一、相似三角形中的动点问题
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，AD=AB，并
求出此时DE的长度；
（2）当△DEG与△ACB相似时，
求t的值．
2.如图，在△ABC 中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．
（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的
面积；
②求△CPQ的面积S（平方米）关
于时间t（秒）的函数解析式；
（2）在P，Q移动的过程中，当
△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．
3.如图1，在Rt△ABC中
，
ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE 平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，
EN⊥CD，垂足为N．
（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？
4.如图所示，在△ABC中，
BA＝BC＝20cm，AC＝
30cm，点P从A点出发，
沿着AB以每秒4cm的速
度向B点运动；同时点Q
从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．
（1）当x为何值时，PQ∥BC？
（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由．
5.如图，在矩形ABCD中，
AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A 以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。
（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？
二、构造相似辅助线——双垂直模型
6.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45°
，求
这个正比例函数的表达式．
7.在△ABC 中，AB=
，AC=4，BC=2，以AB 为边在C
点的异侧作△ABD ，使△ABD 为等腰直角三角形，求线段CD 的长．
8.在△ABC 中，AC=BC ，
∠ACB=90°，点M 是AC 上的一点，点N 是BC 上的一点，沿着直线MN 折叠，使得点C 恰好落在边AB 上的P 点．求证：MC ：NC=AP ：PB ．
9.如图，在直角坐标系中，矩
形ABCO 的边OA 在x 轴上，边OC 在y 轴上，点B 的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC 翻折B 点落在D 点的位置，且AD 交y 轴于点E ．那么D 点的坐标为（）
A. B.
C. D.
10..已知，如图，直线y=﹣2x
＋2与坐标轴交于A 、B 两点．以AB 为短边在第一象限做一个矩形ABCD ，使得矩形的两边之比为1﹕2。 求C 、D 两点的坐标。
三、构造相似辅助线——A 、X 字型
11.如图：△ABC 中，D 是AB 上一点，AD=AC ，BC 边上的中线AE 交CD 于F 。 求证：
12.四边形ABCD 中，AC 为
AB 、AD 的比例中项，且AC 平分∠DAB 。
求证：
13.在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝b ，CD ＝a ，E 为AD 边上的任意一点，EF ∥AB ，且EF 交BC 于点F ，某同学在研究这一
问题时，发现如下事实：
(1)当时，EF=；(2)当时，EF=；
(3)当时，EF=
．当
时，参照上述研
究结论，请你猜想用
a 、
b 和k 表示EF 的一般结论，并
给出证明．
14.已知：如图，在△ABC中，M是AC的中点，E、F是BC上的两点，且BE＝EF＝FC。
求BN：NQ：QM．
15.证明：（1）重心定理：三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的．（注：重心是三角形三条中线
的交点）（2）角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例．
四、相似类定值问题
16.如图，在等边△ABC中，M、N分别是边AB，AC的中点，D为MN上任意一点，BD、CD的延长线分别交AC、AB于点E、F．求证：．
17.已知：如图，梯形ABCD中，AB//DC，对角线AC、BD交于O，过O作EF//AB分别交AD、BC于E、F。
求证：．
18.如图，在△ABC中，已知CD为边AB上的高，正方形EFGH的四个顶点分别在△ABC上。
求证：．
19.已知，在△ABC中作内接菱形CDEF，设菱形的边长为a ．求证：．
五、相似之共线线段的比例问题
20.（1）如图1，点在平行四边形ABCD的对角线BD 上，一直线过点P分别交BA，BC的延长线于点Q，S，交于点．求证：
（2）如图2，图3，当点在平行四边形ABCD 的对角线
或的延长线上时，是否仍然成立？
若成立，试给出证明；若不成立，试说明理由（要求仅以图2为例进行证明或说明）；
21.已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF 于F．求证：BP2＝PE·PF．
22.如图，已知ΔABC中，AD，BF分别为BC，AC 边上的高，过D作AB的垂线交AB于E，交BF于G，交AC延长线于H。求证：DE2=EG?EH
23.已知如图，P为平行四边形ABCD的对角线AC
上一
点，过P的直线与AD、BC、CD的延长线、AB的延长线分别相交于点E、F、G、H.
求证：
24.已知，如图，锐角△ABC中，AD⊥BC于D，H为垂心（三角形三条高线的交点）；在AD上有一点P，且∠BPC 为直角．求证：PD2＝AD·DH。
六、相似之等积式类型综合
25.已知如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交CA于F。
求证：
26如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上，DH⊥BM且与AC的延长线交于点E. 求证：（1）△AED∽△CBM；（2）
27.如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB 于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F.
（1）求证：.
（2）若G是BC的中点，连接
GD，GD与EF垂直吗？并说明
理由.
28.如图，四边形ABCD、
DEFG都是正方形，连
接AE、CG,AE与CG相
交于点M，CG与AD相
交于点N ．求证：．
29.如图，BD、CE分别是△ABC
的两边上的高，过D作DG⊥BC
于G，分别交CE及BA的延长线于F、H。
求证：（1）DG2＝BG·CG；（2）BG·CG＝GF·GH
七、相似基本模型应用
30.△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，
△DEF的顶点E位于边BC的中点上．
（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；
（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．
31.如图，四边形ABCD和
四边形ACED都是平行四
边形，点R为DE的中点，
BR分别交AC、CD于点P、
Q．
（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）；（2）求BP：PQ：QR．32.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F 。求证：
答案：1.答案：解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4
∴AB=5
又∵AD=AB，AD=5t
∴t=1，此时CE=3，
∴DE=3+3-5=1
（2）
如图当点D在点E左侧，即：0≦t ≦时，DE=3t+3-5t=3-2t．若△DEG与△ACB相似，有两种情况：
①△DEG∽△ACB ，此时，
即：，求得：t=；
②△DEG∽△BCA ，此时，
即：，求得：t=；
如图，当点D在点E右侧，即：t>时，DE=5t-(3t+3)=2t-3．若△DEG与△ACB相似，有两种情况：
③△DEG∽△ACB ，此时，
即：，求得：t=；④△DEG∽△BCA ，此时，
即：，求得：t=．
综上，t 的值为或或或．
3.答案：解：（1）证明：∵AD=CD
∴∠A=∠ACD
∵DE 平分CDB交边BC于点E
∴∠CDE=∠BDE
∵∠CDB为△CDB的一个外角
∴∠CDB=∠A+∠ACD=2∠ACD
∵∠CDB=∠CDE+∠BDE=2∠CDE
∴∠ACD=∠CDE
∴DE∥AC
（2）①∠NCE=∠MBE
∵EM⊥BD，EN⊥CD，
∴△BME∽△CNE，如图
∵∠NCE=∠MBE
∴BD=CD
又∵∠NCE+∠ACD=∠MBE+∠A=90°
∴∠ACD=∠A
∴AD=CD
∴AD=BD=AB
∵在Rt△ABC 中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8 ∴AB=10
∴AD=5
②∠NCE=∠MEB
∵EM⊥BD，EN⊥CD，
∴△BME∽△ENC，如图
∵∠NCE=∠MEB
∴EM∥CD
∴CD⊥AB
∵在Rt△ABC 中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8
∴AB=10
∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB
∴△ACD∽△ABC
∴
∴
综上：AD=5或时，△BME与△CNE相似．
4.答案：解（1）由题意：AP=4x，CQ=3x，AQ=30-3x ，
当PQ∥BC 时，，即：
解得：
（2）能，AP=cm或AP=20cm
①△APQ∽△CBQ ，则，即
解得：或（舍）
此时：AP=cm
②△APQ∽△CQB ，则，即
解得：（符合题意）
此时：AP=cm
故AP=cm或20cm时，△APQ与△CQB能相似．
5.答案：解：设运动时间为t，则DQ=t，AQ=6-t，AP=2t，BP=12-2t．
（1）若△QAP为等腰直角三角形，则AQ=AP，即：6-t=2t，t=2（符合题意）
∴t=2时，△QAP为等腰直角三角形．（2）∠B=∠QAP=90°
①当△QAP∽△ABC 时，，即：，解得：（符合题意）；
②当△PAQ∽△ABC 时，，即：，解得：（符合题意）．
∴当或时，以点Q、A、P为顶点的三角
形与△ABC相似．
6.答案：解：分两种情况
第一种情况，图象经过第一、三象限
过点A作AB⊥OA，交待求直线于点B，过点A作平行于y轴的直线交x轴于点C，过点B作BD⊥AC
则由上可知：＝90°
由双垂直模型知：△OCA∽△ADB
∴
∵A（2，1），＝45°
∴OC＝2，AC＝1，AO＝AB
∴AD＝OC＝2，BD＝AC＝1
∴D点坐标为（2，3）
∴B点坐标为（1，3）
∴此时正比例函数表达式为：y＝3x
第二种情况，图象经过第二、四象限
过点A作AB⊥OA，交待求直线于点B，过点A作平行于x轴的直线交y轴于点C，过点B作BD⊥AC
则由上可知：＝90°
由双垂直模型知：△OCA∽△ADB
∴
∵A（2，1），＝45°
∴OC＝1，AC＝2，AO＝AB
∴AD＝OC＝1，BD＝AC＝2
∴D点坐标为（3，1）
∴B点坐标为（3，﹣1）
∴此时正比例函数表达式为：y ＝x
7.答案：解：情形一：
情形二：
情形三：
8.答案：证明：方法一：
连接PC，过点P作PD⊥AC于D，则PD//BC 根据折叠可知MN⊥CP
∵∠2+∠PCN=90°，∠PCN+∠CNM=90°
∴∠2=∠CNM
∵∠CDP=∠NCM=90°
∴△PDC∽MCN
∴MC：CN=PD：DC
∵PD=DA
∴MC：CN=DA：DC
∵PD//BC
∴DA：DC=PA：PB
∴MC：CN=PA：PB
方法二：如图，
过M作MD⊥AB于D，过N作NE⊥AB于E
由双垂直模型，可以推知△PMD∽NPE，
则
，
根据等比性质可
知，而MD=DA，
NE=EB，PM=CM，PN=CN，∴MC：CN=PA：PB
9.答案：A
解题思路：如图
过点D作AB的平行线交BC的延长线于点M，交x轴于点N，则∠M=∠DNA=90°，
由于折叠，可以得到△ABC≌△ADC，
又由B（1，3）
∴BC=DC=1，AB=AD=MN=3，∠CDA=∠B=90°
∴∠1+∠2=90°
∵∠DNA=90°
∴∠3+∠2=90°
∴∠1=∠3
∴△DMC∽△AND，
∴
设CM=x，则DN=3x，AN=1＋x，DM ＝
∴3x ＋＝3
∴x ＝∴，则。答案为A
10.答案：解：
过点C作x轴的平行线交y轴于G，过点D作y轴的平行线交x轴于F，交GC的延长线于E。
∵直线y=﹣2x＋2与坐标轴交于A、B两点
∴A（1,0），B（0,2）
∴OA=1，OB=2，AB=
∵AB：BC=1:2
∴BC=AD=
∵∠ABO+∠CBG=90°，∠ABO+∠BAO=90°
∴∠CBG=∠BAO
又∵∠CGB=∠BOA=90°
∴△OAB∽△GBC
∴
∴GB=2，GC=4
∴GO=4
∴C（4,4）
同理可得△ADF∽△BAO，得
∴DF=2，AF=4 ∴OF=5 ∴D（5,2）11.答案：证明：（方法一）如图
延长AE到M使得EM=AE，连接CM
∵BE=CE，∠AEB=∠MEC
∴△BEA≌△CEM
∴CM=AB，∠1=∠B
∴AB∥CM
∴∠M=∠MAD，∠MCF=∠ADF
∴△MCF∽△ADF
∴
∵CM=AB，AD=AC
∴
（方法二）
过D作DG∥BC交AE于G
则△ABE∽△ADG，△CEF∽△DGF
∴，
∵AD=AC，BE=CE
∴
12.答案：证明：
过点D作DF∥AB交AC的延长线于点F，则∠2=∠3 ∵AC平分∠DAB
∴∠1=∠2
∴∠1=∠3
∴AD=DF
∵∠DEF=∠BEA，∠2=∠3
∴△BEA∽△DEF
∴
∵AD=DF
∴
∵AC为AB、AD的比例中项
∴即
又∵∠1=∠2
∴△ACD∽△ABC
∴
∴
∴
13.答案：解：
证明：
过点E作PQ∥BC分别交BA延长线和DC于点P和点Q
∵AB∥CD，PQ∥BC
∴四边形PQCB和四边形EQCF是平行四边形
∴PB＝EF＝CQ ，
又∵AB＝b，CD＝a
∴AP＝PB-AB＝EF-b，DQ＝DC-QC＝a-EF
∴
∴
14.答案：解：
连接MF
∵M是AC的中点，EF＝FC
∴MF∥AE且MF ＝AE ∴△BEN∽△BFM ∴BN：
BM＝BE：BF＝NE：MF ∵BE＝EF ∴BN：BM＝NE：MF ＝1:2 ∴BN：NM＝1:1 设NE＝x，则MF＝2x，AE＝4x ∴AN＝3x ∵MF∥AE ∴△NAQ∽△MFQ ∴NQ：QM ＝AN：MF＝3:2 ∵BN：NM＝1:1，NQ：QM＝3:2 ∴BN：NQ：QM＝5:3:2
15.答案：证明：（1）
如图1，AD、BE为△ABC的中线，且AD、BE交于点O 过点C作CF∥BE，交AD的延长线于点F
∵CF∥BE且E为AC中点
∴∠AEO＝∠ACF，∠OBD＝∠FCD，AC＝2AE
∵∠EAO＝∠CAF
∴△AEO∽△ACF
∴
∵D为BC的中点，∠ODB＝∠FDC
∴△BOD≌△CFD
∴BO＝CF
∴
∴
同理，可证另外两条中线
∴三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的
（2）
如图2，AD为△ABC的角平分线
过点C作AB的平行线CE交AD的延长线于E
则∠BAD=∠E
∵AD为△ABC的角平分线∴∠BAD=∠CAD
∴∠E=∠CAD
∴AC＝CE
∵CE∥AB
∴△BAD∽△CED
∴
∴
16.答案：证明：
如图，作DP∥AB，DQ∥AC
则四边形MDPB和四边形NDQC均为平行四边形且△DPQ是等边三角形
∴BP+CQ＝MN，DP＝DQ＝PQ
∵M、N分别是边AB，AC的中点
∴MN ＝BC＝PQ
∵DP∥AB，DQ∥AC
∴△CDP∽△CFB，△BDQ∽△BEC
∴，
∴
∵DP＝DQ＝PQ ＝BC ＝AB
∴AB （）＝
∴
17.答案：证明：∵EF//AB，AB//DC
∴EF//DC
∴△AOE∽△ACD，△DOE∽△DBA
∴，
∴
∴
18.答案：证明：∵EF∥CD，EH∥AB
∴，
∵，
∴△AFE∽△ADC，△CEH∽△CAB
∴，
∵EF＝EH
∴
∴
19.答案：证明：∵EF∥AC，DE∥BC
∴，
∵，
∴△BFE∽△BCA，△AED∽△ABC
∴，
∴
∵EF＝DE＝a
∴
20.答案：（1）证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠DRP=∠S，∠RDB=∠DBS
∴△DRP∽△BSP
∴
同理由AB∥CD可证△PTD∽△PQB
∴∴
∴
（2）证明：成立，理由如下：
在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠PRD=∠S，∠RDP=∠DBS
∴△DRP∽△BSP
∴
同理由AB∥CD可证△PTD∽△PQB
∴
∴
∴
21.答案：证明:
∵AB＝AC，AD是中线，
∴AD⊥BC,BP=CP
∴∠1=∠2
又∵∠ABC=∠ACB
∴∠3=∠4
∵CF∥AB
∴∠3=∠F,∠4=∠F
又∵∠EPC=∠CPF
∴△EPC∽△CPF
∴∴BP2＝PE·PF即证所求22.答案：证明：∵DE⊥AB
∴＝90°
∵＝90°
∴
∵
∴△ADE∽△DBE
∴
∴DE2=
∵BF⊥AC
∴＝90°
∵＝90°且
∴
∵
∴△BEG∽△HEA
∴
∴＝∴DE2=EG•EH
23.答案：证明：
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB∥CD，AD∥BC
∴∠1=∠2，∠G=∠H，∠5=∠6
∴△PAH∽△PCG
∴
又∵∠3=∠4
∴△APE∽△CPF
∴
∴
24.答案：证明：如图，连接BH交AC于点E，
∵H为垂心
∴BE⊥AC
∴∠EBC+∠BCA=90°
∵AD⊥BC于D
∴∠DAC+∠BCA=90°
∴∠EBC=∠DAC
又∠BDH=∠ADC=90°
∴△BDH∽△ADC
∴，
即
∵∠BPC为直角，AD⊥BC
∴PD2＝BD·DC ∴PD2＝AD·DH 25.答案：证明：∵CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E 为BC的中点
∴CE=EB=DE
∴∠B=∠BDE=∠FDA
∵∠B+∠CAB=90°，∠ACD+∠CAB=90°
∴∠B=∠ACD
∴∠FDA=∠ACD
∵∠F=∠F
∴△FDA∽△FCD
∴
∵∠ADC=∠CDB=90°，∠B=∠ACD
∴△ACD∽△CBD
∴
∴
即
26.答案：证明：（1）∵∠ACB＝∠ADC＝90°
∴∠A＋∠ACD＝90°
∠BCM＋∠ACD＝90°
∴∠A＝∠BCM
同理可得：∠MDH＝∠MBD
∵∠CMB＝∠CDB＋∠MBD＝90°＋∠MBD
∠ADE＝∠ADC＋∠MDH＝90°＋∠MDH
∴∠ADE＝∠CMB
∴△AED∽△CBM
（2）由上问可知：，即
故只需证明即可
∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠ABC
∴△ACD∽△ABC
∴，即
∴
27.答案：（1）将结论写成比例的形式，，可以考虑证明△FDB∽△FCD（已经有一个公共角∠F）
Rt△ACD中，E是AC的中点
∴DE=AE
∴∠A=∠ADE
∵∠ADE=∠FDB
∴∠A=∠FDB
而∠A+∠ACD=90°
∠FCD+∠ACD=90°
∴∠A=∠FCD
∴∠FCD=∠FDB
而∠F=∠F
∴△FBD∽△FDC
∴
∴（2）判断：GD与EF垂直Rt△CDB
中，G是BC的中点，∴GD＝GB ∴∠GDB=∠GBD 而∠GBD+∠FCD=90°又∵∠FCD=∠FDB（1的结论）∴∠GDB+∠FDB=90°∴GD⊥EF
28.答案：证明：由四边形ABCD、DEFG都是正方形可知，∠ADC=∠GDE=90°，则∠CDG=∠ADE=∠ADG+90°
在和中
∴≌则∠DAM=∠DCN
又∵∠ANM=∠CND
∴△ANM∽△CND
则
∴
29.答案：证明：找模型。
（1）△BCD、△BDG，△CDG构成母子型相似。∴△BDG∽△DCG
∴
∴DG2＝BG·CG
（2）分析：将等积式转化为比例式。
BG·CG＝
GF·GH
∵∠GFC=∠EFH，而∠EFH+∠H=90°，∠GFC+∠FCG=90°∴∠H=∠FCG
而∠HGB=∠CGF=90°
∴△HBG∽△CFG
∴∴BG·CG＝GF·GH．
30.答案：（1）证明：∵∠MEB＋∠NEC＝180°－45°＝135°＝∠MEB＋∠EMB ∴∠NEC＝∠EMB 又∵∠B=∠C ∴△BEM∽△CNE （2）△COE∽△EON 证明：∵∠OEN=∠C＝45°，∠COE＝∠EON ∴△COE∽△EON
31.
答案：解：（1）△BCP∽△BER，△CQP∽△DQR，
△ABP∽△CQP，△DQR∽△ABP
（2）∵AC∥DE
∴△BCP∽△BER
∴
∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形
∴AD=BC，AD=CE
∴BC=CE，即点C为BE的中点
∴
又∵AC∥DE
∴△CQP∽△DQR
∴
∵点R为DE的中点
∴DR=RE
∴综上：BP：PQ：QR＝3：1：2
32.答案：证明：∵AD⊥BC，DE⊥AB
∴△ADB∽△AED
∴
∴AD2＝AE AB
同理可证：AD2＝AF AC
∴AE AB＝AF AC
【最新整理，下载后即可编辑】 第一讲 相似三角形 1、已知432z y x ==，且1032=+-z y x ，则z y x ++= 。 2、已知△ABC 中，AB=AC,∠BAC=120°，求AB:BC 的值。 3、若点P 在线段AB 上，点Q 在线段AB 的延长线上，AB=10， 23==BQ AQ BP AP ,求线段PQ 的长。 4、若55432+==+c b a ，且2132=+-c b a ，试求a:b:c 。 5、△ABC 为等边三角形，点E 在BA 的延长线上，点D 在BC 边上，且ED=EC 。若△ABC 的边长为4，AE=2，则BD 的长 为 。 6、点D,E 分别在△ABC 的边AB ，AC 上，DE ∥BC ，点G 在边BC 上，AG 交DE 于点H ，点O 是线段AG 的中点，若 13=DB AD ,则 =OH AO
7、在正方形ABCD 中，P 是CD 的中点，连接AP 并延长交BC 的延长线于点E ，连接DE ，取DE 的中点Q ，连接PQ ，求证： PQ=PC. 8、四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似，相似比为2:3，四边形A 1B 1C 1D 1与四边形A 2B 2C 2D 2相似，相似比为5:4，则四边形ABCD 与四边形A 2B 2C 2D 2相似且相似比为 。 9、已知矩形ABCD 中，AB=1，在BC 上取一点E ，沿 AE 将△ABE 向上折叠，使B 点落在AD 上的F 处。若 四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD= 10、已知∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE 11、点C 、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形
相似三角形分类提高训练 一、相似三角形中的动点问题 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动 点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C 沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作 EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒． （1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度； （2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值． 2.如图，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C 移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒． （1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积； ②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式； （2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值． 3.如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE平分CDB交边BC 于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N． （1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC； （2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？ 4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着 AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的 速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x． （1）当x为何值时，PQ∥BC？ （2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由．
相似三角形培优专题讲义 知识点一：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念 1、两条线段的比：选用同一长度单位量得两条线段量得AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那 么就说这两条线段的比是AB:CD ＝m ：n 例：已知线段AB=2.5m,线段CD=400cm ，求线段AB 与CD 的比。 2.比例线段：四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即 d c b a =（或a ：b= c ： d ），那么，这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段 比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位，还要注意顺序。） 例：b,a,d,c 是成比例线段，其中a=2cm,b=3cm,c=6cm,求线段d 的长度。 （2）比例性质 1.基本性质: bc ad d c b a =?= （两外项的积等于两内项积） 2.反比性质： c d a b d c b a =?= (把比的前项、后项交换) 3.更比性质(交换比例的内项或外项)： ()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=???=??， 交换内项，交换外项． 同时交换内外项 4.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 如果 )0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么 b a n f d b m e c a =++++++++ ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零． (3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．
相似三角形分类提高训练 令狐文艳 一、相似三角形中的动点问题 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC 交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值． 2.如图，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点 到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t 秒．（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的 面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值． 3.如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D 在边AB上运动，DE平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？ 4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q 从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．（1）当x 为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由． 5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB 边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从 点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出 发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。 （1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）当t 为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？
一、相似三角形中的动点问题 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F， G是EF中点，连接DG．设点D 运动的时间为t秒． （1）当t为何值时，AD=AB，并 求出此时DE的长度； （2）当△DEG与△ACB相似时， 求t的值． 2.如图，在△ABC 中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它 们都停止移动．设移动的时间为t 秒． （1）①当t=2.5s时，求△CPQ的 面积； ②求△CPQ的面积S（平方米）关 于时间t（秒）的函数解析式； （2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值． 3.如图1，在Rt△ABC中 ， ACB＝90°，AC＝6，BC＝ （1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC； （2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？ 4.如图所示，在△ABC中， BA＝BC＝20cm，AC＝ 30cm，点P从A点出发， 沿着AB以每秒4cm的速 度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x． （1）当x为何值时，PQ∥BC？ （2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由． 5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P 沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q 沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t ＜6）。 （1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？
相似三角形培优专题1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D． 求证：(1)△ACD∽△ABC； (2)AC2＝AD?AB； (3)CD2＝AD?DB． A 证明：(1)∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠CDA＝90°＝∠ACB， ∵∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC. (2)∵△ACD∽△ABC， ∴AC AD AB AC =， ∴AC2＝AD?AB； (3)∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°， ∵∠ACB＝90° ∴∠A+∠B＝90° ∴∠ACD＝∠B ∴△ACD∽△BCD， ∴CD AD BD CD =， ∴CD2＝AD?DB．
2．如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且∠APB＝120°，求证： (1)△ACP∽△PDB， (2)CD2＝AC?BD． 证明：(1)∵△PCD是等边三角形， ∴∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°， ∴∠ACP＝∠PDB＝120°， ∵∠APB＝120°， ∴∠APC+∠BPD＝60°， ∵∠CAP+∠APC＝60° ∴∠BPD＝∠CAP， ∴△ACP∽△PDB； (2)由(1)得△ACP∽△PDB， ∴， ∵△PCD是等边三角形， ∴PC＝PD＝CD， ∴， ∴CD2＝AC?BD．
3. 如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知△ABC 的边BC＝15，高AH＝10， (1)求证：△ADG∽△ABC； (2)求这个正方形的边长和面积． 解：(1)∵四边形形DEFG是正方形， ∴DG∥BC ∴△ADG∽△ABC； (2) 如图，高AH交DG于M，设正方形DEFG的边长为x，则DE＝MH＝x， ∴AM＝AH﹣MH＝10﹣x， ∵ADG∽△ABC， ∴DG AM BC AH =， ∴ 10 1510 x x - =， ∴x＝6， ∴x2＝36． 答：正方形DEFG的边长和面积分别为6，36．
专题16 相似三角形的性质 阅读与思考 相似三角形的性质有： 1. 对应角相等； 2. 对应边成比例； 3. 对应线段（中线、高、角平分线）之比等于相似比； 4. 周长之比等于相似比； 5. 面积之比等于相似比的平方. 性质3主要应用于三角形内接特殊平行四边形的问题，性质5进一步丰富了面积的有关知识，拓展了我们研究面积问题的视角. 如图，正方形EFGH 内接于△ABC ，AD ⊥BC ，设BC a =，AD h =，试用a 、h 的代数式表示正方形的边长. H G E F D C B A 例题与求解 【例1】如图，已知□ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC ，AD 及CD 的延长线相交于E ，F ，G ，若5BE =，2EF =，则FG 的长是 . （“弘晟杯”上海市竞赛试题） 解题思路：由相似三角形建立含FG 的关系式，注意中间比的代换. G E F D C B A
【例2】如图，已知△ABC 中，DE ∥GF ∥BC ，且::1:2:3AD DF FB =， 则:ADE DFGE S S △四边形:FBCG S =四边形（ ） （黑龙江省中考试题） A.1:9:36 B.1:4:9 C.1:8:27 D. 1:8:36 解题思路：△ADE ，△AFG 都与△ABC 相似，用△ABC 面积的代数式分别表示△ADE 、四边形DFGE 、四边形FBCG 的面积. G E F D C B A 【例3】如图，在△ABC 的内部选取一点P ，过P 点作三条分别与△ABC 的三边平行的直线，这样所得的三个三角形t 1，t 2，t 3的面积分别为4，9和49，求△ABC 的面积. （第二届美国数学邀请赛试题） 解题思路：由于问题条件中没有具体的线段长，所以不能用面积公式求出有关图形的面积，可考虑应用相似三角形的性质. t 1 t 2 t 3 I P H G E F D C B A 如图所示，经过三角形内一点向各边作平行线（也称剖分三角形），我们可以得到： ① △FDP ∽△IPE ∽△PHG ∽△ABC ； ② 1HG IE DF BC AC AB ++=； ③ 2DE FG HI BC AC AB ++=； ④ 2ABC S =△. 上述性质，叙述简捷，形式优美，巧妙运用它们解某些平面几何竞赛题，简明而迅速，奇特而匠心独
(3题图）E D C B A D B C A N M O 相似三角形练习题 1、如图1，当四边形PABN 的周长最小时，a = ． 2、如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x ，那么x 的值（ ） A ．只有1个 B ．可以有2个 C ．有2个以上但有限 D ．有无数个 3、如图3，等腰ABC ?中，底边BC=a ,A ∠=0 36,ABC ∠的平分线交AC 于D ，BCD ∠的平分线交BD 于E ，设k = DE=( ) A 、2 K a B 、3 K a C 、2a k D 、 3 a k 4、如图4，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接 OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是（ ） A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形 B ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形 C ．四边形AMON 与四边形ABC D 是位似图形 D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形 5、如图5将放置于平面直角坐标系中的三角板AOB 绕O 点顺时针旋转90°得△A′OB′．已知∠AOB =30°，∠B =90°，AB =1，则B′点的坐标为( ) A ．3)22 B ．3(22 C ．1(22 D ．1)22 x （1题图） 图 4 图 5
F E D C B A E F A D C B 6、如图小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与AB C △相似的是（ ） 7、如图7，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 在BC 上，AE BE =，点F 是CD 的中点，且AF AB ⊥， 若 2.746AD AF AB ===，，，则CE 的长为 A ． 1 C. 2.5 D. 2.3 (7题图) 8、如图8，在ABC △中，AB AC =，点E F 、分别在AB 和AC 上，CE 与BF 相交于点D ，若AE CF D =，为BF 的中点，AE AF :的值为___________. 9、如图9，已知ABC ?，延长BC 到D ，使CD=BC 取AB 的中点F,连接FD 交AC 于点E 。 （1）求AE AC 的值；（2）若AB=a ，FB=EC ，求AC 的长。
相似三角形的应用 【学习目标】 1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算． 2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）． 【知识回顾】 一、相似三角形的性质 （1）对应边的比相等，对应角相等． （2）相似三角形的周长比等于相似比． （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方．．．．．． ． （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比． 二、相似三角形的应用: 1、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）； 2、利用三角形相似，求线段的长等 3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度．如求河的宽度、求建筑物的高度等． 【典型例题】 例1：如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120mm ， 高AD=80mm ， 要把它加工成矩形零件，使一边在BC 上，其余两个顶点分别在边AB 、AC 上， （1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？ （2）若这个矩形的长是宽的2倍，则边长是多少？ 【同步练习】如图，△ABC 是一块三角形余料，AB=AC=13cm ，BC=10cm ，现在要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在△ABC 的边上，其余两个顶点分别在三角形另外两条边上．试求正方形的边长是多少？ 例2：阅读以下文字并解答问题： 在“测量物体的高度” 活动中，某数学兴趣小组的4名同学选择了测量学校里的四棵树的高 A B C Q M D N P E
度．在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作： 小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如图1）． 小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米． 小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图3），测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，落在地面上的影长为4.4米． 小明：测得丁树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如图4）．身高是1.6m 的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2m ． （1）在横线上直接填写甲树的高度为 米． （2）求出乙树的高度（画出示意图）． （3）请选择丙树的高度为（ ） A 、6.5米 B 、5.75米 C 、6.05米 D 、7.25米 （4）你能计算出丁树的高度吗？试试看． 【同步练习】如图，有一路灯杆AB(底部B 不能直接到达)，在灯光下，小明在点D 处测得自己的影长DF ＝3m ，沿BD 方向到达点F 处再测得自己得影长FG ＝4m ，如果小明得身高为1.6m ，求路灯杆AB 的高度． 图1 图2 图3 图4
九年级培优试题(五） 一．选择题： 1.下面四组线段中，不能成比例的是（ ） A.a=4,b=6,c=5,d=10 B 、a=3,b=9,c=5,d=12 C 、a=2,b=2,c=6,d=3 D 、a=2,b=3,c=4,d=5 2.如图，已知AB CD EF ∥∥，那么下列结论正确的是（ ） A ．AD BC DF CE = B ．B C DF CE AD = C ．CD BC EF BE = D ．CD AD EF AF = 3．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝3，BD ＝2，则△ADE 与四边形DBCE 的面积比是 （ ） （A ）3︰2； （B ）3︰5； （C ）9︰16； （D ）9 ︰4． 4.如图，已知等边三角形ABC 的边长为2，DE 是它的中位线，则下面四个结论：（1）DE=1， （2）△CDE ∽△CAB ，（3）△CDE 的面积与△CAB 的面积之比为1：4.其中正确的有：（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 5.如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是（ ） A ．△AOM 和△AON 都是等边三角 B ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形 C ．四边形AMON 与四边形ABC D 是位似图形 D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形 6.等边三角形的中线与中位线长的比值是（ ） A 、1:3 B 、2:3 C 、23:21 D 、1：3 7.如图所示，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为OD 的中点，连接AE 并延长交DC 于点F ，则DF ：FC=（ ） A.1:4 B.1:3 C.2:3 D.1:2 . 8（2013?牡丹江）如图，在△ABC 中∠A=60°，BM ⊥AC 于点M ， CN ⊥AB 于点N ，P 为BC 边的中点， 连接PM ，PN ，则下列结论：①PM=PN ；②；③△PMN 为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN=PC ．其中正确的个数是（ ） A,1个 B.2个 C.3个 D.4 9如图，已知：∠BAO=∠CAE=∠DCB ，则下列关系式中正确的是（ ） A 、 AE BC AD A B = B 、AD B C AE AC = C 、AE BC DE AB = D 、AD AB AE AC = 10.下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（） D B C A N M O B C A D E
1.（2013?雅安）如图，在?ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则DF= 2.（2013?恩施州）如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE 并延长交DC于点F，则DF：FC=（） 3.（2013?自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（） 4.（2013?新疆）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（） A． 2 B．或C．或D． 2或或 5.（2013?孝感）如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A， ∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（） A．B．C．D．
6.（2013安顺）在平行四边形ABCD中，E在DC上，若DE：EC=1：2，则BF：BE= ． 7.（2013?牡丹江）如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM=PN；②；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN=PC．其中正确的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 8.（2013东营中考）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，那么x的值（） A. 只有1个 B. 可以有2个 C. 可以有3个 D. 有无数个 9.（2013台湾、33）如图，将一张三角形纸片沿虚线剪成甲、乙、丙三块，其中甲、丙为梯形，乙为三角形．根据图中标示的边长数据，比较甲、乙、丙的面积大小，下列判断何者正确？（） A．甲＞乙，乙＞丙B．甲＞乙，乙＜丙C．甲＜乙，乙＞丙D．甲＜乙，乙＜丙 10、（2013?黔东南州）将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是． 11、（2013?牡丹江）劳技课上小敏拿出了一个腰长为8厘米，底边为6厘米的等腰三角形，她想用这个等腰三角形加工成一个边长比是1：2的平行四边形，平行四边形的一个内角恰好是这个等腰三角形的底角，平行四边形的其它顶点均在三角形的边上，则这个平行四边形的较短的边长为．
相似三角形培优题 1、如图,在正方形ABCD 中，点P 是ＡＢ上一动点(不与A,B 重合),对角线AC ，ＢD 相交于点O,过点Ｐ分别作A Ｃ，BD 的垂线，分别交AC,BD 于点E ，F ，交ＡＤ,BC 于点M,Ｎ.下列结论: ①△A ＰE ≌△AM Ｅ；②PM+ＰＮ=AC ；③PE 2+PF ２ =PO 2;④△POF ∽△BN Ｆ；⑤当△PMN ∽△A ＭP 时,点P 是A Ｂ的中点. 其中正确的结论有( ）A ．5 Ｂ.４ C ．３ Ｄ.2 2、如图，Rt △AB Ｃ中，∠A ＣB=90°，∠ＡB Ｃ=60°,BC=2ｃm ，D 为BC 的中点，若动点Ｅ以１c ｍ/s 的速度从A 点出发,沿着A →B →Ａ的方向运动,设E 点的运动时间为t 秒(0≤t<6),连接D Ｅ，当△BDE 是直角三角形时,t 的值为( ） 3、如图，△ABC 中，ＤE ∥BC ，DE=１,AD=２,DB ＝３，则BC 的长是（ ) 4、如图，在?ABC Ｄ中,E 为ＣＤ上一点，连接A Ｅ、ＢD ，且AE 、BD 交于点Ｆ，S △DEF ：Ｓ△ABF =4:25,则D Ｅ:EC ＝( ） A ． 2:5 Ｂ． 2：3 C . 3:5 Ｄ． 3：2 5、如图，在平行四边形A ＢCD 中,AB=6,AD=９，∠BAD 的平分线交ＢＣ于E ，交ＤC 的延长线于F ，B Ｇ⊥AE 于G ，ＢG=,则△EFC 的周长为( ） A ． 1１ B ． 10 C ． 9 Ｄ． ８ 6、如图,在?ABCD 中，Ｅ在AB 上，CE 、ＢD 交于F ，若AE:BE=4:3,且BF ＝2，则DF= .. 7、如图,DE 是△ABC 的中位线，延长DE 至F 使E Ｆ=DE ，连接CF,则S △ＣＥF ：S 四边形BCED 的值为( ) A . 1:3 B ． 2:3 C ． １：4 D ． ２:5 8、如图,D 是△ABC 的边BC 上一点,已知ＡB=4,A Ｄ=２.∠ＤAC=∠B,若△ＡBD 的面积为ａ,则△ＡCD 的面积为( ) Ａ．a ? B. ? C. D ． 9、如图，边长为６的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S 1,S 2,则S 1+S ２的值为( ）A ．16 B ．1７?C ．18?D ．19 １0如图,在△ABC 中,ＡB ＝ＡC=a ，BC=ｂ（a ＞ｂ).在△ABC 内依次作∠ＣBD=∠A ，∠DCE=∠CBD ，∠E ＤＦ=∠DC Ｅ．则E Ｆ等于（ ) １1、如图,点A ，Ｂ,C ，D 的坐标分别是(1，7）,（1,１），(4，1),（6,1）,以C,D,Ｅ为顶点的三角形与△ABC 相似，则点E 的坐标不可能是（ ) A ． (6，0） B ． （6，3) C . （6，５） D ． （4,２) 1２、如图,正方形ＡB ＣD 是一块绿化带,其中 阴影部分EO ＦＢ,GHM Ｎ都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上,则小鸟在花圃上的概率为（ ） A . B ． 12 C ． D ． １3、如图所示,在平行四边形ABCD 中,ＡＣ与BD 相交于点O ，E 为OD 的中点，连接AE 并延长交ＤＣ于点F,则ＤＦ：F Ｃ＝（ ） A.２ B ． ２.5或３．5 C. 3．5或4.５ D ． ２或3．5或４.５ A ． B ． C . D ．
1、（本题满分7分） 如图10，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ,AE 与CG 相交于点M ，CG 与AD 相交于点N ． 求证：（1）CG AE =； （2）.MN CN DN AN ?=? 2、(本题满分7分) 如图11，已知△ABC 的面积为3，且AB=AC ，现将△ABC 沿CA 方向平移CA 长度得到△EFA ． （1）求四边形CEFB 的面积； （2）试判断AF 与BE 的位置关系，并说明理由； （3）若 15=∠BEC ，求AC 的长． 3、如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ， 连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE ＝∠B. (1) 求证：△ADF ∽△DEC (2) 若AB ＝4,AD ＝33,AE ＝3,求AF 的长. 4、如图（4），在正方形ABCD 中，E F 、分别是边 AD CD 、上的点，1 4AE ED DF DC ==，，连结EF 并延长交BC 的延长线于点G ． （1）求证：ABE DEF △∽△； （2）若正方形的边长为4，求BG 的长． 5．如图（15），在梯形ABCD 中，906DC AB A AD ∠==∥，°，厘米，4DC =厘米，BC 的坡度34i =∶，动点P 从A 出发以2厘米/秒的速度沿AB 方向向点B 运动，动点Q 从点B 出发以3厘米/秒的速度沿B C D →→方向向点D 运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为t 秒． （1）求边BC 的长； （2）当t 为何值时，PC 与BQ 相互平分； （3）连结PQ ，设PBQ △的面积为y ，探求y 与t 的函数关系式，求t 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？ 6．（本题满分9分） 一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5m ，面积为1.5m 2，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案，甲设计方案如图1，乙设计方案如图2． 你认为哪位同学设计的方案较好？试说明理由．（加工损耗忽略不计，计算结果中可保留分数） 7、如图1，O 为正方形ABCD 的中心，分别延长OA 、OE=2OD ，连接EF ．将△EOF 绕点O 逆时针旋转α角得到△E1OF1（如图2）． （1）探究AE1与BF1的数量关系，并给予证明； A E D F B C 图（4） C B Q P 图（5） Ｅ Ｂ D Ｃ E
一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，正方形ABCD、等腰Rt△BPQ的顶点P在对角线AC上（点P与A、C不重合），QP与BC交于E，QP延长线与AD交于点F，连接CQ． （1）①求证：AP=CQ；②求证：PA2=AF?AD； （2）若AP：PC=1：3，求tan∠CBQ． 【答案】（1）证明：①∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°， ∵△BPQ是等腰直角三角形，∴BP=BQ，∠PBQ=90°，∴∠PBC+∠CBQ=90° ∴∠ABP=∠CBQ，∴△ABP≌△CBQ，∴AP=CQ; ②∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC=∠BAC=∠ACB=45°， ∵∠PQB=45°，∠CEP=∠QEB，∴∠CBQ=∠CPQ， 由①得△ABP≌△CBQ，∠ABP=∠CBQ ∵∠CPQ=∠APF，∴∠APF=∠ABP，∴△APF∽△ABP， (本题也可以连接PD，证△APF∽△ADP) （2）证明：由①得△ABP≌△CBQ，∴∠BCQ=∠BAC=45°， ∵∠ACB=45°,∴∠PCQ=45°+45°=90° ∴tan∠CPQ= , 由①得AP=CQ, 又AP:PC=1:3，∴tan∠CPQ= ， 由②得∠CBQ=∠CPQ， ∴tan∠CBQ=tan∠CPQ= . 【解析】【分析】（1）①利用正方形的性质和等腰直角三角形的性质易证△ABP≌△CBQ，可得AP=CQ；②利用正方形的性质可证得∠CBQ=∠CPQ，再由△ABP≌△CBQ可证得∠APF=∠ABP，从而证出△APF∽△ABP，由相似三角形的性质得证；（2）由△ABP≌△CBQ可得∠BCQ=∠BAC=45°，可得∠PCQ=45°+45°=90°，再由三角函数可 得tan∠CPQ=，由AP:PC=1:3，AP=CQ，可得tan∠CPQ=，再由∠CBQ=∠CPQ可求出答
相似三角形求值问题难点突破 题一：（2012?孝感）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AC=2，则AD的长是（） A．B．C．﹣1 D．+1 题二：（2012年四川省德阳市）如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与点B重合）.以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又AP//BE（点 P、E在直线AB的同侧），如果AB BD 4 1 ，那么△PBC的面积与△ABC面积之比为（） A. 4 1 B. 5 3 C. 5 1 D. 4 3 P G F E D C B A 题三：如图所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF． 题四：如图所示．△ABC中，E，D是BC边上的两个三等分点，AF=2CF，BF=12厘米．求：FM，MN，BN的长． 题五：如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝3AB，EF∥CD，EF将梯形ABCD分成面积相等的两部分，则AE：ED等于（）
A B E F D C A. 2 B. 32 C. 512+ D. 512 - 题六：（2012河南）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整. 原题：如图1，在□ABCD 中，点E 是BC 边上的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G ，若3=EF AF ，求CD CG 的值. （1）尝试探究 在图1中，过点E 作EH AB ∥交BG 于点H ，则AB 和EH 的数量关系是，CG 和EH 的数量关系是，CD CG 的值是 （2）类比延伸 如图2，在原题的条件下，若 )0( m m EF AF =则CD CG 的值是（用含m 的代数式表示），试写出解答过程. （3）拓展迁移 如图3，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，点E 是BC 延长线上一点，AE 和BD 相交于点F ，若 ,(0,0)AB BC a b a b CD BE ==>>，则AF EF 的值是（用含,a b 的代数式表示）. 题七：（2010 武汉）已知线段OA ⊥OB ，C 为OB 上中点，D 为AO 上一点，连AC 、BD 交于P 点． （1）如图1，当OA=OB 且D 为AO 中点时，求 PC AP 的值； （2）如图2，当OA=OB ，AO AD =4 1时，求tan ∠BPC ； （3）如图3，当AD ∶AO ∶OB=1∶n ∶n 2时，直接写出tan ∠BPC 的值．
第1讲 相似三角形讲义 学习目标 解三角形相似的判定方法 学习重点：能够运用三角形相似判定方法解决数学问题及实际问题． 学习难点：运用三角形相似判定方法解决数学问题的思路 学习过程 一、证明三角形相似 例1：已知，如图，D 为△ABC 一点连结ED 、AD ，以BC 为边在△ABC 外作∠CBE=∠ABD ，∠BCE=∠ BAD 求证：△DBE ∽△ABC 例2、矩形ABCD 中，BC=3AB ，E 、F ，是BC 边的三等分点，连结AE 、AF 、AC ，问图中是否存在非全等 的相似三角形？请证明你的结论。 下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形： （1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形 A B C D E A A B B C C D D E E (2)如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“相交线型” 的相似三角形。 A B C D E 1 2A A B B C C D D E E 124 1 2
(3)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。 观察本题的图形，如果存在相似三角形只可能是“相交线型”的相似三角形，及△EAF与△ECA 二、相似三角形证明比例式和乘积式 例3、△ABC中，在AC上截取AD，在CB延长线上截取BE，使AD=BE，求证：DF?AC=BC?FE 例4：已知：如图在△ABC中，∠BAC=900，M是BC的中点，DM⊥BC于点M，交AC于点E交BA的延长线于点D。
求证：（1）MA 2 =MD ?ME ；（2）MD ME AD AE = 22 三、相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。 例5：已知：如图E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 和AD 上的点，且 3 1 ==AD AF AB EB 。求证：∠AEF=∠FBD 例6、直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，BCDE 是正方形，AE 交BC 于F ，FG ∥AC 交AB 于G ，求证：FC=FG
相似三角形的培优试题 一、填空题： 1、如图，已知∠ADE=∠B ，则△AED ∽__________ 2、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，DE ⊥AB 于D ，则△ADE ∽_________ 3、如图；在∠C=∠B ，则_________ ∽_________,__________ ∽_________ 4、Rt △ABC ∽Rt △A ’B ’C ’, ∠C=∠C ’=90°,若AB=3，BC=2，A ’B ’=6, 则B ’C ’=__________, A ’C ’=______________ 5、在△ABC 和△A ’B ’C ’中，∠B=∠B ’, AB =6, BC=8,B ’C ’=4,则当A ’B ’=______时， △ABC ∽△A ’B ’C ’，当A ’B ’=________时，△ABC ∽△C ’ B ’ A ’ 6、如图；在△ABC 中，DE 不平行BC,当_____=AE AB 时，△ABC ∽△AED ，若AB=8，BC=7,AE=5,则DE=___________ 7、如图；在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AF=4，EF ⊥AC 交AB 于E ，CD ⊥AB ，垂足D ，若CD=6，EF=3，则ED=________,BC=_________,AB=_______ 8、如图；点D 在△ABC 内，连BD 并延长到E ，连AD 、AE ，若∠BAB=20°， AE AC DE BC AD AB ==， 则∠EAC=_________ 9、如图；在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，AC=6，AD=3.6，则BC=____ 10、已知；CA ⊥DB ，DE ⊥AB ，AC 、ED 交于F ，BC=3，FC=1， 则AC=_______ 二、选择题； 11、下列各组图形必相似的是----------------------------------------------------（ ） A 、任意两个等腰三角形 D 、斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形 C 、两条边成比例的两个直角三角形 B 、两条边之比为2：3的两个直角三角形 12、如图；∠AOD=90°，OA=OB=BC=CD ，那么下列结论正确是------（ ） A 、△OAB ∽△OCA B 、△OAB ∽△ODA C 、△BAC ∽△BDA D 、以上结论都不对 第8题第7题第10题D
相似三角形练习题 一、填空题： 1. 如图1，已知AB CD EF ∥∥，那么下列结论正确的是（ ） A ． AD BC DF CE = B ． BC DF CE AD = C ．CD BC EF BE = D ．CD AD EF AF = 2、若b m m a 2,3==，则_____:=b a 。 3、已知6 53z y x ==，且623+=z y ，则__________,==y x 。 4、在Rt △ABC 中，斜边长为c ，斜边上的中线长为m ，则______:=c m 。 5、（2008，上海）如图所示，平行四边形ABCD 中，E 是边BC 上的点，?AE?交BD 于点F ，如果BE BC =2 3 ，那么 BF FD =______． 6、已知三个边长为2，3，5的正方形按图4排列，则图中阴影部分的面积为_______． 10题 11题 12题 7、将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ．已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度是 ． 二、选择题： 1、等边三角形的中线与中位线长的比值是（ ） A 、1:3 B 、2:3 C 、2 3:21 D 、1：3 2、△ABC 中，AB ＝12，BC ＝18，CA ＝24，另一个和它相似的三角形最长的一边是36，则最短的一边是（ ） A 、27 B 、12 C 、18 D 、20 3、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC △相似的是（ ） A .
文档收集于互联网，已重新整理排版.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 第一讲 相似三角形 1、已知 4 32z y x ==，且1032=+-z y x ，则z y x ++= 。 2、已知△ABC 中，AB=AC,∠BAC=120°，求AB:BC 的值。 3、若点P 在线段AB 上，点Q 在线段AB 的延长线上，AB=10， 23==BQ AQ BP AP ,求线段PQ 的长。 4、若5 5432+==+c b a ，且2132=+-c b a ，试求a:b:c 。 5、△ABC 为等边三角形，点E 在BA 的延长线上，点D 在BC 边上，且ED=EC 。若△ABC 的边长为4，AE=2，则BD 的长为 。 6、点D,E 分别在△ABC 的边AB ，AC 上，DE ∥BC ，点G 在边BC 上，AG 交DE 于点H ，点O 是线段AG 的中点，若13=DB AD ,则=OH AO 7、在正方形ABCD 中，P 是CD 的中点，连接AP 并延长交BC 的 延长线于点E ，连接DE ，取DE 的中点Q ，连接PQ ，求证：PQ=PC. 8、四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似，相似比为2:3，四边形 A 1 B 1 C 1 D 1与四边形A 2B 2C 2D 2相似，相似比为5:4，则四边形ABCD 与 四边形A 2B 2C 2D 2相似且相似比为 。 9、已知矩形ABCD 中，AB=1，在BC 上取一点E ，沿AE 将△ABE 向上折叠，使B 点落在AD 上的F 处。若四边形EFDC 与矩形ABCD 相 似，则AD= 10、已知∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE 11、点C 、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形 （1）当AC,CD,DB 满足什么关系时，△ACP 与△PDB 相似？ （2）当△ACP 与△PDB 相似时，求∠APB 的度数。 12、在四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ADC=∠ACB=90°， 点E 为AB 的中点 （1）求证:AD AB AC ?=2 （2）求证：CE ∥AD （3）若AD=4，AB=6，求AF AC 的值。 13、在△ABC 中，3 231==ED AE CD BD ，,试求FC AF 的值。 14、一条直线与△ABC 的三边BC ，CA ，AB （或其延长线）分别交 于 点D ，E ，F 求证：1=??FB AF EA CE DC BD 15、在△ABC 中，三条角平分线交于点O ，过点O 作BO 的垂线， 分别交AB ，BC 于M ，N 两点 求证：△AMO ∽△AOC ∽△ONC