2019-2020年高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布
10.3二项式定理学案理
[知识梳理]
1．二项式定理
2．二项式系数的性质
3．常用结论
(1)C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n.
(2)C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.
(3)C1n＋2C2n＋3C3n＋…＋n C n n＝n2n－1.
(4)C r m C0n＋C r－1
m C 1
n＋…＋C
m C
r
n＝C
r
m＋n.
(5)(C0n)2＋(C1n)2＋(C2n)2＋…＋(C n n)2＝C n2n.
[诊断自测]
1．概念思辨
(1)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．( )
(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(a＋b)2n中系数最大的项是
第n 项．( )
(3)(a ＋b )n
某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．( )
(4)若(3x －1)7
＝a 7x 7
＋a 6x 6
＋…＋a 1x ＋a 0，则a 7＋a 6＋…＋a 1的值为128.( ) 答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)× 2．教材衍化
(1)(选修A2－3P 30例1)?
?
?
??2x －
1x 6
的展开式的常数项为( )
A ．－192x 2
B ．240x
C ．－160 D.60x
答案 C
解析 ? ????2x －1x 6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(2x )6－r ? ????－1x r ＝(－1)r 26－r C r 6x 3－r (r ＝
1,2，…，6)，所以当r ＝3时为常数项，此时T 4＝－23
×C 3
6＝－160，故选C.
(2)(选修A2－3P 31例2)二项式?
?
?
??x －1x 10
的展开式中系数最大的项为( )
A ．第六项
B ．第五项和第六项
C ．第五项和第七项
D ．第六项和第七项 答案 C
解析 二项展开式的通项为T r ＋1＝C r
10x
10－r
(－x －12)r ＝(－1)r C r
10·x 10－32
r ，每项系数的
绝对值与对应的二项式系数相等，由二项式系数性质，知展开式中中间一项即第六项的二项式系数最大为C 5
10，但第六项系数为－C 5
10，显然不是最大的．又因第五项和第七项的系数相等且为C 4
10＝C 6
10，再由二项式系数的增减性规律可知选C.
3．小题热身
(1)(xx·全国卷Ⅲ)(x ＋y )(2x －y )5
的展开式中x 3y 3
的系数为( ) A ．－80 B ．－40 C ．40 D ．80 答案 C
解析 因为x 3y 3
＝x ·(x 2y 3
)，其系数为－C 3
5·22
＝－40，
x 3y 3＝y ·(x 3y 2)，其系数为C 25·23
＝80.
所以x 3y 3
的系数为80－40＝40. 故选C.
(2)(xx·山东高考)已知(1＋3x )n 的展开式中含有x 2
项的系数是54，则n ＝________. 答案 4
解析 (1＋3x )n
的展开式的通项为T r ＋1＝C r
n (3x )r
.令r ＝2，得T 3＝9C 2n x 2
.由题意得9C 2
n ＝54，解得n ＝4.
题型1 二项展开式
角度1 求二项展开式中的特定项或系数
典例 (xx·全国卷Ⅰ)(2x ＋x )5的展开式中，x 3
的系数是________．(用数字填写答案)
答案 10 解析 T r ＋1＝C r
5(2x )
5－r
·(x )r
＝2
5－r C r
5
·x 5－r 2，令5－r
2
＝3，得r ＝4，∴T 5＝10x 3
，∴
x 3的系数为10.
角度2 已知二项展开式某项的系数求参数
典例 (xx·湖南高考)已知? ????x －a x 5
的展开式中含x 32的项的系数为30，则a ＝( )
A. 3 B ．－ 3 C ．6 D ．－6 答案 D
解析 ?
?
???x －
a x 5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(x )5－r ·?
????－a x r ＝(－a )r C r
5·x 5－2r 2. 依题意，令5－2r ＝3，得r ＝1， ∴(－a )1
·C 1
5＝30，a ＝－6，故选D. 角度3 多项展开式
典例
(xx·全国卷Ⅰ)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2
的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．60 答案 C
解析 (x 2
＋x ＋y )5
＝[(x 2
＋x )＋y ]5
的展开式中只有C 2
5(x 2
＋x )3y 2
中含x 5y 2
，易知x 5y 2
的系数为C 25C 1
3＝30，故选C.
方法技巧
1．求二项展开式中的特定项或项的系数问题的思路 (1)利用通项公式将T k ＋1项写出并化简．
(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k .
(3)代回通项得所求．见角度1典例．
2．求多项式展开式中的特定项或项的系数问题的方法
(1)对于三项式问题，一般先变形化为二项式，再用通项公式求解，或用组合知识求解．见角度3典例．
(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般对某个因式用通项公式，再结合与其他因式相乘情况求解特定项，或根据因式连乘的规律，结合组合知识求解，但要注意适当地运用分类思想，以免重复或遗漏．见冲关针对训练2.
(3)对于几个多项式和的展开式中的特定项问题，只需依据各个二项展开式中分别得到符合要求的项，再求和即可．
冲关针对训练
1．(xx·湖北高考)若二项式? ??
??2x ＋a x
7的展开式中1x
3的系数是84，则实数a ＝( ) A ．2 B.5
4 C ．1 D.24
答案 C
解析 T r ＋1＝C r 7·(2x )7－r
·? ??
??a x r
＝2
7－r C r 7a r
·
1
x
2r －7
.令2r －7＝3，则r ＝5.由22·C 57a 5
＝84
得a ＝1，故选C.
2．(xx·全国卷Ⅰ)(x －y )(x ＋y )8
的展开式中x 2y 7
的系数为________．(用数字填写答案)
答案 －20
解析 由二项展开式公式可知，含x 2y 7
的项可表示为x ·C 7
8xy 7
－y ·C 68x 2y 6
，故(x －y )(x ＋y )8
的展开式中x 2y 7
的系数为C 7
8－C 6
8＝C 1
8－C 28＝8－28＝－20.
题型2 二项式系数的性质或各项系数的和
典例1
(xx·湖北高考)已知(1＋x )n
的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )
A ．212
B ．211
C ．210
D ．29
答案 D
解析 ∵(1＋x )n
的展开式中第4项与第8项的二项式系数分别为C 3
n ，C 7
n ，∴C 3
n ＝C 7
n ，得
n ＝10.
对(1＋x )10
，
令x ＝1，得(1＋1)10
＝C 0
10＋C 1
10＋C 2
10＋C 3
10＋…＋C 10
10＝210
，① 令x ＝－1，得(1－1)10
＝C 0
10－C 1
10＋C 2
10－…＋C 10
10＝0，② 利用①＋②可得2×(C 0
10＋C 2
10＋…＋C 10
10)＝210
，
∴奇数项的二项式系数和为C 0
10＋C 2
10＋…＋C 10
10＝29
.故选D.
典例2 已知?
?????x ＋124x n 的展开式中前三项x 的系数为等差数列，则二项式系数最大项为________．
答案
358
x 解析 ∵C 0n ＝1，C 1n 1
2＝n 2，C 2n ? ????122＝18n (n －1)，
由题设可知2·n 2＝1＋18
n (n －1)，n 2
－9n ＋8＝0，
解得n ＝8或n ＝1(舍去)．
所以二项式系数的最大项为C 48?
?????x ×124x 4＝358
x . [结论探究] 典例2中条件不变，试求展开式中系数最大的项． 解 设第r ＋1项的系数T r ＋1最大，显然T r ＋1>0， 故有
T r ＋1T r ≥1且T r ＋2
T r ＋1
≤1， ∵T r ＋1T r ＝C r 8·2－r C r －18·2－r ＋1＝9－r 2r
， 由
9－r
2r
≥1，得r ≤3. 又∵T r ＋2T r ＋1＝C r ＋18·2－(r ＋1)
C r 8·2－r
＝8－r 2(r ＋1)
， 由
8－r
2(r ＋1)
≤1，得r ≥2.
∴r ＝2或r ＝3，所求项为T 3＝7x 52和T 4＝7x 7
4.
方法技巧 1．赋值法的应用
二项式定理给出的是一个恒等式，对于a ，b 的一切值都成立．因此，可将a ，b 设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令a ，b 等于多少时，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值．如：
(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m
(a ，b ∈R )的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝1即可．
(2)形如(ax ＋by )n
(a ，b ∈R )的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．见典例1.
2．二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法
(1)一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2
＋…＋a n x n
，则f (x )的展开式中各项系数之和为f (1)． (2)奇数项系数之和为
a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)
2
.
(3)偶数项系数之和为
a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2
.
冲关针对训练
1．设m 为正整数，(x ＋y )2m
展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1
展开式的二
项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8 答案 B
解析 由题意得a ＝C m 2m ，b ＝C m 2m ＋1，所以13C m 2m ＝7C m
2m ＋1，∴13·(2m )！m ！·m ！＝7·(2m ＋1)！m ！·(m ＋1)！
，
∴7(2m ＋1)m ＋1
＝13，解得m ＝6，经检验为原方程的解，故选B.
2．若将函数f (x )＝x 5
表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2
＋…＋a 5(1＋x )5
，其中a 0，
a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________.
答案 10
解析 解法一：(通法)将f (x )＝x 5
进行转化，利用二项式定理求解．
f (x )＝x 5＝(1＋x －1)5，它的通项为T r ＋1＝C r 5(1＋x )
5－r ·(－1)r ，T 3＝C 25(1＋x )3(－1)2＝10(1＋x )3
，
∴a 3＝10.
解法二：(赋值法)对等式f (x )＝x 5
＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2
＋…＋a 5(1＋x )5
两边连续对x 求导三次得：60x 2
＝6a 3＋24a 4(1＋x )＋60a 5(1＋x )2
，再令x ＝－1得60＝6a 3，即a 3＝10.
题型3 二项式定理的应用
典例 (1)求证：n ∈N 且n ≥3时，2n －1
≥n ＋1； (2)求证：3
2n ＋2－8n －9(n ∈N *
)能被64整除；
(3)计算1.056
.(精确到0.01) 解 (1)证明：n ≥3时，2n
＝(1＋1)n
＝1＋n ＋C 2
n ＋…＋n ＋1≥2＋2n ，∴2n －1
≥n ＋1.
(2)证明：原式＝(1＋8)
n ＋1
－8n －9
＝1＋C 1
n ＋181
＋C 2
n ＋182
＋…＋C n ＋1n ＋18n ＋1
－8n －9
＝C 2
n ＋182
＋C 3
n ＋183
＋…＋C n ＋1n ＋18
n ＋1
＝64(C 2
n ＋1＋C 3
n ＋18＋…＋C n ＋1n ＋18
n －1
)．
∵C 2
n ＋1，C 3
n ＋1，…，C n ＋1n ＋1均为自然数，上式各项均为64的整数倍， ∴3
2n ＋2
－8n －9(n ∈N *
)能被64整除．
(3)1.056
＝(1＋0.05)6
＝1＋6×0.05＋15×0.052
＋…＝1＋0.3＋0.0375＋…≈1.34. 方法技巧
二项式定理应用的常见题型及求解策略
1．整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中关注展开式的最后几项，而求近似值则关注展开式的前几项．见本典例(2)．
2．二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式． 3．(a ＋b )n
的展开式共有n ＋1项，故可通过对某些项的取舍来放缩，达到证明不等式的目的．见本典例(1)．
4．利用二项式定理进行近似计算：当n 不很大，|x |比较小时，(1＋x )n
≈1＋nx .若精确度要求较高，则可使用更精确的公式(1＋x )n
≈1＋nx ＋
n (n －1)2
x 2
.见本典例(3)．
冲关针对训练
1－90C 1
10＋902C 2
10－903C 3
10＋…＋(－1)k ·90k C k 10＋…＋9010C 10
10除以88的余数是( ) A ．－1 B ．1 C ．－87 D ．87 答案 B
解析 1－90C 110＋902C 210＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10
＝8810
＋C 1
10889
＋…＋C 9
1088＋1，∵前10项均能被88整除，∴余数是1.故选B.
1．(xx·全国卷Ⅰ)?
??
??1＋1x
2(1＋x )6展开式中x 2
的系数为( )
A ．15
B ．20
C ．30
D ．35 答案 C
解析 因为(1＋x )6的通项为C r 6x r ，所以?
??
??1＋1x 2(1＋x )6展开式中含x 2的项为1·C 26x 2
和
1
x
2
·C 46x 4
.
因为C 26＋C 46＝2C 26＝2×6×52×1＝30，所以? ????1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2
的系数为30.故选C.
2．(xx·山西四校联考)若?
?
?
??x 6
＋
1x x n
的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值等
于( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 答案 C
解析 T r ＋1＝C r n
(x 6)n －r
? ??
??1x x r ＝C r
n x 6n －152r ，当T r ＋1是常数项时，6n －152r ＝0，即n ＝54r ，
又n ∈N *
，故当r ＝4时，n 的最小值为5，故选C.
3．(xx·福建漳州模拟)已知(2x －1)10
＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2
＋…＋a 9x 9
＋a 10x 10
，则a 2＋a 3＋…＋a 9＋a 10的值为( )
A ．－20
B ．0
C ．1
D ．20 答案 D
解析 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝1，再令x ＝0，得a 0＝1，所以a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝0，又易知a 1＝C 9
10×21
×(－1)9＝－20，所以a 2＋a 3＋…＋a 9＋a 10＝20.故选D.
4．(xx·浙江高考)已知多项式(x ＋1)3
(x ＋2)2
＝x 5
＋a 1x 4
＋a 2x 3
＋a 3x 2
＋a 4x ＋a 5，则a 4＝________，a 5＝________.
答案 16 4
解析 a 4是x 项的系数，由二项式的展开式得
a 4＝C 33·C 12·2＋C 23·C 22·22
＝16；
a 5是常数项，由二项式的展开式得a 5＝C 33·C 22·22＝4.
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一、选择题
1．(xx·广东测试)?
????x 2－12x 6
的展开式中，常数项是( )
A ．－54 B.54 C ．－1516 D.1516
答案 D
解析 T r ＋1＝C r 6(x 2)
6－r
? ????－12x r ＝? ????－12r C r 6x 12－3r ，令12－3r ＝0，解得r ＝4.∴常数项为? ??
??－124C 4
6
＝15
16
.故选D.
2．(xx·福建厦门联考)在? ????1＋x ＋1x 201810的展开式中，x 2
的系数为( )
A ．10
B ．30
C ．45
D ．120 答案 C
解析 因为?
?
?
??1＋x ＋
1x 2018
10＝????
??(1＋x )＋1x 201810＝(1＋x )10＋C 110(1＋x )91x
2018＋…＋C 1010? ??
??1x 201810
，
所以x 2
只出现在(1＋x )10的展开式中，所以含x 2的项为C 210x 2，系数为C 2
10＝45.故选C.
3．已知(1＋ax )(1＋x )5
的展开式中x 2
的系数为5，则a ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1 答案 D
解析 由二项式定理得(1＋x )5
的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5·x r
，所以当r ＝2时，(1＋
ax )(1＋x )5的展开式中相应x 2的系数为C 25，当r ＝1时，相应x 2的系数为C 15·a ，所以C 2
5＋
C 1
5·a ＝5，a ＝－1，故选D.
4．(xx·河南百校联盟模拟)(3－2x －x 4
)(2x －1)6
的展开式中，含x 3
项的系数为 ( )
A ．600
B ．360
C ．－600
D ．－360 答案 C
解析 由二项展开式的通项公式可知，展开式中含x 3
项的系数为3×C 3623
(－1)3
－2×C 2
6
22
(－1)4
＝－600.故选C.
5．若? ????x ＋a x ? ??
??2x －1x
5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为( )
A ．－40
B ．－20
C ．20
D ．40 答案 D
解析 令x ＝1，得(1＋a )(2－1)5
＝2，∴a ＝1.
∴? ????2x －1x 5的通项为T r ＋1＝C r 5·(2x )5－r ·? ??
??－1x r ＝(－1)r ·25－r ·C r 5·x 5－2r
.
令5－2r ＝1，得r ＝2.令5－2r ＝－1，得r ＝3.
∴展开式的常数项为(－1)2
×23
·C 2
5＋(－1)3
·22
·C 3
5＝80－40＝40.故选D.
6．在?
?????
x 2－13x n
的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是
( )
A ．－7
B ．7
C ．－28
D ．28 答案 B
解析 由题意知n ＝8，
T r ＋1＝C r 8·? ????x 28－r ·? ?????－13x r ＝(－1)r ·C r 8·x 8－r
28－r ·1x
r 3
＝(－1)r ·C r
8·x 8－r －r
328－r
， 由8－r －r
3
＝0，得r ＝6.
∴T 7＝C 6
8·12
2＝7，即展开式中的常数项为T 7＝7.故选B.
7．(xx·石家庄模拟)若? ????x 2－1ax 9(a ∈R )的展开式中x 9
的系数是－212，则?
?0
a sin x d x 的值
为( )
A ．1－cos 2
B ．2－cos 1
C ．cos 2－1
D ．1＋cos 2
答案 A
解析 由题意得T r ＋1＝C r
9·(x 2)
9－r
·(－1)r ·? ??
??1ax r ＝(－1)r ·C r 9·x 18－3r
·1a r ，令18－3r
＝9，得r ＝3，所以－C 39·1a 3＝－212，解得a ＝2.所以?
?0
a sin x d x ＝(－cos x)2
0＝－cos 2＋cos 0
＝1－cos 2.故选A .
8．设a ∈Z ，且0≤a <13，若51xx
＋a 能被13整除，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．11 D ．12 答案 D
解析 51xx
＋a ＝(52－1)xx
＋a ＝52xx
＋C 1
2018·52xx
·(－1)＋…＋C 2017
2018×52×(－1)xx
＋1＋
a ，
∵52xx
能被13整除，∴只需a ＋1能被13整除即可，∴a ＝12.故选D.
9．(xx·合肥质检)若(x ＋2＋m )9
＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2·(x ＋1)2
＋…＋a 9(x ＋1)9
，且(a 0
＋a 2＋…＋a 8)2
－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2
＝39，则实数m 的值为( )
A ．1或－3
B ．－1或3
C ．1
D ．－3 答案 A
解析 令x ＝0，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2＋m )9
，令x ＝－2，得到a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝m 9
，所以有(2＋m )9m 9
＝39
，即m 2
＋2m ＝3，解得m ＝1或m ＝－3.故选A.
10．(xx·淮北模拟)已知在?
???
??
3x －123x n 的展开式中，第6项为常数项，则展开式中所有的有理项共有( )
A ．5项
B ．4项
C ．3项
D ．2项 答案 C 解析 T r ＋1＝C r
n
x
n －r 3? ??
???
－
123x r ＝C r
n ? ??
??－12r x n －2r 3，由第6项为常数项 ，得当r ＝5时，
n －2r
3＝0，得n ＝10.令10－2r 3＝k ∈Z ，则10－2r ＝3k ，即r ＝5－3
2
k ，故k 应为偶数．又
0≤r ≤10，故k 可取2,0，－2，即r 可取2,5,8.故第3项，第6项与第9项为有理项，故选C.
二、填空题
11．(xx·安徽高考)设a ≠0，n 是大于1的自然数，?
??
??1＋x a
n
的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x
2
＋…＋a n x n
.若点A i (i ，a i )(i ＝0,1,2)的位置如图所示，则a ＝________.
答案 3
解析 根据题意知a 0＝1，a 1＝3，a 2＝4，结合二项式定理得?
??
C 1n ·1a ＝3，C 2
n ·1a
2＝4，
即?
??
n －1＝8
3a ，n ＝3a ，
解得a ＝3.
12．若?
??
??ax 2
＋b x
6
的展开式中x 3
的系数为20，则a 2
＋b 2
的最小值为________．
答案 2
解析 因为二项式?
??
??ax 2
＋b x 6展开后第k 项为C k －16·(ax 2)
7－k
? ??
??b x k －1＝C k －16a 7－k b k －1x 15－3k ，所以当k ＝4时，可得x 3
的系数为20a 3b 3
，即20a 3b 3
＝20，得ab ＝1.故a 2
＋b 2
≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立，此时a 2
＋b 2
取得最小值2.
13．在(1＋x )6
(1＋y )4
的展开式中，记x m y n
项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋
f (1,2)＋f (0,3)＝________.
答案 120
解析 ∵(1＋x )6
展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6x r ，(1＋y )4展开式的通项公式为T h ＋1＝C h
4
y h ，∴(1＋x )6(1＋y )4展开式的通项可以为C r 6C h 4x r y h
.
∴f (m ，n )＝C m 6C n
4.
∴f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝C 3
6＋C 26C 1
4＋C 16C 2
4＋C 3
4＝20＋60＋36＋4＝120. 14．(xx·江西赣州十四县联考)若? ????x ＋13x n 的展开式中前三项的系数分别为A ，B ，C ，
且满足4A ＝9(C －B )，则展开式中x 2
的系数为________．
答案
5627
解析 易得A ＝1，B ＝n
3，C ＝C 2n 9＝n (n －1)18，所以有4＝9? ??
??n 2
－n 18－n 3，即n 2－7n －8＝0，
解得n ＝8或n ＝－1(舍)．在? ????x ＋13x 8中，因为通项T r ＋1＝C r 8x 8－r
·? ????13x r ＝C r
83r x 8－2r ，令8－2r
＝2，得r ＝3，所以展开式中x 2
的系数为5627
.
三、解答题
15．(xx·三亚模拟)已知f n (x )＝(1＋x )n
. (1)若f 2019(x )＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2019x 2019
，求a 1＋a 3＋…＋a xx ＋a 2019的值；
(2)若g (x )＝f 6(x )＋2f 7(x )＋3f 8(x )，求g (x )中含x 6
项的系数．
解 (1)因为f n (x )＝(1＋x )n
， 所以f 2019(x )＝(1＋x )
2019
，
又f 2019(x )＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2019x 2019
，
所以f 2019(1)＝a 0＋a 1＋…＋a 2019＝22019
，①
f 2019(－1)＝a 0－a 1＋…＋a xx －a 2019＝0，②
①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a xx ＋a 2019)＝22019
，
所以a 1＋a 3＋…＋a xx ＋a 2019＝2xx
. (2)因为g (x )＝f 6(x )＋2f 7(x )＋3f 8(x )， 所以g (x )＝(1＋x )6
＋2(1＋x )7
＋3(1＋x )8
.
g (x )中含x 6项的系数为C 66＋2C 67＋3C 6
8＝99.
16．已知? ??
??12＋2x n
，
(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；
(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项． 解 (1)因为C 4
n ＋C 6
n ＝2C 5
n ，所以n 2
－21n ＋98＝0，得n ＝7或n ＝14. 当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5. ∴T 4的系数为C 37? ??
??12423
＝352，
T 5的系数为C 47? ??
??12
324
＝70.
当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8，
∴T 8的系数为C 714? ??
??12727
＝3432.
(2)∵C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，∴n 2
＋n －156＝0， ∴n ＝12或n ＝－13(舍去)． 设T k ＋1项的系数最大，
∵? ????12＋2x 12＝? ??
??1212(1＋4x )12
，
∴{ C k
124k
≥C k －1124
k －1
，C k 124k ≥C k ＋1124
k ＋1
，
解得475≤k ≤525
.
∵k ∈N ，∴k ＝10，∴展开式中系数最大的项为T 11，
T 11＝C 1012·? ??
??12
2·210·x 10＝16896x 10
.
2019-2020年高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布
10.3二项式定理课后作业理
一、选择题
1．(xx·广东测试)?
????x 2－12x 6
的展开式中，常数项是( )
A ．－54 B.54 C ．－1516 D.15
16
答案 D
解析 T r ＋1＝C r 6(x 2)
6－r
? ????－12x r ＝? ????－12r C r 6x 12－3r ，令12－3r ＝0，解得r ＝4.∴常数项为? ??
??－124C 4
6
＝15
16
.故选D.
2．(xx·福建厦门联考)在?
????1＋x ＋1x 2018
10
的展开式中，x 2
的系数为( ) A ．10 B ．30 C ．45 D ．120 答案 C
解析 因为? ?
???1＋x ＋
1x 201810
＝?
?????＋x ＋
1x 2018
10
＝(1＋x )10＋C 110(1＋x )91x 2018＋…＋C 1010? ????1x 201810
，所以x 2
只出现在(1＋x )10的展开式中，所以含x 2
的项为C 2
10x 2
，系数为C 2
10＝45.故选C. 3．已知(1＋ax )(1＋x )5
的展开式中x 2
的系数为5，则a ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1 答案 D
解析 由二项式定理得(1＋x )5
的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5·x r
，所以当r ＝2时，(1＋
ax )(1＋x )5的展开式中相应x 2的系数为C 25，
当r ＝1时，相应x 2的系数为C 15·a ，所以C 25＋C 1
5·a ＝5，a ＝－1，故选D.
4．(xx·河南百校联盟模拟)(3－2x －x 4
)(2x －1)6
的展开式中，含x 3
项的系数为 ( )
A ．600
B ．360
C ．－600
D ．－360 答案 C
解析 由二项展开式的通项公式可知，展开式中含x 3
项的系数为3×C 3623
(－1)3
－2×C 2
6
22(－1)4
＝－600.故选C.
5．若? ????x ＋a x ? ??
??2x －1x
5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为( )
A ．－40
B ．－20
C ．20
D ．40 答案 D
解析 令x ＝1，得(1＋a )(2－1)5
＝2，∴a ＝1.
∴? ????2x －1x 5的通项为T r ＋1＝C r 5·(2x )5－r ·? ??
??－1x r ＝(－1)r ·25－r ·C r 5·x 5－2r
.
令5－2r ＝1，得r ＝2.令5－2r ＝－1，得r ＝3.
∴展开式的常数项为(－1)2
×23
·C 2
5＋(－1)3
·22
·C 3
5＝80－40＝40.故选D.
6．在?
?????
x 2－13x n
的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )
A ．－7
B ．7
C ．－28
D ．28 答案 B
解析 由题意知n ＝8，
T r
＋1
＝C
r 8
·? ??
?
?
x 28－
r
·?
?????－13x r
＝(－1)r ·C
r 8
·
x 8－r
2
8－r
·＝(－
1)r ·C r
8·
，
由8－r －r
3
＝0，得r ＝6.
∴T 7＝C 6
8·12
2＝7，即展开式中的常数项为T 7＝7.故选B.
7．(xx·石家庄模拟)若? ????x 2－1ax 9(a ∈R )的展开式中x 9
的系数是－212，则?
?0
a sin x d x 的值
为( )
A ．1－cos2
B ．2－cos1
C ．cos2－1
D ．1＋cos2
答案 A
解析 由题意得T r ＋1＝C r
9·(x 2)
9－r
·(－1)r ·? ??
??1ax
r ＝(－1)r ·C r 9·x 18－3r
·1a
r ，令18－3r ＝
9，得r ＝3，所以－C 39·1a 3＝－212，解得a ＝2.所以?
?0
a sin x d x ＝(－cos x )2
0＝－cos2＋cos0＝1
－cos2.故选A .
8．设a ∈Z ，且0≤a <13，若51xx
＋a 能被13整除，则a ＝( )
A ．0
B ．1
C ．11
D ．12 答案 D
解析 51xx
＋a ＝(52－1)xx
＋a ＝52xx
＋C 1
2018·52xx
·(－1)＋…＋C 2017
2018×52×(－1)xx
＋1＋a ， ∵52xx
能被13整除，∴只需a ＋1能被13整除即可，∴a ＝12.故选D.
9．(xx·合肥质检)若(x ＋2＋m )9
＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2·(x ＋1)2
＋…＋a 9(x ＋1)9
，且(a 0＋
a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为( )
A ．1或－3
B ．－1或3
C ．1
D ．－3 答案 A
解析 令x ＝0，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2＋m )9
，令x ＝－2，得到a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝m 9
，所以有(2＋m )9m 9
＝39
，即m 2
＋2m ＝3，解得m ＝1或m ＝－3.故选A.
10．(xx·淮北模拟)已知在?
???
??
3x －
123x n 的展开式中，第6项为常数项，则展开式中所有的有理项共有( )
A ．5项
B ．4项
C ．3项
D ．2项 答案 C
解析 T r ＋1＝C r n
x n －r 3? ??
???
－123x r ＝C r
n ?
????－12r x ，由第6项为常数项 ，得当r ＝5时，n －2r 3＝0，得n ＝10.令10－2r 3＝k ∈Z ，则10－2r ＝3k ，即r ＝5－3
2k ，故k 应为偶数．又0≤r ≤10，
故k 可取2,0，－2，即r 可取2,5,8.故第3项，第6项与第9项为有理项，故选C.
二、填空题
11．(xx·安徽高考)设a ≠0，n 是大于1的自然数，?
?
?
??1＋x a n
的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2
＋…
＋a n x n
.若点A i (i ，a i )(i ＝0,1,2)的位置如图所示，则a ＝________.
答案 3
解析 根据题意知
a 0＝1，a 1＝3，a 2
＝4，结合二项式定理得?????
C 1
n
·1
a
＝3，C 2
n ·1
a 2
＝4，
即
???
??
n －1＝83a ，
n ＝3a ，
解得a ＝3.
12．若?
??
??ax 2
＋b x
6
的展开式中x 3的系数为20，则a 2＋b 2
的最小值为________．
答案 2
解析 因为二项式?
??
??ax 2
＋b x
6
展开后第k 项为C k －16·(ax 2)
7－k
? ??
??b x k －1＝C k －16
a 7－k
b k －1x 15－3k ，
所以当k ＝4时，可得x 3的系数为20a 3b 3，即20a 3b 3
＝20，得ab ＝1.故a 2
＋b 2
≥2ab ＝2，当且仅当
a ＝
b ＝1时等号成立，此时a 2＋b 2取得最小值2.
13．在(1＋x )6
(1＋y )4
的展开式中，记x m y n
项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋
f (1,2)＋f (0,3)＝________.
答案 120
解析 ∵(1＋x )6
展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6x r ，(1＋y )4展开式的通项公式为T h ＋1＝C h
4
y h ，∴(1＋x )6(1＋y )4展开式的通项可以为C r 6C h 4x r y h
.
∴f (m ，n )＝C m 6C n
4.
∴f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝C 3
6＋C 26C 1
4＋C 16C 2
4＋C 3
4＝20＋60＋36＋4＝120. 14．(xx·江西赣州十四县联考)若? ????x ＋13x n 的展开式中前三项的系数分别为A ，B ，C ，
且满足4A ＝9(C －B )，则展开式中x 2
的系数为________．
答案
5627
解析 易得A ＝1，B ＝n
3，C ＝C 2
n 9＝
n n －
18
，所以有4＝9? ??
?
?n 2
－n 18－n 3，即n 2－7n －8＝0，
解得n ＝8或n ＝－1(舍)．在? ????x ＋13x 8中，因为通项T r ＋1＝C r 8x 8－r
·? ????13x r ＝C r
83r x 8－2r ，令8－2r ＝
2，得r ＝3，所以展开式中x 2
的系数为5627
.
三、解答题
15．(xx·三亚模拟)已知f n (x )＝(1＋x )n
. (1)若f 2019(x )＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2019x 2019
，求a 1＋a 3＋…＋a xx ＋a 2019的值；
(2)若g (x )＝f 6(x )＋2f 7(x )＋3f 8(x )，求g (x )中含x 6
项的系数．
解 (1)因为f n (x )＝(1＋x )n
， 所以f 2019(x )＝(1＋x )
2019
，
又f 2019(x )＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2019x 2019
，
所以f 2019(1)＝a 0＋a 1＋…＋a 2019＝22019
，①
f 2019(－1)＝a 0－a 1＋…＋a xx －a 2019＝0，②
①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a xx ＋a 2019)＝22019
，
所以a 1＋a 3＋…＋a xx ＋a 2019＝2xx
. (2)因为g (x )＝f 6(x )＋2f 7(x )＋3f 8(x )， 所以g (x )＝(1＋x )6
＋2(1＋x )7
＋3(1＋x )8
.
g (x )中含x 6项的系数为C 66＋2C 67＋3C 6
8＝99.
16．已知? ??
??12＋2x n
，
(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；
(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项． 解 (1)因为C 4
n ＋C 6
n ＝2C 5
n ，所以n 2
－21n ＋98＝0，得n ＝7或n ＝14. 当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5. ∴T 4的系数为C 37? ??
??12423
＝352，
T 5的系数为C 47? ??
??12
324
＝70.
当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8，
∴T 8的系数为C 714? ??
??12727
＝3432.
(2)∵C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，∴n 2
＋n －156＝0， ∴n ＝12或n ＝－13(舍去)． 设T k ＋1项的系数最大，
∵? ????12＋2x 12＝? ??
??1212(1＋4x )12
， ∴?????
C k
124k
≥C k －1124k －1
，C k 124k ≥C k ＋1124k ＋1
，
解得475≤k ≤525
.
∵k ∈N ，∴k ＝10，∴展开式中系数最大的项为T 11，
T 11＝C 1012·? ??
??
12
2·210·x 10＝16896x 10
.
第1次作业 一、填空题 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： ⑴ A 发生，B 与C 不发生为 ABC ； ⑵ A 与B 都发生，而C 不发生为 ABC ； ⑶ A 、B 、C 中至少有一个发生为 A B C U U ； ⑷ A 、B 、C 都发生为 ABC ； ⑸ A 、B 、C 都不发生为 ABC ； ⑹ A 、B 、C 中不多于一个发生为 AB AC BC U U ； ⑺ A 、B 、C 中不多于两个发生为 A B C U U ； ⑻ A 、B 、C 中至少有两个发生为 AB AC BC U U 。 2.设{}1,2,3,4,5,6Ω=，{}2,3,4A =，{}3,5B =，{}4,6C =，那么A B =U {1,2,3,4,6} ，A B = {1,6} ，()A BC = Φ 。 二、选择题 1.设A 、B 为两个事件，则A B +=（ C ）。 A. A B + B. A B - C. AB D. AB 2.设A 、B 为两个事件，若A B ?，则下列结论中（ C ）恒成立。 A. A 、B 互斥 B. A 、B 互斥 C. A 、B 互斥 D. A 、B 互斥 3.用A 表示“甲产品畅销，乙产品滞销”，则A 表示（ C ）。 A. “甲产品滞销，乙产品畅销”； B. “甲、乙产品都畅销”； C. “甲产品滞销或乙产品畅销”； D. “甲、乙产品都滞销”。 三、计算题 1.写出下列随机试验的样本空间： ⑴ 记录一个小班一次数学考试的平均分数(设以百分制记分)； 0,1,,100i S i n n ?? ==? ??? L ，其中n 为小班人数； ⑵ 生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数； {}10,11,S =L ；
计数原理、概率、随机变量及其分布、统计、统计案例 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，P (ξ≤4)＝，则P (ξ≤－2)＝( ) A ． B ． C ． D ． 2．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分) 已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则x ，y 的值分别为( ) A ．2,6 B ．2,7 C ．3,6 D ．3,7 3．将4个颜色互不相同的球全部收入编号为1和2的两个盒 子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有( ) A ．10种 B ．20种 C ．36种 D ．52种 4．已知f (x )、g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，fx gx ＝a x ，f 1g 1＋ f －1 g －1＝52，则关于x 的方程abx 2＋2x ＋5 2＝0(b ∈(0,1))有两个不同实根的概率为( ) 5．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A ．243 B ．252 C ．261 D ．279 6．四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论： ①y 与x 负相关且y ^ ＝－； ② y 与x 负相关且y ^ ＝－＋； ③y 与x 正相关且y ^ ＝＋； ④y 与x 正相关且y ^ ＝－－. 其中一定不正确的结论的序号是( ) A ．①② B ．②③
计数原理 课表要求 1、会用两个计数原理分析解决简单的实际问题； 2、理解排列概念，会推导排列数公式并能简单应用； 3、理解组合概念，会推导组合数公式并能解决简单问题； 4、综合应用排列组合知识解决简单的实际问题； 5、会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题； 6、会用二项式定理求某项的二项式系数或展开式系数，会用赋值法求系数之和。突破方法 1．加强对基础知识的复习，深刻理解分类计数原理、分步计数原理、排列组合等基本概念，牢固掌握二项式定理、二项展开式的通项、二项式系数的性质。2．加强对数学方法的掌握和应用，特别是解决排列组合应用性问题时，注重方法的选取。比如：直接法、间接法等；几何问题、涂色问题、数字问题、其他实际问题等；把握每种方法使用特点及使用范围等。 3．重视数学思维的训练，注重数学思想的应用，在解题过程中注重化归与转化思想的应用，将不同背景的问题归结为同一个数学模型求解；注重数形结合、分类讨论思想、整体思想等，使问题化难为易。 知识点 1、分类加法计数原理 完成一件事，有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……在第n类办法中有m n种不同的方法。那么完成这件事共有：N=m1+m2+……+m n种不同的方法。 注意：（1）分类加法计数原理的使用关键是分类，分类必须明确标准，要求每一种方法必须属于某一类方法，不同类的任意两种方法是不同的方法，这时分类问题中所要求的“不重复”、“不遗漏”。 （2）完成一件事的n类办法是相互独立的。从集合角度看，完成一件事分A、B两类办法，则A∩B=?,A∪B=I（I表示全集）。 （3）明确题目中所指的“完成一件事”是指什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算是完成这件事。 2、分步乘法计数原理 完成一件事，需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有：N=m1·m2·……·m n种不同的方法。 注意：（1）明确题目中所指的“做一件事”是什么事，单独用题中所给的某种方法是不是能完成这件事，是不是要经过几个步骤才能完成这件事。 （2）完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少哪一步，这件事都不可能完成。 （3）根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步去
1 .掷一颗均匀骰子，设A表示所掷结果为“四点或五点”，B表示所 P(A)和P(B)。 2.货架上有外观相同的商品15件，其中12件来自甲产地，3件来自乙产地。先从15件商品中随机的抽取两件，求这两件商品来自同一产地的概率。 3.一批灯泡共100只，其中10只是次品，其余是正品。作不放回抽取，每次取一只，求第三次取到正品的概率。 4.8只步枪中有5只已校准过，3只未校准。一名射手用校准过的枪射击时，中靶的概率为0.8；用未校准的枪射击时，中靶的概率为0.3.现从8只步枪中任取一只用于射击，结果中靶。求所用的枪是校准过的概率。 5.甲乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别是0.9和0.8。求每人射击一次后，目标被射中的概率。 6.写出下列随机试验的样本空间：（2)掷一颗均匀的骰子两次，观察前后两次出现的点数之和；（3）观察某医院一天内前来就诊的人数；（5)检查两件产品是否合格； 7.设A,B,C为三事件，用A,B,C的运算关系表示下列各事件： （1）A与B都发生,但C 不发生； （2）A发生，且B与C 至少有一个发生； （3）A,B,C 中至少有一个发生； （4）A,B,C 中恰有一个发生； （5）A,B,C中至少有两个发生；
（6）A,B,C中至多有一个发生； （7）A,B,C中至多有两个发生； （8）A,B,C中恰有两个发生； 8.若W表示昆虫出现残翅，E表示昆虫有退化性眼睛，且P(W)=0.125,P(E)=0.075,P(WE)=0.025,求下列事件的概率： （1）昆虫出现残翅或退化性眼睛； （2）昆虫出现残翅，但没有退化性眼睛； （3）昆虫未出现残翅，也无退化性眼睛； 9.计算下列各题： （1)设P(A)=0.5,P(B)=0.3,P(AB）=0.6,求P(AˉB); （2)设P(A)=0.8,P(A-B)=0.3,求P(ˉAB）； 10.掷一颗均匀的骰子两次，求前后两次出现的点数之和为3，4，5的概率各是多少？ 11.在整数0，1，2....9中任取三个数，求下列事件的概率： （1）三个数中最小的一个是5； （2）三个数中最大的一个是5； 13.12个乒乓球中有4只是白色的，8只是黄色的。现从这12只乒乓球中随机的取出两只，求下列事件的概率： （1）取到两只黄球；（2）取到两只白球；（3）取到一只白球，一只黄球。 14.已知P(A)=0.7,P(B)=0.4 ,P(AˉB)=0.5,求P(AuB|B). 15.已知P(A)=0.6,P(B)=0.4 ,P(A|B)=0.5，计算下列二式：
数学高考《计数原理与概率统计》复习资料 一、选择题 1．某光学仪器厂生产的透镜，第一次落地打破的概率为0.3；第一次落地没有打破，第二次落地打破的概率为0.4；前两次落地均没打破，第三次落地打破的概率为0.9．则透镜落地3次以内（含3次）被打破的概率是（ ）． A ．0.378 B ．0.3 C ．0.58 D ．0.958 【答案】D 【解析】 分析：分别利用独立事件的概率公式求出恰在第一次、恰在第二次、恰在第三次落地打破的概率，然后由互斥事件的概率公式求解即可. 详解：透镜落地3次，恰在第一次落地打破的概率为10.3P =， 恰在第二次落地打破的概率为20.70.40.28P =?=， 恰在第三次落地打破的概率为30.70.60.90.378P =??=， ∴落地3次以内被打破的概率1230.958P P P P =++=．故选D ． 点睛：本题主要考查互斥事件、独立事件的概率公式，属于中档题. 解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要. 2．安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有（ ） A ．100种 B ．60种 C ．42种 D ．25种 【答案】C 【解析】 【分析】 给三个社区编号分别为1，2，3，则甲可有3种安排方法，剩下的两个再进行分步计数，从而求得所有安排方式的总数. 【详解】 甲可有3种安排方法， 若甲先安排第1社区， 则第2社区可安排1个、第3社区安排3个，共1 3 43C C ?； 第2社区2个、第3社区安排2个，共22 42C C ?； 第2社区3个，第3社区安排1个，共11 41C C ?； 故所有安排总数为132211 4342413()42C C C C C C ??+?+?=. 故选：C.
【高中数学】数学《计数原理与概率统计》复习知识要点 一、选择题 1．某地区甲、乙、丙三所单位进行招聘，其中甲单位招聘2名，乙单位招聘2名，丙单位招聘1名，并且甲单位要至少招聘一名男生，现有3男3女参加三所单位的招聘，则不同的录取方案种数为（ ） A ．36 B ．72 C ．108 D ．144 【答案】D 【解析】 【分析】 按三步分步进行，先考虑甲单位招聘，利用间接法，因为至少招聘一名男生，将只招女生 的情况去掉，录取方案数为22 63C C -，然后剩余四人依次分配给乙单位和丙单位，分别为 24C 、2 2C ，然后根据分步乘法计数原理将三个数相乘可得出答案。 【详解】 根据题意，分3步进行分析： ①单位甲在6人中任选2人招聘，要求至少招聘一名男生，有226312C C -=种情况， ②单位乙在剩下的4人中任选2人招聘，有246C =种情况， ③单位丙在剩下的2人中任选1人招聘，有1 2 2C =种情况， 则有1262144??=种不同的录取方案； 故选：D ． 【点睛】 本题考查排列组合问题，将问题分步骤处理和分类别讨论，是两种最基本的求解排列组合问题的方法，在解题的时候要审清题意，选择合适的方法是解题的关键，着重考查学生分析问题和解决问题的能力，属于中等题。 2．已知函数，在区间 内任取一点，使 的概率为（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出的取值范围，再利用几何概型相关公式即可得到答案. 【详解】 由 得，故 或 ，由 ，故 或 ，故使 的概率为 . 【点睛】 本题主要考查几何概型的相关计算，难度一般.
3．安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有（ ） A ．100种 B ．60种 C ．42种 D ．25种 【答案】C 【解析】 【分析】 给三个社区编号分别为1，2，3，则甲可有3种安排方法，剩下的两个再进行分步计数，从而求得所有安排方式的总数. 【详解】 甲可有3种安排方法， 若甲先安排第1社区， 则第2社区可安排1个、第3社区安排3个，共1 3 43C C ?； 第2社区2个、第3社区安排2个，共22 42C C ?； 第2社区3个，第3社区安排1个，共11 41C C ?； 故所有安排总数为132211 4342413()42C C C C C C ??+?+?=. 故选：C. 【点睛】 本题考查分类与分步计数原理、组合数的计算，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 4．下列等式不正确的是（ ） A ．111 m m n n m C C n ++=+ B ．121 11m m m n n n A A n A +-+--= C ．1 1m m n n A nA --= D ．1(1)k k k n n n nC k C kC +=++ 【答案】A 【解析】 【分析】 根据排列和组合公式求解即可. 【详解】 根据组合公式得1 1!1(1)!1!()!1(1)!()!1 m m n n n m n m C C m n m n m n m n +++++==?=-++-+，则A 错误； 根据排列公式得 1221 11(1)!!!(1)!(11)()!()!()!()! m m m n n n n n n n A A n n n A n m n m n m n m +-+-+--= -=+-=?=----，则B 正 确； 根据排列公式得1 1!(1)!()!()! m m n n n n A n nA n m n m ---= =?=--，则C 正确；
高中数学教案：计数原理 教学目标： 对差不多概念，差不多知识和差不多运算的把握 注重对分析咨询题和解决咨询题的能力的培养 对综合咨询题要注意数学思想的培养 教学重难点： 对两个差不多计数原理的把握和运用 排列组合以及二项式定理典型题解题技巧 教学设计： 知识网络： 一、两个差不多计数原理： 1、分类计数原理：完成一件事，有n 类方法,在第一类方法中有m1种不同的方法,在第二类方法中有m2种不同的方法，……，在第n 类方法中有mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N=m1+m2+…+mn 种不同的方法。〔加法原理〕 2、分步计数原理：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n 步有mn 种不同的方法，那么完成这件事有 N=m1×m2×…×mn 种不同的方法。〔乘法原理〕 二、排列 排列：一样地，从n 个不同的元素中取出m 〔m ﹤n 〕个元素，并按一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。 注意：1、排列的定义中包含两个差不多内容：①〝取出元素〞；②〝按照一定顺序排列〞，〝一定顺序〞确实是与位置有关，这也是判定一个咨询题是不是排列咨询题的重要标志。 2、依照排列的定义，两个排列相同，是指当且仅当两个排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也相同 排列数公式： )!(!)1()2()1(m n n m n n n n A m n -=+-???-?-?= !12)2()1(n n n n A n n =????-?-?= 三、组合 组合：一样地，从n 个不同元素中取出m 个不同元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的一个组合。 组合数公式： 〔组合数公式1—适用于运算〕 〔组合数公式2—适用于化简证明〕 组合数公式性质：性质1: m n n m n C C -= ! )1()2)(1(m m n n n n m m m n m n C +---=A =A ! )(! ! m n m n C m n -=
专题10 概率与统计 1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A ．0.5 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.8 【答案】C 【解析】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C ． 【名师点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题． 2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数 C ．方差 D ．极差 【答案】A 【解析】设9位评委评分按从小到大排列为1234 89x x x x x x <<<<<． 则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x 后剩余2348x x x x <<<<，中位数仍为5x ， A 正确； ②原始平均数1234891 ()9x x x x x x x = <<<<<，后来平均数234 81 ()7 x x x x x '=<<<，平均数 受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确； ③2 222111 [()()()]9q S x x x x x x = -+-++-，22222381 [()()()]7 s x x x x x x '=-'+-'+ +-'，由② 易知，C 不正确； ④原极差91x x =-，后来极差82x x =-，显然极差变小，D 不正确．故选A ． 3．【2019年高考浙江卷】设0＜a ＜1，则随机变量X 的分布列是
选修2-3定理概念及公式总结 第一章基数原理 1.分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 N=m 1+m 2+……+m n 种不同的方法 2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事有N=m 1×m 2×……m n 种不同的方法 分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整” 3.两个计数原理的区别: 如果完成一件事，有n 类办法，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事,用分类计数原理， 如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要完成所有步骤才能完成这件事，是分步问题,用分步计数原理. 4.排列:从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素并按一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. （1）排列数: 从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列的个数.用符号m n A 表示 （2）排列数公式:)1()2)(1(+-???--=m n n n n A m n 用于计算， 或m n A )! (! m n n -=() n m N m n ≤∈*,, 用于证明。 n n A =!n =()1231????- n n =n(n-1)! 规定0！=1 5.组合：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合 （1）组合数: 从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，用m n C 表示 （2）组合数公式: (1)(2)(1) ! m m n n m m A n n n n m C A m ---+== 用于计算， 或)! (!! m n m n C m n -= ),,(n m N m n ≤∈*且 用于证明。
概率与统计、计数原理专题分析 高中数学课程中的“统计与概率”部分被安排在必修3和选修2-3，历来被老师认为易教、被学生认为易学，一线教师大多走马观花一带而过，以便腾出时间深挖其他章节内容．2017年全国高考概率与我们如约而至，常规内容紧密结合社会实际，以现实生活为背景设置试题，体现数学在解决实际问题中的巨大作用和应用价值，体现高考改革中加强应用性、实贱性的特点．研宄近几年高考试卷中“统计与概率试题，被认为“送分题”分数送不出去的尴尬，引发深思，促使我们重新审视“统计与概率”内容，深感“简单”的内容不简单！ 一、专题考点分析 1.考点分析 2017年高考数学试题，概率与统计、计数原理部分考查的知识点覆盖面广，各卷考查知识点如下. （1）全国Ⅰ卷. 文科：样本的数字特征、几何概型、相关系数、方差均值计算； 理科：几何概型、二项式定理、正态分布、随机变量的期望和方差 （2）全国Ⅱ卷 文科：古典概型、频率分布直方图的应用； 理科：排列与组合、随机变量的期望、独立事件概率公式、独立性检验、频率分布直方图估计中位数. （3）全国Ⅲ卷. 文科：折线图、古典概型； 理科：折线图、离散型随机变量的分布列、数学期望 （4）北京卷. 文科：频率分布直方图的应用；理科：散点图的应用、古典概型、超几何分布、方差 （5）天津卷 文科：古典概型；理科：排列与组合、离散型随机变量的概率分布列及数学期望 （6）江苏卷 几何概型、分层抽样古典概型排列组合、随机变量及其分布、数学期望 （7）浙江卷 随机变量的期望和方差、二项式定理 （8）山东卷 文科：茎叶图、样本的数字特征、古典概型； 理科：回归直线方程、古典概型、随机变量的分布列与数学期望、超几何分布 2. 题量与分值分析 每年全国各地区的高考中都会有各种类型的概率题出现，分值占整套试卷总分的 8%～14%. 2017年各卷考查的题型及分值情况如下 （1）全国Ⅰ卷文、理科分别考查两道选择题和一道解答题，总分值均为22分 （2）全国Ⅱ卷文科考查一道选择题和一道解答题，总分值为17分；理科考查两道选择题和一道解答题，总分值为22分. （3）全国Ⅲ卷文、理科分别考查一道选择题和一道解答题，总分值均为17分. （4）北京卷文科考查一道解答题，分值为13分；理科考查一道填空题和一道解答题，总分值为18分. （5）天津卷文、理科分别考查一道选择题和一道解答题，总分值均为18分. （6）江苏卷考查两道填空题和一道解答题，总分值为20分.
计数原理（讲义） ? 知识点睛 一、两个计数原理 1. 全排列：n 个不同元素全部取出的排列，叫做n 个不同元素的一个全排列， A (1)(2)21n n n n n n =?-?-???=L ！ 即正整数1到n 的连乘积叫做n 的阶乘，用n ！表示． A ()m n n n m =-！！，A !C !()!A m m n n m m n m n m ==-， 规定0!1=，0C 1n =． 2. 组合数的性质 C C m n m n n -=，11C C C m m m n n n -+=+． ? 精讲精练 1. 从A 地到B 地要经过C 地和D 地，从A 地到C 地有3条路，从C 地到D 地有2条路，从D 地 到B 地有4条路，则从A 地到B 地的不同走法共有（ ）种．
A ．3+2+4=9 B ．1 C ．3×2×4=24 D ．1+1+1=3 2. 设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动的方案有a 种，这4名学生在运动会上共同争 夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b 种，则(a ，b )为（ ） A ．(34，34) B ．(43，34) C ．(34，43) D ．3344(A A )， 3. 填空： （1）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有______种． （2）某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成，若要选出不同年级的两人参加市里组织的某项活动，则不同的选法共有______种． （3）从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装与组装计算机各两台，则不同的取法有_____种． （4）在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的为_____种（结果用数值表示）． 4. 填空： （1）用0到9这10个数字，可组成________个没有重复数字的四位偶数． （2）6个人从左至右排成一行，若最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有________种． （3）某运输公司有7个车队，每个车队的车均多于4辆且型号相同，现从这个车队中抽调出10辆车，并且每个车队至少抽调一辆，则不同的抽调方法共有________种．
《计数原理》练习 一、选择题 1.书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书，从中任取数学书和语文书各一本，则不同的取法种数有（ ） A 11 B 30 C 56 D 65 2.在平面直角坐标系中，若{}{}1,2,3,3,4,5,6x y ∈∈，则以(),x y 为坐标的点的个数为（ ） A 7 B 12 C 64 D 81 3.若()12n x +的展开式中，3x 的系数是x 系数的7倍，则n 的值为（ ） A 5 B 6 C 7 D 8 4.广州市某电信分局管辖范围的电话号码由8位数字组成，其中前3位是一样的，后5位数字都是0～9这10个数字中的一个，那么该电信分局管辖范围内不同的电话号码个数最多有（ ） A 50 B 30240 C 59049 D 100000 6.按血型系统学说，每个人的血型为A ，B ，O ，AB 型四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB 型时，其子女的血型一定不是O 型，如果某人的血型为O 型，则该人的父母血型的所有可能情况种数有（ ） A 6 B 7 C 9 D 10 7.计算0121734520C C C C ++++L 的结果为（ ） A 421C B 321 C C 320C D 420C 8.一个口袋内装有4个不同的红球，6个不同的白球，若取出一个红球得2分，取出一个白球得1分，问从口袋中取出5个球，使总分不少于7分的取法种数有（ ） A 15 B 16 C 144 D 186 二、填空题 9.开车从甲地出发到丙地有两种选择，一种是从甲地出发经乙地到丙地，另一种是从甲地出发经丁地到丙地。其中从甲地到乙地有2条路可通，从乙地到丙地有3条路可通；从甲地到丁地有4条路可通，从丁地到丙地有2条路可通。则从甲地到丙地不同的走法共有 种。 10.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 种。 14.()()5 211x x +-的展开式中3x 的系数为
单选 题(共 40 分) 1、在假设检验问题中，犯第一类错误的概率α的意义是（ ） (C) A、在H0不成立的条件下，经检验H0被拒绝的概率 B、在H0不成立的条件下，经检验H0被接受的概率 C、在H0成立的条件下，经检验H0被拒绝的概率 D、在H0成立的条件下，经检验H0被接受的概率 2、设,AB是两个事件,且P(A)≤P(A|B),则有 (C) A、P(A)=P(A|B) B、P(B)>0 C、P(A|B)≥P(B) D、设,AB是两个事件 3、某中学为迎接建党九十周年,举行了”童心向党,从我做起”为主题的演讲比赛.经预赛,七、八年纪各有一名同学进入决赛,九年级有两名同学进入决赛,那么九年级同学获得前两名的概率是（ ）(A) A、1/6. B、1/5. C、1/4. D、1/3. 4、设,,ABC是三个相互独立的事件，且0
(十三) 计数原理、概率统计(理科)(样稿) 华南师范大学附中罗华张琪 A 组 (1) C22+C23+C24+…+C210= (A) 990 (B) 165 (C) 120 (D) 55 B (2)把3 个不同的小球随意地放入4 个不同的盒子内，则3 个小球恰在三个不同的盒子内的概率为 (A) 3 4(B) 4 5(C) 3 8(D) 7 16 C (3)某学校要派遣6位教师中的4位去参加一个学术会议，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则派遣教师的不同方法数共有 A．7种 B．8种C．9种 D．10种 C (4)将3 种农作物都种植在如图的4 块试验田里，每块种植一种农作物，要求相邻的试验田不能种植同一种作物，则不同的种植方法共有几种 (A) 6 (B) 12 (C) 18 (D) 24 C C13C12(1+2) (5)四人报名参加跑步、跳高、和游泳比赛，每人限报一项，不同的报名结果有种？ 34 (6) (1 + x) 30的展开式中，系数最大的项是第__________项。 16； (7) 平面内有10个点，其中每3点不共线，以其中任意2个点为端点的线段有_________条，有向线段有_________条. C210=45 ; A210=90 (8) 某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论： ①他第3次击中目标的概率是0.9； ②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1 ③他至少击中目标1次的概率是1－0.14 其中正确结论的序号是（写出所有正确结论的序号）． ①③ (9) 这是高考第一批录取的一份志愿表。有4所重点院校，每所院校有3个专业是你较为满 意的选择。若表格须填满且规定学校没有重复、同一学校的专业也没有重复的话。你将有种不同的填写方案？
专项-排列组合 知识点 一、排列 定义:一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中 取出m 个元素的一个排列；排列数用符号m n A 表示 对排列定义的理解： 定义中包括两个基本内容：①取出元素②按照一定顺序。因此，排列要完成的“一件事情”是“取出m 个元素，再按顺序排列” 相同的排列：元素完全相同，并且元素的排列顺序完全相同。若只有元素相同或部分相同，而排列顺序不相同，都是不同的排列。比如abc 与acb 是两个不同的排列 描述排列的基本方法：树状图 排列数公式：),)(1()2)(1(*∈+-???--=N m n m n n n n A m n 我们把正整数由1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，用!n 表示，即12)2()1(!??????-?-?=n n n n ，并规定1!0=。 全排列数公式可写成!n A n n =. 由此，排列数公式可以写成阶乘式： )!(!)1()2)(1(m n n m n n n n A m n -= +-???--=（主要用于化简、证明等） 二、组合 定义:一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合；组合数用符号m n C 表示 对组合定义的理解： 取出的m 个元素不考虑顺序，也就是说元素没有位置要求，无序性是组合的特点. 只要两个组合中的元素完全相同，则不论元素的顺序如何，都是相同的组合.只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合 排列与组合的区别：主要看交换元素的顺序对结果是否有影响，有影响就是“有序”，是排列问题；没影响就是“无序”，是组合问题。 组合数公式： ),()!(!!!)1()2)(1(n m N m n m n m n m m n n n n A A C m m m n m n ≤∈-=+-???--==*，且 变式：),,()! ()1()2)(1()!(!!n m N m n C m n m n n n m n m n C m n n m n ≤∈=-+???--=-= *-且
【高中数学】计数原理总结 知识梳理： 1. 分类加法计数原理和分布乘法计数原理 (1)如果完成一件事有n 类不同的方案，在第一类中有m1种不同的方法，在第二类中有m2种不同的方法，…，在第n 类中有mn 种不同的方法,那么完成这件事共有N=_________种不同的方法。 (2)如果完成一件事需要n 个不同的步骤，在第一步中有m1种不同的方法，在第二步中有m2种不同的方法，…，在第n 步中有mn 种不同的方法,那么完成这件事共有N=_________种不同的方法。 (3)分类和分布的区别，关键是看事件能否完成，事件完成了就是___________；必须要连续若干步才能完成则是 _____________。分类要用分类计数原理将种数_________，分步要用分步计数原理将种数_________。 2. 排列与组合 (1)排列 (1)(2)(1)()(1)321(1)(2)(1)()(1)321 !()! m n n n n n m n m n m A n n n n m n m n m n n m ---+---??=---+= ---??=- (1)(2)(!()!m n A n n n n n n m =--=- (2)组合 ①组合数公式(1)(2)(1)!()(1)321()!! m n n n n n m n C n m n m n m m ---+==---??- ①组合数的两个性质_______ _ ____、 。 ③区别排列与组合 3. 常见的解题策略有以下几种： (1)特殊元素优先安排的策略 (2)合理分类和准确分布的策略 (3)排列、组合混合问题先选后排的策略 (4)正难则反、等价转化的策略 (5)相邻问题捆绑的策略 (6)不相邻问题插空处理的策略 (7)定序问题除法处理的策略 (8)分排问题直排处理的策略 (9)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略 (10)构造模型的策略。 4. 二项式定理 (1)二项式定理：)()(1110*--∈+++++=+N n b C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n n n (2)通项：展开式的第1+r 项，即) ,,1,0(1n r b a C T r r n r n r ==-+ (3)二项式系数的性质： ①对称性：在二项展开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等。即 ①增减性与最值：二项式系数先增后减且在中间取得最大值 当n 是偶数时，中间一项取得最大值2n n C 当n 是奇数时，中间两项相等且同时取得最大值21-n n C =21+n n C ③二项式系数的和： 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和。即 m n n m n C C -=n n n k n n n n C C C C C 2 210 =+???++???+++∴ 0213n-1n n n n C +C +=C +C +=2
1.1 两个基本计数原理 1．分类计数原理 完成一件事，有n 类方式，在第1类方式中有m 1种不同的方法，在第2类方式中有m 2种不同的方法，……，在第n 类方式中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m 1＋m 2＋…＋m n 种不同的方法．分类计数原理又称为加法原理． 预习交流1 应用分类计数原理的原则是什么？ 提示：做一件事有n 类方式，每一类方式中的每一种方法均完成了这件事． 2．分步计数原理 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m 1种不同的方法，做第2步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m 1×m 2×…×m n 种不同的方法．分步计数原理又称为乘法原理． 预习交流2 应用分步计数原理的原则是什么？ 提示： 做一件事要分n 个步骤完成，只有所有步骤完成时，才完成这件事，也就是说，每一步骤中每种方法均不能完成这件事． 一、分类计数原理问题 从甲地到乙地每天有火车3班，汽车8班，飞机2班，轮船2班，问一天内乘坐班次不同的运输工具由甲地到乙地，有多少种不同的走法？ 思路分析：由于每班火车、汽车、飞机、轮船均能实现从甲地到乙地，因此利用分类计数原理．
解：根据运输工具可分四类： 第1类是乘坐火车，有3种不同的走法； 第2类是乘坐汽车，有8种不同的走法； 第3类是乘坐飞机，有2种不同的走法； 第4类是乘坐轮船，有2种不同的走法； 根据分类计数原理，共有不同的走法的种数是N＝3＋8＋2＋2＝15. 设有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画．从这些画中只选一幅布置房间，有__________种不同的选法． 答案：14 解析：根据分类计数原理，不同的选法有N＝5＋2＋7＝14种． 如果完成一件事有n类方式，每类方式彼此之间是相互独立的，无论哪一种方式的每种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类计数原理(加法原理)． 二、分步计数原理问题 有三个盒子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个，现从盒子里任取红、白、黄小球各1个，有多少种不同的取法？ 思路分析：要从盒子里取到红、白、黄小球各1个，应分三个步骤，并且这三个步骤均完成时，才完成这件事，故应用分步计数原理． 解：分三步完成： 第1步是取红球，有6种不同的取法； 第2步是取白球，有5种不同的取法； 第3步是取黄球，有4种不同的取法； 根据分步计数原理，不同取法的种数为N＝6×5×4＝120. 现有高一学生9人，高二学生12人，高三学生7人自发组织参加数学课外活动小组，为便于管理，每年级各选一名组长，有__________种不同的选法． 答案：756 解析：根据分步计数原理有N＝9×12×7＝756种不同的选法． 如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数就用分步计数原理(乘法原理)． 1．两个书橱，一个书橱内有7本不同的小说，另一个书橱内有5本不同的教科书．现从两个书橱任取一本书的取法有__________种． 答案：12 解析：根据分类计数原理，不同的取法有N＝7＋5＝12种． 2．教学大楼有5层，每层均有2个楼梯，由1楼到5楼的走法有__________种． 答案：16 解析：根据分步计数原理，不同的走法有N＝2×2×2×2＝16种． 3．现有高一学生9人，高二学生12人，高三学生7人，从中推选两名来自不同年级的
第1章随机事件及其概率 （1）排列组合公式 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 （2）加法和乘法原理 加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题 （4）随机试验和随机事件 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 （5）基本事件、样本空间和事件 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。 一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是的子集。为必然事件，?为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。（6）事件的关系与运算 ①关系： 如果事件A 的组成部分也是事件B 的组成部分，（A 发生必有事件B 发生）：如果同时有， ，则称事件A 与事件B 等价，或称A 等于B ： A=B 。 A、B 中至少有一个发生的事件：A B ，或者A +B 。 属于A 而不属于B 的部分所构成的事件，称为A 与B 的差，记为A-B ，也 可表示为A-AB 或者 ，它表示A 发生而B 不发生的事件。 A、B 同时发生：A B ，或者AB 。A B=?，则表示A 与B 不可能同时发 生，称事件A 与事件B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。