泛函分析单元知识总结与知识应用
数学与计算科学学院 数学与应用数学 一、单元知识总结第7章、 度量空间和赋范线性空间
§1 度量空间
§1.1定义：若是一个非空集合，是满足下面条件的实值函数，对于，有（1）当且仅当；
（2）；
（3），则称为上的度量，称为度量空间。
例：1、设是一个非空集合，，当，则为离散的度量空间。
2、序列空间 ，是度量空间
3、有界函数全体 ，是度量空间
4、连续函数，是度量空间
5、空间，是度量空间
§2 度量空间中的极限，稠密集，可分空间
§2.1收敛点列：设是中点列，如果，使，则称点列是中的收敛点列。
例：1、，按欧氏距离收敛于的充要条件为各点列依分量收敛。
2、中（一致）
3、可测函数空间中点列（依测度）
§3 连续映射
§3.1对的每个领域，必有的某个领域是,其中表示在映射作用下的像。§3.2定理1 设是度量空间到度量空间中的映射，那么T在连续的充要条件为当时，必有
定理2 度量空间到中映射是上连续映射的充要条件为中任意开集的原像是中的开集。
§4 柯西点列和完备度量空间
§4.1定义：设是度量空间，是X中点列，如果对，正整数,使当时，必有，则称是X中的柯西点列，如果度量空间中每个点列都在中收敛，那么称是完备的度量空间。
例：1、是完备度量空间
2、是完备度量空间
3、是完备的度量空间
注意：1、全体按绝对值距离构成的空间不完备
2、柯西点列不一定收敛，但是度量空间中每一个收敛点列都是柯西点列
3、实系数多项式全体，作为的子空间不是完备度量空间
§4.2定理1 完备度量空间X的子空间M是完备空间的充要条件是M为X中
的闭子空间。（即完备性关于闭子空间具有可遗传性）
§5 度量空间的完备化
§5.1定理1 （度量空间的完备化定理）设是度量空间，那么一定存在一完备度量空间，使与的某个稠密子空间等距同构，并且在等距同构意义下是唯一的，即若也是一万倍度量空间，且与的某个稠密空间等距同构，则与等距同构。
定理 设是度量空间，那么存在唯一的完备空间，使为的稠密子空间。
§6 压缩映射原理及其应用
§6.1定义：设是度量空间，是到中的映射，如果，，，则称是压缩映射。
§6.2定理1（压缩映射定理）设是完备的度量空间，是上的压缩映射，那么有且只有一个不动点（就是说，方程，有且只有一个解）。
定理2（隐函数存在定理）设函数在带状域中处处连续，且处处有关于的偏导数。如果常数和，满足，则方程在区间上必有唯一的连续函数作为解：
§7 线性空间
§7.1定义：设是一非空集合，在中定义了元素的加法运算和实数（或复数）与中元素的乘法运算，满足下列条件：（一）关于加法：(1)交换律（2）结合律（3）有零元（4）有负元，（二）关于数乘：（1）分配律（2）结合律（3），均有，满足这样性质的集合称为线性空间。
例：1、按自身定义的加法和数乘成线性空间
2、按自身定义的加法和数乘成线性空间
3、空间按自身定义的加法和数乘成线性空间
§8 赋范线性空间和巴拿赫空间
§8.1定义：设是实（或复）的线性空间，如果对，都有确定的一个实数，记为与之对应，并且满足：
，且等价于；（非负性）
其中为任意实（复）数；
，（三角不等式）
则称为向量的范数，称按范数成为赋范线性空间
注意：1、任意赋范线性空间都是度量空间
2、赋范线性空间是一种特殊的度量空间
3、是的连续函数
§8.2重要结论：1、完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间。
2、任何有限维赋范线性空间都同维数欧氏空间拓扑同构，相同维数的有限维赋范线性空间彼此拓扑同构。（即拓扑同构范
数等价）
例：1、按范数成巴拿赫空间
2、空间按范数成巴拿赫空间
§8.3定理2 按范数成巴拿赫空间
总而言之，赋范线性空间是一种特殊的度量空间，当它完备时称之为巴拿赫空间。
第八章 有界线性算子和连续线性泛函
§1 有界线性算子和线性泛函的定义
§1.1定义：设和是两个同为实（或复）的线性空间，是的线性子空间，为到中的映射，如果对及数，有，，则称为到中的线性算子，其称为的定义域，记为，称为的值域，记为，当取值于实（或复）数域时，就称为实（或复）线性泛函。
例：相似算子、微分算子、乘法算子、积分算子都是线性算子
注意：n维线性空间上线性泛函与向量相对应。
定义：为赋范线性空间的子空间到赋范线性空间中的线性算子，称为算子在上的范数。
§1.2 定理1 设是赋范线性空间到赋范线性空间中的线性算子，则为有界算子的充分必要条件是为上的连续算子。
这一定理说明，对于线性算子连续性与有界性是两个等价概念。
定理2 设是赋范线性空间，是上线性泛函，那么是上连续泛函的充要条件为的零空间是中的闭子空间。
注意：1、若有界 2、
3、若有界
§2 有界线性算子空间和共轭空间
§2.1定义：设是赋范线性空间，令表示上连续线性泛函全体所成的空间，称为的共轭空间。
§2.2定理1 当是巴拿赫空间时，也是巴拿赫空间
定理2 任何赋范线性空间的共轭空间是巴拿赫空间
例：1、的共轭空间为有界序列全体，即，但
2、且则其中连续
3、设，令，，则为线性算子
4、的共轭空间为，其中，，当时，
二、列举泛函分析中的某个知识点在其他学科中的应用
1、Banach不动点原理的应用
a.不动点原理在证明数值分析中的迭代法不动点原理的应用
迭代法不动点不动点原理：设映射
《泛函分析》复习与总结 (2014年6月26日星期四 10:20--- 11:50) 第一部分 空间及其性质 泛函分析的主要内容分为空间和算子两大部分. 空间包括泛函 分析所学过的各种抽象空间, 函数空间, 向量空间等, 也包括空间的 性质, 例如完备性, 紧性, 线性性质, 空间中集合的各种性质等等。 以下几点是对第一部分内容的归纳和总结。 一．空间 （1）距离空间 （集合+距离）！验证距离的三个条件：称为是距离空间，如果对于 (,)X ρ,,x y z X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当 (,)0x y ρ≥(,)0x y ρ=【正定性】； x y =(ii) 【对称性】； (,)(,)x y y x ρρ=(iii) 【三角不等式】。 (,)(,)(,)x y x y y z ρρρ≤+距离空间的典型代表：空间、空间、所有的赋范线性空间、 s S 所有的内积空间。 （2）赋范线性空间 （线性空间 + 范数） ！验证范数的三个条件：称为是赋范线性空间，如果 (,||||)X ?是数域（或）上的线性空间，对于和 X K =?K =￡a K ∈，成立 ,x y X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当【正定性】 ||||0x ≥||||0x =0x =； (ii) 【齐次性】； ||||||||||ax a x =?
(iii) 【三角不等式】。 ||||||||||||x y x y +≤+赋范线性空间的典型代表：空间（）、空间（n ?1,2,3,n =L n ￡） 、空间（）、空间（1,2,3,n =L p l 1p ≤≤∞([,])p L a b ）、空间、空间、Banach 空间、所有的1p ≤≤∞[,]C a b [,]k C a b 内积空间（范数是由内积导出的范数）。 （3）内积空间 （线性空间 + 内积） ！验证内积的四个条件：称为是内积空间，如果 (,(,))X ??是数域（或）上的线性空间，对于和 X K =?K =￡a K ∈，成立 ,,x y z X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当【正 (,)0x x ≥(,)0x x =0x =定性】； (ii) 【第一变元可加性】； (,)(,)(,)x y z x z x z +=+(iii) 【第一变元齐次性】； (,)(,)ax z a x z =(iv) 【共轭对称性】。 (,)(,)x z z x =内积空间的典型代表：空间（）、空间（n ?1,2,3,n =L n ￡） 、空间、空间。1,2,3,n =L 2l 2([,])L a b 注. 1) 从概念的外延来理解, 有如下的关系: {内积空间}{赋范线性空间}{距离空间}. ??2) 内积可导出范数, 范数可导出距离, 反之未必. 例如在赋范 线性空间中, 如果范数满足平行四边形公式, 则由范数可以定义内 积. 3) 在距离空间中，，当 0k x x ρ??→?0(,)0k x x ρ→； k →∞赋范线性空间中，，当；|||| 0k x x ???→?0||||0k x x -→k →∞
泛函分析课程论文 数学与计算科学学院 09数本2班 黄丽萍 2009224725 大四新学年开始了，我们也开始学习了一门综合性及专业性强的课程——泛函分析。首先，理解下“泛函分析”这个概念。 泛函分析是20世纪发展起来的一门新学科，其中泛函是函数概念的推广，对比函数是数与数之间的对应关系，我们发现泛函是函数和数之间的对应关系。在学习泛函分析前，我们先确定学习目标：理解和掌握“三大空间和三大定理”。所以在接下来的两章内容的学习中，我们将先学习“两大空间”——度量空间和赋范线性空间及其相关知识（第七章和第八章）。在学习中慢慢体味泛函分析的综合性及专业性。 第七章的标题已经明确给出了学习任务——度量空间和赋范线性空间。 §1 度量空间 §1.1 定义：若X 是一个非空集合，:d X X R ?→是满足下面条件的实值函数，对于,x y X ?∈，有 （1）(,)0d x y =当且仅当x y =； （2）(,)(,)d x y d y x =； （3）(,)(,)(,)d x y d x z d y z ≤+， 则称d 为X 上的度量，称(,)X d 为度量空间。 【理解】度量空间就是：集合+距离；（满足非负性、对称性及三点不等式） 其实度量空间是在实变函数中接触的知识，但其在泛函分析学科中的重要性，我们可以通过度量空间的进一步例子来感受。 §1.2 度量空间的进一步例子 例：1、离散的度量空间(,)X d ，设X 是一个非空集合，,x y X ?∈，当1,(,)0,=x y d x y x y ≠?=??当当。
2、序列空间S ，i =1i |-|1(,)21+|-|i i i i d x y ξηξη∞ =∑是度量空间 3、有界函数全体()B A ，(,)sup|(t)-(t)|t A d x y x y ∈=是度量空间 4、连续函数[a,b]C ，(,)max|(t)-(t)|a t b d x y x y ≤≤=是度量空间 5、空间2l ，122=1(,)[(-)]k k i d x y y x ∞=∑是度量空间 §1.3度量空间中的极限，稠密集，可分空间 §1.3.1极限：类似数学分析定义极限，如果 {}n x 是(,)X d 中点列，如果?x X ∈，使n l im (,)=0n d x x →∞，则称点列{}n x 是(,)X d 中的收敛点列，x 是点列{}n x 的极限。 同样的类似于n R ，度量空间中收敛点列的极限是唯一的。 §1.3.2稠密子集与可分空间:设X 是度量空间，E 和M 是X 中两个子集，令 M M M ?表示的闭包，如果E ,那么称集M 在集E 中稠密，当E=X 时，称M 为X 的一个稠密子集，如果X 有一个可数的稠密子集，则称X 是可分空间。 即：{},n n M E x E x M s t x x n ??∈??→→∞在中稠密对 §1.3.3 例子 1、 n 维欧氏空间n R 是可分空间； 2、 坐标为有理数的全体是n R 的可数稠密子集； 3、 l ∞是不可分空间。 §1.4 连续映射 §1.4.1定义：设 (,),(,),> 0,X (,) < (T ,T ) < ,o o o o X X d Y Y d T X Y x X d x x x d x x T x εδδε==∈ 是两个度量空间，是到中映射，如果对于任意给定的正数，存在正数 使对 中一切满足 的 ，有 则称在连续。
论文写作课程心得4篇 一： 在本学期的《论文写作》课程中，我学习到了关于论文写作的基本要素和方法。张聿老师在授课时非常细致、全面，将各种已经出现或可能产生的学术规范问题一一作了梳理，并介绍了一些历届的优秀毕业论文，为我们展示这些优秀文章中值得我们学习的优点，以至于我在听课时，不断地发现与再发现着自己以往论文中的一些问题。 在课堂上，我一步步了解了论文之前需要做哪些准备工作，如何选题，如何确定题目，论文的框架的主要内容，写作技巧以及需要注意的问题等等。通过这个课程，我从对于硕士论文的未知状态逐渐变得心中有数。老师在几次课上反复提到了论文的主题这一方面，可想而知，这是论文的第一要旨，极其重要。首先，是否有能力写，要根据主客观条件判断，课题过大，问题难以研究深入，可能导致虎头蛇尾，草草收摊；其次，论文要有价值，也就是需要有创新性、前沿性、理论性、趣味性等等；再次，所选的主题要有东西可写，方便展开，内容可充实；另外，是否可按期完成，送审是否顺利，是否有利于答辩，这些都是要综合考虑与权衡的。通过这些学习，对于我的开题报告有很大的帮助。 回想整个课程的学习，除了学到了有关论文写作的规则与技巧以外，我还有其他方面的收获。那是在第一堂课的引言部分，老师讲到平时要重视练习、提高艺术修养，不仅要勤写、多写，养成记笔记的好习惯，还要扩展知识面，大量关注相关领域。这些的确非常的重要，一方面，自从上了大学，没有了语文考试中的作文，没有老师布置的周记作业，我的写作水准逐年降低，文字功能退化严重，平时有些心得感悟最多三言两语记下来，只能称作意识流，且极少会书写百字以上的篇幅，这就造成自己逻辑思维能力下降，文章架构组织能力弱化。另一方面，缺乏一定的知识面和阅读量，例如老师在课堂上列举的诸多著作，有很大一部分都只是有所耳闻，却从未完整阅读过，甚至还有一些前所未闻。我深知作为一个硕士研究生，自己还差的太多，只觉惭愧之至。除文学艺术以外，老师还讲到了中国戏曲，当老师将昆曲600年的故事娓娓道来，我真是感动极了，更加懊恼自己的无知。我一向自诩对中国传统文化存在浓厚兴趣，自己的研究方向是民族性的色彩，然而却对中国文化中这么举足轻重的一笔多年来置若罔闻，实不应该。好在，这堂课真正激发了我对阅读的兴趣，很激动，决心要把这些空白慢慢补回来，尤其是中国传统艺术领域之精髓。老舍先生在《四世同堂》里，借英国领事富善先生说过一句话。他说，“老派的中国人英语不好，但是中文还靠得住。可是现在的中国人是英语不好，中文也靠不住。”这句话放到现如今仿佛更加贴切了。当我意识到这一点，那种紧迫感与压力也随之而来。一下课，我便直接冲进图书馆，借了《牡丹亭》，一面品读文字，一面找到白先勇先生的青春版《牡丹亭》视频，二者结合起来欣赏，不得不说，这极大地震撼了我。张聿老师在课堂上教授给我们的不仅是知识，更是比知识本身更重要的东西，让我有所反思，从而自觉地提高自身的艺术修养。 通过《论文写作》课程的学习，可谓受益良多，我更加深切地体会到，写一篇优秀的论文绝非易事，要投入更多时间与精力做好研究工作。以上就是我的《论文写作》课程的学习心得。
泛函分析学习心得 学习《实变函数论与泛函分析》这门课程已有将近一年的时间，在接触这门课程之前就已经听闻这门课程是所有数学专业课中最难学的一门，所以一开始是带着一种“害怕学不好”的心理来学.刚开始接触的时候是觉得很难学，知识点很难懂，刚开始上课时也听不懂，只顾着做笔记了.后来慢慢学下来，在课前预习、课后复习研究、上课认真听课后发现没有想象中的那么难，上课也能听懂了.因此得出了一个结论：只要用心努力去学，所有课程都不会很难，关键是自己学习的态度和努力的程度. 在学习《泛函分析》的前一个学期先学习了《实变函数论》，《实变函数论》这部分主要学习了集合及其运算、集合的势、n 维空间中的点集、外测度与可测集、Lebesgue 可测集的结构、可测函数、P L 空间等内容，这为这学期学习《泛函分析》打下了扎实的基础.我们在这个学期的期中之前学习的《泛函分析》的主要内容包括线性距离空间、距离空间的完备性、内积空间、距离空间中的点集、不动点定理、有界线性算子及其范数等.下面我谈谈对第一章的距离空间中部分内容的理解与学习： 第一章第一节学习了线性距离空间，课本首先给出了线性空间的定义及其相关内容，这与高等代数中线性空间是基本一样的，所以学起来比较容易.接着是距离空间的学习，如果将n 维欧氏空间n R 中的距离“抽象”出来，仅采用性质，就可得到一般空间中的距离概念： 1.距离空间（或度量空间）的定义： 设X 为一集合，ρ是X X ?到n R 的映射，使得使得X z y x ∈?,,，均满足以下三个条件： （1）)(0,≥y x ρ，且)(0,=y x ρ当且仅当y x =（非负性） （2）)()(x y y x ,,ρρ=（对称性） （3）)()()(z y y x z x ,,,ρρρ+≤（三角不等式）， 则称X 为距离空间（或度量空间），记作)(ρ,X ，)(y x ,ρ为y x ,两点间的距离. 学习了距离空间定义后，我们可以验证：欧式空间n R ，离散度量空间，连
《课程总结》 课程总结（一）： 课程学习总结 本学期开设的独立研究课程是一门很有用的学科。它不仅仅能够帮忙大学生解决现实中的需要，如毕业论文的撰写，更能提高大学生的素质，如创新精神的培养及创新潜力的提高。以下我将从几方应对这门课程的进行总结，并谈谈我对这门课程的感受。 一、课程学习资料。透过对本课程的学习，我们学会了知识创新、课题申请书及论文的撰写等知识、从而从必须程度上丰富了我们的知识，提高了我们的素质，使我们受益匪浅。更使我感受颇深的是知识创新。建设创新型国家的关键是靠创新型人才，创新型人才的培养关键是提高知识创新潜力。我们最重要的任务是将我们的相关知识透过不同程度地加工及运用转化成潜力。 二、课程讲授模式。本课程的课堂模式一反常态，学生转变主角，有学生进行备课及讲授。该模式分为两部分：第一部分由指定学生进行本节课程的讲解；第二部分由全体同学进行讨论，找出问题，解决问题。这种模式充分调动了所有同学的用心性，真正做到了学生与老师的互动，效果事半功倍。我个人很喜欢这种教学模式。 三、课堂外的学习。课堂外的学习是同学们掌握知识，提高感悟必不可少的过程。同学们在课堂外全身心地投入到本课程的学习当中，认真完成作业，真正做到学以致用。 以上就是我的总结和感受。透过对本课程的学习以及与老师和同学们的学习交流，我学到了很多东西，这必将对我今后的学习带给很大的帮忙。十分感谢刘老师和同学们的陪伴。 课程总结（二）： 透过新课程改革通识培训网上一段时间的学习，感觉受益非浅，在知识、经济高度发展的这天，没有知识和潜力是不够的，那么如何推动社会不断进步，应丛基础作起，从学生的教育做起，从课改作起。 得到了老师们的高度评价：学习过程中不断提出问题，分析问题，教学反思，用新课程理念及要求自己评价过去的教学活动实践，感悟点颇多，目的是提高自己以后的教学实践潜力，使自己的教学活动贴合新课程改革的要求标准，使自己的教学更高效。 新课程新在哪关在新上，新课程理念，新课程资料，新教学组织安排，新评价等，明白新课程的特点，更好理解新课程改革.。
泛函分析课程总结 数学与计算科学学院 09数本5班 符翠艳 2009224524 序号：26 一．知识总结 第七章 度量空间和赋范线性空间 1. 度量空间的定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素,x y ，都有唯 一确定的实数(),d x y 与之相对应，而且满足 ()()()()()()()1,0,,0=;2,,;3,,,,d x y d x y x y d x y d y x d x y d x z d z y z ≥=?? ??=????≤+?? 、的充要条件是、、对任意都成立。 则称d 为X 上的一个度量函数，（d X ,）为度量空间，),(y x d 为y x ,两点间的度量。 2. 度量空间的例子 ①离散的度量空间(),X d 设X 是任意的非空集合，对X 中任意两点,x y X ∈,令 ()1,,0,x y d x y x y ≠?? =??=?? 当当 ②序列空间S 令S 表示实数列（或复数列）的全体，对S 中任意两点 ()()12n 12,,...,,...,,...,,...n x y ξξξηηη==及，令 ()11,21i i i i i i d x y ξηξη∞ =-=+-∑ ③有界函数空间B （A ） 设A 是一给定的集合，令B （A ）表示A 上有界实值（或复值）函数全体，对B （A ）中任意两点,x y ，定义 (),()()sup t A d x y x t y t ∈=- ④可测函数空间m(X) 设m(X)为X 上实值（或复值）的L 可测函数全体，m 为L 测度，若()m X ≤∞，对任意两个可测函数()()f t g t 及，令 ()()(),1()() X f t g t d f g dt f t g t -=+-?
泛函分析作业 数学系08级5班 08020170 赵英杰
泛函分析主要内容 泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科。是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论。它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。主要内容有拓扑线性空间等。泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。 泛函分析是分析数学中最“年轻”的分支，它是古典分析观点的推广，它综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子、和极限理论。他在二十世纪四十到五十年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了。 一、度量空间和赋范线性空间 1、度量空间 现代数学中一种基本的、重要的、最接近于欧几里得空间的抽象空间。19世纪末叶，德国数学家G.康托尔创立了集合论，为各种抽象空间的建立奠定了基础。20世纪初期,法国数学家M.-R.弗雷歇发现许多分析学的成果从更抽象的观点看来,都涉及函数间的距离关系,从而抽象出度量空间的概念。 度量空间中最符合我们对于现实直观理解的是三维欧氏空间。这个空
间中的欧几里德度量定义两点之间距离为连接这两点的直线的长度。 定义：设X为一个集合，一个映射d：X×X→R。若对于任何x,y,z属于X，有 （I）（正定性）d(x,y)≥0,且d(x,y)=0当且仅当 x = y； （II）（对称性）d(x,y)=d(y,x)； （III）（三角不等式）d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z） 则称d为集合X的一个度量（或距离）。称偶对（X，d）为一个度量空间，或者称X为一个对于度量d而言的度量空间。 2、赋范线性空间 泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间。这类空间被称为巴拿赫空间，巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔伯特空间。 （一）、希尔伯特空间 希尔伯特空间可以利用以下结论完全分类，即对于任意两个希尔伯特空间，若其基的基数相等，则它们必彼此同构。对于有限维希尔伯特空间而言，其上的连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换。对于无穷维希尔伯特空间而言，其上的任何态射均可以分解为可数维度（基的基数为50）上的态射，所以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯特空间及其态射。希尔伯特空间中的一个尚未完全解决的问题是，是否对于每个希尔伯特空间上的算子，都存在一个真不变子空间。该问题在某些特定情况下的答案是肯定的。 （二）、巴拿赫空间
课程总结报告经过一个学期的学习，我体会颇深。此前，进入实验室我们的任务大都是观看老师的演示实验，自己动手的实验少之又少。如今，本学期大部分实验均需要自己独立完成，这无疑是对我们动手实践能力的大考验。虽然在很多物理实验中我们只是运用课堂上所知识的原理与结果，再现科学家经过无数次修改完善而总结的最为精妙的实验，但我们试验所经历的过程与物理家进行科学研究的所进行的物理实 验是大同小异的的。任课老师通过精心设计实验方案、严格控制实 验条件等多种途径，以最佳的实验方式呈现物理问题，使我们通过 努够顺利地解决物理实验呈现的问题，考验了我们的实际动手能力 和分析解决问题的综合能力，加深了我们对有关物理知识的理解，提高了我们的创新学习能力。 在正式做物理实验之前，我们必须要进行认真仔细的预习，如果没有对即将操作的实验预习，我们就无法把握实验的细节和注意事项，这就有可能导致实验的失败，因此，在未预习实验的情况下，实验室的老师是不允许我们进入实验室的。这一点也让我们深刻意识到科学研究的严谨与踏实的重要性。预习实验必须要弄清楚实验的总体过程，弄懂实验的目的、基本原理，了解实验步骤；对照教材所列 的实验仪器，了解仪器的工作原理、性能、正确操作方法，特别是要注意仪器的使用注意事项。最后我们要把预习实验的情况呈现在预 习报告上。物理实验的预习报告总共包括五的部分：1、实验目的；2、实验仪器；3、实验中的主要工作；4、预习中遇到的主要问题及思考；
5、实验原始数据记录等。它能够帮助我们有条不紊地进行实验中的各项操作成功完成实验。在预习实验过程中尤其要注意对实验原理、实验步骤和预期实验现象进行思考，我们可以独立进行演算和推理，也可以和同学一起讨论研究，也可以参考课外资料，必要时还可以请教实验室的老师。只有把预习时遇到的问题解决掉，才能在实验操作时胸有成竹游刃有余。 实验预习完成后，就要准备进行实验的实际操作了。实验过程中要严格按照实验仪器的操作要求来操作，所有仪器要调整到正确的位置和稳定的状态。所以在进行实验前我们一定要仔细检查实验仪器，确保实验仪器完好无损并可以正常使用。在实验的过程中，如果出现一些故障或观察到的实验现象与理论上的现象不符，首先应认真思考并检查实验仪器使用以及线路连接是否正确，不正确的操作及时进行改正，如果自己无法解决，应及时请老师来指导改正，切不可马虎对待，敷衍了事。实验步骤方面可按照预习报告按部就班进行即可，但要仔细观察实验现象，注意及时记录实验原始数据，不得捏造实验数据。实验数据的处理与分析这一过程对得出实验最终的结论十分重要。本学期我们学到的数据处理方法主要有： 1、列表法：列表法是实验数据处理的一种基本方法将数据按一定的规律列成表格时的数据表达清晰有条理，易于审核和发现问题，有助于发现物理量之间的相互关系和规律。 列表时应注意：（1）首先要写数据表格的名称，必要时还应提供有关参数。例如，引用的物理常数，实验的环境参数，测量仪器的误差
《泛函分析》课程教学大纲 一课程说明 1.课程基本情况 课程名称：泛函分析 英文名称：Functional Analysis 课程编号：2411215 开课专业：数学与应用数学 开课学期：第6学期 学分/周学时：3/3 课程类型：专业方向选修课 2．课程性质（本课程在该专业的地位作用） 泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科，是现代数学的一个重要分支。它综合地运用分析、代数和几何的观点、方法研究分析数学中的许多问题，是将具体的分析问题抽象到一种更加纯粹的代数拓扑结构的形式中进行的研究。随着科学技术的迅速发展，泛函分析的概念、方法已经渗透到数学的各个分支而且日益广泛地被应用于自然科学、工科技术理论和社会科学的各个领域。通过该课程的学习，学生不仅能学到泛函分析的基本理论和方法，而且对学习其它数学分支以及将其应用到数理经济，现代控制论，量子场论，统计物理、工程技术等领域有很大帮助。 3．本课程的教学目的和任务 本课程基本要求学生能理解该学科的思想及应用性，掌握基本理论方法，了解定理证明过程。通过本课程的学习, 学生应熟练掌握度量，范数，线性算子，内积，直交投影，谱等概念, 熟练掌握纲理论及有界线性算子的基本原理和线性泛函的延拓理论, 为今后学习打下坚实基础。 4．本课程与相关课程的关系、教材体系特点及具体要求 泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象，和某
些研究手段，并形成了自己的许多重要分支，例如算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、广义函数论等等；另一方面，它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展。它在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的应用，还是建立群上调和分析理论的基本工具，也是研究无限个自由度物理系统的重要而自然的工具之一。今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中，已成为近代分析的基础之一。 5．教学时数及课时分配 二教材及主要参考书 1. 程其襄等编.《实变函数与泛函分析基础》（下册）（第三版），高等教育出版社，2010年6月. 2.曹广福等编.《实变函数论与泛函分析》（下册）（第三版），高教出版社，2011年6月. 3．张恭庆、林源渠编著，《泛函分析讲义》（上册），北京大学出版社，1987年. 4.夏道行等编.《实变函数与泛函分析》（下册）(第二版)，高等教育出版社，2005年. 5．李广民编.《应用泛函分析》.西安电子科技大学出版社，2004. 三教学方法和教学手段说明
泛函分析知识总结-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
泛函分析知识总结与举例、应用 学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间； 二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。 一、度量空间和赋范线性空间 （一）度量空间 度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n维欧氏空间n R（有限维空间）的推 广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。 1．度量定义：设X是一个集合，若对于X中任意两个元素x，y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件： 1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ?x=y（非负性） 2°d(x,y)= d(y,x) （对称性） 3°对?z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式） 则称d(x,y)是x、y之间的度量或距离（matric或distance），称 为(X,d)度量空间或距离空间(metric space)。 （这个定义是证明度量空间常用的方法） 注意:⑴定义在X中任意两个元素x，y确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称为度量。这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义 引申到一般情况，它用来描述X中两个事物接近的程度，而条件 1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。
⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。 ⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的 点” 。 ⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，而称“度量空间X ” 。 举例 离散的度量空间：设X 是任意的非空集合，对X 中任意两点x,y ∈X ，令 ()1x y d x y =0x=y ≠???，当，，当，则称（X ，d ）为离散度量空间。 序列空间S ：S 表示实数列（或复数列）的全体，d(x,y)＝1121i i i i i i ?η?η∞=-+-∑； 有界函数空间B(A)：A 是给定的集合，B(A)表示A 上有界实值（或复值）函数 全体，对B(A)中任意两点x,y ，定义d(x,y)＝ A t ∈sup )()(t y t x - 可测函数空间M(X)：M(X)为X 上实值（或复值）的L 可测函数全体。d(f,g)=dt t g t f t g t f x ?-+-)()(1) ()( C[a,b]空间（重要的度量空间）：C[a,b]表示闭区间[a,b]上实值（或复值）连续 函数全体，对C[a,b]中任意两点x,y ，定 义 d(x,y)＝)()(max t y t x b t a -≤≤ l 2 ：无限维空间（重要的度量空间） ★ 例、是考试中常考的度量空间。
《Excel高级办公应用技术》课程学期总结论文 摘要：Excel是一款功能强大的办公软件，能够对数据进行处理、统计分析和计算、简单的数据库管理，能绘制图表。它功能强大，能将杂乱的数据组成有用的信息，然后可以将其传播分析和交流，并且excel上手简单，函数简单易懂，本论文将结合自己的一些学习经验讲一些学习excel的心得体会。 关键字：excel软件；基础应用 二、所学知识概要：数据类型及输入，工作表的格式设定，公式与函数的应用，图表的处理， 三、知识点详述： ㈠数据类型及输入。 excel常用的数据类型有数字型，日期型，文本型，逻辑型数据等，而其中文本类型和数字类型最为常用。其输入方法也不尽相同。字符文本应逐字输入，而文本如果要在单元格中输入文本格式的数字（如“身份证号码”），除了事先将单元格格式设置为文本外，只需在数字前面加个“’”（单引号）即可。分数的输入通常在单元格内输入分数8/9会显示为8月9日，如果想避免此类情况，除了将单元格格式设置成分数格式外还可以在要输入分数票添加一个0和空格。但此输入法的分母不能超过99。连续输入编号（或等差、等比性质的数据）应采用复制或序列填充的方式进行输入。在excel中除了自带的数据格式，用户还可以自定义格式。比如要输入15位的数值是我们可以进行自定义格式输入。在单元格格式中定义数值精度，在使用中从中选择即可。 ㈡工作表的格式设置 工作表的格式设置是个很常用的操作。在excel中不同类型的数据有不同的使用格式。数据的对齐方式，在默认情况下，文本靠单元格的左边对齐，数值靠单元格的右边对齐。有时需要特殊的对齐方式，如斜线表头，旋转字体，垂直居中等。文本格式的设置，文字的设置大致包括字体、字型、颜色、修饰、对齐方式、字体颜色等。我们可以通过选
实变函数学习心得 实变函数课在我国高等学校数学系的教学计划中属于专业基础课,是一门承上启下的课。下面是为大家准备的实变函数学习心得体会，希望大家喜欢! 实变函数学习心得体会范文篇1 学习实变函数这们课已经一个学期了，对于我们数学专业的学生，大学最难的一门课就是实变函数论与实变函数这门课了。我们用的教材难度比较大，所以根据我自己学习这门课的心得与方法，有以下几点： 1、复习并巩固数学分析等基础课程。学习实变函数这门课程要求我们以数学分析为学习基础，因此，想学好这门课必须有相对比较扎实的数学分析基础。 2、课前预习。实变函数是一门比较难的课程，龙老师上课也讲得比较快、比较抽象，因此，适当的预习是必要的，了解老师即将讲什么内容，相应地复习与之相关内容。如果能够做到这些，那么你的学习就会变得比较主动、深入，会取得比较好的效果。 3、上课认真听讲，认真做笔记。龙老师是一位博学的老师，上课内容涵盖许多知识。因此，上课应注意老师的讲解方法和思路，其分析问题和解决问题的过程，记好课堂笔记，实变函数这门课比较难，所以建议听课是一个全身心投入听、记、思相结合的过程。 4、课后复习,做作业，做练习。我们作为大三的学生，我们要学
会抓住零碎的时间复习实变函数课堂的学习内容，巩固学习。复习不是简单的重复，应当用自己的表达方式再现所学的知识，例如对某些定理证明的复习，不是再读一遍书或课堂笔记，而是离开书本和笔记，回忆有关内容，理解并掌握其证明思路。做作业、做练习时，大家要重视基本概念和基本原理的理解和掌握，不要一头扎进题海中去。 所以，我们学习实变函数总的来说要把握课前、课时与课后的任务，学习内容要多下功夫掌握基本概念和原理及其证明思路，尽可能地掌握作业题目，在记忆的基础上理解，在完成练习中深化理解，在比较中构筑知识结构的框架，是提高学习实变函数课程效率的重要途径。 实变函数学习心得体会范文篇2 古语有云：微机原理闹危机，汇编语言不会编，随机过程随机过，量子力学量力学，实变函数学十遍。其它的不好说，这实变函数确实要多看几遍的。虽然我曾旁听过这门课，但是对于其中的种种总感觉模模糊糊，不甚明了。前几日在网上down了一个完整的教学视频，便想着把这门课重新来过，遂借着这片地方留下一些印记，好督促自己万不可半途而废。 1、集合列的极限有上下极限之分，只有当上下极限相等时，才称集合列存在极限。对于上极限可以这样定义： {x|x属于无穷多个An}.无穷多是用文字语言来进行形象的描述，那么转换成数学的语言应该是怎样的呢?类比数学分析中的聚点原理，我们可以假设若x属于某个Am，那么一定可以找到mm,使得x也属于m，如若不然，x就属于有限个集合，而不是无穷多个了。上述
泛函分析知识总结与举例、应用 学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。 一、度量空间和赋范线性空间 （一）度量空间 度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n维欧氏空间n R（有限维空间）的推 广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。 1．度量定义：设X是一个集合，若对于X中任意两个元素x，y,都有唯一确定的实数d()与之对应，而且这一对 应关系满足下列条件： 1°d()≥0 ，d()=0 ?x=y（非负性） 2°d()= d() （对称性） 3°对?z ，都有d()≤d()() （三点不等式） 则称d()是x、y之间的度量或距离（或），称为 ()度量空间或距离空间()。 （这个定义是证明度量空间常用的方法）
注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d()，只要 满足1°、2°、3°都称为度量。这里“度量”这个名 称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描 述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被 认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。 ⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个 集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为 (X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。 ⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。为直观 起见，今后称度量空间()中的元素为“点” ，例如若 x X ∈，则称为“X 中的点” 。 ⑷ 在称呼度量空间()时可以省略度量函数d ，而称“度 量空间X ” 。 1.1举例 1.11离散的度量空间：设X 是任意的非空集合，对X 中任意两点∈X ，令 ()1x y d x y =0x=y ≠??? ，当，，当，则称（X ，d ）为离散度量空间。 1.12 序列空间S ：S 表示实数列（或复数列）的全体，d()＝1121i i i i i i ?η?η∞=-+-∑； 1.13 有界函数空间B(A)：A 是给定的集合，B(A)表示A 上有界
浅谈泛函分析 数学科学学院 张健 20111101710 2011级数学与应用数学汉班 摘 要 泛函分析是分析数学中最“年轻”的分支，它是古典分析观点的推广，它综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子、和极限理论。它在二十世纪四十到五十年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了。 关键词 泛函分析、空间、度量、算子 泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科,是从变分问题、积分方程和理论物理的研究中发展起来的。它综合运用函数论、几何学、现代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数、算子和极限理论。它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。主要内容有拓扑线性空间等。泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。 .1度量空间和赋范线性空间 1.1度量空间 现代数学中一种基本的、重要的、最接近于欧几里得空间的抽象空间。19世纪末叶，德国数学家.G 康托尔创立了集合论，为各种抽象空间的建立奠定了基础。20世纪初期,法国数学家..R M -弗雷歇发现许多分析学的成果从更抽象的观点看来,都涉及函数间的距离关系,从而抽象出度量空间的概念。 度量空间中最符合我们对于现实直观理解的是三维欧氏空间。这个空间中的欧几里德度量定义两点之间距离为连接这两点的直线的长度。 定义：设X 为一个集合，一个映射d ：R X X →?。若对于任何z y x ,,属于X ，有 ()1（正定性）(),0,≥y x d 且(),0,=y x d 当且仅当y x = ()2（对称性）()()x y d y x d ,,= ()3（三角不等式）()()()z y d y x d z x d ,,,+≤ 则称d 为集合X 的一个度量（或距离）。称偶对()X d ,为一个度量空间，或者称X 为一个对于度量d 而言的度量空间。 2.1赋范线性空间
论文写作心得体会 文章千古事，得失寸心知论文写作心得体会思考是一个痛苦的过程，而思考之后的收获又让人感到一种莫名的兴奋与欣慰，就在这种痛苦与兴奋交织之中，论文撰写已经尘埃落定，三年的研究生生活也将接近尾声。回想论文撰写的那些日子，一切都历历在目，在实验室挑灯夜战，在宿舍辗转反侧难以入睡，有过山穷水尽疑无路困惑，有过柳暗花明又一村的激动，也有过拨开乌云见日出的喜悦，论文写作是一个艰难的过程， 记得刚上完这门课的时候老师就布置了作业，要求我们就论文板块的某个方面去写心得，当时我就问我旁边的同学，你学到了什么？很多人迷茫了，上完了这门课不知道讲了什么，学到了什么。我个人的实际情况有点不一样的，虽然说论文课忘了很多，但是还是有一些收获的，起码自己以后在写毕业论文时候，知道要在内容与格式这两大方面抓好，这非常重要。写一篇好的毕业论文的确不容易，我们必须要认真对待。 刚开始的第一节课是张老师给我们上课的，老师谈及论文写作，给我印象最深的就是他多次强调论文的格式。的确，先不说我们的内容是否新鲜，观点是否创新，建言献策是否有建树，但论文格式的要求是基本的要求，是每个同学都可以做好的。这些基本的格式我们要做好弄好，基本的东西没做好，留给指导老师给你做，这合适吗？虽然说今天面对的是一篇本科论文，但是可能明天也许你就会因为这种不认真的态度而错失很多很好的工作机会。细节决定成败，虽然这是一句话很俗套而且老生常谈，但是十分有理。 其次是老师强调的选题，论文写作的成败，关键还在于选题。课上老师花了大量的时间给大家讲了选题的问题。老师说我们在选题的时候从现实的弊端中选题，学习了专业知识，不能仅停留在书本上和理论上，还要下一番功夫，理论联系实际，用已掌握的专业知识，去寻找和解决工作实践中急待解决的问题，尽量选择自己有较强的兴趣、而且平时有所思考、有所积累的比较熟悉的课题，可以保证选题后写作的可行性。而且范围要尽量小一点，要不就会显得没有什么内容，给人很空的感觉。选题要求学生注重平时积累，博览群书，并要长期的思考。另外注重对自己的跨学科知识的培养，以使自己能从更多的角度看问题，视野更开阔。老师还给我们举了好多的例子来说明，我倒是有一些自己的切身体会。选题就是要发现值得做课题研究的问题，这就需要我们有问题意识。确定论文的题目不可能靠临时抱佛脚，这项工作必须要放在平时。 记得在某一节课上老师给我们点评了一些师兄师姐的毕业论文，印象中听到老师批评的声音较多，赞许的话有，但是相对来说是比较少的。老师是一个会说真话有要求的人，老师的评价是中肯的。老师给我们看了一些师兄师姐的论文，在某些论文里，很多同学都可以看出挺多问题的。论文太难令人信服，文章太苍白了。论文最后是文献，文献资料来源太少，缺少精确。有的甚至来源我们教材，这是不太可取的。在此，老师强调论文的参考文献很重要，想写好一篇论文，必须要广泛地阅读大量的文献资料。 还有就是关于论文写作的态度问题，当下社会抄袭之风似乎盛行得很。在这样一个急功近利的时代，所谓的“学术抄袭”好像四处都可以寻找到适合它滋生的环境。而我们呢，对这类现象自然是会嗤之以鼻，然而见多了，也就见怪不怪了。其实，我们在这课之前也写过论文，自己可以扣心自问，有多少的内容是借鉴了别人的。所以在上课时，老师也反复的强调，当我们自己进行论文写作时，要时刻提醒自己，千万不可以“犯规”，要靠自己的真本事。
《实变函数与泛函分析》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程代码：110047 课程名称：实变函数与泛函分析 英文名称：Real variable analysis And Functional analysis 课程类别：专业基础课 学时：50 学分：3 适用对象：信息与计算科学专业本科 考核方式：考试，平时成绩30％，期末成绩70％ 先修课程：数学分析和高等代数 二、课程简介 中文简介：实变函数起源于对连续而不可微函数以及Riemann可积函数等的透彻研究，在点集论的基础上讨论分析数学中一些最基本的概念和性质，其主要内容是引入Lebesgue积分并克服了Riemann积分的不足。它是数学分析的继续、深化和推广，是一门培养学生数学素质的重要课程，也是现代数学的基础。泛函分析起源于经典的数学物理边值问题和变分问题，同时概括了经典分析的许多重要概念，是现代数学中一个重要的分支，它综合运用了分析、代数与几何的观点和方法研究、分析数学和工程问题，其理论与方法具有高度概括性和广泛应用性的特点。 英文简介：Real variable analysis And Functional analysis is a theoretical course of mathematics which can be used in variable fields such as engineering and technology, physics, chemical, biology, economic and other fields. The educational aim in this course is to develop the abilities of students in analyzing and solving practical problem by the special ways of Real variable analysis And Functional analysis’ thinking and reasoning. 三、课程性质与教学目的 本课程是在实变函数与泛函分析基本理论的基础上，着重泛函分析的应用，教学的目的是丰富学生的知识和培养学生解决实际问题的能力。本课程就其实质来说是方法性的，但对于应用学科的学生来说，作为授课的目的，则是知识性的，故在教学方法和内容的选择上来说，只能让学生了解那些体现实变函数与泛函分析基本特征的思想内容，冗难的证明过程应尽量避免。本课程要求如下： 1. 理解和掌握集合间的关系和集与映射间的关系，了解度量空间的相关概念和Lebesgue可测集的有关内容和性质。
泛函分析知识点小结及应用 §1 度量空间的进一步例子 设X 是任一非空集合，若对于∈?y x ,X ，都有唯一确定的实数()y x d ,与之对应， 且满足 1．非负性：()y x d ,0≥，()y x d ,=0y x =?; 2. 对称性：d(x,y)=d(y,x); 3．三角不等式：对∈?z y x ,,X ，都有()y x d ,≤()z x d ,+()z y d ,， 则称(X ，d ) 为度量空间，X 中的元素称为点。 欧氏空间n R 对n R 中任意两点 ()n x x x x ,,,21 =和()n y y y y ,,,21 =，规定距离为 ()y x d ,=()2 1 12?? ? ??-∑= n i i i y x . []b a C ,空间 []b a C ,表示闭区间[]b a ,上实值(或复值)连续函数的全体.对[]b a C ,中任意两点y x ,，定义()y x d ,=()()t y t x b t a -≤≤max . p l （)1+∞<≤p 空间 记p l ={}??????∞<=∑∞ =∞=11k p k k k x x x . 设{}∞==1k k x x ，{}∞==1k k y y ∈p l ，定义 ()y x d ,=p i p i i y x 11???? ??-∞=. 例1 序列空间S 令S 表示实数列(或复数列)的全体，对{}∞==?1k k x x ，{}∞==1 k k y y ，令 ()y x d ,=∑ ∞=121k k k k k k y x y x -+-1. 例2 有界函数空间()A B 设A 是一个给定的集合，令()A B 表示A 上有界实值(或复值)函数的全体. ∈?y x ,()A B ，定义 ()y x d ,=()()t y t x A t -∈sup . 例3 可测函数空间()X M 设()X M 为X 上实值(或复值)的可测函数的全体，m 为Lebesgue 测度，若 ()X m ∞<，对任意两个可测函数()t f 及()t g ，由于 ()()()() 11<-+-t g t f t g t f ，故不等式左 边为 X 上可积函数. 令 ()g f d ,=()()()() t 1f t g t d X f y g t -?+-. §2 度量空间中的极限 设 {}∞=1n n x 是 ()d X ,中点列，若X x ∈?，s.t. ()0,lim =∞→x x d n n (*) 则称{}∞=1n n x 是收敛点列，x 是点列{}∞ =1n n x 的极限. 收敛点列的极限是唯一的. 若设n x 既牧敛于x 又收敛 y ，则因为 ()()()0,,,0→+≤≤n n x y d x x d y x d ()∞→n ，而有 ()y x d ,=0. 所以x =y . 注 (*)式换一个表达方式：()x x d n n ,lim ∞ →=( ) x x d n n ,lim ∞ →. 即当点列极限存在时，