105
第6章 保角映射
6.1 分式线性映射
导数的几何意义是保角映射的理论基础.
6-1 映射2w z =在i z =-处的伸缩率k 与旋转角α是（ ）. （A ）π1,2k α==
（B ）π2,2k α==- （C ）π1,2k α==- （D ）π2,2
k α== 解 i i π
||2,Arg ()|.2
z z k w f z α=-=-''====- 选（B ）.
平移变换加伸缩反射得相似图形，相似比即||w '.
6-2 在映射1
w z
=下，将|1|1z -<映射为（ ）.
（A ）右半平面0u > （B ）下半平面0v < （C ）半平面12u > （D ）12
v <- 解1 22
1i i x y w u v z x y -=
==++ 22
22
,
x
y
u v x y x y -=
=
++ 而 2|1|1z -<，即
222x y x +<，故 2
2
1
.2x u x y
=
>+ 选（C ）. 解2 1
w z
=
是分式线性变换，具有保圆性.而|1|1z -=，将0z =变到,2w z =∞=变到1,1i 2w z ==+变到1i 2w +=
，故1w z =将圆变为直线12u =，而圆心1z =变到112w =>，故1
w z
=将|1|1z -<变为半平面1
2
u >
. （C ）. 6-3 映射1
w z
=将Im()1z >的区域映射为（ ）.
（A ）Im()1w < （B ）Re()1w < （C ）圆2211()22u v ++< （D ）2211
()22u v ++>
解 由1w z =的保圆性，知1
w z
=将1y =映射为直线
或圆，由z =∞映射为0,1i z =+，映射为1i
,1i 2
w z -==-+映为
1i
2
--知，将Im()1z =映射为w 平面上的圆： 2211()22
u v ++=
图6-1
而2i z =映射为
11i 2i 2=-.故1
w z
=将Im()1z >映射为圆内. 选（C ）
106
6-4 求将圆||2z <映射到右半平面，且(0)1,arg (0)π/2w w '==的分式线性映射.
解 令ax b w z b +=
+，则2
()ab b w z b -'=+.由πarg (0)2w '=，可令 21
(0)i ab b a w b b
--'===，得1i a b =+，
于是 (1i)b z b
w z b
++=
+.
由于圆||2z =应映射为虚轴，故又令(2)i w =得
22i 2i i b b b ++=+，解得2(1i)
2i 1+i
b --=
= 于是 22i
2i
w z -+=
+（这时圆上点2i z =-映射为∞点，故满足所求）. 6-5 求把上半平面Im()0z >映射成单位圆||1w <的分式线性映射，且满足条件
（1）()0,(1)1w i w =-=； （2）1
(0)1,().2
w w i ==
解 （1）令z i
w cz d
-=+ 1i
(1)1w c d
---=
=-+，即1i c d --=-+ 令z =∞时，i w =-，得i c =，1d =-，于是得到一个满足要求的映射
i
i 1
z w z -=
- （2）由(0)1w =，可令az b
w z b
+=
+ 更令()1w ∞=-，得1a =-，更由1
(i)2
w =得2(i )i b b -+=+故3i b =-，从而
3i
3i
z w z --=
- 要求||1z =时||1w =，故取21
2
z w z λ
-=-时，||1,λλ=也可写作i e θ只要定θ即可. 6-6 求将上半平面映射为单位圆||1w <的分式线性变换.
解 设az b w cz d +=+，将I m ()0z >映射为||1w <，则它将b z a =-映为圆心0w =.而将b z a -
=-
映为∞，记,b b a a
αα-
=-=-，而有d c α-=，故变换为
.a z w c z α
α
-=
- 由于0z =变到||1w =上一点，即||1a c =，记i e a
c
θ=， 则 i e z w z θ
α
α
-=-（其中Im()0α>）. θ是待定实数.
107
6-7 求把上半平面Im()0z >映射成单位圆||1w <的分式线性映射，并满足条件：
（1）(i)0;(1)1f f =-=； （2）(i)0,arg (i)0f f '==； （3
）(1)1,(i)f f =
解 （1）设i i e i z w z θ
-=+，于是i 1i e 11i θ--=-+即i π
e i()2
θθ= 所求映射为 i i
+i
z w z -=. （2）设映射为i i
e +i
z w z θ
-= i 2
2i
()e (+i)
w z z θ'=
故πi()21π
(i)e ,22
w θθ-'=-=
所求映射为 i
i i
z w z -=+ （3）设i e z w z θα
α
-=- 由(1)1w =得
i i e (1)1(i )(i )
θθ
αααα-=--=-
令x iy α=+，上两式相比得
)(1)()(1)i αααα--=-- （1）
取共轭
)(1)()(1)i αααα--=--
上两式两边相乘得225|(1)i ||(1)i |x y x y -+-=-++
解得 2231x y y +=- （2） 将（1）式乘开，比较实部与虚部可得
1)(1)1)x y -= （3）
及
221)()1)1)x y x y +=+ （4） 将（2）代入（4），消去22x y +
后解得：2,3
y x ==， 于是
i 2
1i
e θ=
=
12i)3=
108 所求映射
w =
.
6-8 求将单位圆||1z <映射为单位圆||1w <的分式线性映射.
解 设所求的分式线性变换把||1z <内的点α映射为0w =，那么，它将
1
α
即与α关于||1z =的对称点映射为∞，故所求的映射为
1/1
z z w z z αα
λ
λα
αα--==-+-+ 设1z =对应于||1w =上某点，则有
11||
||1
α
λαλαα-==-，故i e θλα= 即 i e (||1,
1z w z
θ
α
αθα-=<-是实数） 这时 i 2
1()e (1)w z z θ
αα
α-'=-
i 1
()e 1w θ
ααα
'=-故θ是z α=点变换时的旋转角 同样，将z 平面上||1z <映射为w 平面上||1w >的分式线性变换是 i e (||1,
1z w z
θ
α
αθα-=>-是实数） 6-9 求将右半平面Re()0z >映射为单位圆||1w <的分式线性映射.
解1 设z b
w z d
λ
+=+，它将z b =-映为0w =点，而将z d =-映为w =∞点.记a b =-，则Re()0α>，由对称性，()d α-=-.因此，z w z α
λ
α-=+，且|(0)|||||1w αλλα
-===，故i e θλ=得 i e (Re()0,z w z θ
α
αθα
-=>+是实数）. 解2 由6-13题，先作旋转i z ζ=，将右半平面旋转为上半平面，于是将Im()0ζ>变为
||1w <的映射是（见6-13题）
i e (Im()0)w θ
ζβ
βζβ
-=>- 故 i i i i e e i i z z w z z θ
θ
ββ
ββ
-+==-+ 记 i βα=-，则i (i )ββα=-=而Re()0α>
i e z w z θ
α
α
-=+与解1的结果同. 利用0w =与w =∞两点是关于两个同心圆皆对称的点而有保对称性.从而知12,z z 皆是
实数，及对二圆都有对称性，从而解出1z 和2z . 6-10 求一分式线性映射，把由||9z >与|8|16z -<所确定的区域映射为w 平面上的同心
圆环：||1w <与||w r > (01).r <<
解 本题关键在设12()0,()w z w z ==∞，由于0、∞关于两个同心圆||1w =与||w r =皆对称；故1z 与2z 应同时与|3|9z -=及|8|16z -=皆对称.从而知12,z z 应在此二圆圆心的联线上，
109
即1z 与2z 皆是实数，且有
221212(3)(3)9,(8)(8)16z z z z --=--=
即 212123()99z z z z -+=- 2212128()168z z z z -+=- 得121224,0z z z z +=-=，取120,24z z ==-.
则 24
z
w z λ
=+ 由于0z =在|3|9z -<内部，故此映射将|3|9z -=映为||w r =，而将|8|16z -=映为||1w =
即 i i 2816e ,e 24
z
z w z ?θ=+=+ 取1224,0z z =-=，则
24
z w z
λ
+= 这时，由124z =-在|8|16z ->内，而0w =在||w r <内，故此映射将|8|16z -=映为||w r =而
将|3|9z -=映为||1w =，即令i 39e z ?=+便应有
i i 279e |||| 1.3+9e w ?
?
λ+==
故i 11
||,e 33
θλλ==所求映射为
i 24
e 3z w z
θ
+=. 6.2 几个初等函数所构成的映射
按要求一步一步变，注意每一步的要求.
6-11 试将由||1z <及|1|1z -<所确定的区域保角地映射为上半平面. 解 如图6.2，我们采取如下步骤作映射
.
图6.2
(1)
作分式线性映射，使12
映射于原点，而12映射为w =∞点.
110 即
1ζ=
（2）令321ζζ=，则映射成不含2ζ的负实半轴的全平面，22π4π.?≤<
（3）令1/2
32ζζ=，则映射为下半平面.
（4）令3w ζ=-，则映射为上半平面，故此映射为
3/2
w =-
6-12 试将由Im()1,||2z z ><所确定的区域保角地映射为上半平面. 解 如图6.3，分以下步骤： （1
）将弓形域映射为角形域1ζ=
（2）321ζζ=映射为下半平面. （3）2w ζ=-，即为所求也就是
3
w =-
图6.3
6-13 求把单位圆外部||1z >，且沿虚轴1y >有割痕的域映射为上半平面的一个保角映射.
解 分以下步骤：
（1）作分式线性映射，将单位圆外部映射为半平面，并使割痕转到实轴，即1i
+i
z z ζ-=
（2）平方且反射，使割痕到2
2i (1,0),i z z ζ-??
-=- ?+??
（3）平移后开方得12
2(1)w ζ=+
111
即 1/2
2i 1i z w z ??
-??=-??
?+?????
?
为所求映射.
6-14 将图6.4z 平面中阴影部分所示区域，即由Re()1,||1z z >->所确定区域映射为上半平面.
解 分以下步骤：
（1）作分式线性映射11
1
z z ζ-=
+，则所给域映射为10Re()1ζ<<； （2）旋转伸长，即令21πi ζζ=，得条形域20Im()πζ<<；
（3）作指数映射i e w ?=即得上半平面.即映射为
1i π1
e
z z w -+=
图6.4
6-15 将如图6.5所示的z 平面区域，即由||2,|1|1z z <->所确定的区域，映射为上半平面.
解 （1）作分式线性变换：12
z
z ζ=
-，将|1|1z -=映射为1Re()0ζ=，而将||2z =映射为11
Re()2
ζ.由此，将已知域映射为带状域.
（2）旋转伸缩：212πi ζζ=.映射为20Im()πζ<<
（3）取指数函数的映射2
e w ζ=便是本题所求，即2πi
2
e
z z w -=.
112
图6.5
6-16 将沿虚轴有割痕从0z =至2i z =的上半平面，保角地映射为上半平面.
解 （1）将上半平面映射为全平面后并平移，使割痕位于实轴的10ζ=至14ζ=处.
214z ζ=+.
（2）开方使割痕好似被展平在实轴的(2,2)-上：1
21
w ζ=.即 21/2
(4)w z =+.（见图6.7）
图6.6
6-17 图6.7所示的z 平面上单位圆||1z <中有割痕：沿实轴从0z =至1z =的区域，试将其保角地映射为半平面.
解（1）开方将圆映射为半圆，割痕仍在x 轴上：1
2
1z ζ=； （2）作分式线性映射，将半圆映射为1/4平面：1211
1
ζζζ+=-+； （3）平方22w ζ=
即2
.
w =
113
图6.7
6-18 将图6.8所示，由π
Re()0,0Im()2
z z ><<
确定的z 平面上的区域，保角映射为上半平面.
解 （1）将其旋转伸缩于第4象限：12z ζ=-
（2）取指数函数：1
2e ζζ=
将1ζ中的区域映射为半圆域：222||e 1,Arg 0x ζπζ-=<<< （3）作分式线性映射：23211
ζζζ-=+ 将半圆映射为1/4平面.
（4）令23w ζ=即为所求的映射，即
22e 1e .e 1z z --??-= ?+??
图6.8
6-19 求把实轴上有割痕：1
12
x ≤<的单位圆||1z <映射为||1w <的一个映射.
解 （1）令11
2112
z z ζ-
=-，使割痕在10Re()1ζ≤<上；
114 （2
）作2ζ （3）再作2
32
11ζζζ+=
-，将半圆映射为3()ζ的I 象限部分； （4）作243ζζ=，便将此映射为上半平面； （5）最后将上半平面映为单位圆：（见图6.9）
44i i w ζζ-=+
经归纳
223422224322i i [(1)/(1)]i i i [(1)/(1)]i w ζζζζζζζζ--+--===+++-+
=
=
图6.9
6-20 求把半带形域ππ
Re(),Im()022
z z -<<>，映为上半平面Im()0w >的映射()w f z =，
使π
()1,(0)0.2
f f ±=±=
解 （1）作旋转与平移：1π
i i 2
z ζ=+，使之映为1ζ平面的半带形域：
110Im()π,Re()0.ζζ<<<
（2）作指数映射：1
2e ζζ=，将之映为2ζ平面上的半圆域：22||1,Im()0;ζζ<>
（3）作分式线性映射：2
32
11ζζζ+=-，将半圆域映为3ζ平面第1象限；
（4）243ζζ=，将之映为4ζ的上半平面，只是未满足π
()12
f ±=±及(0)0f =的条件；
（5）由上半平面映为上半平面，且∞映为1,0-点映为1及1-映为0.即得：44
11w ζζ+=-（见
图6.10）
归纳
2
2
22
2
32
22
2
32
2
1
1
1
11
1
2
11
1
1
w
ζ
ζ
ζζ
ζ
ζζ
ζ
??
+
+ ?
-
++
??
===-
-??
+
- ?
-
??
111
1
ππ
(i i)i i
222
11e e e e e
222
e
z z
ζζζ-++
-
+++
=-=-=-
i i
e e
sin
2
z z
z
-
+
==，为所求的映射.
图6.10
115
105 第6章 保角映射 6.1 分式线性映射 导数的几何意义是保角映射的理论基础. 6-1 映射2w z =在i z =-处的伸缩率k 与旋转角α是（ ）. （A ）π1,2k α== （B ）π2,2k α==- （C ）π1,2k α==- （D ）π2,2 k α== 解 i i π ||2,Arg ()|.2 z z k w f z α=-=-''====- 选（B ）. 平移变换加伸缩反射得相似图形，相似比即||w '. 6-2 在映射1 w z =下，将|1|1z -<映射为（ ）. （A ）右半平面0u > （B ）下半平面0v < （C ）半平面12u > （D ）12 v <- 解1 22 1i i x y w u v z x y -= ==++ 22 22 , x y u v x y x y -= = ++ 而 2|1|1z -<，即 222x y x +<，故 2 2 1 .2x u x y = >+ 选（C ）. 解2 1 w z = 是分式线性变换，具有保圆性.而|1|1z -=，将0z =变到,2w z =∞=变到1,1i 2w z ==+变到1i 2w += ，故1w z =将圆变为直线12u =，而圆心1z =变到112w =>，故1 w z =将|1|1z -<变为半平面1 2 u > . （C ）. 6-3 映射1 w z =将Im()1z >的区域映射为（ ）. （A ）Im()1w < （B ）Re()1w < （C ）圆2211()22u v ++< （D ）2211 ()22u v ++> 解 由1w z =的保圆性，知1 w z =将1y =映射为直线 或圆，由z =∞映射为0,1i z =+，映射为1i ,1i 2 w z -==-+映为 1i 2 --知，将Im()1z =映射为w 平面上的圆： 2211()22 u v ++= 图6-1 而2i z =映射为 11i 2i 2=-.故1 w z =将Im()1z >映射为圆内. 选（C ）
第六章共形映射 一、选择题: 1.若函数W = Z 2 + 2Z 构成的映射将z 平面上区域G 缩小，那么该区域G 是() ⑻ Re(.)>4 (C)两出 2 5.下列命题中，正确的是() (A) w = 在复平面上处处保角(此处〃为自然数) (B) 映射w = z'+4z 在Z = 0处的伸缩率为零 (C) 若w =久⑵与w = f 2(z)是同时把单位圆|z| <1映射到上半平面Im(w) > 0的 分式 线性变换，那么/1(z)=/2(z) (D) 函数w = Z 构成的映射属于第二类保角映射 6?1 + i 关于圆周(工一2)2+0 —1)2 =4的对称点是( ) (A) k <- (B) z +1 < — (C) k > — 1 2 2 1 2 2.映射w = 2：在处的旋转角为( z + z ) (A) 0 (B) n (C) n 3.映射w = *2在点Z 0=i 处的伸缩率为( ) (A) 1 (B) 2 (c) / (D) Z + 1 >丄 2 (D) ~2 (D) e (0) 4. 在映射w = iz + e 4 下，区域Im(z)< 0的像为(
9?分式线性变换一筈把圆周|店1映射为() 10.分式线性变换w = ^-将区域：zv 1且Im(z)> 0映射为( ) i-z <0 11. 设a,b,c,d,为实数且 /Z-bcvO,那么分式线性变换= 把上半平面映射为W cz + d 平面的() (A)单位圆内部 (B)单位圆外部 (C)上半平面 (D)下半平面 12. 把上半平面Im(z)> 0映射成圆域w V2且满足>v(i) = 0,^(i) = 1的分式线性变换 (A) 6+i (B) 4+i (D) i 7’ 一 i 冗 7. 函数w= ——将角形域0vargzv —映射为( ) z +i 3 (A) |>v < 1 (B) w >1 (C) Im(w)>0 8. 将点z = l,i-l 分别映射为点w = --1,0的分式线性变换为 (D) Im(w)vO ) (A) (B) z + 1 w = ---- l-z (D) z-1 (A) w =1 (B) w-1 =1 ⑻ w = 2 (D) w-1 =2 (B) 7C (C) — < arg w < 7T n (D) 0 < arg w z + 1 w = ---- z-l
第六章 共形映射 一、选择题： 1．若函数z z w 22+=构成的映射将z 平面上区域G 缩小，那么该区域G 是 ( ) （A ）21< z （B ）211<+z （C ）21>z （D ）2 11>+z 2．映射i z i z w +-= 3在i z 20=处的旋转角为( ) （A ）0 （B ） 2 π （C ）π （D ）2 π - 3．映射2 iz e w =在点i z =0处的伸缩率为( ) （A ）1 （B ）2 (C)1-e （D ）e 4．在映射i e iz w 4 π +=下，区域0)Im(
（A ）i +6 （B ）i +4 （C ）i +-2 （D ）i 7．函数i z i z w +-=33将角形域3arg 0π< 第六章 共形映射 6.1解：' 2w z = （1）'''(1)2,|(1)|2,arg (1)0w w w ===，伸缩率为2，旋转角为0 （2）'''1111(),|()|,arg (1)4242w w w π-=--==，伸缩率为1 2，旋转角为π （3）'''(1)2(1),|(1)|(1)4 w i i w i w i π +=++=+=，伸缩率为为 4 π （4）'''4 (34)2(34),|(34)|10,arg (34)arctan 3 w i i w i w i π-+=-+-+=-+=-，伸缩 率为10，旋转角为4 arctan 3π- 6.2解：令11w u iv z x iy =+==+，则可以得到2222,u v x y u v u v -==++ （1）2222 ,u v x y u v u v -= =++代入224x y +=得到22 14u v += （2）2222 ,u v x y u v u v -==++代入x y =得到u v =- （3）2222 ,u v x y u v u v -==++代入1 x =得到22u v u +=整理得22 11()24u v -+= （4）2222,u v x y u v u v -==++代入22 (1)1x y -+=得到2222222 2()u v u u v u v +=++整理得12u = 6.3解： （1）分式线性变换z i w z i -= +把0,0x y >>变成下半单位圆域，把上半虚轴变成实轴上[1,1]-，把正半实轴变成下半单位圆 （2）分式线性变换(1)w i z =+，将Im 0z >区域按逆时针方向旋转 4 π ，得到区域Im Re w w > （3）分式线性变换1z w z = -把正实轴变成了不含(0,1)的实轴，把arg 4 z π =变成 第六章保角变换(14) 一、内容摘要 1．单叶函数:复变函数()w f z =在区域D 内解析，且在D 内任意不同两点函数值不同，则称该函数为单叶（解析）函数。单叶变换单叶解析函数确定的变换称为单叶变换。 定理设()w f z =在0z z =解析，且0'()0f z ≠，则在z 平面上必存在一个包含0z 点的区域，而在w 平面上有一个包含()00w f z =的区域，使得解析变换()w f z =给出这两个区域间点与点的一一对应关系。即()w f z =在0z 点附近是单叶解析函数。 2．解析函数的保角性: 设()w f z =在0z z =解析，且0'()0f z ≠，则()w f z =在0z 的邻域与0w 的邻域的点与点之间建立了一个一一对应关系。若()w f z =在0z 点解析，且 ()0'0f z ≠，则在0z 的某邻域内，用映射()w f z =把过0z 的任意两条曲线映射成过0w w =的两条曲线后，其夹角保持不变，无穷小线元成比例。这样的变换称作保角变换。 3．最简单的保角变换 1）平移变换=+w z b ． 2）转动变换=i w ze α ． 3）线性伸缩变换=(r>0)w rz ． 4）倒数变换1= w z ． 4．线性变换 复变函数,0az b w ad bc cz d += -≠+确定的变换称为线性变换。该变换除d z c =-外处处解析，且d z c =- 为一阶极点。 线性变换具有如下性质： (1)线性变换az b w cz d += +的逆变换为dw b z cw a -+=-． (2) 线性变换总可以分解成整线性变换和倒数变换的复合。 (3)线性变换是一个保角变换。 (4)线性变换具有保圆周性。 (5)线性变换具有保对称点性。 12,z z 关于直线γ对称，是指12,z z 的连线与γ正交，且被γ平分。12,z z 关于圆:z a R γ-=对称，是指12,z z 都在过圆心a 的同一射线上，且 212z a z a R --=。 此外，也规定圆心与无穷远点也是关于圆周对称。 二、习题 1．填空题 （1）复平面上一点1+z i =关于单位圆周21z z -==的对称点为________． （2）已知点101 z =-,,分别变到点0,,3w i i =，试求这个分式线性变换w =_________． 第六章 保角变换(14) 一、内容摘要 1．单叶函数 :复变函数()w f z =在区域 D 内解析，且在 D 内任意不同两点函数值不同，则称该函数为单叶（解析）函数。单叶变换 单叶解析函数确定的变换称为单叶变换。 定理 设()w f z =在0z z =解析，且0'()0f z ≠，则在z 平面上必存在一个包含0z 点的区域，而在 w 平面上有一个包含()00w f z =的区域，使得解析变换 ()w f z =给出这两个区域间点与点的一一对应关系。即()w f z =在0z 点附近是 单叶解析函数。 2．解析函数的保角性: 设()w f z =在0z z =解析，且0'()0f z ≠，则()w f z =在 0z 的邻域与0w 的邻域的点与点之间建立了一个一一对应关系。若()w f z =在0z 点解析，且 ()0'0f z ≠，则在0z 的某邻域内，用映射()w f z =把过0z 的任意两条曲线映射成过0w w =的两条曲线后，其夹角保持不变，无穷小线元成比例。这样的变换称作保角变换。 3．最简单的保角变换 1） 平移变换 =+w z b ． 2） 转动变换 =i w ze α ． 3） 线性伸缩变换 =(r>0)w rz ． 4） 倒数变换 1= w z ． 4．线性变换 复变函数,0az b w ad bc cz d += -≠+确定的变换称为线性变换。该变换除d z c =-外处处解析，且d z c =- 为一阶极点。 线性变换具有如下性质： (1) 线性变换az b w cz d += +的逆变换为dw b z cw a -+=-． (2) 线性变换总可以分解成整线性变换和倒数变换的复合。 (3) 线性变换是一个保角变换。 (4) 线性变换具有保圆周性。 (5) 线性变换具有保对称点性。 12,z z 关于直线γ对称，是指12,z z 的连线与γ正交，且被γ平分。12,z z 关于圆:z a R γ-=对称，是指12,z z 都在过圆心 a 的同一射线上，且 212z a z a R --=。 此外，也规定圆心与无穷远点也是关于圆周对称。 二、习题 1．填空题 （1）复平面上一点1+z i =关于单位圆周21z z -==的对称点为________． （2）已知点101 z =-,,分别变到点0,,3w i i =，试求这个分式线性变换w =_________．第六章 共形映射
第六章保角变换
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