基本初等函数课时提升训练（6）
一、选择题
（每空？ 分，共？ 分）
1、定义函数，若存在常数，对任意，存在唯一
的，使得
，则称函数
在上的均值为，已知，则函
数
在
上的均值为。
A . B. C. D.
2、定义在上的函数满足，若关于x 的方
程
有5个不同实根，则正实数的取值范围是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
3、设函数为偶函数，且当时，，又函数
，则函数
在上的零点的个数为( )个。
A. B. C. D.
4、定义一种新运算：，已知函数，若函数
恰有两个零点，则的取值范围为………（）.
．．．．
5、对于函数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是( ) w
A． B． C． D．
6、如图，矩形的一边在轴上，另外两个顶点在函数
的图象上.若点的坐标，记矩形的周长为，则（）
A．208 B.216 C.212 D.220
7、对于函数，若存在区间，使得，则称区间M为函数的一个“稳定区间”，现有四个函数：
①②③④
其中存在“稳定区间”的函数为（）
A．① B．①② C．①②③ D．①②④
8、设，若对于任意的，都有满足方程，这时的取值集合为（）
A. B. C . D.
9、若存在负实数使得方程成立，则实数的取值范围是（）A． B. C. D.
10、已知且,函数在区间上既是奇函数又是增函数,则函数的图象是（）
11、下列说法：
①命题“存在”的否定是“对任意的”；
②关于的不等式恒成立，则的取值范围是；
③函数为奇函数的充要条件是；
其中正确的个数是（）
A．3 B．2 C．1 D．0
12、函数的定义域为D，若对任意且，都有，则称函
数在D 上为非减函数，设函数在
上为非减函数，且满足以下三个条件：①
；②；③，则等于（）
A. B. C. 1 D.
13、函数的图象是
( )
14、已知
的定义域为，值域为，
则的取值范围是
A ．
B ．C．{１} D ．
二、简答题
（每空？分，共？分）
15、对于定义域为D 的函数，如果存在区间，同时满足：
①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是．
则称是该函数的“和谐区间”．
（1）求证：函数不存在“和谐区间”．
（2）已知：函数（）有“和谐区间”，当变化时，求出的最大值．
（3）易知，函数是以任一区间为它的“和谐区间”．试再举一例有“和谐区间”的函数，并写出它的一个“和谐区间”．（不需证明，但不能用本题已讨论过的及
形如的函数为例）
16、已知函数是偶函数.
（1）求的值；
（2）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围。
17、已知函数为奇函数.
（1）求常数的值；
（2）判断函数的单调性，并说明理由；
（3）函数的图象由函数的图象先向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到，写出的一个对称中心，若，求的值。
18、已知函数，
（1）若是常数，问当满足什么条件时，函数有最大值，并求出
取最大值时的值；
（2）是否存在实数对同时满足条件：（甲）取最大值时的值与取
最小值的值相同，（乙）？
（3）把满足条件（甲）的实数对的集合记作A，设
，求使的的取值范围。
19、设函数
⑴求的定义域。
⑵判断函数的单调性并证明。
⑶解关于的不等式
20、已知集合是正整数的一个排列，函数
对于，定义：，
，称为的满意指数．排列为排列的生成列．
（Ⅰ）当时，写出排列的生成列；
（Ⅱ）证明：若和为中两个不同排列，则它们的生成列也不同；
（Ⅲ）对于中的排列，进行如下操作：将排列从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：新的排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加．
21、已知函数是偶函数。
（1）求的值；
（2）设函数，其中实数。若函数与
的图象有且只有一个交点，求实数的取值范围。
22、设是数的任意一个全排列，定义
，其中.
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）求的最大值；
（Ⅲ）求使达到最大值的所有排列的个数.
23、
已知函数.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若时，函数的值域是，求实数的值.
24、已知函数对任意满足，，若当时，
（且），且．
（1）求实数的值；
（2）求函数的值域．
25、已知函数（为常数，且）.
（1）当时，求函数的最小值（用表示）；
（2）是否存在不同的实数使得，，并且，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.
26、下列说法正确的有 (只填序号)
①函数的图象与直线的交点个数为0或1;
②设函数, 若当时，总有
，
则；
③时，函数的值域为；
④与函数的图象关于点对称的图象对应的函数为.
27、若函数满足：集合中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数是等比源函数.
（Ⅰ）判断下列函数：①；②；③中，哪些是等比源函数？（不需证明）
（Ⅱ）判断函数是否为等比源函数，并证明你的结论；
（Ⅲ）证明：，函数都是等比源函数.
28、已知函数为偶函数.
(Ⅰ) 求的值;
(Ⅱ) 若方程有且只有一个根, 求实数的取值范围.
29、已知集合M={}，若对于任意，存在，使得
成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：
①M={}；②M={}；
③M={}；④M={}．
其中是“垂直对点集”的序号是（）
A.①②
B.②③
C.①④
D.②④
30、已知函数.
⑴若,解方程;
⑵若,判断的单调区间并证明;
⑶若存在实数,使,求实数的取值范围 .
三、填空题
（每空？分，共？分）
31、若函数满足：在定义域D 内存在实数，使得成立，则
称函数为“1的饱和函数”。给出下列四个函数：①；②；
③
；④。其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号
是
32、已知函数，正实数满足，且，若在区间
上的最大值为2，则
33、函数的定义域为,若存在闭区间,使得函数满足:①在
内是单调函
数;②在上的值域为,则称区间为的“倍值区间”.下列函数中存在
“倍值区间”的有________
①; ②;
③; ④
34、已知函数，若，
且，则．
35、已知函数，当变化时，恒成立，则实数的取值范围是___________．
36、定义域为R的函数满足，当[0，2)时，
若时，恒成立，则实数t的取值范围是______________.
37、下列说法中正确的是：
①函数的定义域是；
②方程有一个正实根，一个负实根，则；
③是第二象限角，是第一象限角，则>；
④函数,恒过定点（3，-2）；
⑤若则的值为2
⑥若定义在R上的函数满足：对任意，则
为奇函数
38、定义“正对数”:现有四个命题:
①若,则;
②若,则
③若,则
④若,则
其中的真命题有__________________.(写出所有真命题的编号)
39、若直角坐标平面内M、N两点满足：
①点M、N都在函数f(x)的图像上；
②点M、N关于原点对称，则称这两点M、N是函数f(x)的一对“靓点”。
已知函数则函数f(x)有对“靓点”。
40、若不等式上恒成立，则实数a的取值范围为_
参考答案
一、选择题
1、 A
2、D
3、C
4、B；
5、B
6、B
7、D
8、B
9、C
10、A
11、B
12、A
13、B
14、C
二、简答题
15、
若是已知函数的“和谐区间”，则
故、是方程，即的同号的相异实数根．
，，同号，只须，即或时，已知函数有“和谐区间”，，当时，取最大值
（3）如：和谐区间为、，当的区间；
和谐区间为；
阅卷时，除考虑值域外，请特别注意函数在该区间上是否单调，不单调不给分．如举及形如的函数不给分．
16、解： (1)∵函数f(x)＝ (＋1)＋kx(k∈R)是偶函数
∴f(－x)＝ (＋1)－kx＝－kx＝ (4x＋1)－(k＋1)x＝
(4x＋1)＋kx恒成立
∴－(k＋1)＝k，则k＝－
(2)g(x)＝ (a·－a)，
函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，即方程f(x)＝g(x)只有一个解
由已知得 (4x＋1)－x＝ (a·－a)
∴＝ (a·－a)
设。
若
17、解： (1)因为函数为奇函数，所以定义域关于原点对称，由，得
，所以。
这时满足，函数为奇函数，因此
（2）函数为单调递减函数.
法一:用单调性定义证明；
法二：利用已有函数的单调性加以说明。
在上单调递增，因此单调递增，又在及上单调递减，因此函数在及上单调递减；
法三：函数定义域为，说明函数在上单调递减，因为函数为奇函数，因此函数在上也是单调递减，因此函数在及上单调递减。
（本题根据具体情况对照给分）
（3）因为函数为奇函数，因此其图像关于坐标原点（0,0）对称，根据条件得到函数
的一个对称中心为，
因此有，因为，因此
18、解：（1）解得且；
当时有最小值。
（2）由得，
所以，其中为负整数，当时，或者，
所以存在实数对满足条件。
（3）由条件知，当成立时，恒成立，因此，
恒成立，
当时，右边取得最大值，
因此，因为，所以.
19、解：（I）在定义域内为增函数
设，且.
==
因为，所以，所以有
即有在定义域内为增函数.
（II）因为定义域为且关于原点对称，又==所以在定义域内为奇函数.
由有
又在上单调递增
即...所以：.
20、（Ⅰ）解：当时，排列的生成列为．
（Ⅱ）证明：设的生成列是；的生成列是与．从右往左数，设排列与第一个不同的项为与，即：，
，，，．
显然，，，，下面证明：．
由满意指数的定义知，的满意指数为排列中前项中比小的项的个数减去比大的项的个数．
由于排列的前项各不相同，设这项中有项比小，则有项比大，从而．
同理，设排列中有项比小，则有项比大，从而．
因为与是个不同数的两个不同排列，且，
所以，从而．
所以排列和的生成列也不同．
（Ⅲ）证明：设排列的生成列为，且为中从左至右第
一个满意指数为负数的项，所以．
依题意进行操作，排列变为排列，设该排列的生成列为．
所以
．
所以，新排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加．
21、解:（1）∵由题有对恒成立…2分即恒成立，
∴… 4分
（2）由函数的定义域得，由于
所以即定义域为… 6分
∵函数与的图象有且只有一个交点，即方程
在上只有一解。
即：方程在上只有一解
①
当时，记，其图象的对称轴
所以，只需，即，此恒成立
∴此时的范围为… 11分
综上所述，所求的取值范围为。… 12分
22、解：（Ⅰ）. （Ⅱ）数的倍与倍分别如下：
其中较大的十个数之和与较小的十个数之和的差为，所以.
空间图形的计算与证明 一、近几年高考试卷部分立几试题 1、（全国 8）正六棱柱 ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1， 侧棱长为 2 ，则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是 （ ） A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质，以及异面直线所成角的求法。 2、（全国 18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1，而且 平面 ABCD 、ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF C 上移动，若 CM=NB=a(0 的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD。 （1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°， 求这个四棱锥的体积； （2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念，以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、（02全国文22）（一）给出两块面积相同的正三角形纸片，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，请设计一种剪拼法，分别用虚线标示在图（1）（2）中，并作简要说明。 (3) (1)(2) （二）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。（三）如果给出的是一块任意三角形的纸片，如图（3）要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标出在图3中，并作简要说明。 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 〖2.1〗指数函数 【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇 数时，a 的n n 是偶数时，正数a 的正的n 表示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥． ③根式的性质：n a =；当n 为奇数时， a =；当n 为偶数时， (0) || (0) a a a a a ≥?==? -∈且1)n >．0的正分 数指数幂等于0． ②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数 〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算 （1）对数的定义 ①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫 做底数，N 叫做真数． ②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式：log 10a =，log 1a a =，log b a a b =． （3）常用对数与自然对数 常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N -= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N = ⑤log log (0,)b n a a n M M b n R b = ≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a = >≠且 三角函数公式 1.正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试 注：奇变偶不变，符号看象限。 注：三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限 注：三角函数值等于α的 异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即： 函数名改变，符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式：(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式：（符号的选择由 2 θ 所在的象限确定） ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式： [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式： 高考数学大题 1．（12分）已知向量a =（sin θ，cos θ-2sin θ），b =（1，2） （1）若a ⊥b ，求tan θ的值； （2）若a ∥b ，且θ为第Ⅲ象限角，求sin θ和cos θ的值。 2．(12分)在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，且AC=BC=BD=2AE ，M 是AB 的中点. (I)求证：CM ⊥EM： (Ⅱ)求DE 与平面EMC 所成角的正切值. 3．（13分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高 下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加 两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的 有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响. (Ⅰ)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率； (Ⅱ)任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培训的概率. 4．（12分） 在△ABC 中，∠A ．∠B ．∠C 所对的边分别为a ．b ．c 。 若B A cos cos =a b 且sinC=cosA （1）求角A ．B ．C 的大小； （2）设函数f(x)=sin （2x+A ）+cos （2x- 2C ）,求函数f(x)的单调递增区间，并指出它相邻两对称轴间的距离。 5．（13分）已知函数f(x)=x+x a 的定义域为（0，+∞）且f(2)=2+22，设点P 是函数图象上的任意一点，过点P 分别作直线y=x 和y 轴的垂线，垂足分别为M ，N. （1）求a 的值； （2）问：|PM|·|PN|是否为定值？若是，则求出该定值， 若不是，则说明理由： （3）设O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值。 6．（13分）设函数f(x)=p(x-x 1)-2lnx,g(x)=x e 2(p 是实数，e 为自然对数的底数) （1）若f(x)在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围； （2）若直线l 与函数f(x),g(x)的图象都相切，且与函数f(x)的图象相切于点（1，0），求p 的值； （3）若在[1，e]上至少存在一点x 0，使得f(x 0)＞g(x 0)成立，求p 的取值范围. 《基本初等函数》检测题 一．选择题．（每小题5分，共50分） 1．若0m >，0n >，0a >且1a ≠，则下列等式中正确的是 ( ) A ．()m n m n a a += B ．1 1m m a a = C ．log log log ()a a a m n m n ÷=- D 43 ()mn = 2．函数log (32)2a y x =-+的图象必过定点 ( ) A ．(1,2) B ．(2,2) C ．(2,3) D ．2 (,2)3 3．已知幂函数()y f x =的图象过点，则(4)f 的值为 （ ） A ．1 B ． 2 C ．12 D ．8 4．若(0,1)x ∈，则下列结论正确的是 （ ） A ．12 2lg x x x >> B ．12 2lg x x x >> C ．12 2lg x x x >> D ．12 lg 2x x x >> 5．函数(2)log (5)x y x -=-的定义域是 （ ） A ． (3,4) B ．(2,5) C ．(2,3)(3,5) D ．(,2)(5,)-∞+∞ 6．某商品价格前两年每年提高10%，后两年每年降低10%，则四年 后的价格与原来价格比较，变化的情况是 （ ） A ．减少1.99% B ．增加1.99% C ．减少4% D ．不增不减 7．若1005,102a b ==，则2a b += （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 8． 函数()lg(101)2 x x f x =+-是 （ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇且偶函数 D ．非奇非偶函数 9．函数2log (2)(01)a y x x a =-<<的单调递增区间是 （ ） A ．(1,)+∞ B ．(2,)+∞ C ．(,1)-∞ D ．(,0)-∞ 10．若2log (2)y ax =- (0a >且1a ≠)在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是 （ ） A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(1,2) D ．[2,)+∞ 二．填空题．(每小题5分，共25分) 11．计算：459log 27log 8log 625??= ． 12．已知函数3log (0)()2(0) x x x >f x x ?=?≤?， ， ,则1[()]3 f f = ． 13． 若 3())2 f x a x bx =++，且 (2) f =，则 (2f - = ． 14．若函数()log (01)f x ax a =<<在区间[,2]a a 上的最大值是最小值的3 三角函数历年高考题汇编 一.选择题1、（2009）函数 22cos 14y x π? ?=-- ?? ?是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为 2π的奇函数 D ．最小正周期为2 π 的偶函数 2、（2008）已知函数 2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π 的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2 π 的偶函数 3.（2009浙江文）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．． 是（ ） 4.(2009山东卷文)将函数 sin 2y x =的图象向左平移 4 π 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 A. 22cos y x = B. 2 2sin y x = C.)4 2sin(1π++=x y D. cos 2y x = 5.（2009江西卷文）函数()(13)cos f x x x =的最小正周期为 A ．2π B ． 32π C ．π D ． 2 π 6.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4( ,0)3 π 中心对称，那么φ的最小值为 A. 6π B.4π C. 3π D. 2π 7.（2008海南、宁夏文科卷）函数 ()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ） A. －3，1 B. －2，2 C. －3， 3 2 D. －2， 32 8.（2007海南、宁夏）函数 πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2?? -???? ，的简图是（ ）高中数学基本初等函数知识点梳理
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