万有引力定律近几年的高考题
2008年高考题
1.已知太阳到地球与地球到月球的距离的比值约为390，月球绕地球旋转的周期约为27天.利用上述数据以及日常的天文知识，可估算出太阳对月球与地球对月球的万有引力的比值约为A.0.2 B.2 C.20 D.200【答案】B
【解析】设太阳质量M ，地球质量m ，月球质量m 0，日地间距离为R ，月地间距离为r ，日月之间距离近似等于R ，地球绕太阳的周期为T 约为360天，月球绕地球的周期为t =27天。
对地球绕着太阳转动，由万有引力定律：G Mm R 2=m 4π2R T 2，同理对月球绕着地球转动：G mm 0r 2=m 04π2r
t 2，
则太阳质量与地球质量之比为M : m =R 3T 2r 3t 2；太阳对月球的万有引力F = G Mm 0
R 2，地球对月球的
万有引力f = G mm 0r 2，故F : f = Mr 2
mR
2，代入太阳与地球质量比，计算出比值约为2，B 对。2．图是“嫦娥一导奔月”示意图，卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨，进入地月转
移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星，并开展对月球的探测，下列说法正确的是A ．发射“嫦娥一号”的速度必须达到第三宇宙速度 B ．在绕月圆轨道上，卫星周期与卫星质量有关
C ．卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比
D ．在绕月轨道上，卫星受地球的引力大于受月球的引力 【答案】C
【解析】由于发射过程中多次变轨，在开始发射时其发射速度必须比第一宇宙速度大，不需
要达到第三宇宙速度，选项A 错误。在绕月轨道上，根据2
224Mm F G m r r T
π==可知卫星
的周期与卫星的质量无关，选项B 错误，选项C 正确。由于绕月球运动，地球对卫星的引
力较小，故选项D 错误。3．一探月卫星在地月转移轨道上运行，某一时刻正好处于地心和月心的连线上，卫星在此
处所受地球引力与月球引力之比为4∶1．已知地球与月球的质量之比约为81∶1，则该处到地心与到月心的距离之比约为.【答案】9 : 2
【解析】由万有引力定律，卫星受到地球和月球的万有引力分别为F 地 = G M 地m R 地2 ，F 月 = G M 月m
R 月
2 ，代入题目给定的数据可得R 地 : R 月=9 : 2 。4.据报道，我国数据中继卫星“天链一号01星”于2008年4月25日在西昌卫星发射中心发射升空，经过4次变轨控制后，于5月1日成功定点在东经77?赤道上空的同步轨道。关于成功定点后的“天链一号01星”，下列说法正确的是A.运行速度大于7.9 km/s
B.离地面高度一定，相对地面静止
C.绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大
D.向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等 【答案】BC
【解析】由题目可以后出“天链一号卫星”是地球同步卫星，运行速度要小于7.9/m s ,而他的位置在赤道上空，高度一定，A 错B 对。由2T πω=可知，C 对。由2GM
a R
=可知，D 错。【高考考点】万有引力定律在航天中的应用。 【易错提醒】D 选项，不能应用2GM
a R
=
，凭借直观感觉选上此选项。 5.有同学这样探究太阳的密度：正午时分让太阳光垂直照射一个当中有小孔的黑纸板，接收屏上出现一个小圆斑；测量小圆斑的直径和黑纸板到接收屏的距离，可大致推出太阳直径。他掌握的数据是：太阳光传到地球所需的时间、地球的公转周期、万有引力恒量；在最终得出太阳密度的过程中，他用到的物理规律是小孔成像规律和（ ）A.牛顿第二定律 B.万有引力定律
C.万有引力定律、牛顿第二定律
D. 万有引力定律、牛顿第三定律 【答案】C
【解析】根据万有引力定律和牛顿第二定律2
2Mm v G m r r
=可得太阳的质量，根据小孔成像
规律和相似三角形的知识可得太阳的直径D ，故可求出太阳的密度。6．火星的质量和半径分别约为地球的101和2
1
，地球表面的重力加速度为g ，则火星表面的重力加速度约为
A ．0.2g
B ．0.4g
C ．2.5g
D ．5g 【答案】B
【解析】考查万有引力定律。星球表面重力等于万有引力，G Mm R
2 = mg ，故火星表面的重力加
速度g 火g = M 火R 地2
M 地R 火2
= 0.4，故B 正确。7．1990年4月25日，科学家将哈勃天文望远镜送上距地球表面约600 km 的高空，使得 人类对宇宙中星体的观测与研究有了极大的进展。假设哈勃望远镜沿圆轨道绕地球运行。已知地球半径为6.4×106m ，利用地球同步卫星与地球表面的距离为3.6×107m 这一事实可得到哈勃望远镜绕地球运行的周期。以下数据中最接近其运行周期的是 A ．0.6小时 B ．1.6小时 C ．4.0小时 D ．24小时 【答案】B
【解析】由开普勒行星运动定律可知，=23
T
R 恒量，所以()2
23
22131)(t h r t h r +=+，r 为地球的半径，h 1、t 1、h 2、t 2分别表示望远镜到地表的距离，望远镜的周期、同步卫星距地表的距
离、同步卫星的周期（24h ），代入数据得：t 1=1.6h 8．据媒体报道,嫦娥一号卫星环月工作轨道为圆轨道,轨道高度200 km,运用周期127分钟。若还知道引力常量和月球平均半径,仅利用以上条件不能．．求出的是A ．月球表面的重力加速度B ．月球对卫星的吸引力 C ．卫星绕月球运行的速度D ．卫星绕月运行的加速度 【答案】B
【解析】因为不知道卫星的质量，所以不能求出月球对卫星的吸引力。
9．某行星绕太阳运动可近似看作匀速圆周运动，已知行星运动的轨道半径为R ，周期为T ，万有引力恒量为G ，则该行星的线速度大小为＿＿＿＿＿；太阳的质量可表示为＿＿＿＿＿。
【答案】2πR T ，4π2R 3
GT
2
【解析】该行星的线速度v =2πR T ；由万有引力定律G Mm R 2 = mv 2R ，解得太阳的质量M = 4π2R 3
GT
2 。
10．（20分）我国发射的“嫦娥一号”探月卫星沿近似于圆形轨道绕月飞行。为了获得月球表面全貌的信息，让卫星轨道平面缓慢变化。卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球。设地球和月球的质量分别为M 和m ，地球和月球的半径分别为R 和R 1，月球绕地球的轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为r 和r 1，月球绕地球转动的周期为T 。假定在卫星绕月运行的一个周期内卫星轨道平面与地月连心线共面，求在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间（用M 、m 、R 、R 1、r 、r 1和T 表示，忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影响）。【解析】如图所示：
设O 和O '分别表示地球和月球的中心．在卫星轨道平面上，A 是地月连心线O O '与地月球表面的公切线ACD 的交点，D 、C 和B 分别是该公切线与地球表面、月球表面和卫星轨道的交点．过A 点在另一侧作地月球面的公切线，交卫星轨道于E 点．卫星在圆弧BE 上运动时发出的信号被遮挡．设探月卫星的质量为m 0，万有引力常量为G ，根据万有引力定律有：
r T m r Mm G 2
22??
?
??=π……………………① （4分） r T m r Mm
G 2
102102???
?
??=π……………………② （4分） ②式中，T 1表示探月卫星绕月球转动的周期．
由以上两式可得：3
12
1??? ??=??
?
??r r m M T T …………③
设卫星的微波信号被遮挡的时间为t ，则由于卫星绕月球做匀速圆周运动，
应有：πβ
α-=1T t ……………………④ （5分）
上式中A O C '∠=α，B O C '∠=β．
由几何关系得：1cos R R r -=α………………⑤ （2分） 11cos R r =β…………………………⑥ （2分） 由③④⑤⑥得：???
? ??--=
1113
31arccos arccos r R r R R mr Mr T
t π
11.（15分）
天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河系中很普遍。利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T ，两颗恒星之间的距离为r ，试推算这个双星系统的总质量。（引力常量为G ）【答案】4π2
T 2G
r 3
【解析】设两颗恒星的质量分别为m 1、m 2，做圆周运动的半径分别为r 1、r 2，角速度分别为
w 1,w 2。根据题意有w 1=w 2① r 1+r 2=r ②
根据万有引力定律和牛顿定律，有
G
12
112
21r w m r
m m =③ G
12
212
21r w m r
m m =④ 联立以上各式解得
2
121m m r
m r +=
⑤
根据解速度与周期的关系知
T
w w π221=
=⑥ 联立③⑤⑥式解得
3
22214r G
T m m π=+⑦
2007年高考题
1．据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4倍，一个在地球表面重量为600 N 的人在这个行星表面的重量将变为960 N ，由此可推知该行星的半径与地球半径之比约为A ．0.5 B2 C ．3.2 D ．4 【答案】B
2．假定地球，月球都静止不动，用火箭从地球沿地月连线向月球发射一探测器。假定探测器在地球表面附近脱离火箭。用W 表示探测器从脱离火箭处飞到月球的过程中克服地球引力做的功，用E k 表示探测器脱离火箭时的动能，若不计空气阻力，则A ．E k 必须大于或等于W ，探测器才能到达月球 B ．E k 小于W ，探测器也可能到达月球 C ．E k ＝1
2
W ，探测器一定能到达月球 D ．E k ＝
1
2
W ，探测器一定不能到达月球 【答案】BD
3．不久前欧洲天文学就发现了一颗可能适合人类居住的行星，命名为“格利斯581c ”。该行星的质量是地球的5倍，直径是地球的1.5倍。设想在该行星表面附近绕行星沿圆轨道运行的人造卫星的动能为k1E ，在地球表面附近绕地球沿圆轨道运行的形同质量的人造卫星的动能为k2E ，则
k1
k2
E E 为 A ．0.13 B ．0.3 C ．3.33 D ．7.5 【答案】C
4．
两卫星相比土卫十
A ．受土星的万有引力较大
B ．绕土星的圆周运动的周期较大
C．绕土星做圆周运动的向心加速度较大D．动能较大
【答案】AD
5．现有两颗绕地球匀速圆周运动的人造地球卫星A和B，它们的轨道半径分别为r A和r B。如果r A A．卫星A的运动周期比卫星B的运动周期大 B．卫星A的线速度比卫星B的线速度大 C．卫星A的角速度比卫星B的角速度大 D．卫星A的加速度比卫星B的加速度大 【答案】A 6．假设太阳系中天体的密度不变，天体直径和天体之间距离都缩小到原来的一半，地球绕太阳公转近似为匀速圆周运动，则下列物理量变化正确的是 A．地球的向心力变为缩小前的一半 1 B．地球的向心力变为缩小前的 16 C．地球绕太阳公转周期与缩小前的相同 D．地球绕太阳公转周期变为缩小前的一半 【答案】BC 7．天文学家发现了某恒星有一颗行星在圆形轨道上绕其运动，并测出了行星的轨道半径和运行周期。由此可推算出 A．行星的质量B．行星的半径C．恒星的质量D．恒星的半径 【答案】C 8．2007年4月24日，欧洲科学家宣布在太阳系之外发现了一颗可能适合人类居住的类地行星Gliest581c.这颗星绕红Gliese 581运行的星球有类似的星球的温度，表面可能有液态水存在，距离地球约为20光年，直径约为地球的1.5倍，质量约为地球的5倍，绕红矮星Gliese 581运行的周期约为13天。假设有一艘宇宙飞船飞船飞临该星球表面附近轨道，下列说法正确的是 A．飞船在Gliest 581c表面附近运行的周期约为13天 B．飞船在Gliest 581c表面附近运行时的速度大于7.9km/s C．人在liese 581c上所受重力比在地球上所受重力大 D．Gliest 581c的平均密度比地球平均密度小 【答案】B、C 9．我国探月的“嫦娥工程”已启动，在不久的将来，我国宇航员将登上月球。假如宇航员在月球上测得摆长为l的单摆做小振幅振动的周期为T，将月球视为密度均匀、半径为 r 的球体，则月球的密度为 【答案】B 10．我国绕月探测工程的预先研究和工程实施已取得重要进展。设地球、月球的质量分别为m 1、m 2，半径分别为R 1、R 2，人造地球卫星的第一宇宙速度为v ，对应的环绕周期为T ，则环绕月球表面附近圆轨道飞行的探测器的速度和周期分别为A ．v R m R m 2112，T R m R m 3123 21B ．v R m R m 1 221，T R m R m 3213 12 C ．v R m R m 2112，T R m R m 321312D ．v R m R m 1221，T R m R m 3 123 2 1 【答案】A 11．设地球绕太阳做匀速圆周运动，半径为R ，速率为v ，则太阳的质量可用v 、R 和引力 常量G 表示为。太阳围绕银河系中心的运动可视为匀速圆周运动，其运动速率约为地球公转速率的7倍，轨道半径约为地球公转轨道半径的2×109倍。为了粗略估算银河系中恒星的数目，可认为银河系中所有恒星的质量都集中在银河系中心，且银河系中恒星的平均质量约等于太阳质量，则银河系中恒星数目约为。【答案】2v R G ； 1011 12．（10分）宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t 小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t 小球落回原处。（取地球表面重力加速度g ＝10m/s 2，空气阻力不计）（1）求该星球表面附近的重力加速度g ’； （2）已知该星球的半径与地球半径之比为R 星：R 地＝1：4，求该星球的质量与地球质量之比M 星：M 地。19A ．【答案】（1）t ＝2v 0g ，所以g ’＝1 5 g ＝2m/s 2，（2）g ＝GM R 2 ，所以M ＝gR 2 G ，可解得：M 星：M 地＝1?12：5?42＝1：80，13．（12分）土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动。其中有两个岩石颗粒A 和B 与土星中心距离分别位r A =8.0×104km 和r B =1.2×105km 。忽略所有岩石颗粒间的相互作用。（结果可用根式表示）（1）求岩石颗粒A 和B 的线速度之比。 （2）求岩石颗粒A 和B 的周期之比。 （3）土星探测器上有一物体，在地球上重为10N ，推算出他在距土星中心3.2×105km 处受到土星的引力为0.38N 。已知地球半径为 6.4×103km ，请估算土星质量是地球质量的多少倍？【答案】解： （1）设土星质量为M 0，颗粒质量为m ，颗粒距土星中心距离为r ，线速度为v ，根据 牛顿第二定律和万有引力定律：r mv r m GM 2 20=①解得：r GM v 0 = 。对于A 、B 两颗粒分别有： A A r GM v 0=和B B r GM v 0=， 得： 2 6 = B A v v ② （2）设颗粒绕土星作圆周运动的周期为T ，则： v r T π2= ③ 对于A 、B 两颗粒分别有： A A A v r T π2= 和B B B v r T π2= 得： 9 6 2= B A T T ④ （3）设地球质量为M ，地球半径为r 0，地球上物体的重力可视为万有引力，探测器上物体质量为m 0，在地球表面重力为G 0，距土星中心r 0/=5 102.3?km 处的引力为G 0’，根据万有引力定律：2 0r GMm G = ⑤ 2 '0 0'0r m GM G = ⑥ 由⑤⑥得：950 =M M （倍） ⑦ 2006高考题 1.(2006全国高考理综Ⅰ,16)我国将要发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥1号”.设该卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面.已知月球的质量约为地球质量的81 1 ，月球的半径约为地球半径的 4 1，地球上的第一宇宙速度约为7.9 km/s ，则该探月卫星绕月运行的速率约为（ ）A.0.4 km/s B.1.8 km/s C.11 km/s D.36 km/s 【答案】B 解析：由,22r v m r Mm G =r GM v =，得： v 地= ,地地r GM v 月=,4/81/地地月月r GM r GM =由,9 2 =地月v v v 月=地v 92≈1.8 km/s ，则探月卫星绕月运行的速率为1.8 km/s.所以B 选项正确. 2.(2006北京高考理综,18)一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行.认为行星是密度均匀的球体，要确定该行星的密度，只需要测量（ ）A.飞船的轨道半径B.飞船的运行速度C.飞船的运行周期D.行星的质量 【答案】C 解析：飞船贴着行星表面飞行，则,4,)2(23 222GT R M R T m R Mm G ππ==行星的密度为2 323 2333 4434GT R GT R R M V M ππππρ====，知道飞船的运行周期就可以确定该行星的密度.所以C 选项正确.3.(2006重庆高考理综,15)宇航员在月球上做自由落体实验，将某物体由距月球表面高h 处释放，经时间t 后落到月球表面（设月球半径为R ）.据上述信息推断，飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动所必须具有的速率为（ ）A. t Rh 2 B.t Rh 2 C.t Rh D.t Rh 2 【答案】B 解析：物体自由落体运动，设地球表面重力加速度为g ，2 21gt h = ,22t h g =，飞船做匀速 圆周运动，则 t hR gR v R v m mg 2 , 2 = = =，所以B选项正确. 4.(2006江苏高考,14)如图4-1所示,A是地球的同步卫星.另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内,离地面高度为h.已知地球半径为R,地球自转角速度为ω0,地球表面的重力加速度为g,O 为地球中心. 图4-1 (1)求卫星B的运行周期. (2)如卫星B绕行方向与地球自转方向相同,某时刻A、B两卫星相距最近(O、B、A在同一直线上),则至少经过多少时间,他们再一次相距最近? 【答案】(1) 2 3 ) ( 2 gR h R+ π(2) 3 2 ) ( 2 ω π - +h R gR 解析:(1)由万有引力定律和向心力公式得 ) ( 4 ) (2 2 2 h R T m h R Mm G B + = + π ① mg R Mm G= 2 ② 联立①②得 T B= 2 3 ) ( 2 gR h R+ π.③ (2)由题意得(ωb-ω0)t=2π④ 由③得 3 2 ) (h R gR B+ = ω⑤ 代入④得. ) ( 2 3 2 ω π - + = h R gR t 5.(2006广东高考,17)宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用.已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆轨道运行.设每个星体的质量均为m. （1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期. （2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？ 【答案】（1）R GmR v 25= Gm R T 543 π = （2）R r 31 )512(= 解析：（1）对于第一种运动情况，以某个运动星体为研究对象，根据牛顿第二定律和万有引 力定律有： 221R Gm F =2 2 2)2(R Gm F = F 1+F 2=mv 2/R ① 运动星体的线速度：R GmR v 25=② 周期为T ，则有：v R T π2= ③ Gm R T 543 π =.④ (2)设第二种形式星体之间的距离为r ，则三个星体做圆周运动的半径为? = '30 cos 2 /r R ⑤ 由于星体做圆周运动所需要的向心力靠其它两个星体的万有引力的合力提供.由力的合成和牛顿运动定律有： ?=30cos 222 r Gm F 合⑥ R T m F '=22 4π合⑦ 由④⑤⑥⑦式得：.)5 12 (31 R r = 6.(2006四川高考理综,23)荡秋千是大家喜爱的一项体育活动.随着科技的迅速发展，将来的某一天，同学们也许会在其他星球上享受荡秋千的乐趣.假设你当时所在星球的质量是M 、半径为R ，可将人视为质点，秋千质量不计、摆长不变、摆角小于90°，万有引力常量为G.那么，（1）该星球表面附近的重力加速度g 星等于多少？ （2）若经过最低位置的速度为v 0，你能上升的最大高度是多少？ 【答案】(1)g 星=2R Gm （2）Gm v R 22 02 解析：（1）设人的质量为m ，在星球表面附近的重力等于万有引力，有 mg= 2 R GMm ① 解得g 星=2R GM ② （2）设人能上升的最大高度为h ，由功能关系得 mg 星h= 2 02 1mv ③ 解得.22 2GM v R h ④ 2005高考题 1.(2005全国高考理综Ⅰ，16)把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆周.由火星和地球绕太阳运动的周期之比可求得（ ）A.火星和地球的质量之比B.火星和太阳的质量之比 C.火星和地球到太阳的距离之比 D.火星和地球绕太阳运行速度大小之比 【答案】CD 解析：由于火星和地球均绕太阳做匀速圆周运动，由开普勒第一定律，K T r =23 ,K 为常量， 又T r v π2= ，则可知火星和地球到太阳的距离之比和运行速度大小之比，所以C 、D 选项正确.2.(2005全国高考理综Ⅱ，18)已知引力常量G 、月球中心到地球中心的距离R 和月球绕地球运行的周期T.仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有（ ）A.月球的质量B.地球的质量C.地球的半径D.月球绕地球运行速度的大小 【答案】BD 解析：由232224,)2(GT R M R T m R Mm G ππ==可计算出地球的质量，又T R v π2=可计算出月球绕地球运行速度的大小，所以B 、D 选项正确. 3.(2005北京高考理综，20)已知地球质量大约是月球质量的81倍，地球半径大约是月球半径的4倍.不考虑地球、月球自转的影响，由以上数据可推算出( )A.地球的平均密度与月球的平均密度之比约为9∶8 B.地球表面重力加速度与月球表面重力加速度之比约为9∶4 C.靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器的周期与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器的周期之比约为8∶9 D.靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器线速度与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器线速度之比约为81∶4 【答案】C 解析：由33 4r M πρ= 可得,64813 2 23 11 21==r M r M ρρA 选项错误.由mg r Mm G =2可得 16812222 11 21==r M r M g g ，B 选项错误.由,)2( 22r T m r Mm G π=,982 32 1 3 1 21 ==M r M r T T C 选项正确.由 T r v π2= 可得87292 211 21==T r T r v v ，所以D 选项错误. 4.(2005江苏高考，5)某人造卫星运动的轨道可近似看作是以地心为中心的圆.由于阻力作用,人造卫星到地心的距离从r 1慢慢变到r 2,用E k1、E k2分别表示卫星在这两个轨道上的动能,则( )A.r 1＜r 2,E k1＜E k2B.r 1＞r 2,E k1＜E k2 C.r 1＜r 2,E k1＞E k2D.r 1＞r 2,E k1＞E k2 【答案】B 解析:卫星因为阻力作用而损失机械能,运转轨道半径减小,即r 1＞r 2.根据线速度,r GM v = 速度增大,故E k1＜E k2,则B 项正确.5.(2005广东综合，27)万有引力定律首次揭示了自然界中物体间一种基本相互作用的规律.以下说法正确的是（ ）A.物体的重力不是地球对物体的万有引力引起的 B.人造地球卫星离地球越远，受到地球的万有引力越大 C.人造地球卫星绕地球运动的向心力由地球对它的万有引力提供 D.宇宙飞船内的宇航员处于失重状态是由于没有受到万有引力的作用 【答案】C 解析：物体的重力是由于地球对物体的吸引而使物体受到的力，它是万有引力的一个分力，故选项A 错误.地球对人造地球卫星的万有引力提供了它绕地球运动的向心力，由万有引力的公式2r Mm G F =，人造地球卫星离地球越远，即r 越小，所受到地球的万有引力就越小，故选项B 错C 对.失重指的是物体对悬挂物的拉力或对支持物的压力为零的现象，并不是说物体的重力消失了，故选项D 错误.6.(2005广东高考，15)已知万有引力常量 G ,地球半径R,月球和地球之间的距离r,同步卫星距地面的高度h,月球绕地球的运转周期T 1,地球的自转周期T 2,地球表面的重力加速度g.某同学根据以上条件,提出一种估算地球质量M 的方法:同步卫星绕地心做圆周运动,由h T m h Mm G 222)2(π=得2 2 3 24GT h M π= (1)请判断上面的结果是否正确,并说明理由.如不正确,请给出正确的解法和结果. (2)请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果. 【答案】 解析:（1）题目中的结果是错误的.地球的半径R 在计算过程中不能忽略. 正确的解法和结果)()2() (2 22 h R T m h R Mm G +=+π① .)(42 2 3 2GT h R M += π② (2)方法一:对月球绕地球做圆周运动,由r T m r Mm G 212)2(π=得.421 3 2GT r M π=③ 方法二:在地面重力近似等于万有引力,由mg R Mm G =2得.2G gR M =④ 2004高考题 1.(2004全国高考理综Ⅲ，17)银河系的恒星中大约四分之一是双星.某双星由质量不等的星体S 1和S 2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C 做匀速圆周运动.由天文观测得其周期为T ，S 1到C 点的距离为r 1，S 1和S 2的距离为r ，已知万有引力常量为G.由此可求出S 2的质量为( )A.2 122)(4GT r r r -π B.23 124GT r π C.23 24GT r π D.21224GT r r π 【答案】D 解析：设S 1、S 2两星体的质量分别为m 1、m 2.根据万有引力定律和牛顿定律得 对S 1有12 12 21)2(r T m r m m G π=解之可得212224GT r r m π=所以正确答案是D. 2.(2004北京高考理综，20)1990年5月，紫金山天文台将他们发现的第2752号小行星命名 为吴健雄星，该小行星的半径为16 km.若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体，小行星密度与地球相同.已知地球半径R=6 400 km ，地球表面重力加速度为g.这个小行星表面的重力加速度为( )A.400gB. g 400 1 C.20g D.g 201 【答案】B 解析：设地球和小行星的质量分别为M 、m ，半径分别为r 1、r 2，表面的重力加速度分别为g 、g′.一质量为m′的小物体分别放在地球表面和小行星表面，则有g m r m M G '='2 1 g m r m m G ''='2 2 又因为3134r M πρ?= 323 4r m πρ?= 由上面三式可解得 g r r g 1 2 = ' 代入数值得g g 400 1 = '所以选B. 3.(2004上海高考，3)火星有两颗卫星，分别是火卫一和火卫二，它们的轨道近似为圆.已知火卫一的周期为7小时39分，火卫二的周期为30小时18分，则两卫星相比( ) A.火卫一距火星表面近 B.火卫二的角速度较大 C.火卫一的运动速度较大 D.火卫二的向心加速度较大 【答案】AC 解析：卫星环绕火星运转，万有引力提供向心力.卫星距离火星越近，其半径越小，它的环绕周期越小，线速度越大，角速度越大，向心加速度越大.由题意可知,火卫一的周期小于火卫二的周期，所以火卫一距离火星较火卫二近，所以它的周期小，线速度大，角速度大，向心加速度大.综上所述，正确选项是AC. 4.(2004江苏高考，4)若人造卫星绕地球做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( ) A.卫星的轨道半径越大，它的运行速度越大 B.卫星的轨道半径越大，它的运行速度越小 C.卫星的质量一定时，轨道半径越大，它需要的向心力越大 D.卫星的质量一定时，轨道半径越大，它需要的向心力越小 【答案】BD 解析：卫星环绕地球运转，万有引力提供向心力.卫星距离地球越近，其半径越小，它的环绕周期越小，线速度越大，角速度越大，向心加速度越大，向心力越大.根据这些知识可以很快地选出正确选项BD.5.(2004全国高考理综Ⅰ,23)在“勇气号”火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来.假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h ，速度方向是水平的，速度大小为v 0，求它第二次落到火星表面时速度的大小，计算时不计大气阻力.已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为r ，周期为T.火星可视为半径为r 0的均匀球体.答案：2 02 2328v r T hr v += π 解析：g m r m M G ''='2 r T m r Mm G 2 2 )2(π= v 12=2g′h 2 02 1v v v += .82 02 232v r T hr v += π 6.(2004广东、广西高考，16)某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文 望远镜观察被太阳光照射的此卫星，试问春分那天（太阳光直射赤道）在日落12小时内有多长时间该观察者看不见此卫星？已知地球半径为R ，地球表面处的重力加速度为g,地球自转周期为T ，不考虑大气对光的折射.【答案】3 1 2 2)4arcsin(gT R T t ππ= 解析：设所求的时间为t ，用m 、M 分别表示卫星和地球的质量，r 表示卫星到地心的距离，有：22 )2(T mr r mM G π= 春分时，如图所示，圆E 表示轨道，S 表示卫星，A 表示观察者，O 表示地心，由图可以看 出当卫星S 绕地心O 转到图示位置以后（设地球自转是沿图中逆时针方向），其正下方的观察者将看不见它，据此再考虑对称性，有 由以上各式解得 rsinθ=R T t πθ22= g R M G =2 题源探究 1.(2006天津高考理综,25)神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成，两星视为质点，不考虑其他天体的影响.A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图4-2所示.引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T. 图4-2 (1)可见星A所受暗星B的引力F a可等效为位于O点处质量为m′的星体(视为质点)对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求m′(用m1、m2表示). (2)求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式； (3)恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量m s的2倍，它将有可能成为黑洞.若可见星A 的速率v=2.7×105 m/s，运行周期T=4.7π×104 s，质量m1=6m s，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？ (G=6.67×10-11 N·m2/kg2，m s=2.0×1030 kg) 此题由24页第1题(2004年全国卷Ⅲ,17)演化而来,二者均以双星系统情景考查万有引力定律、匀速圆周运动、牛顿第二定律、向心力的表达式等知识,此高考题又考查了黑洞知识及等效方法的运用. 答案：（1） m′= 2 2 1 3 2 ) (m m m + （2） G T v m m m π2 ) ( 3 2 2 1 3 2= + （3）暗星B有可能是黑洞. 解析：设A、B圆轨道半径分别为r1、r2，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设其为ω.由牛顿运动定律，有 F A=m1ω2r1 F B=m2ω2r2 F A=F B 设A 、B 之间的距离为r ，又r=r 1+r 2，由上述各式得 12 2 1r m m m r += ①由万有引力定律，有221r m m G F A = 将①代入得2 1 2 2132 1)(r m m m m G F A += 令2 1 1r m m G F A '= 比较可得2 213 2 ) (m m m m +='② (2)由牛顿第二定律，有 1 2 12 1 1r v m r m m G ='③ 又可见星A 的轨道半径 π 21vT r = ④ 由②③④式解得 G T v m m m π2) (32 213 2=+⑤ (3)将m 1=6m s 代入⑤式，得 G T v m m m s π2) 6(32 23 2=+ 代入数据得 523 2 5.3) 6(m m m m s =+⑥ 设m 2=nm s (n ＞0)，将其代入⑥式，得 s s s m m n n m m m 5.3)16() 6(22 23 2=+=+⑦ 可见，223 2)6(m m m s +的值随n 的增大而增大，试令n=2，得 =+s m n n 2)16(0.125m s ＜3.5m s ⑧ 若使⑦式成立，则n 必大于2，即暗星B 的质量m 2必大于2 m s ，由此得出结论：暗星B 有可能是黑洞. 2.(2005全国高考理综Ⅲ，21)最近，科学家在望远镜中看到太阳系外某一恒星有一行星，并测得它围绕该恒星运动一周所用的时间为1 200年，它与该恒星的距离为地球到太阳距离的100倍.假定该行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆周，仅利用以上两个数据可以求出的量有（ ）A.恒星质量与太阳质量之比B.恒星密度与太阳密度之比 C.行星质量与地球质量之比 D.行星运行速度与地球公转速度之比 此题与人教社全日制高级中学教科书（试验修订本必修）第一册第115页习题中的第7题类似. 原题：有两颗人造地球卫星，它们的质量之比是m 1∶m 2＝1∶2，运行速度之比是v 1∶v 2＝1∶2. a.它们周期之比T 1∶T 2＝_____________ b.它们轨道半径之比r 1∶r 2＝_____________ c.向心加速度之比a 1∶a 2＝_____________ d.所受向心力之比F 1∶F 2＝_____________ 两题都考查了万有引力定律、牛顿第二定律、受力分析、匀速圆周运动等知识，是高中物理学的重点知识，是高考的热点，也是必考内容，可以以多种题型出现.答案：AD 解析：由.4,)2(23 222GT r M r T m r Mm G ππ==由分别的运行时间比和距离比可求出恒星质量和太阳质量之比，再由T r v π2= 可求出各自的运行速度之比，所以A 、D 选项正确.3.(2005天津高考理综，21)土星周围有美丽壮观的“光环”，组成环的颗粒是大小不等、线度从1 μm 到10 m 的岩石、尘埃，类似于卫星，它们与土星中心的距离从7.3×104 km 延伸到1.4×105 km.已知环的外缘颗粒绕土星做圆周运动的周期约为14 h ，引力常量为6.67×10-11 N·m 2/kg 2,则土星的质量约为（估算时不考虑环中颗粒间的相互作用）( )A.9.0×1016 kgB.6.4×1017 kgC.9.0×1025 kgD.6.4×1026 kg 此题源于人教社全日制高级中学教科书（试验修订本必修）第一册第108页天体质量计算的相关内容.都考查了万有引力定律、天体运动、向心力公式等内容，突出了知识的应用. 答案：D 解析：=???===-2 113 8223222) 360014(1067.6)104.1(44,)2(πππGT r M r T m r Mm G 6.4×1026 kg ，所以D 选项正确.
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