【精编版】二次函数的动态问题
1.如图，已知抛物线1C 与坐标轴的交点依次是(40)A -，，
(20)B -，，(08)E ，．
（1）求抛物线1C 关于原点对称的抛物线2C 的解析式； （2）设抛物线1C 的顶点为M ，抛物线2C 与x 轴分别交于C D ，两点（点C 在点D 的左侧），顶点为N ，四边形
MDNA 的面积为S ．若点A ，点D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M ，点N 同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A 与点D 重合为止．求出四边形MDNA 的面积S 与运动时间t 之间的关系式，并写出自变量t 的取值范围；
（3）当t 为何值时，四边形MDNA 的面积S 有最大值，
并求出此最大值； （4）在运动过程中，四边形MDNA 能否形成矩形？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由．
[解] （1）点(40)A -，，点(20)B -，，点(08)E ，关于原点的对称点分别为(40)D ，，(20)C ，，
(08)F -，．
设抛物线2C 的解析式是
2(0)y ax bx c a =++≠，
则16404208a b c a b c c ++=??
++=??=-?
，，． 解得168a b c =-??
=??=-?
，，．
所以所求抛物线的解析式是2
68y x x =-+-． （2）由（1）可计算得点(31)(31)M N --，，，．
过点N 作NH AD ⊥，垂足为H ．
当运动到时刻t 时，282AD OD t ==-，12NH t =+．
根据中心对称的性质OA OD
OM ON ==，，所以四边形MDNA 是平行四边形．
所以2ADN S S =△．
所以，四边形MDNA 的面积2
(82)(12)4148S t t t t =-+=-++． 因为运动至点A 与点D 重合为止，据题意可知04t <≤．
所以，所求关系式是24148S t t =-++，t 的取值范围是04t <≤． （3）781
444
S t ??=--+ ???，
（04t <≤）． 所以74t =
时，S 有最大值814
． 提示：也可用顶点坐标公式来求．
（4）在运动过程中四边形MDNA 能形成矩形． 由（2）知四边形MDNA 是平行四边形，对角线是AD MN ，，所以当AD MN =时四边形
MDNA 是矩形．
所以OD ON =．所以2222OD ON OH NH ==+． 所以22420t t +-=．解之得126262t t =
-=--，（舍）．
所以在运动过程中四边形MDNA 可以形成矩形，此时62t =
-．
[点评]本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。
2. （06福建龙岩卷）如图，已知抛物线2
34y x bx c =-++与坐标轴交于A B C ，，三点，点A 的横坐标为1-，过点(03)C ，的直线3
34y x t
=-+与x 轴交于点Q ，
点P 是线段BC 上的一个动点，PH OB ⊥于点H ．若5PB t =，且01t <<．
（1）确定b c ，的值：__________b c ==，；
（2）写出点B Q P ，，的坐标（其中Q P ，用含t 的式子表示）：
(______)(______)(______)B Q P ，，，，，；
（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使PQB △为等腰三角形？若存在，求出所有t 的值；若不存在，说明理由．
[解] （1）9
4
b =
3c = （2）(40)B ，
y
C
A O Q H
B P
x
(40)Q t ， (443)P t t -，
（3）存在t 的值，有以下三种情况 ①当PQ PB =时
PH OB ⊥ ，则GH HB = 4444t t t ∴--= 1
3
t ∴=
②当PB QB =时 得445t t -= 4
9
t ∴=
③当PQ QB =时，如图
解法一：过Q 作QD BP ⊥，又PQ QB =
则5
22
BP BD t ==
又BDQ BOC △∽△ BD BQ BO BC ∴
=
544245t
t
-∴=
32
57
t ∴=
解法二：作Rt OBC △斜边中线OE
则5
22
BC OE BE BE ===，，
此时OEB PQB △∽△
BE OB
BQ PB
∴= 5
4
2445t t ∴=-
32
57
t ∴=
C
O
P
Q
D
B
C
O
P
Q
E
B
解法三：在Rt PHQ △中有222
QH PH PQ += 2
2
2
(84)(3)(44)t t t ∴-+=- 257320t t ∴-= 32
057
t t ∴=
=，（舍去） 又01t <<
∴当13t =或49或32
57
时，PQB △为等腰三角形．
解法四： 数学往往有两个思考方向：代数和几何，有时可以独立思考，有
时需要综合运用。
代数讨论：计算出△PQB 三边长度，均用t 表示，再讨论分析
Rt △PHQ 中用勾股定理计算PQ 长度，而PB 、BQ 长度都可以直
接直接用t 表示，进行分组讨论即可计算。
[点评]此题综合性较强，涉及函数、相似性等代数、几何知识，1、2小题不难，第3小题是比较常规的关于等腰三角形的分类讨论，需要注意的是在进行讨论并且得出结论后应当检验，在本题中若求出的t 值与题目中的01t <<矛盾，应舍去 3.如图1，已知直线12y x =-
与抛物线21
64
y x =-+交于A
B ，两点． （1）求A B ，两点的坐标；
（2）求线段AB 的垂直平分线的解析式；
（3）如图2，取与线段AB 等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A B ，两处．用铅笔拉着这
根橡皮筋使笔尖P 在直线AB 上方的抛物线上移动，动点P 将与A
B ，构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P 点
的坐标；如果不存在，请简要说明理由．
[解] （1）解：依题意得216412
y x y x
?=-+????=-??解之得12126432x x y y ==-????
=-=?? (63)(42
A B ∴--，，， C O
P
Q
H
B
y x O y x
O
P A 图2 图1 B
B A
（2）作AB 的垂直平分线交x 轴，y 轴于C D ，两点，交AB 于M （如图1） 由（1）可知：3525OA OB ==
55AB ∴=
15
22
OM AB OB ∴=
-=
过B 作BE x ⊥轴，E 为垂足
由BEO OCM △∽△，得：5
4
OC OM OC OB OE =∴=，，
同理：5
55002
42OD C D ????=∴- ? ?????
，，，， 设CD 的解析式为(0)y kx b k =+≠
5204
5522
k k b b b ?==+????∴∴??=-??-=???
AB ∴的垂直平分线的解析式为：5
22
y x =-
． （3）若存在点P 使APB △的面积最大，则点P 在与直线AB 平行且和抛物线只有一个交
点的直线1
2
y x m =-+上，并设该直线与x 轴，y 轴交于G H ，两点（如图2）．
212164
y x m y x ?=-+??∴??=-+??
211
6042
x x m ∴
-+-= 抛物线与直线只有一个交点，
2
114(6)024m ??
∴--?-= ???
，
2523144m P ??∴=
∴ ???
， 在直线125
24
GH y x =-
+：中， y
P
H
G
B
y
x
O
图1
D M A
C
B
第26题
Ｅ
25250024G H ????∴ ? ?????
，，，
25
54
GH ∴=
设O 到GH 的距离为d ，
11221255125252422455
2
GH d OG OH d d AB GH ∴=∴?=??∴= ，
∥
P ∴到AB 的距离等于O 到GH 的距离d ．
另解：过P 做PC ∥y 轴，PC 交AB 于C ，当PC 最大时△PBA 在AB 边上的高h 最大（h
与PC 夹角固定），则S △PBA 最大 → 问题转化为求PC 最大值，设P （
x,
）,C
（
x, ）,从而可以表示PC 长度，进行极值求取。
最后，以PC 为底边，分别计算S △PBC 和S △PAC 即可。
[点评]这是一道涉及二次函数、方程、几何知识的综合压轴题，有一定的能力要求，第3小题是一个最值问题，解此类题时需数形结合方可较轻松的解决问题。
4.如图①，正方形ABCD 的顶点A B ，的坐标分别为()()01084，，，，顶点C D ，在第一象限．点P 从点A 出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q 从点()40E ，
出发，沿x 轴正方向以相同速度运动．当点P 到达点C 时，P Q ，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．
（1）求正方形ABCD 的边长．
（2）当点P 在AB 边上运动时，OPQ △的面积S （平方单位）与时间t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求P Q ，两点的运动速度．
（3）求（2）中面积S （平方单位）与时间t （秒）的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标．
（4）若点P Q ，保持（2）中的速度不变，则点P 沿着AB 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而增大；沿着BC 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而减小．当点P
沿着这两边运动时，使90OPQ =
∠的点P 有 个．
（抛物线()2
0y ax bx c a =++≠的顶点坐标是2424b ac b a
a ??
-- ???，．
[解] （1）作BF y ⊥轴于F ．
()()01084A B ，，，，
86FB FA ∴==，．
10AB ∴=．
（2）由图②可知，点P 从点A 运动到点B 用了10秒． 又1010101AB =÷= ，．
P Q ∴，两点的运动速度均为每秒1个单位．
（3）方法一：作PG y ⊥轴于G ，则PG BF ∥．
GA AP FA AB ∴
=，即610
GA t
=．
3
5
GA t ∴=．
3
105
OG t ∴=-．
4OQ t =+ ，
()113410225S OQ OG t t ?
?∴=??=+- ??
?．
即2319
20105
S t t =-
++． 图①
y
D
A C
P
B O E
Q
x
图②
O 10
t
20
28
s
19
195323
210b a -=-=???- ??? ，且190103≤≤， ∴当19
3t =
时，S 有最大值． 此时476331
1051555
GP t OG t ===-=，，
∴点P 的坐标为7631155??
???
，．
（8分）
方法二：当5t =时，163
7922
OG OQ S OG OQ ====
，，． 设所求函数关系式为220S at bt =++．
抛物线过点()63102852??
???
，，，，
1001020286325520.2a b a b ++=??∴?++=??，
31019.5a b ?=-??∴??=??，
2319
20105
S t t ∴=-
++． 19195323
210b a -=-=???- ??? ，且190103≤≤， ∴当19
3t =
时，S 有最大值． 此时7631
155
GP OG ==，，
∴点P 的坐标为7631155??
???
，．
（4）2．
[点评]本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识，是近年来较为流行的试题，解题的关
键在于结合题目的要求动中取静，相信解决这种问题不会非常难。
．
5. 如图①，Rt ABC △中，90B ∠= ，30CAB ∠= ．它的顶点A 的坐标为(100)，，顶点
B 的坐标为(553)，
，10AB =，点P 从点A 出发，沿A B C →→的方向匀速运动，同时点Q 从点(02)D ，出发，沿y 轴正方向以相同速度运动，当点P 到达点C 时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒． （1）求BAO ∠的度数．
（2）当点P 在AB 上运动时，OPQ △的面积S （平方单位）与时间t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），求点P 的运动速度．
（3）求（2）中面积S 与时间t 之间的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标． （4）如果点P Q ，保持（2）中的速度不变，那么点P 沿AB 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而增大；沿着BC 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而减小，当点
P 沿这两边运动时，使90OPQ ∠= 的点P 有几个？请说明理由．
解: （1）60BAO = ∠．
（2）点P 的运动速度为2个单位/秒． （3）(103)P t t -，（05t ≤≤）
1
(22)(10)2S t t =+-
2
912124t ??=--+ ???
．
∴当92t =
时，S 有最大值为1214
， 此时119322P ??
? ???
，． （第29题图①） A
C
B
Q D
O P
x y
30
10
O 5
t S （第29题图②）
（4）当点P 沿这两边运动时，90OPQ =
∠的点P 有2个． ①当点P 与点A 重合时，90OPQ <
∠，
当点P 运动到与点B 重合时，OQ 的长是12单位长度， 作90OPM = ∠交y 轴于点M ，作PH y ⊥轴于点H ，
由OPH OPM △∽△得：203
11.53
OM =
=， 所以OQ OM >，从而90OPQ >
∠．
所以当点P 在AB 边上运动时，90OPQ =
∠的点P 有1个．
②同理当点P 在BC 边上运动时，可算得103
1217.83OQ =+
=． 而构成直角时交y 轴于35303?? ? ???
，，353
20.217.83=>， 所以90OCQ <
∠，从而90OPQ =
∠的点P 也有1个． 所以当点P 沿这两边运动时，90OPQ =
∠的点P 有2个．
6. （本题满分14分）如图12，直线43
4
+-
=x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点A 、C 和点()0,1-B .
（1）求该二次函数的关系式；
（2）设该二次函数的图象的顶点为M ，求四边形AOCM 的面积； （3）有两动点D 、E 同时从点O 出发，其中点D 以每秒
2
3
个单位长度的速度沿折线OAC 按O →A →C 的路线运动，点E 以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA 按O →C →
A 的路线运动，
当D 、E 两点相遇时，它们都停止运动.设D 、E 同时从点O 出发t 秒时，ODE ?的面积为S .
①请问D 、E 两点在运动过程中，是否存在DE ∥OC ，若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由；
②请求出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；
③设0S 是②中函数S 的最大值，那么0S = .
第29题图①
y
Q M
H D
O
A
x
C
B ()
P
E
C
A y
O
B
F x
M
D
解：（1）令0=x ，则4=y ；
令0=y 则3=x ．∴()30A ，
．()04C ， ∵二次函数的图象过点()04C ，
， ∴可设二次函数的关系式为
42++=bx ax y
又∵该函数图象过点()30A ，
．()10B -， ∴093404a b a b =++??
=-+?
，
．
解之，得34-
=a ，3
8
=b ． ∴所求二次函数的关系式为43
8
342++-
=x x y （2）∵43
8
342++-
=x x y =()3
161342+--x
∴顶点M 的坐标为1613?
? ???
， 过点M 作MF x ⊥轴于F
∴AFM AOCM FOCM S S S =+△四边形梯形
=()1013164213161321=???
? ??+?+?-? ∴四边形AOCM 的面积为10
E C
A
y
O
B
x
M
D
（3）①不存在DE ∥OC
∵若DE ∥OC ，则点D ，E 应分别在线段OA ，CA 上，此时12t <<，在Rt AOC △中，5AC =．
设点E 的坐标为()11x y ，
∴5443
1-=
t x ，∴5
12
121-=t x ∵DE OC ∥， ∴
t t 2
351212=- ∴38
=t
∵3
8
=t >2，不满足12t <<．
∴不存在DE OC ∥．
②根据题意得D ，E 两点相遇的时间为
1124
42
3543=
+++（秒） 现分情况讨论如下： ⅰ）当01t <≤时，213
4322
S t t t =
?= ； ⅱ）当12t <≤时，设点E 的坐标为()22x y ，
∴
()54454
2--=
t y ，∴5
16362t
y -= ∴t t t t S 5
275125163623212+-=-??=
ⅲ）当2 16363t y -= 设点D 的坐标为()44,y x ∴5 32344 -=t y ， ∴5 12 64-=t y ∴AOE AOD S S S =-△△ 512 632151636321-? ?--??= t t =5 72533+-t ③80243 0=S 7.关于x 的二次函数2 2 (4)22y x k x k =-+-+-以y 轴为对称轴，且与y 轴的交点在x 轴 上方． （1）求此抛物线的解析式，并在下面的直角坐标系中画出函数的草图； （2）设A 是y 轴右侧抛物线上的一个动点，过点A 作AB 垂直于x 轴于点B ，再过点A 作 x 轴的平行线交抛物线于点D ，过点D 作DC 垂直于x 轴于点C ，得到矩形ABCD ．设矩形ABCD 的周长为l ，点A 的横坐标为x ，试求l 关于x 的函数关系式； （3）当点A 在y 轴右侧的抛物线上运动时，矩形ABCD 能否成为正方形．若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由． 参考资料：抛物线2 (0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标是2424b ac b a a ?? -- ???，，对称轴是直线 2b x a =- ． 解：（1）据题意得：240k -=， 2k ∴=±． 当2k =时，2220k -=>． 当2k =-时，2260k -=-<． 又抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，2k ∴=． ∴抛物线的解析式为：22y x =-+． 函数的草图如图所示．（只要与坐标轴的三个交点的位置及图象大致形状正确即可） （2）解：令220x -+=，得2x =±． 不02x << 时，112A D x =，2112A B x =-+， 211112()244l A B A D x x ∴=+=-++． 当2x > 时，222A D x =， 2 2 22(2)2A B x x =--+=-． 2 22222()244l A D A B x x ∴=+=+-． l ∴关于x 的函数关系是： 当02x <<时，2244l x x =-++； 当2x > 时，2244l x x =+-． （3）解法一：当02x << 时，令1111A B A D =， 4 3 2 1 1- 2- 3- 4- 5- 6- 7- 1- 2- 3- 4- 1 2 3 4 1D 1A 1B 1 C 2C 2B 2A 2D x y （第26题） 得2220x x +-=． 解得13x =--（舍），或13x =-+． 将13x =-+代入2244l x x =-++， 得838l =-． 当2x > 时，令2222A B A D =，得2220x x --=． 解得13x =-（舍），或13x =+． 将13x =+代入2244l x x =+-，得838l =+． 综上，矩形ABCD 能成为正方形，且当31x =-时正方形的周长为838-；当31 x =+时，正方形的周长为838+． 解法二：当02x << 时，同“解法一”可得13x =-+． ∴正方形的周长1148838l A D x ===-． 当2x > 时，同“解法一”可得13x =+． ∴正方形的周长2248838l A D x ===+． 综上，矩形ABCD 能成为正方形，且当31x =-时正方形的周长为838-；当31 x =+时，正方形的周长为838+． 解法三： 点A 在y 轴右侧的抛物线上， 0x ∴>，且点A 的坐标为2(2)x x -+， ． 令AB AD =，则2 22x x -+=． ∴222x x -+=， ①或222x x -+=- ② 由①解得13x =--（舍），或13x =-+； 由②解得13x =-（舍），或13x =+． 又8l x =， ∴当13x =-+时838l =-； 当13x =+时838l =+． 综上，矩形ABCD 能成为正方形，且当31x =-时正方形的周长为838-；当31 x =+时，正方形的周长为838+． 8.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB （1）求A 、B 、C 三点的坐标； （2）求此抛物线的表达式； （3）连接AC 、BC ，若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、点B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连接CE ，设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围； （4）在（3）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由． 解：（1）解方程x 2－10x ＋16＝0得x 1＝2，x 2＝8 ∵点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，且OB ＜OC ∴点B 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，8） 又∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是直线x ＝－2 ∴由抛物线的对称性可得点A 的坐标为（－6，0） （2）∵点C （0，8）在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象上 ∴c ＝8，将A （－6，0）、B （2，0）代入表达式，得 第26题图 ? ?? ?? 0＝36a －6b ＋80＝4a ＋2b ＋8 解得??? a ＝－2 3 b ＝－8 3 ∴所求抛物线的表达式为y ＝－23x 2－8 3x ＋8 （3）依题意，AE ＝m ，则BE ＝8－m ， ∵OA ＝6，OC ＝8，∴AC ＝10 ∵EF ∥AC ∴△BEF ∽△BAC ∴ EF AC ＝BE AB 即EF 10＝8－m 8 ∴EF ＝40－5m 4 过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ，则sin ∠FEG ＝sin ∠CAB ＝4 5 ∴ FG EF ＝45 ∴FG ＝45·40－5m 4 ＝8－m ∴S ＝S △BCE －S △BFE ＝12（8－m ）×8－12（8－m ）（8－m ） ＝12（8－m ）（8－8＋m ）＝12（8－m ）m ＝－1 2m 2＋4m 自变量m 的取值范围是0＜m ＜8 （4）存在． 理由：∵S ＝－12m 2＋4m ＝－12（m －4）2＋8 且－1 2 ＜0， ∴当m ＝4时，S 有最大值，S 最大值＝8 ∵m ＝4，∴点E 的坐标为（－2，0） ∴△BCE 为等腰三角形． 9.（14分）如图：抛物线经过A （-3，0）、B （0，4）、C （4，0）三点. 第26题图(批卷教师用图) （1） 求抛物线的解析式. （2）已知AD = AB （D 在线段AC 上），有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动，经过t 秒的移动，线段PQ 被BD 垂直平分，求t 的值； （3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使MQ+MC 的值最小？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。 （注：抛物线2 y ax bx c =++的对称轴为2b x a =- ） （1）解法一：设抛物线的解析式为y = a (x +3 )(x - 4) 因为B （0，4）在抛物线上，所以4 = a ( 0 + 3 ) ( 0 - 4 )解得a= -1/3 所以抛物线解析式为2111 (3)(4)4333 y x x x x =-+-=- ++ 解法二：设抛物线的解析式为2 (0)y ax bx c a =++≠， 依题意得：c=4且934016440a b a b -+=??++=? 解得13 13a b ?=-????= ?? 所以 所求的抛物线的解析式为211 433 y x x =-++ （2）连接DQ ，在Rt △AOB 中，2222345AB AO BO = +=+= 所以AD=AB= 5，AC=AD+CD=3 + 4 = 7，CD = AC - AD = 7 – 5 = 2 因为BD 垂直平分PQ ，所以PD=QD ，PQ ⊥BD ，所以∠PDB=∠QDB 因为AD=AB ，所以∠ABD=∠ADB ，∠ABD=∠QDB ，所以DQ ∥AB 所以∠CQD=∠CBA 。∠CDQ=∠CAB ，所以△CDQ ∽ △CAB DQ CD AB CA = 即210 ,577 DQ DQ == 所以AP=AD – DP = AD – DQ=5 –107=257 ，2525177 t =÷= 所以t 的值是 25 7 （3）答对称轴上存在一点M ，使MQ+MC 的值最小 理由：因为抛物线的对称轴为122 b x a =- = 所以A （- 3，0），C （4，0）两点关于直线1 2 x =对称 连接AQ 交直线1 2 x = 于点M ，则MQ+MC 的值最小 过点Q 作QE ⊥x 轴，于E ，所以∠QED=∠BOA=900 DQ ∥AB ，∠ BAO=∠QDE ， △DQE ∽△ABO QE DQ DE BO AB AO == 即 10 7453 QE DE == 所以QE=87，DE=67，所以OE = OD + DE=2+67=207，所以Q （207，8 7 ） 设直线AQ 的解析式为(0)y kx m k =+≠ 则2087730 k m k m ?+=???-+=? 由此得 841 2441 k m ? =??? ?=?? 所以直线AQ 的解析式为8244141y x =+ 联立12 8244141x y x ? =????=+?? 由此得12 8244141 x y x ? =????=+?? 所以M 128(,)241 则：在对称轴上存在点M 128 (,)241 ，使MQ+MC 的值最小。 10. 如图9，在平面直角坐标系中，二次函数)0(2 >++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0）， OB ＝OC ，tan∠ACO＝ 3 1． （1）求这个二次函数的表达式． （2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上是否存在这样的点F ，使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若平行于x 轴的直线与该抛物线交于M 、N 两点，且以MN 为直径的圆与x 轴相切，求该圆半径的长度． （4）如图10，若点G （2，y ）是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到什么位置时，△APG 的面积最大？求出此时P 点的坐标和△APG 的最大面积. （1）方法一：由已知得：C （0，－3），A （－1，0） …1分 将A 、B 、C 三点的坐标代入得??? ??-==++=+-30390 c c b a c b a ……………………2分 解得：?? ? ??-=-==321c b a ……………………3分 所以这个二次函数的表达式为：322 --=x x y ……………………3分 方法二：由已知得：C （0，－3），A （－1，0） ………………………1分 设该表达式为：)3)(1(-+=x x a y ……………………2分 将C 点的坐标代入得：1=a ……………………3分 所以这个二次函数的表达式为：322--=x x y ……………………3分 （注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分） （2）方法一：存在，F 点的坐标为（2，－3） ……………………4分 理由：易得D （1，－4），所以直线CD 的解析式为：3--=x y ∴E 点的坐标为（－3，0） ……………………4分 由A 、C 、E 、F 四点的坐标得：AE ＝CF ＝2，AE ∥CF ∴以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形 图 9y x O E D C B A G A B C D O x y 图 10 ∴存在点F ，坐标为（2，－3） ……………………5分 方法二：易得D （1，－4），所以直线CD 的解析式为：3--=x y ∴E 点的坐标为（－3，0） ………………………4分 ∵以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形 ∴F 点的坐标为（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3） 代入抛物线的表达式检验，只有（2，－3）符合 ∴存在点F ，坐标为（2，－3） ………………………5分 （3）如图，①当直线MN 在x 轴上方时，设圆的半径为R （R>0），则N （R+1，R ）， 代入抛物线的表达式，解得2 17 1+= R …………6分 ②当直线MN 在x 轴下方时，设圆的半径为r （r>0）， 则N （r+1，－r ）， 代入抛物线的表达式，解得2171+-=r ………7分 ∴圆的半径为2171+或2 17 1+-． ……………7分 （4）过点P 作y 轴的平行线与AG 交于点Q ， 易得G （2，－3），直线AG 为1--=x y ．……………8分 设P （x ，322--x x ），则Q （x ，－x －1），PQ 22++-=x x ． 3)2(2 1 2?++-= +=???x x S S S GPQ APQ APG ……………………9分 当2 1 = x 时，△APG 的面积最大 此时P 点的坐标为??? ??- 415,2 1，8 27 的最大值为APG S ?． ……………………10分 11．（本小题12分）解：（1）解方程x 2－10x ＋16＝0得x 1＝2，x 2＝8 ∵点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，且OB ＜OC ∴点B 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，8） 又∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是直线x ＝－2 ∴由抛物线的对称性可得点A 的坐标为（－6，0） ∴A 、B 、C 三点的坐标分别是A （－6，0）、B （2，0）、C （0，8） （2）∵点C （0，8）在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象上 ∴c ＝8，将A （－6，0）、B （2，0）代入表达式y ＝ax 2＋bx ＋8，得 R R r r 1 1 N N M M A B D O x y 二次函数专项复习经典试题集锦（含答案） 一、选择题： 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ） A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线2-=x D. 直线2=x 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图，则点 ),(a c b M 在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数c bx ax y ++=2，且0+-c b a ，则一定有（ ） A. 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0 4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式 是532+-=x x y ，则有（ ） A. 3=b ，7=c B. 9-=b ，15-=c C. 3=b ，3=c D. 9-=b ，21=c 5. 下面所示各图是在同一直角坐标系，二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数 c ax y +=的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ） B D 6. 抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线（ ） A. 2-=x B. 2=x C. 1-=x D. 1=x 7. 二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是（ ） A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 8. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若 c b a M ++=24c b a N +-=，b a P -=4，则（ ） A. 0>M ，0>N ，0>P B. 0 x 时，求使y ≥2的x 的取值围. 二次函数易错题、重点题型汇总 一、选择题 1、若二次函数52 ++=bx x y 配方后为k x y +-=2 )2(则b 、k 的值分别为（ ） A 0．5 B 0．1 C —4．5 D —4．1 2、在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2＋2x 与坐标轴的交点的个数是（ ） A.3 B.2 C.1 D.0 3、根据下列表格的对应值： x 3.23 3.24 3.25 3.26 y=ax 2+bx+c -0.6 -0. 2 0. 3 0.9 判断方程ax 2+bx+c-0.4=0（a ≠0,a 、b 、c 为常数）一个解的范围是（ ） Ａ．3＜x ＜3.23 Ｂ．3.23＜x ＜3.24 Ｃ．3.24＜x ＜3.25 Ｄ．3.25＜x ＜3.26 4、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象过点A （1，2），B （3，2），C （5，7）．若点M （-2，y 1），N （-1，y 2），K （8，y 3）也在二次函数c bx ax y ++=2的图象上，则下列结论正确的是（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 2＜y 1＜y 3 C ．y 3＜y 1＜y 2 D ．y 1＜y 3＜y 2 5、把抛物线y=2x 2 －4x －5绕顶点旋转180o，得到的新抛物线的解析式是（ ） A ．y= －2x 2 －4x －5 B ．y=－2x 2+4x+5 C ．y=－2x 2+4x －9 D ．以上都不对 6、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论：①a+b+c>0；②a －b+c>0；③abc<0； ④2a+b=0．其中正确的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 7、函数y=x 2 -2x-2的图象如右图所示，根据其中提供的信息，可求得使y ≥1成立的x 的取值范围是（ ） A ．31≤≤-x B ．31<<-x C ．31>- 一次函数动点经典题型 例题如图，直线l1的解析表达式为y 3x 3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2交于点C．（1）求点D的坐标；（2）求直线l2的解析表达式；（3）求△ADC的面积； （4）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得 △ADP与△ADC的面积相等，请直接写出点P的坐标． ．． 例题如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒． (1) 求直线AB的解析式；(2) 当t为何值时，△APQ的面积为5个平方单位？ 24 2、如图，直线y kx 6与x轴、y轴分别交于点E、F，点E的坐标为（-8，0），点A的坐标为（-6，0）。（1）求k 的值； （2）若点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P的运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； 27 （3）探究：当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为8 练习题 1、如果一次函数y=-x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A点、B点，点M在x轴上，并且使以点A、B、M为顶点的 三角形是等腰三角形，那么这样的点M有（）。 A．3个B．4个C．5个D．7个 2、直线与y=x-1与两坐标轴分别交于A、B两点，点C 在坐标轴上，若△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C最多有（）. A．4个B．5个C．6个D．7个 4、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y x 1与y 点C，点D是直线AC上的一个动点．（1）求点A，B，C的坐标． （2）当△CBD为等腰三角形时，求点D的坐标． 3 x 3交于点A，分别交x轴于点B和4 5、如图：直线y kx 3与x轴、y轴分别交于A、B两点， B不重合的动点。 （1）求直线y kx 3的解析式； 二次函数经典例题及答案 1.已知抛物线的顶点为P (- 4,—2)，与x轴交于A B两点，与y轴交于点C,其中B点坐标为(1 , 0)。 (1) 求这条抛物线的函数关系式； (2) 若抛物线的对称轴交x轴于点D,则在线段AC上是否存在这样的点Q,使得△ ADQ 1 2 9 . 135 y=2 x +4x - 2；存在点Q (-1 , -4 ) , Q (2^5-9，-%'5 ) , Q (--^, -4) ?析 一2 25 试题分析：(1)根据顶点坐标把抛物线设为顶点式形式y=a ( x+4) - 2，然后把点B的坐 标代入解析式求出a的值，即可得解； (2)先根据顶点坐标求出点D 的坐标，再根据抛物线解析式求出点A、C的坐标，从而得 到OA OC AD的长度，根据勾股定理列式求出AC的长度，然后根据锐角三角形函数求出/ OAC勺正弦值与余弦值，再分① AD=QD时，过Q作QE1丄x轴于点E,根据等腰三角形三线合一的性质求出AQ,再利用/ OAC勺正弦求出QE的长度，根据/ OAC勺余弦求出AE的长度，然后求出OE,从而得到点Q的坐标；②AD=AQ时，过Q作QE2丄x轴于点E＞，利用/ OAC勺正弦求出QE2的长度，根据/ OAC勺余弦求出AE的长度，然后求出OE，从而得到点Q的坐标；③AQ=DQ时，过Q作QE3丄x轴于点已，根据等腰三角形三线合一的性质求出AE 的长度，然后求出OE,再由相似三角形对应边成比例列式求出QE3的长度，从而得到点Q 的坐标. 试题解析：(1 )???抛物线顶点坐标为( 25 -4 , - 2), ???设抛物线解析式为 2 25 y=a (x+4) - 2 为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点二次函数专项复习经典试题集锦(含答案)
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