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二次函数典型例题

一、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（－2，0）、（x1，0），且10；③ 4a+c<0；正确的有几个？

解1：

两根之积为负，c/a＜0，C＞0，a＜0

对对称轴为负，-b/2a＜0，a，b同号都为负

两根之和为负，-b/a＞-1，a＜b＜0

把（-2，0）代入

0=4a-2b+c，2b=4a+c＜0

x=1时，a+b+c＞0，6a+3c＞0，即2a+c>0，都正确

解2

1. 函数y=f(x)通过（-2,0), f(-2)=4a-2b+c=0

2. 函数与x轴交于-2, x1 两点，与y正半轴相交，且交点x=0在-2，1之间，所以开口向下，a<0

又对称轴x=-b/2a 在（-2+1)/2和(-2+2)/2之间所以-1/2<-b/2a<0 即a

3. f(-2)=4a-2b+c=0

又函数开口向下, 10 2a+2b+2c>0 和上式联立得

2a+c>0

4. 由于函数与y轴交于正半轴且在(0,2) 下方，f(0)=c<2 c=2b-4a<2 即2a-b+1>0

由以上可知正确结论个数四个

追问2a+2b+2c>0和 c=2b-4a怎么得出？

回答由f(1)=a+b+c>0 不等式两边同乘以2 得 2a+2b+2c>0

由f(-2)=4a-2b+c=0 得 c=2b-4a

2a+2b+2c>0和4a-2b+c=0 两式相加即可得出 2a+c>0

二、二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（1，0）且a＜b＜c．那么①abc＞0；②b2-4ac＜0；③a+b+c=0；④2a-b＜0；⑤2a+c＜0．这五个式子中，一定正确的是③④⑤（填序号）．

解析根据图象与x轴交于点（1，0）且a＜b＜c，首先确定a＜0，c＞

0，进而利用图象与x轴的交点个数得出b2-4ac的符号，再利用图象上点的性质得出a+b+c=0，以及利用对称轴求出2a-b＜0；进而求出2a+c＜0，得出答案即可．

∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（1，0）且a＜b＜c．

∴a＜0，c＞0，b无法确定，

∴①abc＞0不一定正确；

∴图象与x轴有两个交点，b2-4ac＞0，故②选项错误，

将（1，0）代入y=ax2+bx+c，

∴③a+b+c=0；故此选项正确；

∵a＜0，c＞0，-b2a＜1，

∴-b＞2a，

∴2a+b＜0，

∴④2a-b＜0，故此选项正确；

∵a＜b，a+b+c=0，

又∵a＜0，c＞0，

∴⑤2a+c＜0，故此选项正确．

故正确的有：③④⑤．

故答案为：③④⑤．

已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞

m（am+b），（m≠1的实数）．

其中正确的结论有______（填序号）. . . . . .

由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

①图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为x=1，能得到：a＜0，c ＞0，-b2a=1，

∴b=-2a＞0，

∴abc＜0，

所以错误；

②当x=-1时，由图象知y＜0，

把x=-1代入解析式得：a-b+c＜0，

∴b＞a+c，

∴②错误；

③图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为x=1，

能得到：a＜0，c＞0，-b2a=1，

所以b=-2a，

所以4a+2b+c=4a-4a+c＞0．

∴③正确；

④∵由①②知b=-2a且b＞a+c，

∴2c＜3b，④正确；

⑤∵x=1时，y=a+b+c（最大值），

x=m时，y=am2+bm+c，

∵m≠1的实数，

∴a+b+c＞am2+bm+c，

∴a+b＞m（am+b）成立．

∴⑤正确．

故正确结论的序号是③，④，⑤．

已知：二次函数y=x2+2x+a（a为大于0的常数），当x=m时的函数值y1＜0；则当x=m+2时的函数值y2与0的大小关系为（）

A 、y2＞0

B 、y2＜0

C 、y2=O

D 、不能确定

解析解：∵抛物线与x轴有两个交点

∴△=22-4a＞0，即a＜1

又a＞0，对称轴为x=-1

据题意画草图

可知当-2＜x＜0时，y＜0

而当x=m时的函数值y1＜0

故-2＜m＜0

则当x=m+2时，函数值y2与0的大小关系为y2＞0．故选A．

根据抛物线与x轴的交点情况，判断a的取值范围，即0＜a＜1，已知对称轴是x=-1，则-2＜m＜0，0＜m+2＜2，可判断当x=m+2时，函数值y2与0的大小关系为y2＞0．

中考数学辅导：二次函数复习重在把握

二次函数与其图像是初中代数的重要内容之一，是学过一次函数概念及性质，含确定一次函数的解析式运用数形结合思想解决实际问题的基础上进入二次函数的学习，它把代数和几何揉合在一起，因此成为了中考中的重点内容，也是高中数学知识的基石。

一、把握要点(也是中考的考点及要求)

1.理解二次函数概念、性质、含画二次函数的图像。

2.能确定抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴方程，以及抛物线与坐标轴的交点坐标。

3.含根据不同条件确定二次函数的解析式。

4.灵活运用函数思想，数形结合思想解决问题。

二、要掌握二次函数解析式的三种形式，根据条件灵活运用，确定二次函数的解析式，适当做一些二次函数的实际应用问题，来提高分析和解决问题的能力。

三、二次函数是体现综合性的重点内容

从容易题到较难题中都会出现，也就是说每年中考试卷中即有相对稳定的基础题，也有新颖的试题来考查学生的分析，解决问题能力，实践和创新能力，因此经常与一次函数，三角形，四边形知识结合在一起，成为试卷的压轴题。

四、学习二次函数注意如下几点

1.函数图像中点的横纵坐标与二条线段之间的转化。

2.函数题目中有关”函数语言“的理解及表达，例如二次函数图象过原点，将二次函数以轴翻折，系数即改变符号等等。

3.当绘画出函数图象后，一定要分析图像的性质及基本图形的特征，例如出现等腰直角三角形，平行四边形等等。

数学改错笔记及试卷分析规范

　很多同学不善于总结经验和教训，经常是同样或同类型的题目，这次做错了，下次还错。那么，如何吸取教训、避免一错再错呢?其实，最有效的解决办法就是要学会从错题中总结规律。

◎及时分析出错的原因

在做题中，一旦发现错误，首先做的第一步就是分析出错的原因。要尽量减少因为马虎而造成的错误，马虎是一种很有杀伤力的不良学习习惯，大家必须克服。一般的错题都是有一定原因的，比如说由于某个知识点没有掌握牢，或者说某个方法还不会灵活地运用。根据出错的原因，第二步要做的就是找出一些配套的练习题，进行滚动式的反复练习，把所有和它相关的题型多做几道。直到完全掌握了这种习题，包括它一般的出题方式和答题方法，这个错题就被攻破了。

可见，做错题并不可怕，重要的是你要从错误中找到原因，总结规律。

◎善用难题笔记和错题笔记

学生最害怕的事就是考试时不会做题和做错题。不会做题可能是因为觉得试题陌生或太难而无从下手;做错题是因为本该做对但因种种原因而做错了。我认为，要避免这两种情况，除了巩固书本基础知识外，平时要坚持做难题笔记和错题笔记。如果能养成坚持做难题笔记和错题笔记的习惯，并在做笔记时加以分析，使难题不难，错误不再重犯，这会明显提高考试时答题的正确率。

下面，我们就来看看如何做难题笔记和错题笔记。

难题笔记

准备一本专用记录本记下平时练习和各次考试时碰到的难题，并在难题旁注上关键难点、解题思路与方法，并列出该题若干种变化形式，举一反三。这是根据碰到难题的先后顺序从纵向做难题笔记。此外，还可以根据难题的性质从横向分别加以归类。学生审题后不能把当前习题归入知识系统中相同或相似类型之中，是造成无法解题的关键。同类型难题归在一起，见多识广，不致在考试解题时对不上号而无所适从，平时从纵向、横向两方面对碰到的所有难题进行分析归类并贮存在脑子里，下次碰到相同或相似的题目就不觉得难了，考试时碰到新难题的可能性也就不大。

错题笔记

避免重复出错的最好办法莫过于把错题记下来并进行适当的分析、总结，从中吸取教训。下面，我将结合适当的例子，给出一个我在教学中教给学生们的改错笔记规范。

一、改错用具

1.改错笔记本，最好是活页型的，方便以后随时往里面添加东

西。

2.红、蓝、黑三种颜色的笔，黑笔抄原题和原错误答案，蓝笔写正确答案，红笔写错因分析。

3.剪刀、胶棒、直尺、三角板等，严禁用涂改液和修正带。

二、改错要求

1.用黑笔抄写原题和原错误答案，这样便于对照正误解法的差别，更易找出错因。

2.用蓝笔写正确解答过程，选择、填空等“小题”也应写上分析推演过程，对于有多种解法的题目，建议将所知的正确解法都写上，以便进行对比、灵活运用。

3.用红笔写下对每道题的错因分析，要求言简意赅、切中要害。

中考数学做题指导

　中考数学不难，“记”是关键

中考数学并不难，主要是学生不愿意记。大脑是空的，做了无数的题目，可以说都没有起到作用。要求学生，对于自己不熟悉的知识，或者比较惧怕的题目，一定要下工夫强记。等学生记了10道题目，就会有这种题目不过如此的感觉。每个学生，脑中一定要有至少十份完整的数学测试卷子，也就是要强记。然后对这十份试卷结合自己的情况，进行对比分析，找出自己不熟练的部分。针对这些不熟练的部分，结合过去在学校做的专题，进行强化。

考试总是不对，经常“返回”

很多学生考试经常把自己会的题目做错，学生考试犯错类型很多，题读错、数看错、算错、抄错、表述错等。一定要让学生明白，只要“做”就会犯错。因此做任何动作，都要提醒自己我有犯错的可能。同时也要注意，每当自己做完一个动作，就要检查一下，也就是要经

常“返回”，并在大脑中进行确认。

几何函数题目，不断“重复”

中考数学，学生经常“卡壳”的题目，按照题目类型分：选择题——函数题、几何计算题；填空题——函数题、图形题、几何计算题、找规律题；解答题——几何题、函数题、应用题、几何函数结合题，以及与这些知识有关的创新题。

通过上面的分析，大家就会发现，中考数学卡壳的知识集中在函数和几何。其实单就函数题，学生困难的也是函数图形中的几何信息。还有就是学生不会把几何图形信息转换成代数信息。这也是学生几

何计算题(面积计算、边长计算和角度计算)比较困难，最后压轴题更是学生难啃的骨头。

对于中考数学想获得115分以上的学生，必须攻下填空题的最后一道，同时要保证做过的题目绝对不能出错。这样才有时间和精力，全力攻自己卡壳的部分。