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高中解析几何专题（精编版）

1. （天津文）设椭圆

x 2

y 2

1(a b 0)

的左、右焦点分别为

，F 2。点 P(a,b) a 2 b 2

满足 | PF 2 | | F 1F 2 |.

（Ⅰ）求椭圆的离心率 e ；

（ Ⅱ ）设直线 PF 2 与椭圆相交于 A ， B 两点，

若直线 PF 2 与圆

(x 1)2 ( y

3) 2 16 相交于 M ，N 两点，且 | MN | 5 | AB | ，求椭圆的

方程。

【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离

公式、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力，满分 13 分。

（Ⅰ）解：设 F 1 ( c,0), F 2 (c,0)( c 0) ，因为 | PF 2 | | F 1 F 2 |，

c 2

0, 得

所以 (a

c) 2 b 2 2c ，整理得 2

1 1（舍）

a a

或 c 1

, 所以 e 1 .

a 2 2

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知 a 2c,b

3c ，可得椭圆方程为 3x 2 4 y 2 12c 2 ，直

线 FF 的方程为

y 3( x c).

A ，

B 两点的坐标满足方程组 3x 2 4y 2 12c 2 ,

消去 y 并整理，得 y

3( x c).

x 2

x 1

0, c, 5x

8cx

0 。解得 x 1

0, x 2 8

c ，得方程组的解

y 1

3c, y 2

3 3 c.

不妨设 A 8 c, 3 3 c ， B(0,

3c) ，

3 c

16 c.

所以 | AB |

8 c

3 3c

于是 | MN |

| AB | 2c.

圆心

1, 3 到直线 2

的距离 d

| 3

3c |

3 | 2 c |

42 ，所以 3

因为 d 2

| MN |

c) 2 c 2 16.

4 整理得 7c

12c 52

0，得 c

（舍），或 c 2.

精选

所以椭圆方程为

x 2

y 2

16 1.

2. 已知椭圆 G :

x 2

，右焦点为（ 2

y 2 1(a b 0) 的离心率为

2 ,0 ），斜率

为 I 的直线 l 与椭圆 G 交与 A 、B 两点，以 AB 为底边作等腰三角形，顶点为

P （-3,2 ）.

（ I ）求椭圆 G 的方程；

（ I I ）求 PAB 的面积 . 【解析】

解：（Ⅰ）由已知得 c

2 2,

6 .

解得 a 2 3.

又 b 2

a 2 c 2

所以椭圆 G 的方程为

x 2

y 2 1.

（Ⅱ）设直线 l 的方程为 y x m.

y x m

由 x 2 y 2

得

4 1

x 2 m 2

4 6 mx 12 0. 3

设 A 、B 的坐标分别为 ( x 1 , y 1 ), ( x 2 , y 2 )( x 1 x 2 ), AB 中点为 E ( x 0 , y 0 ) ，则 x 0

x 1 x 2

3m ,

y 0

x 0

因为 AB 是等腰△ PAB 的底边，所以 PE ⊥AB.

所以 PE 的斜率 k

4 1.

3 3m

解得 m=2。

此时方程①为 4

x 0.

解得 x 1

3, x 2 0. 所以 y 1 1, y 2 2.

所以 |AB|= 3 2 .

此时，点 P （— 3，2）到直线 AB ： x y 2

0 的距离 d

| 3 2 2 | 3 2 ,

2 2

所以△ PAB 的面积 S=1

| AB | d 9 .

2 2

3. ( 全国大纲文 ) 已知 O 为坐标原点， F 为椭圆 C : x 2

y 2 1 在 y 轴正半轴上的

焦点，过 F 且斜率为 -

2 的直线 l 与 C 交与 A 、 B 两点，点 P 满足

uuur uuur uuur

OA OB OP （Ⅰ）证明：点 P 在 C 上；

（ II ）设点 P 关于 O 的对称点为 Q ，证明： A 、 P 、 B 、Q 四点在同一圆上。

【解析】 22．解：（I ）F （0，1），l 的方程为 y

2x 1 ，

2 代入 x

1并化简得

4x 2 2 2x 1 0.

???? 2 分

设 A( x 1 , y 1), B(x 2 , y 2 ), P( x 3 , y 3 ),

则 x 1

2 6

, x 2

2 6 ,

x 1 x 2

, y 1 y 2 2( x 1 x 2 ) 2 1,

由题意得 x 3

( x 1

x 2 )

, y 3( y 1 y 2 )1.

2 所以点 P 的坐标为 (

2 , 1).

经验证，点 P 的坐标为 (

, 1) 满足方程

x 2 y 2

1, 故点 P 在椭圆 C 上。

（ II ）由 P(

, 1) 和题设知， Q (

,1)

PQ 的垂直一部分线 l 1 的方程为

①

设 AB 的中点为 M ，则 M ( 2 , 1

) ，AB 的垂直平分线为 l 2 的方程为

4 2

2 x 1 . ②

由①、②得 l 1, l 2 的交点为 N (

2 , 1)

8 8

| NP | ( 2 2 )2 ( 1 1)2 3 11 ,

2 8 8 8

| AB | 1 ( 2) 2 | x

2 x |

3 2 , 1 2

| AM | 3 2 4

| MN | ( 2 2 )2 ( 1 1)2 3 3 ,

4 8 2 8 8

| NA | | AM |2 | MN |2 3 11 ,

故|NP|=|NA| 。

又|NP|=|NQ| ，|NA|=|NB| ，

所以 |NA|=|NP|=|NB|=|MQ| ，

由此知 A、P、B、Q四点在以 N为圆心， NA为半径的圆上。

4.（全国新文）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线y x26x 1与坐标轴的交点

都在圆 C 上．

（I ）求圆 C的方程；

（II ）若圆 C与直线x y a 0 交于A，B两点，且 OA OB, 求a的值．【解析】解：（Ⅰ）曲线y x2 6x 1 与 y 轴的交点为（ 0， 1），与 x 轴的交点为（ 3 2 2,0),(3 2 2,0).

故可设 C 的圆心为（ 3， t ），则有32 (t 1)2 (2 2) 2 t 2 , 解得t=1.

则圆 C 的半径为32 (t 1) 2 3.

所以圆 C 的方程为 (x 3) 2 ( y 1)2 9.

（Ⅱ）设 A（

x1 , y1 ），（ 2 ），其坐标满足方程组：

B x2 , y

x y a 0,

( x 3) 2 ( y 1) 2 9.

消去 y，得到方程

2x2 ( 2a 8)x a 2 2a 1 0.

由已知可得，判别式56 16

a 4 2 0. a

因此， x1,2 (8 2a) 56 16a 4a 2

, 从而

a2 0

x1 x2 4 a, x1 x2

2a 1

①2

⊥，可得x x

2 y y

由于 OA OB 1 1

又 y1 x1 a, y2 x2 a, 所以

2x1 x2 a(x1 x2 ) a2 0. ②

由①，②得 a 1，满足0, 故a 1.

5.（辽宁文）如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N 在x 轴上，椭圆 C2的短轴为 MN，且 C1，C2的离心率都为 e，直线 l ⊥MN，l 与 C1交于两

点，与 C 2 交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为

A ，

B ，

C ，

D ．

（II ）当 e 变化时，是否存在直线

l ，使得 BO ∥AN ，并说明理由．

【解析】解：（I ）因为 C 1 ，C 2 的离心率相同，故依题意可设

C 1 : x 2

1,C 2 : b 2 y 2

x 2

1,( a b 0)

a 2

b 2

a 4

a 2

设直线 l : x

t (| t | a) ，分别与 C 1， C 2 的方程联立，求得 A(t ,

t 2

), B(t,

a 2 t 2 ).

??????4 分

当 e

时 , b 3

a, 分别用 y A , y B 表示 A ，B 的纵坐标，可知

2 b 2

| BC |:| AD |

2 | y B |

??????6 分

2 | y A

| a 2 .

4 （ II ）t=0 时的 l 不符合题意 . t 0 时， BO//AN 当且仅当 BO 的斜率 k BO 与 AN

的斜率 k AN 相等，即

b a 2 t 2 a a 2 t 2 a

b ,

t a

解得 t

ab 2 1 e 2

a 2

b 2

e 2 a.

因为 | t | a, 又 0 e 1,所以

e 2 1,解得

2 e 1.

e 2

所以当 0 e

时，不存在直线 l ，使得 BO//AN ；

当

e 1 时，存在直线 l 使得 BO//AN.

?????? 12分

6. （江西文）已知过抛物线

y px( p

) 的焦点，斜率为的直线交抛物线

于 A( x , y ) 和 B( x , y )( x x ) 两点，且 AB

（1）求该抛物线的方程；

（2） O 为坐标原点， C 为抛物线上一点，若 OC OA OB ，求的值．

【解析】 19．（本小题满分 12 分）

（ 1）直线 AB 的方程是 y 2 2( x

) ，

与 y 2

2 px 联立，从而有 4x 2

p 2

5 px 0,

所以： x 1 x 2

由抛物线定义得： | AB | x 1 x 2 p

所以 p=4，从而抛物线方程是

y 2

8x.

（ 2）由 p 4, 4x 2 5 px p 2 0 可简化为

x 2 5x 4 0, 从而 x 1

1, x 2 4,

y 1 2 2, y 2 4 2, 从而 A(1, 2 2), B(4, 4 2)

uuur

设 OC ( x 3 , y 3 ) (1 2 2) (4,4 2) (4

1,4 2

2 2)

又 y 32 8x 3 ,即[2 2(2 1)]2

8(4

1),

即 (2 1)2 4

解得

0, 或 2.

7. （山东文） 22．（本小题满分 14 分）

在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C :

x 2

y 2 1 ．如图所示，斜率为

k( k ＞0) 且不过原点的直线 l 交椭圆 C 于 A ， B 两点，线段 AB 的中点为 E ，

射线 OE 交椭圆 C 于点 G ，交直线 x 3 于点 D( 3, m) ．

（Ⅰ）求 m 2 k 2 的最小值；

（Ⅱ）若 2 OD ?

OG ，

（ i ）求证：直线 l 过定点；（ i i ）试问点 B ， G 能否关于 x 轴对称？

若能，求出此时 VABG 的外接圆方程；若不能，请说明理由．

【解析】 22 ．（ I ）解：设直线 l 的方程为 y kx t (k 0) ，

由题意， t 0.

y kx t ,

由方程组

x 2

得

y 2 1,

(3k 2

1)x 2 6ktx 3t 2 3 0，

由题意 0 ，

所以 3k 2 1 t 2. 设 A( x 1 , y 1), B(x 2 , y 2 ) ，

由韦达定理得 x 1 6kt , 所以 y 1

y 2

2t x 2

2 1

3k 2

由于 E 为线段 AB 的中点，因此 3kt

, y E t

x E

1 3k 2

此时 k OE

y E 1

.所以 OE 所在直线方程为 y

1 x,

x E

又由题设知 D （ -3 ，m ），令 x=-3 ，得 m 1

，即 mk=1，

所以 m 2 k 2

2mk 2, 当且仅当 m=k=1时上式等号成立，

此时由

0 得 0 t 2, 因此当 m k

1且

0 t 2 时，

k 取最小值 2。

（ II ）（i ）由（ I ）知 OD 所在直线的方程为 y

将其代入椭圆 C 的方程，并由 k

解得 G (

3k , 1

) ，又 E( 3k 1 , t ), D ( 3, 1

) ，

3k 2 1 3k 2 1

3k 2 3k 2 1 k 由距离公式及 t 0 得

(

) 2

(

1 ) 2

9k 2 1

|OG |

3k 2

3k 2 ,

3k 2 1

1 1

|OD |

( 3)

1 ) 2

9k 2

(

|OE |

(

3kt ) 2 ( 3k t )2

t 9k 2 1 ,

3k 2 1 2 1 3k 2

由 | OG |2 | OD | | OE | 得 t k ,

因此，直线 l 的方程为 y k( x 1). 所以，直线 l 恒过定点 ( 1,0).

（ii ）由（ i ）得 G (

3k ,

1 )

3k 2

若 B ，G 关于 x 轴对称，

则 B(

3k ,

3k 2

3k 2 1

代入 y k( x 1)整理得 3k 2 1 k 3k 2 1, 即 6k 4 7k 2 1 0 ，解得 k

（舍去）或 k 2 1,

所以 k=1，

此时 B(

3 , 1

), G ( 3 , 1

) 关于 x 轴对称。 2 2 2 2

又由（ I ）得 x 1 0, y 1 1, 所以 A （ 0， 1）。 ABG 的外接圆的圆心为（，），由于 ABG 的外接圆的圆心在

x 轴上，可设

d 0

因此 d

1 (d

3) 2

, 解得 d

1 ,

2 4

故 ABG 的外接圆的半径为 r

d 2

5 ，

所以 ABG 的外接圆方程为 (x

1 )

2 y 2 5 .

8. （陕西文） 17．（本小题满分 12 分）

设椭圆 C:

x 2 y 2

1 a b 0

过点（，），离心率为

2 b

0 4

5 （Ⅰ）求 C 的方程；

（Ⅱ）求过点（ 3，0）且斜率为 4

的直线被 C 所截线段的中点坐标。

【解析】 17．解（Ⅰ）将（ 0，4）代入 C 的方程得

∴b=4

a 2

b 2

又

c 3

得 9

a 5

a 2

即 1 16

9 ， ∴ a=5

a 2

∴C 的方程为

x 2

y 2 1

25 16

（ Ⅱ）过点 3,0 且斜率为 4

的直线方程为 y

4 x

3 ，

设直线与Ｃ的交点为Ａ x 1, y 1 ，Ｂ x 2 , y 2 ，将直线方程 y 4

代入Ｃ的方程，得

x 3

x 2

x 3

1 ，

25 25

即 x 2 3x 8 0 ，解得

x 1 3

2 41

， x 2 3

41 ，

x 1 x 2 3

AB 的中点坐标 x

，

y y 1 y 2 2

x 1 x 2 6

6 ，

2 5

即中点为

。

2 5

注：用韦达定理正确求得结果，同样给分。

（上海文） 22．（16 分）已知椭圆 C : x

2 y 2 1（常数 m 1），点 P 是 C 上 m

的动点， M 是右顶点，定点 A 的坐标为 (2,0) 。

（ 1）若 M 与 A 重合，求 C 的焦点坐标；（ 2）若 m 3 ，求 | PA | 的最大值与最小值；

（ 3）若 | PA | 的最小值为 | MA |，求 m 的取值范围。

2 【解析】 22．解：⑴ m 2 ，椭圆方程为

y 2 1， c

4 1 3

∴ 左．右焦点坐标为 (

3,0),( 3,0) 。

⑵

m 3 ，椭圆方程为

x 2

y 2 1，设 P( x, y) ，则

x 2

2 y 2

(x 2)

2 1

8 9

2 1

| PA | (x 2)

( x )

( 3 x 3)

∴

时 | PA |min 2 ； x

3 时 | PA |max

5 。

4 2 ⑶ 设动点 P(x, y) ，则

y 2

(x 2)

x 2 m 2 1 ( x

2m 2

) 2

4m 2

5( m x m)

| PA | ( x 2)

m 2 m 2

∵ 当 x m 时， | PA | 取最小值，且

m 2

0 ，∴

2m 2

m 且 m 1

m 2

m 2 1 解得 1 m 1 2 。

10. （四川文） 21．（本小题共 l2 分）

2 2

过点 C(0 ，1) 的椭圆 x

2 y 2 1( a b 0) 的离心率为

，椭圆与 x 轴交于两

a b

点 A(a,0) 、 A( a,0) ，过点 C 的直线 l 与椭圆交于另一点 D ，并与 x

轴交于点 P ，直线 AC 与直线 BD 交于点 Q ．

（ I ）当直线 l 过椭圆右焦点时，求线段 CD 的长；

uuur uuur

（Ⅱ）当点 P 异于点 B 时，求证： OP OQ 为定值．本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基本

知识，考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力．

解：（Ⅰ）由已知得 b 1,

c 3

，解得 a 2 ，所以椭圆方程为

x 2

y 2 1 ．

椭圆的右焦点为 ( 3,0) ，此时直线 l 的方程为 y

3 1 ，代入椭圆方程得

8 3x

0 ，解得 x 1

0, x 2 8 3

，代入直线 l 的方程得 y 1

1, y 2

，所以

8 3 , 1

) ，

7 7

故 | CD | ( 8 3 0)

(

1)2 16 ．

7 7 7

（Ⅱ）当直线 l 与 x 轴垂直时与题意不符．

设直线 l 的方程为 y

kx 1(k 0且k 1 ) ．代入椭圆方程得 (4 k

2 1)x 2 8kx 0 ．

2 1 4k 2

解得 x 1 0, x 2

4k 8k ，代入直线 l 的方程得 y 1 1, y 2

，

2 1 4k 2

4k 2 1

所以 D 点的坐标为 (

8k ,1

) ．

4k 2 1 4k 2 1

又直线 AC 的方程为

，又直线 BD 的方程为 y 1

( x 2) ，联立得

2 4k

x 4 k,

y 2k 1.

因此 Q( 4 k,2k 1) ，又 P( 1

,0) ．

uuur uuur 1

所以 OP OQ (

,0)( 4k,2 k 1) k

uuur uuur

故 OP OQ 为定值．

11. （浙江文）（22）（本小题满分动点。过点 P 做圆 C 2 : x

( y

4 ．

15 分）如图，设 P 是抛物线 C 1 ： x 2

y 上的 2

的两条切线，交直线 l ： y

3 于 A, B

3) 1 两点。

（Ⅰ）求 C 2 的圆心 M 到抛物线

C 1 准线的距离。

（Ⅱ）是否存在点 P ，使线段 AB 被抛物线 C 1 在点 P 处得切线平分，若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。

【解析】（22）本题主要考查抛物线几何性质，直线与抛物

线、直线与圆的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。满分 15 分。

（Ⅰ）解：因为抛物线 C 的准线方程为： y 1

1 11

所以圆心 M 到抛物线 C 1 准线的距离为：

( 3) |.

（Ⅱ）解：设点 P 的坐标为

) ，抛物线 1

在点 P 处的切线交直线 l 于点

( x , x

D 。再设 A ， B ， D 的横坐标分别为 x A , x B , x C 过点 P( x , x 2 )

1 的切线方程为：

0 0 的抛物线 C

y x 02

2x 0 ( x x 0 )

（1）

当 x 0 1 时，过点（，）与圆

的切线 PA 为： y 1

15 P 1 1

(x 1)

, x B 8

可得

x A

1, x D 1, x A x B

2x D

当 x

（— ，）与圆

的切线 PA

为：

时，过点

1( x 1)

, x D

可得 x A

1, x B

1, x A x B

2x D

, x B

x A

1, x D 1, x A x B

2x D

所以 x 02 1 0

设切线 PA ， PB 的斜率为 k 1 ,k 2 ，则

PA : y x 02 k 1 (x x 0 ) （2） PB : y x 02

k 2 ( x x 0 )

（3）

将 y

3 分别代入（ 1），（ 2），（3）得

x 02 3

x 02

精选

从而 x A

x B 2x 0 ( x 0

3)( 1 1

k 1

k 2

又

| x 0

x 02 3 | 1

k 12 1

即 ( x 02 1)k 12 2( x 02 3) x 0 k 1 (x 02 3) 2 1 0

同理， (x 02 1)k 22 2( x 02 3) x 0 k 2 ( x 02 3)2 1

所以 k 1 , k 2 是方程 ( x 02 1)k 2 2( x 02 3) x 0 k ( x 02 3)2 1 0 的两个不相等的

根，从而 k 1 k 2

2(3

x 02

, k 1

k 2

(3 x 02 )2 1 .

x 02

x 02 1

因为 x A x B 2 x 0

所以 2x 0 (3

x 02 3 1 1

x 0 )(

k 1

)

x 0 ,即

k 2

x 0

k 2

k 1

从而

2(3 x 02 )x 0

( x 02

3) 2

1 x 0

进而得 x 04 8, x 0 4 8

综上所述，存在点 P 满足题意，点 P 的坐标为 ( 4 8, 2 2).

12. （重庆文） 21．（本小题满分 12 分。（Ⅰ）小问 4 分，（Ⅱ）小问 8 分）

如题（21）图，椭圆的中心为原点 0，离心率 e= 2

，一条准线的方程是 x 2 2

（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；

uuuuv uuuv

uuuv

（Ⅱ）设动点 P 满足： OP OM 2ON ，其

中 M 、N 是椭圆上的点，直线 OM 与 ON

的斜率之积为

，问：是否存在定点 F ，

使得 PF 与点 P 到直线 l ： x 2 10 的

距离之比为定值；若存在，求 F 的坐标，

若不存在，说明理由。

【解析】 21．（本题 12 分）

解：（I ）由 e c

2 , a 2 2 2,

2 c

解得 a

2, c 2, b 2

a 2

c 2

2 ，故椭圆的标准方程为

x 2

y 2

4 2

（ II ）设 P( x, y), M ( x 1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2 ) ，则由 uuur uuuur uuur

OP OM 2ON 得

(x, y) (x 1 , y 1 ) 2( x 2 , y 2 ) ( x 1 2 x 2 , y 1 2 y 2 ), 即x x 1 2x 2 , y y 1 2 y 2 .

因为点 M ，N 在椭圆 x 2 2 y 2 4 上，所以

x 12 2 y 12 4, x 22 2 y 22 4 ，

故 x 2 2y 2

( x 12 4x 22 4x 1 x 2 ) 2( y 12 4 y 22 4 y 1 y 2 )

( x 2 2 y 2 ) 4( x 2 2 y 2 ) 4( x x 2 2y y )

1 2 2 1 1 2

20 4( x 1 x 2 2 y 1 y 2 ).

设 k OM , k ON 分别为直线 OM ，ON 的斜率，由题设条件知

k OM k ON

y 1 y 2 1

, 因此 x 1 x 2 2y 1 y 2

x 1 x 2

所以 x 2 2 y 2

20.

所以 P 点是椭圆

x 2

y 2 1 上的点，该椭圆的右焦点为 F ( 10,0) ，

(2 5) 2

( 10) 2

离心率 e

,直线 l : x

2 10 是该椭圆的右准线，故根据椭圆的第二定义，

存在定点 F ( 10,0) ，使得 |PF| 与 P 点到直线 l 的距离之比为定值。

13. （安徽文）（17）（本小题满分 13 分）

设直线 l 1 : y k 1 x 1,l 2 : y k 2 x 1,其中实数 k 1 , k 2满足 k 1 k 2 2 0.

（ I ）证明 l 1 与 l 2 相交；

（ I I ）证明 l 1 与 l 2 的交点在椭圆 2x 2 +y 2 =1上 .

【解析】（17）（本小题满分 13 分）本题考查直线与直线的位置关系，线线相交的判断与证明，点在曲线上的判断与证明，椭圆方程等基本知识，考查推理论证

能力和运算求解能力 . 与 l 2 不相交，则 l 1 与 l 2 平行，有，代入证明：（）反证法，假设是 l 1

I k =k

k 1k 2+2=0，得

k 12

2 0.

此与 k 1 为实数的事实相矛盾 . 从而 k 1 k 2 ,即l 1与l 2 相交 .

y k 1 x 1

（ II ）（方法一）由方程组

k 2 x

k 2 k 1

解得交点 P 的坐标 ( x, y) 为

k 2

1 .

k 2 k 1

而

k 2 k 1

8 k 22 k 12 2k 1 k 2 k 12 k 22 4 2x y

k 2 k 1

)

(

k 2 k 1

)

k 22 k 12 2k 1 k 2

k 12 k 22 1.

此即表明交点 P(x, y)在椭圆 2x 2

y 2

1上.

（方法二）交点 P 的坐标 ( x, y) 满足

y 1 k1 x y 1 k2 x

k1 y 1

故知x 从而x

y 1.

代入 k1k 2 2 0,得 y 1 y 1 2 0.

x x

整理后，得2x2 y2 1,

所以交点 P 在椭圆 2x 2 y2 1上.

14.（福建文） 18．（本小题满分 12 分）

如图，直线 l ：y=x+b 与抛物线 C：x2=4y 相切于点

A。

（I ）求实数 b 的值；

（11）求以点 A 为圆心，且与抛物线C的准线相切

的圆的方程．

。【解析】 18．本小题主要考查直线、圆、抛物线等

基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程

思想、数形结合思想，满分 12 分。

y x b,

得x2 4x 4b 0 ，（ * ）

解：（I ）由

因为直线 l 与抛物线 C相切，所以( 4)2 4 ( 4b) 0, 解得 b=-1。

（II ）由（ I ）可知b 1,故方程 (*) 即为 x2 4x 4 0 ，

解得 x=2，代入x2 4 y, 得

y 1.

故点 A（ 2， 1），

因为圆 A 与抛物线 C的准线相切，

所以圆 A 的半径 r 等于圆心 A 到抛物线的准线 y=-1 的距离，即 r |1 ( 1) | 2,

所以圆 A 的方程为( x 2) 2 ( y 1)2 4.

15. （湖北文）21（．本小题满分 14 分）平面内与两定点

、

a,0

（

a 0

）a,0 A2

连线的斜率之积等于非零常数 m的点的轨迹，加上

A 、 2两点所成的曲线C A

可以是圆、椭圆或双曲线。

（Ⅰ）求曲线 C 的方程，并讨论 C 的形状与 m值的关系；

（Ⅱ）当 m 1时，对应的曲线为 C1；对给定的m ( 1,0) ( 0, ) ，对应的曲线为 C2，设F1、 F2是 C2 的两个焦点。试问：在 C1 上，是否存在点 N ，使得△F1 N F2的面积S | m | a2 。若存在，求 tan F1 N F2的值；若不存在，请说明理

精选

【解析】 21．本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推

理运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想。（满分 14 分）解：（I ）设动点为 M ，其坐标为 ( x, y) ，

当 x

a 时，由条件可得

y 2

MA 2

x a x a x

a 2

MA 1

即 mx 2 y 2 ma 2 ( xa) ，

又 A 1( a,0), A 2 ( A,0) 的坐标满足 mx 2 y 2 ma 2 , 故依题意，曲线 C 的方程为 mx 2 y 2 ma 2 .

当 m

1时, 曲线 C 的方程为

x 2

y 2 1,C 是焦点在 y 轴上的椭圆；

a 2 ma 2

当 m

1时，曲线 C 的方程为 x 2 y 2 a 2 ，C 是圆心在原点的圆；

当 1 m 0 时，曲线 C 的方程为

x 2

y 2 1

， C 是焦点在 x 轴上的椭圆；

a 2

ma 2

当 m 0 时，曲线 C 的方程为

x 2

y 2

1,C 是焦点在 x 轴上的双曲线。 a 2 ma 2

（II ）由（ I ）知，当 m=-1时， C 1 的方程为 x 2 y 2 a 2 ; 当 m ( 1,0) U (0,

) 时，

C 2 的两个焦点分别为 F 1 ( a 1 m,0), F 2 ( a 1 m,0).

对于给定的 m ( 1,0) U (0, ) ，

C 1 上存在点 N ( x 0 , y 0 )( y 0

0) 使得 S | m | a 2 的充要条件是

x 02 y 02 a 2 , y 0

①

1 2a 1 m | y 0 | | m | a 2

②

由①得 0 | y 0 | a, 由②得 | y 0 | | m | a .

1 m

当 0

| m | a a,即

1 5

m 0,

1 m

或 0 m 1

时，

存在点 N ，使 S=|m|a 2 ；

当 | m | a a,即 -1

2 5 , 1 m

或 m 1

5 时，

不存在满足条件的点 N ，

当 m

,0 U 0,

5 时， uuur

uuuur

由 NF 1 ( a 1 m x 0

y 0 ), NF 2 (a 1 m x 0 , y 0 ) ，

uuur uuuur

x 02

m)a 2 y 02 ma 2 ,

可得 NF 1 NF 2 (1

uuur uuuur

令 | NF 1 | r 1 ,| NF 2 | r 2 , F 1 NF 2

，

uuur uuuur

ma 2 ,可得 r 1 r 2 ma 2

则由 NF 1 NF 2 r 1r 2 cos

，

ma 2 sin

cos

从而

2 r 1r 2 sin

2cos

2 ma

tan ，

于是由 S | m | a 2 ，

可得

ma 2 tan | m | a 2 ,即 tan 2 | m |.

综上可得：

当 m

1 2 5

,0 时，在 C 1 上，存在点 N ，使得 S | m | a 2 ,且 tan F 1NF 2 2;

当 m

5 时，在 C 1 上，存在点 N ，使得 S | m | a 2 , 且 tan F 1NF 2 2;

当 m( 1,

1 2 5

) U (

, ) 时，在 C 1 上，不存在满足条件的点 N 。

16. （湖南文） 21．（本小题满分 13 分）已知平面内一动点 P 到点 F (1,0) 的距离与点 P 到 y 轴的距离的差等于

1．

（Ⅰ）求动点 P 的轨迹 C 的方程；

（Ⅱ）过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l 1, l 2 ，设 l 1 与轨迹 C 相交于点

uuur uuur

A, B ， l 2 与轨迹 C 相交于点 D , E ，求 AD , EB 的最小值 .

【解析】 21．解析：（ I ）设动点 P 的坐标为 ( x, y) ，

由题意为 ( x 1)2 y 2 | x | 1.

化简得 y 2 2x 2 | x |,

当 x 0时, y 2 4x;当 x 0时 ,y=0. 、

所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 , y 2

4x(x 0)和 y=0( x 0).

（ II ）由题意知，直线 l 1 的斜率存在且不为 0，设为 k ，则 l 1 的方程为 y k( x 1) ．

由

y k(x 1)

，得 k 2 x 2

(2 k 2 4) x k 2

y 2 4x

设 A( x 1 , y 1), B( x 2 , y 2 ), 则 x 1 , x 2 是上述方程的两个实根，于是

x 1 x 2

2 , x 1x 2 1．

1 ．

因为 l 1 l 2 ，所以 l 2 的斜率为

设 D ( x 3 , y 3 ), B( x 4 , y 4 ), 则同理可得 x 3 x 4 2

4k 2 , x 3 x 4 1

故

x1 x2( x1x2 ) 1 x3 x4( x3x4 ) 1

当且仅当 k 2 1 即 k

uuur uuur

1 时，AD ? EB取最小值 16．

k 2

17.（广东文） 21．（本小题满分 14 分）

在平面直角坐标系xOy 中，直线l : x 2 交x轴于点A，设 P 是 l 上一点， M 是线段 OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP

（1）当点 P 在 l 上运动时，求点M的轨迹 E 的方程；

（2）已知 T（1，-1 ），设 H是 E 上动点 , 求 HO + HT 的最小值，并给出此时点 H的坐标；

（3）过点 T（1，-1 ）且不平行与y 轴的直线 l 1与轨迹 E 有且只有两个不同的交点，求直线 l1的斜率k的取值范围。

【解析】 21．（本小题满分 14 分）

解：（1）如图 1，设 MQ为线段 OP的垂直平分线，交OP于点 Q，

Q MPQ AOP, MP l,且 | MO | | MP |.

因此x2y2| x 2 |, 即

y24( x 1)(x1).①

另一种情况，见图2（即点 M和 A 位于直线 OP的同侧）。

Q MQ为线段OP的垂直平分线，

MPQ MOQ .

又Q MPQ AOP ,MOQ AOP.

因此 M在x轴上，此时，记 M的坐标为(x,0).

为分析 M ( x,0)中x 的变化范围，设P( 2, a)为 l 上任意点( a R).

由| MO | | MP |

（即 | x |(x 2)2a2）得，

x 1 1 a 2 1. 4

故 M ( x,0) 的轨迹方程为

y 0, x

②

综合①和②得，点 M 轨迹 E 的方程为

y 2 4(x 1), x 1,

0, x 1.

18. （江苏） 18．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，M 、N 分别是椭圆

x 2

y 2 1

4 2

的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于 P 、A 两点，其中 P 在第一象限，过 P

作 x 轴的垂线，垂足为 C ，连接 AC ，并延长交椭圆于点 B ，设直线 PA 的斜率为 k

（1）当直线 PA 平分线段 MN ，求 k 的值；（2）当 k=2 时，求点 P 到直线 AB 的距离 d ；（3）对任意 k>0，求证： PA ⊥PB

【解析】 18．本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的

垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分 16 分.

解：（ 1）由题设知， a 2,b 2,故 M ( 2,0), N (0,

2), 所以线段 MN 中点

的坐标为 ( 1,

) ，由于直线 PA 平分线段 MN ，故直线 PA 过线段 MN 的

2 2 .

中点，又直线 PA 过坐标原点，所以 k

1 2

（2）直线 PA 的方程 y

x 2 y 2

2x 代入椭圆方程得

,因此 P( 2 , 4), A( 2 , 4

). 4

解得 x

3 3 3 3 3

2 ,0), 直线 AC 的斜率

为

3 1, 故直线 AB 的方程为 x y

于是 C (

3 2 2 0.

4 2 |

2 2

因此 , d

3 3 3

11 12

（3）解法一：

将直线

的

方

程

y kx

代

入

x 2

y 2

,记

1,解得 x

1 2k

2 1 2k 2

则 P( , k ), A( , k ),于是 C( ,0)

高中数学(文科)立体几何知识点总结

l立体几何知识点整理（文科）l // m l //m m 直线和平面的三种位置关系：一．αl 1. 线面平行方法二：用面面平行实现。l//l //αl符号表示： 2. 线面相交βl lαAα方法三：用平面法向量实现。符号表示：

n 为平若面线在面内3. 的一个法向量，ln n l ll //且。,则l αα符号表示：二．平行关系：线线平行：1.方法一：用线面平行实现。3. 面面平行：l mβl //l方法一：用线线平行实现。l'l // ml m'αl // l 'm m // m'm//且相交l , m且相交l ' , m'方法二：用面面平行实现。//l βl // mlγm m α方法二：用线面平行实现。方法三：用线面垂直实现。 l // l, m l // m //m //若。，则l l , m且相交mβ方法四：用向量方法：m l l // m。若向量和向量共线且l、m不重合，则α 2.线面平行：方法一：用线线平行实现。1/11

l C A方法三：用向量方法： Bα l m l m ，则的数量积为和向量若向量0。三．垂直关系：

夹角问题。三．线面垂直：1.异面直线所成的角：一)(方法一：用线线垂直实现。(0 ,90 ]范围：(1) ACl ABl 求法：(2)P n l ABAC A方法一：定义法。AθO AC, ABα：平移，使它们相交，找到夹角。步骤1 方法二：用面面垂直实现。)常用到余弦定理步骤2：解三角形求出角。( 余弦定理：βl lm a c222c ab l m, l m cosθ2ab bα )计算结果可能是其补角( 面面垂直：2.方法二：向量法。转化为向量方法一：用线面垂直实现。 C的夹角βl lθl：)(计算结果可能是其补角 BA AB ACαcos AB AC方法二：计算所成二面角为直角。线面角)(二线线垂直：3. 上任取一点(1) 定义：直线l ，作（交点除外）P方法一：用线面垂直实现。内，则连结AO AO 为斜线PA 在面于O,PO l l m PAO 图中(与面)为直线l l所成的角。的射影，m

高中数学平面解析几何知识点总结

平面解析几何一、直线与圆 1.斜率公式 2121 y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2.直线的五种方程（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式 112121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). < （4）截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、). （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 3.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ? =≠； < ②1212120l l A A B B ⊥?+=； 4.点到直线的距离 d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=). 5.圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. （2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).圆心??? ??--2,2E D ，半径r=2 422F E D -+. 6.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: . 若d =d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r 相离r d ; 0=???=相切r d ; 0>???<相交r d . 其中22B A C Bb Aa d +++=. 8.两圆位置关系的判定方法 # 设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21 条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ;

高中数学解析几何专题之抛物线(汇总解析版)

圆锥曲线第3讲抛物线【知识要点】一、抛物线的定义平面内到某一定点F的距离与它到定直线l（l F?）的距离相等的点的轨迹叫抛物线，这个定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。注1：在抛物线的定义中，必须强调：定点F不在定直线l上，否则点的轨迹就不是一个抛物线，而是过点F且垂直于直线l的一条直线。注2：抛物线的定义也可以说成是：平面内到某一定点F的距离与它到定直线l（l F?）的距离之比等于1的点的轨迹叫抛物线。注3：抛物线的定义指明了抛物线上的点到其焦点的距离与到其准线的距离相等这样一个事实。以后在解决一些相关问题时，这两者可以相互转化，这是利用抛物线的定义解题的关键。二、抛物线的标准方程 1.抛物线的标准方程抛物线的标准方程有以下四种：（1） px y2 2= （ > p），其焦点为 )0, 2 ( p F ，准线为2 p x- = ；（2） px y2 2- =（0 > p），其焦点为 )0, 2 ( p F- ，准线为2 p x= ；（3） py x2 2= （ > p），其焦点为 ) 2 ,0( p F ，准线为2 p y- = ；（4） py x2 2- = （ > p），其焦点为 ) 2 ,0( p F- ，准线为2 p y= . 2.抛物线的标准方程的特点

抛物线的标准方程px y 22±=（0>p ）或py x 22±=（0>p ）的特点在于：等号的一端是某个变元的完全平方，等号的另一端是另一个变元的一次项，抛物线方程的这个形式与其位置特征相对应：当抛物线的对称轴为x 轴时，抛物线方程中的一次项就是x 的一次项，且一次项x 的符号指明了抛物线的开口方向；当抛物线的对称轴为y 轴时，抛物线方程中的一次项就是y 的一次项，且一次项y 的符号指明了抛物线的开口方向. 三、抛物线的性质以标准方程 px y 22 =（0>p ）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。（1）范围：0≥x ，R y ∈；（2）顶点：坐标原点)0,0(O ；（3）对称性：关于x 轴轴对称，对称轴方程为0=y ；（4）开口方向：向右；（5）焦参数：p ；（6）焦点： )0,2(p F ；（7）准线： 2p x - =；（8）焦准距：p ；（9）离心率：1=e ；（10）焦半径：若 ) ,(00y x P 为抛物线 px y 22=（0>p ）上一点，则由抛物线的定义，有20p x PF + =；（11）通径长：p 2. 注1：抛物线的焦准距指的是抛物线的焦点到其相应准线的距离。以抛物线 px y 22=

高中数学解析几何测试题答案版(供参考)

解析几何练习题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（） A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 2.若直线210ay -=与直线(31)10a x y -+-=平行，则实数a 等于（） A 、12 B 、12 - C 、13 D 、13 - 3．若直线，直线与关于直线对称，则直线的斜率为（） A ． B ． C ． D ． 4.在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O(0，0)，A(1，3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( ) A ．y －1＝3(x －3) B ．y －1＝－3(x －3) C ．y －3＝3(x －1) D ．y －3＝－3(x －1) 5.直线对称的直线方程是（） A ． B ． C ． D ． 6.若直线与直线关于点对称，则直线恒过定点( ) 32:1+=x y l 2l 1l x y -=2l 2 1 2 1-22-02032=+-=+-y x y x 关于直线032=+-y x 032=--y x 210x y ++=210x y +-=()1:4l y k x =-2l )1,2(2l

A ． B ． C ． D ． 7．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y 轴上的截距为3 1，则m ，n 的值分别为 A.4和3 B.-4和3 C.- 4和-3 D.4和-3 8．直线x-y+1=0与圆（x+1）2+y 2=1的位置关系是（） A 相切 B 直线过圆心 C ．直线不过圆心但与圆相交 D ．相离 9．圆x 2+y 2－2y －1=0关于直线x -2y -3=0对称的圆方程是（） A.（x －2)2 +(y+3)2 =1 2 B.（x －2)2+(y+3)2=2 C.（x ＋2)2 +(y －3)2 =1 2 D.（x ＋2)2+(y －3)2=2 10．已知点在直线上移动，当取得最小值时，过点引圆的切线，则此切线段的长度为( ) A ． B ． C ． D ． 11．经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点，则弦AB 所在直线方程为（） A ．50x y --= B ．50x y -+= C ．50x y ++= D ．50x y +-= 0,40,22,44,2(,)P x y 23x y +=24x y +(,)P x y 22111()()242 x y -++ =2 321 22

(整理)届高三数学总复习平面解析几何练习题目汇总

第8章第1节一、选择题 1．(2010·崇文区)“m ＝－2”是“直线(m ＋1)x ＋y －2＝0与直线mx ＋(2m ＋2)y ＋1＝0相互垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] m ＝－2时，两直线－x ＋y －2＝0、－2x －2y ＋1＝0相互垂直；两直线相互垂直时，m(m ＋1)＋2m ＋2＝0，∴m ＝－1或－2，故选A. 2．(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0 [答案] A [解析] 解法1：所求直线斜率为12，过点(1,0)，由点斜式得，y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0. 解法2：设所求直线方程为x －2y ＋b ＝0， ∵过点(1,0)，∴b ＝－1，故选A. (理)设曲线y ＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( ) A ．1 B.12 C ．－12 D ．－1 [答案] A [解析] y′＝2ax ，在(1，a)处切线的斜率为k ＝2a ，因为与直线2x －y －6＝0平行，所以2a ＝2，解得a ＝1. 3．点(－1,1)关于直线x －y －1＝0的对称点是( ) A ．(－1,1) B ．(1，－1) C ．(－2,2) D ．(2，－2) [答案] D [解析] 一般解法：设对称点为(x ，y)，则

????? x －12－y ＋12－1＝0 y －1x ＋1＝－1，解之得????? x ＝2y ＝－2，特殊解法：当直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的系数满足|A|＝|B|＝1时，点A(x0，y0)关于l 的对称点B(x ，y)的坐标，x ＝－By0－C A ，y ＝－Ax0－C B . 4．(2010·惠州市模考)在平面直角坐标系中，矩形OABC ，O(0,0)，A(2,0)，C(0,1)，将矩形折叠，使O 点落在线段BC 上，设折痕所在直线的斜率为k ，则k 的取值范围为( ) A ．[0,1] B ．[0,2] C ．[－1,0] D ．[－2,0] [答案] D [解析] 如图，要想使折叠后点O 落在线段BC 上，可取BC 上任一点D 作线段OD 的垂直平分线l ，以l 为折痕可使O 与D 重合，故问题转化为在线段CB 上任取一点D ，求直线OD 的斜率的取值范围问题， ∵kOD≥kOB ＝12，∴k ＝－1kOD ≥－2，且k<0，又当折叠后O 与C 重合时，k ＝0，∴－2≤k≤0. 5．(文)已知点(3,1)和点(1,3)在直线3x －ay ＋1＝0的两侧，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，10) B ．(10，＋∞) C.??? ?－∞，43∪(10，＋∞) D.??? ?43，10 [答案] D [解析] 将点的坐标分别代入直线方程左边，所得两值异号，∴(9－a ＋1)(3－3a ＋1)<0，∴43

高中数学《立体几何(文科)》练习题

高中数学《立体几何》练习题 1．用斜二测画法画出长为6，宽为4的矩形水平放置的直观图，则该直观图面积为 ( ) A.12 B.24 C.62 D.122 2．设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是 ( ) A ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥ B ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβ C ．若//,,//m n m n αβ⊥，则α⊥β D ．若//,,//m n m n αβ⊥，则//αβ 3．如图，棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，P 为线段B A 1上的动点，则下列结论错误．．的是 A ．P D DC 11⊥ B ．平面⊥P A D 11平面AP A 1 C ．1AP D ∠的最大值为090 D ．1PD AP +的最小值为22+ 4．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为______m 3. 5．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于 . 6．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是____________

7．如图，一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞F E D ,,，且知 1:2:::===FS CF EB SE DA SD ，若仍用这个容器盛水，则最多可盛水的体积是原来的 . 8．如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝ 12 PD. (1)证明：PQ ⊥平面DCQ ； (2)求棱锥Q -ABCD 的体积与棱锥P -DCQ 的体积的比值．[来 9．如图所示的多面体中，ABCD 是菱形，BDEF 是矩形，ED ⊥面ABCD ,3 BAD π ∠=．（1）求证://BCF AED 平面平面. （2）若,BF BD a A BDEF ==-求四棱锥的体积。 10．在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，ABCD PD 底面⊥，1=AB ，2=BC ，3=PD ，F G 、分别为CD AP 、的中点． (1) 求证：PC AD ⊥； (2) 求证：//FG 平面BCP ； S F C B A D E

高中数学平面解析几何的知识点梳理

平面解析几何 1．直线的倾斜角与斜率：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率：αtan ),(211 212=≠--=k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2．直线方程的五种形式：（1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )．注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =．（2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式：1 21121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线．（4）截距式：1=+b y a x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）．注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线．（5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)．一般式化为斜截式：B C x B A y -- =，即，直线的斜率：B A k -=．注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =．已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =．已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =．（2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合． 3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. （1）直线在两坐标轴上的截距相等．．．．?直线的斜率为1-或直线过原点．（2）直线两截距互为相反数．．．．．．．?直线的斜率为1或直线过原点．（3）直线两截距绝对值相等．．．．．．．?直线的斜率为1±或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直：（1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ① 212121,//b b k k l l ≠=?； ② 12121l l k k ⊥?=-. （2）若0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有 ① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=?且．② 0212121=+?⊥B B A A l l ． 5．平面两点距离公式： (111(,)P x y 、222(,)P x y )，22122121)()(y y x x P P -+-=．x 轴上两点间距离：A B x x AB -=．线段21P P 的中点是),(00y x M ，则??? ????+=+=2221 0210y y y x x x ．

高三数学解析几何专题

专题四解析几何专题【命题趋向】解析几何是高中数学的一个重要内容，其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线．由于平面向量可以用坐标表示，因此以坐标为桥梁，可以使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系，平面向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路，为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材．解析几何问题着重考查解析几何的基本思想，利用代数的方法研究几何问题的基本特点和性质．解析几何试题对运算求解能力有较高的要求．解析几何试题的基本特点是淡化对图形性质的技巧性处理，关注解题方向的选择及计算方法的合理性，适当关注与向量、解三角形、函数等知识的交汇，关注对数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般思想的考查，关注对整体处理问题的策略以及待定系数法、换元法等的考查．在高考试卷中该部分一般有1至2道小题有针对性地考查直线与圆、圆锥曲线中的重要知识和方法；一道综合解答题，以圆或圆锥曲线为依托，综合平面向量、解三角形、函数等综合考查解析几何的基础知识、基本方法和基本的数学思想方法在解题中的应用，这道解答题往往是试卷的把关题之一．【考点透析】解析几何的主要考点是：（1）直线与方程，重点是直线的斜率、直线方程的各种形式、两直线的交点坐标、两点间的距离公式、点到直线的距离公式等；（2）圆与方程，重点是确定圆的几何要素、圆的标准方程与一般方程、直线与圆和圆与圆的位置关系，以及坐标法思想的初步应用；（3）圆锥曲线与方程，重点是椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质，圆锥曲线的简单应用，曲线与方程的关系，以及数形结合的思想方法等．【例题解析】题型1 直线与方程例1 （2008高考安徽理8）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（） A ．[ B ．( C ．[33 D ．(33 - 分析：利用圆心到直线的距离不大于其半径布列关于直线的斜率k 的不等式，通过解不等式解决．解析：C 设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1 x y -+= 有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径 1d =≤，得222141,3 k k k ≤+≤，选择C 点评：本题利用直线和圆的位置关系考查运算能力和数形结合的思想意识．高考试卷中一般不单独考查直线与方程，而是把直线与方程与圆、圆锥曲线或其他知识交汇考查．例2．(2009江苏泰州期末第10题)已知04,k <<直线1:2280l kx y k --+=和直线

高中文科数学立体几何知识点总结材料

立体几何知识点整理（文科）一．直线和平面的三种位置关系： 1. 线面平行 l 符号表示： 2. 线面相交符号表示： 3. 线在面内符号表示：二．平行关系： 1.线线平行：方法一：用线面平行实现。 m l m l l // // ? ? ? ? ? ? = ? ? β α β α 方法二：用面面平行实现。 m l m l// // ? ? ? ? ? ? = ? = ? β γ α γ β α 方法三：用线面垂直实现。若α α⊥ ⊥m l,，则m l//。方法四：用向量方法：若向量l和向量m共线且l、 m不重合，则m l//。 2.线面平行：方法一：用线线平行实现。 α α α// // l l m m l ? ? ? ? ? ? ? ? 方法二：用面面平行实现。 α β β α // // l l ? ? ? ? ? 方法三：用平面法向量实现。若n为平面α的一个法向量，l n⊥且α ? l,则 α // l。 3.面面平行：方法一：用线线平行实现。 β α α β // ' ,' , ' // ' // ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 且相交且相交 m l m l m m l l l

方法二：用线面平行实现。 βαβαα //,////??? ? ???且相交m l m l 三．垂直关系： 1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。 αα⊥???? ? ??? ?=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l , 方法二：用面面垂直实现。 αββαβα⊥??? ? ?? ?⊥=?⊥l l m l m , 2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。 βαβα⊥?? ?? ?⊥l l 方法二：计算所成二面角为直角。 3. 线线垂直：方法一：用线面垂直实现。 m l m l ⊥?? ?? ?⊥αα 方法二：三垂线定理及其逆定理。 PO l OA l PA l αα⊥? ? ⊥?⊥???? 方法三：用向量方法：若向量l 和向量m 的数量积为0，则m l ⊥。三．夹角问题。 (一) 异面直线所成的角： (1) 范围：]90,0(?? (2)求法：方法一：定义法。步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。

高中数学解析几何常考题型整理归纳

高中数学解析几何常考题型整理归纳题型一 :圆锥曲线的标准方程与几何性质圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线的渐近线是常考题型 . 22 【例 1】（1）已知双曲线 a x 2－ y b 2＝1（a >0，b >0）的一个焦点为 F （2， 0），且双曲线的渐近线与圆（x － 2）2 ＋y 2＝3 相切，则双曲线的方程为（ 22 A.x2－y2＝1 A. 9 －13＝ 2 C.x 3－y 2＝1 22 （2）若点 M （2，1），点 C 是椭圆 1x 6＋y 7 22 （3）已知椭圆 x 2＋y 2＝1（a >b >0）与抛物线 y 2＝2px （p >0）有相同的焦点 F ，P ，Q 是椭圆与抛物线的交点， ab 22 若直线 PQ 经过焦点 F ，则椭圆 a x 2＋ y b 2＝1（a >b >0）的离心率为 ___ . 答案（1）D （2）8－ 26 （3） 2－ 1 22 解析（1）双曲线 x a 2－y b 2＝1 的一个焦点为 F （2，0），则 a 2＋ b 2＝ 4，① 双曲线的渐近线方程为 y ＝±b a x ， a 由题意得 22b 2＝ 3，② a 2＋b 2 联立①② 解得 b ＝ 3，a ＝1， 2 所求双曲线的方程为 x 2－y 3 ＝1，选 D. （2）设点 B 为椭圆的左焦点，点 M （2，1）在椭圆内，那么 |BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a ，所以 |AM| ＋|AC|≥2a －|BM|，而 a ＝4，|BM|＝（2＋3）2＋1＝ 26，所以（|AM|＋ |AC|）最小＝8－ 26. ) 22 B.x － y ＝1 B.13－ 9 ＝1 2 D.x 2 －y 3＝1 1 的右焦点，点 A 是椭圆的动点，则 |AM|＋ |AC|的最小值为

高中数学椭圆常考题目解题方法及练习2018高三专题复习-解析几何专题

高中数学椭圆常考题目解题方法及练习 2018高三专题复习-解析几何专题（2）第一部分：复习运用的知识（一）椭圆几何性质椭圆第一定义:平面内与两定点21F F 、距离和等于常数()a 2(大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点间的距离叫做椭圆的焦距()c 2. 椭圆的几何性质:以()0122 22>>=+b a b y a x 为例 1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标()y x ,都适合不等式1,122 22≤≤b y a x ，即 b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题. 2. 对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。 3. 顶点（椭圆和它的对称轴的交点）有四个： ()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、-- 4. 长轴、短轴： 21A A 叫椭圆的长轴，a a A A ,221=是长半轴长； 21B B 叫椭圆的短轴，b b B B ,221=是短半轴长. 5. 离心率（1）椭圆焦距与长轴的比a c e = ，()10,0<<∴>>e c a （2）22F OB Rt ?,2 22 22 22OF OB F B +=，即222c b a +=.这是椭圆的特征三角形，并且22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率. （3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当e 接近于1时，c 越接近于a ，从而22c a b -=越小，椭圆越扁；当e 接近于0时，c 越

高中数学解析几何题型

解析几何题型考点1.求参数的值求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,构造方程解之. 例1．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 考查意图: 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质. 解答过程：椭圆22 162 x y +=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =，考点2. 求线段的长求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标,利用距离公式解之. 例2．已知抛物线y-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于 A.3 B.4 C.32 D.42 考查意图: 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用. 解：设直线AB 的方程为y x b =+，由22123 301y x x x b x x y x b ?=-+?++-=?+=-? =+?，进而可求出AB 的中点11(,)22M b -- +，又由11 (,)22 M b --+在直线0x y +=上可求出1b =， ∴220x x +-=，由弦长公式可求出2 211 14(2)32AB =+-?-=．例3．如图，把椭圆22 12516 x y +=的长轴 AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=____________. 考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用. 解答过程：由椭圆22 12516 x y +=的方程知225, 5.a a =∴= ∴1234567 7277535.2 a PF P F P F P F P F P F P F a ?++++++==?=?= 考点3. 曲线的离心率

(完整)高中数学解析几何解题方法

高考专题：解析几何常规题型及方法 A:常规题型方面（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。典型例题给定双曲线x y 2 2 2 1-=。过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。分析：设P x y 111(,)，P x y 222(,)代入方程得x y 1 2 1221-=，x y 22 22 2 1-=。两式相减得 ()()()()x x x x y y y y 121212121 2 0+-- +-=。又设中点P （x,y ），将x x x 122+=，y y y 122+=代入，当x x 12≠时得 22201212x y y y x x - --=·。又k y y x x y x = --=--12121 2 ，代入得2402 2 x y x y --+=。当弦P P 12斜率不存在时，其中点P （2，0）的坐标也满足上述方程。因此所求轨迹方程是2402 2 x y x y --+= 说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。典型例题设P(x,y)为椭圆x a y b 222 21+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。（1）求证离心率β αβαsin sin ) sin(++= e ；（2）求|||PF PF 13 23 +的最值。

高中文科数学立体几何知识点大题

高考立体几何中直线、平面之间的位置关系知识点总结（文科）一．平行问题（一）线线平行：方法一：常用初中方法（1中位线定理；2平行四边形定理；3三角形中对应边成比例；4同位角、内错角、同旁内角）方法二：1线面平行?线线平行 m l m l l ////??? ???=??βαβα 方法三：2面面平行?线线平行 m l m l ////??????=?=?βγαγβα 方法四：3线面垂直 ?线线平行若αα⊥⊥m l ,，则m l //。（二）线面平行：方法一：4线线平行?线面平行 ααα////l l m m l ??? ????? 方法二：5面面平行?线面平行 αββα////l l ????? （三）面面平行：6方法一：线线平行?面面平行 βααβ//',','//' //??? ???????且相交且相交m l m l m m l l 方法二：7线面平行?面面平行 βαβαα//,////??? ???=?A m l m l m l ，方法三：8线面垂直?面面平行 βαβα面面面面//?? ??⊥⊥l l l

二．垂直问题：（一）线线垂直方法一：常用初中的方法（1勾股定理的逆定理；2三线合一；3直径所对的圆周角为直角；4菱形的对角线互相垂直。）方法二：9线面垂直?线线垂直 m l m l ⊥?? ???⊥αα （二）线面垂直：10方法一：线线垂直?线面垂直 αα⊥??? ? ?????=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l , 方法二：11面面垂直?线面垂直 αββαβα⊥??? ????⊥=?⊥l l m l m , （面）面面垂直：方法一：12线面垂直?面面垂直 βαβα⊥?? ???⊥l l 三、夹角问题：异面直线所成的角： (一) 范围：]90,0(?? (二)求法：方法一：定义法。步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。步骤2：解三角形求出角。(计算结果可能是其补角) 线面角：直线PA 与平面α所成角为θ,如下图求法：就是放到三角形中解三角形四、距离问题：点到面的距离求法 1、直接求， 2、等体积法（换顶点）

高中数学解析几何答题全攻略,2020高考生必看!

高中数学解析几何答题全攻略，2020高考生必看！解析几何由于形式复杂多样，一直是难于解决的问题，很多同学对于解析几何的把握还差很多，很多同学对此知识点提出了相应的问题。对此清华附中数学老师有针对性的回答了同学们的共性问题。下面是对本次答疑情况的汇总，希望对大家学习数学尤其是解析几何部分有所帮助。 1 考试时间分配问题1：老师我怎么这么短时间内做几道题通解一类题目呢？解析几何也有不少类型题老师：理解的基础上去做，不要单纯的套公式，做题一定要保证真的会了，而不是只追求数量。如果感觉自己的水平没有提高，那么问问自己错题有没有好好整理，有没有盖住答案重新做过，再做的时候能不能保证很快的就有思路，之前出过的问题有没有及时得到解决？总之刷题不能埋头死刷，要有总结和反思。如果都做到了，考试还是没有好成绩，那么看看是不是考试时过于紧张，这个时候心态也很重要！问题2：错题也有很多呀，怎么从错题那里去帮助学习数学呀？都抄几遍和看几遍吗？很多呀！该怎么办呢？老师：对待错题，不要抄也不要只是看，当做新题重新做一遍，有时候一道题我们直接去看答案，总是发现不了问题，我建议把错题的题目直接汇编在一起，不要有答案，每隔一段时间都重新做一下，如果做题的过程很肯定，没有模糊的地方，这道题才可以过。这个过程比做新题更重要。

问题3：老师我数学只有三四十分马上高考该从哪里开始复习分数会提高呢？老师：简单的题目模块比如复数、集合、线性规划、程序框图、三角函数与解三角形、简单的等差等比数列以及立体几何等，还有导数和圆锥曲线的第一问，找出前几年的高考题，看看都考了哪些简单模块，一个模块练几十道，绝对会有效果的，别放弃，只要努力一定能看到进步！问题4：三视图怎么想也想不出来！有什么好的办法呀！老师！救救我老师：平时见到三视图的题目无论问什么，都是去画他的立体图形，训练自己。如果考试时真的想不出来了，那么看看能不能判断出这个图形是什么，比如正视图和侧视图都只有一个最高顶点，那么基本可以判断这是一个椎体，如果是求体积的题目，直接底面积乘以高除以3就可以了，但是这个方法不是所有题目都适用。还有就是如果正视侧视和俯视都和正方形或者等腰直角三角形有关，那么可以画一个正方体，去找这个立体图形的可能性。 2 解析几何如何把握

高中数学立体几何大题练习(文科)

立体几何大题练习（文科）： 1．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠ABC=90°，AD=SD，BC=CD=，侧面SAD⊥底面ABCD．（1）求证：平面SBD⊥平面SAD；（2）若∠SDA=120°，且三棱锥S﹣BCD的体积为，求侧面△SAB的面积．【分析】（1）由梯形ABCD，设BC=a，则CD=a，AB=2a，运用勾股定理和余弦定理，可得AD，由线面垂直的判定定理可得BD⊥平面SAD，运用面面垂直的判定定理即可得证；（2）运用面面垂直的性质定理，以及三棱锥的体积公式，求得BC=1，运用勾股定理和余弦定理，可得SA，SB，运用三角形的面积公式，即可得到所求值．【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，BC=CD=，设BC=a，则CD=a，AB=2a，在直角三角形BCD中，∠BCD=90°，可得BD=a，∠CBD=45°，∠ABD=45°，由余弦定理可得AD==a，则BD⊥AD，由面SAD⊥底面ABCD．可得BD⊥平面SAD，又BD?平面SBD，可得平面SBD⊥平面SAD；（2）解：∠SDA=120°，且三棱锥S﹣BCD的体积为，由AD=SD=a，在△SAD中，可得SA=2SDsin60°=a， △SAD的边AD上的高SH=SDsin60°=a，由SH⊥平面BCD，可得 ×a××a2=，

解得a=1，由BD⊥平面SAD，可得BD⊥SD， SB===2a，又AB=2a，在等腰三角形SBA中，边SA上的高为=a，则△SAB的面积为×SA×a=a=．【点评】本题考查面面垂直的判定定理的运用，注意运用转化思想，考查三棱锥的体积公式的运用，以及推理能力和空间想象能力，属于中档题． 2．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．【分析】（1）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论；（2）通过取线段CD上点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD，结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，从而可得结论．【解答】证明：（1）因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面，

高中文科数学立体几何部分整理

高中文科数学立体几何部分整理第一章空间几何体（一）空间几何体的三视图与直观图 1.投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。 2.三视图——是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；正视图——光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图；侧视图——光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图；正视图——光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图；注：（1）俯视图画在正视图的下方，“长度”与正视图相等；侧视图画在正视图的右边，“高度”与正视图相等，“宽度”与俯视图。（简记为“正、侧一样高，正、俯一样长，俯、侧一样宽”. （2）正视图，侧视图，俯视图都是平面图形，而不是直观图。 3.直观图： 3.1直观图——是观察着站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形。直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。 3.2斜二测法： step1：在已知图形中取互相垂直的轴Ox 、Oy ，（即取90xoy ∠=? ）； step2：画直观图时，把它画成对应的轴'',''o x o y ，取'''45(135)x o y or ∠=??，它们确定的平面表示水平平面； step3：在坐标系'''x o y 中画直观图时，已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变，平行于x 轴（或在x 轴上）的线段保持长度不变，平行于y 轴（或在y 轴上）的线段长度减半。结论：一般地，采用斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积的 4 倍. 解决两种常见的题型时应注意：（1）由几何体的三视图画直观图时，一般先考虑“俯视图”. （2）由几何体的直观图画三视图时，能看见的轮廓线和棱画成实线，不能看见的轮廓线和棱画成虚线。【例题点击】将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C ，，分别是GHI △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（） E F D I A H G B C E F D A B C 侧视 B E A ． B E B ． B E C ． B E D ．

高中数学平面解析几何初步经典例题(供参考)

直线和圆的方程一、知识导学 1．两点间的距离公式:不论A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在坐标平面上什么位置，都有d=|AB|=221221)()(y y x x -+-，特别地，与坐标轴平行的线段的长|AB|=|x 2－x 1|或|AB|=|y 2-y 1|. 2．定比分点公式:定比分点公式是解决共线三点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(x ，y )之间数量关系的一个公式，其中λ的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后λ的值也就随之确定了.若以 A 为起点， B 为终点，P 为分点，则定比分点公式是???? ?? ?++=++=λ λλλ11212 1y y y x x x .当P 点为AB 的中点时，λ=1，此时中点坐标公式是??? ???? +=+=222121y y y x x x . 3．直线的倾斜角和斜率的关系（1）每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率. （2）斜率存在的直线，其斜率k 与倾斜角α之间的关系是k =tan α. 4．确定直线方程需要有两个互相独立的条件。直线方程的形式很多，但必须注意各种 5．两条直线的夹角。当两直线的斜率1k ,2k 都存在且1k ·2k ≠ -1时，tan θ= 2 11 21k k k k +-，当直线的斜率不存在时，可结合图形判断.另外还应注意到：“到角”公式与“夹角”公式的

区别. 6．怎么判断两直线是否平行或垂直？判断两直线是否平行或垂直时，若两直线的斜率都存在，可以用斜率的关系来判断；若直线的斜率不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断. （1）斜率存在且不重合的两条直线l 1∶11b x k y +=， l 2∶22b x k y +=，有以下结论： ①l 1∥l 2?1k =2k ，且ｂ1＝ｂ2 ②l 1⊥l 2?1k ·2k = -1 （2）对于直线l 1∶0111=++C y B x A ，l 2 ∶0222=++C y B x A ，当A 1，A 2，B 1， B 2都不为零时，有以下结论： ①l 1∥l 2? 21A A =21B B ≠2 1C C ②l 1⊥l 2?A 1A 2+B 1B 2 = 0 ③l 1与l 2相交? 21A A ≠21B B ④l 1与l 2重合? 21A A =21B B =2 1 C C 7．点到直线的距离公式. （1）已知一点P （00,y x ）及一条直线l ：0=++C By Ax ，则点P 到直线l 的距离 d = 2 2 00| |B A C By Ax +++；（2）两平行直线l 1: 01=++C By Ax ， l 2: 02=++C By Ax 之间的距离 d= 2 2 21||B A C C +-. 8．确定圆方程需要有三个互相独立的条件。圆的方程有两种形式，要知道两种形式之间的相互转化及相互联系（1）圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-，其中（a ，b ）是圆心坐标，r 是圆的半径；（2）圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x （F E D 42 2-+＞0），圆心坐标为（-2D ，-2 E ），半径为r =2422 F E D -+.