1 3
A 2
2015 年专业硕士生《矩阵论》试卷
学号
专业 姓名
一、填空题（除了第 5 小题外每小题 4 分，共 27 分）
1、设 V 是由 n 阶实对称矩阵按通常的矩阵加法与数乘构成的线性空间， 则 dimV= ， 并 且 V 有
基
。
2、设线性空间V n 上的线性变换在基e , e , ,
e n 下的矩阵为 A ，在另一组
基e 1', e 2' , , e n ' 下的矩阵为 B ，由基e 1 , e 2 , , e n 到基e 1', e 2' , , e n ' 的过渡矩阵是 C ，
则 B=
（用 A,C 表示）。
3、∑ k =0 ? 0.3
? 0.5 0.4?k
? = 0.6?
。
4、 已 知 A () 的 行 列 式 因 子 D 1 () = - 1 ， D () = (- 1)2 (- 2)2 ，
D () = (- 1)3 (- 2)4 (+ 1)5 ，则 A () 的初等因子为
。
?3 1?
? 1 ? 5、已知 A = 1 ? ， x = ? ，则 3 2 A = ， m 2 A = ， m ∞ 1 ? ? ? ?
， cond( A )2 =
， Ax =
， Ax ∞ = 。
?3 6、已知 A = ?1
4?
? ，则
( A ) =
。
2?
二、判断题（10 分）
1、 同 一 个 线 性 变 换 在 不 同 基 下 的 矩 阵 是 相 合 关 系 。
∞
1 2 =
1 1
2
3 2
1 2 （ ）
2、 A 是 收 敛 矩 阵 的 充 要 条 件 是 其 谱 范 数 小 于 1。
（ ）
3、 n 阶矩阵 A 与 B 相似的充要条件是它们的不变因子相同。
（ ） 4、
A 的 算 子 范 数 是 其 所 有 范 数 中 最 小 的 。
(
)
5、 正 交 变 换 的 必 要 条 件 是 保 持 两 个 向 量 的 夹 角 不 变 。
（ ）
三、（8 分）设 A 是P [x ] 中的线性变换，已知e = -1 + 2x 2
， e = 3 - x ， e
= x + x 2 ，
2
1
2
3
且A (e ) = -5 + 3x 2 ， A (e ) = -5 - x + 9x 2
， A (e ) = x + 6x 2 （1）证明e , e , e 是P [x ] 的
一组基 ；（2）求向量1 - 2x + 3x 2在基e , e , e 下的坐标。 3
四、(9 分）在P [x ]2 中，设 f (x ) = k 1 + k 2 x + k 3 x 2 ，线性变换 A 为 A ( f (x )) = k 2 + k 3 +
(k + k )x + (k + k )x 2 。（1）试写出 A 在基1, x , x 2 下的矩阵；（2）求 P [x ] 中
1
3
1
2
2
2 3
? 的一组基，使 A 在该组基下的矩阵为对角矩阵。
五、（10 分）定义P [x ]2中的内积为： ( f (x ),
g (x )) = 1
f (x )
g (x )dx ，（1）求基1, x , x 2 0
的度量矩阵；（2）求P [x ]2 的一组标准正交基。
六、（8 分）用初等反射变换将向量=（3,4,0,0）变换为与=（3,0,0,0）同方向的向量（写出变换矩阵）。
?
? 3 1 -1? 七、（12 分）求下列矩阵的若尔当标准形： A = -2 0 2 ? ，
-1 -1 3 ?
? ?
并且求出e tA 。
八、（14 分）求以下 3 次方程的三个根：x3+ 3x 2+ 6x + 2 = 0 。.