7．1解析函数的特性
教学目的：使学生掌握从映射角度来研究解析函数的概念及基本原理，从而了解 解析函数的几何理论. 重点：保角映射的概念与性质. 难点：解析变换的保域性. 课时：4课时 教学过程：
前几章我们用分析的方法研究了解析函数的性质和应用，从映射角度来研究解析函数的性质及其应用主是通常说的解析函数的几何理论.几何理论中最基本的是共形映射的理论.下面我们来介绍共形映射的概念及基本原理. 一．解析函数的保域性.
定理7.1 (保域定理)设()w f z =在区域D 内解析且不恒为常数,则D 的象()G f D =也是
一个区域.
证明：按区域的定义：要证()G f D =是一个连通开集.
首先证明G 是一个开集即证G 的每一个都是内点,设0w 是G 内的任意一点，则存在0z D ∈，
使得00()f z w =，由第六章的儒歇定理，必存在0w 的一个邻域*0w w δ-<.对于其中的任一数w A =，函数()f z A -在0z z ρ-<内（0z z ρ-<是D 内的邻域）必有根，即w A =，这记0w w G -?.表明0w 是G 的内点.由0w 的任意性知G 是开集 其次证明G 是连通集.由于D 是区域,可在D 内部取一条联结12,z z 的折线
=≤≤==121122:()[,(),()]C z z t t t t z t z z t z .
于是： 12:[()]()
w f z t t t t Γ=≤≤就是联结12,w w 的并且完全含于G 的一条曲线.从而,
由柯西积分定理的古莎证明第三步,可以找到一条联结12,w w 内接于Γ且完全含于G 的折线
Γ.
从以上两点，表明()G f D =是区域.
推论7.2 设()w f z =在区域D 内单叶解析,则D 的象()G f D =也是一个区域. 证明：用()f z 在区域D 内单叶，必()f z 在D 内不恒为常数.
定理7.3 设函数()w f z =在点0z 解析,且'
0()0f z ≠,则()f z 在0z 的一个邻域内单叶解
析.
由此可见，符合本定理条件的解析变换()w f z =将0z 的一个充分小邻域变成00()w f z =的
一个曲边邻域.
2 解析变换的保角——导数的几何意义 设()w f z =于区域D 内解析, ∈0z D ,在点0z 有导数0z .通过0z 任意引一条有向光滑曲
线
=≤
≤01:()()C z z t t t t ,
=00()z z t ，
则必0'()z t 存在且0'()0z t ≠，从而由第二章习题（一）1，C 在0z 有切线，0'()z t 就是切向量，它的倾角为0arg '()z t ?=.经过变换()w f z =，C 之象曲线()f C Γ=的参数方程应为
01:[()]
()w f z t t t t Γ=≤≤
由定理7.3及第三章习题（一）13，Γ在点0w t 0w ＝（）
的邻域内是光滑的，又由于000'()'()'()0w t f z z t =≠
，故Γ在00()w f z =也有切线，0'()w t 就是切向量，其倾角为 000arg '()arg '()arg '(),w t f z z t ψ==+ 即 0arg '()f z ψ?=+ 假设 0'()R ia f z e =
则必 00'(),arg '()f z R f z a == ， 于是 a ψ?-= （7.1） 且 lim
0z w
R z
?→∞
?=≠? （7.2）
图7.1
假定x 轴与u 轴、y 轴与v 轴的正方向相同（如图7.1），而且将原曲线的切线正方向与变换后象曲线的切线正方向间的夹角，理解为原曲线经过变换后的旋转角，则 （7.1）说明:象曲线Γ在点00()w f z =的切线正向,可由原象曲线C 在点0z 的切线
正向旋转一个角0arg '()f z 得出:0arg '()f z 仅与0z 有关,而与过0z 的曲线C 的选择无关,称为变换()w f z =在点0z 的旋转角这也就是导数辐角的几何意义.
（7.2）说明:象点间无穷小距离与原象点间的无穷小距离之比的极限是
0'()R f z =，它仅与0z 有关,而与过0z 的曲线C 之方向无关,称为变换()w f z =在点0z 的
伸缩率.这也就是导数模的几何意义.
上面提到的旋转角与C 的选择无关的这个性质,称为旋转角不变性;伸缩率与C 的方向无关这个性质,称为伸缩率不变性.
从几何意义上看:如果忽略高阶无穷小,伸缩率不变性就表示()w f z =将0z z =处无穷小的圆变成0w w =处的无穷小的圆,其半径之比为0'()f z .
上面的讨论说明:解析函数在导数不为零的地方具有旋转角不变性与伸缩率不变性. 经点0z 的两条有向曲线1C 、2C 的切线方向所构成的角，称为两曲线在该点的夹角.设
(1,2)i C i =在点0z 的切线倾角为(1,2)i i ?=；i C 在变换()w f z =下的象曲线i Γ在点00()w f z =的切线倾角为(1,2)i i ψ=，则由（7.1）有
11a ?ψ-=及22a ?ψ-=
即有 1122??ψ-=ψ- 所以 1212 ??δψ-ψ=-=
这里12??-是1C 和2C 在点0z 的夹角（反时针方向为正），12ψ-ψ是1Γ和2Γ在象点
00()w f z =的夹角（反时针方向为正）.由此可见，这种保角性既保持夹角的大小，又保持
夹角的方向（图7.2）.
图7.2
定义7.1 若函数()w f z =在点0z 的邻域内有定义,且在点0z 具有: (1)伸缩率不变性；
(2)过0z 的任意两曲线的夹角在变换()w f z =下,既保持大小，保持方向；
则称函数()w f z =在点0z 是保角的.或称()w f z =在点0z 是保角变换.如果()w f z =在区域D 内处处都是保角的,则称()w f z =在区域D 内是保角的,或称()w f z =在区域D 内是保角变换.
下面我们来讨论保角变换的性质.
定理7.4 如()w f z =在区域D 内解析,则它在导数不为零的点处是保角的.
由上面的讨论即得.
推论7.5 如()w f z =在区域D 内单叶解析,则称()w f z =在区域D 内是保角的. 注：由定理6.11，在D 内'()0f z ≠
例7.1 试求变换2()2w f z z z ==+在点12z i =-+处的旋转角，并且说明它将z 平面的哪一部分放大？哪一部分缩小？
解 因 '()222(1)f z z z =+=+， '(12)2(121)4f i i i -+=-++=， 故在点12i -+处的旋转角arg '(12)2
f i π
=-+=
又因'()f z =，这里z x i y =+，而'()
1f z <的充要条件是
41)1(22<
++y x ，故2
()2w f z z z ==+把以1-为心，12
为半径的圆周内部缩小，外部放大.
例7.2 试证：
iz
w e =将互相正交的直线族1Re z c =与2Im z c =依次变为互相正交的直线族1tan v u c =与圆周族2222c u v e -+=
证 正交直线族 1Re z c =与2Im z c = 在变换 iz
w e =下，有
1221
()i c ic c ic iz u iv w e e e e +-+====，即有象曲线族
2222c u v e -+=与1arctan v c u
=.
由于在z 平面上iz
e 处处解析，且
0iz dw ie dz
=≠，所以在w 平面上圆周族2222
c u v e -+=与直线族1tan v u c =也是互相正交的. 作业：317P 1，2.
3.单叶解析变换的共形性
定义7.2 如果()w f z =在区域D 内是单叶且保角的，称此变换()w f z =在D 内是共形的，也称它为D 内的共形映射.
注 解析变换()w f z =在解析点0z 如有0'()0f z ≠（由0'()f z 在0z 的连续性，必在0z 的邻域内≠0），于是()w f z =在点0z 保角，因而在0z 的邻域内单叶保角，从而在0z 的邻域内共形（局部）；在区域D 内()w f z =（整体）共形，必然在D 内处处（局部）共形，但反过来不必真.
定理7.6 设()w f z =在 区域D 内单叶解析.则 (1) ()w f z =将D 保形变换成区域()G f D =. (2)反函数1()z f w -=在区域G 内单叶解析,
且 1'
00001
()(,())'()
f
w z D w f z G f z -=
∈=∈ 证 (1)由推论7.2，G 是区域,由推论7.5及定义7.2, ()w f z =将D 保形变换成G . (2)由定理 6.11, '00()0()f z z D ≠∈,又因()w f z =是D 到G 的单叶满变换,因而是
D 到G 的一一变换.于是,当0w w ≠时,0z z ≠ ,即反函数1()z f w -= 在区域D 内单叶.故
11000000
()()1
f w f w z z w w w w w w z z ----==---- 由假设()(,)(,)f z u z y iv x y =+在区域D 内解析,即在D 内满足..C R -条件
,x y y x u v u v ==-.
故
22
x y x x x x
x
y
x
x
u u u v u v v v v u -=
=+ 2
2
()0,()x x
u iv f z z D '=+=≠∈
由数学分析中隐函数存在定理,存在两个函数 (,),(,)x x u v y y u v ==
在点000w u iv =+及其一个邻域0()z N w 内为连续.即在邻域0()z N w 中,当0w w →时,必
有1100()()z f w z f w --=→=. 故
00110000
000
()()1lim lim
11
()()'()lim z z z f w f w w w w w w w z z z f z f z f z z z --→→-=
--→-==
--
即 1'
001
()'()
f
w f z -=
000(,())z D w f z G ∈=∈ 由于0w 或0z 的任意性,即知1
()z f
w -= 在区域G 内解析.
注〈1〉保形变换()w f z =将区域D 共形映射成区域()G f D =，而其反函数1()z f w -=将区域G 共形映射成区域D ，这时，区域D 内的一个无穷小曲边三角形δ变换成区域G 内的一个无穷小曲边三角形?（如图7.3），由于保持了曲线间的夹角大小及方向，故δ与?‘“相似”.这是共形映射这一名称的由来
.
图7.3
显然，两个共形映射的复合仍然是一个共形映射.具体地说，如()f z ξ=将区域D 共形映射成区域E ，而()w h ξ=将E 共形映射成区域G ，则[()]w h f z =将区域D 共形映射成区域G .利用这一事实，可以复合若干基本的共形映射而构成较为复杂的共形映射. 例7.3 讨论解析函数n
w z =（n 为正整数）的保角性和共形性. 解 （1）因为
10n dw
nz dz
-=≠ (0)z ≠ 故n
w z =在z 平面上除原点0z =外.处处都是保角的.
（2）由于n
w z =的单叶性区域是顶点的原点张度不超过2n
π
的角形区域.故在此角形区域n
w z =内是共形的.在张度超过
2n
π
的角形区域内，则不是共形的，但在其中各点的邻
域内是共形的(定理7.3). 作业： 317P 3.
2．分式线性变换
教学目的与要求：使学生掌握线性变换的概念、性质与应用 重点：分式线性变换的性质及其应用 难点：反演变换的对称点 课时：4学时
1．分式线性变换及其分解
az b
w cz d
+=
+ ， 0ad bc -≠ （7.3） 称为分式线性变换(或..
M o bius 变换),有时也简记为()w L z =.
在（7.3）中,0ad bc -=,则a c b d =,于是
11a b z az b b b c cz d d
d z d ??+ ?
+??==+??+ ???
,
从而导致()w L z =恒为常数.因此条件0ad bc -≠是必要的. 此外,如果对（7.3）式在扩充z 平面上补充如下定义: 当0c =时,定义()w L =∞=∞;当0c ≠时,定义(),d a w L w L c c ??
=-
=∞=∞= ?
??
. 从而我们就认为()w L z =是定义在整个扩充z 平面上,而且将扩充z 平面一对一地因而单叶地变为扩充w 平面,因为（7.3）式具有如下的逆变换dw b
z cw a
-+=
- （7.4）
由定理7.1的注即可知分式线性变换（7.3）在扩充z 平面上是保域的. 其次, （7.3）式总可以分解为下式两个简单的变换的复合: (Ⅰ) (0)w kz h k =+≠
(Ⅱ) 1w z
=
这是因为当0c =时, （7.3）式为a b w z d d
=+, 此即为(Ⅰ)型变换
当0c ≠时，（7.3）式可改写为1a bc ad a
w c c cz d c
-=
+++， 它是下面三个(Ⅰ)或(Ⅱ)型变换的复合：
1
,cz d ξηξ
=+=
和bc ad a w c c
η-=
+ 由此我们可以知道，只要弄清(Ⅰ)和(Ⅱ)型变换的几何性质，则分式线性变换（7.3）的几何性质也就随之清楚.
下面我们讨论(Ⅰ)和(Ⅱ)型变换的几何性质
(Ⅰ) 型变换(0)w kz h k =+≠也称为整线行变换.设iz
k re =（0r >，α为实数），则
iz w re z h =+，它实际上是由三个变换：z 旋转 伸缩和平移复而成的.也就是先将z 旋转角
度α，然后按比例系数r 作一个以原点为中心的伸缩，最后再平移一个向量h （如图7-4）.
图7.4
从图上也可看出，这种变换是相似变换且保持图形的方向不变. (Ⅱ)型变换 1
w z
=称为反演变换.它可以分解为下面两个变换的复合： (Ⅱ.1)1
z
ξ=
(7.5) (Ⅱ.2)w ξ-
= (7.6)
(Ⅱ.1)与(Ⅱ.2)分别称为关于单位圆周和关于实轴的对换变换,并称z 与ξ是关于单位圆周的对称点,ξ与w 是关于实轴的对换变换. 已知点z ,可用如图7-5的几何方法作出点1w z
-
=
,然后作出1w z
ξ-
==
.
图7.5
从图7.5可以看出,w 与z 都在过单位圆圆心o 的同一条射线上且1
1
z w =, 从而21w z = (即等于半径的平方)
因此z 与w 是关于单位圆周的对称点.此外我们规定圆心o 关于单位圆周的对称点为w =∞ 例1:试证:除恒等变换w z =之外,一切分式线性变换（7.3）恒有两个相异的或一个二重的不动点(即自己变成自己的点) 证 分式线性变换 (0)az b w ad bc cz d
+=
-≠+ （7.3） 的不动点一定适合方程az b
z cz d
+=
+ 即 2
()0cz d a z b +--= （7.7）
如果（7.7）的系数全为零,则（7.3）就成为恒等变换w z =.故（7.7）的系数不能全为零. (1)
若0c ≠,则（7.7）有两个根
21,2,()42a d z a d bc c
-±
=
?=-+ ,
当0?≠时, （7.3）有两个相异的不动点1z 和2z . 当0?=时, （7.3）有一个二重不动点2a d
z c
-=
. （2）若0c =.这时（7.7）成为()0d a z b --=
当0a d ≠≠时, （7.7）有根b
z d a
=-. 这时（7.3）成为a b w z d d =
+, 所以这时（7.3）有不动点b z d a
=-和z =∞. 当0a d =≠时,必0b ≠.不动点b
z d a
=
=∞-. 故这时（7.3）以z =∞为二重不动点.
2. 分式线性变换的性质 (2.1)共形性
定义7.3 二曲线在无穷远点处的交角为α,就是指它们在反演变换下的像曲线在原点处的交角为α. 对于(Ⅱ)型变换,
21
0dw dz z
=-≠ 根据定理7.4知它在0z ≠和∞的各处是保角的.而当0z =或∞时由定义7.3它也是保角的.于是(Ⅱ)型变换在扩充z 平面上是保角的 对于(Ⅰ)型变换,当z ≠∞时,
0dw
k dz
=≠,因而它在z ≠∞的各处是保角的. 其次,当z =∞时,其像点为w =∞. 我们引入两个反演变换:
11,z w
λμ==
它们分别将z 平面与w 平面的无穷远点保角变换为λ平面与μ平面的原点.将上述两个变换代入(Ⅰ)型变换得 (7.8),
它将λ平面的原点0λ=变为μ平面的原点0μ=而且
22
11
00()d h k h d h k k z μλλλλ+-==≠-≠+ 故变换(7.8)在0λ=是保角的.于是(Ⅰ)型变换在z =∞也是保角的 综合上述讨论我们就可得到定理7.7分式线性变换在扩充z 平面上是共形的 注:在无穷远点处不可考虑伸缩率的不变性. (2.2) 分式线性变换的保交比性
定理7.7分式线性变换(7.3)在扩充z 平面上是共形的. 注 在无穷远点处不考虑伸缩率的不变性. 3.分式线性变换的保交比较
定义7.4扩充平面上有顺序的四个相异点1234,,,z z z z 构成下面的量,称为它们的交比，记为
()()31
41123412344232
,,,,,,z z z z z z z z z z z z z z z z --:=
:--.
当四点中有一点为∞时,应将包含此点的项用1代替. 例如 1z =∞时,
即有 ()2344232
11
,,,z z z z z z z ∞=
:
--, 亦即先视1z 为有限,再令1z →∞取极限而得. 定理7.8在分式线性变换下,四点的交比不变.
证 设 1,1,2,3,4,i i az b
w i cz d +==+ 则()()()()
,i j i j i j ad bc z z w w cz d cz d ---=
++ 因此 ()()()313141411234123442324232
,,,7.9,,,.w w z z
w w z z w w w w z z z z w w w w z z z z ----=
::=----
其他可能情形的证明留给读者.
从形式上看,分式线性变换（7.3）具有四个复参数,,,.a b c d 但由条件0,ad bc -≠可知至少有一个不为零,因此就可用它去除（7.3）的分子及分母,于是（7.3）实际上就只依赖于三个复参数(即六个实参数).
为了确定这三个复参数,由定理7.8可知,只须任意指定三对对应点: ()i i z w L z w =
()(1,2,3)i i z w L z w i ==即可.因从()()123123,,,,,,.w w w w z z z z =就
可得到变换(7.3),即()w L z =,其中,,,.a b c d 就可由i z 及(1,2,3)i w i =来确定,且除了相差一个常数因子外是惟一的.
这就证明了:
由(7.3)式中的条件0ad bc -≠可知,,,a b c d 四个参数中至少有一个不为零.因此用此条件去除(7.3)的分子和分母后实际上只剩下三个参数.
根据定理7.8如果知道z 和w 的三个对应点()123,,,i i z w z z z z → 就可得到变换(7.3),且除了相差一个常数因子外是唯一的.于是我们便得到 定理7.9 设分式线性变换将扩充z 平面上三个相异点123,,z z z 指定为123,,w w w , 则此分式线性变换就被惟一确定,并且可以写成
3131
11232232
:w w z z w w z z w w w w z z z z ----:=----
(7.10)
(即三对对应点惟一确定一个分式线性变换) 例7.5 求将2,i ,-2对应地变成-1,i ,1的分式线性变换, 解 所求分式线性变换为
(1,,1,)(2,,2,)i w i z -=-,
即 111222
::12w z w i i z i i ++---=-----, 化简为 1132
4w i z w i z i
++-=?--, 于是
1(13)(2)
1(13)(2)4()
w i z w w i i z z i ++-=
+-++---, 化简后得 632
z i
w iz -=
-
(2.3) 分式线性变换的保圆周(圆)性
显然,根据(Ⅰ)型变换的几何意义易于推得(Ⅰ) 型变换将圆周(直线). 对于(Ⅱ) 型变换,由于圆周或直线可表示为
0Az z Bz Bz C +++=,(,A C 为实数,2
B A
C >) (7.11)
当0A =时表示直线,经过反演变换1
w z
=后, (7.11) 就变为0Cw w B w Bw A -
--
+++=, 它表示直线(0)c =或圆周(0)c ≠.
根据分式线性变换(7.3)是(Ⅰ)和(Ⅱ)型变换的 复合就可得到
定理7.10分式线性变换将平面上的圆周（直线）变为圆周或直线.
注 在扩充平面上，直线可视为经过无穷远点的圆周，事实上，（7.11）可改写为
0,C A z z zz
ββ+
++= 欲其经过∞，必须且只须A=0.因此可以说：在分式线性变换（7.3）下，扩充z 平面上的圆周变为扩充w 平面上的圆周，同时，圆被保形变换成圆. （2．4）分式线性变换的保对称点性
图7.6
反之，在扩充平面上给定区域d 及D ，其边界都是圆周，则d 必然可以共形映射成D.分式线性变换就能实现，且在一定条件下，这种分式线性变换还是唯一的.
注 （1）当γ或()L γΓ=为直线时，其所界的圆是以它为边界的两个半平面；
（2）要使分式线性变换()w L z =把有限圆周C 变成直线，其条件是C 上的某点0z 变成∞.
作业P 318 4（1）、（3），5，
5．分式线性变换的保对称点性 在第一段中，我们曾经讲过关于单位圆周的对称点这一概念，现推广如下：
定义7.5 12,z z 关于圆周:γ-=z a R 对称是指 12,z z 都在过圆心a 的同一条射线上,且和2
12--=z a z a R . (7.6)
此外，还规定圆心a 与点∞也是关于γ为对称的（如图7.7）.
由定义即知12,z z 关于圆周:γ-=z a R 对称，必须且只须2
21-=-R z a z a
.（7.5）
下述定理从几何方面说明了对称点的特性.
图7.7 图7.8
定理7.11 扩充z 平面上两点12,z z 关于圆周γ对称的充要条件是，通过12,z z 的任意圆周都与γ正交.
证 当γ为直线的情形，定理的正确性是很明显的，我们只就γ为有限圆周-=z a R 的情形给予证明（图7.8）.
必要性 设12,z z 关于圆周:γ-=z a R 对称,则过12,z z 的直线必然与γ正交(按对称点的定义, 12,z z 在从a 出发的同一条射线上).
设δ是过12,z z 的任一圆周(非直线),由引δ的切线ζa .,ζ为切点由平面几何的定理得
2
12a z a z a ζ-=-- 但由12,z z 关于圆周γ对称的定义,有 2
12z a z a R --= 所以 ζ-=a R
即是说ζa 是圆周γ的半径.因此δ与γ正交.
充分性 设过12,z z 的每一圆周都与γ正交.过12,z z 作一圆周(非直线)δ,则δ与γ正交.设交点之一为ζ,则γ的半径ζa 必为δ的切线.
联结12,z z ,延长后必经过a (因为过12,z z 的直线与γ正交).于12,z z 是在从a 出发的同一条射线上,并且由平面几何的定理得
2
212R a z a z a ζ=-=--
因此, 12,z z 关于圆周γ对称.
下述定理就是分式线性变换的保对称点性.
定理7.12 设扩充z 平面上两点12,z z 关于圆周γ对称,()=w L z 为一分式线性变换,则1122(),()==w L z w L z 两点关于圆周()γΓ=L 为对称.
证 设?是扩充w 平面上经过12,w w 的任意圆周.此时,必然存在一个圆周δ,它经过
12,z z ,并使()δ?=L .因为12,z z 关于γ对称,故由定理7.11,δ与γ正交.由于分式线性变
换()=w L z 的保角性,()δ?=L 与()γΓ=L 亦正交.这样,再由定理7.11即知12,w w 关于
()γΓ=L 对称.
6.分式线性变换的应用 分式线性变换在处理边界为圆弧或直线的区域的变换中,具有很大的作用.
下面三例就是反映这个事实的重要特例:
例7.6 把上半z 平面共形映射成上半w 平面的分式线性变换可以写成
,+=
+az b
w cz d
其中,,,a b c d 是实数,且满足条件
0.->ad bc (7.12) 事实上,所述变换将实轴变为实轴,且当z 为实数时
20,()
-=>+dw ad bc dz cz d 即实轴变成实轴是同向的(如图7.9),因此上半z 平面共形映射成上w 半平面.
当然,这也可以直接由下面的推导看出:
22111Im ()()()Im .222++--=
-=-=-=++++az b az b ad bc ad bc w w w z z z i i cz d i cz d cz d cz d
图7.9
注 满足条件(7.12)的分式线性变换也将下半平面共形映射成下半平面.
例7.7 求出将上半平面Im 0>z 共形映射成单位圆1
解 根据分式线性变换保对称点的性质,点a 关于实轴的对称点a 应该变到0=w 关于
单位圆周的对称点=∞w .因此,这个变换应当具有形式:,-=-z a
w k
z a
（7.13）’ 其中k 是常数.k 的确定,可使实轴上的一点,例如0=z ,变到单位圆周上的一点 .=a w k
a
因此 1.==a
k
k a
所以,可以令β
=i k e (β是实数),最后得到所要求的变换为
(Im 0).β
-=>-i z a
w e a z a
(7.13) 在变换(7.13)中,即使a 给定了,还有一个实参数β需要确定.为了确定此β,或者
指出实轴上一点与单位圆周上某点的对应关系,或者指出变换在=z a 处的旋转角
arg '()w a .(读者可以验证,变换(7.13)在=z a 处的旋转角arg '().2
π
β=-
w a )
由(7.13)可见,同心圆周族(1)= ,-=-z a k z a 这是上半z 平面内以a 、a 为对称点的圆周族,双根据保对称性可知,单位圆1 例7.8求出将单位圆1 (1)= 解 根据分式线性变换保对称点的性质,点a (不妨假设0≠a )关于单位圆周1=z 的对称 点1 * = a a ,应该变成0=w 关于单位圆周1=w 的对称点=∞w ,因此所求变换具有形式 ,1-=-z a w k z a (7.14)’ 整理后得 1 ,1-=-z a w k az 其中1k 是常数.选择1k ,使得1=z 变成单位圆周1=w 上的点,于是111,1-=-a k a 即11=k ,因此可令1β=i k e (β是实数),最后得到所求的变换为 (1).1β -=<-i z a w e a az (7.14) β的确定还要求附加条件,如像例7.7中所说过的类似.(读者可以验证,对于变换(7.14),有 arg '()β=w a .) 由(7.14)可见,同心圆周族(1)= ,1-=-z a k az 这是z 平面上单位圆内以a 、 1a 为对称点的圆周族:.1z a a k z a -=?- 而单位圆1 1 a 两点的圆周在单位1 (2)()=L a b (一对内点对应),arg ()'=L a b (即在点a 处的旋转角固定). 思考题 (1)求将上半平面Im 0>z 共形映射成下半平面Im 0 (2)求将上半平面Im 0>z 共形映射成单位圆周外部1>w 的分式线性变换,(7.13)括弧中的条件就作怎样修改? (3)求将单位圆1 例7.9 求将上半z 平面共形映射成上半w 平面的分式线性变换,使符合条件: 1(), 0(0).+==i L i L 解 设所求分式线性变换()=w L z 为 += +az b w cz d , 其中,,,a b c d 都是实数,0.->ad bc 由于0(0)=L ,必0=b ,因而0≠a .用a 除分子分母,则()=w L z 变形为 ,= +z w ez f 其中,= =c d e f a a 都是实数, 再由第一个条件得 1+= +i i ei f , 即 ()()-++=f e i f e i , 所以 0,1-=+=f e f e 解之得 1,2== f e 故所求的分式线性变换为,22 =+z w z 即2.1 = +z w z 例7．10 求将上半z 平面共形映射成圆0w w R -<的分式线性变换()w L z =，使符合条件 '0(),()0L i w L i =>. 解 作分式线性变换0 w w R ξ-= 将圆0w w R -<共形映射成单位圆1ξ<. 其次，作出上半平面Im 0z >到单位圆1ξ<的共形映射，使z i =变成0ξ=，此分式线性变换为（如图7.10）.i z i e z i θ ξ-=+（为了能应用上述三个特别的结果.我们在z 平面与w 平面间插入一个“中间”平面—ξ平面.） 复合上述两个分式线性变换得 0i w w z i e R z i θ--=+， 图7.10 它将上半z 平面共形映射成圆0,w w R i -<变成0.w 再由条件'()0L i >，先求得 211,()2i i z i z i dw z i z i e e R dz z i i θθ==+-+∣=∣=+ 即 ()' 21(),22 i i R L i Re e i π θθ -== 于是 0,,,2 2 i e i θπ π θθ- == = 所求分式线性变换为 0.z i w Ri w z i -=++ 作业： P 318 6，7（1），8（1）. 3．某些初等函数所构成的共形映射 教学目的与要求：使学生掌握幂函数与根式函数、指数函数与对数函数的共形映射的性质 与应用 重点：幂函数与根式函数、指数函数与对数函数的共形映射的性质与应用 难点：幂函数与指数函数的单叶性区域 课时：2学时 初等函数所构成的共形映射对今后研究较复杂的共形映射大有作用. 1．幂函数与根式函数 先讨论幂函数 ,n w z = (7.15) 其中n 是大于1的自然数.除了0z =及z =∞外，它处处具有不为零的导数，因而在这些点是保角的. 由第二章3，(7.15)的单叶性区域是顶点在原点张度不超过 2n π 的角形区域.例如说，(7.15)在角形区域2:0arg (0)d z n π αα<<<≤ 内是单叶的，因而也是共形的（因为不保角的点0z =及z =∞在d 的边界上，不在d 内）.于是幂函数(7.15)将图7.11的角形区域 2:0arg (0)d z n π αα<<<≤ 共形映射成角形区域:0arg .D w n α<< 图7.11 特别，n w z =将角形区域20arg z n π <<共形映射成w 平面上除去原点及正实轴的区域（图7.12）. 图7.12 作为n w z =的逆变换n z w =， （7.16） 105 第6章 保角映射 6.1 分式线性映射 导数的几何意义是保角映射的理论基础. 6-1 映射2w z =在i z =-处的伸缩率k 与旋转角α是（ ）. （A ）π1,2k α== （B ）π2,2k α==- （C ）π1,2k α==- （D ）π2,2 k α== 解 i i π ||2,Arg ()|.2 z z k w f z α=-=-''====- 选（B ）. 平移变换加伸缩反射得相似图形，相似比即||w '. 6-2 在映射1 w z =下，将|1|1z -<映射为（ ）. （A ）右半平面0u > （B ）下半平面0v < （C ）半平面12u > （D ）12 v <- 解1 22 1i i x y w u v z x y -= ==++ 22 22 , x y u v x y x y -= = ++ 而 2|1|1z -<，即 222x y x +<，故 2 2 1 .2x u x y = >+ 选（C ）. 解2 1 w z = 是分式线性变换，具有保圆性.而|1|1z -=，将0z =变到,2w z =∞=变到1,1i 2w z ==+变到1i 2w += ，故1w z =将圆变为直线12u =，而圆心1z =变到112w =>，故1 w z =将|1|1z -<变为半平面1 2 u > . （C ）. 6-3 映射1 w z =将Im()1z >的区域映射为（ ）. （A ）Im()1w < （B ）Re()1w < （C ）圆2211()22u v ++< （D ）2211 ()22u v ++> 解 由1w z =的保圆性，知1 w z =将1y =映射为直线 或圆，由z =∞映射为0,1i z =+，映射为1i ,1i 2 w z -==-+映为 1i 2 --知，将Im()1z =映射为w 平面上的圆： 2211()22 u v ++= 图6-1 而2i z =映射为 11i 2i 2=-.故1 w z =将Im()1z >映射为圆内. 选（C ） 第一章习题解答 （一） 1 ．设2z =z 及A rcz 。 解：由于32i z e π- = 所以1z =，2,0,1,3 A rcz k k ππ=- +=± 。 2 ．设1 21z z = = ，试用指数形式表示12z z 及 12 z z 。 解：由于6 4 12,2i i z e z i e π π - += == = 所以( )646 4 12 12222i i i i z z e e e e π π π π π - - === 54( )14 6 12 2 6 112 2 2i i i i z e e e z e π ππππ+ - = = = 。 3．解二项方程440,(0)z a a +=>。 解：1 244 4 (),0,1,2,3k i i z a e ae k ππ π+= ===。 4．证明2 2 2 1212 122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。 证明：由于2 2 2 1212 122Re()z z z z z z +=++ 2 2 2 121 2 122R e () z z z z z z -=+- 所以2 2 2 12 12122()z z z z z z ++-=+ 其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0 321=++z z z , 1 321===z z z 。证明z 1，z 2，z 3是内 接于单位圆1 =z 的一个正三角形的顶点。 证 由于 1 321===z z z ，知 3 21z z z ?的三个顶点均在单位圆上。 因为 3 33 3 1z z z == ()[]()[]2 12322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-= 2 1212z z z z ++= 所以， 12121-=+z z z z ， 又 ) ())((1221221121212 2 1z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=- ()3 22121=+-=z z z z 1．设 z 1 3i ，求 z 及 Arcz 。 解：由于 z 1， Arcz 2k , k 0, 1, 。 3 (z 1 z 2)( z 1 z 2) z 1z 1 z 2z 2 (z 1z 2 z 2z 1) 2 z 1z 2 z 1 z 2 3 第一章习题解 答 (一) 2．设 z 1 i , z 3 1 ，试用指数形式表示 1 2 2 z 1z 2 及 z 1 。 z 2 4 i 6i 1 i i 解：由于 z 1 e 3 4 , z 2 3 i 2e 1 2 2 i i ( )i i 所以 z1z2 e 4i 2e 6i 2e ( 4 6)i 2e 12i i z 1 e 4 1 e (4 6)i i z 2 2e 6 2 5i 1 1 e 12 。 2 3．解二项方程 z 4 a 4 0,(a 0) 。 2k i 解： z 4 a 4 (a 4e i )4 ae 4 ,k 0,1,2,3 。 4．证明 z 1 2 2 z 1 z 2 z 1 z 2 证明：由于 2 2 z 1 z 2 z 1 2 2 z 2 2 z 1 z 2 2( z 1 所以 z 1 z 2 其几何意义是： z 2 ) 2 2 ，并说明其几何意义。 2 2 Re(z 1 z 2) z 2 2Re(z 1 z 2) z 1 z 2 2( z 1 z 2 ) 平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设 z 1， z 2，z 3三点适合条件： z1 z2 z3 0 z 1 z 2 z3 1 。证明 z 1，z 2， z 3是内 接于单位 圆 z 1 的一个正三角形的顶点。 证 由于 z 1 z 2 z3 1 ，知 z 1z 2z 3 的三个顶点均在单位圆上。 因为 所以， z 1z 2 z 1z 2 1 ， 所以 z 1 z 2 复变函数论第四版答案钟玉泉 （1）提到复变函数，首先需要了解复数的基本性质和四则运算规则。怎么样计算复数的平方根，极坐标与 xy 坐标的转换，复数的模之类的。这些在高中的时候基本上都会学过。 （2）复变函数自然是在复平面上来研究问题，此时数学分析里面的求导数之类的运算就会很自然的引入到 复平面里面，从而引出解析函数的定义。那么研究解析函数的性质就是关键所在。最关键的地方就是所谓 的Cauchy—Riemann 公式，这个是判断一个函数是否是解析函数的关键所在。 （3）明白解析函数的定义以及性质之后，就会把数学分析里面的曲线积分的概念引入复分析中，定义几乎 是一致的。在引入了闭曲线和曲线积分之后，就会有出现复分析中的重要的定理：Cauchy 积分公式。这 个是复分析的第一个重要定理。 （4）既然是解析函数，那么函数的定义域就是一个关键的问题。可以从整个定义域去考虑这个函数，也可 以从局部来研究这个函数。这个时候研究解析函数的奇点就是关键所在，奇点根据性质分成可去奇点，极 点，本性奇点三类，围绕这三类奇点，会有各自奇妙的定理。（5）复变函数中，留数定理是一个重要的定理，反映了曲线积分和 零点极点的性质。与之类似的幅角定理 也展示了类似的关系。 （6）除了积分，导数也是解析函数的一个研究方向。导数加上收敛的概念就可以引出Taylor 级数和 Laurent 级数的概念。除此之外，正规族里面有一个非常重要的定理，那就是Arzela 定理。 （7）以上都是从分析的角度来研究复分析，如果从几何的角度来说，最重要的定理莫过于Riemann 映照 定理。这个时候一般会介绍线性变换，就是Mobius 变换，把各种各样的区域映射成单位圆。研究 Mobius 变换的保角和交比之类的性质。 （8）椭圆函数，经典的双周期函数。这里有Weierstrass 理论，是研究Weierstrass 函数的，有经典的 微分方程，以及该函数的性质。 以上就是复分析或者复变函数的一些课程介绍，如果有遗漏或者疏忽的地方请大家指教。 习题一答案 1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数： （1） 1 32i + （2） (1)(2) i i i -- （3）13 1 i i i - - （4）821 4 i i i -+- 解：（1） 132 3213 i z i - == + ， 因此： 32 Re, Im 1313 z z ==-， 232 arg arctan, 31313 z z z i ==-=+ （2） 3 (1)(2)1310 i i i z i i i -+ === --- ， 因此， 31 Re, Im 1010 z z =-=， 131 arg arctan, 31010 z z z i π ==-=-- （3） 133335 122 i i i z i i i -- =-=-+= - ， 因此， 35 Re, Im 32 z z ==-， 535 ,arg arctan, 232 i z z z + ==-= （4）821 41413 z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re1,Im3 z z =-=， arg arctan3,13 z z z i π ==-=-- 2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i（2 ）1 -+（3）(sin cos) r i θθ + （4）(cos sin) r i θθ -（5）1cos sin (02) i θθθπ -+≤≤解：（1）2 cos sin 22 i i i e π ππ =+= （2 ）1-+23 222(cos sin )233 i i e πππ=+= （3）(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22 i r i re π θππ θθ-=-+-= （4）(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= （5）2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θθ-+=+ 2 2sin [cos sin ]2sin 22 22 i i e πθ θπθ πθ θ ---=+= 3． 求下列各式的值： （1 ）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- （4） 23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+- （5 （6 解：（1 ）5)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- 5 552(cos()sin()))66 i i ππ =-+-=-+ （2）100 100(1) (1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- 2[cos()sin()](cos sin ) 33)sin()][cos()sin()]44 i i i i ππ θθππ θθ-+-+= -+--+- )sin()](cos2sin 2)12 12 i i π π θθ=- +- + (2)12 )sin(2)]12 12 i i π θπ π θθ- =- +- = 第六章共形映射 一、选择题: 1.若函数W = Z 2 + 2Z 构成的映射将z 平面上区域G 缩小，那么该区域G 是() ⑻ Re(.)>4 (C)两出 2 5.下列命题中，正确的是() (A) w = 在复平面上处处保角(此处〃为自然数) (B) 映射w = z'+4z 在Z = 0处的伸缩率为零 (C) 若w =久⑵与w = f 2(z)是同时把单位圆|z| <1映射到上半平面Im(w) > 0的 分式 线性变换，那么/1(z)=/2(z) (D) 函数w = Z 构成的映射属于第二类保角映射 6?1 + i 关于圆周(工一2)2+0 —1)2 =4的对称点是( ) (A) k <- (B) z +1 < — (C) k > — 1 2 2 1 2 2.映射w = 2：在处的旋转角为( z + z ) (A) 0 (B) n (C) n 3.映射w = *2在点Z 0=i 处的伸缩率为( ) (A) 1 (B) 2 (c) / (D) Z + 1 >丄 2 (D) ~2 (D) e (0) 4. 在映射w = iz + e 4 下，区域Im(z)< 0的像为( 9?分式线性变换一筈把圆周|店1映射为() 10.分式线性变换w = ^-将区域：zv 1且Im(z)> 0映射为( ) i-z <0 11. 设a,b,c,d,为实数且 /Z-bcvO,那么分式线性变换= 把上半平面映射为W cz + d 平面的() (A)单位圆内部 (B)单位圆外部 (C)上半平面 (D)下半平面 12. 把上半平面Im(z)> 0映射成圆域w V2且满足>v(i) = 0,^(i) = 1的分式线性变换 (A) 6+i (B) 4+i (D) i 7’ 一 i 冗 7. 函数w= ——将角形域0vargzv —映射为( ) z +i 3 (A) |>v < 1 (B) w >1 (C) Im(w)>0 8. 将点z = l,i-l 分别映射为点w = --1,0的分式线性变换为 (D) Im(w)vO ) (A) (B) z + 1 w = ---- l-z (D) z-1 (A) w =1 (B) w-1 =1 ⑻ w = 2 (D) w-1 =2 (B) 7C (C) — < arg w < 7T n (D) 0 < arg w z + 1 w = ---- z-l 第四章习题详解 1． 下列数列{}n a 是否收敛？如果收敛，求出它们的极限： 1) mi ni a n -+= 11； 2) n n i a -?? ? ? ?+=21； 3) ()11++ -=n i a n n ； 4) 2i n n e a π-=； 5) 21i n n e n a π-= 。 2． 证明：??? ????≠==>∞<=∞→1111110a a a a a a n n ,,,,lim 不存在， 3． 判别下列级数的绝对收敛性与收敛性： 1) ∑∞ =1n n n i ； 2) ∑∞ =2n n n i ln ； 3) ()∑∞=+0856n n n i ； 4) ∑∞=0 2n n in cos 。 4． 下列说法是否正确？为什么？ 1) 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛； 2) 每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点； 3) 每一个在0z 连续的函数一定可以在0z 的邻域内展开成泰勒级数。 5． 幂级数()∑∞ =-02n n n z c 能否在0=z 收敛而在3=z 发散？ 6． 求下列幂级数的收敛半径： 1) ∑∞ =1n p n n z （p 为正整数）； 2) ()∑∞=12n n n z n n !； 3) ()∑∞=+01n n n z i ； 4) ∑∞=1n n n i z e π； 5) ()∑∞=-??? ??1 1n n z n i ch ； 6) ∑∞=??? ? ?1n n in z ln 。 7． 如果 ∑∞=0n n n z c 的收敛半径为R ，证明()∑∞=0n n n z c Re 的收敛半径R ≥。[提示：()n n n n z c z c 第六章 共形映射 一、选择题： 1．若函数z z w 22+=构成的映射将z 平面上区域G 缩小，那么该区域G 是 ( ) （A ）21< z （B ）211<+z （C ）21>z （D ）2 11>+z 2．映射i z i z w +-= 3在i z 20=处的旋转角为( ) （A ）0 （B ） 2 π （C ）π （D ）2 π - 3．映射2 iz e w =在点i z =0处的伸缩率为( ) （A ）1 （B ）2 (C)1-e （D ）e 4．在映射i e iz w 4 π +=下，区域0)Im( （A ）i +6 （B ）i +4 （C ）i +-2 （D ）i 7．函数i z i z w +-=33将角形域3arg 0π< 第六章共形映射 （The Conformal mapping） 第一讲 授课题目：§6.1共形映射的概念；§6.2共形映射的基本问题教学内容：导数的几何意义、共形映射的概念、解析函数的保域性与边界对应原理、共形映射的存在唯一性. 学时安排：2学时. 教学目标：1、理解导数的几何意义； 2、弄清共形映射的概念； 3、掌握解析函数的保域性与边界对应原理、共形映射的存在唯一性； 教学重点：解析函数的保域性与边界对应原理； 教学难点：解析函数的保域性与边界对应原理； 教学方式：多媒体与板书相结合. P习题六：1-3 作业布置： 164 板书设计：一、导数的几何意义； 二、共形映射的概念； 三、解析函数的保域性与边界对应原理； 四、共形映射的存在唯一性 参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出 版社； 2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等 教育出版； 3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第 二版）2005年5月 4、《复变函数与积分变换》苏变萍陈东立编，高等教 育出版社，2008年4月 课后记事：1、基本掌握共形映射的概念； 2、不能灵活运用解析函数的保域性与边界对应原理；教学过程：第6章共形映射
复变函数论第三版课后习题答案
复变函数论第三版课后习题答案解析
复变函数论第四版答案钟玉泉
复变函数课后习题答案(全)
复变函数期末复习测验题6.docx
复变函数习题答案第4章习题详解
复变函数与积分变换第六章测验题与答案
共形映射