二次等式约束非凸二次规划问题的全局最优性条件

具有二次非线性约束的凸二次规划问题的算法研究一、引言在实际应用中，凸二次规划问题的求解是一类非常重要的问题。

经典的二次规划问题的目标函数是一个二次函数，并且约束条件是线性的，这类问题的求解已经得到了广泛的研究。

但是，在实际生产与维护中，往往还需要考虑更多因素的约束，例如涉及到非线性因素、离散因素等。

本文将着重探讨具有二次非线性约束的凸二次规划问题，并给出相应的算法。

二、凸二次规划问题凸二次规划问题被定义为：求解一个二次目标函数的最小值，其约束条件是一些线性不等式和线性等式。

这类问题是一个非常重要的建模工具，广泛应用于生产与维护等领域。

对于凸二次规划问题，在具有一定的限制条件下，可以通过各种方法来求解。

该问题最常见的求解方法是使用内点法，该方法具有渐进Theory收敛性，并且在理论上具有多项式时间复杂度。

其他常用方法还包括牛顿法、拆分算法等。

三、具有二次非线性约束的凸二次规划问题凸二次规划问题的约束条件通常是线性的，而在实践中还经常遇到需要考虑更多因素的情况。

其中最重要的因素之一就是具有二次非线性约束的问题。

这种类型的问题在实际应用中是非常常见的。

对于具有二次非线性约束的凸二次规划问题，数学模型表示可以被写成如下形式：$$ \begin{aligned} \min_{x\in \mathbb{R}^n}\qquad &\dfrac{1}{2}x^TQx + c^Tx\\ & \text{s.t. }\quad Ax = b\\ &\quad\quad\quad f_i(x) \geq 0\quad i\in I_1\\ & \quad\quad\quad f_j(x) = 0 \quad j\in I_2 \end{aligned} $$其中，$x$ 是优化变量， $Q$ 是一个半正定的 $n\times n$ 实矩阵， $A$ 和 $b$ 分别是 $m\times n$ 实矩阵和 $m$ 维向量，$f_i(x)$ 和 $f_j(x)$ 分别是凸可微非线性函数。

D．C．集（凸集的差）约束的非凸二次规划的最优解集第24卷第5期工程数学V o1.24No.52007年10月CHINESEJOURNALOFENGINEERINGMA THEMA TICSOct.2007 文章编~:1005—3085(2007)05—0801—12D.C.集(凸集的差)约束的非凸二次规划的最优解集木林惠玲,张圣贵(福建师范大学数学与计算机科学学院,福州350007)摘要:本文研究D.C.集f凸集的差1上极小化非凸二次规划问题的最优解.我们首先证明了该问题的Lagrange对偶的稳定性,即不存在对偶间隙:接着利用该性质得到问题的全局最优性条件和最优解集,它可以像凸规划那样,借助它的对偶问题的解集精确地描述出来.最后,通过一个例子来说明这些结论.关键词:D.C.规划:非凸二次规划:Lagrange对偶性;全局最优性条件分类号:AMS(2000)49M29;90C46中图分类号:O221.2文献标识码:A1引言与记号本文中,我们考虑如下的非凸二次规划问题=min{,()=丢Ax+6:r≤llIIr;)(P)其中A∈Rn×n,A=A,b∈Rn,r1,r2∈R++,r1<r2.问题(P)是一个D.C.规划问题.对于D.C.规划,文【1]中给出求解典范D.C.规划(定义见文【1])的多种算法;文【2]中给出在欧氏空间R"上极小化两个闭凸函数之差的规划的全局最优性条件与D.C.算法.若记E={:1r}1lIxllj122),E1={:~jjxll112),E2={:1lIxll122),并引入指示函数,,f0,x∈E,x蛆则5E(X)=5E()+5E.(),于是可以把(P)转化为在欧氏空间R"上极小化两个凸函数之差的规划.但注意到问题(P)的特殊结构,本文采用Langrange对偶理论来刻画问题(P)的最优性条件.同时,问题(P)又是…个在多个二次约束上极小化不定二次函数的问题,记为(F) XTQ0一2XTQ{一26+C{0(P)其中QT=Q∈R",b∈R",i=0,1,…,m.关于问题(F),文【3]主要利用矩阵束的技巧得到解的存在性定理及最优性条件;文【4]运用半定规划松弛的方法得到这类问题的多项式时收稿日期:2005-12-16.作者简介:林惠玲(t98t年9月生),女,硕士.研究方向:最优化理论与算法.基金项目:福建省自然科学~(S06500082006J0202);福建省教育厅资助项目(JA050210);福建省教育厅资助项目fJB06095).802工程数学第24卷间可解条件,同时给出单一等式约束的非线性规划的多项式时间算法.但它们都没有给出问题(P)的最优解集的具体描述.本文研究D.C.集上的极小化非凸二次规划问题.在接下来的一节中,我们利用La- grange对偶理论,得到问题(P)的Lagrange对偶的稳定性,即不存在对偶间隙,而且问题(P)的解集可以像凸规划那样,借助它的对偶问题的解集精确地描述出来.这些结论对探索问题(P)的求解方法起到关键性作用.在本文中,运用如下记号:R++:全体正实数;t厂:t厂的梯度;intS,riS,OS:分别是集合S的内部,相对内部和边界:A+:A的Moore-penrose广义逆;AT:A的转置;l1.11:欧氏范数:L上:子空间L的正交补;ker(A):A的零空间;domg:函数口的有效域.2全局最优性条件定义(P)的Lagrange函数L(,￡):{1TA+6T+(r}～IIx11)+(1111一r22),tl,t0,I一∞,t=(tl,t2)0.首先考虑线性方程组(A—tlI+t2I)x=一b(1)的解.设A的特征值为A1A2…≤A,对应的n个标准正交特征向量为u1,u2,…,u.若A1～t1+t2>0,则(1)的唯一解是x(t)=一(A—tlI+t2)一b.由于A=AT,故存在, 使得A=Udiag(A1,A2,…,)T,其中U=[Ul,U2,…,】,于是川=i=11,.—.若A1一t1+t2=0,b∈[ker(A—AII)]上,则当b=0时,x(t)=一(A—tlI+t2)+b=0;当b≠0时,记J={1in:Ai=A1),则{1,…,礼)\J≠O,+(￡)是(1)的解,满足+(t)ll=∑tJ注下文中,如果没有特别说明,则有(bTu)(九一￡1+￡2)x(t)=x(tl,t2)=-(A—tlI+t2I)一6,+(￡)=+(tl,t2)=-(A一￡1+t2I)+b.对任意的t0,t∈R,定义)=inf{T(A啦++t2lr2一和:∈R"),则-9(￡)是t0上的凹函数.定义(P)的对偶问题为=sup{g(t):t0}.(Pt)(D)第5期!玲,张圣贵:D.C.集(凸集的差)约束的非凸二次规划的最优解集803命题1(domg:R.:￡0,1一tl+20,b∈[ker(一tiI+t~SK};(g(t)bT+夸r}一等r;=一6T(A-t1+2)+6+每r}一圭22"22,V∈,￡∈dom9证明()doing:{0:夕()>一∞),若1一t1+2<0,则对于v∈ker(～】,),有AX=1,贝UlI1.i.ra(一1一T(A-t~I+t2I)x+bTx+≥r}一.t2r;)=lI()11~112+bTx+一t2r22)------00_f(一.O.若t0,1一tl+t20,则(P)是一个凸规划,由可微无约束问题的最优性条件[5]知,∈Pt营(1)有解,即b∈[ker(A—1+2删上.(i)由()证得,当∈Pt,t0时,(一1+2)=一b.故9(t)=三bTx+tlr}一t2_r22=～T(一￡1+￡2)+6+tl}一t2_22.令(t)=～9(t)=16T(—t+t.)+6一≥r}+t2r;,则是凸的,且dom=domg.命题2(i)若t0,A1～t1+t2>0,则t∈dom,目=三一t2此时,在t>0,A1～t1+t2>0上可微,且(扰)当b=0()若b[ker(A一时,(t)re(e)式确定.c,=(1.:._+)贝Udom当b≠0∈R.:t0,1一t1+t20),此时,=三～A1驯上,则d.崎={t∈R.:t0,1一t1+t2>0),此证明由题1容易得到()和().下面证明().关于doI的特征由命题1即得.若6∈[ker(A—1驯上,则vj∈bT=0:于是,若b:0,由命题1的()知, (t)=～16T一≥r}+t2r;=一tl2+t2r;.若b≠0,当A1一tl+t2=0时,:一(—t1+t2)+6,则=三～=时上,幢譬+一嵋A血0一:r【,J∈6若时804工程数学第24卷当1一tl+2>0时,由()得,对于问题有如下结论:=一12=2tl+2tl2r2+2r;乏孑i一+2.乏i一+2.:∑一tlr2122+2喀t一1+2.min{T+6T:llII.r;)(Q)定理3【.】37是(Q)的最优解当且仅当存在0,使得fi1A+I是半正定的;(ii)(A+I)x:-6;()(11xll一1"2)=0,lIxll7"2.这样的是唯一的.记Q的解集为Q,且ll(+)+bll=7"2.(3)命题4【7】若6≠0,则()当1>0时,女口果lIa一bll7"2,贝0Q={一A一6);女口果lIa一bll>7"2,贝0Q=卜(+)6),其中>0是方程(3)的唯一解;(ii)当1=0时,如果lIA+bll7"2且6∈【ker(a)]上,贝0Q={:++u:u∈ker(A),s.t.1Ixll.=lIx+ll.+llull.r;)其中+=一+6,如果6【ker(a)]上或6∈【ker(a)]上,lIA+bll>7"2,则Q={一(+)6,其中>0是方程(3)的唯一解.因此,由定理3和命题4知,在以下两种情况下:1)l=0;2)6≠0,(i)1>0,lIabll7"2;(ii)1:0,6∈【ker(a)]上,lIa一bll>7"2;()1=0,6【ker(A)]上.Q的最优解均满足lIxll=7"2.此时,问题(P)中的反向凸约束1lIxll.1r}不起作用,问题(P)就等价于问题(Q),这样,P的解集已由定理3给出.此外,当6≠0时,若1> 0,r1lIa一bllr2,则P=卜一6);若1:0,6∈【ker(a)]上,7"1lIA+bll7"2,由于PQ,由命题4的(ii)知,P={=++u:u∈ker(A),s.t.Ilxll.=lIx+ll.+llull.,r1lIxllr2),其中+=-A+b.综上所述,下面就以下两种情况描述问题(P)的解集:(a)b≠0,10,lIA+bll<7"1;(b)6:0,10.接下来,先给出一些对偶问题的解集的特征.第5期林惠玲,张圣贵:D.c.集(凸集的差)约束的非凸二次规划的最优解集805情况11>0,b∈[ker(A—1)]上问题(D)等价于其中Q(1)令于是Q(1)记及7=inf{~(t):t∈Q(),{t∈R:t0,1～t1+t20).并记1的最优解集为Qi)Q5){亡∈R2:t1=0,t20),Q!)={亡∈R2:0t11,t2{t.∈R:tl1,t20,t2=t1一1).QiuQ5uoal¨.7i=inf{():t∈Q),i=1,2,3inf{~(t):hi(t)=ti>0,i1,2,h3(t)=l—tl+t2>0)命题5问题(D1)的最优解集CQ(1).证明反证法.假设存在∈1,且∈intQ(),则是(】)的最优解.由文献f8]中的定理28.3知,存在8l,s2,83,使得(a1)8i0,一hi(t)<0,8ihi(t)=0,i=1,2,3;(a2)0∈6()+810hl()+82Oh2()+83Oh3().由命题2的()知,上述的(a1)和(a2)等价于如下系统J1IIx(~)ll=,I~11x(~)ll=手.由于T1<T2,故上述系统无解,这与假设矛盾.NCg,1Q(1).命题6对于情形(a),()在Q{¨,oal上分别关于2,l单调增加;如果IIx+(al,o)11 r1,则()在Q5上关于tl单调减少;如果IIx+(1,O)ll>rl,则()在Q5上有极小值点.证明在情形fa)下,(亡)f暑㈣Qi={暑奇【+一r}卜狮∈oal当t∈ri0f~时,令G(2):=()卜+害i硭J,由于IlA+bll<即暑<r},故<r一∑<～2i∑工程数学第24卷又r1<r2,故2)>0,因此,(t)在aQi上关于t2单调增加.显然,(t)在aQ上关于t1单调增加.当tEriaQ!时,令∽,讯)=一又膏(t1)在0<t1<1上单调增加,且∑i_三安一譬=llx+22(,.)II一叠2.,(九一1)2川'一于是,膏1)<0,故(t)在aQ!)上关于ti单调减少.若ll+(1,0)lI>r1,由于一知一.,故存在tE(0,Ai),使得H):0,即(三!:叠f4)2(九一1)2'.必有解t,于是,t就是(t)在aQ!上有极小值点.命题7对于情形(a),(i)若ll+(1,0)llr1,贝0={(1,0));(i)若lI+(1,O)ll>r1,则={(t,0)),其中0<t<Ai是方程(4)的唯一解.证明对于情形(a),(i)由命题6,1=(0,0)(1,0)="72=虿(1,0)="73,由命题5,:min{'~i:i=1,2,3).因此,由(D)与(Di)的等价性知,={(1,0)).()由于矣于t的函数∑三辱一譬在(0,入)内是严格单调的,故方程(4)的解是唯一的.因此,同理可证得:={(t,0)).命题8对于情形(b),={(1,0)).证明在情形(b)下,f(t)={【ri,t∈aQi一t21.~r1j2t∈aQ!(r;一r})一2r;,t∈aQ因此,,1=(0,0)=0(1,0)=一A1r="72=(1,0)="73,于是,=1:{(1,0)).情况21>0,b【ker(A一1)】上.问题(D)等价于inf{~(t):tEQ(),(D2)第5期林惠玲,张圣贵:D.C.集(凸集的差)约束的非凸二次规划的最优解集807 其中Q(.)={t∈R:t0,l—tl+t2>0).令aQi={t∈R:tl:0,t20),aQ:{t∈R2:0tl<l,t2:0).关于tl的方程去i=1r}命题9对于情形(n),:{(t,0)),其中0<t<l是方程(5)的唯一解.证明由于b[ker(A—AII)J上,则存在J∈J,使得bTuj≠0.因此,limt1—A川2=…limi=1=+∞又1一譬=去譬:去IIA-Xbllzr<0(5)故由单调连续函数的零点存在定理知,方程(5)在tl∈(0,1)内存在唯一解t. 类似于命题6可得:(t)在aQ;上关于t2单调增加,(t)在aQ'上有极小值点.再由命题5知:={(tj,0)),其中0<t<l是方程(5)的唯一解.定理10在情形(n)和(b)下:(i)D是单点集,且:{t=(t,0)),其中0tl;fii)=,且={∈:t~(1lxll—rx)=0,0≤Ax,t=0,rlIIxllr2}其中t∈.证明(i)由命题7,命题8,命题9即得.()设F=x∈R":;r}{Ilxllr;),定义示性函数F()::.,∈F【+∞,F于是sup{L(x,t):t0)=(f+5F)(),故n(,+)=础infsuptsup础infL(x,t):sup夕(t)=t>0接下来证明L(x,)存在鞍点,t),即存在x,t)∈Rn×R2,使得L(x,t)L(x,t)L(x,,V(x,t)∈R"×R对于Al>0,IIA+blI<rl,1)当b∈[ker(A一l驯上时,如果b≠0,Ilx+(al,o)11rl,或6:0,由命题7和命题8知,夕)=夕(O1=一inf1T(A一)x+bTx+r),故=+(l,0)+ker(A—Ax).取∈+,使得[Ix『I:rl;于是t;(1lxIl—r1)=l(ll—r1):0,t=0工程数学第24卷如果b≠0,忙+(1,o)1l>r1,由命题7,存在0<￡<1,使得)=1,0)=一inf{(A啦++和)故={+(￡,0):lIx+(￡,o)1l=r1),取=(￡,0),于是t~(1lxll—l"1)=0,芝=0.2)当b[ker(A一1驯上时,由命题9,存在0<￡<1,使得Iq(￡)=Iq(￡1,0)=i∈nRf{T(A)+和)故={(￡,0):lIx(t~,o)1l=r1),取=(￡,0),于是t~(1lxll—r1)=0,=0.综上所述,存在∈"Pt,￡∈,使得又)=T++萼(r_llII+II2--l";)=)三TA+6rz+萼(r一llII.)+筹(1lII2--l";)=(,￡).L(x,￡)=++≥(r一TA+6T+萼(r一II+II2--l";)T+II+II2ml";)=).故由鞍点定理[5],n=i1TAz+6T:Iq(￡)=,从上述的证明过程中知,L(x,￡)的鞍点全体为S:={∈:￡(IIxll—l"1)=0,0￡1,￡=0,l"1lIxllr2).因此由鞍点定理得,PS.反之,V∈P,则n={玎Az+brz,又由(i)及n=,TA+6T:Iq(≠):TA+6T+萼(r一IIx*ll.)+雩(II.一r;).冈此,∈"Pt-,t~(1lxll—l"1)=0,0≤￡1,￡=0,l"1lIxlll"2.推论11在情形(0)和(b)下:()若1>0,或1=0,b[ker(A)]上,则对于∈P,有忙ll=l"1;()若1=0,b∈fker(a)]上,贝0P={=+(0,0)+u:u∈ker(A),s.t.1Ixll.=lIx+(0,o)11.+lllI.,r1lIxllr2)证明(i)由定理10的证明及命题4的()即得.(ii)由命题6知,,y1=(0,0),因此)=,0)=蚀inf{T+6rz+r),于是-=+(0,0)+kerA,任取∈,使得l"1lIxllr2,则￡(IIxll—l"1)=O(1lxll—l"1)=0,=0,第5期林惠玲,张圣贵:D.C.集(凸集的差)约束的非凸二次规划的最优解集从而由定理10知P={X=+(0,0)+U:U∈ker(A),s.t.IJxll=lIx+(0,o)ll+ll,"ll,r1lJxlIr2)定理12在情形(a)和(b)下,X是问题(P)的最优解当且仅当存在t=(tj,t)0,使得(i)A一+是半正定的;(ii)(A一+t~I)x=一6;(iii)q(Hxll—r1)=0,0t1,t=0,rllIxllr2;这样的t是唯一的.证明必要性.由定理10及推论11知,X∈Pt,且存在t=(j,0)0,0t1使得(iii)成立.由X∈知,t∈domg,于是b∈[ker(A一j+)]上,即(A一+t~I)x=一b.由0tj1,t=0知,A一+是半正定的.由定理10的证明知,t=1或t是方程(4)或方程(5)的唯一解,t=0,故t是唯一的.充分性.由()和()知,VX∈R",有(A-t~I+)+6—(A-t~I+)一6=(A-t~I+)X--X*T(一+)+X*T(一+)=X--X*)(一+)(X--X*)0,从而由()知,VX,1r}1lJxll_lr122,有即(A-tj)+6(A-t)+6,Ax+++t7(1++t7(r=+,现在我们可以得到问题(P)的最优性条件:定理13X是问题(P)的最优解当且仅当存在(i)A一+是半正定的;(ii)(A—tj+t~I)x=_b;(iii)t=0,(r2一lIxl1)=0,或tj(IIxll_r2;这样的t是唯一的.证明若1<0,或b≠0,10,若b≠0,10,lIAⅢ1bll<r1,或b=0,2lJxt=(j,)0,j=0,使得r1)=0,0t1,=0,rlIIxlllIAⅢ1bIlr1,由命题4之后的讨论及定理3即得;10,由定理12即得.810工程数学第24卷3问题(P)的解集合关于t2的方程2t2)一2,(6)(+2'从前面第二部分的讨论及文[7J的命题 3.14,容易得到问题(P)的解集合的如下特征:命题141)入1<0,b≠0,若lI(—1)+blIr2,b∈ker(A—1)上,贝qP:{=+(0,一1)+.":."∈ker(A—1),s.t.1lll2=ll+(0,一1)It2+l1."ll2=r;).若(A一入1)+bl{>7'2,b∈ker(A一入1)上或bker(A一入1)上,贝0P={一(A+t)一b),其中￡;是方程(6)的唯一解.若A1<0,b=0,贝0P={∈ker(A—1I):llll=r2).若iIA+6cl≤r2,b∈ker(A)上,贝0P:{:+(0,0)+.":."∈ker(A),s.t.1lll2=If+(0,o)112+l1."ll2,r1llllr2).若ft(A)+btf>r2,b∈ker(A)上或bker(A)上,则P={一(+)-16),其中是方程(61的唯一解.若A1=0,b=0,贝0P={∈ker(A):r1fIxlIr2).3)1>0,b≠0,若lI+hiI>r2,则P={一(+￡)-16),其中是方程(6)的唯一解.若nIIA+blIr2,则P={-A-16).若IIA+blf<r1,b∈ker(A—1,)上,IIx+(1,0)lIr1,贝0P={=+(1,0)+.":."∈ker(A—1),s.t.IIxll.=ll+(1,o)11.+Ilull.=r)若ttA+btt<r1,b∈ker(A—1,)上,ll+(1,o)11>r1,贝0P={一(一￡)一6),其中是方程(5)的唯一解.若ftA+blI<r1,bker(A—1)上,则P={一(一)一16),其中￡是方程(5)的唯一解.若A1>0,b=0,则={=+(1,0)+.":."∈ker(A—1),s.t.1lll2=ll+(A1,0)ll2+l1."lI2=r).例子考虑下面D.C.规划问题nTA.x+b.T.;+122—212—223+31～(P)s.t.9+;+;16一=6,,●●●/002220,,,●I●___-Il,\=A意题由解第5期林惠玲,张圣贵:D.C.集(凸集的差)约束的非凸二次规划的最优解集811 的特征值为:1=一2,2=1,3=4,对应的标准正交特征向量分别为:"1 (,;,;)T,".=(;,,一;)T,".=(一;,;,)T.对于线性方程组(A—1I)x=b,rank(A—1)≠rank([A—All,hi).故b[ker(A1)]上.因此(P)的对偶问题等价于定义令inf()=(=+25+64—9tl+16t2)s.t.tl0,20,-2一1+t2>0..)=)=(9(-2-1t2)+dhdt22564.9(4+t2)+16),t2>2,2(9(-2t2)+{+{t—2)一6)=.\+0.9(1+2)0.9(4+0—/即++-144,2t2)(一+..(1+2)..(4+2).故=2.0843.由命题9知,口={(0,2.0843)}.由定理12知,所求(P)的解满足:即故且又(0,2.0843)=18.3681,参考文献:(A—t~I)z=一6,lI.=16,P={=(一1.9705,一2.5240,一2.4219)T)18.4924=g(o,2.0843)=一(0,2.0843)≈0【1]TuyHDC.Optimization:Theory,MethodsandAlgorithms[M].HorstRandPardolosP Meds.HandbookofGlobalOptimization.Kluwer.Dordrecht.1994:149—216【2]LeThiHoaiAn.TheDC(differenceofconvexfunctions)programmingandDCArevisit ewithDCmodelsofrealworldnonconvexoptimizationproblems[J].AnnalsofOperationsResearch,2005,13 3:23—46=,呓,3一一=一一卜一似似《++遽呓+24一一6+A1—2=口比因812工程数学第24卷[3][4][5][6】[7][8]SternRJ,WolkowiczH.Indefinitetrustregionsubproblemsandnonsymmetriceigenvaluep erturbations[J].SIAMJournalonOptimization,1995,5:286—313YinYuY 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tyconditionsandoptimalsolutionsets.Asaconvexprogramming,wecanexactlydescribetheo ptimal solutionsetoftheprimalproblemwiththehelpoftheoptimalsolutionsetofitsdualproblem.Fi nally,wegiveanexampletoillustratetheobtainedresults.Keywords:D.C.programming;non—convexquadraticprogramming;Lagrangeduality;globalopti—malitycondition。

在约束条件下的最优化问题是指在一定的限制条件下，寻找使目标函数达到最大或最小值的最优解。

这类问题可以通过数学建模和优化算法来解决。

常见的约束条件包括等式约束和不等式约束。

等式约束要求某些变量之间的关系满足特定的等式关系，而不等式约束则要求某些变量之间的关系满足特定的不等式关系。

数学上，约束条件可以表示为：
1. 等式约束：g(x) = 0，其中g(x)是一个关于变量x的函数。

2. 不等式约束：h(x) ≤0，其中h(x)是一个关于变量x的函数。

最优化问题的目标函数可以是线性的、非线性的，甚至是在某些特殊情况下可能是非凸的。

根据问题的具体形式，可以选择适合的优化算法进行求解，如线性规划、非线性规划、整数规划等。

常见的优化算法包括：
1. 梯度下降法：用于求解无约束或有约束的凸优化问题，在连续可导的情况下通过迭代调整参数来逐步接近最优解。

2. KKT条件法：用于求解有约束的凸优化问题，通过构建拉格朗日函数和KKT条件来确定最优解。

3. 内点法：用于求解线性规划和凸优化问题，通过在可行域内寻找目标函数的最优解。

4. 遗传算法：用于求解复杂的非线性优化问题，通过模拟自然进化过程中的选择、交叉和变异操作来搜索最优解。

5. 模拟退火算法：用于求解非线性优化问题，通过模拟固体退火的过程来逐步降低温度并接近最优解。

在实际应用中，约束条件下的最优化问题广泛应用于工程、经济、运筹学、物流等领域。

通过合理地建立数学模型，并选择合适的优化算法，可以有效地解决这类问题，并得到最优解或接近最优解的结果。

二次规划及多目标规划的全局最优性条件的开题报告一、选题背景和意义在现代社会中，资源分配管理非常重要。

针对某些特定问题，我们需要建立数学模型寻求最优解。

在优化问题中，一次规划模型被广泛应用，但是一些问题需要考虑更多的因素。

因此，二次规划以及多目标规划得到了广泛研究和应用。

二次规划是指目标函数是一个二次函数，约束条件是线性函数的最优化问题。

这类问题的全局最优解可以通过KKT（Karush-Kuhn-Tucker）条件来获得。

多目标规划是一个目标函数有多个优化目标的问题，在解决这类问题时，我们需要评估各个优化目标之间的权衡和取舍。

本文旨在介绍二次规划和多目标规划的全局最优性条件，探讨这些条件的实际应用和研究方向。

二、研究内容和方法本文分为两部分，分别是二次规划和多目标规划的全局最优性条件。

二次规划的全局最优性条件：在二次规划中，我们需要通过KKT条件解决约束问题。

我们将讨论KKT条件的必要性和充分性，并介绍如何利用这些条件来求解问题。

此外，我们还将研究二次规划问题的断言。

多目标规划的全局最优性条件：多目标优化问题中，无法直接获得全局最优解，因为存在多个最优解。

因此，我们需要在多个最优解中进行权衡和取舍。

本文将讨论多目标规划中的全局最优性条件，如Pareto最优性和面对向量的最优解。

我们还将深入探讨如何应用这些条件来解决实际问题。

本文采用文献研究和实例分析相结合的方法，深入研究这两类问题及其实际应用。

我们将收集并综合描述二次规划和多目标规划的全局最优性条件，并在各个应用领域中进行实证研究。

三、预期成果通过本文研究，我们将对二次规划和多目标规划的全局最优性条件有更深刻的理解，包括必要性和充分性以及应用领域。

我们将详细描述这些条件，并且提供实例和应用案例，以便读者更好地理解和应用这些方法。

四、论文结构本文总共分为五个章节：第一章介绍选题的背景和研究意义；第二章讨论二次规划的全局最优性条件，并给出案例描述；第三章研究多目标规划的全局最优性条件，并给出应用实例；第四章结合实例探讨这些条件的应用；第五章是总结和展望。

求解二次规划问题的拉格朗日及有效集方法——最优化方法课程实验报告学院：数学与统计学院班级：硕2041班姓名：王彭学号：3112054028指导教师：阮小娥同组人：钱东东求解二次规划问题的拉格朗日及有效集方法求解二次规划问题的拉格朗日及有效集方法摘要二次规划师非线性优化中的一种特殊情形，它的目标函数是二次实函数，约束函数都是线性函数。

由于二次规划比较简单，便于求解（仅次于线性规划），并且一些非线性优化问题可以转化为求解一些列的二次规划问题，因此二次规划的求解方法较早引起人们的重视，称为求解非线性优化的一个重要途径。

二次规划的算法较多，本文仅介绍求解等式约束凸二尺规划的拉格朗日方法以及求解一般约束凸二次规划的有效集方法。

关键字：二次规划，拉格朗日方法，有效集方法。

- 1 -《最优化方法》课程实验报告- 2 - 【目录】摘要........................................................................................................................... - 1 -1 等式约束凸二次规划的解法............................................................................... - 3 -1.1 问题描述.................................................................................................... - 3 -1.2 拉格朗日方法求解等式约束二次规划问题............................................ - 3 -1.2.1 拉格朗日方法的推导...................................................................... - 3 -1.2.2 拉格朗日方法的应用...................................................................... - 4 -2 一般凸二次规划问题的解法............................................................................... - 5 -2.1 问题描述.................................................................................................... - 5 -2.2 有效集法求解一般凸二次规划问题........................................................ - 6 -2.2.1 有效集方法的理论推导.................................................................. - 6 -2.2.2 有效集方法的算法步骤.................................................................. - 9 -2.2.3 有效集方法的应用........................................................................ - 10 -3 总结与体会......................................................................................................... - 11 -4 附录..................................................................................................................... - 11 -4.1 拉格朗日方法的matlab程序................................................................. - 11 -4.2 有效集方法的Matlab程序 .................................................................... - 11 -求解二次规划问题的拉格朗日及有效集方法- 3 -1 等式约束凸二次规划的解法1.1 问题描述我们考虑如下的二次规划问题⎪⎩⎪⎨⎧=+b Ax t s x c Hx x T T ..,21min (1.1) 其中n n R H ⨯∈对称正定，n m R A ⨯∈行满秩，n R x c,∈，m R b ∈。

线性约束三次规划问题的全局最优性必要条件和最优化算法叶敏;吴至友;张亮【摘要】讨论了带线性不等式约束三次规划问题的最优性条件和最优化算法.首先,讨论了带有线性不等式约束三次规划问题的全局最优性必要条件.然后,利用全局最优性必要条件,设计了解线性约束三次规划问题的一个新的局部最优化算法(强局部最优化算法).再利用辅助函数和所给出的新的局部最优化算法,设计了带有线性不等式约束三次规划问题的全局最优化算法.最后,数值算例说明给出的最优化算法是可行的、有效的.【期刊名称】《运筹学学报》【年(卷),期】2015(019)002【总页数】14页(P15-28)【关键词】三次规划问题;线性不等式约束;全局最优性必要条件;强局部优化算法;全局最优化算法【作者】叶敏;吴至友;张亮【作者单位】重庆师范大学数学科学学院,重庆401331;重庆师范大学数学科学学院,重庆401331;重庆师范大学数学科学学院,重庆401331【正文语种】中文【中图分类】O221.42010数学分类号90C26,90C30,90C59Chinese Library Classifcation O221.42010 Mathematics Subject Classifcation 90C26,90C30,90C59考虑下面带线性约束的三次规划问题:其中x=(x1,···,xn)T∈ℝn,x0≡1,b=(b1,···,bn)T∈ℝn;Ci,j,k∈ℝ,i,j,k=0,1,2,···,n; ui,vi∈ℝ,ui＜vi,i=1,2,···,n;A=(aij),i=1,···,m,j=1,···,n为m×n矩阵.本文余下的部分,记问题(CIP)的可行域D:={x|Ax≤b,x∈U}.三次规划问题作为一类特殊的多项式规划问题,广泛应用于农业、金融、证券投资组合等方面[1-3].因此,近几年来三次规划问题受到许多学者的重视,并取得了一定的进展.在文献[4]中,Zhang等给出了一类不含有交叉项的特殊三次规划问题的全局最优性充分条件.Wang[5]等研究了一类带有双值约束或箱子约束的特殊三次规划问题的全局最优性条件.Wu[6]等给出了带有混合变量的一般三次规划问题的一些全局最优性必要条件,并用这些条件设计出了求解该类问题的最优化算法(包括强局部最优化算法和全局最优化算法).在文献[7-9]中,作者研究了二次规划问题的一些全局最优性条件,同时设计出了求解二次规划问题的一些全局最优化算法.在文献[10]中,Jeyakumar等对一般多项式优化问题进行了研究,给出了该问题的全局最优性充分必要条件.因为这些全局最优性充分必要条件涉及求解一系列的半定规划问题,所以文献[10]中的全局最优性条件是很难验证的.受文献[5-13]的启发,本文主要考虑带有线性不等式包含箱子约束的三次规划问题(CIP).首先,给出了问题(CIP)的全局最优性必要条件,并利用问题(CIP)的全局最优性必要条件设计了求解问题(CIP)的强局部最优化算法或ε-强局部最优化算法(SLOM).然后,将局部最优化算法(SLOM)与辅助函数结合设计了求解问题(CIP)的全局最优化算法(GOM).最后,通过数值算例说明所给出的全局最优化算法是可行的、有效的. 本文余下部分的结构如下:第1节,给出了文章中将要用到的一些基本符号和基本概念,重点讨论了问题(CIP)的全局最优性条件,得到了问题(CIP)的一个全局最优性必要条件;第2节,给出了问题(CIP)的一个强局部最优化算法或ε-强局部最优化算法(SLOM);第3节,结合问题(CIP)的强局部最优化算法(SLOM)和辅助函数方法设计了问题(CIP)的全局最优化算法(GOM);第4节,给出一些具体的数值计算实例和数值计算结果;第5节,对本文的研究进行总结并对后续的研究工作作出展望.在本文中,若无特别说明,总假定:ℝ表示实线性空间,ℝn表示n维欧几里得空间,Sn 表示所有n×n阶实对称矩阵构成的集合.对于ℝn中的任意两个向量,x≥y⇔xi≥yi,i= 1,2,···,n,I表示单位矩阵.以α1,···,αn为对角元的对角矩阵记为diag(α1,···,αn),对x=(x1,···,xn)T∈ℝn,记X=diag(x)=diag(x1,···,xn).∇f(x)表示f(x)在点x处的梯度,∇2f(x)表示f(x)在点x处的Hessian矩阵.设∈D,对k=1,···,m,令定义1.1[6]若存在∈D,对所有的x∈D,都有f()≤f(x)成立,则称∈D为问题(CIP)的全局最优解或全局极小点,称f()为全局最优值或全局极小值.定义1.2[6]在定义1.1中,当x时,有严格不等式f()＜f(x)成立,则称∈D为问题(CIP)的严格全局最优解或严格全局极小点.命题1.1 设∈D,则(1)li≤ri,i=1,2,···,n;(2)其中li,ri由式(1.1)确定.证明由得即取则对任意的k=1,···,m,由式(1.2)可得下面分三种情形讨论:(i)当aki＞0时,由上不等式组可得(ii)当aki＜0时,由上不等式组可得(iii)当aki=0时,显然对任意的xi∈ℝ都满足式(1.2),事实上,如果满足式(1.2)且aki=0,则有因此,由(i),(ii),(iii)可得所以li≤ri,i=1,2,···,n,且有故命题成立.为了方便,本文给出下面的一些记号:下面给出问题(CIP)的全局最优性必要条件.定理1.1 设∈D.如果是问题(CIP)的全局极小点,那么下面的条件成立:其中,分别由式(1.3)和式(1.4)给出.证明设∈D.如果是问题(CIP)的全局极小点,那么对任意这里xi∈[ui,vi]),构造区间[li,ri].由命题1.1可知令从而因此,如果是问题(CIP)的全局极小点,那么也一定是f(x)在Ωi()(i=1,···,n)上的全局极小点,从而对任意i=1,···,n有下面证明式(1.5)与定理1.1中的条件[GNCP]i,i=1,···,n,是等价的.我们对xi分三种情形讨论:(I)当时,由式(1.5)知即因为当Ci,i,i＞0时,当Ci,i,i≤0时,所以(II)当故有时,由式(1.5)可知即则类似于(I)的证明,可得因此故(III)当时,则式(1.5)等价于所以综上所述,如果是问题(CIP)的全局最优解,那么条件[GNCP]i,i=1,···,n,成立.本节根据定理1.1给出的全局最优性必要条件[GNCP]i,i=1,···,n,设计问题(CIP)的强或ε-强局部最优化方法.定义2.1设称为问题(CIP)的强局部极小点当且仅当满足全局最优性必要条件[GNCP]i,i=1,···,n.定义2.2设称为问题(CIP)的ε-强局部极小点当且仅当满足如下条件:对任意i=1,···,n,[GNCP]i成立或者存在使得满足条件[GNCP]i且设令其中 li,ri和分别由式(1.1)和式(1.4)定义.注意到对i=1,···,n,有|Ni()|≤2和≤2,其中|Ni|和分别表示Ni()和()中元素的个数.下面我们依据全局最优性必要条件[GNCP]i,i=1,···,n,给出问题(CIP)的强或ε-强局部最优化方法,通过该方法所获得的点满足或近似满足全局最优性必要条件[GNC P]i, i=1,···,n,然而传统的局部最优化方法一般都是采用KKT必要条件来设计算法的,因而该方法不同与以往的局部最优化算法.问题(CIP)的强或ε-强局部最优化方法在我们的全局最优化算法的设计过程中起到了重要的作用.算法2.1 问题(CIP)的强或ε-强局部最优化方法(SLOM).步0 取定一个初始点x1∈U.设ε是一个很小的正数.令i:=1.设是f(x)以x1为初始点所求得问题(CIP)的一个局部极小点或者是f(x)在D上的KKT点.令转步1.步1 检验下面的条件是否成立:如果条件成立,转步2;否则转步3.步2 如果i=n,转步4;否则,令i:=i+1,转步1.步3 令:=argmin{f(x)|x∈Ni∪},其中Ni和分别由式(2.1)和式(2.2)定义.令是以为初始点所求得的一个局部极小点或者是f(x)在D上的KKT点.如果f(x∗)＜f()-ε,令 :=x∗,i:=1,转步1;否则,令i:=i+1,转步1.步4停止是问题(CIP)的强局部极小点或ε-强局部极小点.定理2.1 对给定的初始点x1∈U,由强局部最优化算法2.1可以在有限步迭代次数以内得到问题(CIP)的一个强局部极小点或ε-强局部极小点¯x.证明仿照文献[6]中的定理3.2的证明过程可以证明定理2.1的结论成立.注2.1在算法 2.1的步 0和步 3中,诸如牛顿法、拟牛顿法、共轭梯度法、线收索法等方法能够被用来获得一个 f(x)在 D的 KKT点或者局部极小点.在步 3中,因为|Ni∪|≤ 4,所以很容易由式(2.1)和式(2.2)找到 Ni和从而找到使得=argmin{f(x)|xi∈Ni∪}.下面介绍找问题(CIP)的全局极小点的全局优化方法.这需要问题(CIP)的强局部优化方法或ε-强局部优化方法以及辅助函数.辅助函数用于跳出当前局部极小点而找到问题(CIP)的更好的点.本文我们采用文献[7]中介绍的辅助函数.对任意的r＞0,令显然,函数fr(t)在ℝ上是连续可微的,并且令其中r＞0,q＞0为参数,是问题(CIP)的当前局部极小点.辅助函数具有如下性质.引理3.1[7]当r＞0,q＞0时,若是问题(CIP)的局部极小点,则是 (x)在U上的严格局部极大点.引理3.2[7] 辅助函数(x)在U上的任一局部极小点满足下列条件之一:(1)f()＜f(),∈D;(2)是箱子集U的顶点.下面介绍一个求解问题(CIP)的全局极小点的全局最优化方法.该全局最优化方法主要由以下三个阶段组成:阶段1(强局部搜索)从一个给定的可行点xk出发,利用强局部极小化算法2.1获得一个强局部极小点阶段2(局部搜索)构造辅助函数(x).求函数(x)的一个KKT点或者局部极小点阶段3(全局搜索)如果是一个比更好的点,则令k:=k+1,xk:=转回阶段1;否则,终止迭代过程.初始的局部最优解就可以作为问题的一个全局最优解.算法3.1 问题(CIP)的全局最优化方法(GOM)步0 取M=1010,µ=10−5,k0=2n.取ei=(0,···,0,1,0,···,0),i=1,···,n,其第i个分量为1,其他分量为0,en+i=(0,···,0,-1,0,···,0),i=1,···,n,其第i个分量为-1,其他分量为0.令r0:=1,q0=105,δ0:=k:=1,i:=1,r:=r0.设∈U是一个任意的初始点,令:=,转步1.步1 以为初始点,利用强局部优化算法(SLOM)找到问题(CIP)的一个局部极小点 ,如果f()≥f()(k＞1),则转步 5;否则(包括f()≥f()(k=1)或者f()＜f()(k≥1)),令r:=r0,q:=q0,δ:=δ0,i:=1,=,k:=k+1,转步2.步2 令:=+δei.如果 U,转步7;否则,f()＜f),则令:= k:=k+1,转步1;否则,转步3.步3 如果转步4;否则,令转步2.步4令从初始点出发求解如下问题:设局部极小点为如果满足令转步1;否则,转步5;步5 若qk≤M,令qk:=10qk,转步4;否则,转步6.步6 若r≥µ,令转步4;否则,转步8.步7 若δ≤µ且i＜k0,则令i:=i+1,q=q0,δ:=δ0,转步2;如果i=k0,转步8;否则,令δ:=转步2.步8 停止.就是问题(CIP)的全局极小点或近似全局极小点.在这一节,首先给出一个计算实例来说明问题(CIP)的全局最优性必要条件[GNCP]i, i=1,···,n,是可行的,且是很容易验证的.然后给出了利用所得的问题(CIP)的全局最优化算法(GOM)来计算几个实际例子的数值计算结果,且数值计算结果表明所给出的全局最优化算法是可行的、有效的.例4.1考虑下面的三次规划问题:显然,是f(x)的全局极小点.又由Ax≤b可得则由命题1.1可得所以,因此,即定理1.1全局最优性必要条件成立.由所给问题(CIP)的全局最优化方法(GOM),下面给出几个数值算例.首先,我们给出如下相关定义.,k=1:表示初始点;,k≥2:表示利用局部算法求得问题(CIP)从出发的局部极小点;,k≥1:表示以为初始点求得问题(CIP)的强局部极小点;f():表示目标函数f(x)在处的函数值;f():表示目标函数f(x)在处的函数值.例4.2 考虑下面的三次规划问题:表4.1给出了算法3.1求解问题(CIP1)的数值结果,通过计算我们知道问题(CIP1)的全局极小点为例4.3 考虑下面的三次规划问题:其中A=100I,I=diag(1,···,1),a=(42,44,45,47,47.5)T.表4.2给出了算法3.1求解问题(CIP2)的数值结果,通过计算我们知道问题(CIP2)的全局极小点为=(1,1,0,1,0)T. 例4.4[6]考虑下面的三次规划问题:表4.3给出了算法3.1求解问题(CIP3)的数值结果,通过计算我们知道问题(CIP3)的全局极小点有2个,分别为(-3,-3,-3,-3,-3,5,-3-3,-3,-3)T和(-3,5,-3,5,-3,5, -3,-3,-3,-3)T.本文讨论了带线性不等式约束包含箱子约束的三次规划问题(CIP)的最优性条件和最优化算法.提出了问题(CIP)的全局最优性必要条件,进而利用全局最优性必要条件,设计了解线性约束三次规划问题(CIP)的一个新的局部最优化算法(SLOM);再利用辅助函数和所给出的新的局部最优化算法(SLOM),设计了带有线性不等式约束三次规划问题(CIP)的全局最优化算法(GOM).【相关文献】[1]Hanoch G,Levy H.Efcient selection portfolio with quadratic and cubic utility[J].Journal of Business,1970,43:181-189.[2]Levy H,Sarnat M.Investment and Portfolio Analysis[M].New York:Wiley,1972.[3]Henin C,Doutriau J.A specialization of the convex simplex method to cubic programming[J]. Decisions in Economics and Finance,1980,3:61-72.[4]Zhang X M,Wang Y J,Ma W M.Global sufcient optimality conditions for a special cubic minimization problem[J].Mathematical Problems in Engineering,2012,2012:1-16.[5]Wang Y J,Liang Z A.Global optimality conditions for cubic minimization problem with box or binary constraints[J].Journal of Global Optimization,2010,47:583-595.[6]Wu Z Y,Quan J,Li G Q,et al.Necessary optimality conditions and new optimization methods for cubic polynomial optimization problems with mixed variables[J].Journal of Optimization Theory and Applications,2012,153:408-435.[7]李国权.非凸二次规划问题的全局最优性条件及全局优化方法[D].上海:上海大学,2012.[8]Li G Q,Wu Z Y,Quan J.A new local and global optimization method for mixed integer quadratic programming problems[J].Applied Mathematics andComputation,2010,217:2501-2512.[9]Wu Z Y,Li G Q,Quan J.Global optimality condition and optimization methods for quadratic integer programming problems[J].Journal of Global Optimization,2011,51:549-568.[10]Jeyakumar V,Li G Y.Necessary global optimality conditions for nonlinear programming problems with polynomial constraints[J].Mathematical Programming,2011,126:393-399.[11]Quan J,Wu Z Y,Li G Q.Global optimality conditions for some classes of polynomial integer programming problems[J].Journal of Industrial and Management Optimization,2011,7(1): 67-78.[12]田静,吴至友,Ugon J.一类特殊多项式整数规划问题的最优化算法[J].运筹学学报,2011,15(4):23-35.[13]吴至友.全局优化的几种确定性方法[D].上海:上海大学,2003.。

0-1二次规划的全局最优性条件及算法全局优化问题广泛见于工程、国防、经济等诸多重要领域,是数学规划理论的一个重要研究领域。

本文首先讨论一类特殊结构的全局优化问题:二次规划的全局优化问题。

我们给出了0-1二次规划的全局最优性条件,并讨论了其相应的算法。

然后,对于一般结构的全局优化问题,我们给出了一个新的无参数的填充函数方法。

本论文的第一章介绍全局优化理论的一些研究成果。

第二章讨论无约束0-1二次规划的全局最优性条件。

在第二节得到一个充分条件和一个必要条件的基础上,我们希望能够得到一些充要条件。

为此,我们首先在第三节中给出在线性约束条件下,(?)成为一个凸的二次函数的全局极大点的充分必要条件。

从这个结论出发,在第四节,我们得到了无约束0-1二次问题全局最优的充分必要条件及其等价形式。

在第五节,我们将注意力放在全局最优的必要条件上。

我们得到的必要条件都不含对偶变量,仅用到原问题的数据。

这样,这些条件在实际中都是可以被检验的。

进一步,为了使必要条件在实际中易被检验、易操作,我们降低了必要条件中的维数,在比原问题维数更低的空间中,给出一些简洁的必要条件,以达到方便检验的目的。

在第三章,我们进一步研究有约束的0-1二次规划的全局最优条件。

对于带有线性不等式约束的0-1二次问题,我们在第一节中得到了它全局最优的充分条件和必要条件。

必要条件也不含对偶变量。

当系数矩阵正定时,我们建立了原0-1问题的解与松弛问题的解之间的联系。

对于带有线性等式约束的0-1二次问题,我们在第二节证明了一个带有线性等式约束的0-1二次规划问题,它的全局最优解集和其相应的罚问题的全局最优解集是相等的。

这样,带有线性等式约束的0-1二次问题的解,可以通过无约束0-1二次规划问题的解得到。

第三章的另一个内容是讨论0-1二次规划问题的实际应用。

将我们得到的一些结论运用于极大团问题和二次分派问题,我们得出了一些相关的结论。

将全局最优条件发展成为可实现的算法,是全局优化研究中的重要的工作。

几类带二次约束的非凸二次优化问题的算法研究二次优化问题在数学规划理论中占据重要地位。

同时,随着社会的进步以及科学技术的发展,二次优化问题广泛应用于企业生产管理,金融工程,通信系统,语音识别等重要领域。

因此,研究二次优化问题具有重要的意义。

本文主要对三类带二次约束的非凸二次优化问题进行研究,主要工作如下：(1)本文给出了带两个二次约束的非凸二次优化问题在最优解处拉格朗日函数Hessian矩阵是否半正定的充要条件的一个新的证明方法。

该证明方法主要利用分析的思想,以及利用对偶理论来证明,不需要了解半正定相关的知识。

之后,利用这一充要条件以及之前的证明方法,我们给出了当Q0是一般的对称矩阵,Q2是半正定矩阵时的一个ζ近似算法,ζ为设定的计算精度。

如果在全局解处,H半正定,则我们的算法可以准确地找到这个解,计算误差仅为0(ζ)；反之,算法可以找到一个近似最优解,其误差至多为其中μn-1为矩阵H的次大特征值。

我们通过数值例子说明了算法的有效性。

最后,当Q2是一般的对称矩阵时,我们设计了一个近似算法。

首先将第二个约束作为罚项添加到目标函数中,之后通过求解带参数的一球问题并利用二分法的思想来求解。

大量的数值结果显示,该算法是高效的。

(2)针对非正交频分复用系统纠错过程中的距离计算模型,设计了一个基于SDP的近似算法。

该系统可以纠错的条件是当两个不同发射序列之间的距离大于使用QAW调制时的距离。

因而我们需要计算两个不同发射序列之间的距离。

于是我们首先给出了该系统中的距离计算模型,该模型是带一个二次约束的非凸二次整数优化问题,且决策变量的取值只能是-2,0,2。

然后,针对该模型设计了一种近似算法。

利用半正定方法,将原问题进行松弛并求解,再对求得的松弛问题的最优解利用rounding技术进而得到距离计算模型的近似最优解。

为了测试这一算法的性能,我们分别对取随机数和取OVFDM系统中具体数值的情况进行了数值试验,并和之前的求解方法进行了数值对比。

非凸优化问题的二次规划算法研究非凸优化问题是在实际问题中经常遇到的一类优化问题，而二次规划算法是解决非凸优化问题的一种有效方法。

本文将对非凸优化问题的二次规划算法进行深入研究，探讨其原理、方法和应用。

一、引言非凸优化问题在实际应用中具有广泛的应用背景和重要意义。

然而，由于其复杂性和困难性，如何高效地求解非凸优化问题一直是研究者们关注的焦点。

二次规划算法作为求解非凸优化问题的一种常用方法，在实践中取得了显著的成果。

本文将对二次规划算法进行系统研究和分析。

二、非凸优化问题概述1.非凸性概念非凸性是指优化问题中的目标函数在某些点上的二阶导数大于零，导致函数曲线呈现出不连续的凸凹特性。

在非凸优化问题中，存在多个局部最优解，而全局最优解往往难以求解。

2.非凸优化问题分类根据问题形式，非凸优化问题可分为线性非凸优化问题、二次非凸优化问题、非线性非凸优化问题等。

此外，根据目标函数的性质，非凸优化问题还可以分为严格非凸优化问题、弱非凸优化问题等。

3.非凸优化问题解决难点非凸优化问题的解决难点主要包括：局部最优解的存在、目标函数的复杂性、求解过程的不稳定性等。

这些难点使得非凸优化问题在很多实际应用中难以求解。

三、二次规划算法原理1.二次规划模型定义二次规划（Quadratic Programming，简称QP）问题是指具有二次目标函数和线性约束条件的优化问题。

二次规划问题可以表示为：minimize f(x) = ax^2 + bx + csubject to g_i(x) <=0, i =1, ..., m2.二次规划模型转换为标准形式为了方便求解，我们将二次规划问题转化为标准形式。

首先，将二次目标函数中的x替换为新的变量y，然后将原问题中的线性约束条件转化为二次规划问题的标准形式。

3.二次规划模型特点分析二次规划问题的特点主要包括：目标函数为二次函数，具有开口向上的抛物线形状；线性约束条件表示的是超平面，将可行域划分为多个子区域；在某些子区域内，二次规划问题可能具有多个局部最优解。