§2.2 矩阵的运算
1.矩阵的加法定义：设有两个n m ?矩阵)(),(ij ij b B a A ==,那么矩阵A 与B 的和记作A +B ,规定为
n m ij ij b a B A ?+=+)(
设矩阵)(),(ij ij a A a A -=-=记,A -称为矩阵A 的负矩阵.显然有 0)(=-+A A . 规定矩阵的减法为)(B A B A -+=-.
2.数与矩阵相乘定义:数λ与矩阵)(ij a A =的乘积记作A λ，规定为n m ij a A ?=)(λλ 由数λ与矩阵A 的每一个元素相乘。
数乘矩阵满足下列运算规律（设B A ,为同型矩阵，μλ,为数）： )(i )()(A A μλλμ=
)(ii A A A μλμλ+=+)(
)(iii B A B A λλλ+=+)(
3.矩阵与矩阵相乘定义:设)(ij a A =是一个s m ?矩阵,)(ij b B =是一个n s ?矩 那么规定矩阵A 与矩阵B 的乘积是一个n m ?矩阵)(ij c C =,其中),,2,1;,,2,1(,12211n j m i b a b a b a b a c kj s
k ik sj is j i j i ij ===+++=∑=
并把此乘积记作AB C =，两矩阵相乘，要求左边距阵的列等于右边矩阵的行，乘积的矩阵的行与左边的行相同，列与右边的列相同。
例3：求矩阵????
? ??-=???? ??-=043211,012301B A 的乘积BA AB 及. 解 ????
? ??--=???? ??--=1204638311,50113BA AB 从本例可以看出AB 不一定等于BA ,即矩阵乘法不满足交换律 注:若有两个矩阵B A 、满足0=AB ,不能得出00==B A 或的结论,即矩阵乘法不满
足消去律.
矩阵的乘法满足下列结合律与分配律
)(i )()(BC A C AB =
)(ii 为数）
其中λλλλ(),()()(B A B A AB == )(iii CA BA A C B AC AB C B A +=++=+)(,)(
对单位矩阵E ,易知
n m n n m n m n m m A E A A A E ????=?=,
可简记为 A AE EA ==
4.矩阵的转置的定义：把矩阵A 的行列交换得到一个新矩阵,叫做A 的转置矩阵,记作T A
矩阵的转置运算满足下述运算规律(假设运算都是可行的) )(i A A T T =)(
)(ii T T T B A B A +=+)(
)(iii T T A A λλ=)(
)(iv T T T A B AB =)(
5.对称矩阵与反对称矩阵的定义：设A 是n 阶方阵,如果满足A A T =,即),,2,1,(,n j i a a ji ij ==则称A 是对称矩阵.对称矩阵的特点是:它的元素以对角线
为对称轴对应相等. 如果满足A A T
-=,即???=≠-=0)(ii ji ij a j i a a 则称A 是反对称矩阵.反对称矩阵的特点是:它的元素以对角线为对称轴对应相反
6.方阵的行列式：由n 阶矩阵A 的元素构成的行列式（各元素位置不变），称为矩阵A 的行列式，记作A 或A det
设A ，B 为n 阶方阵，λ为数，则有下列等式成立：
B A AB A A A A n T ===;;λλ
例4：设A 是n 阶反对称矩阵，B 是n 阶对称矩阵，证明：BA AB +是n 阶反对称矩阵
证明：)()()()()()(,BA AB B A A B B A A B BA AB BA AB B
B A A T T T T T T T T T +-=-+-=+=+=+∴=-=
所以结论成立
例5：设A 是n 阶方阵，满足E AA T =,且1-=A ，求E A + 解：由于A E A E A E A A E A AA A E A T T T T +-=+-=+=+=+=+)( 所以02=+E A ，即E A +=0
§2.3矩阵的逆
7.逆矩阵：对于n 阶矩阵A ，如果有一个n 阶矩阵B ，使E BA AB ==，则称矩阵A 是可逆的，并把B 称为A 的逆矩阵。A 的逆矩阵记为1-A 注意：若A 可逆，则A 的逆唯一
设C B ,都是A 的逆矩阵，则一定有C EC C BA AC B BE B =====)()(
8.伴随矩阵:设)(ij a A =是n 阶方阵, ij A 为行列式A 的各元素ij a 的代数余子式.
记?????
???????=nn n n n n A A A A A A A A A A 2122221
11211*,称*A 为A 的伴随矩阵. 有行列式的按行(列)展开定理,我们可以证明E A A A AA ==**
9.定理:若矩阵A 是n 阶方阵，则A 可逆的充要条件是0≠A ，且A A A *1
=-,其中*A 是A 的伴随矩阵。
证：必要性：A 可逆，即有1-A ，使E AA =-1，故11==-E A A 所以0≠A 充分性：设0≠A ，由伴随矩阵的性质，有E A A A AA ==** 因0≠A ，则E A A A A A A ==**,这说明A 是可逆的，且A
A A *1=-
证 由例1知：E A A A AA ==** 因0≠A ，故有E A A A
A A A ==**11 所以有逆矩阵的定义，既有*11A A A =
- 10.推论：若E AB =（或E BA =），则1-=A B 证 1==E B A ，故0≠A ，因而1-A 存在，且1111)()(----=====A E A AB A B A A EB B
11.方程的逆矩阵满足下述运算规律
①若A 可逆，则1-A 也可逆，且A A =--11)( ②若A 可逆，数0≠λ，则A λ可逆，且111
)(--=A A λλ
③若B A .为同阶矩阵且均可逆，则B A .也可逆，且111)(---=A B AB ④若A 可逆，则1-A 也可逆，且1
1--=A A ⑤若A 可逆，则T A 也可逆，且T T A A )()(11--= ⑥设),,(21n diag A λλλ =是对角矩阵,则A 可逆的充要条件是)2,1(0n i i =≠λ，且),,(112111----=n diag A λλλ .
例2 求方程????? ??=343122321.A 的逆矩阵
解 023********≠=?+?+?=A A A A ，知1-A 存在
2.11=A 6.21=A 4.31-=A
3.12-=A 6.22-=A 532=A
2.13=A 2.23=A 2.33-=A
于是.A 的伴随矩阵为
????? ??----=222563462.*A ,所以?????? ??----==-1112532323
11.*1A A A
注：利用伴随矩阵法求逆矩阵的主要步骤是
1. 求矩阵.A 的行列式A ，判断.A 是否可逆；
2. 若1.-A 存在，求.A 的伴随矩阵*.A ；
3. 利用公式*11A A A =
-，求1.-A 小结与提问:
小结：本讲介绍了方程的行列式、逆矩阵及其求法 提问：求逆矩阵应注意什么？
课外作业:
P62 8. 9. 13. 15.
线性代数 第二节逆矩阵及其运算 一、逆矩阵的概念和性质五、初等变换求逆矩阵 四、矩阵的初等变换和初等矩阵二、矩阵可逆的条件三、用伴随矩阵法求逆矩阵
线性代数 （或称的逆）；其中为的倒数， a 1 1 a a -=a , 1 1 1aa a a --==在数的运算中，对于数，有 是否存在一个矩阵,. 1 1 AA A A E --==在矩阵的运算中,单位矩阵E 相当于数的乘法运算中 的1， 那么，对于矩阵A ，1 A -使得一、逆矩阵的概念和性质 0a ≠
线性代数 对于n 阶矩阵A ，如果有一个n 阶矩阵B ,使得 则说矩阵A 是可逆矩阵或非奇异矩阵，并把矩阵B 称为A 的逆矩阵，否则称A 是不可逆矩阵或奇异矩阵。 , AB BA E ==例1设,01011010A B -????== ? ?-???? ,AB BA E ==∴B 是A 的一个逆矩阵。 定义1（可逆矩阵）
线性代数 例1 设,2110A ?? = ? -?? 解 设是A 的逆矩阵,a b B c d ?? = ? ??则2110a b AB c d ????= ???-????1001?? = ? ?? 221001a c b d a b ++?????= ? ?--????求A 的逆矩阵
线性代数 ,,,, 212001a c b d a b +=??+=??? -=??-=?, ,,. 0112a b c d =??=-??? =??=?又因为 ??? ??-01120112-?? ?????? ??-0112=0112-?? ???,1001?? = ??? 所以 .1 0112A --?? = ? ?? A B A B (待定系数法)
逆矩阵的几种常见求法 潘风岭 摘 要 本文给出了在矩阵可逆的条件下求逆矩阵的几种常见方法，并对每种方法做了具体的分析和评价,最后对几种方法进行了综合分析和比较. 关键词 初等矩阵； 可逆矩阵 ； 矩阵的秩； 伴随矩阵； 初等变换． 1． 相关知识 1.1 定义1 设A 是数域P 上的一个n 级方阵，如果存在P 上的一个n 级方阵B ，使得AB=BA=E,则称A 是可逆的，又称A 是B 的逆矩阵．当矩阵A 可逆时，逆矩阵由A 唯一确定，记为1-A ． 定义2 设()ij n n A a ?=,由元素ij a 的代数余子式ij A 构成的矩阵 11 2111222212n n n n nn A A A A A A A A A ?? ? ? ? ??? 称为A 的伴随矩阵，记为A *. 伴随矩阵有以下重要性质 AA *= A *A=A E. 注:注意伴随矩阵中的元素ij A 的排列顺序. 1．2 哈密尔顿-凯莱定理
设A 是数域P 上的一个n n ?矩阵，f A λλ=E-（）是A 的特征多项式， 则 11122()10n n n nn f A A a a a A A E -=-++ ++ +-=（）（） (证明参见[1]） ． 1.3 矩阵A 可逆的充要条件 1.3.1 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是A 0≠（也即()rank A n =）; 1.3.2 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是A 可写成一些初等矩阵的乘积（证明参见[1]）； 1.3.3 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是A 可以通过初等变换（特别只通过初等行或列变换）化为n 级单位阵（证明参见[1]）； 1.3.4 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是存在一个n 级方阵B ，使得AB=E （或BA=E ）； 1.3.5 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是A 的n 个特征值全不为0；（证明参见[2]）； 1.3.6 定理 对一个s n ?矩阵A 作一初等行变换就相当于在A 的左边乘上相应的s s ?初等矩阵；对A 作一初等列变换就相当于在A 的右边乘上相应的n n ?初等矩阵.（证明参见[1]） 2．矩阵的求逆 2.1 利用定义求逆矩阵 对于n 级方阵A ，若存在n 级方阵B ，使AB=BA=E ，则1B A -=.
§2.2 矩阵的运算 1.矩阵的加法定义：设有两个n m ?矩阵)(),(ij ij b B a A ==,那么矩阵A 与B 的和记作A +B ,规定为 n m ij ij b a B A ?+=+)( 设矩阵)(),(ij ij a A a A -=-=记,A -称为矩阵A 的负矩阵.显然有 0)(=-+A A . 规定矩阵的减法为)(B A B A -+=-. 2.数与矩阵相乘定义:数λ与矩阵)(ij a A =的乘积记作A λ，规定为n m ij a A ?=)(λλ 由数λ与矩阵A 的每一个元素相乘。 数乘矩阵满足下列运算规律（设B A ,为同型矩阵，μλ,为数）： )(i )()(A A μλλμ= )(ii A A A μλμλ+=+)( )(iii B A B A λλλ+=+)( 3.矩阵与矩阵相乘定义:设)(ij a A =是一个s m ?矩阵,)(ij b B =是一个n s ?矩 那么规定矩阵A 与矩阵B 的乘积是一个n m ?矩阵)(ij c C =,其中),,2,1;,,2,1(,12211n j m i b a b a b a b a c kj s k ik sj is j i j i ij ===+++=∑= 并把此乘积记作AB C =，两矩阵相乘，要求左边距阵的列等于右边矩阵的行，乘积的矩阵的行与左边的行相同，列与右边的列相同。 例3：求矩阵???? ? ??-=???? ??-=043211,012301B A 的乘积BA AB 及. 解 ???? ? ??--=???? ??--=1204638311,50113BA AB 从本例可以看出AB 不一定等于BA ,即矩阵乘法不满足交换律
逆矩阵的几种求法与解析 矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 1.利用定义求逆矩阵 定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用. 例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA 是可逆矩阵, 且 （E-A ）1-= E + A + A 2+…+A 1-K 证明 因为E 与A 可以交换, 所以 (E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K , 因A K = 0 ,于是得 (E-A)（E+A+A 2+…+A 1-K ）=E ， 同理可得（E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E ， 因此E-A 是可逆矩阵,且 (E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K . 同理可以证明(E+ A)也可逆,且 (E+ A)1-= E -A + A 2+…+（-1）1-K A 1-K . 由此可知, 只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵. 例2 设 A =? ? ?? ? ???? ???0000 30000020 0010,求 E-A 的逆矩阵. 分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵. 解 容易验证
A 2 =????????? ???0000000060000200， A 3=? ? ?? ? ? ? ?? ???00000000 00006000 ， A 4=0 而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以 (E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3= ? ? ?? ? ???????1000 31006210 6211. 2.初等变换法 求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21Λ使 （1）s p p p Λ21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得： （2） s p p p Λ21I= A 1- 比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-. 用矩阵表示（A I ）??? →?初等行变换 为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵. 例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=???? ? ?????521310132. 解 [A I]→??????????100521010310001132→???? ? ?????001132010310100521 → ??????????--3/16/16/1100010310100521→???? ??????-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001
求逆矩阵的方法与矩阵的秩 一、矩阵的初等行变换 （由定理2.4给出的求逆矩阵的伴随矩阵法，要求计算矩阵A 的行列式A 值和它的伴随矩阵*A .当A 的阶数较高时，它的计算量是很大的，因此用伴随矩阵法求逆矩阵是不方便的.下面介绍利用矩阵初等行变换求逆矩阵的方法.在介绍这种方法之前，先给出矩阵初等行变换的定义.） 定义2.13 矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换： (1) 将矩阵中某两行对换位置； (2) 将某一行遍乘一个非零常数k ； (3) 将矩阵的某一行遍乘一个常数k 加至另一行. 并称(1)为对换变换，称(2)为倍乘变换，称(3)为倍加变换. 矩阵A 经过初等行变换后变为B ，用 A →B 表示，并称矩阵B 与A 是等价的. （下面我们把）第i 行和第j ， ”；把第i 行遍乘k k ”；第j 行的k 倍加至第i 为“ + k ”. 例如，矩阵 A = ????? ?????321321321c c c b b b a a a ???? ? ?????321 3 21321 c c c a a a b b b ???? ??????32 1 321321c c c b b b a a a ???? ? ?????32 1321321 kc kc kc b b b a a a ???? ? ?????32 1 321321 c c c b b b a a a ??? ? ? ??? ??+++32 1 332 2113 21 c c c ka b ka b ka b a a a （关于初等矩阵内容请大家自己阅读教材） 二、运用初等行变换求逆矩阵 由定理2.7的推论“任何非奇异矩阵均能经过初等行变换化为单位阵”可知，对于任意一个n 阶可逆矩阵A ，经过一系列的初等行变换可以化为单位阵I ，那么用一系列同样的初等行变换作用到单位阵I 上，就可以把I 化成A -1.因此，我们得到用初等行变换求逆矩阵的方法：在矩阵A 的右边写上一个同阶的单位矩阵I ，构成一个n ?2n 矩阵 ( A , I )，用初等行变换将左半部分的A 化成单位矩阵I ，与此同时，右半部分的I 就被化成了1-A .即 ( A , I )初等行变换 ?→???( I , A -1 ) 例1 设矩阵 A = ???? ? ?????--23 2 311111 ③k ①，② ②+①k
所以按照以上介绍的方法，用C语言实现过程如下： #include
float t = getA(temp,n-1); if(i%2==0) { ans += arcs[0][i]*t; } else { ans -= arcs[0][i]*t; } } return ans; } void getAStart(float **arcs,int n,float **ans) { if(n==1) { ans[0][0] = 1; return; } int i,j,k,t; float num = getA(arcs,n); float **temp = (float **)malloc(sizeof(float *) * n); for(i = 0; i < n; i++){ temp[i] = (float *)malloc(sizeof(float *) * n); } for(i=0;i
求逆矩阵的若干方法和举例 苏红杏 广西民院计信学院00数本（二）班 [摘 要] 本文详细给出了求逆矩阵的若干方法并给出相应的例子，以供学习有关矩阵方面 的读者参考。 [关键词] 逆矩阵 初等矩阵 伴随矩阵 对角矩阵 矩阵分块 多项式等 引 言 在我们学习《高等代数》时，求一个矩阵的逆矩阵是一个令人十分头痛的问题。但是，在研究矩阵及在以后学习有关数学知识时，求逆矩阵又是一个必不可缺少的知识点。为此，我介绍下面几种求逆矩阵的方法，供大家参考。 定义: n 阶矩阵A 为可逆，如果存在n 阶矩阵B ，使得E BA AB ==，这里E 是n 阶单位矩阵，此时，B 就称为A 的逆矩阵，记为1-A ，即：1-=A B 方法 一. 初等变换法（加边法） 我们知道，n 阶矩阵A 为可逆的充分必要条件是它能表示成一系列初等矩阵的乘积A=m Q Q Q 21， 从而推出可逆矩阵可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵。即，必有一系列初等矩阵 m Q Q Q 21使 E A Q Q Q m m =-11 （1） 则1-A =E A Q Q Q m m =-11 （2） 把A ，E 这两个n 阶矩阵凑在一起，做成一个n*2n 阶矩阵（A ，E ），按矩阵的分块乘法，（1）（2）可以合并写成 11Q Q Q m m -（A ，E ）=（11Q Q Q m m -，A ，E Q Q Q m m 11 -）=（E ，1-A ） （3） 这样就可以求出矩阵A 的逆矩阵1-A 。 例 1 . 设A= ???? ? ??-012411210 求1-A 。 解：由（3）式初等行变换逐步得到： ????? ??-100012010411001210→ ????? ??-100012001210010411 →???? ? ??----123200124010112001→
.矩阵求逆的并行算法： #include "stdio.h" #include "stdlib.h" #include "mpi.h" #define intsize sizeof(int) #define floatsize sizeof(float) #define A(x,y) A[x*N+y] #define Q(x,y) Q[x*N+y] #define a(x,y) a[x*N+y] #define f(x) f[x] float *A,*Q; float *a,*f; int N,v,m; int p; int myid; MPI_Status status; FILE *dataFile; double starttime,endtime,time1; void readData() { int i,j; starttime = MPI_Wtime(); dataFile = fopen("dataIn.txt","r"); fscanf(dataFile,"%d",&N); A = (float *)malloc(floatsize*N*N); for(i = 0; i < N; i++) { for(j = 0; j < N; j++) { fscanf(dataFile,"%f",&A(i,j)); } } fclose(dataFile); printf("Input of file \"dataIn.txt\"\n"); printf("%d\n",N); for(i = 0; i < N; i++) { for(j = 0; j < N; j++) { printf("%f\t",A(i,j)); } printf("\n");
陕西科技大学 教育实习教案 课题：逆矩阵 学院：职业技术学院 学号： 8070614118 班级：信工 071 姓名：赵进彪
逆矩阵 Ⅱ.教学目的与要求 熟练掌握逆矩阵存在的条件与矩阵求逆的方法 Ⅲ.重点与难点 重点：矩阵的逆 难点：矩阵的逆的概念 Ⅳ.教学内容 定义 1 对于n 阶矩阵A ，如果有一个n 阶矩阵B ，使 E BA AB ==，则说矩阵A 是可逆的，并把B 称为A 的逆矩阵。 A 的逆矩阵记为1-A .,, 的逆阵也一定是的逆阵时为当由定义知B A A B . ,, 212211B B I A B AB I A B AB =====?则设唯一性
.. 111I A A AA A A ==---有的唯一的逆阵记为可逆阵 定理1 若矩阵A 可逆，则0≠A 证 A 可逆，即有1-A ，使E AA =-1 ，故11 ==-E A A 所以 0≠A 定理2 若0≠A ，则矩阵A 可逆，且* 1 1A A A =- 其中*A 为矩阵A 的伴随矩阵 证 由例1知： E A A A AA ==* * 因0≠A ，故有E A A A A A A ==**11 所以有逆矩阵的定义，既有* 1 1A A A =- 当A =0时，，A 称为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵，由上面两定理可知：A 是可逆矩阵的充分必要条件是0≠A ，即可逆矩 阵就是非奇异矩阵。 推论：若E AB =（或E BA =），则1 -=A B 证 1==E B A ，故0≠A ，因而1-A 存在，于是
111*)()(---=====A E A AB A B A A EB B 方程的逆 矩阵满足下述运算规律 ①若A 可逆，则1 -A 也可逆，且 A A =--11)( ②若A 可逆，数0≠λ，则A λ可逆，且11 1 ) (--= A A λ λ ③若B A .为同阶矩阵且均可逆，则B A .也可逆，且111)(---A B AB 证明 ()()() 1111----=A BB A A B AB 1 -=AEA ,1E AA ==- ().111 ---=∴A B AB 例2 求方程 ??? ? ? ??=343122321.A 的逆矩阵 解 023********≠=?+?+?=A A A A ，知1-A 存在 2.11=A 6.21 =A 4.31-=A 3.12-=A 6.22-=A 532 =A 2.13=A 2.23=A 2.33-=A 于是.A 的伴随矩阵为 ?? ??? ? ?----=222563462 .* A
11.5逆矩阵 11.5.1逆矩阵的概念 在前面，我们看到矩阵的运算性形式上有些类似于数的地方。比如零矩阵n m O ?在矩阵的加法中与数0在数的加法中有类似的性质：n m n m n m A O A ???=+；单位矩阵n I 在矩阵的乘法中与数1在数的乘法中有类似的性质：n m n n m A I A ??=，n m n m m A A I ??=。 而在数的乘法中，对于任何一个数0≠a 有所谓它的倒数1 -a 存在，适合 111==--a a aa 。下面我们在矩阵的范围中引进起到类似作用的所谓逆矩阵的概念。 定义11.17 对于n 阶矩阵A ，如果存在n 阶矩阵B ，使得 I BA AB == 则称矩阵A 为可逆矩阵，而称矩阵B 为A 的逆矩阵。 如果A 可逆，则A 的逆矩阵是唯一的。事实上，如果B 和C 都是A 的逆矩阵，则有 I BA AB ==，I CA AC == 那么 C IC C BA AC B BI B =====)()( 即 C B =。 我们把矩阵A 唯一的逆矩阵记作1 -A ，读作A 的逆。注意，1 -A 不能读作A 的负一次方，同时由于我们没有定义过矩阵的除法，1 -A 也不能看作 A 1。 1．伴随矩阵求逆法 定义11.18 若n 阶矩阵A 的行列式0≠A ，则称矩阵A 为非奇异的或非退化的。 定理11.11 n 阶矩阵() ij a A =为可逆的充分必要条件是A 为非奇异的，而且 * -= A A A 11 （11.17） 其中 ?? ?? ? ?? ??=*nn n n n n A A A A A A A A A A 2122212 12111 （11.18）
矩阵求逆标准算法（VB）源码 2006-11-29 13:49 类别：默认 本程序依据矩阵初等变换的基本原理编写，算法较为繁琐，但易于理解适合VB初学者。 本程序适合任何（n*n）的矩阵求逆，对于不可逆矩阵有提示信息，并结束程序 本程序在XP，VB6.0下调试通过 本程序由本人原创，请慎用。如有疑问，或调试有误，请联系本人QQ 30360126 本程序可在VB6.0内任何地方用call jzqn(qa(),na()))语句调用其中qa()是输入的矩阵数组，调用此函数后 na()为返回的逆矩阵数组 注意：调用本程序前不要声明na()的维数，仅用dim na()即可。 请不要试图对一个病态矩阵求逆、否则计算结果未必是你想要的病态矩阵是指行列式计算结果极其接近于零的矩阵 Public Sub jzqn(qa(), na()) Dim a() n = UBound(qa, 1) ReDim na(n, n) ReDim a(n, 2 * n) For i = 1 To n For j = 1 To n a(i, j) = qa(i, j)
Next j Next i For i = 1 To n For j = n + 1 To 2 * n If j - i = n Then a(i, j) = 1 Else a(i, j) = 0 End If Next j Next i For i = 1 To n If a(i, i) = 0 Then For q = i To n If a(q, i) <> 0 Then For w = i To 2 * n zj = a(i, w) a(i, w) = a(q, w) a(q, w) = zj Next w Exit For End If Next q If q > n Then MsgBox "此矩阵不可逆": Exit Sub End If
逆矩阵的几种求法与解析 矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 1.利用定义求逆矩阵 定义: 设A、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用. 例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA是可逆矩阵, 且 （E-A）1-= E + A + A2+…+A1-K 证明因为E 与A 可以交换, 所以 (E- A )(E+A + A2+…+ A1-K)= E-A K, 因A K= 0 ,于是得 (E-A)（E+A+A2+…+A1-K）=E， 同理可得（E + A + A2+…+A1-K）(E-A)=E， 因此E-A是可逆矩阵,且 (E-A)1-= E + A + A2+…+A1-K. 同理可以证明(E+ A)也可逆,且 (E+ A)1-= E -A + A2+…+（-1）1-K A1-K. 由此可知, 只要满足A K=0，就可以利用此题求出一类矩阵E±A的逆矩阵.
例2 设 A =? ? ?? ? ???? ???000030000020 0010,求 E-A 的逆矩阵. 分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵. 解 容易验证 A 2=???? ????? ???0000 000060000200， A 3=? ? ?? ? ? ? ?? ???0000 0000 00006000 ， A 4=0 而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以 (E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3 =? ? ?? ? ???? ???1000 31006210 6211. 2.初等变换法 求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21Λ使 （1）s p p p Λ21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得： （2） s p p p Λ21I= A 1- 比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-. 用矩阵表示（A I ）??? →?初等行变换 为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.
E-A) 1= E + A + 2 K1 + … +A (E- A )(E+A + A 2+…+ A K 1)= E-A K (E-A) (E+A+A 2 + …+A K 1)=E， 逆矩阵的几种求法与解析 矩阵是线性代数的主要内容 ,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷 .逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容 , 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一 .本文将给出几种求逆矩阵的方法 . 1. 利用定义求逆矩阵 定义：设A、B都是n阶方阵,如果存在n阶方阵B使得AB= BA = E,则称A 为可逆矩阵，而称B为A的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用. 例1 求证：如果方阵A满足A k= 0,那么EA是可逆矩阵,且 证明因为E与A可以交换，所以 因A K= 0 ,于是得 同理可得( E + A + A 2 + … +A K 1 )(E-A)=E ， 因此E-A是可逆矩阵，且 (E-A) 1 = E + A + A 2 +…+A K 1 同理可以证明 (E+ A) 也可逆,且
E-A 的逆矩阵. (E+ A) 1 = E -A + A 2+…+ (-1 ) K1A K1 . 由此可知，只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E A 的逆矩阵. 例2 设 A = 00 20 00 03 ,求 0003 0000 分析 由于A 中有许多元素为零，考虑A K 是否为零矩阵，若为零矩阵，则可以 采用例2的方法求E-A 的逆矩阵. 解 容易验证 00 2 0 0 0 0 6 2 00 0 6 3 0 0 0 0 4 A 2 = ■ A 3= ， A 4 =0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 而 (E-A)(E+A+ A 2 + A 3 )=E , 所以 1 1 2 6 1 2 3 0 1 2 6 (E-A) E+A+ A 2 + A . 0 0 1 3 0 0 0 1 2. 初等变换法 求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法 ?如果A 可逆，则A 可通过 初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵R,P 2 , P S 使 （1） p 1 p 2 p s A=I ，用 A 1 右乘上式两端，得： （2） p 1 p 2 p s I= A 1 比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单 位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1. 用矩阵表示（ A I ） 为（ I A 1 ），就是求逆矩阵的初等行变换法， 它是实际应用中比较简单的一种方法 .需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初 等
总结求矩阵的逆矩阵的方法 课程名称： 专业班级： 成员组成： 联系方式：
摘要：矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 关键词：矩阵逆矩阵方法 Method of finding inverse matrix Abstract: Matrix in linear algebra is the main content,many prictical problems with the matrix theory is simple and fast. The inverse matrix andmatrix theory the important content, the solution of inverse matrix nature has become one of the main research contents of linear algebra. The paper will give
some method of finding inverse matrix. Key words: Matrix inversematrix method 正文： 1.引言:矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 2.求矩阵的逆矩阵的方法总结： 2.1 矩阵的基本概念 矩阵，是由个数组成的一个行列的矩形表格，通常用大写字母表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母其元素表示，其中下标都是正整数，他们表示该元素在矩 阵中的位置。比如，或表示一个矩阵，下标表示元素位于该矩阵的第行、第列。元素全为零的矩阵称为零