厚德启智 心怀天下
导数经典例题精讲
数知 点
数是一种特殊的极限 几个常用极限：（ 1） lim
1
lim a
n
0 （ | a | 1
lim x
x
lim
1
1
.
n
n
， n
）；（2） x
x
0 ， x
x
x
x 0
sin x
x
两个重要的极限
：（1） lim
1 ；（2） lim
1
1
e (e=2.718281845?).
x 0
x
x
x
函数极限的四 运算法 ：若
lim f ( x) a ， lim g (x) b ，
x x 0
x
x 0
(1) lim f x
g x
a b ；(2) lim
f x
g x
a b ;(3) lim f x
a b 0 .
x x 0
x x 0
x x
g x
b
数 列 极 限 的 四运 算 法： 若 lim a n a,lim b n b ，(1)
lim a n b n a b ；
n n n
(2) lim a n b n a b (3) lim a n
a b 0 (4) lim c a n lim c lim a n c a ( c 是常数 )
n
n
b n
b
n
n n
f (x) 在 x 0 的 数（或 化率或微商）
f (x 0 ) y x x
lim
y
lim f ( x 0 x) f ( x 0 ) 0
x 0
x
x 0
x
. 瞬 速度：
s (t ) lim
s s(t t) s(t )
t
lim
t
t 0
t 0
.
.
瞬 加速度： a
v (t)
lim v lim v(t
t) v(t) .
t 0
t t 0
t
f (x) 在 (a, b) 的 数： f ( x)
y
dy df lim
y lim f (x
x) f (x) .
dx dx x 0
x x 0
x
函数 y
f ( x) 在点 x 0 的 数的几何意
函数 y
f ( x) 在点 x 0 的 数是曲 y
f ( x) 在 P( x 0 , f ( x 0 )) 的切 的斜率
f ( x 0 ) ，相
的切 方程是 y y 0
f ( x 0 )( x x 0 ) .
几种常 函数的 数
(1) C 0 （ C 常数） .(2)
( x n )' nx n 1(n Q ) .(3) (sin x) cosx . (cos x) sin x
(4) (ln x) 1 ； (log a x
) 1 log a e . (5) (e x ) e x ; (a x ) a x ln a .
x
x
数的运算法
（ 1） (u
'
'
'
'
'
'
u '
u 'v uv '
v) u
v . （ 2） (uv)
u v uv . （3） ( v )
v 2
( v 0)
.
复合函数的求 法
函数 u
(x) 在点 x 有 数 u x '
'
( x) ，函数 y f (u) 在点 x 的 点 U 有 数
y u '
f ' (u) ，复 合 函 数 y
f ( (x))
在 点 x 有 数 ， 且 y x '
y u ' u x ' ， 或 写 作
f x ' ( (x))
f ' (u) ' ( x) .
【例题解析】 考点 1
导数的概念
对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念
.
1 3
例 1 ． f (x) 是 f (x)
x
2x 1 的导函数，则 f ( 1) 的值是
．
[考查目的 ] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力
.
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[解答过程 ] Q f ( x) x2 2, f ( 1)
2
2 3. 1
故填 3.
例 2.设函数f ( x) x a ,集合M=
{ x | f (x) 0}
,P=
{ x | f'(x ) 0} ,若 M P,则实数 a 的取值范围是 ( )
x 1
A.(- ∞ ,1)
B.(0,1)
C.(1,+ ∞ )
D. [1,+ ∞ )
[考查目的 ]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.
[解答过程 ]由x
a 0, 当 a>1时,1 x a;当 a<1时, a x 1. x 1
/
Q y x a , y/ x a x 1 x 2 a a 1
2 0.
x 1 x 1 x 1 x 1
a 1.
综上可得 M P 时 , a 1.
考点 2 曲线的切线
（ 1）关于曲线在某一点的切线
求曲线 y=f(x) 在某一点 P（ x,y ）的切线，即求出函数y=f(x) 在 P 点的导数就是曲线在该点的切线的斜率.
（ 2）关于两曲线的公切线
若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线.
典型例题
例 3.已知函数f (x) 1 x3 1 ax2 bx 在区间 [ 11)，， (1，3] 内各有一个极值点．
3 2
（I）求a24b的最大值；
（ II）当a2 4b 8 时，设函数 y f (x) 在点 A(1， f (1)) 处的切线为 l ，若 l 在点A处穿过函数y f ( x) 的图象（即动点在点 A 附近沿曲线 y f ( x) 运动，经过点 A 时，从l 的一侧进入另一侧），求函数 f ( x) 的表达式．
思路启迪：用求导来求得切线斜率 .
解答过程：（ I ）因为函数 f (x) 1 x3 1 ax2 bx 在区间 [ 11)，， (1，3] 内分别有一个极值点，所以
3 2
f ( x) x2 ax b 0 在 [ 11)，， (1，3] 内分别有一个实根，
设两实根为x1， x2（ x1 x2 ），则 x2 x1 a2 4b ，且 0 x2 x1≤ 4 ．于是
0 a2 4b ≤ 4 ，0 a2 4b ≤ 16 ，且当 x1 1，x2 3 ，即a 2 ， b 3 时等号成立．故a2 4b 的最大值是 16．
（ II）解法一：由 f (1) 1 a b 知 f (x) 在点 (1， f (1)) 处的切线l的方程是
y f (1) f (1)(x 1) ，即 y (1 a b) x 2 1
a ，
3 2
因为切线 l 在点A(1，f (x))处空过y f (x) 的图象，
所以
g (x) f (x) [(1 a 2 1 1 两边附近的函数值异号，则
b) x a] 在x
3 2
x1不是g(x)的极值点．
而 g (x) 1 x3 1 ax2 bx (1 a b) x 2 1
a ，且
3 2 3 2
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g (x) x 2 ax b (1 a b) x 2
ax a 1 ( x 1)( x 1 a) ．
若 1 1 a ，则 x 1 和 x
1 a 都是 g( x) 的极值点．
所以 1
1 a ，即 a
2
，又由 a 2
4b 8 ，得 b
1 ，故 f ( x) 1 x 3 x
2 x ．
2 1
3
解法二：同解法一得
g (x)
f (x) [(1
a
b) x
a]
1
3a
3
3 2
( x 1)[ x 2
(1 ) x (2 a)] ．
3
2 2
因为切线 l 在点 ， 处穿过 y f ( x) 的图象，所以
g( x) 在 x 1 两边附近的函数值异号，于是存在 ，
m 2
A(1 f (1))
m 1 （ m 1 1 m 2 ）．
当 m 1 x 1时， g( x)
0 ，当 1 x
m 2 时， g (x) 0 ；
或当 m 1 x 1 时， g( x) 0 ，当 1 x m 2 时， g ( x) 0 ．
设 h(x)
x 2
1 3a
x
2 3a ，则
2
2
当 m 1 x 1时， h( x)
0 ，当 1 x m 2 时， h( x) 0 ；
或当 m 1
x 1 时， h( x) 0 ，当 1 x m 2 时， h(x) 0 ．
由 h(1) 0 知 x 1 是 h( x) 的一个极值点，则 h(1) 2
1 1 3a
0 ，
2
所以 a
2 ，又由 a 2
4b 8 ，得 b
1 ，故 f ( x) 1 x 3 x 2
x ．
例 4.若曲线 y x 4 的一条切线 l 与直线 x
3
4y
8 0 垂直，则 l 的方程为（
）
A ． 4x y 3 0
B ． x 4 y 5 0
C ． 4x y 3 0
D ． x 4 y 3 0
[考查目的 ]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力 .
[解答过程 ]与直线 x 4 y 8 0 垂直的直线 l 为 4x y m 0 ，即 y x 4 在某一点的导数为 4，而 y 4x 3 ，所以 y x 4 在 (1 ，
1) 处导数为 4 ，此点的切线为 4x y 3 0 .
故选 A.
例 5 ．过坐标原点且与 x 2
+y 2
-4 x+2 y+ 5
=0 相切的直线的方程为
( )
2
A. y=-3 x 或 y= 1
x
B. y=-3 x 或 y=- 1
x
C. y=-3 x 或 y=- 1
x
D. y=3 x 或 y= 1
x
3
3
3
3
[考查目的 ]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力 .
[解答过程 ]解法 1 ：设切线的方程为 y kx, kx y 0.
又 x 2
y 2
5
圆心为 2,
1 .
2 1
,
2
2k 1
5, 3k 2
8k 3 0. k
1
,k
3.
k 2 1
2
3
y
1
x,或 y
3x.
3
故选 A.
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解法 2:由解法 1 知切点坐标为 (
1 , 3
), 3 , 1 , 由
2 2 2 2
( x 2)
2
2
/
y 1
x
/
5
,
2 x
2( x 2) 2 y 1 y x / 0,
y x /
x 2 .
y 1
k 1
y x /
1
3 3, k 2 y x /
3 1
( , )
( , )
2 2
2 2
y
3x, y
1
x.
3
1 .
3
故选 A.
例 6.已知两抛物线 C 1 : y
x 2
2x,C 2 : y
x 2
a ,
a 取何值时 C ， C 有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程.
1
2
思路启迪 ：先对 C y x 2
x C
2 : yx 2 a 求导数 .
1 :
2 ,
解 答 过 程 ： 函 数 y x 2
2 x 的 导 数 为 y
'
2 x
2 ， 曲 线 C 1
在 点 P( x , x 2 2x 1 ) 处 的 切 线 方 程 为
1
1
y ( x 2
2x ) 2(x
1 2)( x x )
，即
y 2( x
1)x x 2
①
1
1
1
1
1
曲线
C 1 在点 Q (x 2 ,
x 2 2
a) 的切线方程是 y
( x 2
a) 2x 2 (x x 2 ) 即
y
2x 2 x x 2 2 a
②
若直线 l 是过点 P 点和 Q 点的公切线，则①式和②式都是
l 的方程，故得
x 1
x , x
2
x 2
1，消去 x 得方程，
2
1
2
1
2
2
2x 1
2x 1 1 a 0
若△ = 4 4 2(1 a) 0 ，即 a
1
时，解得
x 1
1
，此时点 P 、 Q 重合 .
2 2
∴当时 a
1
， C 1 和 C 2 有且只有一条公切线，由①式得公切线方程为
y x 1 .
2
4
考点 3
导数的应用
中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函
数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的
方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法 .复习时，应高度重视以下问题 :
1.. 求函数的解析式 ;
2. 求函数的值域 ;
3. 解决单调性问题 ;
4. 求函数的极值（最值）
;5.构造函数证明不等式 .
典型例题
例 7 ．函数 f ( x) 的定义域为开区间 (a,b) ，导函数 f ( x) 在 (a,b) 内的图象如图所示，则函数
f ( x) 在开区间 (a, b) 内有极小
值点（ ）
A ． 1 个
B ． 2 个
C ． 3 个
D ． 4 个
[考查目的 ]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力 .
y
y f ?(x)
[解答过程 ]由图象可见 ,在区间 (a,0) 内的图象上有一个极小值点 .
故选 A.
例 8 .设函数 f (x) 2x 3
3ax 2 3bx 8c 在 x
1 及 x 2时取得极值．
a
O
b
x
（Ⅰ）求 a 、b 的值；
（Ⅱ）若对于任意的 x
[0，3] ，都有 f ( x) c 2 成立，求 c 的取值范围．
3
2
解答过程：（Ⅰ） f (x) 6x2 6ax 3b ，
因为函数 f ( x) 在x 1及x 2 取得极值，则有 f (1) 0 ， f (2) 0 ．
6 6a 3b ，
即
．
24 12a 3b 0
解得 a 3 ， b 4 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， f ( x) 2x3 9x2 12x 8c ，
f ( x) 6x2 18x 12 6( x 1)( x 2) ．
当 x (01)，时， f ( x) 0 ；
当 x (12)，时， f ( x) 0 ；
当 x (2，3) 时， f ( x) 0 ．
所以，当 x 1 时， f ( x)取得极大值 f (1) 5 8c ，又 f (0) 8c ， f (3) 9 8c ．则当 x 0，3 时， f (x) 的最大值为 f (3) 9 8c ．
因为对于任意的 x 0，3 ，有
f ( x) c 2 恒成立，
所以9 8c c2，
解得 c 1 或 c 9 ，
因此 c 的取值范围为( ， 1) U (9，) ．
例 9.函数y 2 x 4 x 3 的值域是_____________.
思路启迪：求函数的值域，是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂，采用导数法求解较为容易。
解答过程：由2 x
4
得， x 2 ，即函数的定义域为 [ 2, ) . x 3 0
1 1
2 x
3 2x
4 ，
y'
2 2x 4 x 3
2x 4 2 x 3
又
2 x
3 2 x
4 2x 8 ，
x 3 2x
2 4
当x2 时， y' 0 ，
函数 y 2 x 4 x 3 在( 2, ) 上是增函数，而 f ( 2) 1，y 2x 4x 3 的值域是 [ 1, ) .
例 10．已知函数 f x 4x3 3x2 cos 3
cos ，其中 x R, 为参数，且 0 2 ．16
（ 1）当时cos 0 ，判断函数 f x 是否有极值；
（ 2）要使函数 f ( x) 的极小值大于零，求参数的取值范围；
1,a 内都是增函数，求实数a的取值范围．（ 3）若对（ 2）中所求的取值范围内的任意参数，函数 f x 在区间 2a
[考查目的 ]本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，以及分类讨论的数学思想方法.
[解答过程 ]（Ⅰ）当cos 0 时，f ( x) 4x3，则 f (x) 在 ( , ) 内是增函数，故无极值.
（Ⅱ）
f '( x)
12 x 2 6x cos ，令 f '( x)
，得
x 1 0, x 2
cos .
2
由（Ⅰ），只需分下面两种情况讨论 .
①当 cos 0 时，随 x 的变化 f '(x) 的符号及 f ( x) 的变化情况如下表：
x
(
,0)
(0,
cos
)
cos
(
cos
, )
2
2
2
f '(x)
+
0 - 0 + f (x) ↗ 极大值
↘
极小值
↗
因此，函数 f ( x) 在
x
cos
处取得极小值
f(
cos
) ，且 f (
cos
)
1
cos 3
3
2
2
2 4
16 .
要使 f ( cos
) 0 ，必有 1
cos (cos
2
3
) 0 ，可得 0
cos
3 .
2
4
4
2
由于
0 cos
3
，故
2
或
3
11 .
2
6 2
6
错误 !未找到引用源。 当时 cos 0 ，随 x 的变化， f '(x) 的符号及 f (x) 的变化情况如下表： x
(
cos
)
cos
cos ,0)
(0, )
,
2
(
2
2
f '(x)
+ 0
-
0 +
f ( x)
极大值
极小值
因此，函数 f ( x)在 x 0 处取得极小值 f (0) ，且 f (0)
3
cos .
16
若 f (0) 0 ，则 cos 0 .矛盾 .所以当 cos 0
时， f (x) 的极小值不会大于零 .
综上，要使函数
f ( x) 在 (
,
) 内的极小值大于零，参数
的取值范围为 (
, ) ( 3
, 11 ) .
6 2 2 6
（错误 !未找到引用源。 ）解：由（ 错误 !未找到引用源。 ）知，函数 f ( x) 在区间 (
,
) 与 (
cos
,
) 内都是增函数。
2
由题设，函数 f (x)在(2a
1,a) 内是增函数，则 a 须满足不等式组
2a 1 a
或
2a 1 a
1
cos
a 0
2a 1
2
由（错误 !未找到引用源。 ），参数时
(
, )
(3 ,11
) 时， 0 cos
3
.要使不等式 2a 1 1
cos 关于参数 恒成立，
6 2
2
6
2
2
必有
2a 1
3 ，即 4
8 3 a
.
4
综上，解得 a 0 或
4
8 3
a 1.
所以 a 的取值范围是 (
,0)
[
4 3
,1) .
8
例 11．设函数 f( x)=ax － (a+1)ln( x+1) ，其中 a -1 ，求 f( x)的单调区间 .
[考查目的 ]本题考查了函数的导数求法 ,函数的极值的判定 , 考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力
[解答过程 ]由已知得函数
f (x) 的定义域为 ( 1,
) ，且 f '
( x) ax 1
(a
1),
x 1 （ 1）当 1 a 0时， f ' (x)
0, 函数 f (x) 在 ( 1,
) 上单调递减，
（ 2）当 a
0 时，由 f ' (x) 0, 解得 x
1 .
a
'
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x
( 1, 1
)
1 ( 1 , )
a
a
a
f ' (x)
— 0
+
f (x) 极小值
从上表可知
当 x ( 1, 1 ) 时， f '
(x)
0, 函数 f ( x)
在
( 1,1
) 上单调递减 .
a
a
当 x ( 1 , ) 时， f ' ( x) 0, 函数 f (x) 在
( 1 ,
) 上单调递增 .
a
a
综上所述：当 1 a 0 时，函数 f ( x) 在 ( 1,
) 上单调递减 .
当 a
0 时，函数 f (x) 在 ( 1,1 ) 上单调递减，函数 f ( x) 在 ( 1
, ) 上单调递增 .
a
a
例 12．已知函数 f (x)
ax 3 bx 2 cx 在点 x 0 处取得极大值 5，其导函数 y f '(x)
的图
象 经 过 点
(1,0) ， (2,0) ，如图所示 .求：
（Ⅰ） x 0 的值；
（Ⅱ） a, b, c 的值 .
[考查目的 ]本小题考查了函数的导数 ,函数的极值的判定 , 闭区间上二次函数的最值 , 函数与方程的转化等基础知识的综合应用 ,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力
[解答过程 ]解法一：（Ⅰ）由图像可知，在 ,1
上
f ' x
，在
1,2
上
f ' x
，在
2,
上
f ' x 0
,
故 f (x) 在（- ， 1），（ 2，+ ）上递增，在 (1,2) 上递减，
因此 f
x 在
x 1 处取得极大值，所以
x 0
1
（Ⅱ） f ' ( x) 3ax 2
2bx c,
'
'
'
1）＝ 5，
由
f （ 1）=0，（f
2）＝ 0，（f
3a 2b c
0,
得
12a
4b c 0,
a b c 5,
解得 a 2,b
9,c
12.
解法二：（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）设 f '( x) m( x 1)(x
2) mx 2
3mx 2m,
又
f '
(x) 3ax 2
2bx c,
所以 a
m
, b
3
m, c 2m
3
2
f ( x) m x 3 3 mx 2| 2mx,
3 2
由
f (1) 即 m 3
得
m 6,
m 2m
5,
5， 3 2
所以 a 2, b 9,c 12 例 13．设 x
3 是函数 f x
x 2 ax b e 3 x x R 的一个极值点 .
（Ⅰ）求 a 与 b 的关系式（用 a 表示 b ），并求 f x 的单调区间；
（Ⅱ）设 a
0 ， g x
a 2
25 e x
.若存在 1 , 2 0,4 使得 f 1 g 2 1 成立，求 a 的取值范围 .
4
[考查目的 ]本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力
.
23－
x
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由 f `(3)=0 ，得 － [32＋ (a － 2)3 ＋ b －a ]e 3－
3＝ 0，即得 b ＝－ 3－
2a ，则 f `(x) ＝ [x 2＋( a －2)x － 3 － 2a －a ]e 3 －x
＝－ [x 2＋ (a － 2)x － 3 －3a ]e 3－ x ＝－ (x －3)(x ＋ a+ 1)e 3－ x .
令 f `(x) ＝ 0，得 x 1 ＝3 或 x 2＝－ a － 1 ，由于 x ＝3 是极值点，所以 x+a+ 1≠ 0 ，那么 a ≠－ 4.
当 a<－4 时， x 2>3 ＝ x 1，则
在区间（－∞， 3）上， f `(x) <0 ， f (x) 为减函数； 在区间（ 3 ，― a ― 1 ）上， f `(x)>0 ，f (x) 为增函数；
在区间（― a ―1 ，＋∞）上， f `(x) <0 ， f (x) 为减函数 .
当 a>－4 时， x 2<3 ＝ x 1，则
在区间（－∞，― a ― 1）上， f `(x) <0 ， f (x) 为减函数； 在区间（― a ―1 ， 3 ）上， f `(x)>0 ，f (x) 为增函数； 在区间（ 3 ，＋∞）上， f `(x) <0 ， f (x) 为减函数 . （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当
a>0 时， f (x) 在区间（ 0 ，3 ）上的单调递增，在区间（
3， 4 ）上单调递减，那么 f (x) 在区间 [0，
4]上的值域是 [min(f (0) ，f (4) )， f (3) ]，
而 f (0) ＝－（ 2a ＋3 ） e 3<0 ，f (4) ＝（ 2a ＋ 13） e －
1>0 ， f (3) ＝ a ＋ 6 ，
那么 f (x) 在区间 [0， 4]上的值域是 [－（ 2a ＋ 3 ） e 3， a ＋ 6].
又 g(x) (a 2
25
x
在区间 [0，4]上是增函数，
)e
4
且它在区间 [0， 4]上的值域是 [a 2 ＋
25
，（a 2＋
25
） e 4]，
4
4
由于（ a 2
＋
25
）－（ a ＋ 6 ）＝ a 2
－ a ＋ 1 ＝（ a
1
） 2≥ 0，所以只须仅须
4
4
2
（ a 2
＋
25
）－（ a ＋6） <1 且 a>0 ，解得 0 . 4 2 故 a 的取值范围是（ 0 ， 3 ）. 2 例 14 已知函数 f ( x) 1 ax 3 bx 2 (2 b) x 1 3 在 x x 1 处取得极大值，在 x x 2 处取得极小值，且 0 x 1 1 x 2 2 ． （ 1）证明 a 0 ； （ 2）若 z=a+2 b,求 z 的取值范围。 [解答过程 ]求函数 f (x) 的导数 f ( x) ax 2 2bx 2 b ． （Ⅰ）由函数 f ( x) 在 x x 1 处取得极大值，在 x x 2 处取得极小值，知 x 1， x 2 是 f ( x) 0 的两个根． 所以 f ( x) a(x x 1)( x x 2 ) 当 x x 1 时， f ( x) 为增函数， f ( x) 0 ，由 x x 1 0 ， x x 2 0 得 a 0 ． f (0) 0 2 b 0 （Ⅱ）在题设下， 0 x 1 1 x 2 2 等价于 f (1) 0 即 a 2b 2 b 0 ． f (2) 0 4a 4b 2 b 0 2 b 0 化简得 a 3 b 2 0 ． 4a 5b 2 0 此不等式组表示的区域为平面 aOb 上三条直线： 2 b 0， a 3b 2 0，4a 5b 2 0 ． 厚德启智 心怀天下 所围成的 △ ABC 的内部，其三个顶点分别为： 16 z 在这三点的值依次为 ，，68 ． 所以 z 的取值范围为 16， ． 8 7 4 6 ，， ， ． A ， ， 7 B(2 2) C (4 2) 7 b 2 B(2，2) C (4，2) 1 4 6 A ， 7 7 小结：本题的新颖之处在把函数的导数与线性 O 2 4 a 规划有机结合． 考点 4 导数的实际应用 建立函数模型 ,利用 典型例题 例 15. 用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为 2 ： 1，问该长方体的长、宽、高 各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？ [考查目的 ]本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力 . [解答过程 ]设长方体的宽为 x （ m ），则长为 2x(m) ，高为 h 18 12x 4.5 x ＜ x ＜ 3 . 4 3 (m) 0 2 故长方体的体积为 V x ) 2 x 2 (4.5 x ) 9 x 2 6 x 3 3 ) ＜ x ＜ 3 ( 3 (m (0 ). 2 从而 V ( ) 18 x 18 x 2 (4.5 3 ) 18 x (1 ). x x x 令 V ′（ x ）＝ 0 ，解得 x=0 （舍去）或 x=1，因此 x=1. 当 0 ＜x ＜ 1 时， V ′（ x ）＞ 0；当 1＜ x ＜ 2 时， V ′（ x ）＜ 0， 3 故在 x=1 处 V （x ）取得极大值，并且这个极大值就是 V （x ）的最大值。 从而最大体积 V ＝ V ′（ x ）＝ 9× 1 2-6 × 13 （m 3），此时长方体的长为 2 m ，高为 1.5 m. 答：当长方体的长为 2 m 时，宽为 1 m ，高为 1.5 m 时，体积最大，最大体积为 3 m 3。例 16．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗 油量 y （升）关于行驶速度 x （千米 /小时）的函数解析式可以表示为： y 1 x 3 3 x 8(0 x 120).已知甲、乙两地相距 100 千米 . 12800080 （ I ）当汽车以 40 千米 /小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （ II ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ [考查目的 ]本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力 . [解答过程 ]（ I ）当 x 40 时，汽车从甲地到乙地行驶了 100 小时， 2.5 40 要耗没 ( 1 403 3 40 8) 2.5 17.5 （升） . 128000 80 答：当汽车以 40 千米 /小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油 17.5 升。 （ II ） 当 速 度 为 x 千 米 / 小 时 时 ， 汽 车 从 甲 地 到 乙 地 行 驶 了 100 小 时 ， 设 耗 油 量 为 h( x) 升 ， 依 题 意 得 x h(x) ( 1 x 33 x 8). 100 1 x 2 800 15 (0 x 120), 128000 80 x 1280 x 4 h '(x) x 800 x 3 803 (0 x 120). 640 x 2 640 x 2 令 h '(x ) 0, 得 x 80. 当 x (0,80) ， h'( x) 0,h( x) 是减函数；当 x (80,120) ， h '( x) 0, h( x ) 是增函数 . 当 x 80 ， h(x) 取到极小 h(80) 11.25. 因 h(x) 在 (0,120] 上只有一个极 ，所以它是最小 . 答：当汽 以 80 千米 /小 的速度匀速行 ，从甲地到乙地耗油最少，最少 11.25 升 . 【 】 一、 1. y= e sin x cos(sin x)， y ′ (0) 等于 ( ) A.0 B.1 C.－ 1 D.2 2. 原点且与曲 y= x 9 相切的方程是 ( ) A. x+y=0 或 x 25 C. x+y=0 或 x 25 x 5 +y=0 B. x － y=0 或 x +y=0 25 － y=0 D. x － y=0 或 x － y=0 25 3. f(x) 可 ，且 f ′ (0)=0, 又 lim f (x) =－ 1, f(0)( ) x 0 x A. 可能不是 f(x)的极 B. 一定是 f(x)的极 C. 一定是 f(x)的极小 D. 等于 0 4. 函数 f n (x)=n 2x 2(1 － x)n (n 正整数 )， f n (x)在［ 0,1 ］上的最大 ( ) A.0 B.1 C. (1 2 ) n D. 4( n ) n 1 2 n n 2 5、函数 y=(x 2 -1) 3+1 在 x=-1 ( ) A 、 有极大 B 、无极 C 、有极小 D 、无法确定极 情况 6.f(x)=ax 3 +3x 2+2 ， f ’ (-1)=4 ， a=( ) A 、 10 B 、 13 C 、 16 D 、 19 3 3 3 3 7. 抛物 y=x 2 上的点 M （ 1 , 1 ）的切 的 斜角是 ( ) 2 4 A 、 300 B 、 45 0 C 、 60 0 D 、90 0 8.函数 f(x)=x 3 -6bx+3b 在（ 0 ， 1 ）内有极小 ， 数 b 的取 范 是 ( ) A 、（ 0 ，1 ） B 、（ -∞， 1） C 、（ 0， +∞） D 、（ 0 ， 1 ） 2 9.函数 y=x 3 -3x+3 在 [ 3 , 5 ] 上的最小 是 ( ) 2 2 A 、 89 B 、 1 C 、 33 D 、5 8 8 10 、若 f(x)=x 3 +ax 2 +bx+c ，且 f(0)=0 函数的极 ， ( ) A 、c ≠ 0 B 、当 a>0 ， f(0) 极大 C 、 b=0 D 、当 a<0 ， f(0) 极小 11、已知函数 y=2x 3 +ax 2+36x-24 在 x=2 有极 ， 函数的一个 增区 是 () A 、（2 ， 3 ） B 、（3 ， +∞） C 、（ 2， +∞） D 、（ -∞， 3 ） 12 、方程 6x 5-15x 4 +10x 3 +1=0 的 数解的集合中 ( ) A 、至少有 2 个元素 B 、至少有 3 个元素 C 、至多有 1 个元素 D 、恰好有 5 个元素 二、填空 13. 若 f ′ (x 0)=2, lim f (x 0 k) f ( x 0 ) =_________. k 0 2k 14. f(x)= x(x+1)( x+2) ? (x+n), f ′(0)=_________. 15. 函数 f(x)=log a (3x 2+5 x － 2)(a ＞0 且 a ≠1) 的 区 _________. 16. 在半径 R 的 内，作内接等腰三角形，当底 上高 _________ 它的面 最大 . 三、解答 3 － 3x 17. 已知曲 C ： y=x 2 ，求直 l 的方程及切点坐 . +2 x,直 l:y=kx,且 l 与 C 切于点 (x ,y )( x ≠ 0) 18. 求函数 f(x)=p 2x 2(1-x) p (p ∈N + )，在 [0， 1]内的最大 . 19. 明双曲 xy=a 2 上任意一点的切 与两坐 成的三角形面 等于常数 . 20. 求函数的 数 (1) y=( x 2 － 2x+3) e 2 x ; (2) y= 3 x . 1 x 21. 有一个 度 5 m 的梯子 靠在笔直的 上，假 其下端沿地板以3 m/s 的速度离开 脚滑 ，求当其下端离开 脚 1.4 m ，梯子上端下滑的速度 . 22. 求和 S n =1 2 2 2 2 2 n － 1 * ). +2 x+3 x +? +n x ,(x ≠ 0,n ∈ N 23. f(x)= ax 3 +x 恰有三个 区 ， 确定 a 的取 范 ，并求其 区 . 24. x=1 与 x=2 是函数 f(x)=alnx+bx 2 +x 的两个极 点 . (1) 确定常数 a 和 b 的 ； (2) 判断 x=1, x=2 是函数 f(x)的极大 是极小 ，并 明理由. 25. 已知 a 、 b 数，且 b ＞ a ＞e,其中 e 自然 数的底，求 ： a b ＞b a . 26. 关于 x 的方程 2x 2 －ax － 2=0 的两根 α 、 β(α＜ β),函数 f(x)= 4x a . x 2 1 (1) 求 f(α )· f( β)的 ； (2) 明 f(x)是［ α， β］上的增函数； (3) 当 a 何 ， f(x)在区 ［ α，β］上的最大 与最小 之差最小？ 【参考答案】 一、 1.解析： y ′ =e sin x ［ cos xcos(sin x) －cos xsin(sin x)］ ,y ′ (0)= e 0(1 － 0)=1. 答案： B 2.解析： 切点 (x 0,y 0), 切 的斜率 k= y ,另一方面， y ′ =( x 9 )′ = 4 ,故 x 0 x 5 (x 5)2 y ′ (x 0 )=k,即 4 y 0 x 0 9 或 x 02+18 x 0+45=0 得 x 0 (1)=－ 3,y 0(2) =－ 15, 有 y 0(1)=3, y 0 (2) = 15 9 3 ,因此得两个 (x 0 5) 2 x 0 ( x 0 5) 15 5 5 x 0 切点 A (－3 ，3) 或 B (－ 15, 3 ), 从而得 5 － x 或 l B :y=－ x . 25 答案： A 3. 解析：由 lim f (0) =－ 1,故存在含有 x 0x y ′ (A )= 4 =－ 1 及 y ′ (B )= 4 1 ,由于切 原点， 故得切 ：l A :y= ( 3 5)3 ( 15 5)2 25 0 的区 (a,b)使当 x ∈(a,b),x ≠ 0 f ( 0) ＜ 0,于是当 x ∈ (a,0) f ′ (0) ＞ 0,当 x ∈ (0,b) x ， f ′ (0) ＜ 0,f(x)在 (a,0) 上 增，在 (0, b)上 减 . 答案： B 4.解析：∵ f ′ n (x)=2 xn 2(1－ x)n － n 3x 2(1 － x) n -1 =n 2x(1 － x) n-1 ［ 2(1 － x)－ nx ］,令 f ′ n (x)=0, 得 x 1=0, x 2=1, x 3 = 2 ,易知 2 n n 2 取得最大 ，最大 f n ( 2 22 2 (1 － 2 n =4 · ( 2 ) n +1 . f (x)在 x= )= n ( ) ) 2 n 2 n 2 n 2 n 2 n 答案： D 5、 B 6 、 A 7 、 B 8 、 D 9 、 B 10、 C 11、 B 12 、 C 二、 13.解析：根据 数的定 ： lim f ( x 0 k) f (x 0) [ 2k lim k 0 k 0 1 f (x 0 k ) f (x 0 ) lim 2 k 0 k f ′ (x 0 )= lim f [( x 0 ( k)] f ( x 0 ) (x k ) k 0 k 1 f (x 0 k) f ( x 0 )] 2 k 1 f (x 0 ) 1. 2 答案：－ 1 14. 解析： g(x)=( x+1)( x+2) ?? (x+n), f(x)= xg( x),于是 f ′ (x)= g(x)+ xg ′ (x), 厚德启智 心怀天下 f ′ (0)= g(0)+0 · g ′ (0)= g(0)=1 · 2 ·? n=n ！答案： n! 15. 解析：函数的定 域是 x ＞ 1 或 x ＜－ 2,f ′ (x)= 3 log a e .(3 x 2 +5 x － 2) ′ = (6x 5) log a e , 3x 2 5x 2 (3x 1)(x 2) ①若 a ＞ 1, 当 x ＞ 1 ，log a e ＞0,6 x+5 ＞ 0,(3 x － 1)( x+2) ＞ 0,∴ f ′ (x)＞ 0,∴函数 f(x)在 ( 1 ,+ ∞ )上是增函数， x ＜－ 2 ， 3 3 f ′ (x)＜0. ∴函数 f(x)在 (－∞ ,－ 2) 上是减函数 . ②若 0＜ a ＜ 1, 当 x ＞ 1 ， f ′ (x)＜ 0,∴ f(x)在 ( 1 ,+ ∞ )上是减函数，当 x ＜－ 2 ， 3 3 f ′ (x)＞0, ∴f(x)在 (－∞ ,－ 2) 上是增函数 . 答案： (－∞ ,－ 2) 16. 解析： 内接等腰三角形的底 2x,高 h ，那么 h=AO +BO =R+ R 2 x 2 ,解得 x 2 =h(2R －h), 于是内接三角形的面 S =x · h= (2 Rh h 2 ) h(2 Rh 3 h 4 ), 从而 S 1 (2Rh 3 1 h 4 ) 2 ( 2Rh 3 h 4 ) 2 1 ( 2Rh 3 1 h 2(3R 2h) h 4 ) 2 (6Rh 2 4h 3 ) 2 3 (2R h)h . 令 S ′ =0, 解得 h= 3 R,由于不考 不存在的情况，所在区 (0,2 R)上列表如下： 2 h (0, 3 R) 3 R ( 3 ,2R ) 2 2 2 S ′ + 0 － S 增函数 最大 减函数 由此表可知，当 x= 3 R ，等腰三角形面 最大 . 2 答案： 3 R 2 三、 17. 解：由 l 原点，知 k= y ( x 0≠ 0), 点( x 0,y 0)在曲 C 上， y 0 =x 03 － 3x 0 2+2 x 0, x 0 ∴ y =x 02－ 3x 0+2, y ′ =3 x 2－ 6x+2, k=3 x 0 2－ 6x 0+2 x 0 又 k= y 0 ,∴ 3x 02 － 6x 0+2= x 02 － 3x 0+2,2 x 0 2 － 3x 0=0, ∴x 0 =0 或 x 0= 3 . x 0 2 由 x ≠ 0,知 x 0= 3 , 2 ∴ y 0=( 3 )3 － 3( 3 )2+2 · 3 =－ 3 .∴ k= y 0 =－ 1 . 2 2 2 8 x 0 4 ∴ l 方程 y=－ 1 x 切点 ( 3 ，－ 3 ). 4 2 8 18. f '( x) p 2 x (1 x )p 1[ 2 (2 p) x] , 令 f ’(x)=0 得， x=0 ， x=1 ， x= 2 , 2 p 在 [0， 1]上， f(0)=0 ， f(1)=0 ， f ( 2 ) 4( p )p 2 . 2 p 2 p ∴ [ f ( x)] max p )2 p . 4( 2 p 19. 双曲 上任一点 P （ x 0 ， y 0）, ky | x x 0 a 2 , 2 厚德启智 心怀天下 a 2 (x x 0 ) , ∴ 切 方程 y y 0 2 x 0 令 y=0 ， x=2x 0 2a 2 令 x=0 ， y . x 0 ∴ S 1 | x || y | 2a 2 . 2 20. 解： (1) 注意到 y ＞ 0,两端取 数，得 ln y=ln( x 2－ 2x+3)+ln e 2x =ln( x 2－ 2x+3)+2 x, 1 y y y 2( x 2 ( x 2 2x 3) 2 2x 2 2( x 2 x 2) x 2 2x 3 x 2 2x 3 2 2 2x 3. x 2( x 2 x 2) y 2( x 2 x 2) ( x 2 2x 3) e 2x . x 2 2x 3 x 2 2x 3 x 2) e 2 x . (2) 两端取 数，得 ln| y|= 1 (ln| x|－ ln|1 － x|), 3 两 解 x 求 ，得 1 y 1 (1 1 ) 1 1 , y 3 x 1 x 3 x(1 x) y 1 1 y 1 x) 3 x . 3 x(1 x) 3x(1 1 x 21. 解： t 秒梯子上端下滑 s 米 , s=5 － 2 ,当下端移开 0 = 1 4 7 , 25 9t 3 15 又 s ′ =－ 1 1 (25 － 9t 2 ) 2 · (－ 9 · 2t)=9 t 1 , 2 25 2 9t 所以 s ′ (t 0)=9 × 7 1 =0.875(m/s). 15 25 9 ( 7 )2 15 22. 解： (1) 当 x=1 ， S n =1 2+2 2 +3 2 +? +n 2= 1 n(n+1)(2 n+1), 当 x ≠ 1 ， 1+2 x+3 x 2+? +nx n-1 = 1 (n 1)x n nx n 1 , 6 (1 x) 2 两 同乘以 x,得 x+2 x 2 +3 x 2 +? +nx n = x ( n 1) x n 1 nx n 2 两 x 求 ，得 (1 x)2 S n =1 2 2 2 +3 2 2 2 x n -1 +2 x x +? +n = 1 x ( n 1) 2 x n ( 2n 2 2n 1) x n 1 n 2 x n 2 . (1 x) 3 23. 解： f ′ (x)=3 ax 2+1. 若 a ＞ 0,f ′ (x)＞ 0x ∈ (－∞ ,+ ∞)恒成立，此 f(x)只有一个 区 ，矛盾 . 若 a=0, f ′ (x)=1 ＞ 0,∴ x ∈ (－∞ ,+∞ ),f(x) 也只有一个 区 ，矛盾 . 若 a ＜ 0,∵ f ′ (x)=3 a(x+ 1 )· (x － 1 ), 此 f(x)恰有三个 区 . 3 | a | 3 | a | ∴ a ＜ 0 且 减区 (－∞ , － 1 )和 ( 1 ,+∞ )， 3| a | 3 | a | 增区 (－ 1 , 1 ). 3 | a | 3 | a | 24. 解： f ′ (x)= a +2 bx +1, x (1) 由极 点的必要条件可知： f ′(1)= f ′ (2)=0, 即 a+2 b+1=0, 且 a +4 b+1=0, 2 厚德启智心怀天下 解方程组可得 a=－2 ,b=－ 1 ,∴f(x)=－ 2 lnx－ 1 x2+x, 3 6 3 6 (2) f′ (x)=－2 x-1－ 1 x+1, 当 x∈(0,1) 时， f ′ (x)＜ 0,当 x∈ (1,2) 时， f′ (x)＞ 0,当 x∈ (2,+ ∞ )时， f′ (x)＜ 0,故在 x=1 3 3 处函数 f(x)取得极小值5 ,在 x=2 处函数取得极大值 4 － 2 ln2. 6 3 3 25. 证法一：∵ b ＞ a ＞e,∴要证 a b＞ b a ,只要证 blna ＞ aln b, 设 f(b)=blna － alnb(b ＞e),则 f′ (b)=ln a －a .∵ b ＞ a ＞ e,∴ lna ＞ 1, 且 a ＜ 1,∴ f′ (b)＞ 0. ∴函数f(b)=blna － alnb 在 ( e,+ ∞ )上是增函数，∴ f(b)＞b b f(a)= alna －aln a=0, 即 blna － alnb ＞0, ∴blna＞ alnb,∴ a b＞ b a. 证法二：要证 a b＞ b a,只要证 blna＞ aln b(e＜ a ＜ b ) ,即证,设 f(x)= ln x (x＞ e)，则 f′ (x)= 1 ln x ＜ 0,∴函数 f(x) x x2 在 (e,+∞ )上是减函数，又∵ e ＜ a ＜ b, ∴ f(a)＞ f(b), 即ln a ln b ,∴ a b＞b a. a b 26. 解： (1) f(α)= a2 8 ,f(β )= a2 8 ,f(α )= f(β )=4, 16 a 16 a (2) 设φ(x)=2 x2－ ax － 2,则当α＜ x＜β时，φ(x)＜ 0, ( 4x a ) ( x2 1) (4 x a )( x2 1) 4 (x 2 1) 2 x(4x a) f ( x) (x 2 1) 2 (x 2 1) 2 2(2 x2 ax 2) 2 ( x ) (x 2 1) 2 ( x2 1) 2 . ∴函数 f(x)在 ( α，β)上是增函数 . (3)函数 f(x)在［α，β］上最大值 f(β)＞ 0,最小值 f(α) ＜ 0, ∵ |f(α)· f(β )|=4, ∴当且仅当f(β)=－ f(α)=2 时， f( β)－ f(α)=| f(β)|+| f(α)|取最小值 4 ，此时 a=0, f(β)=2. 1．求 导：（1）函数 y= 2cos x x 的导数为 -------------------------------------------------------- （2）y ＝ln(x ＋2)-------------------------------------；(3)y ＝(1＋sin x )2------------------------ ---------------------- (4)y ＝3x 2＋x cos x ------------------------------------ ；(5)y ＝x 2cos(2x －π 3 )---------------------------------------- ． (6)已知y ＝ln 3x e x ，则y ′|x ＝1＝________. 2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （ ）． (A)．5 4 (B)．5 2 (C)．5 1 (D)． 5 3 3．已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点 )0,(),0,0(1x ，)0,(2x ，且)(x f 在1x =-，2=x 时取得极值，则21x x ?的值为 （ ） (A)．4 (B)．5 (C)．－6 (D)．不确定 34.()34([0,1])1()1 () ()0 ()1 2 f x x x x A B C D =-∈-函数的最大值是( ) 5．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时， 底面边长为（ ）． (Ａ)．3V (Ｂ)．32V (Ｃ)．34V (D)．32V 6．由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（ ）． (A)．18 (B)． 3 38 (C)． 3 16 (D)．16 7．曲线3x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为6 1，则=a _________ 。 8．已知抛物线2y x bx c =++在点(12)，处的切线与直线20x y ++=垂直，求函数2y x bx c =++的最值． 9.已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值.(1)讨论)1(f 和 )1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值;(2)过点)16,0(A 作曲线 )(x f y =的切线,求此切线方程. 导数的概念、运算及其几何意义 黑龙江 依兰高中 刘 岩 A 组基础达标 选择题： 1．已知物体做自由落体运动的方程为21(),2 s s t gt ==若t ?无限趋近于0时， (1)(1)s t s t +?-?无限趋近于9.8/m s ，那么正确的说法是（ ） A ．9.8/m s 是在0～1s 这一段时间内的平均速度 B ．9.8/m s 是在1～（1+t ?）s 这段时间内的速度 C ．9.8/m s 是物体从1s 到（1+t ?）s 这段时间内的平均速度 D ．9.8/m s 是物体在1t s =这一时刻的瞬时速度. 2． 已知函数f ’ (x)＝3x 2 , 则f (x)的值一定是（ ） A. 3x +x B. 3x C. 3x +c (c 为常数) D. 3x+c (c 为常数) 3. 若函数f(x)=x 2+b x +c 的图象的顶点在第四象限，则函数f / (x)的图象是（ ） 4.下列求导数运算错误．． 的是（ ） A. 20122013x 0132c x ='+）（ (c 为常数) B. x xlnx 2lnx x 2+='）（ C. 2x cosx xsinx x cosx +='）（ D . 3ln 33x x ='）（ 5．.已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12 ，则切点的横坐标为（ ） A ． 2 B ． 3 C ． 12 D ．1 填空题： 1．若2012)1(/ =f ，则x f x f x ?-?+→?)1()1(lim 0= ，x f x f x ?--?+→?)1()1(lim 0= ，x x f f x ??+-→?4)1()1(lim 0= ， x f x f x ?-?+→?)1()21(lim 0= 。 2．函数y=(2x －3)2 的导数为 函数y= x -e 的导数为 A x D C x B 导数 经典例题剖析 考点一：求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 。 考点二：导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1 22 y x = +，则(1)(1)f f '+= 。 例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 。 考点三：导数的几何意义的应用。 例4.已知曲线C ：x x x y 232 3 +-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。 考点四：函数的单调性。 例5.已知()132 3 +-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围。 例6. 设函数3 2 ()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。 （1）求a 、b 的值； （2）若对于任意的[03]x ∈， ，都有2 ()f x c <成立，求c 的取值范围。 点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数()x f 的极值步骤：①求导数()x f '； ②求()0'=x f 的根；③将()0'=x f 的根在数轴上标出，得出单调区间，由()x f '在各区间上取值的正负可确定并求出函数()x f 的极值。 例7. 已知a 为实数，()() ()a x x x f --=42 。求导数()x f '；（2）若()01'=-f ，求() x f 在区间[]2,2-上的最大值和最小值。 解析：（1）()a x ax x x f 442 3 +--=，∴ ()423'2 --=ax x x f 。 （2）()04231'=-+=-a f ，2 1= ∴a 。()()()14343'2 +-=--=∴x x x x x f 令()0'=x f ，即()()0143=+-x x ，解得1-=x 或3 4 =x ， 则()x f 和()x f '在区间[] 2,2- ()2 91= -f ，275034-=??? ??f 。所以，()x f 在区间[]2,2-上的最大值为 275034-=?? ? ??f ，最 小值为()2 9 1= -f 。 答案：（1）()423'2 --=ax x x f ；（2）最大值为275034- =?? ? ??f ，最小值为()2 91=-f 。 点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导函数()x f 在区间[]b a ,上的最值，要先求出函数()x f 在区间()b a ,上的极值，然后与()a f 和()b f 进行比较，从而得出函数的最大最小值。 考点七：导数的综合性问题。 例8. 设函数3 ()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线 670x y --=垂直，导函数'()f x 的最小值为12-。（1）求a ，b ，c 的值； （2）求函数()f x 的单调递增区间，并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值。 题401：省峨山彝族自治县第一中学2018届高三2月份月考理科 已知函数()ln f x ax x =+，其中a 为常数，e 为自然对数的底数． （1）若()f x 在区间(0,]e 上的最大值为3-，求a 的值； （2）当1a =-时，判断方程ln 1|()|2x f x x = +是否有实根？若无实根请说明理由，若有实根请给出根的个数． 题402：2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷-（理六） 已知()ln()f x x m mx =+- （1）求()f x 的单调区间； （2）设1m >，12,x x 为函数()f x 的两个零点，求证：120x x +< 题403：省实验中学2018届高三上学期第六次月考数学（文） 已知函数2()ln (0)f x x a x a =-> （1）讨论函数()f x 在(,)a +∞上的单调性； （2）证明：322ln x x x x -≥且322ln 16200x x x x --+> 题404：西北师大附中2017届高三校第二次诊断考试试题数学(理科) 已知函数21()ln (1)..2 f x a x x a x a R =+-+∈ (1)求函数()f x 的单调区间; (2)若()0f x ≥对定义域的任意x 恒成立,数a 的取值围; (3)证明:对于任意正整数,,m n 不等式 111...ln(1)ln(2)ln()() n m m m n m m n +++>++++恒成立. 题405：一中2017-2018学年度高三年级第五次月考 数学（理）试 已知函数3()ln(1)ln(1)(3)()f x x x k x x k R =++---∈ （1）当3k =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程； （2）若()0f x >对(0,1)x ∈恒成立，求k 的取值围. 题406：第一中学2018届高三上学期期末考试数学（理） 已知函数()ln 1,a f x x a R x =+-∈ （1）若函数()f x 的最小值为0，求a 的值； （2）证明：(ln 1)sin 0x e x x +-> 题407：2017—2018学年度衡中七调理科数学 已知函数1()x f x e a -=+，函数()ln ,g x ax x a R =+∈ （1）求函数()y g x =的单调区间； （2）若不等式()()1f x g x ≥+在区间[1,)+∞恒成立，数a 的取值围 （3）若(1,)x ∈+∞，求证不等式12ln 1x e x x -->-+ 高中数学函数的单调性与导数测试题（附答 案） 选修2-21.3.1函数的单调性与导数 一、选择题 1．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a0)，则f(x)为R上增函数的充要条件是() A．b2－4ac0 B．b0，c0 C．b＝0，c D．b2－3ac0 [答案] D [解析]∵a0，f(x)为增函数， f(x)＝3ax2＋2bx＋c0恒成立， ＝(2b)2－43ac＝4b2－12ac0，b2－3ac0. 2．(2009广东文，8)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是() A．(－，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋) [答案] D [解析]考查导数的简单应用． f(x)＝(x－3)ex＋(x－3)(ex)＝(x－2)ex， 令f(x)0，解得x2，故选D. 3．已知函数y＝f(x)(xR)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k ＝(x0－2)(x0＋1)2，则该函数的单调递减区间为() A．[－1，＋) B．(－，2] C．(－，－1)和(1,2) D．[2，＋) [答案] B [解析]令k0得x02，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(－，2]． 4．已知函数y＝xf(x)的图象如图(1)所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是() [答案] C [解析]当01时xf(x)0 f(x)0，故y＝f(x)在(0,1)上为减函数 当x1时xf(x)0，f(x)0，故y＝f(x)在(1，＋)上为增函数，因此否定A、B、D故选C. 5．函数y＝xsinx＋cosx，x(－)的单调增区间是() A.－，－2和0，2 B.－2，0和0，2 C.－，－2， D.－2，0和 [答案] A [解析]y＝xcosx，当－x2时， cosx0，y＝xcosx0， 当02时，cosx0，y＝xcosx0. 6．下列命题成立的是() A．若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任何x(a，b)，都有f(x)0 导数经典习题 选择题： 1．已知物体做自由落体运动的方程为21(),2 s s t gt ==若t ?无限趋近于0时， (1)(1)s t s t +?-?无限趋近于9.8/m s ，那么正确的说法是（ ） A ．9.8/m s 是在0～1s 这一段时间内的平均速度 B ．9.8/m s 是在1～（1+t ?）s 这段时间内的速度 C ．9.8/m s 是物体从1s 到（1+t ?）s 这段时间内的平均速度 D ．9.8/m s 是物体在1t s =这一时刻的瞬时速度. 2．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒 3. 若函数f(x)=x 2+b x +c 的图象的顶点在第四象限，则函数f /(x)的图象是（ ） 4．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)( x f y =在这点取极值的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．必要非充分条件 5．()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则 ()f x 与()g x 满足（ ） A ．()f x =()g x B ．()f x -()g x 为常数函数 C ．()f x =()0g x = D ．()f x +()g x 为常数函数 6.. 若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（ ） A ．sin α B ．cos α C ．sin cos αα+ D ．2sin α 7. 已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的 取值范围是（ ） A ．),3[]3,(+∞--∞Y B ．]3,3[- A x D C x B 高中数学导数典型例题 题型一：利用导数研究函数的单调性、极值、最值 1. 已知函数32()f x x ax bx c =+++ 过曲线()y f x =上的点(1,(1))P f 的切线方程为y=3x +1 。 （1）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式； （2）在（1）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； （3）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围 解：（1）极值的求法与极值的性质 （2）由导数求最值 （3）单调区间 零点 驻点 拐点————草图 2. 已知).(3232)(23R a x ax x x f ∈--= (1)当4 1||≤ a 时, 求证：)x (f 在)1,1( -内是减函数; (2)若)x (f y =在)1,1( -内有且只有一个极值点, 求a 的取值范围. 解：（1）单调区间 零点 驻点 拐点————草图 （2）草图——讨论 题型二：利用导数解决恒成立的问题 例1：已知322()69f x x ax a x =-+（a ∈R ）． （Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）当0a >时，若对[]0,3x ?∈有()4f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围． 例2：已知函数222()2()21x x f x e t e x x t =-++++，1()()2 g x f x '=． （1）证明：当22t <时，()g x 在R 上是增函数； （2）对于给定的闭区间[]a b ，，试说明存在实数 k ，当t k >时，()g x 在闭区间[]a b ， 上是减函数； （3）证明：3()2 f x ≥． 解：g(x)=2e^(2x)-te^x+1 令a=e^x 则g(x)=2a^2-ta+1 (a>0) (3)f(x)=(e^x-t)^2+(x-t)^2+1 讨论太难 分界线即1-t^2/8=0 做不出来问问别人，我也没做出来 例3：已知3)(,ln )(2-+-==ax x x g x x x f （1）求函数)(x f 在)0](2,[>+t t t 上的最小值 （2）对(0,),2()()x f x g x ?∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围 解：讨论点x=1/e 1/e 导数练习题（含答案） 【编著】黄勇权 一、求下函数的导数 （1）f （x ）=2x 2+3x+2 （2）f （x ）=3sinx+7x 2 （3）f （x ）=lnx+2x （4）f （x ）=2x +6x （5）f （x ）=4cosx -7 （6）f （x ）=7e x +9x （7）f （x ）=x 3+4x 2+6 （8）f （x ）=2sinx -4cosx （9）f （x ）=log2x （10）f （x ）= x 1 （11）f （x ）=lnx+3e x （12）f （x ）=2x x （13）f （x ）=sinx 2 （14）f （x ）=ln （2x 2+6x ） （15）f （x ）=x 1x 3x 2++ （16）f （x ）=xlnx+9x （17）f （x ）= x sinx lnx + （18）f （x ）=tanx （19）f （x ）=x x e 1e 1-+ （20） f （x ）=（x 2-x ）3 【答案】 一、求下函数的导数 （1）f /=4x+3 （2）f /=3cos+14x （3）f /=x 1+2 （4）f /=2x ln2+6 （5）f /= -4sinx （6）f /=7e x （7）f /=3x 2+8x （8）f /=2cosx+4sinx （9）因为f （x ）=log2x =2ln lnx =lnx 2 ln 1? 所以：f /=（lnx 2ln 1?）/ =（2ln 1）?（lnx ）/ =2ln 1?x 1 =ln2 x 1? （10）因为：f （x ）=x 1 f /=2x x 1x 1） （）（）（'?-?'= x x 1210?- = x x 21- = 2x 2x - （11）f /= x e 3x 1+ （12）f （x ）= 2x x =23x - f /=（2 3-）25x -= 3 x 2x 3- （13）f /=（sinx 2）/?（x 2）/=cosx 2?（2x ）=2x ?cosx 2 （14）f /=[ln （2x 2+6x ）]/?(2x 2+6x)/ = x 6x 212+? (4x+6) = x 3x 3x 22++ （15）f （x ）=x 1x 3x 2++ = x+3+x 1 f /=（x+3+x 1）/= 1+0 -2x 1 =22x 1-x （16）f /=（x ）/（lnx ）+（x ）（lnx ）/+9 =lnx+x 1x ?+9 =lnx+10 专题8：导数（文） 经典例题剖析 考点一：求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 。 解析：()2'2 +=x x f ，所以()3211'=+=-f 答案：3 考点二：导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1 22 y x = +，则(1)(1)f f '+= 。 解析：因为21= k ，所以()2 1 1'=f ，由切线过点(1(1))M f ，，可得点M 的纵坐标为25，所以()2 5 1=f ，所以()()31'1=+f f 答案：3 例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 。 解析：443'2 --=x x y ，∴点(13)-，处切线的斜率为5443-=--=k ，所以设切线方程为b x y +-=5，将点(13)-，带入切线方程可得2=b ，所以，过曲线上点(13)-，处的切线方程为：025=-+y x 答案：025=-+y x 点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 例 4.已知曲线C ：x x x y 232 3 +-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。 解析：Θ直线过原点，则()000 ≠= x x y k 。由点()00,y x 在曲线C 上，则02030023x x x y +-=，∴ 2302 00 0+-=x x x y 。又263'2+-=x x y ，∴ 在 () 00,y x 处曲线C 的切线斜率为()263'02 00+-==x x x f k ，∴ 1．已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所 示． （I ）求d c ,的值； （II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式； （III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(3 1的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． 2．已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （I ）求函数)(x f 的单调区间； （II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为 ,2 3 若函数]2 )('[31)(23m x f x x x g ++= 在区间（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围． 3．已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值． （I ）求实数a 的取值范围； （II ）若方程 9 )32()(2 +- =a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式； （III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ． 4．已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=． （I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >； （II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数． 5．已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+． （I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值； （II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围； 6．已知2x =是函数2()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点（???=718.2e ）． （I ）求实数a 的值； （II ）求函数()f x 在]3,2 3[∈x 的最大值和最小值． 7．已知函数)0,(,ln )2(4)(2≠∈-+-=a R a x a x x x f （I ）当a=18时，求函数)(x f 的单调区间； （II ）求函数)(x f 在区间],[2e e 上的最小值． 8．已知函数()(6)ln f x x x a x =-+在(2,)x ∈+∞上不具有．．．单调性． （I ）求实数a 的取值范围； （II ）若()f x '是()f x 的导函数，设2 2 ()()6g x f x x '=+- ，试证明：对任意两个不相 等正数12x x 、，不等式121238|()()|||27 g x g x x x ->-恒成立． 1．求导：（1）函数y= 2cos x x 的导数为-------------------------------------------------------- （2）y ＝ln(x ＋2)-------------------------------------；(3)y ＝(1＋sin x ) 2 ------------------------ ---------------------- (4)y ＝3x 2＋x cos x ------------------------------------ ；(5)y ＝x 2cos(2x －π 3)---------------------------------------- ． (6)已知y ＝ln 3x e x ，则y ′|x ＝1＝________. 2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （ ）． (A)． 54 (B)．52 (C)．51 (D)．5 3 3．已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ，)0,(2x ，且)(x f 在1x =-，2=x 时取得极值，则21x x ?的值为（ ） (A)．4 (B)．5 (C)．－6 (D)．不确定 34.()34([0,1])1 ()1()()0()1 2f x x x x A B C D =-∈-函数的最大值是( ) 5．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为（ ）． (Ａ)．3V (Ｂ)．32V (Ｃ)．34V (D)．32V 6．由抛物线x y 22 =与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（ ）． (A)．18 (B)． 3 38 (C)． 3 16 (D)．16 7．曲线3 x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为6 1 ，则=a _________ 。 8．已知抛物线2y x b x c =++在点(1 2)，处的切线与直线20x y ++=垂直，求函数2y x bx c =++的最值． 高中数学导数典型例题 精讲 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】 导数经典例题精讲 导数知识点 导数是一种特殊的极限 几个常用极限：（1）1 lim 0n n →∞=，lim 0n n a →∞=（||1a <）；（2）0 0lim x x x x →=，00 11lim x x x x →=. 两个重要的极限 ：（1）0sin lim 1x x x →=；（2）1lim 1x x e x →∞?? += ??? (e=…). 函数极限的四则运算法则：若0 lim ()x x f x a →=，0 lim ()x x g x b →=，则 (1)()()0 lim x x f x g x a b →±=±????；(2)()()0 lim x x f x g x a b →?=?????;(3)()()()0 lim 0x x f x a b g x b →=≠. 数列极限的四则运算法则：若lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞ ==，则(1)()lim n n n a b a b →∞±=±；(2)()lim n n n a b a b →∞ ?=?(3)()lim 0n n n a a b b b →∞=≠(4)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞→∞→∞?=?=?( c 是常数) )(x f 在0x 处的导数（或变化率或微商） 000000()()()lim lim x x x x f x x f x y f x y x x =?→?→+?-?''===??. .瞬时速度：00()() ()lim lim t t s s t t s t s t t t υ?→?→?+?-'===??. 瞬时加速度：00()() ()lim lim t t v v t t v t a v t t t ?→?→?+?-'===??. )(x f 在),(b a 的导数：()dy df f x y dx dx ''===00()() lim lim x x y f x x f x x x ?→?→?+?-==??. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 几种常见函数的导数 (1) 0='C （C 为常数）.(2) '1()()n n x nx n Q -=∈.(3) x x cos )(sin ='.x x sin )(cos -=' (4) x x 1)(ln ='；e a x x a log 1)(log ='. (5) x x e e =')(; a a a x x ln )(='. 导数的运算法则 （1）' ' ' ()u v u v ±=±.（2）' ' ' ()uv u v uv =+.（3）'' '2 ()(0)u u v uv v v v -=≠. 复合函数的求导法则 设函数()u x ?=在点x 处有导数''()x u x ?=，函数)(u f y =在点x 处的对应点U 处有导数''()u y f u =，则复合函数(())y f x ?=在点x 处有导数，且'''x u x y y u =?，或写作'''(())()()x f x f u x ??=. 【例题解析】 考点1 导数的概念 对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. 一、选择题(每小题5分,共70分.每小题只有一项就是符合要求得) 1.设函数()y f x =可导,则0(1)(1) lim 3x f x f x ?→+?-?等于( ). A.'(1)f B.3'(1)f C.1 '(1)3f D.以上都不对 ２.已知物体得运动方程就是4321 4164 S t t t =-+(t 表示时间,S 表示位移),则瞬时速度 为0得时刻就是( ). A.0秒、2秒或4秒 B.0秒、2秒或16秒 C.2秒、8秒或16秒 D.0秒、4秒或8秒 ３.若曲线21y x =-与31y x =-在0x x =处得切线互相垂直,则0x 等于( ). C.23 D.23或0 ４.若点P 在曲线323 3(34 y x x x =-++上移动,经过点P 得切线得倾斜角为α,则角α得取值范围就是( ). A.[0,]π B.2[0,)[,)23 ππ π C.2[,)3ππ D.2[0,)(,)223 πππ ５.设'()f x 就是函数()f x 得导数,'()y f x =得图像如图 所示,则()y f x =得图像最有可能得就是 3x ))-７.已知函数3 2 ()f x x px qx =--分别为( ). A.427 ,0 B.0,427 C.427- ,0 D.0,427 - 8.由直线21=x ,2=x ,曲线x y 1 =及x 轴所围图形得面积就是( ). A 、 415 B 、 417 C 、 2ln 21 D 、 2ln 2 9.函数3 ()33f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值,则( ). A.01b << B.1b < C.0b > D.1 2 b < 10.21y ax =+得图像与直线y x =相切,则a 得值为( ). A.18 B.14 C.1 2 D.1 导数题型分析及解题方法 一、考试内容 导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数； 两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。 二、热点题型分析 题型一：利用导数研究函数的极值、最值。 1． 32 ()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 2 2．已知函数2)()(2 =-==x c x x x f y 在处有极大值，则常数c ＝ 6 ； 3．函数3 31x x y -+=有极小值 －1 ,极大值 3 题型二：利用导数几何意义求切线方程 1．曲线3 4y x x =-在点 ()1,3--处的切线方程是 2y x =- 2．若曲线x x x f -=4 )(在P 点处的切线平行于直线03=-y x ，则P 点的坐标为 （1，0） 3．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 430x y --= 4．求下列直线的方程： （1）曲线123++=x x y 在P(-1,1)处的切线； （2）曲线2 x y =过点P(3,5)的切线； 解：（1） 123|y k 23 1)1,1(1x /2/2 3===∴+=∴++=-=－上，在曲线点－x x y x x y P 所以切线方程为02 11=+-+=-y x x y 即， （2）显然点P （3，5）不在曲线上，所以可设切点为) ,(00y x A ，则 2 00x y =①又函数的导数为x y 2/ =， 所以过 ) ,(00y x A 点的切线的斜率为 /2|0x y k x x ===，又切线过),(00y x A 、P(3,5)点，所以有 3 5 2000--= x y x ②，由①②联立方程组得，??????====25 5 110 000y x y x 或，即切点为（1，1）时，切线斜率为 ; 2201==x k ；当切点为（5，25）时，切线斜率为10202==x k ；所以所求的切线有两条，方程分 别为2510 12 )5(1025)1(21-=-=-=--=-x y x y x y x y 或即， 或 题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值 1．已知函数 ))1(,1()(,)(23f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x+1 （Ⅰ）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； 导数复习 一．选择题 (1) 函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为 ( ) A ．),2(+∞ B ．)2,(-∞ C ．)0,(-∞ D ．（0，2） （2）曲线3231y x x =-+在点（1，-1）处的切线方程为（ ） A ．34y x =- B 。32y x =-+ C 。43y x =-+ D 。45y x =- a (3) 函数y ＝a x 2 ＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝ ( ) A ． 18 B ．41 C ．2 1 D ．1 (4) 函数,93)(2 3-++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a = ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 (5) 在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4 π 的点中，坐标为整数的点的 个数是 ( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 （6）函数3()1f x ax x =++有极值的充要条件是 （ ） A ．0a > B ．0a ≥ C ．0a < D ．0a ≤ （7）函数3()34f x x x =- （[]0,1x ∈的最大值是（ ） A ． 1 2 B ． -1 C ．0 D ．1 （8）函数)(x f =x （x －1）（x －2）…（x －100）在x ＝0处的导数值为（ ） A 、0 B 、1002 C 、200 D 、100！ （9）曲线313y x x =+在点413?? ???，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） Ａ．19 Ｂ．29 Ｃ．13 Ｄ．23 .10设函数()1 x a f x x -= -,集合M={|()0}x f x <,P=' {|()0}x f x >,若 M P,则实数a 的取值范围是 ( ) A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞) 11.若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 12函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个D ． 4个 13. y =e sin x cos(sin x )，则y ′(0)等于( ) A.0 B.1 C.－1 D.2 14.经过原点且与曲线y =5 9++x x 相切的方程是( ) A.x +y =0或25 x +y =0 B.x －y =0或25 x +y =0 C.x +y =0或 25 x －y =0 D.x －y =0或 25 x －y =0 15.设f (x )可导，且f ′(0)=0,又x x f x )(lim 0 '→=－1,则 f (0)( ) A.可能不是f (x )的极值 B.一定是f (x )的极值 C.一定是f (x )的极小值 D.等于0 16.设函数f n (x )=n 2x 2(1－x )n (n 为正整数)，则f n (x )在［0,1］上的最大值为( ) A.0 B.1 C.n n )221(+- D.1)2 ( 4++n n n 17、函数y=(x 2-1)3+1在x=-1处( ) A 、 有极大值 B 、无极值 C 、有极小值 D 、无法确定极值情况 18.f(x)=ax 3+3x 2+2，f ’(-1)=4，则a=( ) A 、3 10 B 、3 13 C 、3 16 D 、3 19 19.过抛物线y=x 2 上的点M （4 1,21）的切线的倾斜角是( ) A 、300 B 、450 C 、600 D 、900 20.函数f(x)=x 3-6bx+3b 在（0，1）内有极小值，则实数b 的取值范围是( ) a b x y ) (x f y ?=O 知识网 数学归纳法、数列的极限与运算1．数学归纳法： (1)由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法. 归纳法包含不完全归纳法和完全归纳法. ①不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特殊事例得出一般结论的推理方法. ②完全归纳法: 根据事物的所有特殊事例得出一般结论的推理方法 数学归纳法常与不完全归纳法结合起来使用,用不完全归纳法发现规律, 用数学归纳法证明结论. (2)数学归纳法步骤: ①验证当n取第一个 n时结论 () P n成立; ②由假设当n k =（ , k N k n + ∈≥）时,结论() P k成立，证明当1 n k =+时,结论(1) P k+成立; 根据①②对一切自然数 n n ≥时，() P n都成立. 2.数列的极限 (1)数列的极限定义:如果当项数n无限增大时,无穷数列{}n a的项n a无限地趋近于某个常数a(即 n a a -无限地接近于),那么就说数列 {} n a以a为极限,或者说a是数列{} n a的极限.记为 lim n n a a →∞ =或当n→∞时， n a a →. (2)数列极限的运算法则: 如果{}n a、{}n b的极限存在，且lim,lim n n n n a a b b →∞→∞ ==， 那么lim() n n n a b a b →∞ ±=±；lim(); n n n a b a b →∞ ?=?lim(0) n n n a a b b b →∞ =≠ 特别地，如果C是常数，那么lim()lim lim n n n n n C a C a Ca →∞→∞→∞ ?=?=. ⑶几个常用极限: ①lim n C C →∞ =（C 为常数）②lim0 n a n →∞ = k （,a k 均为常数且N* ∈ k） ③ （1) 1 lim0(1) (1或1) 不存在 n n q q q q q ④首项为 1 a，公比为q（1 q<）的无穷等比数列的各项和为lim 1 n n a S q →∞ = - . 注：⑴并不是每一个无穷数列都有极限. ⑵四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况. 数 学 归 纳 法 、数 列 的 极 限 与 运 算 例 1. 某个命题与正整数有关，若当) (* N k k n∈ =时该命题成立，那么可推得当 = n1 + k时该命题也成立，现已知当5 = n时该命题不成立，那么可推得（） (A)当6 = n时，该命题不成立(B)当6 = n时，该命题成立 (C)当4 = n时，该命题成立(D)当4 = n时，该命题不成立 例2.用数学归纳法证明:“)1 ( 1 1 1 2 1 2≠ - - = + + + + + +a a a a a a n n ”在验证1 = n时，左端 计算所得的项为 ( ) (A)1 (B)a + 1 (C)2 1a a+ + (D)3 2 1a a a+ + + 例3.2 2 21 lim 2 n n n →∞ - + 等于( ) (A)2 (B)－2 (C)－ 2 1 (D) 2 1 例4. 等差数列中，若 n n S Lim ∞ → 存在，则这样的数列( ) (A)有且仅有一个(B)有无数多个 (C)有一个或无穷多个(D)不存在 例5.lim(1) n n n n →∞ +-等于( ) (A) 1 3 (B)0 (C) 1 2 (D)不存在 例6.若2 012 (2)n n n x a a x a x a x +=++++， 12 n n A a a a =+++，则2 lim 83 n n n A A →∞ - = + ( ) (A) 3 1 -(B) 11 1(C) 4 1(D) 8 1 - 例7. 在二项式(13)n x +和(25)n x+的展开式中，各项系数之和记为,, n n a b n是正整 数，则 2 lim 34 n n n n n a b a b →∞ - - =. 例8. 已知无穷等比数列{}n a的首项N a∈ 1 ，公比为q，且 n n a a a S N q + + + = ∈ 2 1 , 1， 且3 lim= ∞ → n n S，则= + 2 1 a a_____ . 例9. 已知数列{ n a}前n项和1 1 (1) n n n S ba b =-+- + , 其中b是与n无关的常数，且0 ＜b＜1，若lim n n S →∞ =存在，则lim n n S →∞ =________． 例10.若数列{ n a}的通项21 n a n =-，设数列{ n b}的通项 1 1 n n b a =+，又记 n T是数 列{ n b}的前n项的积． （Ⅰ）求 1 T， 2 T， 3 T的值；（Ⅱ）试比较 n T与 1+ n a的大小，并证明你的结论． 例 1.D 2.C 例 3.A 例 4.A例 5.C将分子局部有理化，原式 =11 lim lim 2 11 11 n n n n n n →∞→∞ == ++ ++ 例6.A例7. 1 2 例8. 3 8 例9.1 例10(见后面)高中数学导数及微积分练习题
高中数学导数的概念、运算及其几何意义练习题
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