尺规作图专题
知识精讲
1.尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图，最基本，最常用的尺规作图，通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。
2.五种基本作图：
①作一条线段于已知线段
②作一个角等于已知角
③作已知线段的垂直平分线
④作已知角的角平分线
⑤过一点作已知直线的垂线
1.作一条线段等于已知线段；
已知线段a，在AP上作一条以A点端点的线段AB。
作法
步骤1：作射线AP；
步骤2：在射线AP上截取AB=a，也即以A点为圆心，以a为半径画弧，交AP于点B 则线段AB就是所作的图形。
2.作一个角等于已知角；
已知：如图,∠AOB.求作：∠A’O’B’=∠AOB
作法
步骤1：作射线O’A’；
步骤2：以O为圆心，任意长度为半径画弧，交OA于M，交OB于N；步骤3：以O’为圆心，以OM的长为半径画弧，交O’A’于M’
步骤4：以M’为圆心，以MN的长为半径画弧，交前弧于N’；
步骤5：连接O’N’并延长到B’
则∠A’O’B’就是所求作的角。
原理：△NOM≌△N’O’M’对应角相等
3.作已知线段的垂直平分线的；
已知线段AB，求作线段AB的垂直平分线
作法
步骤1.分别以A、B为圆心，以大于1
2
AB的统一长度为半径作弧
步骤2.作过点D、E直线DE
直线DE就是所作的垂直平分线原理：利用的是三角形全等
4.作已知角的角平分线；
步骤1：在OA 射线和OB 射线上分别截取OD 、OE,使得OD=OE;
步骤2：分别以D 、E 为圆心，以大于 的统一长度为半径作弧 两弧交于∠AOB 内一点C
步骤3：作射线OC 。
OC 就是所作的角平分线
原理：利用的是三角形△OEC ≌△ODC 对应角相等
5. 过一点作已知直线的垂线；
如图，过点C 作直线AB 的垂线。
12DE
作法
步骤1：以C点为圆心，任意长为半径画弧，交AB于M、N;
步骤2：分别以M、N为圆心，大于1
2
MN长度为半径画弧，两弧交于点D；
步骤3:过点C、D作直线PQ;则直线PQ就是所做的直线。
巩固练习
【例1】线段大小的比较。
方法①：度量法（直尺）
方法②：叠合法
先观察估计图中线段a、b的大小，然后用比较线段大小的方法对a、b进行比较，并用“<”符号连接。
考点名称：尺规作图 【学习目标】 1．了解什么是尺规作图． 2．学会用尺规作图法完成下列五种基本作图：(1)画一条线段等于已知线段；(2)画一个角等于已知角；(3)画线段的垂直平分线；(4)过已知点画已知直线的垂线；(5)画角平分线．3．了解五种基本作图的理由． 4．学会使用精练、准确的作图语言叙述画图过程． 5．学会利用基本作图画三角形等较简单的图形． 6．通过画图认识图形的本质，体会图形的内在美． 【基础知识精讲】 1．尺规作图： ①定义：限定只用直尺和圆规来完成的画图，称为尺规作图． 注意：这里所指的直尺是没有刻度的直尺，由于免去了度量，因此，用尺规作图法画出的图形的精确度更高，它在工程绘图等领域应用比较广泛． ②步骤：(1)根据给出的条件和求作的图形，写出已知和求作部分；(2)分析作图的方法和过程；(3)用直尺和圆规进行作图； (4)写出作法步骤，即作法。（根据题目要求来定是否需要写出作法） 2．尺规作图中的最基本、最常用的作图称为基本作图．任何尺规作图的步骤均可分解为以下五种. 3．基本作图共有五种： (1)画一条线段等于已知线段． 如图24-4-1，已知线段DE． 求作：一条线段等于已知线段． 作法：①先画射线AB． ②然后用圆规在射线AB上截取AC＝MN． 线段AC就是所要作的线段． (2)作一个角等于已知角． 如图24-4-2，已知∠AOB．
求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB． 作法：①作射线O′A′； ②以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D． ③以点O′为圆心，以OC长为半径作弧，交O′A′于C′． ④以点C′为圆心，以CD为半径作弧，交前弧于D′． ⑤经过点D′作射线O′B′，∠A′O′B′就是所求的角． (3)作线段的垂直平分线． 如图24-4-3，已知线段AB． 求作：线段AB的垂直平分线． 作法：①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点C和D． ②作直线CD． 直线CD就是线段AB的垂直平分线． 注意：直线CD与线段AB的交点，就是AB的中点． (4)经过一点作已知直线的垂线． a．经过已知直线上的一点作这条直线的垂线，如图24-4-4． 已知：直线AB和AB上一点C， 求作：AB的垂线，使它经过点C． 作法：作平角ACB的平分线CF． 直线CF就是所求的垂线，如图24-4-4． b．经过已知直线外一点作这条直线的垂线． 如图24-4-5，已知：直线AB和AB外一点C．求作：AB的垂线，使它经过点C．
初中数学尺规作图讲解 初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条： ⑴ 经过两已知点可以画一条直线； ⑵ 已知圆心和半径可以作一圆； ⑶ 两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点； 以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题. 历史上，最著名的尺规作图不能问题是： ⑴ 三等分角问题：三等分一个任意角； ⑵ 倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍； ⑶ 化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积. 这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号π(即当圆半径1 r=时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题. 若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书. 还有另外两个著名问题： ⑴ 正多边形作法 ·只使用直尺和圆规，作正五边形. ·只使用直尺和圆规，作正六边形. ·只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的. ·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的. ·问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积，解 决了两千年来悬而未决的难题. ⑵ 四等分圆周 只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的，向全法国数学家的挑战. 尺规作图的相关延伸： 用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图 1.只用直尺及生锈圆规作正五边形 2.生锈圆规作图，已知两点A、B，找出一点C使得AB BC CA ==. 3.已知两点A、B，只用半径固定的圆规，求作C使C是线段AB的中点. 4.尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的 表达.10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图. 1672年，有人证明：如果把“作直线”解释
经过一已知点作已知直线的垂线 【教学目标】 一、知识与技能 1．复习尺规作图的三种基本作图方法，学会用尺规作图作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角。 2．使学生学会用尺规作图作已知角的平分线、经过一已知点作已知直线的垂线:。 二、过程与方法 学会使用精练准确的语言叙述画图过程，学会利用尺规作图画三角形等较简单的图形。 三、情感、态度与价值观 1．通过尺规作图的学习，培养学生对数学学习的兴趣。 2．通过尺规作图的学习，培养学生的作图能力、语言表达能力和逻辑思维能力。 【教学重难点】 1．重点： 用尺规作图作一条线段等于已知线线、作一个角等于已知角。 用尺规作图作已知角的平分线、经过一已知点作已知直线的垂线。 2．难点： 用尺规作图作一个角等于已知角，作简单的三角形。 用尺规作图经过一已知点作已知直线的垂线，作简单的三角形。 【教学过程】 一、自学教材，领悟新知 1．自学教材，体会前三种基本作图的方法。学生自学教材，交流归纳作一条线等于已知线段，作一个角等于已知角，作已知角的角平分线的方法。 二、师生互动，突破难点 1．过直线上一点，作已知直线的垂线。 教师演示作图过程；学生动手完成作图过程并思考作图道理。 教师点评： 过直线上一点，作已知直线的垂线，实质是作平角的平分线。 2．过直线外一点，作已知直线的垂线。 教师演示，学生动手完成，最后教师点评，过直线外一点，作已知直线的垂线，实质是作
以直线外一点为顶点所构造的一个角的角平分线。 三、典例精析，拓展新知 经过一已知点作已知直线的垂线： 求作：过C点垂直于直线L的直线。 作法： 1．以C点为圆心，以大于C点到直线L的距离为半径画弧，交直线于A、B两点； 2．分别以A、B两点为圆心，以大于1/2AB的长度为半径画弧，两弧相交于D点； 3．过C、D两点作直线CD，即为所求作的垂线。 证明： 如果过直线上一点作已知直线的垂线，能否利用画平分线的方法解决呢？ 试试看，自己完成整个作图。 四、随堂练习，巩固新知 例题1． 过点P画角AOB两边的垂线。 五、师生互动，课堂小结 这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言基础上教师归纳总结。 【教学反思】 这节课内容较重要，基本作图较简单，主要是学生自学后独立操作，教师演示的目的是规范作图语言，搞清其中的几何道理。 运用基本作图解作图题时，应让学生先分析作图顺序后，再完成。对于作图语言应逐步规范。
中考专题复习：尺规作图 最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。 五种基本作图： 1、作一条线段等于已知线段； 2、作一个角等于已知角； 3、作已知线段的垂直平分线； 4、作已知角的角平分线； 5、过一点作已知直线的垂线； 专题训练： 1.已知：线段a，b 求作：△ABC，使AB=a，BC=b，AC=2a．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 分析：首先画线段AC=2a，再以A为圆心，a长为半径画弧，再以C为圆心，b长为半径画弧，两弧交于点B， 连接AB、BC即可． 解：如图所示：△ABC即为所求． ， 点评：此题主要考查了作图，关键是掌握作一条线段等于已知线段的方法． 2.如图（1），已知直线AB及直线AB外一点C，过点C作CD∥AB（写出作法，画出图形）． 分析：根据两直线平行的性质，同位角相等或内错角相等，故作一个角∠ECD=∠EFB即可． 作法：如图（2）． 图（1）图（2） （1）过点C作直线EF，交AB于点F； （2）以点F为圆心，以任意长为半径作弧，交FB于点P，交EF于点Q； （3）以点C为圆心，以FP为半径作弧，交CE于M点； （4）以点M为圆心，以PQ为半径作弧，交前弧于点D； （5）过点D作直线CD，CD就是所求的直线． 3.已知：∠AOB，求作：∠A′O′B′=∠AOB（用尺规作图，保留作图痕迹，不写步骤）． 分析：（1）作射线O′B′； （2）以O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D； （3）以O′为圆心，以OC的长为半径画弧，交O′A′于点C′； （4）以点D′为圆心，以CD的长为半径画弧，交前弧于点C′； （5）过C′作射线O′A′． 则∠A′O′B′就是所求作的角． 解：∠A′O′B′就是所求作的角． 4.画出∠AOB的角平分线（要求：尺规作图，不写作图过程保留作图痕迹）． 分析：以点O为圆心，以任意长为半径画弧，与边OA、OB分别相交于点M、N，再以点M、N为圆心，以大 于1/2 MN长为半径，画弧，在∠AOB内部相交于点C，作射线OC即为∠AOB的平分线． 解：如图所示，OC即为所求作的∠AOB的平分线． 5.尺规作图：线段MN的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹） 分析：分别以M、N点为圆心，以大于1/2 MN的长为半径作弧，两弧相交于A，B两点；作直线AB，AB即 为线段AB的垂直平分线． 解：如图所示：AB即为所求． 6.经过已知直线外一点作这条直线的垂线“的尺规作图过程： 已知：直线l和l外一点P．求作：直线l的垂线，使它经过点P．
初中数学《尺规作图》教案 19.3尺规作图(3)? 一、教学目标? 1.进一步熟练尺规作图.? 2.掌握尺规的基本作图：画线段的垂直平分线，画直线的垂线.? 3.尺规作图的简单应用，解尺规作图题，会写已知、求作和作法. 二、教学重点画图，写出作图的主要画法.? 三、教学难点?写出作图的主要画法，应用尺规作图.? 四、教学方法?引导法，演示法，分析法，探索法.? 五、教学过程? (一)引入?我们已熟悉尺规的两个基本作图：画线段，画角.? 那么利用尺规还能解决什么作图问题呢?? (二)新课? 1.画线段的垂直平分线.? 请同学们探索用直尺和圆规准确地画出一条线段的垂直平 分线. 已知线段a，用直尺和圆规准确地画出已知线段a的垂直平分线.? 解决这一问题，要利用好线段垂直平分线的性质.? 请同学们讨论、探索、交流、归纳出具体的作图方法.?
例1已知底边及底边上的高作等腰三角形.? 分析：要完成这个作图，先作出底边，再作底边的垂直平分线，取高，最后完成三角形. 已知：底边a、及底边上的高h.(画出两条线段a、h)? 求作：△ABC，使得一底边为a、底边上的高为h.? 作法：(略).? 2.画直线的垂线.? 请同学们探索用直尺和圆规准确地画出一条直线的垂线.? 请同学们讨论、探索、交流、归纳出具体的作图方法.? 实际上，画出一条直线的垂线，就是转化为画线段的垂直平分线.? 例2过直线外一点作直线的垂线.? 已知：直线a、及直线a外一点A.(画出直线a、点A)? 求作：直线a的垂线直线b，使得直线b经过点A.? 作法：(1)以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交直线a 于点C、D.? (2)以点C为圆心，以AD长为半径在直线另一侧画弧.? (3)以点D为圆心，以AD长为半径在直线另一侧画弧，交前一条弧于点B.?(4)经过点A、B作直线AB.? 直线AB就是所画的垂线b.(如图)? 3.（优生）探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆.?
中考总复习—尺规作图 一、理解“尺规作图”的含义 在几何中，我们把只限定用直尺（无刻度）和圆规来画图的方法，称为尺规作图．其中直尺只能用来作直线、线段、射线或延长线段；圆规用来作圆和圆弧．由此可知，尺规作图与一般的画图不同，一般画图可以动用一切画图工具，包括三角尺、量角器等，在操作过程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不允许度量成分的． 2.基本作图：（1）用尺规作一条线段等于已知线段；（2）用尺规作一个角等于已知角. 利用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差. 二、熟练掌握尺规作图题的规范语言 1.用直尺作图的几何语言： ①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××； ②连结两点××；或连结××； ③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×； 2.用圆规作图的几何语言： ①在××上截取××＝××； ②以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）； ③以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×； ④分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、× . 三、了解尺规作图题的一般步骤 尺规作图题的步骤： 1.已知：当作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件； 2.求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件； 3.作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹.对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法. 在目前，我们只要能够写出已知，求作，作法三步（另外还有第四步证明）就可以了，而且在许多中考作图题中，又往往只要求保留作图痕迹，不需要写出作法，可见在解作图题时，保留作图痕迹很重要. 四、最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。五种基本作图：
尺规作图专题 1、尺规作图的定义所谓尺规作图，就是只准有限次地使用没有刻度的直尺和圆规进行作图。最早提出几何作 图要有尺规限制的是古希腊的哲学家安那萨哥拉斯。他因政治上的纠葛，被关进监狱，并被处死刑。传说，在监狱里，他思考化圆为方以及其它有关问题，用来打发令人苦恼的无所事事的生活。他不可能用规范的作图工具，只能用一根绳子画图，用随便找来的破木棍、竹片之类作直尺，当然这些“尺”上就不可能有刻度。另外，对他来说，时间是不多了。因此他很自然地想到要有限次地使用尺规解决问题。后来以理论形式具体明确这个规定的是欧几里得，他在《几何原本》中对作图作了三条规定（公设）。由于《几何原本》的巨大影响，希腊人所崇尚的尺规作图也一直被遵守并流传下来。 2、尺规作图的要求 ①直尺必须没有刻度，可以无限长，且只能使用直尺的固定一侧。只可以用它来将两个点连在一起，不可 以在上画刻度。 ②圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度。它只可以拉开成你之前构造过的长度或一个任意的长度. 3、尺规作图的三大不能为问题 古希腊人说的直尺，指的是没有刻度的直尺。他们在大量的画图经历中感觉到，似乎只用直尺、圆规这两种作图工具就能画出各种满足要求的几何图形，因而，古希腊人就规定，作图时只能有限次地使用直尺和圆规这两种工具来进行，并称之为尺规作图法。漫长的作图实践，按尺规作图的要求，人们作出了大量符合给定条件的图形，即便一些较为复杂的作图问题，独具匠心地经过有限步骤也能作出来。到了大约公元前 6 世纪到 4 世纪之间，古希腊人遇到了令他们百思不得其解的三个作图问题。 ①三等分角问题：将任一个给定的角三等分。 ②立方倍积问题：求作一个正方体的棱长，使这个正方体的体积是已知正方体 体积的二倍。 ③化圆为方问题：求作一个正方形，使它的面积和已知圆的面积相等。这就是著名的古代几何作图三大难题，它 们在《几何原本》问世之前就提出了， 随着几何知识的传播，后来便广泛留传于世。 4、初中几个最基本的尺规作图 一.已知一线段 1. 作已知线段的中点 2. 作已知线段的垂线 3. 作已知线段的垂直平分线 4. 过一点作已知直线的垂线 5. 作已知线段的三等分点 6. 过直线外一点作已知直线的平行线 二.已知一角 1. 作一角与已知角相等 2. 作已知角的角平分线 1
尺规作图的教学分析 尺规作图以严密的逻辑推理，成为数学教学中独具一格的教学内容，由于其独特的知识结构，多年来在初中教学中未有深入的涉及和研究，对学生的教学要求，只局限于五种基本尺规作图法的理解和操作，随着新课程对学生能力培养的要求，对尺规作图的要求也提出了更高的要求：除了要熟练操作五种基本图形作法外，还要结合几何推理，对目标图形进行作图原理推究、作图方法探索。这在一定程度上，对尺规作图的课堂教学带来了一定的挑战，在近段时间关于尺规作图的课堂教学教研活动中，笔者深有感触：尺规作图的教学在接轨于新课标的总思想和接轨于中考要求方面需要加大力度，笔者就课后交流和个人亲身教学体会，谈谈对尺规作图教学的一些想法。 1. 教材对尺规作图的基本要求 任何一个知识点的学习，都离不开基本概念的理解和基本技能的掌握，三基是知识的根本点，对学生所学的相关知识及新知识结构起着固本作用，三基只有得到彻实有效的实施和应用，三基才能得到充分的发展和延伸。我们对尺规作图这块内容的教学，同样需要熟练掌握五种基本图形的基本画法，正确理解它们的作图原理，在实际问题中能简单地应用。教材（华师大版）对五种基本作图的内容编排，是浅显易懂，对课堂例题及训练题也是从绝大数学生的实际认知能力出发而设，以照顾全体学生在学习中都能获益为主要目标，在课后作业练习题中，也是对五种基本图形作法中稍加组合应用，注重的是基本作图法的理解、技能的掌握以及有条件类型题的作图，这类题学生能直接根椐条件，选择相应作图方法作图，主要目的都是巩固理解五种基本图形，虽然题目类型缺乏灵活性，但这些全是固本知识，是知识的根本点，能为学生作图方法的深入研究提供有效的保证。新教材编写虽然浅显易懂，习题也简单，却需要教师补充一部分内容，这是新教材的一个特色，是给教师提供的一个弹性空间，可以根据学生具体情况，适当补充一些需要的题型，提升学生的能力。 2. 尺规作图应落实的教学尺度 2.1尺规作图教练中的难度 在学生的实际学习中，对五种基本作图法的单一应用是没有问题的，但部分学生由于几何意识薄弱，对稍加组合的基本图形作法的应用，思维发挥尚有一定差异，主要原因在于双基落实过程中，深度不够，也就是说几何推理+操作的综合能力不够到位，需要在教学过程中把握好难度分寸，给学生补充一些能激化思维、提升思维的内容，以达到对基本作图法的灵活应用。 笔者给学生做过这样一个试验，如例1，学生在解答时，因作图意向方法非常清楚，因此学生能很快画出角平分线和过点P的垂线，得二线交点Q。但当笔者把题目作了适当变形时，学生选择作图方法，显得缺乏应有的章法，暴露出学生在受教过程中，对目标图形的几何分析和基本图形作法插入应用，缺乏应有理性认识。若在平时能经常给学生训练例1类的变形题，学生对尺规作图的理性认识将上升一个台阶。 例1如图1-1，已知∠AOB，点P在OA上，找出点Q，使点Q到∠AOB两边距离相等，并且PQ⊥OA； 图1-1 图1-2 图1-3 变形1 有二条直线型公路AB和CD，如图1-2，因在点C的左边有障碍物，因此公路要在点C处开始转弯与公路AB相接，要求画出连接二公路的圆弧，且圆弧与二公路是相切。 变形2 有二条直线型公路AB和CD，如图1-3，因在点C的左边是障碍物，因此公路要修建一个圆弧连接公路AB、CD，要求画出圆弧的半径为r，且圆弧与二公路是相切。 变形1只是对图1-1中的∠O部分擦去，直线说成是公路，很多学生只能画出过点C的垂线，却不会去画二条公路延长线的夹角平分线。变形2是对变形1改进，有了变形1的经验，学生只能画角平分线确定圆心所在的一条直线，画第二条确定圆心所在的直线有点困难，本题和变形1相比，难度稍
华师大版数学八年级上册 第13章全等三角形 小结——尺规作图（作三角形） 一、课标依据： 1、利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形。 2、了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法(不要求证明)。 二、教材分析： 本节课重在发展学生的空间观念，培养学生的动手操作能力，养成研究生学习的好习惯，为以后利用作辅助线的解几何题的学习打下基础。尺规作图与全等知识相结合，对今后的画图作图有很大的帮助，会利用尺规作图解决实际问题。 尺规作图以严密的逻辑推理，成为数学教学中独具一格的教学内容，由于其独特的知识结构，多年来在初中教学中未有深入的涉及和研究，对学生的教学要求，只局限于五种基本尺规作图法的理解和操作，随着新课程对学生能力培养的要求，对尺规作图的要求也提出了更高的要求：除了要熟练操作五种基本图形作法外，还要结合几何推理，对目标图形进行作图原理推究、作图方法探索。 三、学情分析： 学生学习本课前已经有一定的动手操作和口头表达能力。已经初步理解了作图的步骤，具备了基本的作图能力，积累了一定的尺规作图的学习经验，并能简单的表达作图过程，并且学习了三角形全等的知识，为三角形尺规作图的学习奠定了良好的知识基础。 在学生的实际学习中，对五种基本作图法的单一应用是没有问题的，但部分学生由于几何意识薄弱，对稍加组合的基本图形作法的应用，思维发挥尚有一定差异，主要原因在于双基落实过程中，深度不够，也就是说几何推理结合操作的综合能力不够到位，需要在教学过程中把握好难度分寸，给学生补充一些能激化思维、提升思维的内容，以达到对基本作图法的灵活应用。 四、教学目标： 知识与能力： 1、经历尺规作图实践操作过程，训练和提高尺规作图的技能，能根据条件利用尺规作出三角形：已知三边作三角形；已知两角及夹边作三角形；已知两边及夹角作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形。 2、会写出三角形的已知、求作，并能简要叙述作法。 3、能对所作三角形给出合理的解释。 过程与方法： 1、在用尺规作三角形与已知三角形的过程中，体会、思考作图的合理性及依据。
第一部分三角形 考点一、三角形 1、三角形的概念 由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。 2、三角形中的主要线段 （1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。 （2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。 （3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。 3、三角形的稳定性 三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。 4、三角形的特性与表示 三角形有下面三个特性： （1）三角形有三条线段 （2）三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形 （3）首尾顺次相接 三角形用符号“?”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“?ABC”，读作“三角形ABC”。 5、三角形的分类 三角形按边的关系分类如下： 不等边三角形 三角形底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形 三角形按角的关系分类如下： 直角三角形（有一个角为直角的三角形） 三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形） 斜三角形 钝角三角形（有一个角为钝角的三角形） 把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。 6、三角形的三边关系定理及推论 （1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。 推论：三角形的两边之差小于第三边。 （2）三角形三边关系定理及推论的作用： ①判断三条已知线段能否组成三角形 ②当已知两边时，可确定第三边的范围。 ③证明线段不等关系。 7、三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。 推论： ①直角三角形的两个锐角互余。 ②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。 ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
考点名称：尺规作图 尺规作图：是指限定用没有刻度的直尺和圆规来完成的画图。一把没有刻度的直尺看似不能做什么，画一个圆又不知道它的半径，画线段又没有精确的长度。 其实尺规作图的用处很大，比如单用圆规找出一个圆的圆心，量度一个角的角度，等等。运用尺规作图可以画出与某个角相等的角，十分方便。 尺规作图的中基本作图： 作一条线段等于已知线段； 作一个角等于已知角； 作线段的垂直平分线； 作已知角的角平分线； 过一点作已知直线的垂线。 还有： 已知一角、一边做等腰三角形 已知两角、一边做三角形 已知一角、两边做三角形 依据公理： 还可以根据已知条件作三角形，一般分为已知三边作三角形，已知两边及夹角作三角形，已知两角及夹边作三角形等，作图的依据是全等三角形的判定定理：SSS，SAS，ASA等。注意： 保留全部的作图痕迹，包括基本作图的操作程序，只有保留作图痕迹，才能反映出作图的操作是否合理。
尺规作图方法： 任何尺规作图的步骤均可分解为以下五种方法： ·通过两个已知点可作一直线。 ·已知圆心和半径可作一个圆。 ·若两已知直线相交，可求其交点。 ·若已知直线和一已知圆相交，可求其交点。 ·若两已知圆相交，可求其交点。 【学习目标】 1．了解什么是尺规作图． 2．学会用尺规作图法完成下列五种基本作图：(1)画一条线段等于已知线段；(2)画一个角等于已知角；(3)画线段的垂直平分线；(4)过已知点画已知直线的垂线；(5)画角平分线．3．了解五种基本作图的理由． 4．学会使用精练、准确的作图语言叙述画图过程． 5．学会利用基本作图画三角形等较简单的图形． 6．通过画图认识图形的本质，体会图形的内在美． 【基础知识精讲】 1．尺规作图： 限定只用直尺和圆规来完成的画图，称为尺规作图． 注意：这里所指的直尺是没有刻度的直尺，由于免去了度量，因此，用尺规作图法画出的图形的精确度更高，它在工程绘图等领域应用比较广泛．
320国道 ． 5 题 ． 学习必备 欢迎下载 一、尺规基本作图归纳 1、作一条线段等于已知线段； 2、作一个角等于已知角； 3、作角的平分线； 4、作线段的中垂线； 5、已知三边,两边和其夹角或两角和其夹边作三角形; 6、已知底边和底边上的高作等腰三角形； 7、过直线上一点作直线的垂线； 8、过直线外一点作直线的垂线. 题 1、如图,有一破残的轮片,现要制作一个与原轮片同样大小的圆形零件,请你根据所学的有关知识,设计一种方案,确定 这个圆形零件的半径. 2、 如图:107 国道 OA 和 320 国道 OB 在某市相交于点 O,在∠AOB 的内部有工厂 C 和 D,现要修建一个货站 P ,使 P 到 OA 、OB 的距离相等且 PC=PD ,用尺规作出货站 P 的位置(不写作法,保留作图痕迹,写出结论) A D A 107国道 C C B O B 3、 三条公路两两相交，交点分别为 A ，B ，C ，现计划建一个加油站，要求到三条公路的距离相等，问满足要求的加 油站地址有几种情况？ B A A O A C B C 4、 过点 C 作一条线平行于 AB ； 5、过不在同一直线上的三点 A 、B 、C 作圆 O ； 6、过直线外一点 A 作圆 O 的切线。 二、几何画图：1 只利用一把有刻度的直尺,用度量的方法,按下列要求画图: 1）画等腰三角形 ABC 的对称轴: 2)画∠AOB 的对称轴 2 有一个未知圆心的圆形工件.现只允许用一块三角板（注：不允许用三角板上的刻度）画出该工件表面上的一条直径 并定出圆心.要求在图上保留画图痕迹，写出画法. 3 某校有一个正方形的花坛，现要将它分成形状和面积都相同的四块种上不同颜色的花卉，请你帮助设计至少三种不同 的方案，分别画在下面正方形图形上（用尺规作图或画图均可，但要尽可能准确些、美观些） 4 某村一块若干亩土地的图形是ΔABC ，现决定把这块土地平均分给四位“花农”种植，请你帮他们分一分，提供至少两 种分法。要求：画出图形，并简要说明分法。 5.如图所示，在正方形网格上有一个三角形 ABC.①作△ABC 关于直线 MN 的对称图形(不写作法)； ②若网格上的最小正方形的边长为 △1.求 ABC 的面积. M P A A 甲 乙 丙 丁 C C B D Q B C A B 6 题 7 题 N 6 如图，方格纸中每个小方格都是边长为 1 的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形” 如图（一） 中四边形 ABCD 就是一个“格点四边形”． ①求图中四边形 ABCD 的面积；②在图中方格纸上画一个格点△EFG ，使△EFG 的面积等于四边形 ABCD 的面积且为
[初中数学论文] 尺规作图的教学分析 尺规作图以严密的逻辑推理，成为数学教学中独具一格的教学内容，由于其独特的知识结构，多年来在初中教学中未有深入的涉及和研究，对学生的教学要求，只局限于五种基本尺规作图法的理解和操作，随着新课程对学生能力培养的要求，对尺规作图的要求也提出了更高的要求：除了要熟练操作五种基本图形作法外，还要结合几何推理，对目标图形进行作图原理推究、作图方法探索。这在一定程度上，对尺规作图的课堂教学带来了一定的挑战，在近段时间关于尺规作图的课堂教学教研活动中，笔者深有感触：尺规作图的教学在接轨于新课标的总思想和接轨于中考要求方面需要加大力度，笔者就课后交流和个人亲身教学体会，谈谈对尺规作图教学的一些想法。 1. 教材对尺规作图的基本要求 任何一个知识点的学习，都离不开基本概念的理解和基本技能的掌握，三基是知识的根本点，对学生所学的相关知识及新知识结构起着固本作用，三基只有得到彻实有效的实施和应用，三基才能得到充分的发展和延伸。我们对尺规作图这块内容的教学，同样需要熟练掌握五种基本图形的基本画法，正确理解它们的作图原理，在实际问题中能简单地应用。教材（华师大版）对五种基本作图的内容编排，是浅显易懂，对课堂例题及训练题也是从绝大数学生的实际认知能力出发而设，以照顾全体学生在学习中都能获益为主要目标，在课后作业练习题中，也是对五种基本图形作法中稍加组合应用，注重的是基本作图法的理解、技能的掌握以及有条件类型题的作图，这类题学生能直接根椐条件，选择相应作图方法作图，主要目的都是巩固理解五种基本图形，虽然题目类型缺乏灵活性，但这些全是固本知识，是知识的根本点，能为学生作图方法的深入研究提供有效的保证。新教材编写虽然浅显易懂，习题也简单，却需要教师补充一部分内容，这是新教材的一个特色，是给教师提供的一个弹性空间，可以根据学生具体情况，适当补充一些需要的题型，提升学生的能力。 2. 尺规作图应落实的教学尺度 2.1尺规作图教练中的难度 在学生的实际学习中，对五种基本作图法的单一应用是没有问题的，但部分学生由于几何意识薄弱，对稍加组合的基本图形作法的应用，思维发挥尚有一定差异，主要原因在于双基落实过程中，深度不够，也就是说几何推理+操作的综合能力不够到位，需要在教学过程中把握好难度分寸，给学生补充一些能激化思维、提升思维的内容，以达到对基本作图法的灵活应用。 笔者给学生做过这样一个试验，如例1，学生在解答时，因作图意向方法非常清楚，因此学生能很快画出角平分线和过点P的垂线，得二线交点Q。但当笔者把题目作了适当变形时，学生选择作图方法，显得缺乏应有的章法，暴露出学生在受教过程中，对目标图形的几何分析和基本图形作法插入应用，缺乏应有理性认识。若在平时能经常给学生训练例1类的变形题，学生对尺规作图的理性认识将上升一个台阶。 例1如图1-1，已知∠AOB，点P在OA上，找出点Q，使点Q到∠AOB两边距离相等，并且PQ⊥OA；
数学北师大版初一下册第5章 5.3《简单的轴对称图形》第2课时 《尺规作图》教学设计 西安铁一中滨河学校侯雪萍 一、课题：《尺规作图》 二、教材分析：本节课内容是北师大版《数学》七年级下册第五章《生活中的轴对称》的第三节《简单的轴对称图形》中第2、3课时。我将利用全等作“已知角的角平分线”和“已知线段的垂直平分线”的《尺规作图》整合后作为第2课时。第四章《三角形》结束后，我们已经学过了1.作一条线段等于已知线段；2.做一个角等于已知角；还学习了《探索三角形全等的条件》和《利用三角形全等测距离》，所以这节课安排在此学生的知识储备是够的。这节课安排在此有承上启下的作用，它是三角形全等的应用。这节课后，初中五大基本作图学生就可以集中掌握，也为第五章学习角平分线、线段的垂直平分线的性质奠定了基础，同时也为后续五大基本作图综合应用打下坚实的基础。例如：作三角形的外接圆、内切圆、圆的内接正方形和正六边形等。所以处理好本节内容对今后学生的学习和发展十分重要。 本节知识重点：能利用三角形的全等作一个角的角平分线，作一条线段的垂直平分线，能清楚的叙述作法，理解并说明作法的道理。 本节能力重点：通过动手操作探寻具体解决问题的思路，类比学过的作一个角等于已知角的知识作角的平分线，线段的中垂线转化为作三角形的全等，全等三角形对应角和边相等来解决问题，培养学生知识的迁移能力，锻炼思维张力。 本节需一个课时完成。 关于教材的处理，有两点说明： 1、对教学内容进行顺序调整和重新组合。数学课程标准“尺规作图”初中阶段课程内容要求能用尺规完成以下基本作图：1.作一条线段等于已知线段； 2.做一个角等于已知角； 3.作一个角的角平分线； 4.作一条线段的垂直平分线； 5.过一点作已知直线的垂线。
尺规作图 一、理解“尺规作图”的含义 1.在几何中，我们把只限定用直尺（无刻度）和圆规来画图的方法，称为尺规作图．其中直尺只能用来作直线、线段、射线或延长线段；圆规用来作圆和圆弧．由此可知，尺规作图与一般的画图不同，一般画图可以动用一切画图工具，包括三角尺、量角器等，在操作过程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不允许度量成分的． 2.基本作图：（1）用尺规作一条线段等于已知线段；（2）用尺规作一个角等于已知角. 利用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差. 二、熟练掌握尺规作图题的规范语言 1.用直尺作图的几何语言： ①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××； ②连结两点××；或连结××； ③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×； 2.用圆规作图的几何语言： ①在××上截取××＝××； ②以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）； ③以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×； ④分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、×. 三、了解尺规作图题的一般步骤 尺规作图题的步骤： 1.已知：当作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件； 2.求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件； 3.作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹.对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法. 在目前，我们只要能够写出已知，求作，作法三步（另外还有第四步证明）就可以了，而且在许多中考作图题中，又往往只要求保留作图痕迹，不需要写出作法，可见在解作图题时，保留作图痕迹很重要. 尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。 五种基本作图： 1、作一条线段等于已知线段； 2、作一个角等于已知角； 3、作已知线段的垂直平分线；
2017 年中考复习专题《尺规作图》教学设计 一、教材分析 在尺规作图知识的学习过程中，教材设计了许多让学生经历尺规作图的活动，解决了一些简单的问题，如：七下作三角形，九上作等腰三角形，感受到尺规作图在数学中的一定作用，获得了从事尺规作图活动的一些数学活动经验；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。 二、学情分析 学生在学习中，教材介绍了如何用直尺和圆规作一条线段等于已知线段；用尺规作一个角等于已知角；用尺规作线段的垂直平分线学习了作已知角的平分线。学生已经初步理解了作图的步骤，具备了基本的作图能力，并能简单的表达作图过程，为复习课的学习奠定了良好的知识基础。 三、教学目标 中考基于“课标”而课标要求了会基本作图，它们是作图的基础，是解决更为复杂的尺规作图的基础。作为一节复习课不但要注重基础的扎实，而且还应注重它的运用。为此，本节课的教学目标是：知识与技能：（1）再认识什么是尺规作图；经历基本作图的复习与巩固；学会利用基本图形作“三边” “两边及夹角” “两角及夹边”三角形；底边和底边上的高作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形；会作三角形的内切圆（内心）和外接圆（外心）；（2）对尺规基本作图题，能正确作出图形（保留作图痕迹）（不要求写出证明过程）。过程与方法：经历基本作图的复习与巩固，感受尺规作图的几何意义，规范学生的作图语言，积累一些尺规作图的方法与经验，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。情感、态度与价值观：通过复习尺规作图，进一步加强学生的作图能力，使学生养成良好的动手操作、实践探索、合作交流的学习习惯。 四、教学重点、难点 掌握基本作图，并能利用基本作图解决一些实际问题。 五、教学方法和手段（1）教学方法：练习导引复习法（在练习中导引学生复习，让学生在自主学习中掌握本节学习目标） （2）教学手段：多媒体课件（主要用于扩充课堂容量，加强内容的多方面复习）
第28课时尺规作图 ◆考点聚焦 1．掌握基本作图，尺规作图的要求与步骤． 2．利用基本作图工具画三角形、四边形、圆以及简单几何体的三视图，?对简单的作图能叙述作法． 3．运用基本作图、结合相关的数学知识（平移、旋转、对称、?位似）等进行简单的图案设计． 4．运用基本作图解决实际问题． ◆备考兵法 1．熟练掌握基本作图． 2．在画几何体的三视图时，要注意其要求，?即“长对正”“高平齐”“宽相等”． 3．认真分析题意，善于把实际问题转化为基本作图． ◆识记巩固 1．尺规作图的定义：_____________． 2．基本作图包括：_______，_______，________，________，_______．3．三角形三边的垂直平分线的交点叫三角形的外心，?三角形三内角平分线的交点叫三角形的内心，外心到三角形的_______的距离相等，内心到三角形_______的距离相等．识记巩固参考答案: 1．限定只能使用圆规和没有刻度的直尺作图 2．作线段作角作线段的垂直平分线过一点作已知直线的垂线作角平分线 3．顶点三边 ◆典例解析 例1 （2008，新疆建设兵团） （1）请用两种不同的方法，用尺规在所给的两个矩形中各作一个不为正方形的菱形，且菱形的四个顶点都在矩形的边上．（保留作图痕迹）
（2）写出你的作法． 解析（1）所作菱形如图①，②所示． 说明：作法相同的图形视为同一种，例如类似图③，?图④的图形视图与图②是同一种． ①② ③④ （2）图①的作法：作矩形A1B1C1D1四条边的中点E1，F1，G1，H1，连结H1E1，E1F1，G1F1，G1H1． 四边形E1F1G1H1即为菱形． 图②的作法：在B2C2上取一点E2，使E2C2>A2E2且E2不与B2重合，连结A2E2．以A2为圆心，A2E2为半径画弧，交A2D2于H2； 以E2为圆心，A2E2为半径画弧，交B2C2于F2； 连结H2F2，则四边形A2E2F2H2为菱形． 例2 如图，已知∠AOB，OA=OB，点E在OB边上，四边形AEBF是矩形．请你只用无刻度的直尺在图中画∠AOB的平分线（请保留画图痕迹）．
三角形的尺规作图教学案 课题：三角形的尺规作图 课型：新授课 课程标准： 利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形。 了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法(不要求证明)。 教材分析： 在尺规作图知识的学习过程中，教材设计了许多让学生经历尺规作图的活动，解决了一些简单的问题感受到尺规作图在数学中的一定作用，获得了从事尺规作图活动的一些数学活动经验；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。 学情分析： 学生已经初步理解了作图的步骤，具备了基本的作图能力，并能简单的表达作图过程，并且学习了三角形全等的知识，为三角形尺规作图的学习奠定了良好的知识基础。 学习目标： （1）认识什么是尺规作图； 会利用基本作图作“三边”“两边及夹角”“两角及夹边”三角形； （2）对尺规基本作图题，能写出已知，求作和作法或口头表述作法，并能正确作出图形（保留作图痕迹）（不要求写出证明过程）。 学习评价： 通过第一环节，检测目标一的达成 通过第二环节，检测目标二的达成 学习过程： 第一环节：基本作图回顾 活动内容：通过自主学习练习的方式复习尺规作图的四个基本作图。 活动目的：使学生通过这种方式对所学的知识进行巩固，最终达到掌握并灵活应用的目的。 活动过程： （1）已知：如图，线段AB A B
求作： :线段A`B`,使得A`B`=AB. 作法与示范： 作法 示范 （1） 作射线A ′C ′； A ′ C ′ （2）以点A ′为圆心，以A B 的长为半径画 弧，交射线A ′C ′于点B ′。A ′B ′就是所作的线段。 A ′ B ′ C ′ 实际教学效果：学生在六年级接触过作一条线段等于已知线段，但是由于相隔时间比较长，所以有一部分同学遗忘，这时通过小组的交流合作，互帮互助，学生在合作中回忆起了作图的步骤，同时也在其中体会到了交流合作的重要性。而在本节课当中，教师应在学生原有水平的基础上，规范学生的解题步骤，使得学生实现从原来的会按顺序作出图来到按照程序化的方式规范作图的转变。 （2）已知： ∠AOB 。 求作： ∠A`O`B` 使∠A`O`B`=∠AOB 。 作法与示范： 第二环节：尺规作三角形 活动内容：通过小组合作练习的方式复习运用尺规作三角形。 作法 示范 （1）作射线O ’A ’ A' O' （2）以点O 为圆心，以 任意长为半径画弧， 交OA 于点C ，交OB 于点D ； D B A C O A' O' （3）以点O ’为圆心，以 OC 长为半径画弧， 交O ’A ’于点C ’； D B A C O A' C'O' （4）以点C ’为圆心，以 CD 长为半径画弧， 交前面的弧于点D ’； D B A C O A' C' D' O' （5）过点D ’作射线O'B ’。 ∠A'O'B' 就是所求作的角。 D B A C O B' A' C'D' O'