高中数学导数题型归纳总结
高中数学中，导数是一个重要的概念，它是微积分的基础。在考试中，导数题型往往是必考的内容。为了帮助同学们更好地复习导数，下面对高中数学导数题型进行归纳总结。
1. 求函数的导数：这是最基本的导数题型，要求根据函数的定义求出其导数。常见的函数包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
2. 导数的四则运算：利用导数的基本性质，可以进行导数的四则运算。例如，两个函数的和、差、积或商的导数可以通过分别求出函数的导数，然后利用四则运算的性质计算得到。
3. 链式法则：当函数是复合函数时，可以使用链式法则进行求导。链式法则的基本思想是将复合函数分解为内层函数和外层函数，并利用导数的链式法则求出导数。
4. 隐函数求导：当一个函数的表达式中包含未知数的隐式关系时，可以利用隐函数求导的方法求出导数。常见的隐函数求导题型包括求曲线的切线斜率、求极值等。
5. 参数方程求导：当函数由参数表示时，可以通过对参数方程进行
求导，然后用参数方程的导数表达式消去参数，得到函数的导数。
6. 反函数求导：如果函数存在反函数，可以利用反函数求导的方法求出导数。反函数求导的基本思想是将函数的自变量和因变量互换，然后求出反函数的导数。
7. 极限与导数：导数的定义中包含了极限的概念，所以在求导过程中经常需要应用极限的性质。例如，使用极限的性质求出函数导数的极限，或者利用导数的定义证明极限存在等。
除了上述的题型，还有一些常见的应用题型，如最值问题、曲线的凹凸性、切线和法线方程等。这些题型往往需要综合运用导数的概念和性质进行解答。
总之，高中数学导数题型的归纳总结包括基本的导数求法、导数的四则运算、链式法则、隐函数求导、参数方程求导、反函数求导以及与极限的关系等。通过对这些题型的理解和熟练掌握，可以帮助同学们更好地应对高中数学考试中的导数题目。
导数题型总结 1.导数的几何意义 2.导数四则运算构造新函数 3.利用导数研究函数单调性 4.利用导数研究函数极值和最值 5.①知零点个数求参数范围②含参数讨论零点个数 6.函数极值点偏移问题 7.导函数零点不可求问题 8.双变量的处理策略 9.不等式恒成立求参数范围 10.不等式证明策略 11.双量词的处理策略 12.绝对值与导数结合问题 导数专题一导数几何意义 一.知识点睛 导数的几何意义：函数y=f（x）在点x=x0 处的导数f’（x0）的几何意义是曲线在点x=x0 处切线的斜率。 二.方法点拨： 1.求切线 ①若点是切点：(1)切点横坐标x0 代入曲线方程求出y0(2)求出导数f′(x)，把x0代入导
数求得函数y ＝f(x)在点x=x 0处的导数f ′(x 0)(3)根据直线点斜式方程，得切线方程：y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)． ②点（x 0，y 0）不是切点求切线：（1）设曲线上的切点为(x 1，y 1)； (2)根据切点写出切线方程y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1) (3)利用点（x 0，y 0）在切线上求出（x 1，y 1）； (4)把（x 1，y 1）代入切线方程求得切线。 2.求参数，需要根据切线斜率，切线方程，切点的关系列方程：①切线斜率k=f ′(x 0) ②切点在曲线上③切点在切线上 三．常考题型：(1)求切线(2)求切点(3)求参数⑷求曲线上的点到直线的最大距离或最小距离(5)利用切线放缩法证不等式 四．跟踪练习 1.（2016全国卷Ⅲ）已知f(x)为偶函数，当x ＜0时，f(x)=f （-x ）+3x ，则曲线y=f （x ）在点（1，-3）处的切线方程是 2.（2014新课标全国Ⅱ）设曲线y=ax-ln （x+1）在点（0,0）处的切线方程为y=2x ，则a= A. 0 B.1 C.2 D.3 3.（2016全国卷Ⅱ）若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln （x+1）的切线，则b= 4.（2014江西）若曲线y=e -x 上点P 处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P 的坐标是 5.（2014江苏）在平面直角坐标系中，若曲线y=ax 2 + x b （a ，b 为常数）过点P （2，-5），且该曲线在点P 处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b= 6.（2012新课标全国）设点P 在曲线y=2 1e x 上，点Q 在曲线y=ln （2x ）上，则▕PQ ▏的最小值为 A.1-ln2 B. 2（1-ln2） C.1+ln2 D.2(1+ln2) 7.若存在过点（1,0）的直线与曲线y=x 3 和y=ax 2 + 4 15 x-9都相切，则a 等于 8.抛物线y=x 2 上的点到直线x-y-2=0的最短距离为 A. 2 B.8 27 C. 2 2 D. 1
导数 1.导数公式：'0C = '1()n n x nx -= '(sin )cos x x = '(cos )sin x x =- '()x x e e = '()ln x x a a a = '1(ln )x x = '1(log )ln a x x a = 2.运算法则：'''()u v u v +=+ '''()u v u v -=- '''()uv u v uv =+ '' '2()u u v uv v v -= 3.复合函数的求导法则：（整体代换） 例如：已知2()3sin (2)3 f x x π =+，求'()f x 。 4.导数的物理意义：位移的导数是速度，速度的导数是加速度。 5.导数的几何意义：导数就是切线斜率。 6.用导数求单调区间、极值、最值、零点个数：对于给定区间[,]a b 内，若'()0f x >，则()f x 在[,]a b 内是增函数；若'()0f x <，则()f x 在[,]a b 内是减函数。 【题型一】求函数的导数 1(1)ln x y x = (2)2sin(3)4 y x π=- (3)2(1)x y e x =- (4)3235y x x =-- (5)231x x y x -=+ (6)2211()y x x x x =++ 2.已知物体的运动方程为223s t t =+（t 是时间，s 是位移），则物体在时刻2t =时的速度为 。 【题型三】导数与切线方程（导数的几何意义的应用） 3.曲线32y x x =+-在点(2,8)A 处的切线方程是 。 4.若(1,)B m 是32y x x =+-上的点，则曲线在点B 处的切线方程是 。 5.若32y x x =+-在P 处的切线平行于直线71y x =+，则点P 的坐标是 。 6.若2 3ln 4 x y x =-的一条切线垂直于直线20x y m +-=，则切点坐标为 。 7.函数12+=ax y 的图象与直线x y =相切, 则a = 。 8.已知曲线11 x y x +=-在(3,2)处的切线与0ax y m ++=垂直，则a = 。 9.已知直线y x m =+与曲线321y x x =-+相切，求切点P 的坐标及参数m 的值。
高中数学导数题型归纳总结 高中数学中，导数是一个重要的概念，它是微积分的基础。在考试中，导数题型往往是必考的内容。为了帮助同学们更好地复习导数，下面对高中数学导数题型进行归纳总结。 1. 求函数的导数：这是最基本的导数题型，要求根据函数的定义求出其导数。常见的函数包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。 2. 导数的四则运算：利用导数的基本性质，可以进行导数的四则运算。例如，两个函数的和、差、积或商的导数可以通过分别求出函数的导数，然后利用四则运算的性质计算得到。 3. 链式法则：当函数是复合函数时，可以使用链式法则进行求导。链式法则的基本思想是将复合函数分解为内层函数和外层函数，并利用导数的链式法则求出导数。 4. 隐函数求导：当一个函数的表达式中包含未知数的隐式关系时，可以利用隐函数求导的方法求出导数。常见的隐函数求导题型包括求曲线的切线斜率、求极值等。 5. 参数方程求导：当函数由参数表示时，可以通过对参数方程进行
求导，然后用参数方程的导数表达式消去参数，得到函数的导数。 6. 反函数求导：如果函数存在反函数，可以利用反函数求导的方法求出导数。反函数求导的基本思想是将函数的自变量和因变量互换，然后求出反函数的导数。 7. 极限与导数：导数的定义中包含了极限的概念，所以在求导过程中经常需要应用极限的性质。例如，使用极限的性质求出函数导数的极限，或者利用导数的定义证明极限存在等。 除了上述的题型，还有一些常见的应用题型，如最值问题、曲线的凹凸性、切线和法线方程等。这些题型往往需要综合运用导数的概念和性质进行解答。 总之，高中数学导数题型的归纳总结包括基本的导数求法、导数的四则运算、链式法则、隐函数求导、参数方程求导、反函数求导以及与极限的关系等。通过对这些题型的理解和熟练掌握，可以帮助同学们更好地应对高中数学考试中的导数题目。
高中数学导数知识总结导数七大题型答题技巧 知识总结 一.导数概念的引入 1.导数的物理意义： 瞬时速率。一般的，函数y=f(x)在x=处的瞬时变化率是 2.导数的几何意义： 曲线的切线，当点趋近于P时，直线P T 与曲线相切。容易知道，割线的斜率是 当点趋近于P时，函数y=f(x)在x=处的导数就是切线P T的斜率k，即 3.导函数： 当x变化时，便是x的一个函数，我们称它为f（x）的导函数. y=f （x）的导函数有时也记作，即 。 二.导数的计算 基本初等函数的导数公式：
导数的运算法则： 复合函数求导： y=f(u)和u=g(x)，则称y可以表示成为x的函数，即y=f(g(x))为一个复合函数。 三、导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数： 一般的，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间（a,b）内 (1) 如果＞0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递增； (2) 如果＜0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递减； 2.函数的极值与导数： 极值反映的是函数在某一点附近的大小情况。 求函数y=f(x)的极值的方法有： （1）如果在附近的左侧＞0，右侧＜0，那么是极大值； （2）如果在附近的左侧＜0，右侧＞0，那么是极小值； 3.函数的最大(小)值与导数：
求函数y=f(x)在［a,b］上的最大值与最小值的步骤： （1）求函数y=f(x)在［a,b］内的极值； （2）将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的是最大值，最小的是最小值。 四.推理与证明 （1）合情推理与类比推理 根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理。 根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理，叫做类比推理。 类比推理的一般步骤： (1)找出两类事物的相似性或一致性； (2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题（猜想）； (3)一般的，事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似，那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的； (4)一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题越可靠。 （2）演绎推理（俗称三段论） 由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理。 （3）数学归纳法 1.它是一个递推的数学论证方法。 2.步骤：
高中导数题所有题型及解题方法 在高中数学中，导数是一个非常重要的概念。导数是描述曲线在某一点处的切线斜率的指标。在高中数学中，学生需要掌握不同类型的导数题。 以下是高中导数题中的所有题型及解题方法： 1.求函数的导数： 这是最基本的导数问题。对于一个函数，需要求出它的导数函数。为此，需要使用导数的定义公式，即极限。 例如，对于函数f(x) = x^2 + 2x + 1，其导数是f’(x) = 2x + 2。 2.求函数的导数在某一点处的值： 这个类型的问题需要计算函数在一定点处的导数值。为此，需要使用导数的定义公式，并将x的值代入到函数中计算。 例如，对于函数f(x) = x^2 + 2x + 1，在x = 2处的导数值为f’(2) = 6。
3.求函数的极值： 极值是函数在某一点处的最大值或最小值，即导数为0的点。为了找 到函数的极值，需要计算函数的导数，并找到导数为0的点。 例如，对于函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，其导数为f’(x) = 3x^2 - 6x + 2。为了找到函数的极值，需要找到导数为0的点。计算可得，x = 1或x = 2是导数为0的点。因此，函数的极值为f(1) = 1和f(2) = 3。 4.求函数的拐点： 拐点是函数曲线从凸向上到凹向上或从凸向下到凹向下的点。为了找 到函数的拐点，需要计算函数的二阶导数，即导数的导数。 例如，对于函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，其一阶导数为f’(x) = 3x^2 - 6x + 2，二阶导数为f’’(x) = 6x - 6。为了找到函数的拐点，需要找到二阶导数为0的点。计算可得，x = 1是二阶导数为0的点。因此，函数在x = 1处有一个拐点。 5.求函数与直线的交点：
高考压轴题：导数题型及解题方法 （自己总结供参考） 一．切线问题 题型1 求曲线)(x f y =在0x x =处的切线方程。 方法：)(0x f '为在0x x =处的切线的斜率。 题型2 过点),(b a 的直线与曲线)(x f y =的相切问题。 方法：设曲线)(x f y =的切点))(,(00x f x ，由b x f x f a x -='-)()()(000求出0x ，进而解决相关问题。 注意：曲线在某点处的切线若有则只有一，曲线过某点的切线往往不止一条。 例 已知函数f （x ）=x 3﹣3x ． （1）求曲线y=f （x ）在点x=2处的切线方程；（答案：0169=--y x ） （2）若过点A )2)(,1(-≠m m A 可作曲线)(x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围、 （提示：设曲线)(x f y =上的切点（)(,00x f x ）；建立)(,00x f x 的等式关系。将问题转化为关于m x ,0的方程有三个不同实数根问题。（答案：m 的范围是()2,3--） 练习 1. 已知曲线x x y 33 -= （1）求过点（1，-3）与曲线x x y 33-=相切的直线方程。答案：（03=+y x 或027415=--y x ） （2）证明：过点（-2,5）与曲线x x y 33-=相切的直线有三条。 2.若直线0122=--+e y x e 与曲线x ae y -=1相切，求a 的值. （答案：1） 题型3 求两个曲线)(x f y =、)(x g y =的公切线。 方法：设曲线)(x f y =、)(x g y =的切点分别为（)(,11x f x ）。（)(,22x f x ）；
高中数学函数与导数常考题型整理归纳 题型一:利用导数研究函数的性质 利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题之一，每年必考，一般考查两类题型：(1)讨论函数的单调性、极值、最值，(2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围. 【例1】已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x ). (1)讨论f (x )的单调性； (2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求实数a 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a . 若a ≤0，则f′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增. 若a ＞0，则当x ∈⎝ ⎛⎭ ⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0； 当x ∈⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0， 所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1a ，＋∞上单调递减. 综上，知当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ＞0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1a ，＋∞上单调递减. (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值； 当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a ＋a ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增， g (1)＝0. 于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0； 当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，实数a 的取值范围是(0，1). 【类题通法】(1)研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论，讨论单调性要先求函数定义域，再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性. (2)由函数的性质求参数的取值范围，通常根据函数的性质得到参数的不等式，再解出参数的范围.若不等式是初等的一次、二次、指数或对数不等式，则可以直接解不等式得参数的取值范围；若不等式是一个不能直接解出的超越型不等式时，如求解ln a ＋a －1<0，则需要构造函数来解.
导数压轴大题7个题型梳理归纳 题型一：含参分类讨论 类型一：主导函数为一次型 例1：已知函数()ln f x ax a x =--，且()0f x ≥.求a 的值 解：()1 ax f x x -'= .当0a ≤时，()0f x '<，即()f x 在()0,+∞上单调递减，所以当01x ∀>时，()()010f x f <=，与()0f x ≥恒成立矛盾. 当0a >时，因为10x a << 时()0f x '<，当1 x a >时()0f x '>，所以()min 1f x f a ⎛⎫ = ⎪⎝⎭ ，又因为()1ln10f a a =--=，所以11a =，解得1a = 类型二：主导函数为二次型 例2: 已知函数()()32 0f x x kx x k =-+<.讨论()f x 在[],k k -上的单调性. 解：()f x 的定义域为R ，()()2 3210f x x kx k '=-+<，其开口向上，对称轴 3k x = ，且过()0,1，故03 k k k <<<-，明显不能分解因式，得2412k ∆=-. （1）当24120k ∆=-≤时，即0k ≤<时，()0f x '≥，所以()f x 在[],k k - 上单调递增； （2）当24120k ∆=->时，即k <令()2 3210f x x kx '=-+=，解得： 12x x == ，因为()()210,010f k k f ''=+>=>，所以两根均在[],0k 上. 因此，结合()f x '图像可得：()f x 在,,33k k k k ⎡⎡⎤ +-⎢⎢ ⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 上单 调递增，在⎢⎥⎣⎦ 上单调递减.
导数题型归纳（一） 请同学们高度重视： 首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)(' =x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）； 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上， ()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，432 3()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； （2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=-- （1） ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”， 则 2 ()30g x x mx ∴=--<在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x < 230m m ⇒>-< ∵当0x =时, 2 ()330g x x mx ∴=--=-<恒成立, 当03x <≤时, 2 ()30g x x mx =--<恒成立 等价于233 x m x x x ->=-的最大值（03x <≤）恒成立， 而3 ()h x x x =-（03x <≤）是增函数，则max ()(3)2h x h == 2m ∴> (2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2 ()30g x x mx =--< 恒成立 解法三：变更主元法 再等价于2 ()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立（视为关于m 的一次函数最值问题）
关于数学中导数题型总结 导数是高中数学的一种重要题型，虽然每年的高考考的不是很多，但它是必考题型，也是分值占比最大的题型。导数部分相对简单，大多数学生在接触它的时候是不太适应的，特别是导数求导速度和导数运算题都非常棘手。很多学生在做这类题目的时候只能靠运气或者是其他因素来解决问题，很多学生往往没想清楚为什么要做这个题，认为是简单的导数计算题又不重要。我想对这部分同学做一个详细的总结汇报，希望对你们有所帮助。 一、求导速度 求导速度也就是求的各个节点的距离等于节点的坐标，而每个节点所对应的计算量也就是这个知识点要完成多少道题目，所以这个知识点就是一个考点：最小行程问题。对于求导速度比较快的问题可以利用等式关系求解解题，特别喜欢求导过程中不需要等待或者没有注意到节点的坐标和距离不需要等待，这样不仅能节省时间也能提高解的准确率。对于求导速度慢的问题，可利用参数化问题的方法进行求导，这样就可以大大缩短你计算出结论的时间。另外还有一些特殊复杂的求导运算也是需要注意的，比如导数的实数解和虚数解的计算方法，一定要清楚。实数解一般利用的都是原函数的解析式来计算，而虚数解一般是利用定理方程或者导数方程的求
导来进行求导，所以对于一些没有解出来的题就不要着急了，可以用一些方法进行求导即可完成解题而不需要考虑到解析的思想和方法，比如一些特殊导数中可以利用一些特殊的符号进行计算。 二、导数形式 1、正态分布：求导问题一般以正态分布形式出现，这类题目一般有三种常见的形式：极坐标、双曲对称性、椭圆对称性。根据上述定义，这三种形式是正态分布和坐标对称性求导方法中的两种简单方法，在求导问题中，常以椭圆对称性求导方法为主，这类求导方法一般可以用到积分求导法则、周期律求导法则等。2.直线方程：导数中直线方程的求导过程是求解直线方程的关键，可以直接通过求导公式来求导，比如下面的求导公式：3、等式与不等式：当满足给定的等式中有一条不等式的时候，可以利用等式求导的性质进行求导，比如下面的等式与不等式都可以直接求导来求解：其实很多同学对这类题不是很熟悉和了解，下面我们简单分析一下各种形式分别有哪些优缺点。 三、函数综合 求函数综合的方法很多，求导速度的快慢也是我们在解题中经常碰到的问题，一般来说，我们只要知道函数解析式可以求出函数的一阶导数就可以了。函数综合在高考中占分比例较大，占分比例的70%左右。函数综合首先需要注意的就是导数的定义和判断函数
生命是永恒不断的创造，因为在它内部蕴含着过剩的精力，它不断流溢，越出时间和空间的界限，它不停地追求，以形形色色的自我表现的形式表现出来。 －－泰戈尔 导数题型分析及解题方法 一、考试内容 导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数； 两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。 二、热点题型分析 题型一：利用导数研究函数的极值、最值。 1． 32 ()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 2 2．已知函数2)()(2 =-==x c x x x f y 在处有极大值，则常数c ＝ 6 ； 3．函数3 31x x y -+=有极小值 －1 ,极大值 3 题型二：利用导数几何意义求切线方程 1．曲线3 4y x x =-在点 ()1,3--处的切线方程是 2y x =- 2．若曲线x x x f -=4 )(在P 点处的切线平行于直线03=-y x ，则P 点的坐标为 （1，0） 3．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 430x y --= 4．求下列直线的方程： （1）曲线123++=x x y 在P(-1,1)处的切线； （2）曲线2 x y =过点P(3,5)的切线； 解：（1） 123|y k 23 1)1,1(1x /2/2 3===∴+=∴++=-=－上，在曲线点－x x y x x y P Θ 所以切线方程为02 11=+-+=-y x x y 即， （2）显然点P （3，5）不在曲线上，所以可设切点为),(00y x A ，则2 00x y =①又函数的导数为x y 2/=， 所以过 ) ,(00y x A 点的切线的斜率为 /2|0x y k x x ===，又切线过),(00y x A 、P(3,5)点，所以有 3 5 2000--= x y x ②，由①②联立方程组得，??????====25 5 110 000y x y x 或，即切点为（1，1）时，切线斜率为 ; 2201==x k ；当切点为（5，25）时，切线斜率为10202==x k ；所以所求的切线有两条，方程分
导数的应用常见题型 一、常用不等式与常见函数图像 1、1+≥x e x x x ≤+)1ln( 1-ln 1 -1x x x ≤≤ 2、常见函数图像 二、选择题中的函数图像问题 一新型定义问题 对与实数,a b ,定义运算“”：a b= 22 ,,a ab a b b ab a b ,设 () (21)*(1)f x x x 且关于x 的方程() ()f x m m R 恰有三个互不相等的实数根 123,,x x x ,则123x x x 的取值范围为 二利用导数确定函数图像 ①已知函数32()31f x ax x ,若()f x 存在唯一的零点0x ,且00x ,则a 的取值范围为 A 、(2, ) B 、( ,2) C 、(1, ) D 、( ,1) ②设函数()f x =(21)x e x ax a ,其中a 1,若存在唯一的整数0x ,使得0()f x 0,则a 的取值范围是 A-32e ,1 B-32e ,34 C 32e ,34 D 3 2e ,1 三、导数与单调性 实质：导数的正负决定了原函数的单调性 处理思路：①求导,解不等式0)('0)('<>x f x f 或 ②求解0)('=x f ,分段列表 ③根据)('x f y =的图像确定 一分段列表 ①已知函数()f x =2x x e e x --- Ⅰ讨论()f x 的单调性；
Ⅱ设()()()24g x f x bf x =-,当0x >时,()0g x >,求b 的最大值； ②已知函数x x xe e x x f -+-=2)2()(,讨论函数的单调性 ③设函数mx x e x f mx -+=2)( Ⅰ证明：)(x f 在-∞,0单调递减,在0,+∞+单调递增； Ⅱ若对于任意]1,0[,21∈x x ,都有1)()(21-≤-e x f x f ,求m 的取值范围 二根据导函数图像确定 ①已知函数x x a ax x f ln )1(2 1)(2+-+-=,试讨论函数的单调性 ②已知函数a a ax x x a x x f +--++-=2222ln )(2)(,其中0>a .设)(x g 是)(x f 的导函数,讨论)(x g 的单调性 ③已知函数),(ln )(2R b a x bx ax x f ∈-+=,0≥a ,求)(x f 的单调区间 三已知单调性,求参数取值范围 ①已知函数ax x x x f -+=ln )(2在)1,0(∈x 是增函数,求a 的取值范围; ②已知函数23)2(2 161)(x a x x g -+=,hx=2alnx,)()()(x h x g x f -'=; 1当a∈R 时,讨论函数()f x 的单调性． 2是否存在实数a,对任意的12,(0,)x x ∈+∞,且12x x ≠,都有2112 ()() f x f x a x x ->- 恒成立,若存在,求出a 的取值范围；若不存在,说明理由; 四、极值与零点问题 实质：第一种说法：导函数或原函数对应方程的根 第二种说法：导函数或原函数图像与x 轴的交点 处理方法： 根源：利用讨论导函数和原函数的图像处理极值点与零点问题 ①利用导数对函数图像的三个影响要素,数形结合 I.单调性 函数图像大致形状
高中数学导数知识点梳理 一. 导数概念的引入 1. 导数的物理意义： 瞬时速率。一般的，函数y=f(x)在x=图片处的瞬时变化率是 2. 导数的几何意义： 曲线的切线，当点图片趋近于P时，直线 PT 与曲线相切。容易知道，割线的斜率是 当点图片趋近于 P 时，函数y=f(x)在x=图片处的导数就是切线PT的斜率k，即 3. 导函数： 当x变化时，图片便是x的一个函数，我们称它为f（x）的导函数. y=f（x）的导函数有时也记作图片，即 二. 导数的计算 基本初等函数的导数公式：
导数的运算法则： 复合函数求导： y=f(u)和u=g(x)，则称y可以表示成为x的函数，即y=f(g(x))为一个复合函数。 三、导数在研究函数中的应用 1. 函数的单调性与导数： 一般的，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间（a,b）内 (1) 如果＞0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递增； (2) 如果＜0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递减； 2. 函数的极值与导数： 极值反映的是函数在某一点附近的大小情况。 求函数y=f(x)的极值的方法有： （1）如果在附近的左侧＞0 ，右侧＜0，那么是极大值； （2）如果在附近的左侧＜0 ，右侧＞0，那么是极小值； 3. 函数的最大(小)值与导数： 求函数y=f(x)在［a,b］上的最大值与最小值的步骤： （1）求函数y=f(x)在［a,b］内的极值；
（2）将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的是最大值，最小的是最小值。 四.推理与证明 （1）合情推理与类比推理 根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理。 根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理，叫做类比推理。 类比推理的一般步骤： (1)找出两类事物的相似性或一致性； (2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题（猜想）； (3)一般的，事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似，那么他们在另一些性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的； (4)一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题越可靠。 （2）演绎推理（俗称三段论） 由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理。 （3）数学归纳法 1. 它是一个递推的数学论证方法。
高中数学函数与导数常考题型整理归纳 是一个以2为根的二次函数，开口向下，顶点坐标为(1.e)，所以f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所 以函数f(x)的单调递增区间为(1，＋∞). 2)由题意可知，f′(x)＝ex(－2x＋a)(x＋2)，所以f(x)在(－∞，－2)和(－1，＋∞)上单调递减，在(－2，－1)上单调递增. 又因为f(x)在(－1，1)上单调递增，所以a＞0，且f(－1)＜f(1)，即e(2a－1)＜2，解得a＜ln3/2.综上，实数a的取值范围为(0，ln3/2). 导数在不等式中的应用是高考经常考查的热点，主要考察转化思想和函数思想。常见的命题角度包括证明简单的不等式、求参数范围使得不等式恒成立、不等式能否成立等问题。 以函数f(x)=e^(2x)-a ln x为例，(1)讨论f(x)的导函数f'(x) 的零点个数；(2)证明当a>1时，f(x)≥2a+a ln a。 首先，f(x)的定义域为(0.+∞)，f'(x)=2e^(2x)-a/x(x>0)。当 a≤1时，f'(x)始终大于0，没有零点；当a>1时，由于e^(2x)在(0.+∞)上单调递增，-a/x在(0.+∞)上单调递减，所以f'(x)在
(0.+∞)上单调递增。又因为f'(a)>0，所以当b满足a
高中导数题型总结 高中导数题型总结 题型一：求函数的导数(1)y5x4(2)y (5)y2x33x5(6)yexcosx(7)y2x3lnx4(8)yxex x23xlnxx2(9)yxlnx(10)y(11)ye(x1)(12)y x1x1(3)yxx(4)y2sinx 题型二：求函数在某点处的导数 (1)求f(x)exx2在x0处的导数；(2)求y2lnx (3)已知f(x)f(1)x2x3，则f(1)_________；(4)已知f(x)2f(3)lnxx，则f(3)_________. 题型三：导数的物理意义的应用 2已知物体的运动方程为s3t2（t是时间，s是位移），则物体在时刻t2时的速度为． t题型四：导数与切线方程（导数的几何意义的应用） 1.曲线yx3x2在点A(2,8)处的切线的斜率为______,切线方程是． 2.若B(1,m)是yx3x2上的点，则曲线在点B处的切线方程是_________． 3.若yx3x2在P处的切线平行于直线y7x1，则点P的坐标是_____．x2 4.若y3lnx的一条切线垂直于直线2xym0，则切点坐标为______．41在x1处的导数；x 5.已知曲线yx1在(3,2)处的切线与axym0垂直，则a．x1 6.已知直线yxm与曲线yx3x21相切，则切点P的坐标为 ___________,m的值为_________．7.若曲线yh(x)在点（a,h(a)）处切线方程为2xy10，那么（）A．h(a)0B.h(a)0C.h(a)0D.h(a)的符号不定 8.曲线yx33x26x4的全部切线中,斜率最小的切线的方程是 _____________．9.求曲线ylnx过点(0,1)的切线方程．10.求曲线yx2 满意下列条件的切线方程.(1)在点(1,1)处；(2)过点(1,0)处题型四：导数与单调区间 1.函数f(x)x33x21的减区间为． 2.函数yxex(x0)的单调递增区间
导数题型分析及解题方法 一、考试内容 导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数； 两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。 二、热点题型分析 题型一：利用导数研究函数的极值、最值。 1． 32 ()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 2 2．已知函数2)()(2 =-==x c x x x f y 在处有极大值，则常数c ＝ 6 ； 3．函数3 31x x y -+=有极小值 －1 ,极大值 3 题型二：利用导数几何意义求切线方程 1．曲线3 4y x x =-在点 ()1,3--处的切线方程是 2y x =- 2．若曲线x x x f -=4 )(在P 点处的切线平行于直线03=-y x ，则P 点的坐标为 （1，0） 3．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 430x y --= 4．求下列直线的方程： （1）曲线123++=x x y 在P(-1,1)处的切线； （2）曲线2 x y =过点P(3,5)的切线； 解：（1） 123|y k 23 1)1,1(1x /2/23===∴+=∴++=-=－上，在曲线点－x x y x x y P 所以切线方程为02 11=+-+=-y x x y 即， （2）显然点P （3，5）不在曲线上，所以可设切点为),(00y x A ，则2 00x y =①又函数的导数为 x y 2/=， 所以过 ) ,(00y x A 点的切线的斜率为 /2|0x y k x x ===，又切线过),(00y x A 、P(3,5)点，所以有 3 52000--= x y x ②，由①②联立方程组得，⎩⎨⎧⎩⎨⎧====25 5 110 000y x y x 或，即切点为（1，1）时，切线斜率为 ; 2201==x k ；当切点为（5，25）时，切线斜率为10202==x k ；所以所求的切线有两条，方程分 别为2510 12 )5(1025)1(21-=-=-=--=-x y x y x y x y 或即， 或
高中数学典型题型解法大全-导数 第一章 函数的切线问题 第一部分 基础知识 （一）与切线相关的定义 1、切线的定义：在曲线的某点A 附近取点B ，并使B 沿曲线不断接近A 。这样直线AB 的极限位置就是曲线在点A 的切线。 （1）此为切线的确切定义，一方面在图像上可定性的理解为直线刚好与曲线相碰，另一方面也可理解为一个动态的过程，让切点A 附近的点向A 不断接近，当与A 距离非常小时，观察直线AB 是否稳定在一个位置上 （2）判断一条直线是否为曲线的切线，不再能用公共点的个数来判定。 例如函数3 y x =在()1,1--处的切线32y x =+，与曲线有两个公共点(1,1),(2,8)--。 （3）在定义中，点B 不断接近A 包含两个方向，A 点右边的点向左接近，左边的点向右接近，只有无论从哪个方向接近，直线AB 的极限位置唯一时，这个极限位置才能够成为在点A 处的切线。对于一个函数，并不能保证在每一个点处均有切线。 例如y x =在()0,0处，通过观察图像可知，当0x =左边的点向其无限接近时，割线的极限位置为 y x =-，而当0x =右边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y x =，两个不同的方向极限位置不 相同，故y x =在()0,0处不含切线。 （4）由于点B 沿函数曲线不断向A 接近，所以若()f x 在A 处有切线，那么必须在A 点及其附近有定义（包括左边与右边） 2、切线与导数：设函数()y f x =上点()() 00,,A x f x ()f x 在A 附近有定义且附近的点 ()()00,B x x f x x +∆+∆，则割线AB 斜率为： ()()()()() 000000 AB f x x f x f x x f x k x x x x +∆-+∆-= = +∆-∆ 当B 无限接近A 时，即x ∆接近于零。 所以，直线AB 到达极限位置时的斜率表示为： ()()000 lim x f x x f x k x ∆→+∆-=∆,