123} 已知向量a=(1,m),b=(3, - 2)，且(a+b)丄b,贝U m=() 2 2 圆x +y 2x - 8y+13=0的圆心到直线ax+y - 1=0的距离为1，则a=() 如下左1图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 A . 24 .18 .12 __ ■ .................. . ■ 卜_____ _ _____ -III 7、若将函数 k n A ? x= n 2-Rk € Z) B k n n x=-^+6(k € Z)
2017全国二卷理科数学高考真题及答案
2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(全国2卷) 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.31i i +=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 2.设集合{}1,2,4A =，{}2 40 x x x m B =-+=．若{}1A B =I ，则B =（） A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗
输出S K=K+1 a =a S =S +a ?K 是否 输入a S =0,K =1结束 K ≤6开始实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π 5.设x ，y 满足约束条件 2330 233030x y x y y +-≤?? -+≥??+≥? ，则2z x y =+的最小值是（） A ．15- B ．9- C ．1 D ．9 6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种 7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看 后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（） A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁
WORD 整理版分享 2016 年普通高等学校招生全统一考试 文科数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24 题，共 150 分 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （ 1）已知集合A 1,2,3 ， B x x 29 ，则 A B （ A）2, 1,0,1,2,3（B）1,0 ,1,2（C）1,2,3（D）1,2（ 2）设复数z满足z i 3 i ，则 z （ A） 1 2i（ B）1 2i（C）3 2i（ D）3 2i （ 3）函数y Asin( x) 的部分图像如图所示，则 （ A）y2sin(2x)（B）y 2 sin(2 x) 63y 2 （ C）y2sin(2x)（D）y 2 sin(2x) 63 （ 4）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为 32 （A）12（B）（C）8（D）4 3- πOπ x 63 -2 （ 5）设F为抛物线C：y24x 的焦点，曲线y k (k0)与C交于点 P， PF x 轴，则 k x （A）1 （B）1（C） 3 （D）2 22 （6）圆 x 2 y 22 x 8 y 13 0 的圆心到直线 ax y10 的距离为，则 a 1 （A）3（ B）3 3（D）2 （C） 4 （ 7）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表 2 3 面积为 （A） 20π 4 （B） 24π 44（C） 28π （D） 32π
（ 8） 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现， 红灯持续时间为 40 秒．若 一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为 开始 （A ） 7 （B ） 5 （C ） 3 （D ） 3 输入 x,n 10 8 8 10 （ 9） 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法， 右图是实现该算法的程序框图 . 执行 该程序框图， 若输入的 x 2 ，n 2 , 依次输入的 a 为 2，2，5，则输出的 s k 0, s 0 （A ）7 （B ）12 （ C ）17 （D ）34 （ 10）下列函数中， 其定义域和值域分别与函数 y 10 lg x 的定义域和值域相同的是 输入 a （ A ） （ 11）函数 y x （ B ） y lg x （ C ） y 2 x （ D ） y 1 s s x a x k k 1 f x ) cos 2 x （ x ）的最大值为 6 c os 否 2 k n （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ） 7 是 （ 12）已知函数 f (x) (x R) 满足 f ( x) f (2 x) ，若函数 y x 2 2x 3 与 输出 s m y f (x) 图像的交点为 (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ), ,( x m , y m ) ，则 i 1 x i 结束 （A ） 0 （B ） m （ C ） 2m （ D ） 4m 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 (13) ～ (21) 题为必考题，每个试题都必须作答。第 (22) ～ (24) 题为 选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分。 （ 13）已知向量 a (m,4) ， b (3, 2)，且 ∥ ，则 m ． a b x y 1 0, （ 14）若 x, y 满足约束条件 x y 3 0, 则 z x 2 y 的最小值为 ． x 3 0, （ 15） △ ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b,c ，若 cosA 4 , cosC 5 , a 1，则 b ． 5 13 （ 16）有三张卡片，分别写有 1 和 2， 1 和 3， 2 和 3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片 后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说： “我与丙的卡片上相同的数字不 是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2017年普通高等学校招生全国统一考试（Ⅱ卷）逐题解析 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 二、【题目1】(2017·新课标全国Ⅱ卷理1)1.31i i +=+（） A ．12i +B ．12i -C ．2i +D ．2i - 【命题意图】本题主要考查复数的四则运算及共轭复数的概念，意在考查学生的运算能力. 【解析】解法一：常规解法 解法二：对十法 31i i ++可以拆成两组分式数3111，运算的结果应为a bi +形式，223111211a ?+?==+（分子十字相乘， 分母为底层数字平方和），22 1131 111 b ?-?==-+（分子对位之积差，分母为底层数字平方和）. 解法三：分离常数法 解法四：参数法 ()()()()3331311a b i a bi i a bi i i a b a b i a b i -=?+=+?+=++?+=-++??+=+?，解得21a b =??=-? 故321i i i +=-+ 【知识拓展】复数属于新课标必考点，考复数的四则运算的年份较多，复数考点有五：1.复数的 几何意义（2016年）；2.复数的四则运算；3.复数的相等的充要条件；4.复数的分类及共轭复数； 5.复数的模 【题目2】(2017·新课标全国Ⅱ卷理2)2.设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若
{}1A B =I ，则B =（） A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 【命题意图】本题主要考查一元二次方程的解法及集合的基本运算，以考查考生的运算能力为目 的. 【解析】解法一：常规解法 ∵{}1A B =I ∴1 是方程240x x m -+=的一个根，即3m =，∴{}2430B x x x =-+= 故{}1,3B = 解法二：韦达定理法 ∵{}1A B =I ∴1 是方程240x x m -+=的一个根，∴利用伟大定理可知：114x +=，解得： 13x =，故{}1,3B = 解法三：排除法 ∵集合B 中的元素必是方程方程240x x m -+=的根，∴124x x +=，从四个选项A ﹑B ﹑C ﹑D 看只有C 选项满足题意. 【知识拓展】集合属于新课标必考点，属于函数范畴，常与解方程﹑求定义域和值域﹑数集意义 相结合，集合考点有二：1.集合间的基本关系；2.集合的基本运算. 【题目3】(2017·新课标全国Ⅱ卷理3)3.我国古代数学名着《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（） A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏 【命题意图】本题主要考查等比数列通向公式n a 及其前n 项和n S ，以考查考生的运算能力为主目
3 2 ? ? 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(全国 2 卷) 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 3 + i 1. 1+ i = （） A. 1+ 2i B. 1- 2i C. 2 +i D. 2 -i 2.设集合 A = {1, 2, 4}， B = {x x 2 - 4x + m = 0} ．若 A B = {1}，则B = （） A ．{1,-3} B ．{1,0} C ．{1,3} D ．{1, 5} 3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一， 请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯（） A ．1 盏 B ．3 盏 C ．5 盏 D ．9 盏 4. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图， 该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（） A ． 90 B ． 63 C ． 42 D ． 36 ?2x + 3y - 3 ≤ 0 5. 设 x ， y 满足约束条件?2x - 3y + 3 ≥ 0 ，则 z = 2x + y 的最小值是（） ? y + 3 ≥ 0 A ． -15 B ． -9 C ．1 D ． 9 6. 安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成， 则不同的安排方式共有（） A ．12 种 B ．18 种 C ．24 种 D ．36 种 7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（） A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩 8. 执行右面的程序框图，如果输入的 a = -1 ，则输出的 S = （） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 x 2 y 2 2 产产产产 a 9. 若双曲线C : a 2 - = 1（ a > 0 ， b > 0 ）的一条渐近线被圆(x - 2) + y 2 = 4 所 b 截得的弦长为 2，则C 的离心率为（） 2 3 A ．2 B ． C ． D ． 3 10.已知直三棱柱 AB C - A 1B 1C 1 中， ∠AB C = 120 ， AB = 2 ， B C = CC 1 = 1，则 异面直线AB 1 与B C 1 所成角的余弦值为（） K ≤6 产 产 S =S +a?K a = a K=K+1 产 产 S 产 产 S =0,K =1 2
输出S K=K+1 a =a S =S +a ?K 是否 输入a S =0,K =1结束 K ≤6开始2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(Ⅱ) 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 31i i +=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 2.设集合{}1,2,4A =，{} 2 40x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（ ） A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π 5.设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤?? -+≥??+≥? ，则2z x y =+的最小值是（ ） A ．15- B ．9- C ．1 D ．9 6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种 7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ） A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩 8.执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 9.若双曲线C:22221x y a b -=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2 224x y -+=所截 得的弦长为2，则C 的离心率为（ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．23
2017 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷共 23 题，共 150 分，共 4 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项 : 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘 贴在条形码区域内。 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签 字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1． 3 i 1 i A ． 1 2i B ． 1 2i C ． 2 i D ． 2 i 2． 设集合 A 1，2，4 ， B x 2 4 x m 0 ，若 A B 1,则 B A ．1，3 B. ． 1，0 C ． 1，3 D ． 1，5 3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题： “远望巍巍塔七层，红光点点倍加 增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？ ”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯， 且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯 A ．1 盏 B ． 3 盏 C ．5 盏 D ．9 盏 4．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何 体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得， 则该几何体的体积为 A ． 90 B ． 63 C ． 42 D ． 36 2x 3y 3 ， 5．设 x 、 y 满足约束条件 2x 3 y 3 ， 则 z 2 x y 的最小值是 y 3 ， A ． 15 B ． 9 C ． 1 D ． 9 6．安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同 的安排方式共有 A ．12 种 B ．18 种 C ． 24种 D ．36 种 理科数学试题 第 1 页（共 4 页）
、选择题（ 本大题共12小题，共60.0分） 1.已知z= （ m+3 + （m-1） i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范围是（ ） 6.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ C.28 n D.32 n 7T 7.若将函数y=2sin2x 的图象向左平移 手个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（ ） 冶作 H 订 氐 & 十?T T A.x= -| (k € Z ) B.x= +, (k € Z ) C.x=—-|_ (k € Z ) D.x=—+〔_ (k € Z ) A. (-3，1) B.( -1，3) C. (1 , +1 D. (- a, -3 ) 2.已知集合 A={1 , 2, 3}, B={x| (x+1) (x-2 )v 0, x € Z}，贝U A U B=( ) A.{1} B.{1 , 2} C.{0 , 1 , 2, 3} D.{-1 , 0, 1, 2, 3} 3.已知向量? = (1, m ), = (3 , -2 ),且(?+ )丄耳，则m=( ) A.-8 B.-6 C.6 D.8 2 2 4.圆x +y -2x-8y+13=0 的圆心到直线 ax+y -仁0的距离为1,贝U a=( I 3 厂 A.- u B ；彳 C. D.2 5.如图，小明从街道的 E 处出发，先到F 处与小红会合,再一起到位于 活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ） G 处的老年公寓参加志愿者 A.24 B.18 C.12 D.9 A.20 n B.24 n
高中数学试卷第2页，共15页 11. 已知F i , F 2是双曲线E :二-=1的左、右焦点，点 M 在E 上，MF 与x 轴垂直，sin / MF 2F1J.，贝U E 的离心率为（ ） V 3 A. ‘ B. C. D.2 TJd y i ), (X 2, y 2 ),???, (x m , y m ),则丄(X i +y i )=( ) =1 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） ■1 9 13. △ ABC 的内角 A , B, C 的对边分别为 a , b , c ,若 cosA=§ , cosC=「； , a=1，则 b= ______ 14. a,3是两个平面，m> n 是两条直线，有下列四个命题： ① 如果ml n , mla, n 〃B,那么 a 丄B. ② 如果mla, n //a,那么 ml n . ③ 如果a/B, m? a,那么m//p. ④ 如果mil n ,a//B ，那么 m 与a 所成的角和n 与B 所成的角相等. 其中正确的命题是 _______ （填序号） 15. 有三张卡片，分别写有 1和2, 1和3, 2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的 卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同 的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是 _____________ 16. 若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线 y=ln （x+1）的切线，贝U b= _________ . 图.执行该程序框图，若输入的 x=2, n=2,依次输入的a 为2, 2, 5,则输 出的s=( ) A.7 B.12 C.17 D.34 卄 17 9.若 cos (- - a) 3 r )=，贝U sin2 a =( ) 7 1 1 7 A. B.— D.- ” 船 3 5 25 f 1 幵始 ______ -J __________ /谕入s / + /输九 7 J=J-x+tJ XkT 10. 从区间［0,1］随机抽取2n 个数x i , X 2,…，x n , y i , y 2,…，y n 构成n 个 数对（x i , y i ）, （X 2, y 2）???（X n , y n ）,其中两数 的平方和小于 1的数对共有 lu in bn A. B. C. D. m tn H n /输出』/ 结東 12.已知函数 f (x ) (x € R 满足 f (-x ) =2-f IT + 1 (x )，若函数y= 与y=f （x ）图象的交点为（x i , A.0 B.m C.2m D.4m 8.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框
2017年普通高等学校招生全国统一考试 课标II 理科数学 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 31i i +=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 【答案】D 2.设集合{}1,2,4A =，{} 2 40x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（ ） A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 【答案】C 【解析】由{}1A B =得1B ∈，所以3m =，{}1,3B =，故选 C 。 3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 【答案】B 【解析】塔的顶层共有灯x 盏，则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列，由()712381 12 x -=-可得3x =，故选B 。
绝密★启用前 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域 内。 2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试卷上答题无效 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀 一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 3i 1.（） 1i A ．1 2i B．1 2i C．2 i D ．2 i 2.设集合1,2,4 ，x x24x m0 ．若I 1 ，则（）A．1,3B．1,0C．1,3D．1,5 3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7 层塔共挂了381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯（）
A．1 盏B．3 盏C．5 盏D．9 盏 4.如图，网格纸上小正方形的边长为 1 ，学科 & 网粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（） A ．90B．63C．42 D ．36 2x3y30 5.设x，y满足约束条件2x3y30 ，则z2x y 的最小值是（） y 3 0 A．15B．9C．1 D ．9 6.安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1人完成，则不同的安排方式共有（） A．12 种B．18 种C．24 种 D ．36种 7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有 2 位优秀， 2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，学科 & 网给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（） A ．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩 8.执行右面的程序框图，如果输入的a 1 ，则输出的 S （）
2017-2019全国II卷理数2019全国II卷理数 2018全国II卷理数 2017全国II卷理数
2019年全国卷Ⅱ高考理科数学试题 1．设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={ x |x -1<0}，则A ∩B = A ．(-∞，1) B ．(-2，1) C ．(-3，-1) D ．(3，+∞) 2．设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知AB u u u r =(2,3)，AC u u u r =(3，t )，BC uuu r =1，则AB BC u u u r u u u r = A ．-3 B ．-2 C ．2 D ．3 4．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：
121223 ()()M M M R r R r r R +=++. 设r R α=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为 A B C D 5．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数 C ．方差 D ．极差 6．若a >b ，则 A ．ln(a ?b )>0 B ．3a <3b C ．a 3?b 3>0 D ．│a │>│b │ 7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面 8．若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2 2 31x y p p +=的一个焦点，则p =
2017年高考真题-理科数学-(全国II卷)
理科数学 2017年高三2017年全国甲卷理科数学 理科数学 题型单选题填空题简答题总分 得分 单选题（本大题共12小题，每小题____分，共____分。） 1．( ) A. B. C. D. 2．设集合，．若，则( ) A. B. C. D. 3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯
数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏 4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( ) A. B. C. D.
5．设，满足约束条件，则的最 小值是( ) A. B. C. D. 6．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( ) A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 36种 7．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )
A. 乙可以知道四人的成绩 B. 丁可以知道四人的成绩 C. 乙、丁可以知道对方的成绩 D. 乙、丁可以知道自己的成绩 8．执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5