课题：线段的定比分点．
目的：掌握有向线段的定比分点和线段的中点公式，并能简单应用． 重点、难点：线段的定比分点．
过程：
一、复习引入
前面我们学习了有向直线，有向线段，有向线段的长度，有向线段的数量等许多概念和符号．今天我们想在此基础上跟大家讨论线段的定比分点．
二、新授
1．定义：有向直线l 上的一点P ，把l 上的有向线段21P P 分成两条有向线段P P 1和2PP ．P P 1和2PP 数量的比叫做点P 分21P P 所成的比，通常用字母λ来表示这个比值，2
1PP P P =
λ，点P 叫做21P P 的定比分点． 2．说明： （1）21P P 是在过两点1P 、2P 的一条有向直线上的有向线段，1P 是起点，2P 是终点；
（2）P P 1是以1P 为起点，P 为终点；2PP 是以P 为起点，2P 为终点．顺序不能颠倒，否则λ的值就会随之改变；（为了联系紧密，P 为分点，∴2
1PP P P =λ中，P P →1，2P P →，就是起点→分点，分点→终点．）
（3）21PP P P 不是线段的长度之比，而是有向线段的数量之比，这个比与过21P P 的有向直线无关；
（4）在2
1PP P P 中，分子是由线段的起点1P 到分点P 的有向线段P P 1的数量，分母是由分点P 到终点2P 的有向线段2PP 的数量．
请思考，点P 分21P P 所成的比和点P 分12P P 所成的比有何关系．
3．练习：如图，求点B 分AC ，点B 分CA ，点C 分AB ，点C 分BA ，点A
分BC ，点A 分CB 所成的比．（23，32，25-，5
2-，53-，35-） 由此回答：（1）P 分21P P 的比与P 分12P P 的比互为倒数；（2）λ的符号与点P 的位置有关．
4．小结：若点P 在线段21P P 上，点P 叫做21P P 的内分点，此时0>λ；若点P 在线段12P P 或21P P 的延长线上，点P 叫做21P P 的外分点，此时0<λ．
三、解几的基础是坐标系、点的坐标，那么我们怎样求定比分点的坐标呢？ 问题：设21P P 的两个端点分别为),(111y x P 和),(222y x P ，点P 分21P P 所成的比为λ（1-≠λ），求分点P 的坐标),(y x ．
分析：过点1P 、2P 、P 分别作x 轴的垂线11M P 、22M P 、PM ，则垂足分别是)0,(11x M 、)0,(22x M 、)0,(x M ．根据平行线分线段成比例定理，得
2121MM M M PP P
P =．
如果点P 在线段21P P 上，那么点M 也在线段21M M 上；如果点P 在线段21P P 或12P P 的延长线上，那么点M 也在线段21M M 或12M M 的延长线上．因此2
1PP P P 与21MM M M 的符号相同，所以21PP P P =21MM M M ． ∵11x x M M -=，x x MM -=22，∴x
x x x --=21λ， 即21)1(x x x λλ+=+，当1-≠λ时，得λ
λ++=
121x x x ． 同理可以求得y y y y --=21λ，λλ++=121y y y ． 因此，当已知两个端点为),(111y x P 、),(222y x P ，点),(y x P 分21P P 所成的比为λ时，点P 的坐标是
5. 3平面向量的坐标表示及线段的定比分点公式要点透视： 1?要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关. 2?遇到共线向量与平行有关问题，一般应考虑运用向量平行的充要条件. 3?线段的定比分点公式，要注意求定比分点A的值，以便顺利求出分点坐 标. 活题解析： 例1. (2002年天津卷)平面直角坐标系中, O是坐标原点，已知两点A(3， 1)，B( — 1, 3)，若点 C 满足 OC =aOA+POB，其中 a 氏 R 且 a+3=1，则点 C的 轨迹方程是() 2 2 A. 3x+ 2y— 11 = 0 B. (x— 1) + (y—2)=25 C. 2x— y= 0 T D士+ 2 y— 5=0^ 要点精析：I 设OC =(x, y)，OA = (3, 1)，OB =(— 1,3)， T T T T a OA=(3 a a， 3OB =( — 3, 3 3，又 aOA+ 3OB =(3 a— 3, a+3 3， I X =3*^ — P 二(x, y)= (3a— 3 a+ 33，；$ n , [y =a +3卩 又a+ 3= 1,因此得x+ 2y= 5,所以选D . 思维延伸：本题主要考查向量法和坐标法的相互关系及转换方法. I I 例2. (2003年江苏卷)已知常数a>0,向量c=(0, a),i = (1, 0),经过原点 O以 c+Xi为方向向量的直线与经过定点 A(0, a)以i — 2Xc为方向向量的直线相交于 点P,其中疋R,试问是否存在两个定点E, F，使得|PE| + |PF|为定值？若存在， 求出E, F的坐标；若不存在，说明理由. 要点精析：本题考查平面向量的概念和计算、求轨迹的方法、椭圆的方程和性质、利用方程判定曲线的性质、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力. 解：根据题没条件，首先求出点P满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得P到两定点的距离之和为定值. 因为1=(° 0), c = (0, a), 所以 c + xi =( X, a), i — 2 入c = (1, — 2 Xa). 因此直线OP和AP的方程分别为?y=ax和y— a= — 2 Xx,
线段的定比分点公式的应用 一、难点知识剖析 （一）、在运用线段的定比分点坐标公式时，要注意(x 1，y 1)是起点的坐标，(x 2，y 2)是终点的坐标，(x ，y)表示分点的坐标，在每个等式中涉及到四个不同的量，它们分别表示三个坐标和定比λ，只要知道其中任意三个量，便可求第四个量． （二）、如何确定定比分点坐标公式中的λ 1、由坐标确定：分点坐标 终点坐标起点坐标 分点坐标--=--=--= y y y y x x x x 2121λ 2、由12 PP PP λ= 确定：先求||||21PP =λ2 1PP =λP 1与2PP 的方向决定λ的符号． 例：设点P 1（),11y x ，),(222y x P ，点P 是直线 21P P 上任意一点，且满足 1 2PP PP λ= ，求点P 的坐标. （三）、特殊情况的分析 1、λ＝0时，分点P 与起点P 1重合 2、λ＝1时，分点P 为线段P 1P 2的中点 3、λ不可能等于－1（若λ＝－1，则P 1、P 2重合，与P 1P 2为线段矛盾） ∴λ∈(－∞，－1)∪(－1，＋∞) 4、无论λ取何实数（当然λ≠－1）分点P 不可能与终点P 2重合 二、例题讲解 例1、已知点A 分有向线段的比为2，求下列定比λ：（1）A 分的比；（2）B 分的比；（3）C 分的比．
分析：本题直接用公式计算不太方便，若画出图表就一目了然． 解答：因为A分的比为2，所以A在BC之间，且|BA|＝2|AC|（如图所示） 例2、已知P分所成的比为λ，O为平面上任意一点，． 求证：线段定比分点向量公式 证明：∵P分所成比为λ， 例3、已知三点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D点内分的比为，E在BC上，且使△BDE的面积是△ABC面积的一半，求向量的坐标．（提示：三角形面积等于两边与其夹角正弦乘积的一半） 分析：要求的坐标，就要求D点的坐标，也要求E点的坐标．由于E点在线段BC上，且已知B、C两点的坐标，因此我们只要能确定E分有向线段的比，应用定比分点公式就能求出E点的坐标，将E点坐标减去D点的坐标就可得到向量． 解答：如图所示，
（3）定比、定比分点公式 一、教学内容分析 本节是的第三节课，是学习向量坐标表示及运算、向量的模与平行之后的又一个新的知识点.它既是对前两节内容复习与巩固，又是对向量知识的进一步深化与拓展，如式子 12PP PP λ=中的λ由实数推广到定比.同时，经历定比分点公式的推导过程，让学生领悟定比分点的多元化表示方法. 本节的教学重点是定比分点公式的形成、深化、拓展与应用.难点是定比λ的理解、确定及定比分点公式中分点、始点、终点坐标位置的识别. 根据本节特点，教师采取启发、提问为主的教学方法；学生则进行自主学习.即课前进行主动预习，课中进行讨论与交流，课后进行探索研究. 二、教学目标设计 1理解定比的概念，掌握定比分点公式； 2通过定比分点公式的推导过程，巩固向量的运算方法； 感悟定比分点的几种表达方式； 3通过本节的学习，提升发现能力、推理能力，渗透数形结合 思想. 三、教学重点及难点 定比的概念，定比分点公式的推导和应用. 四、教学流程设计
五、教学过程设计 一、 情景引入 观察思考，引入新课 问题1：设)1,2(A ，)1,2(--B ，)2,4(C 三点共线，可知BA ∥AC ，即存在实数λ，使BA = λAC ??，那么实数λ= . 而若?BC CA λ=，则λ= . [说明]（1）本问题由共线三点坐标求实数λ，它既是对前一节向量平行的复习与巩固，同时又为定比λ的产生作好铺垫（2）通过本题可以看出使两向量平行的实数λ的取值可正可负. 问题2：设1P （1，1），2P (4,4), λ=1.当12PP PP λ=时，你能求出点P 的坐标吗（引出课题） [说明]问题2是由共线三点中的两点坐标和定比λ的值求第三点坐标，本题给出的点具有一定的特殊性，这样便于学生利用数形结合思想猜出结果，尝试成功的快乐. 二、学习新课 1．定比分点公式
线段的定比分点 年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____ 一、选择题(共12题，题分合计60分) 1.已知点A分有向线段的比为2，则在下列结论中错误的是 A.点C分的比是-3 1 B.点C分的比是-3 C.点C分的比是- 3 2 D.点 A分的比是2 2.已知两点P １（－１，－６）、P２（３，０），点P（－ 3 7 ，ｙ）分有向线段2 1 P P所成的比为λ，则λ、y的值为A.－4 1 B.4 1 C.－4 1 D.４，8 1 3.点A(m,n)关于点B(a,b)对称点的坐标 A.(-m,-n) B.(a-m,b-n) C.(a-2m ,b-2n) D.(2a-m,2b-m)
4.已知P １（４，-３），P ２（－２，６）且｜P 1｜＝２｜2PP ｜，点P 在线段P １P ２上，则P 点坐标为 A.(0，3) B .(3，0) C.(3，3) D.(1，3) 5.若点P 分所成的比为43 ,则A 分所成的比是 A.73 B.37 C.-37 D.-73 6.向量a 与b (b ≠0)共线的充要条件是 A.a =b B .a -b =0 C.a 2-ｂ２ ＝０ D.a +λb =0(λ∈Ｒ) 7.已知||=10,|AC |=7，则|BC | A.(３，１７) B.（３，１７） C.(３，１０) D.（３，１０） 8.已知=(2,8),=(-7,2),则31 等于 A.(3，2) B .(310 ,35- -) C.(-3,-2) D.(35-,4) 9.已知点A (x ,5)关于点C (1，y )的对称点是B (-2,-3)，则点P (x ,y )到原点的距离为 A.4 B.13 C.15 D.17 10.△ABC 的两个顶点A (3，7)和B (-2，5)，若AC 的中点在x 轴上，BC 的中点在y 轴上，则顶点C 的坐标是 A.(2，-7) B .(-7，2) C.(-3，-5) D.(-5，-3) 11.已知P 点分有向线段所成的比为31 ，则点B 分有向线段所成的比为 A.4 3 B .3 4 C.-3 4 D.-43 12.点P 在线段 21P P 1=2=，则点P 分21P P 所成的比为 A.2 B.31 C.32- D.23 - 二、填空题(共11题，题分合计44分)
课题：线段的定比分点． 目的：掌握有向线段的定比分点和线段的中点公式，并能简单应用． 重点、难点：线段的定比分点． 过程： 一、复习引入 前面我们学习了有向直线，有向线段，有向线段的长度，有向线段的数量等许多概念和符号．今天我们想在此基础上跟大家讨论线段的定比分点． 二、新授 1．定义：有向直线l 上的一点P ，把l 上的有向线段21P P 分成两条有向线段P P 1和2PP ．P P 1和2PP 数量的比叫做点P 分21P P 所成的比，通常用字母λ来表示这个比值，2 1PP P P = λ，点P 叫做21P P 的定比分点． 2．说明： （1）21P P 是在过两点1P 、2P 的一条有向直线上的有向线段，1P 是起点，2P 是终点； （2）P P 1是以1P 为起点，P 为终点；2PP 是以P 为起点，2P 为终点．顺序不能颠倒，否则λ的值就会随之改变；（为了联系紧密，P 为分点，∴2 1PP P P =λ中，P P →1，2P P →，就是起点→分点，分点→终点．） （3）21PP P P 不是线段的长度之比，而是有向线段的数量之比，这个比与过21P P 的有向直线无关； （4）在2 1PP P P 中，分子是由线段的起点1P 到分点P 的有向线段P P 1的数量，分母是由分点P 到终点2P 的有向线段2PP 的数量． 请思考，点P 分21P P 所成的比和点P 分12P P 所成的比有何关系． 3．练习：如图，求点B 分AC ，点B 分CA ，点C 分AB ，点C 分BA ，点A
分BC ，点A 分CB 所成的比．（23，32，25-，52-，53-，3 5-） 由此回答：（1）P 分21P P 的比与P 分12P P 的比互为倒数；（2）λ的符号与点P 的位置有关． 4．小结：若点P 在线段21P P 上，点P 叫做21P P 的内分点，此时0>λ；若点P 在线段12P P 或21P P 的延长线上，点P 叫做21P P 的外分点，此时0<λ． 三、解几的基础是坐标系、点的坐标，那么我们怎样求定比分点的坐标呢？ 问题：设21P P 的两个端点分别为),(111y x P 和),(222y x P ，点P 分21P P 所成的比为λ（1-≠λ），求分点P 的坐标),(y x ． 分析：过点1P 、2P 、P 分别作x 轴的垂线11M P 、22M P 、PM ，则垂足分别是)0,(11x M 、)0,(22x M 、)0,(x M ．根据平行线分线段成比例定理，得 2121MM M M PP P P =． 如果点P 在线段21P P 上，那么点M 也在线段21M M 上；如果点P 在线段21P P 或12P P 的延长线上，那么点M 也在线段21M M 或12M M 的延长线上．因此2 1PP P P 与21MM M M 的符号相同，所以21PP P P =21MM M M ． ∵11x x M M -=，x x MM -=22，∴x x x x --=21λ， 即21)1(x x x λλ+=+，当1-≠λ时，得λ λ++= 121x x x ． 同理可以求得y y y y --=21λ，λλ++=121y y y ． 因此，当已知两个端点为),(111y x P 、),(222y x P ，点),(y x P 分21P P 所成的比为λ时，点P 的坐标是
线段的定比分点 南宁二中 陈芬 教学重点：1、准确理解和掌握定比分点的有关概念； 2、掌握定比分点坐标公式及其推导方法与应用。 教学难点：1、定比分点的有关概念及定比分点坐标公式的推导方法； 2、暴露公式推导中所蕴涵的数学思想与方法。 教学目标 ⑴掌握定比分点的有关概念、定比分点坐标公式及公式的推导方法和应用。 ⑵领悟到公式推导中蕴涵的数学思想，并在推导过程中培养学生的思维能力 和创新能力，以及对知识的应用能力。 ⑶感悟如何去分析问题、提出问题并解决问题的思维过程，学会自主学习。 ⑷培养学生勇于探究、善于探究的精神，从而养成学生良好的数学学习品质。 教学方式：启发式、探究式 教具使用：多媒体 教学过程： 一、设置情景 中国驻南极的科考站派出的科考车在科考站附近的两个地点1P 、2P 之间进行实地考察（如图），1P 在科考站北偏西距离10公里的地方，2P 在科考站北偏东距离20公里的地方。科考车按一定速度从1P 到2P 直线行驶需3个小时。一天，科考站收到消息，科考车从1P 出发2小时到P 处时出现故障，现从科考站派出的救援车若按一定速度行驶，则应朝哪个方向行驶可最快赶往出事点P 处？ 西南
二、探究引入与揭示课题 问题一： 针对以上实际问题，请同学们提炼出一个数学模型。（展示学生的成果） ①已知点),(111y x P 、),(222y x P ，有一点P 使 k PP P P =2 1，求P 点坐标 ②已知点),(111y x P 、),(222y x P ，直线21P P 上有一点P 使 k PP P P =21，求P 点坐标 ③已知点),(111y x P 、),(222y x P ，线段21P P 上有一点P 使k PP P P =2 1，求P 点坐标 问题二： 哪几个表述是可以解决的？ （通过分析，学生会发现只有③可以确定解决，①解决不了，而②包含有两种情况，其中一种就是③，那另一种情况呢？引导学生对②进行分类，得出以下两种表述） ④已知点),(111y x P 、),(222y x P ，线段21P P 延长线上有一点P 使k PP P P =2 1，求P 点 坐标 ⑤已知点),(111y x P 、),(222y x P ，线段21P P 反向延长线上有一点P 使 k PP P P =2 1，求P 点坐标 问题三： ③④⑤的表述有哪些异同？可以用什么更简洁的表述形式来代替这些表述？ （引导学生归纳出：③④⑤的表述都可用下面的形式代替就） 21PP P P λ= 问题四： λ取何值时分别代表③④⑤的意义？ 点P 在线段21P P 上?0>λ； 点P 在线段21P P 延长线上?1-<λ； 点P 在线段21P P 反向延长线上?01<<-λ
基础练习 一.选择题 1.连接()().2,3,4,3-B A 所成线段中点坐标为。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 [ ] A.()0,3 B.()3,0 C.??? ??21,25 D.?? ? ??25,21 2.设()()P P P ,5,0,1,221-在21P P 延长线上,=则点P 坐标为。。。。。。。。[ ] A.()11,2- B.??? ??3,43 C.?? ? ??3,32 D.()7,2 3.已知()()y Q P ,3,2,9,4--轴与线段PQ 交点为M ,则M 分所成的比为。。。。。[ ] A. 31 B.2 1 C.2 D.3 4.已知三点()()3,2,5,1,29,4521M M M ?? ? ??共线,则M 分21M M 所成比为。。。。。。。。。。[ ] A.3 B.3- C.31 D.3 1 - 5.若,31 =有,λ=那么实数λ等于。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。[ ] A.43 B.34 C.34- D.4 3- 6.设,λ=当点P 在线段AB 反向延长线时,λ的取值范围是。。。。。。。。。。。。。。 [ ] A.()+∞,0 B.()0,1- C.()1,-∞- D.()0,∞- 7.正方形ABCD 相对顶点D B ,的坐标分别为()(),5,2,1,0-则顶点C A ,的坐标分别 为。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。[ ] A.()()3,2,1,4- B.()()1,3,3,1- C.()()1,4,2,3- D.()()1,2,3,4- 二.填空题 1.ABC ?顶点分别是()()()y C x B A ,5,2,,5,7--.重心为()1,2G .则__________,==y x 2.已知()()()x C B A .5,8,4,2,1--三点共线,则点C 分有向线段AB 所成比_______=λ； ______=x 3.点()6,3-P 与()3,7-'P 关于点____________ 对称。 4.已知三角形的两个顶点()()4,6,3,10--B A ,它的重心是(),3,2-M 则这个三角形的顶点 C 的坐标为____________ 。 5.已知()(),5,1,1,4--B A 点C 在直线AB 上,且,6 1 -=则点C 坐标为________
线段的定比分点 教学目标 1.学生通过学习、研究，弄清定比、定比分点的意义，特别是分点的位置与λ的对应关系. 2.培养学生掌握转化、联想和类比等重要数学思想方法，提高学生研究问题的能力. 教学重点与难点 线段定比分点公式的猜想、鉴赏及其应用是教学重点，正确理解线段定比分点中定比λ与分点位置的对应是教学难点. 教学过程 师：请说出：1.有向线段、有向线段的长度、有向线段数量的意义，并举例说明以上三者的表示方法；2.说出有线段数量公式；3.平行线分线段成比例定理. 生：(略). 师：在有向直线l 上任取一点P ，把l 上的有向线段21P P 分成两条有向线段P P 1和2PP ，怎样表示这两条有向线段的比?怎样表示这两条有向线段长度的比?又怎样表示这两条有向线段数量的比? 生： 2 1PP P P 、 2 1PP P P 、 2 1PP P P 、分别表示这两条有向线段的比、长度经和数量比. 师：请同学们一定要分析清这三者之间的区别与联系.下面我们学习： 1.线段定比分点(板书)这一重要概念. (用投影片打出) “有向直线l 上的一点P ，把l 上的有向线段21P P 分成两条有向线段P P 1和2PP .P P 1和 2PP 数量的比叫做点P 分21P P 所成的比，通常用字母λ来表示这个比值， λ= 2 1PP P P 点P 点做P 1P 2的定比分点.” 师：在λ= 2 1PP P P 中，它是以线段P 1为起点，分点P 为终点的有向线段的数量P 1P 与以分点P 为起点，线段的终点P 2为终点的有向线段PP 2数量之比，为了记忆，我们把它写成λ= 终 分分 起→→，这个顺序不能颠倒. 2.内分点和外分点(板书) 师：下面我们来分析定比分点P 的位置，与之对应的比λ与实数R 之间的一一对应关系. 请看下图：
1 §5.5 线段的定比分点 教学目标： 1.通过在教师引导下的自学，使学生了解线段定比分点坐标公式的由来，初步形成 一个知识网络； 2.理解并掌握线段的定比分点中定比λ的含义、分点的坐标公式及中点坐标公式， 会简单应用； 3.了解线段的定比分点坐标表示形式，为进一步应用作好铺垫； 教学重点：线段定比分点中定比λ值的确定，线段定比分点坐标公式的理解、记忆和灵活运用； 教学难点：使用线段的定比分点坐标公式时，对定比λ值的确定及分点位置的判断；线 段定比分点坐标公式的灵活应用，知识网络的形成； 教学过程： 一.复习回顾： 1.向量共线的充要条件： 若有向量a (0a ≠)、b ，实数λ，使b a λ=，则a 与b 为共线向量； 2.向量的坐标表示：已知11(,)A x y ，22(,)B x y ，求AB 的坐标. 2211(,)(,)AB x y x y =-2121(,)x x y y =--． 二.线段的定比分点定义（新课讲解） 1.12,P P 是直线l 上的两点，P 是l 上不同于12,P P 的任一点，存在实数λ，使12PP PP λ=， λ叫做点P 分12PP 所成的比.师生共研究λ的正负. “显然，当点P 在线段12PP 上时，0λ>；当点P 在线段12PP 或21P P 的延长线上时， 0λ<”为什么“显然”？请用一句话概括定比分点P 的位置与λ符号的关系. 理论根据是：当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；定比分点P 的位置与λ符号的关系是内分为正，外分为负。 2.定比λ的值如何确定？ 确定定比λ的方法：|λ|的确定方法是，起点到分点的线段长比上分点到终点的线段 长；若P 点是内分点，则λ＞0，若P 点是外分点，则λ＜0． 即|λ|=12|||| PP PP 练习:如图，点B 分有向线段AC 的比为 ，点C 分有向线段AB 的比为 ，点A 分有向线段BC 的 。 A B C 3 252-35-
8.1（3）定比、定比分点公式 一、教学内容分析 本节是8.1的第三节课，是学习向量坐标表示及运算、向量的模与平行之后的又一个新的知识点.它既是对前两节内容复习与巩固，又是对向量知识的进一步深化与拓展，如式子 12PP PP λ= 中的 λ由实数推广到定比.同时，经历定比分点公式的推导过程，让学生领悟定比分点的多元化表示方法. 本节的教学重点是定比分点公式的形成、深化、拓展与应用.难点是定比λ的理解、确定及定比分点公式中分点、始点、终点坐标位置的识别. 根据本节特点，教师采取启发、提问为主的教学方法；学生则进行自主学习.即课前进行主动预习，课中进行讨论与交流，课后进行探索研究. 二、教学目标设计 1理解定比的概念，掌握定比分点公式； 2通过定比分点公式的推导过程，巩固向量的运算方法； 感悟定比分点的几种表达方式； 3通过本节的学习，提升发现能力、推理能力，渗透数形结合思想. 三、教学重点及难点 定比的概念，定比分点公式的推导和应用. 四、教学流程设计
五、教学过程设计 一、 情景引入 观察思考，引入新课 问题1：设)1,2(A ，)1,2(--B ，)2,4(C 三点共线，可知BA ∥AC ，即存在实数λ，使BA = λAC ，那么实数λ= . 而若 BC CA λ= ，则λ= . [说明]（1）本问题由共线三点坐标求实数λ，它既是对前一节向量平行的复习与巩固，同时又为定比λ的产生作好铺垫（2）通过本题可以看出使两向量平行的实数λ的取值可正可负. 问题2：设1P （1，1），2P (4,4), λ=1.当12PP PP λ= 时，你能求出点 P 的坐标吗？（引出课题） [说明]问题2是由共线三点中的两点坐标和定比λ的值求第三点坐标，本题给出的点具有一定的特殊性，这样便于学生利用数形结合思想猜出结果，尝试成功的快乐. 二、学习新课
一、圆锥曲线的中点弦问题： 遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中，以 为中点的弦所在直线的斜率k=－；在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=。比如： ①如果椭圆弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程 是（答：）； ②已知直线y=－x+1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x－2y=0上，则此椭圆的离心率为_______（答：）； ③试确定m的取值范围，使得椭圆上有不同的两点关于直线对称（答：）；
特别提醒：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验！ 二圆锥曲线的几何性质：你了解下列结论吗？ （1）双曲线的渐近线方程为； （2）以为渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为 为参数，≠0）。 如与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线方程为_______（答： ） （3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为； （4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为，焦准距（焦点到相 应准线的距离）为，抛物线的通径为，焦准距为； （5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦； （6）若抛物线的焦点弦为AB，，则 ①；② （7）若OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB 恒经过定点 三．动点轨迹方程：
（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围； （2）求轨迹方程的常用方法： ①直接法：直接利用条件建立之间的关系； 如已知动点P到定点F(1,0)和直线的距离之和等于4，求P的轨迹方程．（答： 或）； ②待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。 如线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0），端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程 为（答：）； ③定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程； 如(1)由动点P向圆作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=600，则动点P的轨迹方程为（答：）；（2）点M与点F(4,0)的距离比它到直线的距离小于1，则点M的轨迹方程是_______ （答：）； (3) 一动圆与两圆⊙M：和⊙N：都外切，则动圆圆心的轨迹为（答：双曲线的一支）； ④代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且 又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨迹方程； 如动点P是抛物线上任一点，定点为,点M分所成的比为2，则M的轨迹方程为__________（答：）； ⑤参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。
浅谈解析几何中的定比分点 解析几何是我们高中阶段的重要内容，很多同学怕解析几何，说到底是怕解析几何中的计算，特别是方法用得好不好会直接影响到计算的繁简，而定比分点是我们解析几何中十分重要的一块内容，无论是课本还是平时的练习题，定比分点内容都占一定的比重，定比分点用得好会简化较多的计算。 定比分点用法较多，大体分为：直接与间接。直接用法有三种： 1、定义直接用：AP PB λ=u u u r u u u r （采用向量来解决） 例如 在?OAB 中，,OA a OB b ==u u u r r u u u r r ，OD 是AB 边上的高，若AD AB λ=u u u r u u u r ，则实数λ等于 （ ） A 2()a b a b a ?--r r r r r B 2()a a b a b ?--r r r r r C ()a b a b a ?--r r r r r D () a a b a b ?--r r r r r 本题直接采用向量来解答： AD AB λ=u u u r u u u r ? ()OD OA OB OA λ-=-u u u r u u u r u u u r u u u r ? (1)OD OB OA λλ=+-u u u r u u u r u u u r 0OD AB =u u u r u u u r g ? 2()a a b a b λ?-=-r r r r r 2、直接用公式 1A B p x x x λλ +=+ 1A B p y y y λλ += +； 3、直接用向量相等 , ( )(,)P A B P P A B P y y y y x x x x λ--=--。 直接用定义做的题比较少，因为直接用定义，不能较好训练学生的思维，采用间接的题型比 较多，大致有以下几种： 一、 将线段比转化为定比分点 例如：已知 1(4,3)P -,2(2,6)P -，且 122PP PP =，求适合条件的点P 坐标。 分析：这种题较简单，解题过程不赘述，这是典型的将线段转化为定比分点来解决。 二、将定比分点转化为线段的比，从而用几何法解题。 例如：设椭圆E ：2 211 x y m +=+ 的两个焦点是1(,0)F c -与2(,0)F c （0c >），且椭圆上存在一