初二上数学笔记
18.1函数概念
1.函数: x 在允许取值范围内的每一个值,均有
2.函数解析式:
3.定义域: ;值域: 例1:求函数的定义域。
1. 62+-=x y
2. 23x y -=
3. 12--=x x y
4. 1
244-+-=x x y
例3:把x 、y 的关系式写成“y=f (x )”形式。
1. x+2y+3=0
2. 3
21315+-=-y y x
3. 042=-x y
例4:等腰三角形周长20,腰x ,底y ,求解析式。 等腰三角形周长20,腰y ,底x ,求解析式。 等腰三角形顶角o x ,底角o y ,求解析式。 等腰三角形顶角o y ,底角o
x ,求解析式。 补充:腰长、底边长与周长的关系。 ;
18.2(1)函数
1.正比例关系: 数学关系式: 注:变量y 与x 可以表示 例1:判断y 与x 是否为正比例关系。 (1) 2
2x y =( ) (4) 3=x
y (2) )1(3+=x y (5) kx y =
(3) )1(21-=-x y 2.正比例函数: 例3:y 与x 成正比例函数,当自变量每增加3,则函数值减少4,求函数解析式。
例4:若y+3与x 成正比例,且x=4时y= -1,求函数解析式。
例5:y 与x 成正比例,z 与y -2成正比例,当x=-1时,z=4;x=2时,z=-2。求z 与x 的函数关系式。
18.2(2)正比例函数的图像与性质
1.1-x 是 的函数。
2.解析式kx y =,其函数图像为经过 和 的一条直线。
3.当0>k 时,图像经过 象限,y 随x 的增大而 。 当0 4.当k 越大,图像与x 轴的夹角 。 5.直线kx y =与直线 关于x 轴和y 轴对称。 6.第一、三像限的角平分线,直线的函数解析式 第二、四像限的角平分线,直线的函数解析式 图像与x 轴的夹角o o 450<<α, 图像与x 轴的夹角o o 9045<<α, 例1:y 与x 成正比例函数,y 随x 的增大而减少,图像过A(1,-m)、B(m,-1),求y 关于x 的函数解析式。 例2:过直线x y 3-=上一点P 作x 轴垂线,垂足为H ,3=?POH S ,求P 的坐标。 例3:正比例函数图像上有一点P 到x 轴、y 轴距离2:3,求函数解析式。 例4:正比例函数图上一点A (2,-1),P 在函数图像上,B (0,4),S △ABP =8,求P 的坐标。 18.3(1)反比例函数 1.反比例概念: 2.反比例函数: 例1:说说下面函数之间的关系,并进行验证。 (1)变量y 与x 成反比例,x 与z 成反比列,则y 与z 成 比例。 (2)变量y 与x 成正比例, x 1与z 成反比列,则y 与z 成 比例。 (3)变量y 与x 成反比例,x 1与z 成反比列,则y 与z 成 比例。 例2:判断。 (1)12+=x y ,y-1与x 成反比例。( ) (2))0(3≠=x x y ,y 与 x 1成反比例。( ) (3)332+-= -x y ,2-y 与x+3成反比例。( ) (4))0(2 >=x x y π,y 与x 成反比例。( ) 例3:判断反比例函数。 (1))0(3<- =k x k y ----( ) (5)2 12+=x y ---------( ) (2)x a y = --------------( ) (6)x y 7= -----------( ) (3)x y 1= -------------( ) (7)2 3x y = -----------( ) (4)17 1-=x y ----------( ) 例4:21y y y +=,1y 与x 成正比例,2y 与x+2成反比例,当x=1时,y=-2;x=4时,y=2。求y 与x 的函数解析式。 18.3(2)反比例函数的图像与性质 1.反比例函数中比例系数k 的几何意义:k 是 的面积。 2.反比列函数图像是 对称图形也是 对称图形,对称轴是 或 。 3.k 越大,其图像 。 4.所有反比例函数图像均无 。 5.反比例函数图像到原点最近的点是 。 例2:反比例函数x y 12= 经过A (2,6)、B (a ,3)求S △AOB 。 例3:P 、F 在x k y =上,S 正BPAO =9,求F 的坐标。 20.1一次函数 1.一次函数的定义: 2.当b=0时,y=kx (k ≠0)是特殊的 。 3.k=0时,y=b 是 ,是一条进过点 且 的一条直线。 注:常值函数 (是、不是)一次函数。直线x=2 (是、不是)函数。 例1:判断是否为一次函数 (1)x y 21- = ( ) (4)为常数)(k k x k y (1)12--+=( ) (2)23 2=-y x ( ) (5))2(1(2---=x x x y ( ) (3)为常数)a b ax y (+=( ) (6) 1 322+--=x x x y ( ) 例2:变量x 、y 关系式2)12(++-=a x a y (a 为常数),则y 是x 的什么函数? 例3:一个一次函数,当自变量(x )=2时,y=5;当x=-1时,y=-1,求函数解析式。 20.2(1)数的图像 1.一次函数的解析式: 2.b kx y +=是过 的一条直线。 3.截距: 。 5.直线1l :111b kx y +=;2l :222b kx y +=(1)若21l l ∥,则 ; (2)若21l l 与相交,则 ;(3)若21l l 与重合,则 ; (4)若21l l ⊥,则 。 例1:一次函数b kx y +=,x=-1时y=5,当x 每减少1,则y 每增加2,求解析式。 例2:22 1+=x y 上有一点P ,P 到x 轴距离是到y 轴距离的2倍,求P 坐标。 例3:一次函数图像截距为4,与坐标轴围成的三角形面积为6,求函数解析式。 例4:k x y +=2与2---=k x y 的图像交点在第四象限,求k 的取值范围。 例5:直线12 1+-=x y 与x 轴、y 轴交于A 、B 两点,把线段AB 绕A 点顺时针转90度得AB ’。(1)直接写B ’坐标。(2)若C(1,a)使S △ABC = S △ABB ’ 20.3(1)一次函数图像与性质 1.一次函数)0(≠+=k b kx y (1)k>0,b>0时,直线在 象限,y 随x 的增大而 。 (2)k>0,b<0时,直线在 象限,y 随x 的增大而 。 (3)k<0,b<0时,直线在 象限,y 随x 的增大而 。 (4)k<0,b>0时,直线在 象限,y 随x 的增大而 。 2.平移:一次函数)0(≠+=k b kx y (1)向上平移m 个单位, (2)向下平移m 个单位, (3)向左平移m 个单位, (4)向右平移m 个单位, 例1:一次函数20,≤≤+=x b kx y ,则42≤≤-y ,求解析式。 例2:一次函数,5)2(-+-=k x k y 不经过第一象限,求k 的范围。 20.3(2)一次函数图像与性质 例1:根据图像分析 (1)当y >0时,x 的取值范围 。 (2)当x ≤0时,y 的取值范围 。 (3)当x >3时,x 的取值范围 。 例2:根据图像分析 (1)kx+b<0,则x 的取值范围 (2)x ≤-3时,kx+b 的取值范围 (3)p(m,n)在直线上,则P 点上方的点的横坐标的取值范围是 例3:b x k y +=11与x k y 22=交于A (-4,2)、B (2,n )。 (1)求两个函数的解析式。 (2)求S △AOB 。 (3)当y 1< y 2时,求x 的取值范围。 例4:(1)直线y=2x+2,绕O 点逆时针转90O ,求解析式。 (2)直线y=kx+b ,(k 、b ≠0)绕O 点逆时针转90O ,求解析式。 例5:33:+-=x y l 与x 轴交于A ,与y 轴交于B ,△AOB 沿直线AB 翻折得△ACB ,求C 点坐标。 例6:直线y=-x+2与x 、y 轴交于AB ,另一直线y=kx+b (k ≠0)过(1,0),当S △AOB 为 1.5时,求y=kx+b 。 根与系数的关系 1.)04,0(022≥-≠=++ac b a c bx ax ,两根21,x x ,=+21x x ;=?21x x 。 (1)21x x - (2)231 x x + 高中数学知识点 高中数学第一章-集合 §01. 集合与简易逻辑 知识要点 一、知识结构: 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法(集合化简)、简易逻辑三部分: 二、知识回顾: (一) 集合 1. 基本概念:集合、元素;有限集、无限集;空集、全集;符号的使用. 2. 集合的表示法:列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征:确定性、互异性、无序性. 集合的性质: ①任何一个集合是它本身的子集,记为A A ?; ②空集是任何集合的子集,记为A ?φ; ③空集是任何非空集合的真子集; 如果B A ?,同时A B ?,那么A = B. 如果C A C B B A ???,那么,. [注]:①Z = {整数}(√) Z ={全体整数} (×) ②已知集合S 中A 的补集是一个有限集,则集合A 也是有限集.(×)(例:S=N ; A=+N ,则C s A= {0}) ③ 空集的补集是全集. ④若集合A =集合B ,则C B A = ?, C A B = ? C S (C A B )= D ( 注 :C A B = ?). 3. ①{(x ,y )|xy =0,x ∈R ,y ∈R }坐标轴上的点集. ②{(x ,y )|xy <0,x ∈R ,y ∈R }二、四象限的点集. ③{(x ,y )|xy >0,x ∈R ,y ∈R } 一、三象限的点集. [注]:①对方程组解的集合应是点集. 例: ? ? ?=-=+1323 y x y x 解的集合{(2,1)}. ②点集与数集的交集是φ. (例:A ={(x ,y )| y =x +1} B={y |y =x 2+1} 则A ∩B =?) 4. ①n 个元素的子集有2n 个. ②n 个元素的真子集有2n -1个. ③n 个元素的非空真子集 有2n -2个. 5. ⑴①一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真. 否命题?逆命题. ②一个命题为真,则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 例:①若325≠≠≠+b a b a 或,则应是真命题. 解:逆否:a = 2且 b = 3,则a+b = 5,成立,所以此命题为真. ②,且21≠≠y x 3≠+y . 解:逆否:x + y =3x = 1或y = 2. 2 1≠≠∴y x 且3≠+y x ,故3≠+y x 是21≠≠y x 且的既不是充分,又不是必要条件. ⑵小范围推出大范围;大范围推不出小范围. 3. 例:若255πφφx x x 或,?. 4. 集合运算:交、并、补. {|,}{|}{,} A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈?∈∈?∈?I U U 交:且并:或补:且C 5. 主要性质和运算律 (1) 包含关系: ,,,, ,;,;,. U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B ?Φ???????????I I U U C (2) 等价关系:U A B A B A A B B A B U ??=?=?=I U U C (二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式的解法 根轴法(零点分段法)从右向左,从上向下,奇穿偶回,零点讨论 ①将不等式化为a 0(x-x 1)(x-x 2)…(x-x m )>0(<0)形式,并将各因式x 的系数化“+”;(为了统一方便) ②求根,并在数轴上表示出来; ③由右上方穿线,经过数轴上表示各根的点(为什么?); ④若不等式(x 的系数化“+”后)是“>0”,则找“线”在x 轴上方的区间;若不等式是“<0”,则找“线”在x 轴下方的区间. + - + - x 1 x 2 x 3 x m-3 x m-2x m-1 x m x (自右向左正负相间) 则不等式)0)(0(00221 10><>++++--a a x a x a x a n n n n Λ的解可以根据各区间的符号确 定. 3. 函数值域的求法: ①配方法:转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值;常转化为型),(,)(2n m x c bx ax x f ∈++=的形式; ②逆求法(反求法):通过反解,用y 来表示x ,再由x 的取值范围,通过解不等式,得出y 的取值范围;常用来解,型 如: ),(,n m x d cx b ax y ∈++= ; ④换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想; 常针对根号,举例: 令 ,原式转化为: ,再利用配方法。 ⑤利用函数有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域; ⑥基本不等式法:转化成型如: )0(>+ =k x k x y ,利用平均值不等式公式来求值域; ⑦单调性法:函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域。 二.函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) (1)增函数 设函数y=f(x)的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2,当x 1 初一数学(上)应知应会的知识点 第一部分 有理数 1.有理数: (1)凡能写成) 0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数,都是有理数.正整数、0、负整数统称 整数;正分数、负分数统称分数;整数和分数统称有理数.注意:0即不是正数,也不是负数;-a 不一定是负数,+a 也不一定是正数;π不是有理数; (2)有理数的分类: ① ?? ? ? ??? ?? ??? ?负分数 负整数负有理数零 正分数正整数正有理数有理数 ② ?? ? ? ?? ? ?? ??????负分数 正分数分数负整数零正整数整数有理数 (3)注意:有理数中,1、0、-1是三个特殊的数,它们有自己的特性;这三个数把数轴上的数分成四个区域,这四个区域的数也有自己的特性; (4)自然数? 0和正整数;a >0 ? a 是正数;a <0 ? a 是负数; a ≥0 ? a 是正数或0 ? a 是非负数;a ≤ 0 ? a 是负数或0 ? a 是非正数. 2.数轴:数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3.相反数: (1)只有符号不同的两个数,我们说其中一个是另一个的相反数;0的相反数还是0; (2)注意: a-b+c 的相反数是-a+b-c ;a-b 的相反数是b-a ;a+b 的相反数是-a-b ; (3)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a 、b 互为相反数. 4.绝对值: (1)正数的绝对值是其本身,0的绝对值是0,负数的绝对值是它的相反数;注意:绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离; (2)绝对值可表示为:?????<-=>=) 0a (a ) 0a (0)0a (a a 或?? ?<-≥=) 0a (a )0a (a a ;绝对值的问题经常分 类讨论; (3) a 1a a >?= ; a 1a a -=; (4) |a|是重要的非负数,即|a|≥0;注意:|a|·|b|=|a ·b|, b a b a =. 5.有理数比大小:(1)正数的绝对值越大,这个数越大;(2)正数永远比0大,负数永远比0小;(3)正数大于一切负数;(4)两个负数比大小,绝对值大的反而小;(5)数轴上的两个数,右边的数总比左边的数大;(6)大数-小数 > 0,小数-大数 < 0. 6.互为倒数:乘积为1的两个数互为倒数;注意:0没有倒数;若 a ≠0,那么a 的倒数是a 1;倒数是本身的数是±1;若ab=1? a 、b 互为倒数;若 ab=-1? a 、b 互为负倒数. 7.有理数加法法则: (1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加; (2)异号两数相加,取绝对值较大的符号,并用较大的绝对值减去较小的 绝对值; (3)一个数与0相加,仍得这个数. 8.有理数加法的运算律: (1)加法的交换律:a+b=b+a ;(2)加法的结合律:(a+b )+c=a+(b+c ). 9.有理数减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数;即a-b=a+(-b ). 10.有理数乘法法则: (1)两数相乘,同号为正,异号为负,并把绝对值相乘; (2)任何数同零相乘都得零; 高中必考数学知识点归纳整理 1高中数学重难点知识点 高中数学(文)包含5本必修、2本选修,(理)包含5本必修、3本选修,每学期学习两本书。 必修一:1、集合与函数的概念(这部分知识抽象,较难理解)2、基本的初等函数(指数函数、对数函数)3、函数的性质及应用(比较抽象,较难理解) 必修二:1、立体几何(1)、证明:垂直(多考查面面垂直)、平行(2)、求解:主要是夹角问题,包括线面角和面面角 这部分知识是高一学生的难点,比如:一个角实际上是一个锐角,但是在图中显示的钝角等等一些问题,需要学生的立体意识较强。这部分知识高考占22---27分 2、直线方程:高考时不单独命题,易和圆锥曲线结合命题 3、圆方程: 必修三:1、算法初步:高考必考内容,5分(选择或填空)2、统计:3、概率:高考必考内容,09年理科占到15分,文科数学占到5分 必修四:1、三角函数:(图像、性质、高中重难点,)必考大题:15---20分,并且经常和其他函数混合起来考查 2、平面向量:高考不单独命题,易和三角函数、圆锥曲线结合命题。09年理科占到5分,文科占到13分 必修五:1、解三角形:(正、余弦定理、三角恒等变换)高考中理科占到22分左右,文科数学占到13分左右2、数列:高考必考,17---22分3、不等式:(线性规划,听课时易理解,但做题较复杂,应掌握技巧。高考必考5分)不等式不单独命题,一般和函数结合求最值、解集。 文科:选修1—1、1—2 选修1--1:重点:高考占30分 1、逻辑用语:一般不考,若考也是和集合放一块考 2、圆锥曲线: 3、导数、导数的应用(高考必考) 选修1--2:1、统计:2、推理证明:一般不考,若考会是填空题3、复数:(新课标比老课本难的多,高考必考内容) 高一数学必修1重点笔记 一、集合(集)的含义和表示 知识点1:集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性。 巩固: 1.判断题 (1)北京大学2017年入学的全体学生组成一个集合。() (2)某校爱好足球的同学组成一个集合。() (3)数1,0,5,1/2,3/2,6/4组成的集合有6个元素。() (4)由元素1,1,2,3,4,5组成的集合用列举法表示为{1,1,2,3,4,5}。()2.判断下列每组对象能否构成一个集合: (1)着名的数学家 (2)某校2017年在校的所有高个子同学 (3)不超过20的非负数 (4)方程x2-9=0在实数范围内的解 (5)直角坐标平面内第一象限的一些点 知识点2:元素与集合的关系:?或?!有且只有一种情况成立 巩固: 1.用符号“??”或“?填空? (1)设A为所有亚洲国家组成的集合,则:中国_______A,美国_______A,? 印度_______A,英国_______A;? (2)若A={x|x2=x},则- 1_______A;???? (3)若B={x|x2+x-6=0},则3_______B;? (4)若C={x?N|1≦x≦10},则8_______C,. 2.已知集合A是由元素a+2,(a+1)2,a2+2a+2构成的集合,且1?A,求a的值。 知识点3:元素的表示符号是a、b、c、d 集合的表示符号是A、B、C、D… 常用数集:N 自然数集(非负整数集)关联记忆:Nature自然 !注意0,是考最多的 N*或N? 正整数集 Z 整数集关联记忆:整(zheng)数 Q 有理数集关联记忆:O孤零零的有人理 R 实数关联记忆:R图像实实在在的人巩固: 1.给出下列命题:() (1)N中最小的元素是1; (2)若a?N,则-a?N; (3)若a?N,b?N,则a+b的最小值是2; 其中正确的命题个数是: 2.关于集合,下列关系正确的是() ?N B.π?Q ?N* D.??Z高中数学笔记总结高一至高三,很全
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