高中数学解析几何解答题汇编
一.解答题(共30小题)
1.(2014?江苏)如图,在平面直角坐标系xOy中,F1,F2分别为椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,顶点
B的坐标为(0,b),连接BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连接F1C.
(1)若点C的坐标为(,),且BF2=,求椭圆的方程;
(2)若F1C⊥AB,求椭圆离心率e的值.
,)
∴,即,
∵
)
+y
﹣+)得(=0
(
,﹣
=
∴(
得
2.(2014?安徽)设F1,F2分别是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B
两点,|AF1|=3|F1B|.
(Ⅰ)若|AB|=4,△ABF2的周长为16,求|AF2|;
(Ⅱ)若cos∠AF2B=,求椭圆E的离心率.
B=
B=,
(
c=
e==
3.(2014?河南)已知点A(0,﹣2),椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线
AF的斜率为,O为坐标原点.
(Ⅰ)求E的方程;
(Ⅱ)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.
,利用直线的斜率公式可得,可得
,
∴.
的方程为
,
时,即
|PQ|=
,
,
∴,即,解得
4.(2014?天津)设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,右顶点为A,上顶点为B,已知|AB|=|F1F2|.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过点F2的直线l与该圆相切于点M,
|MF2|=2,求椭圆的方程.
)依题意可知=
e==
椭圆方程为=1
点坐标(csin
?
﹣
=
c c
圆心坐标为(﹣c c
r=|OB|==c|=c
∴c
椭圆的方程为+
5.(2014?四川)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角
形.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设F为椭圆C的左焦点,T为直线x=﹣3上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q.
①证明:OT平分线段PQ(其中O为坐标原点);
②当最小时,求点T的坐标.
利用两点间距离公式及弦长公式将表示出来,由)依题意有
的标准方程为+
的斜率
,
,从而
的斜率
的斜率,得
,即
由两点间距离公式得,
=,
,则
6.(2014?辽宁)圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P (如图),双曲线C1:﹣=1过点P且离心率为.
(Ⅰ)求C1的方程;
(Ⅱ)若椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点,直线l过C2的右焦点且与C2交于A,B两点,若以线段AB为直径的圆过点P,求l的方程.
的方程为(
,
,则切线的斜率为
可得切线的方程为
,可得,可得
S== 4=,当且仅当时取等号.
∴
由题意可得,
的方程为.
±
的方程为(
代入可得,解得
的方程为.
,
,化为,
∴,
,
,
∵,∴
∴
∴
的方程为:或
7.(2014?陕西)已知椭圆+=1(a>b>0)经过点(0,),离心率为,左右焦点分别为F1(﹣c,0),F2
(c,0).
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线l:y=﹣x+m与椭圆交于A、B两点,与以F1F2为直径的圆交于C、D两点,且满足=,求
直线l的方程.
|CD|=2
.由
)由题意可得
椭圆的方程为.
d=
,可得
|CD|=2=
,
|AB|=.=,
的方程为.
8.(2014?陕西)如图,曲线C由上半椭圆C1:+=1(a>b>0,y≥0)和部分抛物线C2:y=﹣x2+1(y≤0)连接而成,C1与C2的公共点为A,B,其中C1的离心率为.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)过点B的直线l与C1,C2分别交于点P,Q(均异于点A,B),若AP⊥AQ,求直线l的方程.
,由=
的方程为
,
,利用=0
=及
的方程为
=
,)
同理,由
∴(=
,∴?=0
.
符合题意,
﹣
9.(2014?福建)已知双曲线E:﹣=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为l1:y=2x,l2:y=﹣2x.
(1)求双曲线E的离心率;
(2)如图,O为坐标原点,动直线l分别交直线l1,l2于A,B两点(A,B分别在第一、第四象限),且△OAB的面积恒为8,试探究:是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E?若存在,求出双曲线E的方程,若不存在,说明理由.
)依题意,可知a
的方程为﹣
的方程为﹣=1
|OC|的方程为=1
=2
e=.
的方程为﹣
|OC|
a的方程为﹣=1
的方程为=1
(﹣
,同理得
||﹣
的方程为﹣
10.(2014?湖南)如图,O为坐标原点,双曲线C1:﹣=1(a1>0,b1>0)和椭圆C2:+=1(a2>b2
>0)均过点P(,1),且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.
(Ⅰ)求C1、C2的方程;
(Ⅱ)是否存在直线l,使得l与C1交于A、B两点,与C2只有一个公共点,且|+|=||?证明你的结论.
()在上求得
,可得=﹣
|+||
=
可得|+||()在上,∴﹣=1=3
=1
=2=∴﹣=2的方程为:=1
,或﹣
时,可得(),﹣|,||=2
|+||
时,也有|||
,由
==
可得
∴,∴≠
∴|+||
11.(2014?南充模拟)设椭圆中心在坐标原点,A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点,直线y=kx(k>0)与AB 相交于点D,与椭圆相交于E、F两点.
(Ⅰ)若,求k的值;
(Ⅱ)求四边形AEBF面积的最大值.
进而根据
)依题设得椭圆的方程为,
,得
或
?
的最大值为
12.(2014?重庆)如图,设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点D在椭圆上.DF1⊥F1F2,
=2,△DF1F2的面积为.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径.
,于是可求得椭圆的标准方程;
与椭圆+y
﹣
=2
|DF,故
,得,
因此,所求椭圆的标准方程为
与椭圆
,所以
+
﹣+4x﹣时,过
|P
13.(2014?广西)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且
|QF|=|PQ|.
(Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ)过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程.
,根据|PQ|
|AE|=|BE|=
,∵|PQ|=
+,|QF|=
∴=×,求得
y+2m
y
的坐标为(,|MN|=|=
|AE|=|BE|=
∴MN
=
14.(2014?浙江)如图,设椭圆C:(a>b>0),动直线l与椭圆C只有一个公共点P,且点P在第一象
限.
(Ⅰ)已知直线l的斜率为k,用a,b,k表示点P的坐标;
(Ⅱ)若过原点O的直线l1与l垂直,证明:点P到直线l1的距离的最大值为a﹣b.
,消去
,整理即可证得点
,由
,)
,
d=
≥,所以=a时等号成立.
15.(2014?江西)如图,已知双曲线C:﹣y2=1(a>0)的右焦点为F,点A,B分别在C的两条渐近线AF⊥x
轴,AB⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点).
(1)求双曲线C的方程;
(2)过C上一点P(x0,y0)(y0≠0)的直线l:﹣y0y=1与直线AF相交于点M,与直线x=相交于点N.证明:当点P在C上移动时,恒为定值,并求此定值.
),﹣)a=
,的方程为::﹣x=
,)(,于是化简可得其值为
),﹣
,∴?=
t=a=
的方程为﹣
,﹣
相交于点
,,)
∴===
16.(2014?安徽)如图,已知两条抛物线E1:y2=2p1x(p1>0)和E2:y2=2p2x(p2>0),过原点O的两条直线l1和l2,l1与E1,E2分别交于A1、A2两点,l2与E1、E2分别交于B1、B2两点.
(Ⅰ)证明:A1B1∥A2B2;
(Ⅱ)过O作直线l(异于l1,l2)与E1、E2分别交于C1、C2两点.记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2,求的值.
平面解析几何 一、直线与圆 1.斜率公式 2121 y y k x x -=-(111(,)P x y 、222(,)P x y ). 2.直线的五种方程 (1)点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ,且斜率为k ). (2)斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)两点式 112121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). < (4)截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距,0a b ≠、). (5)一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 3.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+,222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ? =≠; < ②1212120l l A A B B ⊥?+=; 4.点到直线的距离 d =(点00(,)P x y ,直线l :0Ax By C ++=). 5.圆的四种方程 (1)圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. (2)圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +->0).圆心??? ??--2,2E D ,半径r=2 422F E D -+. 6.点与圆的位置关系 点00(,)P x y 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: . 若d =d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r 相离r d ; 0=???=相切r d ; 0>???<相交r d . 其中22B A C Bb Aa d +++=. 8.两圆位置关系的判定方法 # 设两圆圆心分别为O 1,O 2,半径分别为r 1,r 2,d O O =21 条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ;
圆锥曲线第3讲抛物线 【知识要点】 一、抛物线的定义 平面内到某一定点F的距离与它到定直线l(l F?)的距离相等的点的轨迹叫抛物线,这个定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线。 注1:在抛物线的定义中,必须强调:定点F不在定直线l上,否则点的轨迹就不是一个抛物线,而是过点F且垂直于直线l的一条直线。 注2:抛物线的定义也可以说成是:平面内到某一定点F的距离与它到定直线l(l F?)的距离之比等于1的点的轨迹叫抛物线。 注3:抛物线的定义指明了抛物线上的点到其焦点的距离与到其准线的距离相等这样一个事实。以后在解决一些相关问题时,这两者可以相互转化,这是利用抛物线的定义解题的关键。 二、抛物线的标准方程 1.抛物线的标准方程 抛物线的标准方程有以下四种: (1) px y2 2= ( > p),其焦点为 )0, 2 ( p F ,准线为2 p x- = ; (2) px y2 2- =(0 > p),其焦点为 )0, 2 ( p F- ,准线为2 p x= ; (3) py x2 2= ( > p),其焦点为 ) 2 ,0( p F ,准线为2 p y- = ; (4) py x2 2- = ( > p),其焦点为 ) 2 ,0( p F- ,准线为2 p y= . 2.抛物线的标准方程的特点
抛物线的标准方程px y 22±=(0>p )或py x 22±=(0>p )的特点在于:等号的一端 是某个变元的完全平方,等号的另一端是另一个变元的一次项,抛物线方程的这个形式与其位置特征相对应:当抛物线的对称轴为x 轴时,抛物线方程中的一次项就是x 的一次项,且一次项x 的符号指明了抛物线的开口方向;当抛物线的对称轴为y 轴时,抛物线方程中的一次项就是y 的一次项,且一次项y 的符号指明了抛物线的开口方向. 三、抛物线的性质 以标准方程 px y 22 =(0>p )为例,其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。 (1)范围:0≥x ,R y ∈; (2)顶点:坐标原点)0,0(O ; (3)对称性:关于x 轴轴对称,对称轴方程为0=y ; (4)开口方向:向右; (5)焦参数:p ; (6)焦点: )0,2(p F ; (7)准线: 2p x - =; (8)焦准距:p ; (9)离心率:1=e ; (10)焦半径:若 ) ,(00y x P 为抛物线 px y 22=(0>p )上一点,则由抛物线的定义,有20p x PF + =; (11)通径长:p 2. 注1:抛物线的焦准距指的是抛物线的焦点到其相应准线的距离。以抛物线 px y 22=
解析几何练习题 一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.) 1.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是( ) A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 2.若直线210ay -=与直线(31)10a x y -+-=平行,则实数a 等于( ) A 、12 B 、12 - C 、13 D 、13 - 3.若直线,直线与关于直线对称,则直线的斜率为 ( ) A . B . C . D . 4.在等腰三角形AOB 中,AO =AB ,点O(0,0),A(1,3),点B 在x 轴的正半轴上,则直线AB 的方程为( ) A .y -1=3(x -3) B .y -1=-3(x -3) C .y -3=3(x -1) D .y -3=-3(x -1) 5.直线对称的直线方程是 ( ) A . B . C . D . 6.若直线与直线关于点对称,则直线恒过定点( ) 32:1+=x y l 2l 1l x y -=2l 2 1 2 1-22-02032=+-=+-y x y x 关于直线032=+-y x 032=--y x 210x y ++=210x y +-=()1:4l y k x =-2l )1,2(2l
A . B . C . D . 7.已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0,且在y 轴上的截距为3 1,则m ,n 的值分别为 A.4和3 B.-4和3 C.- 4和-3 D.4和-3 8.直线x-y+1=0与圆(x+1)2+y 2=1的位置关系是( ) A 相切 B 直线过圆心 C .直线不过圆心但与圆相交 D .相离 9.圆x 2+y 2-2y -1=0关于直线x -2y -3=0对称的圆方程是( ) A.(x -2)2 +(y+3)2 =1 2 B.(x -2)2+(y+3)2=2 C.(x +2)2 +(y -3)2 =1 2 D.(x +2)2+(y -3)2=2 10.已知点在直线上移动,当取得最小值时,过点引圆的切线,则此切线段的长度为( ) A . B . C . D . 11.经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ,使点P 为弦AB 的中点,则 弦AB 所在直线方程为( ) A .50x y --= B .50x y -+= C .50x y ++= D .50x y +-= 0,40,22,44,2(,)P x y 23x y +=24x y +(,)P x y 22111()()242 x y -++ =2 321 22
第8章 第1节 一、选择题 1.(2010·崇文区)“m =-2”是“直线(m +1)x +y -2=0与直线mx +(2m +2)y +1=0相互垂直”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] m =-2时,两直线-x +y -2=0、-2x -2y +1=0相互垂直;两直线相互垂直时,m(m +1)+2m +2=0,∴m =-1或-2,故选A. 2.(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x -2y -2=0平行的直线方程是( ) A .x -2y -1=0 B .x -2y +1=0 C .2x +y -2=0 D .x +2y -1=0 [答案] A [解析] 解法1:所求直线斜率为12,过点(1,0),由点斜式得,y =12(x -1),即x -2y -1=0. 解法2:设所求直线方程为x -2y +b =0, ∵过点(1,0),∴b =-1,故选A. (理)设曲线y =ax2在点(1,a)处的切线与直线2x -y -6=0平行,则a =( ) A .1 B.12 C .-12 D .-1 [答案] A [解析] y′=2ax ,在(1,a)处切线的斜率为k =2a , 因为与直线2x -y -6=0平行,所以2a =2,解得a =1. 3.点(-1,1)关于直线x -y -1=0的对称点是( ) A .(-1,1) B .(1,-1) C .(-2,2) D .(2,-2) [答案] D [解析] 一般解法:设对称点为(x ,y),则