化归与转化的思想
第4讲化归与转化的思想
一、化归与转化的思想简介
匈牙利著名数学家罗莎・彼得在他的名著《无穷的玩艺》中，通过一个十分生动而有趣的笑话，来说明数学家是如何用化归的思想方法来解题的。有人提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶，水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”对此，某人回答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放在煤气灶上。”提问者肯定了这一回答，但是，他又追问道：“如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够的水，那么你又应该怎样去做？”这时被提问者一定会大声而有把握地回答说：“点燃煤气，再把水壶放上去。”但是更完善的回答应该是这样的：“只有物理学家才会按照刚才所说的办法去做，而数学家却会回答：‘只须把水壶中的水倒掉，问题就化归为前面所说的问题了’”。
“把水倒掉”，这就是化归，这就是数学家常用的方法。翻开数学发展的史册，这样的例子不胜枚举，笛卡儿誉其为“万能方法”。他在《指导思维的法则》一书中指出：第一，将任何种类的问题转化为数学问题；其次，将任何种类的数学问题转化为代数问题；第三，将任何代数问题转化为方程式的求解。
其实所谓化归思想，一般就是指人们将待解决或难以解决的问题通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题中去，最终求得原问题的解答的一种手段和方法。化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化。化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，实质是转化矛盾的思想方法，其遵循“运动――转化――解决”的基本思想。数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。这种思想方法可分为①多维化归方法，如：换元法、恒等变换法、反证法、构造法、待定系数法、数学归纳法；②二维化归法，如解析法、三角代换法、向量法；③单维化归法，如：复数法、代入法、加减法、判别式法、曲线系数法、坐标变换法。二、解题方法指导
1．运用化归与转化的思想解题需明确三个问题：(1)明确化归对象，即对什么问题进行转化；(2)认清化归目标，即化归到何处去；(3)把握化归方法，即如何进行化归；2．运用化归与转化的思想解题大体上有三种途径：
(1)小者为对问题的局部进行转化。对问题的某个条件或结论作出转化；如式的恒等变形、三角函数值与角终边满足的条件的转化等等。这种转化主要是为了能直接运用一般规律和结论；
1
(2)中者为命题转化，例如根据原命题和逆否命题的等价性进行转化等。这种“不同说法”之间的转化常常可以使那些“理不清”或“说不清”的问题变得容易判断、理解；
(3)大者为对问题整体上的转化，诸如代数、三角、几何领域之间的跨越式转化。3．转化有等价转化和非等价转化。
等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证。 4．化归与转化应遵循的基本原则：
（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。
（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。
（3）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。
（4）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。
化归思想方法的主要特点是它的灵活性和多样性。一个数学问题，各个主要元素之间的相互依存和相互联系的形式不是唯一的，而是多种多样。所以应用数学化归与转化的方法去解决有关数学问题时，就没有一个统一的模式可以遵循。因此，我们必须根据问题本身所提供的信息，利用动态的思维，做到具体问题具体分析，从而寻求出有利于问题解决的化归途径和方法。三、典型例题
例1．（2021全国卷I）在平面直角坐标系xoy中，有一个以F1(0,?3)和F2(0,3)为焦点、离心率为3的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P
2处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量OM?OA?OB.求点M的轨迹方程.
y2?1(x?0,y?0)后，将其转化为函数[解析] 在求得曲线C的方程x?42y?21?x2(0?x?1)的图像来认识，通过导数得y '=－
2x
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转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使 之转化,进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将 难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题. 转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归， 如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问 题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等.各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中. 1.转化与化归的原则 （1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验来解决. （2）简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂 问题的目的，或获得某种解题的启示和依据. （3）直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决. （4）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获解. 2.常见的转化与化归的方法 转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况 转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有 效策略，同时也是成功的思维方式.常见的转化方法有： （1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题. （2）换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、 不等式问题转化为易于解决的基本问题. （3）数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换获得转化途径. （4）等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的. （5）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题. 随着国家经济的发展,科技的发达,人才的需求,中国教育的改革,数学新课 标的出现,在对学生的知识与技能,数学思想及情感与态度等方面的要求,学生在数学的学习方法也应该要相应改变了,要满足社会的需要.化归与转化思想的实 质是揭示联系，实现转化.除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的.从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程,同时在生活中许许多多的事情也需要往已知的方面转化,把事情简 单化,这对以后学生的能力与德育方面有很大的帮助.化归与转化的思想是解决 数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程.数学中的转化
浅谈转换与化归思想 转化思想就是数学中的一种基本却很重要的思想。深究起来,转化两字中包含着截然不同的两种思想,即转换与化归。这两者其实表达了不同的思想方法,可以说就是思维方式与操作方法的区别。 一、 转换思想 (1)转换思想的内涵 转换思想就是指解决问题时策略、方法、指导思想的跳跃性变化,能跳出现有领域的局限,联系相关领域,并用相关领域的思维方式来解决现有领域内的问题。要做到这一点,对思维能力的要求相对更高,必须对各个领域分别都有透彻的了解,更必须对各领域之间的联系有较多的研究,在关键时刻才能随心所欲地运用。 (2)转换思想在同一学科中的应用 转换思想可以就是在同一学科的不同知识模块之间的变换,在解决问题时改变解题方向。象数学学科中,数与式的互相转换、数与形的互相转换、文字语言与符号语言的互相转换。 比如,函数、方程、不等式就是代数中的三大重要问题,而它们之间完全可以用三个知识模块的不同方法解决其她模块的各类问题。不等式恒成立问题可以转换到用函数图象解决,或者就是二次方程根的分布,也可以转换到二次函数与x 轴的交点问题。再比如,数列问题用函数观点来解释,那更就是我们数学课堂中一再强调的问题了。 瞧这样一个问题: 已知:11122=-+-a b b a ,求证:12 2=+b a 。 [分析] 这就是一个纯粹的代数证明问题,条件的变形就是比较艰难的,所以希望把条件变形从而得到结论这条思路也 有点令人望而生畏。 再仔细观察本题的条件、结论中所出现的形式,稍加联系,我们完全可以想到:21a -、21b -、122=+b a 这些特殊形式在另一知识模块——三角函数中经常出现,它们呈现出完全类似的规律性。 [解答]由题意1≤a 、1≤b ,则可设αsin =a ,αcos =b ,πα<≤0 11122=-+-a b b a 即为1sin 1cos cos 1sin 22=-+-αααα 化简得1cos cos sin sin =+αααα 所以0sin ≥=αa ,0cos ≥=αb 则 1cos sin 2222=+=+ααb a [小结] 本题的解决了就是发现了不同知识模块中的类似规律,加以利用得到新的思路,本题的题设与结论中都没有出 现三角函数的形式,最终却必须引进三角函数加以解决,思维已经具有跳跃性,对一般学生来说解决起来还就是比较棘手的。 转换思想对思维要求确实很高,但这一点还就是能够做到的。因为各学科都有对知识模块的介绍,同时也有对各知识模块之间横向纵向的对比联系的研究。典型的例子就就是数与形之间的思维转换,因为学生已经在初中老师的指导下
转化与化归思想——消元 转化与化归的思想 所谓化归与转化的思想是指在研究数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略.一般情况下，都要将未解决的问题化归转化为已解决的问题。 化归与转化的思想方法是数学中最基本的思想方法，同时也是在解决数学问题过程中无处不存在的基本思想方法。数形结合的思想体现了数与形的相互转化；函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，因此以上三种思想方法都是转化思想的具体体现，各种变换的方法及分析法、反证法、特定系数法、构造法等都是转化的手段。 化归与转化的原则是：将不熟悉和难解的问题转化为熟知的易解的或已经解决的问题：将抽象的问题转化为具体的直观的问题；将复杂的问题转化为简单的问题；将一般性的问题转化为特殊的问题，将实际问题转化为数学问题，使问题便于解决。 解题方法指导 1．运用化归与转化的思想解题需明确三个问题： (1)明确化归对象，即对什么问题转化； 2)认清化归目标，即化归到何处去； (3)把握化归方法，即如何进行化归； 2．运用化归与转化的思想解题的途径： (1)借助函数进行转化； (2)借助方程（组）进行转化； (3)借助辅助命题进行转化； (4)借助等价变换进行转化； (5)借助特殊的数与式的结构进行转化； (6)借助几何特征进行转化。 消元 例 用加减法解方程组34165633x y x y +=??-=? 分析：这两个方程中未知数的系数既不相反也不相同，直接加减不能消元，试一试，能 ①②
否对方程变形，使得两个方程中某个未知数的系数相反或相同。 解：①×3,得9x+12y=48 ③ ②×2,得10x-12y=66 ④ ③＋④,得19x=114 x=6 把x=6代入①，得3×6+4y=16 4y=-2, y=-1 2 所以，这个方程组的解是 6 1 2 x y = ? ? ? =-??
转化与化归思想 1．解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”。 2．化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化。除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程。化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程。数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。 3．转化有等价转化和非等价转化。等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证。 4．化归与转化应遵循的基本原则： （1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。 （2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。 （3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。 一、选择题 1．某厂2007年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同，问全年总利润M 与全年总投入N 的大小关系是 （ ） A. M>N B. M
转化与化归思想 [思想方法解读] 转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法．一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．转化与化归思想是实现具有相互关联的两个知识板块进行相互转化的重要依据，如函数与不等式、函数与方程、数与形、式与数、角与边、空间与平面、实际问题与数学问题的互化等，消去法、换元法、数形结合法等都体现了等价转化思想，我们也经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化，在复习过程中应注意相近主干知识之间的互化，注重知识的综合性． 转化与化归思想的原则 (1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决． (2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据． (3)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律． (4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决． 常考题型精析 题型一 正难则反的转化 例1 已知集合A ＝{x ∈R |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x ∈R |x <0}，若A ∩B ≠?，求实数m 的取值范围． 解 设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}， 即U ＝{m |m ≤－1或m ≥32 }． 若方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均为非负， 则????? m ∈U ，x 1＋x 2＝4m ≥0，?m ≥32， x 1x 2＝2m ＋6≥0 所以，使A ∩B ≠?的实数m 的取值范围为{m |m ≤－1}． 点评 本题中，A ∩B ≠?，所以A 是方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0①的实数解组成的非空集合，并且方程①的根有三种情况：(1)两负根；(2)一负根和一零根；(3)一负根和一正根．分别求解
化归与转化 一、化归与转化 其实所谓化归思想，一般就是指人们将待解决或难以解决的问题通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题中去，最终求得原问题的解答的一种手段和方法。数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。这种思想方法可分为①多维化归方法，如：换元法、恒等变换法、反证法、构造法、待定系数法、数学归纳法；②二维化归法，如解析法、三角代换法、向量法；③单维化归法，如：复数法、代入法、加减法、判别式法、曲线系数法、坐标变换法。 二、典型例题 例1．）在平面直角坐标系xoy 中，有一个以)3,0(1-F 和)3,0(2F 为焦点、的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C ，动点P 在C 上，C 在点P 处的切线与x y 、轴 的交点分别为A 、B ，且向量OM OA OB =+ .求点M 的轨迹方程. [解析] 在求得曲线C 的方程)0,0(14 2 2 >>=+y x y x 后，将其转化为函数)10(122 <<-=x x y 的图像来认识，通过导数得y '=－ 2x 1－x 2 设P(x 0,y 0)，因P 在C 上,有0
专题四:转化与化归的思想方法 化归与转化的思想确是指在解决问题时，采用某种手段使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略，是数学学科与其它学科相比，一个特有的数学思想方法，化归与转化思想的核心是把生题转化为熟题，将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题。事实上，解题的过程就是一个缩小已知与求解的差异的过程，是求解系统趋近于目标系统的过程，是未知向熟知转化的过程，因此每解一道题，无论是难题还是易题，都离不开化归。例如，对于立体几何问题，通常要转化为平面几何问题，对于多元问题，要转换为少元问题，对于高次函数，高次方程问题，转化为低次问题，特别是熟悉的一次，二次问题，对于复杂的式子，通过换元转化为简单的式子问题等等。化归灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法。在高考中，对化归思想的考查，总是结合对演绎证明，运算推理，模式构建等理性思维能力的考查进行，因此可以说高考中的每一道试题，都在考查化归意识和转化能力。高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化。 1. 转化运算． 例1.已知函数()2x f x =,等差数列{}x a 的公差为2.若246810()4f a a a a a ++++=,则212310log [()()()()]f a f a f a f a ???= . 分析：题目中的已知条件很容易求得246810a a a a a ++++，而所求的为212310l o g [()()()()]f a f a f a f a ??? 可以转化为等差数列 {}x a 的前10项之和，根据公差，可以把前10项之和转化为用246810a a a a a ++++表示出来，从而求得。 解：由()2x f x =和246810()4f a a a a a ++++=知2468102a a a a a ++++=，2123102122210log [()()()()]log ()log ()log ()f a f a f a f a f a f a f a ???=+++ =()123102468102526a a a a a a a a a ++++=++++-?=- 评注：仔细分析题目，把运算进行转化，可以大大地节省时间，提高做题的效率。本题中把等差数列{}x a 的前10项之和转化为用246810a a a a a ++++表示出来，比较快捷. 2．新定义运算转化为普通运算 例2.如图所示的韦恩图中，A 、B 是非空集合，定义集合A#B 为阴影部分表示的 集合．若{,,|x y R A x y ∈==，(){}|30x B y y x ==>， 则A#B 为 （ ） A ．{}|02x x << B ．{}|12x x <≤
第21讲 转化与化归思想 转化与化归思想是指在处理问题时，把待解决或难解决的问题通过某种方式转化为一类已解决或比较容易解决的问题的一种思维方式． 应用转化与化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽可能是等价转化，在有些问题的转化时只要注意添加附加条件或对所得结论进行必要的验证就能确保转化的等价．常见的转化有：正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面的转化、常量与变量的转化、图象语言、文字语言与符号语言的转化等． 分类讨论思想，函数与方程思想，数形结合思想都是转化与化归思想的具体体现．常用的变换方法：分析法、反证法、换元法、待定系数法、构造法等都是转化的手段． 1. 已知正实数x 、y 满足1x ＋1 y ＝1，则x ＋y 的取值范围是________． 2.若不等式x 2 ＋ax ＋1≥0对一切x ∈? ?? ??0，12都成立，则实数a 的最小值为________． 3.函数y ＝x ＋2－x 的值域为________． 4.函数f(x)＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则b 的取值范围是________． 【例1】 已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，求PA →·PB →的最小值．
【例2】 若不等式x 2＋px>4x ＋p －3对一切0≤p ≤4均成立，试求实数x 的取值范围． 【例3】 在数列{a n } 中a 1＝13，前n 项和S n 满足S n ＋1－S n ＝? ???? 13 n ＋1(n ∈N *)． (1) 求数列{a n }的通项公式a n 以及前n 项和S n ； (2) 若S 1, t (S 1＋S 2 ), 3(S 2＋S 3) 成等差数列，求实数t 的值． 【例4】 已知函数f(x)＝? ????a －12x 2 ＋lnx(a ∈R )． (1) 当a ＝0时，求函数f(x)的单调递增区间； (2) 若 x ∈[1,3]，使f(x)<(x ＋1)lnx 成立，求实数a 的取值范围； (3) 若函数f(x)的图象在区间(1，＋∞)内恒在直线y ＝2ax 下方，求实数a 的取值范围．
浅谈转换与化归思想 转化思想是数学中的一种基本却很重要的思想。深究起来，转化两字中包含着截然不同的两种思想，即转换和化归。这两者其实表达了不同的思想方法，可以说是思维方式与操作方法的区别。 一、 转换思想 （1）转换思想的内涵 转换思想是指解决问题时策略、方法、指导思想的跳跃性变化，能跳出现有领域的局限，联系相关领域，并用相关领域的思维方式来解决现有领域内的问题。要做到这一点，对思维能力的要求相对更高，必须对各个领域分别都有透彻的了解，更必须对各领域之间的联系有较多的研究，在关键时刻才能随心所欲地运用。 （2）转换思想在同一学科中的应用 转换思想可以是在同一学科的不同知识模块之间的变换，在解决问题时改变解题方向。象数学学科中，数与式的互相转换、数与形的互相转换、文字语言与符号语言的互相转换。 比如，函数、方程、不等式是代数中的三大重要问题，而它们之间完全可以用三个知识模块的不同方法解决其他模块的各类问题。不等式恒成立问题可以转换到用函数图象解决，或者是二次方程根的分布，也可以转换到二次函数与x 轴的交点问题。再比如，数列问题用函数观点来解释，那更是我们数学课堂中一再强调的问题了。 看这样一个问题： 已知：11122=-+-a b b a ，求证：12 2=+b a 。 [分析] 这是一个纯粹的代数证明问题，条件的变形是比较艰难的，所以希望把条件变形从而得到结论这条思路也有点 令人望而生畏。 再仔细观察本题的条件、结论中所出现的形式，稍加联系，我们完全可以想到：21a -、21b -、12 2=+b a 这些特殊形式在另一知识模块——三角函数中经常出现，它们呈现出完全类似的规律性。 [解答]由题意1≤a 、1≤b ，则可设αsin =a ，αcos =b ，πα<≤0 11122=-+-a b b a 即为1sin 1cos cos 1sin 22=-+-αααα 化简得1cos cos sin sin =+αααα 所以0sin ≥=αa ，0cos ≥=αb 则 1cos sin 2222=+=+ααb a [小结] 本题的解决了是发现了不同知识模块中的类似规律，加以利用得到新的思路，本题的题设和结论中都没有出现 三角函数的形式，最终却必须引进三角函数加以解决，思维已经具有跳跃性，对一般学生来说解决起来还是比较棘手的。
转化与化归的思想 「思想方法解读」 转化与化归思想是指在研究解决数学问题时，采用某种手段将问题通过转化，使问题得以解决的一种思维策略，其核心是把复杂的问题化归为简单的问题，将较难的问题化归为较容易求解的问题，将未能解决的问题化归为已经解决的问题． 常见的转化与化归思想应用具体表现在：将抽象函数问题转化为具体函数问题，立体几何和解析几何中一般性点或图形问题转化为特殊点或特殊图形问题，以及“至少”或“是否存在”等正向思维受阻问题转化为逆向思维问题，空间与平面的转化，相等问题与不等问题的转化等． 热点题型探究 热点1 特殊与一般的转化 例1 (1)过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F ，作一直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 与FQ 的长度分别为p ，q ，则1p ＋1 q 等于( ) A ．2a B ．1 2a C ．4a D ．4a 答案 C 解析 抛物线y ＝ax 2 (a >0)的标准方程为x 2 ＝1a y (a >0)．焦点F ? ?? ??0，14a ，取过焦点F 的直线垂直于y 轴，则|PF |＝|QF |＝12a ，所以1p ＋1 q ＝4a . (2)在平行四边形ABCD 中，|AB →|＝12，|AD →|＝8.若点M ，N 满足BM →＝3MC →， DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝( ) A ．20 B ．15 C ．36 D ．6 答案 C 解析 解法一：由BM →＝3MC →，DN →＝2NC →知，点M 是BC 的一个四等分点， 且BM ＝34BC ，点N 是DC 的一个三等分点，且DN ＝23DC ，所以AM →＝AB →＋34AD →， AN →＝AD →＋DN →＝AD →＋23AB →，所以NM →＝AM →－AN →＝AB →＋34AD →－? ????AD →＋23AB →＝13AB →－ 14AD →，所以AM →·NM →＝? ????AB →＋34AD →·? ????13AB →－14AD →＝13? ????AB →＋34AD →·? ????AB →－34AD →＝13
第7讲化归与转化的思想在解题中的应用 一、知识整合 1．解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”。 2．化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化。除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程。化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程。数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。 3．转化有等价转化和非等价转化。等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证。 4．化归与转化应遵循的基本原则： （1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。 （2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。 二、例题分析 例1．某厂2001年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同，问全年总利润m与全年总投入N的大小关系是（） A. m>N B. m 转化与化归思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题,将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题,将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题. 转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位,数学问题的解决,总离不开转化与化归,如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等.各种变换、具体解题方法都是转化的手段,转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中. 1.转化与化归的原则 1熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题,以利于我们运用熟知的知识、经验来解决. 2简单化原则：将复杂问题化归为简单问题,通过对简单问题的解决,达到解决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据. 3直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决. 4正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时,可考虑问题的反面,设法从问题的反面去探讨,使问题获解. 2.常见的转化与化归的方法 转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时,思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形,也就是转化到另一种情境使问题得到解决,这种转化是解决问题的有效策略,同时也是成功的思维方式.常见的转化方法有： 1直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题. 2换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等,把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题. 3数形结合法：研究原问题中数量关系解析式与空间形式图形关系,通过互相变换获得转化途径. 4等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题,达到化归的目的. 5特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化,并证明特殊化后的问题、结论适合原问题. 随着国家经济的发展,科技的发达,人才的需求,中国教育的改革,数学新课标的出现,在对学生的知识与技能,数学思想及情感与态度等方面的要求,学生在数学的学习方法也应该要相应改变了,要满足社会的需要.化归与转化思想的实质是揭示联系,实现转化.除极简单的数学问题外,每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的.从这个意义上讲,解决数学问题就是从未知向已知转化的过程,同时在生活中许许多多的事情也需要往已知的方面转化,把事情简单化,这对以后学生的能力与德育方面有很大的帮助.化归与转化的思想是解决数 转化与化归思想 化归与转化的思想是指在解决数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略，一般情况，总是将未解决的问题化归转化为已解决的问题. 化归与转化的思想方法是数学中最基本的思想方法，也是在解决数学问题过程中无处不存在的的基本思想方法，各种变换方法、分析法、反证法、待定系数法、构造法等都是转化的手段.高考中十分重视对化归与转化思想的考查，要求考生熟悉化归与转化各种变换方法，并有意识地运用变换方法解决有关的数学问题. 化归与转化的原则是：将不熟悉和难解的问题转化为熟知的易知的易解的或已经解决的问题；将抽象的问题转化为具体的直观的问题；将复杂的问题转化为简单的问题；将一般性的问题转化为直观的特殊的问题，将实际问题转化为数学问题，使问题便于解决. 题例1 题例2 比较下图面积大小 题例3 回忆：我们在推导图形的面积或体积公式时用过哪些转化策略？ 题例1用分数表示各图中的涂色部分 （ ） （ ） 圆面积推导 题例4 把一个圆剪拼成一个近似的长方形，已知长方形的周长是33.12cm，求阴影部分的面积． 练习一 1.1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+1/42+1/56+1/72+1/90= 2.在一列数2，7，14，23，……中的第十个数为＿＿＿＿。 3.两数相除，商是4余数是8，被除数，除数，商和余数的和是415，则被除数是多少? 4.一个小数的小数点分别向右，左边移动一位所得两数之差为2.2，则这个小数用分数表示 为。 5.小明卖出一批苹果得到一笔钱。如果小明多卖出10个苹果且所得到的钱的总数相同的话， 则每个苹果的售价将比原售价少2元。如果小明少卖出10个苹果且所得到的钱的总数相同的话，则每个苹果的售价将比原售价多4元。请问 a) 小明卖出几个苹果？ 转化与化归的思想 一、考点，热点分析： 化归与转化的思想确是指在解决问题时，采用某种手段使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略，是数学学科与其它学科相比，一个特有的数学思想方法，化归与转化思想的核心是把生题转化为熟题。事实上，解题的过程就是一个缩小已知与求解的差异的过程， 是求解系统趋近于目标系统的过程，是未知向熟知转化的过程，因此每解一道题，无论是难题还 是易题，都离不开化归。下面介绍一些常用的转化方法，及化归与转化思想解题的应用。化归与 转化常遵循以下几个原则 （1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和 问题来解决。 （2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂 问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。 （3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的 形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。 (4)直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。 （5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面 去探求，使问题获解。 二、典型例题： A．一般与特殊的转化 1．设等比数列｛a n｝的公比为 q，前 n 项和为S n，若S n+1、S n、S n+2成等差数列，则 q=___________. 2．设三棱柱ABC—A1 B1C1的体积为 V， P、 Q分别是侧棱A A1、 CC1上的点，且PA=QC1，则四棱 锥—的体积为（用 V 表示） B PACQ B．正与反的转化： 3．已知对于函数 f ( x)x 2mx n(m R,n R,m 0) 至少存在 x0使 f ( x0 )0 成立， 为假命题，则1nm2 m2 的最小值为 C．变量与常量的转化 化归与转化的思想 湖北房县二中 孟娇娥 化归与转化的思想是指在解决问题时，采用某种手段使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略，是数学学科与其它学科相比，一个特有的数学思想方法，化归与转化思想的核心是把生题转化为熟题。事实上，解题的过程就是一个缩小已知与求解的差异的过程，是求解系统趋近于目标系统的过程，是未知向熟知转化的过程，因此每解一道题，无论是难题还是易题，都离不开化归。例如，对于立体几何问题，通常要转化为平面几何问题，对于多元问题，要转换为少元问题，对于高次函数，高次方程问题，转化为低次问题，特别是熟悉的一次，二次问题，对于复杂的式子，通过换元转化为简单的式子问题等等。在高考中，对化归思想的考查，总是结合对演绎证明，运算推理，模式构建等理性思维能力的考查进行。 转化与化归的主要方式：等价转化、局部与整体的相互转化、特殊与一般的转化、换元、代换等转化方法的运用、正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、常量与变量的转化。我们可以通过以下例题来观察： 1、 正与反的相互转化 对于那些从“正面进攻”很难奏效或运算较繁的问题，可先攻其反面，运用补集思想从而使正面得以解决。 例1、 已知函数14)(2 +-=ax x x f 在（0，1）内至少有一个零点，试求实数a 的取值范围。 分析：至少有一个零点的情况比较复杂，而其反面为没有零点，比较容易处理。 解：当函数14)(2 +-=ax x x f 在（0，1）内没有零点时⇔0 142 =+-ax x 在（0， 1）内没有实数根，即在（0，1）内，x x a 14+ ≠. 而当∈x （0，1）时，414214=⋅≥+x x x x ，得)[∞+∈+,41 4x x 。 要使x x a 1 4+ ≠，必有4 §3 转化与化归思想 1．所谓转化与化归思想，就是将待解决的问题和未解决的问题，采取某种策略，转化归结为一个已经能解决的问题；或者归结为一个熟知的具有确定解决方法和程序的问题；归结为一个比较容易解决的问题，最终求得原问题的解． 2．转化与化归思想的原则 (1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决． (2)简单化原则：将复杂问题转化为简单问题，如三维空间问题转化为二维平面问题，通过简单问题的解决思路和方法，获得对复杂问题的解答启示和思路以达到解决复杂问题的目的． (3)具体原则：化归方向应由抽象到具体． (4)和谐统一性原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律． (5)正难则反的原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面；或问题的正面较复杂时，其反面一般是简单的；设法从问题的反面去探求，使问题获得解决． 3．转化与化归思想常用到的方法 (1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题． (2)换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题． (3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径． (4)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题． (5)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题，是转化方法的一个重要途径． (6)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化途径． (7)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题． (8)等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化的目的． (9)加强命题法：在证明不等式时，原命题难以得证，往往把命题的结论加强，即命题的结论加强为原命题的充分条件，反而能将原命题转化为一个较易证明的命题，比如在证明不等式时，原命题往往难以得证，这时常把结论加强，使之成为原命题充分条件，从而易证． (10)补集法：如果正面解决问题有困难，可把原问题结果看作集合A ，而包含问题的整体问题的结果类比为全集U ，通过解决全集U 及补集∁U A 使原问题得以解决． 典型例题： 1、若方程sin 2x ＋cos x ＋k ＝0有解，则k 的取值范围为______________ 2、e 416，e 525，e 636(其中e 为自然常数)的大小关系是____________ 3、已知三棱锥S-ABC 的三条侧棱两两垂直，SA ＝5，SB ＝4，SC ＝3，D 为AB 的中点，E 为AC 的中点，则四棱锥S-BCED 的体积为_____ 4、设a ，b ∈R ，a 2＋2b 2＝6，则a ＋b 的最小值是 5、已知集合A ＝{y |y 2－(a 2＋a ＋1)y ＋a (a 2＋1)>0}，B ＝{y |y 2－6y ＋8≤0}，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围为____________________ 专题13 化归转化思想 【规律总结】 化归思想，将一个问题由难化易，由繁化简，由复杂化简单的过程称为化归，它是转化和归结的简称。 化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题；将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。总之，化归在数学解题中几乎无处不在，化归的基本功能是：生疏化成熟悉，复杂化成简单，抽象化成直观，含糊化成明朗。说到底，化归的实质就是以运动变化发展的观点，以及事物之间相互联系，相互制约的观点看待问题，善于对所要解决的问题进行变换转化， 静，由抽象到具体等转化思想。 【经典例题】 例题1 “一般的，如果二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”判断方程实数根的情况() A. 有三个实数根 B. 有两个实数根 C. 有一个实数根 D. 无实数根 【分析】 本题考查利用函数的图像解方程的根，考查化归与转化思想，数形结合思想，属于中档题．−1=(x−1)2，由此设出两个函数关系式，在同一坐标系中画出两函可先将方程转化为1 x 数的图像，由图像的交点个数即可判断方程实数根的情况． 【解析】 −1=(x−1)2， 将原方程变形为1 x −1，y2=(x−1)2， 设y1=1 x 因为一元二次方程根的个数相当于二次函数与x轴交点的个数， −2根的个数相当于y1和y2交点的个数， 则方程x2−2x=1 x 在坐标系中画出两个函数的图像如图所示： 可看出两个函数有一个交点(1,0)， −1有一个实数根， 故方程(x−1)2=1 x −2有一个实数根， 即方程x2−2x=1 x 故选C． 例题2 已知a2+a−3=0，那么a2(a+4)的值是___________ 【分析】此题主要是考查化归思想和整体代入法求代数式的值，先把条件化为a2+a=3，再把原式转化为含a2+a的式子，进行整体代入求值． 【解析】因为a2+a−3=0， 所以a2+a=3． 原式=a3+4a2 =a3+a2+3a2 =a(a2+a)+3a2 =3a+3a2 =3(a2+a) =3×3=9．转化与化归思想方法
转化与化归思想(适合小学、初中)
化归与转化的思想
化归与转化的思想
§3 转化与化归思想
化归转化思想
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