2022年秋高中数学人教A版必修5自主学习导学案：3.2一元二次不等式及其解法(学生版+教师版)

3.2 一元二次不等式及其解法（老师版）

1． 利用“三个二次”之间的关系解一元二次不等式

设()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或相应的一元二次方程

()002

≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种状况如下表：

0>∆ 0=∆ 0<∆

二次函数

2

y ax bx c =++ （0a >）的图象

20ax bx c ++=()0a >的根

有两相异实根

)(,2121x x x x <

有两相等实根

a b

x x 221-

==

无实根

2

0(0)ax bx c a ++>>的解集

{}2

1

x x x x x ><或

⎭⎬

⎫⎩

⎨⎧-≠a b x x 2 R

的解集)0(02><++a c bx ax

{}21

x x x

x <<

∅ ∅

以二次函数

2

6y x x =+-为例：

(1) 作出图象

2

6y x x =+-；

(2) 依据图象简洁看到，图象与x 轴的交点是(3,0),(2,0)-，即当32x =-或时，0y =．就是说对应的

一元二次方程2

60x x +-=的两实根是32x =-或．

(3) 当32x x <->或时，0y >，对应图像位于x 轴的上方．

就是说2

60x x +->的解集是{|32}x x x <->或．

当32x -<<时，0y <，对应图像位于x 轴的下方．

就是说2

60x x +-<的解集是{|32}x x -<<．

一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下： (1) 化二次项系数为正；

(2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根12

,x x ．那么“0>”型的解为

12

x x x x <>或(俗

称两根之外)；“0<”型的解为

12

x x x <<(俗称两根之间)；

(3) 否则，对二次三项式进行配方，变成

2

2

24()24b ac b ax bx c a x a a -++=++

，结合完全平方式为非负数的性质求解．

※ 典型例题

考点1．一元二次不等式的解法

【例1】解下列不等式：

(1)2x 2＋7x ＋3>0；(2)x 2－4x －5≤0；(3)－4x 2＋18x －814≥0；(4)－1

2x 2＋3x －5>0；(5)－2x 2＋3x －2<0.

分析：可先对不等式作等价变形，将二次项系数化为正，并使不等号一边为0，再求对应方程的根，并依据根的状况画出草图，观看图象写出解集．

解析：(1)由于Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x 1＝－3，x 2＝－1

2.又二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪

x >－1

2，或x <－3.

(2)原不等式可化为(x －5)(x ＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x |－1≤x ≤5}．

(3)原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －922≤0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪

x ＝94.

(4)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0，Δ＝(－6)2－40＝－4<0，所以方程x 2－6x ＋10＝0无实根，又二次函数y ＝x 2－6x ＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅.

(5)原不等式可化为2x 2－3x ＋2>0，由于Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x 2－3x ＋2＝0无实根，又二次函数y ＝2x 2－3x ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R .

归纳小结：若1

x ，

2

x 是一元二次方程的两个根，且

12

x x <，则有：

（1）

1212()()0x x x x x x x --<⇔<< （2）

121()()0x x x x x x -->⇔<或

2

x x >

变式1．求下列一元二次不等式的解集．

(1)x 2－5x >6；(2)4x 2－4x ＋1≤0；(3)－x 2＋7x >6；(4)－x 2＋2x －23>0；(5)4x 2－18x ＋81

4≥0. 解：(1)由x 2－5x >6，得x 2－5x －6>0.∴x 2－5x －6＝0的两根是x ＝－1或6，∴原不等式的解集为{x |x <－1或x >6}．

(2)4x 2－4x ＋1≤0，即(2x －1)2≤0，

∴x ＝12.∴4x 2－4x ＋1≤0的解集为{x |x ＝12}．

变式2．解下列不等式：

(1) 2

280x x --<

(2) 2440x x -+≤ (3) 220x x -+<（4）2

60x x --≥

解：(1) 不等式可化为(2)(4)0x x +-<

∴ 不等式的解集是{|24}x x -<<．

(2) 不等式可化为

2

(2)0x -≤

∴ 不等式的解集是{2}．

(3) 不等式可化为217

()0

24x -+<，所以无解．

（4）不等式可化为(2)(3)0x x +-≥ ∴ 不等式的解集是{|23}x x x ≤-≥或．

考点2．一元二次不等式与一元二次方程的关系

【例2】已知不等式2

10ax bx ++>的解为11

2

3x -<<，求a 和b 的值，并解不等式250bx x a --≤． 解：依题意，12-

和1

3是方程2

10ax bx ++=的两根，

方法1：由韦达定理，∴ 1123

b a -+=-，11123a -⨯=

，解得6a =-，=1b -． 方法2：直接代入方程得，2211()()102211()()1033a b a b ⎧

⨯-+⨯-+=⎪⎪⎨

⎪⨯+⨯+=⎪⎩，解得6a =-，=1b -

∴ 不等式250bx x a --≤为2

560x x +-≥，解得1x >或6x <-． ∴ 不等式2

50bx x a --≤的解集为{|16}x x x ><-或．

变式1．设一元二次不等式

210ax bx ++>的解为1

13x -<<

，则ab 的值是（ ）

A ．6-

B ．5-

C ．6

D ．5

解：C

考点3．可化为一元二次不等式的分式不等式的解法

小结：（1）0()()0ax b ax b cx d cx d +<⇔++<+；0()()0

ax b

ax b cx d cx d +>⇔++>+

（2）()()000ax b cx d ax b

cx d cx d ++≤⎧+≤⇔⎨+≠+⎩；()()000ax b cx d ax b cx d cx d ++≥⎧+≥⇔⎨

+≠+⎩ 解：（1）原不等式可化为：

3(23)(1)012x x x -+<⇒-<<

，所以原不等式的解集为3

{|1}

2x x -<<．

变式2．解下列不等式

（1）51x > （2）2132x x -≥+ （3）1

32x ≤+

解：（1）50(5)005

x

x x x x ->⇒-<⇒<<，所以原不等式的解集为{|05}x x <<． （2）21302x x --≥+7

0722x x x +⇒≤⇒-≤<-+，所以原不等式的解集为{|72}x x -≤<-．

（3）

(35)(2)0135355

30002202223x x x x x x x x x x ++≥⎧--+-≤⇒≤⇒≥⇒⇒<-≥-⎨+≠+++⎩或，所以原不等式的解集为

5

{|2}

3x x x <-≥-或．

考点4．含参数的一元二次不等式的解法 【例4】解关于x 的不等式：

2

20()x x a a ++<为实数．

解：原不等式对应的一元二次方程为：2

20x x a ++=，44a ∆=-， 当1a ≥时，440a ∆=-≤，原不等式无解；

当1a <

时，对应一元二次方程的两个解为：1x =-±

所以2

20x x a ++<

的解为：11x -<<-+综上所述，1a ≥时，原不等式无解；

当1a <

时，原不等式的解为：{|11x x --<-+．

变式1．不等式

()

221200x ax a a --<<的解是_____________．

解：{|43}x a x a <<-

变式2．解关于x 的不等式：x 2－ax －2a 2<0(a ∈R )．

解析：将原不等式转化为(x －2a )(x ＋a )<0. 对应的一元二次方程的两实根为x 1＝2a ，x 2＝－a . (1)当a >0时，x 1>x 2，不等式的解集为{x |－a

(3)当a <0时，x 1

考点5． 不等式恒成立问题

【例5】已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.

(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求a 的范围； (2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求a 的范围．

分析：本例考查恒成立问题．(1)利用判别式Δ求解；(2)转化为求f (x )在[－2,2]上的最小值即可．

解析：(1)f (x )≥a 恒成立，即x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，必需且只需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，∴－6≤a ≤2.∴a ∈[－6,2]．

(2)f (x )＝x 2

＋ax ＋3＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫x ＋a 22＋3－a 24.

①当－a 2<－2，即a >4时，f (x )min ＝f (－2)＝－2a ＋7，由－2a ＋7≥a ，得a ≤7

3，∴a ∈∅.

②当－2≤－a 2≤2，即－4≤a ≤4时，f (x )min ＝3－a 24，由3－a 2

4≥a ，得－6≤a ≤2.∴－4≤a ≤2.

③当－a

2>2，即a <－4时，f (x )min ＝f (2)＝2a ＋7.

由2a ＋7≥a ，得a ≥－7，∴－7≤a <－4. 综上，可得a ∈[－7,2]．

点评：对于函数f (x )，f (x )≤a 恒成立⇔f (x )max ≤a ；f (x )≥a 恒成立⇔f (x )min ≥a .

变式1．已知不等式x 2＋mx >4x ＋m －4.

(1)若对一切实数x 不等式恒成立，求实数m 的取值范围；

(2)若对于0≤m ≤4的全部实数m ，不等式恒成立，求实数x 的取值范围．

解析：(1)不等式变形为x 2＋(m －4)x ＋4－m >0，设f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－m ，

对一切实数x 不等式恒成立，等价于函数f (x )的函数值恒为正值，或者说函数f (x )的图象在x 轴的上方．∴Δ＝(m －4)2－4(4－m )＝m 2－4m <0，解得0

(2)将x 看成参数，m 看成自变量，不等式转化为m (x －1)＋x 2－4x ＋4>0，令g (m )＝m (x －1)＋x 2－4x ＋4，则g (m )>0对0≤m ≤4的全部实数m 恒成立，可得⎩⎪⎨⎪⎧ g (0)>0，g (4)>0，即⎩⎪⎨

⎪

⎧

x 2－4x ＋4>0，x 2>0，解得x ≠0且x ≠2.

变式2．已知对于任意实数x ，

2

2kx x k -+恒为正数，求实数k 的取值范围． 解：明显0k =时，不合题意，于是：

22

2000111(2)4010k k k k k k k k >>>⎧⎧⎧⇒⇒⇒>⎨⎨⎨<->--<->⎩⎩⎩或．

练习3．已知对于任意实数x ，2

26kx x -+恒为正数，求实数k 的取值范围．

解：明显0k =时，2

2626kx x x -+=-+不恒为正数，不合题意，于是：

2

01

6(2)460k k k >⎧⇒>⎨--⋅<⎩．

1．不等式－x 2

－x ＋2≥0的解集为( )

A ．{x |x ≤2或x ≥1}

B ．{x |－2

C ．{x |－2≤x ≤1}

D ．∅

解析：由－x 2－x ＋2≥0得x 2＋x －2≤0，即(x ＋2)(x －1)≤0，∴－2≤x ≤1，∴原不等式解集为{x |－2≤x ≤1}．答案：C

2．不等式x －1

x ＋2

<0的解集为( )

A ．(1，＋∞)

B ．(－∞，－2)

C ．(－2,1)

D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

解析：不等式

x －1x ＋2

<0等价于(x －1)(x ＋2)<0，所以不等式的解集为{x |－2

3．二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为－2,3，a <0，那么ax 2＋bx ＋c >0的解集为( )

A ．{x |x >3或x <－2}

B ．{x |x >2或x <－3}

C ．{x |－2

D ．{x |－30的解集为{x |－2

4．关于x 的不等式ax －1

x ＋1

<0(其中a <－1)的解集为( )

A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1

B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a

C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1a ∪()－1，＋∞ D ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭

⎪⎫

1a ，＋∞ 解析：原不等式变形得：(ax －1)(x ＋1)<0，又a <－1，∴⎝ ⎛⎭

⎪⎫

x －1a (x ＋1)>0，解得：x <－1或x >1a ，

则原不等式的解集为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭

⎪⎫

1a ，＋∞. 答案：D

5．关于x 的不等式63x 2－2mx －m 2<0的解集为( )

A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 9，m 7

B.⎝ ⎛⎭⎪⎫m 7，－m 9

C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－m 9∪⎝ ⎛⎭

⎪⎫

m 7，＋∞ D ．以上答案都不对 解析：原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m 9·⎝ ⎛⎭

⎪⎫

x －m 7<0，需对m 分三种状况争辩，即不等式的解集与m 有关．答

案：D 6．若不等式|2x －3|>4与关于x 的不等式x 2＋px ＋q >0的解集相同，则x 2－px ＋q <0的解集是( )

A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x >72或x <－12

B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12

C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <－72或x >12

D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪

－724得2x －3>4或2x －3<－4，则x >72或x <－1

2.由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧

－p ＝72－1

2，q ＝72×⎝ ⎛⎭⎪⎫

－12，

则⎩⎪⎨⎪⎧

p ＝12－7

2，q ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫

－72，x 2－px ＋q <0对应方程x 2－px ＋q ＝0的两根分别为12，－7

2，则x 2－px

＋q <0

的解集是⎩

⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫x ⎪⎪⎪

－72

2

，故选D.

7．若x 2－2ax ＋2≥0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是( )

11．若01a <<，则不等式()10

a x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭的解是_____________． 解：

1{|}x a x a <<

13．解下列不等式：（1）2

4410x x -+>； （2）2

530x x -+<．

解：(1) 不等式可化为

2

(21)0x -> ，∴ 不等式的解集是1

{|}

2x x ≠； （2）2

530x x -+=的根为

x =

，∴ 不等式的解集是{x x <<；

14．解不等式：（1）01692

>++x x （2）2

1()10(0,)x a a a a -++<≠为实数

解．（1）

⎭⎬

⎫

⎩⎨⎧-≠31x x （2）原不等式可变为：1()()0

x a x a --<，（1）当1>a 或01<<-a 时，⎭⎬⎫⎩

⎨⎧<

⎩

⎨⎧

<

3.2 一元二次不等式及其解法（同学版）

1． 利用“三个二次”之间的关系解一元二次不等式

设()0002

2

≠<++>++a c bx ax c bx ax 或相应的一元二次方程()002

≠=++a c bx ax 的两根为

2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种状况如下表：

0>∆ 0=∆ 0<∆

二次函数

2

y ax bx c =++ （0a >）的图象

20ax bx c ++=()0a >的根

有两相异实根

)(,2121x x x x <

有两相等实根

a b x x 221-

==

无实根

20(0)ax bx c a ++>>的解集

{}2

1

x x x x x ><或

⎭⎬

⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2

R

的解集)0(02><++a c bx ax

{}21

x x x

x <<

∅ ∅

以二次函数

2

6y x x =+-为例：

(1) 作出图象

2

6y x x =+-；

(2) 依据图象简洁看到，图象与x 轴的交点是(3,0),(2,0)-，即当32x =-或时，0y =．就是说对应的

一元二次方程2

60x x +-=的两实根是32x =-或．

(3) 当32x x <->或时，0y >，对应图像位于x 轴的上方．

就是说2

60x x +->的解集是{|32}x x x <->或．

当32x -<<时，0y <，对应图像位于x 轴的下方．

就是说2

60x x +-<的解集是{|32}x x -<<．

一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下： (1) 化二次项系数为正；

(2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根12

,x x ．那么“0>”型的解为

12

x x x x <>或(俗

称两根之外)；“0<”型的解为

12

x x x <<(俗称两根之间)；

(3) 否则，对二次三项式进行配方，变成

2

2

24()24b ac b ax bx c a x a a -++=++

，结合完全平方式为非负数的性质求解．

※ 典型例题

考点1．一元二次不等式的解法

【例1】解下列不等式：

(1)2x 2＋7x ＋3>0；(2)x 2－4x －5≤0；(3)－4x 2＋18x －814≥0；(4)－1

2x 2＋3x －5>0；(5)－2x 2＋3x －2<0.

分析：可先对不等式作等价变形，将二次项系数化为正，并使不等号一边为0，再求对应方程的根，并依据根的状况画出草图，观看图象写出解集．

归纳小结：若1

x ，

2

x 是一元二次方程的两个根，且

12

x x <，则有：

（1）

1212()()0x x x x x x x --<⇔<< （2）

121()()0x x x x x x -->⇔<或

2

x x >

变式1．求下列一元二次不等式的解集．

(1)x 2－5x >6；(2)4x 2－4x ＋1≤0；(3)－x 2＋7x >6；(4)－x 2＋2x －23>0；(5)4x 2－18x ＋81

4≥0.

变式2．解下列不等式：

(1) 2280x x --< (2) 2440x x -+≤ (3) 220x x -+<（4）260x x --≥

考点2．一元二次不等式与一元二次方程的关系

【例2】已知不等式2

10ax bx ++>的解为1123x -<<，求a 和b 的值，并解不等式250bx x a --≤．

变式1．设一元二次不等式

2

10ax bx ++>的解为1

13x -<<

，则ab 的值是（ ）

A ．6-

B ．5-

C ．6

D ．5

考点3．可化为一元二次不等式的分式不等式的解法

小结：（1）0()()0ax b ax b cx d cx d +<⇔++<+；0()()0

ax b ax b cx d cx d +>⇔++>+

（2）()()000ax b cx d ax b

cx d cx d ++≤⎧+≤⇔⎨+≠+⎩；()()000ax b cx d ax b cx d cx d ++≥⎧+≥⇔⎨

+≠+⎩

变式2．解下列不等式

（1）51x > （2）2132x x -≥+ （3）1

3

2x ≤+

考点4．含参数的一元二次不等式的解法

【例4】解关于x的不等式：

220() x x a a

++<为实数

．

变式1．不等式

()

22

1200

x ax a a

--<<

的解是_____________．

变式2．解关于x的不等式：x2－ax－2a2<0(a∈R)．

变式3．（难）解关于x的不等式a(x2＋1)≥2x.

1．不等式－x2－x＋2≥0的解集为()

A．{x|x≤2或x≥1} B．{x|－2

2．不等式x－1

x＋2

<0的解集为()

A．(1，＋∞) B．(－∞，－2) C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 3．二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2,3，a<0，那么ax2＋bx＋c>0的解集为()

A．{x|x>3或x<－2} B．{x|x>2或x<－3} C．{x|－2

ax－1

x＋1

<0(其中a<－1)的解集为()

A.⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

1

a，－1 B.⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

－1，

1

a C.⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

－∞，

1

a∪

()

－1，＋∞D．(－∞，－1)∪

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

1

a，＋∞5．关于x的不等式63x2－2mx－m2<0的解集为()

A.⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

－

m

9，

m

7 B.⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

m

7，－

m

9 C.⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

－∞，－

m

9∪⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

m

7，＋∞D．以上答案都不对6．若不等式|2x－3|>4与关于x的不等式x2＋px＋q>0的解集相同，则x2－px＋q<0的解集是() A.

⎩⎪

⎨

⎪⎧

⎭⎪

⎬

⎪⎫

x⎪⎪

⎪x>7

2或x<－

1

2 B.⎩⎪⎨

⎪⎧

⎭⎪

⎬

⎪⎫

x⎪⎪

⎪－1

2

7

2 C.⎩⎪⎨

⎪⎧

⎭⎪

⎬

⎪⎫

x⎪⎪

⎪x<－7

2或x>

1

2 D.⎩⎪⎨

⎪⎧

⎭⎪

⎬

⎪⎫

x⎪⎪

⎪－7

2

1

2

7．若x2－2ax＋2≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围是()

A．(－2，2] B．(－2，2) C．[－2，2) D．[－2，2]

8．若f(x)＝(x－a)(x－b)＋2(a

A．a<α<β

9．不等式x2＋mx＋

m

2>0恒成立的条件是________．

10．函数f(x)＝log2⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

x2－x＋

1

4＋1－x

2的定义域为________．

11．若01

a

<<，则不等式

()10

a x x

a

⎛⎫

-->

⎪

⎝⎭的解是_____________．

12．若关于x的不等式ax2＋3x－1>0的解集是

⎩⎪

⎨

⎪⎧

⎭⎪

⎬

⎪⎫

x⎪⎪

⎪1

2

(1)求a的值；(2)求不等式ax2－3x＋a2＋1>0的解集．

13．解下列不等式：（1）2

4410

x x

-+>；（2）2530

x x

-+<．

；

14．解不等式：（1）0

1

6

92>

+

+x

x（2）

2

1

()10(0,)

x a a a

a

-++<≠为实数

15．解关于x的不等式：ax2＋(1－a)x－1>0.

数学必修5导学案：3-2 第2课时一元二次不等式的应用

第2课时一元二次不等式的应用 知能目标解读 1.能利用一元二次不等式解简单的分式不等式与高次不等式. 2.利用一元二次不等式解决二次方程根的分布问题. 3.解决与一元二次不等式有关的恒成立问题. 4.解决相关实际应用问题. 重点难点点拨 重点：1.解简单的分式不等式与高次不等式. 2.解决与一元二次不等式有关的恒成立问题. 难点：利用一元二次不等式解决二次方程根的分布问题. 学习方法指导 解不等式的关键问题就是保证转化的等价性. （1）分式不等式一般先移项通分，然后利用 () ()x g x f >0(或<0)型转化为f(x)·g(x)>0（或<0），再求解. 对于 () ()x g x f ≥0（或≤0），一定不能忽视去掉g(x)=0的情况. （2）含绝对值号的不等式，可分段去掉绝对值号讨论，也可采用两边平方法，应根据题目条件的特点选取方法. （3）高次不等式一般分解因式后用标根法求解，但要注意x的高次项系数为正. （4）不等式恒成立求字母取值范围问题： 在给定区间上不等式恒成立，一般地，有下面常用结论： ①f(x)a恒成立，?f(x) min>a. （5）关于二次方程根的分布主要有以下几种常见问题（a≠0条件下）: ①方程ax2+bx+c=0有实根，有两不等实根，无实根.主要考虑判别式Δ和二次项系数a的符号. ②方程ax2+bx+c=0有两正根? 方程ax2+bx+c=0有一正一负两实根? ③方程ax2+bx+c=0有零根?c=0.

④方程ax2+bx+c=0有两个大于n的根（解法类似于有两正根） 方程ax2+bx+c=0有两个小于k的根（解法类似于有两负根情形） 方程ax2+bx+c=0一根大于k,另一根小于k（解法类似于一正一负根的情形）. 则需 ⑤方程ax2+bx+c=0两根都在（m、n）内. 则需 ⑥方程ax2+bx+c=0一根在（m、n）内，另一根在（n、p）内. 则需 方程ax2+bx+c=0一根在（m,n）内，另一根在（p，q）内.则需 思路方法技巧 命题方向分式不等式的解法

高中数学《3.2一元二次不等式及其解法》导学案1 新人教A版必修5

课题：3.2一元二次不等式及其解法 (1) 班级： 组名： 姓名： 设计人：赵帅军 审核人：魏帅举 领导审批： 一．：自主学习，明确目标 1．知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力； 2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法； 教学重点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。 教学难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。 教学方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法； 二．研讨互动，问题生成 从实际情境中抽象出一元二次不等式模型： 互联网的收费问题一元二次不等式模型：2 50x x -< 1）一元二次不等式的定义 象2 50x x -<这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式 2）探究一元二次不等式250x x -<的解集 怎样求不等式（1）的解集呢？ 探究： （1）二次方程的根与二次函数的零点的关系 容易知道：二次方程的有两个实数根：120,5x x == 二次函数有两个零点：120,5x x == 于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。 （2）观察图象，获得解集 画出二次函数2 5y x x =-的图象，如图，观察函数图象，可知： 当 x<0，或x>5时，函数图象位于x 轴上方，此时，y>0,即2 50x x ->； 当0

高中数学必修五3.2.1 一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法

3.2 一元二次不等式及其解法 3.2.1 一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法 从容说课 本节课是人民教育出版社A版必修数学5第三章不等式第二大节3.2一元二次不等式及其解法的第一节课.一元二次不等式及其解法教学分为三个学时，第一个学时先由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出一元二次不等式及其解法中的一些基本概念、求解一元二次不等式的步骤、求解一元二次不等式的程序框图.确定一元二次不等式的概念和解法，以此激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度.通过具体例题的分析和求解，在这些例题中设置思考项，让学生探究，层层铺设，以便让学生深刻理解一元二次不等式的概念，有利于一元二次不等式的解法的教学.讲述完一元二次不等式的概念后，再回归到先前的具体事例，总结一元二次不等式解法与二次函数的关系和一元二次不等式解法的步骤，由学生用表格将一元二次不等式解法与二次函数的数形关系的对应关系用图表形式表示出来；然后用一个程序框图把求解一般一元二次不等式的过程表示出来，根据这些图表，得出一元二次不等式解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系，再辅以新的例题巩固.整个教学过程，探究一元二次不等式的概念，揭示一元二次不等式解法与二次函数的关系本质，引出一元二次不等式解法的步骤和过程，并及时加以巩固，同时让学生体验数学的奥秘与数学美，激发学生的学习兴趣. 教学重点1.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型. 2.围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想. 教学难点理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系. 教具准备多媒体及课件，幻灯片三张 三维目标 一、知识与技能 1.经历从实际情景中抽象出一元二次不等式模型的过程; 2.通过函数图象了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系; 3.会解一次二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图. 二、过程与方法 1.采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学; 2.发挥学生的主体作用，作好探究性实验; 3.理论联系实际，激发学生的学习积极性. 三、情感态度与价值观 1.通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集，培养学生的数形结合的数学思想; 2.通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辩证的世界观. 教学过程 导入新课 师上网获取信息已经成为人们日常生活的重要组成部分，因特网服务公司（Internet Servi c e Provider）的任务就是负责将用户的计算机接入因特网，同时收取一定的费用. 某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两家ISP公司可供选择，公司A每小时收费1.5元；公司B的收费原则是在用户上网的第一小时内收费1.7元，第二小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元.（若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算）

高中数学《3.2一元二次不等式及其解法》导学案2 新人教A版必修5

课题：3.2一元二次不等式及其解法(2) 班级： 组名： 姓名： 设计人：赵帅军 审核人：魏帅举 领导审批： 一．：自主学习，明确目标 1．知识与技能：巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；进一步熟练解一元二次不等式的解法； 2．过程与方法：培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力 和逻辑思维能力； 教学重点：熟练掌握一元二次不等式的解法 教学难点：理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系 教学方法：培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力； 二．研讨互动，问题生成 1．一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系 2．一元二次不等式的解法步骤——课本第77页的表格 三．合作探究，问题解决 例1某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m 和汽车的速度 x km/h 有如下的关系：2 1 120180s x x =+ 在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m ，那么这辆汽车刹车前 的速度是多少？（精确到0.01km/h ） 例2、一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的 摩托车数量x （辆）与创造的价值y （元）之间有如下的关系： 22220y x x =-+ 若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一 个星期内大约应该生产多少辆摩托车？ 改：设2280x x a -+-≤对于一切(1,3)x ∈都成立，求a 的范围. 改：若方程2280x x a -+-=有两个实根12,x x ，且13x ≥，21x ≤，求a 的 范围. 1、已知二次不等式20ax bx c ++<的解集为11 32{|}x x x <>或，求关于x 的

人教a版必修5学案：3.2一元二次不等式及其解法(含答案)

3.2 一元二次不等式及其解法 材拓展 1．一元一次不等式 通过同解变形，一元一次不等式可化为：ax >b .若a >0，则其解集为? ?? ? ??x |x >b a .若a <0，则 其解集为? ?? ? ??x |x 0或ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)． 不妨设方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1、x 2且x 10 (a >0)的解集，就是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)在x 轴上方部分的点的横坐标x 的集合；ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集，就是二次函 数y ＝ax 2 ＋bx ＋c (a >0)在x 轴下方部分的点的横坐标x 的集合． 从方程观点来看，一元二次方程的根是对应的一元二次不等式解集的端点值． 3．简单的高次不等式的解法——数轴穿根法 数轴穿根法来源于实数积的符号法则，例如要解不等式(x －1)(x －2)(x －3)>0.我们可以列表如下： x 的区间 x <1 13 x －1 － ＋ ＋ ＋ x －2 － － ＋ ＋ x －3 － － － ＋ (x －3)(x －2)·(x －1) － ＋ － ＋ 把表格的信息“浓缩”在数轴得： 据此，可写出不等式(x －1)(x －2)(x －3)>0的解集是{x |13}． 一般地，利用数轴穿根法解一元高次不等式的步骤是： (1)化成形如p (x )＝(x －x 1)(x －x 2)…(x －x n )>0 (或<0)的标准形式； (2)将每个因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每个点画曲线； (3)奇次根依次穿过，偶次根穿而不过(即不要改变符号)； (4)根据曲线显现出的p (x )的符号变化规律，标出p (x )的正值区间和负值区间； (5)写出不等式的解集，并检验零点是否在解集内． 4．分式不等式的解法 (1)f (x )g (x )>0?f (x )·g (x )>0. (2)f (x )g (x ) <0?f (x )·g (x )<0. (3)f (x ) g (x )≥0?? ???? f (x )· g (x )≥0g (x )≠0. (4)f (x )g (x )≤0?? ???? f (x )· g (x )≤0g (x )≠0. 注意：解不等式时，一般情况下不要在两边约去相同的因式． 例如：解不等式：2x ＋1x －3>2x ＋1 3x －2 .

2022年秋高中数学人教A版必修5自主学习导学案：3.2一元二次不等式及其解法(学生版+教师版)

3.2 一元二次不等式及其解法（老师版） 1． 利用“三个二次”之间的关系解一元二次不等式 设()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或相应的一元二次方程 ()002 ≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种状况如下表： 0>∆ 0=∆ 0<∆ 二次函数 2 y ax bx c =++ （0a >）的图象 20ax bx c ++=()0a >的根 有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221- == 无实根 2 0(0)ax bx c a ++>>的解集 {}2 1 x x x x x ><或 ⎭⎬ ⎫⎩ ⎨⎧-≠a b x x 2 R 的解集)0(02><++a c bx ax {}21 x x x x << ∅ ∅ 以二次函数 2 6y x x =+-为例： (1) 作出图象 2 6y x x =+-； (2) 依据图象简洁看到，图象与x 轴的交点是(3,0),(2,0)-，即当32x =-或时，0y =．就是说对应的 一元二次方程2 60x x +-=的两实根是32x =-或． (3) 当32x x <->或时，0y >，对应图像位于x 轴的上方． 就是说2 60x x +->的解集是{|32}x x x <->或． 当32x -<<时，0y <，对应图像位于x 轴的下方． 就是说2 60x x +-<的解集是{|32}x x -<<． 一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下： (1) 化二次项系数为正； (2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根12 ,x x ．那么“0>”型的解为 12 x x x x <>或(俗 称两根之外)；“0<”型的解为 12 x x x <<(俗称两根之间)； (3) 否则，对二次三项式进行配方，变成 2 2 24()24b ac b ax bx c a x a a -++=++ ，结合完全平方式为非负数的性质求解． ※ 典型例题 考点1．一元二次不等式的解法 【例1】解下列不等式： (1)2x 2＋7x ＋3>0；(2)x 2－4x －5≤0；(3)－4x 2＋18x －814≥0；(4)－1 2x 2＋3x －5>0；(5)－2x 2＋3x －2<0. 分析：可先对不等式作等价变形，将二次项系数化为正，并使不等号一边为0，再求对应方程的根，并依据根的状况画出草图，观看图象写出解集． 解析：(1)由于Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x 1＝－3，x 2＝－1 2.又二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭ ⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x >－1 2，或x <－3. (2)原不等式可化为(x －5)(x ＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x |－1≤x ≤5}． (3)原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －922≤0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭ ⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝94. (4)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0，Δ＝(－6)2－40＝－4<0，所以方程x 2－6x ＋10＝0无实根，又二次函数y ＝x 2－6x ＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅. (5)原不等式可化为2x 2－3x ＋2>0，由于Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x 2－3x ＋2＝0无实根，又二次函数y ＝2x 2－3x ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R . 归纳小结：若1 x ， 2 x 是一元二次方程的两个根，且 12 x x <，则有： （1） 1212()()0x x x x x x x --<⇔<< （2） 121()()0x x x x x x -->⇔<或 2 x x > 变式1．求下列一元二次不等式的解集． (1)x 2－5x >6；(2)4x 2－4x ＋1≤0；(3)－x 2＋7x >6；(4)－x 2＋2x －23>0；(5)4x 2－18x ＋81 4≥0. 解：(1)由x 2－5x >6，得x 2－5x －6>0.∴x 2－5x －6＝0的两根是x ＝－1或6，∴原不等式的解集为{x |x <－1或x >6}． (2)4x 2－4x ＋1≤0，即(2x －1)2≤0， ∴x ＝12.∴4x 2－4x ＋1≤0的解集为{x |x ＝12}．

人教A版高中数学必修五3.2.1一元二次不等式的概念及解集

高中数学学习材料 金戈铁骑整理制作 数学·必修5(人教A版) 3．2一元二次不等式及其解法 3．2.1一元二次不等式的概念及解集 ►基础达标 1．已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1

解析：由9－x2＞0⇒x2－9＜0，方程x2－9＝0的两根为－3,3，结合y＝x2－9的图象得原不等式的解集是{x|－3＜x＜3}．用区间表示为：(－3,3)． 答案：(－3,3) 4．不等式x2－4x＋4≤0的解集是________． 解析：方程x2－4x＋4＝0有两个相等的实根 x1＝x2＝2.结合y＝x2－4x＋4的图象得原不等式的解集是{2}． 答案：{2} 5．不等式x2＞2的解集是________． 答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞) 6．不等式x(4－x)≤5的解集是______． 解析：由x(4－x)≤5⇒x2－4x＋5≥0， ∵Δ＝(－4)2－4×5＜0，∴方程x2－4x＋5＝0无实根，结合y＝x2－4x＋5的图象得原不等式的解集为实数集R. 答案：R ►巩固提高 7．下面四个不等式解集为R的是() A．－x2＋x＋1≥0 B．x2－25x＋5>0 C．x2＋6x＋10>0 D．2x2－3x＋4<0 解析：利用“Δ”判断，在不等式x2＋6x＋10>0中，Δ＝62－40<0，

高中数学新人教A版必修5第三章 3.2 第二课时 一元二次不等式及其解法(习题课)

第二课时 一元二次不等式及其解法(习题课) 解简单的分式不等式 [典例] 解下列不等式： (1)x ＋23－x ≥0；(2)2x －13－4x >1. [解] (1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ (x ＋2)(3－x )≥0，3－x ≠0， 即⎩ ⎪⎨⎪⎧ (x ＋2)(x －3)≤0， x ≠3⇒－2≤x <3. ∴原不等式的解集为{x |－2≤x <3}． (2)原不等式可化为2x －13－4x －1>0，即3x －24x －3<0. 等价于(3x －2)(4x －3)<0. ∴230⇔f (x )g (x )>0； ②f (x ) g (x ) <0⇔f (x )g (x )<0； ③f (x ) g (x ) ≥0⇔f (x )g (x )≥0且g (x )≠0⇔f (x )g (x )>0或f (x )＝0； ④ f (x ) g (x ) ≤0⇔f (x )g (x )≤0且g (x )≠0⇔f (x )g (x )<0或f (x )＝0. (3)不等式与不等式组的同解关系 ①f (x )g (x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )≥0，g (x )≥0或⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )≤0，g (x )≤0， ②f (x )g (x )≤0⇔⎩ ⎪⎨⎪⎧ f (x )≥0， g (x )≤0或

⎩ ⎪⎨⎪⎧ f (x )≤0， g (x )≥0， ③f (x )g (x )>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )>0，g (x )>0或⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )<0， g (x )<0， ④f (x )g (x )<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )>0，g (x )<0或⎩ ⎪⎨⎪ ⎧ f (x )<0， g (x )>0. [活学活用] 1．若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩ ⎪⎨⎪⎧⎭ ⎪⎬⎪ ⎫x ⎪⎪ x －2 x ≤0 ，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－1≤x ＜0} B ．{x |0＜x ≤1} C ．{x |0≤x ≤2} D ．{x |0≤x ≤1} 解析：选B ∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0＜x ≤2}， ∴A ∩B ＝{x |0＜x ≤1}． 2．已知关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax －b x －2 >0的解集是( ) A.{}x |x ＜－1或x ＞2 B.{}x |－1＜x ＜2 C.{}x |1＜x ＜2 D.{}x |x ＞2 解析：选A 依题意，a >0且－b a ＝1. ax － b x －2 >0⇔(ax －b )(x －2)>0⇔⎝⎛⎭⎫x －b a (x －2)>0， 即(x ＋1)(x －2)>0⇒x >2或x <－1. 不等式中的恒成立问题 2取值范围． [解] 由题意可知，只有当二次函数f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4的图象与直角坐标系中的x 轴无交点时，才满足题意， 则其相应方程x 2＋2(a －2)x ＋4＝0此时应满足Δ＜0，即4(a －2)2－16＜0，解得0＜a ＜4. 故a 的取值范围是(0,4)． 对于x ∈[a ，b ]，f (x )＜0(或＞0)恒成立，应利用函数图象． 1．已知f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4，是否存在实数a ，使得对任意x ∈[－3,1]，f (x )＜0恒成立．若存在求出a 的取值范围；若不存在说明理由．

高中数学新人教A版必修5教案3.2一元二次不等式及其解法(第1课时)

一、教学目标 知识目标：正确理解一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的关系，掌握一元二次不等式的解法； 能力目标：通过看图象找解集，培养学生“从形到数”的转化能力和从“特殊到一般”的归纳能力； 德育目标：学习“三个二次”的关系，体会事物之间普遍联系的辩证思想； 情感目标：创设问题情境，培养学生的探索精神和合作意识。 二、教学重点、难点 1.教学重点：一元二次不等式的解法 2.教学难点：理解一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的关系 三、教学过程设计 1.一元二次不等式概念的引入 （1）动体的特征，对“线面垂直”有了一些初浅认识和感知，在高中阶段，创设情境，引入概念 播放2014“新闻联播最萌结尾”，为学生创设如下问题情境： 春天来了，熊猫饲养员计划在靠墙的位置为它们圈建一个矩形的室外活动室。现有可以做出20m栅栏的材料，要求使得活动室的面积不小于42m2，你能确定与墙平行的栅栏的长度范围吗？

分析可得如下数学模型： 设与墙平行的栅栏长度为x （0

高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式的解法教学案(

黑龙江省齐齐哈尔市高中数学第三章不等式3.2 一元二次不等式的解法教学案（无答案）新人教A版必修5 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（黑龙江省齐齐哈尔市高中数学第三章不等式3.2 一元二次不等式的解法教学案（无答案）新人教A版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为黑龙江省齐齐哈尔市高中数学第三章不等式3.2 一元二次不等式的解法教学案（无答案）新人教A版必修5的全部内容。

3。2 一元二次不等式及其解法 学习 目标 1。理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系. 2.熟练掌握解一元二次不等式的方法. 学习 疑问 学习 建议 【相关知识点回顾】 问题1：二次函数图像及其性质 问题2:一元二次方程的根的求解及韦达定理 【知识转接】 问题1:观察不等式240 x x -<和220 x x -++>，它们有什么共同特征？怎样给这样的不等式命名？它的一般形式是什么? 问题2:请尝试求解不等式240 x x -<.

【预学能掌握的内容】 1． 利用“三个二次”之间的关系解一元二次不等式 设()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为 2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的情况如下表: 0>∆ 0=∆ 0<∆ 二次函数2y ax bx c =++ （0a >)的图象 20ax bx c ++=()0a >的根 有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221- == 无实根 20(0)ax bx c a ++>> 的解集 20(0)ax bx c a ++<> 的解集

福建省莆田第八中学高中数学 3.2.2一元二次不等式及其解法的实际问题应用学案 新人教A版必修5

"福建省莆田第八中学高中数学 3.2.2一元二次不等式及其解法的实际问 题应用学案 新人教A 版必修5 " 一、学习目标： 1. 应用一元二次不等式解决实际问题。 二、教材阅读：(阅读课本+视频辅助=完成知识【认知、思考、记忆】：时间15分钟。不明白的地方应该【伙伴交流】。) 1.一元二次不等式解决实际问题的步骤 （1）寻找题意中涉及数学的量（变量和数量），如果有变量，分别用字母假设； （2）寻找题意中是否存在不等关系，如有，用不等式表达该不等关系； （3）求一元二次方程的根； （4）依二次函数的图像可得不等式的解集。 （5）答题 三、基础作业： (完成基础作业、对今日视频进行【到位】跟踪检测：时间10分钟，如果无法完成作业、应重新看视频、进行例题【临摹】。不明白的地方应该【伙伴交流】。) 1某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m 和汽车的速度 x km/h 有如下的关系：21120180 s x x =+. 在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m ，那么这辆汽车刹车前的速度是多少？

（精确到0.01km/h） 解题思路是： （1）该题意中是否存在不等关系，如有，请用不等式表达该不等关系为：___________________ （2）求一元二次方程的根为：_____________，___________________。 （3）依二次函数的图像可得不等式的解集为：___________________。 （4）答题为：______________________________ 2. 某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏. 为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？ 解题思路是： （1）本题涉及哪些数学的量：_______，_________，是变量还是数量， 如果是变量，分别用字母假设为：________，_______。 （2）该题意中是否存在不等关系，如有，请用不等式表达该不等关系为：___________________ （3）求一元二次方程的根为：_____________，___________________。 （4）依二次函数的图像可得不等式的解集为：___________________。 （5）答题为：______________________________ 四、变式作业： 4.你能否用一根长为100m的绳子围成一个面积大于600平方米的矩形么？

陕西省西安经发中学高中数学 3.2一元二次不等式恒成立问题教案 新人教A版必修5

x y O 6 3 62+-=x y “一元一次不等式与一次函数”教案设计 教 学 目 标 知识与能力：通过做函数图象、观察函数图象，使学生进一步理解函数的概念，体会一元一次等式与一元一次函数的内在联系。掌握用函数图象求一元一次不等式的解集的方法。 情感、态度、价值观：提供问题的策略化，发展学生的个性，发展学生的数学才能，感悟知识的价值。 教 学 重 点 难 点 教学重点：培养学生对函数图象的观察能力，进一步理解函数的概念。用函数的知识求一元一次不等式的解集。 教学难点：对函数图象的理解和体会，一次函数图象与一元一次不等式一次函数的关系。 教 学 用 具 小黑板或PPT 课件。 课 时 安 排 1课时 学 习 任 务 1．回顾什么叫一元一次函数？什么叫不等式？ 2．已知函数62+-=x y 的图象如图所示，根据图象回答： ⑴当x= 时，y=0，即方程062=+-x 的解为 时，y ＞0，即不等式062＞+-x 的解集为 思考： ⑵当x ＜0，即不等式062＜+-x 的解集为 ⑶当x 时，y 总结：当 y=0时，正好是图象与 轴的交点 当y ＞0时，图象位于 轴 方 当y ＜0时，图象位于 轴 方

四 总结 1、本节课学习的数学知识是一次函数与一元一次不等式的关系 ⑴若方程0=+b ax （a 、b 为常数且a ≠0）的解为 b a x - =，那么不等式 0＞b ax +（或0＜b ax +）（a ≠0）的解集就是一次函数b ax y +=（a ≠0）函数值大于 0（或小于0）时x 的取值范围。 ⑵若解不等式ax+b ＞cx+d （或ax+b ＜cx+d ）（a 、b 、c 、d 为常数且a 、c 都不为0）则可化为最简一元一次不等式，再利用一次函数图象求解。也可两边分别看成一次函数、利用图象求解。 2、本节课学习的数学方法——数形结合。

【优化设计】2021-2022高中数学必修五学案 第三章 不等式 3.2.1 一元二次不等式及其解法

第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法 3.2 一元二次不等式及其解法(第1课时) 学习目标 1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系. 2.把握图象法解一元二次不等式的方法. 合作学习 一、设计问题,创设情境 问题1:观看不等式x 2-4x<0和-x 2+x+2>0,它们有什么共同特征?怎样给这样的不等式命名?它的一般形式是什么? 问题2:请尝试求解不等式x 2-4x<0. 问题3:两种方法分别体现了什么样的数学思想?哪种方法更简洁、直观?请同学们用这种方法求不等式-x 2+x+2>0的解集. 问题4:用数形结合的方法求解一元二次不等式的解集,主要关注相应二次函数图象的什么特征? 问题5:上面的方法可以推广到求一般的一元二次不等式ax 2+bx+c>0或ax 2+bx+c<0(a>0)解集吗?相应的二次函数图象与x 轴的交点情形确定吗?由谁打算?怎么处理?(分类争辩)请大家探究. 依据探究的情形,完成下表: 续表 ax 2+bx+c<0(a>0) 的解集 问题6:当二次项系数a<0时,怎样处理呢?请大家思考解一元二次不等式的一般步骤,并完成下面的程序框图. 二、运用规律,解决问题 【例题】解下列不等式: (1)4x 2-4x+1>0; (2)-x 2+2x-3>0. 三、变式训练,深化提高 变式训练1:解下列不等式: (1)-x 2+2x+8≥0; (2)x 2 -6 x+9≤0. 变式训练2:请同学们自己编两道解一元二次不等式的题目,并由同位给出解答,沟通解答结果. 四、反思小结,观点提炼 问题7:本节课我们主要用什么思想方法推导了一元二次不等式的解法?这种思想对一般的不等式f (x )>0可以求解吗?具体步骤是什么?类似的你能用这种方法求不等式f (x )>k 的解集吗? 参考答案 一、设计问题,创设情境 问题1:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2;一元二次不等式;ax 2+bx+c>0(<0)(a ≠0). 问题2:(数形结合)设f (x )=x 2-4x ,画出其图象.

高中数学第三章不等式3.2.2一元二次不等式的解法(第1课时)练习(含解析)新人教A版必修5

高中数学第三章不等式3.2.2一元二次不等式的解法（第1课时） 练习（含解析）新人教A 版必修5 一、选择题： 1．不等式－x 2 －x ＋2≥0的解集为( ) A ．{x |x ≤2或x ≥1} B ．{x |－2＜x ＜1} C ．{x |－2≤x ≤1} D ．∅ 【答案】C 【解析】：由－x 2 －x ＋2≥0，得x 2 ＋x －2≤0，即(x ＋2)(x －1)≤0， 所以－2≤x ≤1，所以原不等式解集为{x |－2≤x ≤1}． 2．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)＜0的实数x 的取值范围为( ) A ．(0，2) B ．(－2，1) C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D ．(－1，2) 【答案】B 【解析】由a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，得x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2＝x 2 ＋x －2＜0，所以－2＜x ＜1. 3．二次不等式ax 2 ＋bx ＋c ＜0的解集是全体实数的条件是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0Δ＞0 B.⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0Δ＜0 C.⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0Δ＞0 D.⎩ ⎪⎨⎪⎧a ＜0 Δ＜0 【答案】D 【解析】结合二次函数的图象，可知若ax 2 ＋bx ＋c ＜0，则⎩ ⎪⎨⎪⎧a ＜0 Δ＜0. 4．若不等式ax 2 ＋bx ＋2＞0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12 ＜x ＜13，则a ＋b 的值为( ) A ．14 B ．－10 C ．10 D ．－14 【答案】D 【解析】由已知得，ax 2 ＋bx ＋2＝0的解为－12，1 3.所以⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－12＋1 3，2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×13 ，解得⎩ ⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2， 所以a ＋b ＝－14. 5．已知不等式ax 2 ＋3x －2＞0的解集为{x |1＜x ＜b }．则a ，b 的值等于( ) A ．a ＝1，b ＝－2 B ．a ＝2，b ＝－1 C ．a ＝－1，b ＝2 D ．a ＝－2，b ＝1 【答案】C 【解析】 因为不等式ax 2 ＋3x －2＞0的解集为{x |1＜x ＜b }，所以方程ax 2 ＋3x －2＝0的两个根分别为1和

【赢在课堂】2021-2022学年高二数学人教A必修5练习：3.2 一元二次不等式及其解法

课时训练16 一元二次不等式及其解法 一、一元二次不等式的解法 1.不等式-x 2-5x+6≤0的解集为( ) A.{x|x ≥6或x ≤-1} B.{x|-1≤x ≤6} C.{x|-6≤x ≤1} D.{x|x ≤-6或x ≥1} 答案:D 解析:由-x 2-5x+6≤0得x 2+5x-6≥0, 即(x+6)(x-1)≥0, ∴x ≥1或x ≤-6. 2.(2021福建厦门高二期末,12)不等式2x 2-5x+5 >1 2的解集是 . 答案:{x|x<2或x>3} 解析:由于指数函数y=2x 是增函数, 所以2x 2-5x+5 >12 化为x 2-5x+5>-1, 即 x 2-5x+6>0,解得 x<2或x>3. 所以不等式的解集为{x|x<2或x>3}. 3.解不等式:-2-2,x 2-3x ≤10,① ② 不等式①为x 2-3x+2>0,解得x>2或x<1. 不等式②为x 2-3x-10≤0,解得-2≤x ≤5. 故原不等式的解集为[-2,1)∪(2,5]. 二、三个二次之间的关系 4.(2021山东威海高二期中,8)不等式 ax 2+bx+2>0的解集是{x |-1 2 0的解集是{x |-1 2 0的解集为{x|x<-2或x>4},那么对于函数f (x )=ax 2+bx+c ,f (-1),f (2),f (5)的大小关系是 . 答案:f (2)0的解集为{x|x<-2或x>4}知a>0,且-2,4是方程ax 2+bx+c=0的两实根,所以{-2+4=-b a , -2×4=c a , 可得{b =-2a ,c =-8a , 所以f (x )=ax 2-2ax-8a=a (x+2)(x-4). 由于a>0,所以f (x )的图象开口向上. 又对称轴方程为x=1,f (x )的大致图象如图所示,由图可得f (2)0的解集是 . 答案:(-1 2,-1 3) 解析:∵不等式x 2-ax-b<0的解集为(2,3), ∴一元二次方程x 2-ax-b=0的根为x 1=2,x 2=3. 依据根与系数的关系可得:{2+3=a , 2×3=-b , 所以a=5,b=-6. 不等式bx 2-ax-1>0,即不等式-6x 2-5x-1>0, 整理,得6x 2+5x+1<0,即(2x+1)(3x+1)<0, 解之得-1 20的解集是(-12,-1 3). 三、含参不等式的解法 7.不等式(x+1)(x-a )<0的解集为{x|-11的解集为 .

2022-2021学年高二数学人教A必修5学案：3.2 一元二次不等式及其解法 (二)

明目标、知重点 1.会解可化为一元二次不等式(组)的简洁分式不等式.2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决.3.把握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法． 1．分式不等式的同解变形法则： (1)f (x )g (x ) >0⇔f (x )·g (x )>0； (2)f (x ) g (x )≤0⇔⎩ ⎪⎨⎪⎧ f (x )· g (x )≤0，g (x )≠0； (3)f (x )g (x )≥a ⇔f (x )－ag (x )g (x )≥0. 2．一元二次不等式恒成立问题 (1)转化为一元二次不等式解集为R 的状况，即ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0. ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立⇔⎩ ⎪⎨⎪ ⎧ a <0，Δ<0. (2)分别参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即： k ≥f (x )恒成立⇔k ≥f (x )max ； k ≤f (x )恒成立⇔k ≤f (x )min . [情境导学] 上一节我们学习了一元二次不等式的解法，理解了三个“二次”间的对应关系，那么它们有哪些应用？这是本节我们要争辩的主要内容． 探究点一 一元二次不等式在生活中的应用 例1 某种汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s (m)和汽车车速 x (km/h)有如下关系：s ＝120x ＋1 180x 2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5 m ，那么这辆汽车刹 车前的车速至少为多少？(精确到0.01 km/h) 解 设这辆汽车刹车前的车速为x km/h ， 依据题意，得120x ＋1 180 x 2>39.5. 移项整理，得x 2＋9x －7 110>0. 明显Δ>0，x 2＋9x －7 110＝0有两个实数根， 即x 1≈－88.94，x 2≈79.94. 然后，依据二次函数y ＝x 2＋9x －7 110的图象， 得不等式的解集为{x |x <－88.94或x >79.94}． 在这个实际问题中，x >0，所以这辆汽车刹车的车速至少为79.94 km/h. 反思与感悟 一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，精确 找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应留意变量具有的“实际含义”． 跟踪训练1 在一个限速40 km /h 的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发觉状况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ．又知甲、乙两种车型的刹 车距离S m 与车速x km/h 之间分别有如下关系：S 甲＝0.1x ＋0.01x 2，S 乙＝0.05x ＋0.005x 2.问超速行驶谁应负主要责任． 解 由题意列出不等式S 甲＝0.1x 甲＋0.01x 2甲>12， S 乙＝0.05x 乙＋0.005x 2乙>10. 分别求解，得x 甲<－40或x 甲>30，x 乙<－50或x 乙>40. 由于x >0，从而得x 甲>30 km /h ，x 乙>40 km/h. 经比较知乙车超过限速，应负主要责任． 例2 一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x (辆)与制造的价值y (元)之间有如下的关系：y ＝－2x 2＋220x .若这家工厂期望在一个星期内利用这条流水线创收6 000元以上，那么它在一个星期内大约应当生产多少辆摩托车？ 解 设在一个星期内大约应当生产x 辆摩托车． 依据题意，得－2x 2＋220x >6 000. 移项整理，得x 2－110x ＋3 000<0.由于Δ＝100>0，

最新人教版高中数学必修五 一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法优质教案

3.2 3.2.1一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法 从容说课 本节课是人民教育出版社A版必修数学5第三章不等式第二大节3.2一元二次不等式及其解法的第一节课.一元二次不等式及其解法教学分为三个学时，第一个学时先由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出一元二次不等式及其解法中的一些基本概念、求解一元二次不等式的步骤、求解一元二次不等式的程序框图.确定一元二次不等式的概念和解法，以此激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度.通过具体例题的分析和求解，在这些例题中设置思考项，让学生探究，层层铺设，以便让学生深刻理解一元二次不等式的概念，有利于一元二次不等式的解法的教学.讲述完一元二次不等式的概念后，再回归到先前的具体事例，总结一元二次不等式解法与二次函数的关系和一元二次不等式解法的步骤，由学生用表格将一元二次不等式解法与二次函数的数形关系的对应关系用图表形式表示出来；然后用一个程序框图把求解一般一元二次不等式的过程表示出来，根据这些图表，得出一元二次不等式解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系，再辅以新的例题巩固.整个教学过程，探究一元二次不等式的概念，揭示一元二次不等式解法与二次函数的关系本质，引出一元二次不等式解法的步骤和过程，并及时加以巩固，同时让学生体验数 学的奥秘与数学美，激发学生的学习兴趣. 教学重点 1.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型. 2.围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想. 教学难点理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系. 教具准备多媒体及课件，幻灯片三张 三维目标 一、知识与技能 1.经历从实际情景中抽象出一元二次不等式模型的过程;