复数的乘法及其几何意义教案1
教学目标
1．掌握用复数的三角形式进行乘法运算的法则及其推导过程．
2．掌握复数乘法的几何意义．
3．让学生领悟到“转化”这一重要数学思想方法．
4．培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力．
教学重点与难点
重点：复数的三角形式是本节内容的出发点，复数的乘法运算．
难点：复数乘法运算的几何意义，不易为学生掌握．
教学过程设计
师：前面我们学习了复数的代数形式的运算和复数的三角形式，请大家用5分钟的时间，完成以下两道题的演算．
(利用投影仪出示)
1．(1－2i)(2＋i)(4＋3i)；
(5分钟后)
师：第1题检查了复数乘法运算，答案是25，第2题检查了复数的三角形式概
请同学们再考虑下面一个问题：
如果把复数z1，z2分别写成
想出算法后，请大家在笔记本上演算，允许同学之间交换意见．
(教师在教室里巡视，稍过几分钟，请一位已经做完的同学在黑板上写出推导过程)
学生板演：
师：很好，你是怎样想出来的？为什么这样想？
生：我们已经学过复数的代数形式运算，因此把三角形式化为代数形式，按着代数形式的乘法运算法则就可以完成运算．根据数学求简的原则，运用三角公式把结果化简．
在已知的基础上发展和探索未知的东西，解题时，把未知转化成已知，这是重要的思想方法．我是根据这个思想才想出来的．
师：观察这个问题的已知和结论，同学们能发现有什么规律吗？
生：两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的复角等于各复数的辐角的和．
师：利用这个结论，请同学们计算：
大家把计算过程写在笔记本上．
(教师请一位同学在黑板上板演)
教师提示：由于复数定义是形如a＋bi(a，b∈R)的数，如果辐角是特殊角或特殊角的终边相同角，要化成代数形式．即
师：同学们已经发现，复数的三角形式的乘法运算若用
r1(cosθ1＋isinθ1)·r2(cosθ2＋isinθ2)=r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]
计算，简便得多．
这就是复数的三角形式乘法运算公式．
三角形式是由模和辐角两个量确定的，进行乘法运算时要清楚模怎样算？辐角怎样算？
使用复数的三角形式进行运算的条件是复数必须是三角形式的标准式，辐角不要求一定是主值．
同学们已经了解，复数通过几何表示，把复数与复平面内的点或从原点出发的向量建立起一一对应后，复数不仅取得了实际的解释，而且确实逐步展示了它的广泛应用．我们已经研究了复数加、减法的几何意义，并感觉到了它的用途，请大家讨论一下，学习了复数的三角形式运算对复数乘法的几何意义有什么启发呢？
(同学分组讨论，请小组代表发言．如果条件允许，在学生发言同时，用多媒体辅助教学，演示模伸缩情况，辐角终边的旋转)
生：复数的乘法对应的向量，就是由对应于被乘数所对应的向量按逆时针方向旋转一个角θ2(θ2＞0，如果θ2＜0，按顺时针方向旋转一个角|θ2|，再把其模变为原来的r2倍(r2＞1，应伸长；0＜r2＜1，应缩短；r2=1，模长不变)，所得的向量就表示积z1·z2．这是复数乘法的几何意义．
图形演示(如图8－7)： =·．
师：现在我们研究问题．如图8－8，向量OZ与复数－1＋i对应，把按逆时针方向旋转120°，得到．求与向量对应的复数．请同学们想一想．生：这是形数结合问题，给的题设情境是向量旋转，根据复数乘法的几何
意义，将向量逆时针方向旋转120°，得到，由于模未发生变化，应当是
对应复数乘以1·(cos120°＋isin120°)．
师：解此题复数是否一定化成三角形式？
生：复数与从原点出发的向量建立了一一对应关系，无论是代数形式还是三角形式都表示同一个复数和向量，运算结果是一个数，因此不一定化成三角形式，应根据需要来选择．
师：说得好，请同学们写一下解题过程．
(找一名同学到黑板板演)
解：所求的复数就是－1＋i乘以一个复数z0的积，这个复数z0的模是1，辐角的主值是120°．所求的复数是：
(－1＋i)·1·(cos120°＋isin120°)
师：为了巩固刚讨论过的复数三角形式的乘法运算公式及复数乘法的几何意义，请同学们继续完成以下练习．
(使用投影仪，映出练习题)
2．已知复数z0所对应的向量0，通过作图，画出下列复数z所对应的向量．
(教师在教室里巡视，请三位演算错误的同学板演．)
师：这三位同学计算和画图对不对？如果有错误，错在哪里？怎样改正？
师：一人教训大家吸取，千万用复数三角形式的标准式进行复数三角形式的乘法运算．
哪位同学改正一下：
师：板演第1题的两位同学都注意到，不能直接使用三角形式进行加、减法计算，需化成代数形式才得以进行．
接下来看第2题的第(1)小题．
生丙：第(1)题画错了，应当把向量按逆时针方向旋转60°，可板演图只转30°．
师：为什么？
生丙：乘数sin30°＋icos30°不是复数三角形式的标准式，应化为cos60°＋isin60°，这样才能应用复数乘法的几何意义来解题．
师：同学们应注意到旋转的角度是辐角来确定的，而辐角的大小又是由复数的三角形式的标准式来确定．
现在看第2题的第(2)小题，将逆时针旋转120°正确吗？为什么？
说明模没有变化，只是把向量绕原点O按逆时针旋转120°．
师：向量画的正确吗？若不正确，应当怎么画？
生戊：不正确，旋转120°后，取其反方向的向量，模不变，得到．也
可以先取的反方向的向量，再逆时针旋转120°．
师：回答得很好，现在我们研究一道几何图形习题的解法，请看题目：
已知复平面内一个正方形的两个相邻顶点对应的复数分别为1＋2i，3－5i，求与另外两个顶点对应的复数．
为了利于表达，设正方形ABCD，其中点A对应复数是1＋2i，点B对应复数是3－5i，求点C、D对应的复数．如图8－11．
同学们开始讨论解法．
生M：这道题可以转化为解析几何题，点A坐标为(1，2)，点B坐标是(3，－5)．本题应当有两解．设边AB右侧的顶点是C和D，左侧的顶点是C'和D'．线段
关系，得出关于x，y的二元二次方程组，解这个方程组可得两组解，点D坐标求出，对应的复数亦可以写出．
师：点C怎么求呢？
生N：先求出BD的中点，这个中点也是AC的中点，再通过中点坐标公式求得点C的坐标．
师：很好．还有什么解法？
生P：用复数运算的几何意义解，先求向量所对应的复数，由向量绕
点A按逆时针方向旋转90°角得到，由于=－，就求出D点对应
的复数．
师：点C怎么求呢？
得到对应的复数了，再求对应的复数
师：生Q想到的解法更简单，求点C还有其他方法吗？
生R：先求所对应的复数，由向量绕点B按顺时针方向旋转90°得到，再求对应的复数．
师：生H的方法最简单．请同学们在笔记本上用其中一种解法完成此题的演算．
(教师找一名同学到黑板板演)
解：向量对应的复数：(3－5i)－(1＋2i)=2－7i．
向量对应的复数：(2－7i)(cos90°＋isin90°)=(2－7i)·i=7＋2i．向量对应的复数：(1＋2i)＋(7＋2i)=8＋4i．
如图，设点D'对应复数为a＋bi(a，b∈R)，
又设点C'对应复数为c＋di(c，d∈R)，
因此另外两点对应的复数为：10－3i和8＋4i；或－4－7i和6．
注意：如果板演有错误，应请同学们发现和纠正．
经常发生的错误有：
(1) =(3－5i)－(1＋2i)．
这里不能用等号，应写作“向量对应的复数是：(3－5i)－(1＋2i)；
(2)把向量对应的复数7＋2i，错认为是点D对应的复数；
(要讲清只有当向量的起点在原点处，向量所对应的复数才是向量终点所对应的复数)
(3)只得出10－3i和8＋4i一组解．
(建议学生自己动手画图，容易发现两组解)
师：通过此题，我们可以体会到代数问题和几何问题互相转化的思想在分析问题与解决问题中的重要作用．为了更好地领悟这一思想，请看：
如图8－12，已知平面内并列的三个相等的正方形，利用复数计算∠1＋∠2＋∠3的值．
同学们开始讨论解决：
生庚：复数运算的几何意义是在复平面内实施的，因此要建立直角坐标系．
师：你分析得正确，如图8－13，建立坐标系．取正方形的边长为单位长1．
生辛：∠B1Ox=∠1，∠B2Ox=∠2，∠B3Ox=∠3，这样，∠1＋∠2＋∠3=∠B1Ox ＋∠B2Ox＋∠B3Ox．而∠B1Ox，∠B2Ox，∠B3Ox可以分别看作B1，B2，B3三个点对应复数的辐角主值，下面应考虑B1，B2，B3对应复数是什么？
按着老师规定的单位长，B1，B2，B3三点对应的复数分别为1＋i，2＋i，3＋i．
师：好，你先谈到这里，如果单位长度有新的规定，例如边长为2，则三点对应复数分别为2＋2i，4＋2i，6＋2i，并未影响复数的辐角主值的大小，不过计算要繁一些．同学们继续讨论．
生壬：2＋i，3＋i的辐角主值都不是特殊角，只能查表求近似值再相加，误差较大．根据复数乘法的几何意义，积的辐角等于两个乘数辐角之和，可以先作乘法，看乘积是什么？假若其辐角主值也不是特殊角，但只取一次近似值．
师：你分析得很好，请你计算一下：
生寅：我想谈另外一种计算方法．因为r1(cosθ1＋isinθ1)·r2(cosθ2＋isinθ2)·r3(cosθ3＋isinθ3)=r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋
θ2)]·r3(cosθ3＋isinθ3)=r1·r2·r3[cos(θ1＋θ2＋θ3)＋isin(θ1＋θ2＋
θ3)]，因此(1＋i)·(2＋i)·(3＋i)可以直接求出积的辐角．即
(1＋i)(2＋i)(3＋i)=(1＋3i)(3＋i)=10i，
师：想法很好，并把两个复数相乘加以发展，是个小发现．这里，应提醒大家，注意一个问题，即两个辐角主值相加，其结果不一定还是主值．
请同学们完成此题的演算．
(教师找一名同学到黑板板演)
解：如图建立坐标系，由于平行线的内错角相等，∠1，∠2，∠3分别等于复数1＋i，2＋i，3＋i的辐角的主值，这样∠1＋∠2＋∠3就是积的辐角，而
(1＋i)(2＋i)(3＋i)=(1＋3i)(3＋i)=10i，
师：今天这节课，从知识上要掌握用复数的三角形式进行乘法运算的法则和乘法的几何意义及其推导过程．从思考方法上要善于从未知与已知、数与形以及复数的各种形式互相转换角度上考虑问题．现在布置作业：
1．课本习题：P203练习1(4)，3．
2．课本习题：P210习题二十八5．
3．补充题：
(1)在复平面内有两个点Z1和Z2，它们所对应的复数分别为1和2＋i，以这两点为顶点作一个正三角形，求这正三角形第三个顶点Z3所表示的复数．
(2)z1，z2是不等于零的两个复数，它们在复平面内的对应点分别是P和Q，且
课堂教学设计说明
1．没有良好的基础知识是不可能有很好的数学能力的，深刻的理解、纯熟掌握也不是一次就能完成，因此课堂教学开始时，我安排了检查练习，起着承上启下的作用．
2．重视学生参与知识的发生、发展和被运用的过程，为了培养适应21世纪要求的创新人才，课堂教学的着眼点应放在学生能力的形成和发展上，需要学生去亲自想一想，动手算一算，动口说一说，从而培养学生敢于创造，逐渐学会创造．因此设计教案时强调了学生主体参与，但不能忽视老师的主导作用．
复数几何意义的应用学案 一、复数相关知识 1.复数z a bi (a,b R)的几何意义是什么？ 2. I z I的几何意义是什么？ 3. 复数z1,z 2差的模I Z1-Z 2 I的几何意义是什么？ 二、轨迹问题 (一)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 设Z(x,y)以Z0(x0, y0)为圆心，r(r 0)为半径的圆上任意一点，则点 Z(x,y)满足ZZ o r (r0) 1. 该圆向量形式的方程是什么 2. 该圆复数形式的方程是什么 3.该圆代数形式的方程是什么(二)椭圆的定义：平面内与两定点Z1,Z2的距离的和等于常数(大于乙Z2 ) 的点的集合(轨迹) 设Z(x, y)是以Z i(x i, y2)Z2(X2,y2)为焦点，2a为长轴长的椭圆的上任 意一点，则点Z(x, y)满足ZZ1ZZ22a (2a 乙Z?) 1.该椭圆向量形式的方程是什么
2.该椭圆复数形式的方程是什么 变式(1)：在上面方程中若把"2a乙Z2"改为"2a Z1Z2"那么点Z的轨 迹是什么？ 变式(2)：在上面方程中若把"2a乙Z2"改为"2a Z1Z2"那么点Z的轨 迹是什么？ (三)双曲线的定义：平面内与两定点Z1, Z2的距离的差的绝对值等于 常数(小于乙Z2 )的点的集合(轨迹) 设Z(x, y)是以Z i(x i, y2)Z2(X2, y2)为焦点，2a为实轴长的椭圆的上 任意一点，则点Z(x, y)满足ZZ1ZZJ 2a （2a 乙Z2） 1.该双曲线向量形式的方程是什么 2.该双曲线复数形式的方程是什么 变式(1)：在上面方程中若把"2a乙Z2"改为"2a Z1Z2"那么点Z的轨 迹是什么？ 变式(2)：在上面方程中若把"2a乙Z2"改为"2a 0"那么点Z的轨迹是什么？
1 第三章第一节 数系的扩充与复数的概念 学习目标 1.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会数与现实世界的联系。 2.理解复数基本概念以及复数相等的充要条件。 自学探究 问题1. 在实数集中方程x 2-1=0是什么？ 方程x 2 +1=0有实数解吗？联系从自然数系到实数系的扩充过程，你能 设想一种方法，使这个方程有解吗？ 问题2.复数的概念是什么？ 问题3.若复数a+bi=c+di ，则实数a 、b 、c 、d 满足什么条件？ 问题4.你能对复数集进行恰当地分类吗？并举出相应例子。 练习题： （一）完成课本104页1，2，3 （二）1.实数m 取何值时，复数z=m+1+(m-1)i 是实数？虚数？纯虚数？ 2.已知i 是虚数单位，复数Z=(m 2 -4)+(m+2)i ，当m 取何实数时，Z 是：（1）实数 （2）纯虚数 3. 如果222(32)z a a a a i =+-+-+为实数,求实数a 的值。 4.若(32)(5)172x y x y i i ++-=-，则,x y 的值是？ 5.已知复数a bi +与3(4)k i +-相等，且a bi +的实部、虚部分别是方程x 2 -4x+3=0的两根，试求：,,a b k 的值。 [思考]：你能得出判断一个数是实数、虚数，纯虚数的方法吗？ 第三章第二节 复数的几何意义 学习目标 1.通过复数与从原点出发的向量的对应关系了解复数的几何意义，从中体会数形结合的思想； 2.从复数几何意义的引入过程中体会用几何研究代数问题的方法。 自学探究 问题1.在直角坐标系中，有序实数对与点一一对应，类比此种对应，复数能与什么建立一一对应？ 问题2.复数Z= (,)a bi a b R +∈（ 可以与复平面的向量对应吗？复数的几何意义是什么？ 问题3.怎样求一个复数的模？ 练习题： （一）完成课本105页1，2，3；106页A 组全做 （二） 1.若复数12z i =+，求z 的模。 2.若复数22(34)(56)Z m m m m i =--+--表示的点在虚轴上，求实数m 的取值，并求z 的模。 3.在复平面内指出与复数112z i =+，223z i =，332z i =，42z i =-+对应的点1Z ，2Z ，3Z ，4Z . 试 判断这4个点是否在同一个圆上?并证明你的结论. 第三章第三节 复数代数形式的加减运算及其几何意义 1.会进行复数的代数形式的加、减运算，了解其几何意义； 2.通过复数加法几何意义的探究渗透数形结合、类比的数学思想。 自学探究 问题1.复数与复平面内的向量有一一对应的关系，类比向量加法，你能得出复数的加法运算法则吗？ 复数加法的几何意义呢？ 问题2.复数的加法满足交换律、结合律吗？请结合复数加法运算法则证明。 问题3.若复数z 1+z 2=z 3,你能否用z 2和z 3表示出z 1 ？请画图说明。 你能因此得出复数减法法则及其几何意义吗？ 练习题： （一）完成课本109页1，2 （二）计算 （1）(56)(2)(34)i i i -+---+ （2）5i -(-2+3i )+(4-7i ) 2 . 已知平行四边形OABC 的三个顶点O 、A 、C 对应的复数分别为0，32i +，24i -+，试求： （1）AO 表示的复数； （2）CA 表示的复数； （3）B 点对应的复数. 3.ABCD 是复平面内的平行四边形，A ，B ，C 三点对应的复数分别是13,,2i i i +-+，求点D 对应的复数. 4. 当2 13 m <<时，复数(3)(2)m i i +-+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 第三章第四节 复数代数形式的乘除运算 学习目标 1. 理解共轭复数的概念； 2. 能进行复数的代数形式的乘、除运算，从中体会类比数学思想。 自学探究 问题1.类比(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd,你能得出(a+bi)(c+di)=? 问题2.复数的乘法是否满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律？请举例说明。 问题3.复数34i +与3-4i 有何关系？a bi +的共轭复数是什么？bi 的共轭复数是什么？ 思考：若12,z z 是共轭复数，那么（1）在复平面内，它们所对应的点的位置关系如何？ （2）12z z ?是一个怎样的数？有何特征？ 问题4.类比实数的除法是乘法的逆运算，请探究（1+2i ）Z =4+3i 中的复数Z =？ 你能得出复数除法运算法则吗？ 练习题： （一）完成课本111页1，2，3；112页A 组1至6题;116页A 组全做，B 组1，2题。 （二）1. 复数5 2 i -的共轭复数是（ ） A ．2i + B ．2i - C ．2i -- D ．2i - 2.如果复数212bi i -+的实部和虚部互为相反数，那么实数b 的值为（ ） A 2 B ．-2 C ．23- D ．2 3 3. 若12z i =，则22z z -的值为 4. 计算 （1）13()(1)2i -+； （2）3113 ()()22-- 5. 若复数z 满足11z i z -=+，则|1|z +的值为 第三章 数系的扩充与复数的引入（复习课） 1. 设134z i =-，223z i =-+，则12z z +在复平面内对应的点（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2. 2(1)i i -?等于（ ） A ．22i - B ．22i + C ．2- D ．2 3. 复数21 (1)i +的值是（ ） A ．2i B ．2i - C ．2 D ．2-
矩阵乘法的本质是什么？ 本题目前下面的解释都是线性代数教材上的各种定义，但都太过复杂了。我尝试写一个浅显的解释： 小明今天要做饭，消耗2斤肉，1斤蔬菜。肉每斤20元，蔬菜每斤5元，则一共需多少花费？ 这个问题的答案很简单： 我们用向量相乘的方法写出来： 如果小明第二天有另一种做饭的方法，需要消耗1斤肉，4斤蔬菜，那么这两种方法的花费各是多少呢？我们显然需要另算这第二种方法的花费。把这个做饭方式写在第二个矩阵（向量是宽度或长度为1的矩阵）里： 小明家附近还有另一个菜市场，那里肉每斤15元，蔬菜每斤10元。那么，小明如果去这个菜市场，花费又是多少呢（分别计算上述两种做饭方式）？我们把这另外的一种价格写进第一个矩阵里： 这样我们看到了一个矩阵乘法的例子。在左边的这个矩阵的每一行，都代表了一种价目表；在右边的矩阵的每一列，都代表了一种做饭方式。那么所有可能的组合所最终产生的花费，则在结果矩阵中表示出来了。 小明有一天成为了餐厅大厨，小红做掌柜兼管算账。我们假设物价不变。小红发现，如果今天买10斤肉花了A元，明天买20斤肉就得花2A元。如果买一斤肉要花C元，买1斤菜要花D元，那么买一斤肉和一斤菜就要花(C+D)元。每天小明汇报今日的材料消耗之后，小红便会将材料消耗转为
需要花的钱数。如果材料消耗翻倍，花的钱数也翻倍。另外，如果去不同的菜市场，也会得到不同的花钱数量。 小明每月送来一张长列表，里面是每日的材料消耗；而经过小红的处理，这张列表会转为每日，在不同的菜市场购买这些材料的花费。材料消耗翻倍，花费也翻倍。我们管这种从材料列表转为开销表的过程，就叫做一个线性映射。这也即是矩阵乘法的意义。 最后补充一点。线性代数的引入方式因教材不同而不同。从代数学自身的体系来讲，可能从线性空间引入是相对完备的；但是从一般我们学习知识的理解顺序来讲，从线性方程组引入最为合适。因为只要还记得鸡兔同笼，就很容易理解线性方程组，从而推广到矩阵，然后是线性变换，线性空间。按这样顺序讲授的教材推荐华章数学译丛的： 线性代数.原书第8版.Leon.S.J.著.张文博译.机械工业出版社.2010
整式的乘法公式的几何解释 ——“数形结合”思想 1、边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形. （1）请你分别表示出图1阴影部分的面积S1，图2阴影部分的面积S2 （2）请问以上结果可以验证哪个乘法公式？ 2、如图1，边长为（a+b）的正方形，按图2所示分割.请用不同的方法来表示大正方形的面积，从而验证了哪个因式分解公式？ 图1图2
3、图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． （1）图②中的阴影部分的面积为； （2）观察图②请你写出三个代数式2 m n -、mn之间的等量 () () m n +、2 关系是． （3）若6 -=． xy=，则x y +=-， 2.75 x y 4、如图，现有2张边长为b的正方形纸片，3张长为b、宽为a的长方形纸片和1张边长为a的正方形纸片，试一试，能否将这些纸片拼成一个长方形（每两个纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图痕迹）？由此你发现了什么？ 、
5、(2014?宁波)一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是______(用a、b的代数式表示)． 6、如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）． （1）图2中的阴影部分的面积为______； （2）观察图2请你写出（a+b）2、（a-b）2、ab之间的等量关系是______ ； （3）根据（2）中的结论，若x+y=5，x?y=1.25，则x-y=______；（4）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．如图3，你有发现的等式为：．
复数的几何意义及应 用
复数的几何意义及应用 一、教学目标： (一)知识与技能: 通过学习复平面上点的轨迹，进一步使学生掌握复数及减法的代数、几何、向量表示法及彼此之间的关系。 (二)过程与方法:1、通过问题导引，探究学习，提高学生数学探究能力; 2、提高数形结合能力；培养对应与运动变化的观点； 3、提高知识之间的理解与综合运用能力。 (三)情感、态度、价值观:通过复数、平面上点及位置向量三者之间联系及转化的教学，对学生进行事物间普遍联系及转化等辩证观点的教育。 二、教学重点：复平面内两点间距离公式的应用 三、教学难点：复平面内两点间距离公式的应用 四、教学工具：计算机、投影仪 五、教学方法：探究式教学法、问题解决教学法 六、教学过程： (一)设置情境，问题引入 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢5
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5 问题1：复数z 的几何意义？设复平面内点Z 表示复数z= a+bi （a ，b ∈ R ），连结OZ ，则点Z ，?Skip Record If...? ，复数z= a+bi （a ，b ∈R ）之间具有一一对应关系。 直角坐标系中的点Z(a,b) 一一对应 一一对应 复数z=a+bi 问题2：∣z ∣的几何意义？若复数z= a+bi （a ，b ∈R ）对应的向量是?Skip Record If...?，则向量是?Skip Record If...?的模叫做复数z= a+bi （a ，b ∈R ）的模，|z|=?Skip Record If...?=| a+bi |=?Skip Record If...?（a ，b ∈R ）。 问题3：∣z 1-z 2∣的几何意义？两个复数的差?Skip Record If...?所对应的向量 就是连结?Skip Record If...?并且方向指向（被减数向量）的向量, ?Skip Record If...? (二)探索研究 根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内下列曲线的方程： 1．圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 设?Skip Record If...?以?Skip Record If...?为圆心， ? Skip Record If...?为半径的圆上任意一点, 则?Skip Record If...? ?Skip Record If...? 一一对应 向量 O Z
一．选择题（共10小题） 1．（2015?遵义校级一模）已知i是虚数单位，则复数z=i2015的虚部是（） A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣i 2．（2015?安庆校级三模）设i是虚数单位，则复数1﹣2i+3i2﹣4i3等于（） A．﹣2﹣6i B．﹣2+2i C．4+2i D．4﹣6i 3．（2015?广西校级学业考试）实数x，y满足（1+i）x+（1﹣i）y=2，则xy的值是（） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 4．（2015?泉州校级模拟）如果复数z=a2+a﹣2+（a2﹣3a+2）i为纯虚数，那么实数a的值为（）A．﹣2 B．1 C．2 D．1或﹣2 5．（2015?潍坊模拟）设复数z=1+bi（b∈R）且|z|=2，则复数的虚部为（） A．B．C．±1 D． 6．（2015?浠水县校级模拟）已知复数z与（z+2）2﹣8i是纯虚数，则z=（） A．﹣2i B．2i C．﹣i或i D．2i或﹣2i 7．（2015?新课标II）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 8．（2015?南平模拟）已知x，y∈R，i为虚数单位，且yi﹣x=﹣1+i，则（1﹣i）x+y的值为（）A．2 B．﹣2i C．﹣4 D．2i 9．（2015?宜宾模拟）在复平面内，复数3﹣4i，i（2+i）对应的点分别为A、B，则线段AB的中点C对应的复数为（） A．﹣2+2i B．2﹣2i C．﹣1+i D．1﹣i 10．（2015?上饶校级一模）已知i为虚数单位，a∈R，若a2﹣1+（a+1）i为纯虚数，则复数z=a+（a﹣2）i 在复平面内对应的点位于（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二．填空题（共5小题） 11．（2015?岳阳二模）已知z=x+yi，x，y∈R，i为虚数单位，且z=（1+i）2，则ix+y=．12．（2015春?常州期中）计算i+i2+…+i2015的值为． 13．（2015春?肇庆期末）从{0，1，2，3，4，5} 中任取2个互不相等的数a，b组成a+bi，其中虚数有个． 14．（2015?泸州模拟）设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=． 15．（2014?奎文区校级模拟）设O是原点，向量、对应的复数分别为2﹣3i，﹣3+2i，那么，向量 对应的复数是． 三．解答题（共8小题） 17．（2015?赫章县校级模拟）已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2+i，向量对应的复数为1+2i，向量对应的复数为3﹣i． （1）求点C，D对应的复数； （2）求平行四边形ABCD的面积． 18．（2015春?蠡县校级期末）实数m取什么数值时，复数z=m2﹣1+（m2﹣m﹣2）i分别是：
基础巩固强化 一、选择题 1．若OZ →＝(0，－3)，则OZ →对应的复数为( ) A ．0 B ．－3 C ．－3i D ．3 [答案] C [解析] 由OZ →＝(0，－3)，得点Z 的坐标为(0，－3)， ∴OZ →对应的复数为0－3i ＝－3i.故选C. 2．复数z 与它的模相等的充要条件是( ) A ．z 为纯虚数 B ．z 是实数 C ．z 是正实数 D ．z 是非负实数 [答案] D [解析] ∵z ＝|z |，∴z 为实数且z ≥0. 3．已知复数z ＝a ＋i(其中a ∈R ，i 为虚数单位)的模为|z |＝2，则a 等于( ) A ．1 B ．±1 C. 3 D ．±3 [答案] D [解析] ∵|z |＝2，∴a 2＋1＝4，∴a ＝±3. 4．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A 、B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( ) A ．4＋8i B ．8＋2i
C ．2＋4i D ．4＋i [答案] C [解析] 由题意，得点A (6,5)，B (－2,3)．由C 为线段AB 的中点，得点C (2,4)， ∴点C 对应的复数为2＋4i. 5．复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则( ) A ．a ≠2或a ≠1 B ．a ≠2或a ≠－1 C ．a ＝2或a ＝0 D ．a ＝0 [答案] C [解析] 由题意知a 2－2a ＝0， 解得a ＝0或2. 6．当2 3
乘法公式（基础） 【学习目标】 1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义； 2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘 法运算； 3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算. 【要点梳理】 要点一、平方差公式 平方差公式：22 ()()a b a b a b +-=- 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：在这里，b a ,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征： 既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如()()a b b a +-+利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如(35)(35)x y x y +- （3）指数变化：如3232()()m n m n +- （4）符号变化：如()()a b a b --- （5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+ （6）增因式变化：如2244()()()()a b a b a b a b -+++ 要点二、完全平方公式 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++ 2222)(b ab a b a +-=- 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两 数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： ()2222a b a b ab +=+-()2 2a b ab =-+ ()()22 4a b a b ab +=-+ 要点三、添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号， 括到括号里的各项都改变符号. 要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查
复数的几何意义 问题1：复数z 的几何意义？设复平面内点Z 表示复数z= a+bi （a ，b ∈R ），连结OZ ，则点Z ，OZ ，复数z= a+bi （a ，b ∈R ）之间具有一一对应关系。 直角坐标系中的点Z(a,b) 一一对应 一一对应 复数z=a+bi 问题2：∣z ∣的几何意义？若复数z= a+bi （a ，b ∈R ）对应的向量是，则向量是的模叫做复数z= a+bi （a ，b ∈R ）的模，=| a+bi |=22b a +（a ，b ∈R ）。 问题3：∣z 1-z 2∣的几何意义？两个复数的差z z z =-21所对应的向量就是连结21Z Z 并且方向指向（被减数向量）的向量, 22122121)()(y y x x z z d -+-==-= (二)探索研究 根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内下列曲线的方程： 1．圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 设),(y x Z 以),(000y x Z 为圆心， )0(>r r 为半径的圆上任意一点, 则r ZZ =0 )0(>r （1）该圆向量形式的方程是什么? )0(>=r r （2）该圆复数形式的方程是什么? r z z =-0 )0(>r （3）该圆代数形式的方程是什么? )0()()(22020>=-+-r r y y x x 2．椭圆的定义:平面内与两定点Z 1，Z 2的距离的和等于常数(大于21Z Z )的点的集合(轨一一对应 向量 O
迹) 设),(y x Z 是以),(211y x Z ),(222y x Z 为焦点，2a 为长轴长的椭圆的上任意一点, 则a ZZ ZZ 221=+ )2(21Z Z a > （1）该椭圆向量形式的方程是什么? a 2=+ )2(21Z Z a > （2）该椭圆复数形式的方程是什么? a z z z z 221=-+- )2(21Z Z a > 变式:以),(211y x Z ),(222y x Z 为端点的线段 （1）向量形式的方程是什么? a 2=+ )2(21Z Z a = （2）复数形式的方程是什么? a z z z z 221=-+- )2(21Z Z a = （三）应用举例 例1．复数 z 满足条件∣z+2∣-∣z-2∣=4， 则复数z 所对应的点 Z 的轨迹是（ ） （A ） 双曲线 （B ）双曲线的右支 （C ）线段 （D ）射线 答案：（D ）一条射线 例2．若复数z 满足条件1=z ， 求i z 2-的最值。 （数形结合法）由1=z 可知，z 对应于单位圆上的点Z ； i z 2-表示单位圆上的点Z 到点P （0，2）的距离。 由图可知，当点Z 运动到A （0，1）点时，12min =-i z ,此时z=i ； 当点Z 运动到B （0，-1）点时，32max =-i z , 此时z=-i 。 例3．已知z 1、z 2∈C ，且11=z ， 若i z z 221=+，则21z z -的最大值是（ ）
7．1.2 复数的几何意义 考点 学习目标 核心素养 复平面 了解复平面的概念 数学抽象 复数的几何意义 理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系 直观想象 复数的模 掌握复数的模的概念，会求复数的模 数学运算 共轭复数 掌握共轭复数的概念，并会求一个复数的共轭复数 数学运算 问题导学 预习教材P70－P72的内容，思考以下问题： 1．复平面是如何定义的？ 2．复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实数还是虚数？ 3．复数z ＝a ＋b i 的共轭复数是什么？ 1．复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2．复数的两种几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )←――→一一对应 复平面内的点Z (a ，b )． (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) ←――→一一对应平面向量OZ →. ■名师点拨 (1)复平面内的点Z 的坐标是(a ，b )，而不是(a ，b i)．也就是说，复平面内的虚轴上的单位长度是1，而不是i. (2)当a ＝0，b ≠0时，a ＋b i ＝0＋b i ＝b i 是纯虚数，所以虚轴上的点(0，b )(b ≠0)都表示纯虚数． (3)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中的z ，书写时应小写；复平面内的点Z (a ，b )中的Z ，书写时应大写． 3．复数的模
复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )对应的向量为OZ →，则OZ → 的模叫做复数z 的模或绝对值，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2． ■名师点拨 如果b ＝0，那么z ＝a ＋b i 是一个实数a ，它的模等于|a |(a 的绝对值)． 4．共轭复数 (1)一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数． (2)虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数． (3)复数z 的共轭复数用z －表示，即如果z ＝a ＋b i ，那么z － ＝a －b i ． ■名师点拨 复数z ＝a ＋b i 在复平面内对应的点为(a ，b )，复数z － ＝a －b i 在复平面内对应的点为(a ，－b )，所以两个互为共轭复数的复数，它们所对应的点关于x 轴对称． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)原点是实轴和虚轴的交点．( ) (2)实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数．( ) (3)若|z 1|＝|z 2|，则z 1＝z 2.( ) (4)若z 1与z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ 复数1－2i 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：D 复数z ＝1＋3i 的模等于( ) A ．2 B ．4 C.10 D ．2 2 答案：C 复数z ＝－2＋5i 的共轭复数z － ＝________． 答案：－2－5i
矩阵乘法的概念 The latest revision on November 22, 2020
2006-2007后塍高中高二下学期数学教案（矩阵乘法的概念） 命题人：瞿蕴雅 教学目标： 1.熟练掌握二阶矩阵与二阶矩阵的乘法。 2．理解两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个二阶矩阵,从几何变换的角度来看,它表示的是原来两个矩阵的连续两次变换。 教学重点： 矩阵乘法的概念。 教学过程： 一、问题情境 问题：如果我们对一个平面向量连续实施两次几何变换,结果会是怎样 二、建构数学 1.矩阵乘法法则: 2.矩阵乘法的几何意义： 3．初等变换：在数学中，一一对应的平面几何变换都可看做是伸压、反射、旋转、切变变换的一次或多次复合，而伸压、反射、切变变换通常叫做初等变换，对应的矩阵叫做初等变换矩阵。 三、数学应用 1．例题 例1:（1）已知A= 11 22 11 22 ?? ? ? ? ? ?? ，B= 11 22 11 22 ?? - ? ? ? - ? ?? ,计算AB （2）已知A= 10 02 ?? ? ?? ，B= 14 23 ?? ? - ?? ，计算AB,BA (3)已知A= 10 00 ?? ? ?? ，B= 10 01 ?? ? ?? ，C= 10 02 ?? ? ?? 计算AB,AC 例2:已知梯形ABCD，其中A(0,0),B(3,0),C(2,2),D(1,2),先将梯形作关于x 轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转0 90 (1)求连续两次变换所对应的变换矩阵M
(2)求点A,B,C,D在 M T作用下所得到的结果 (3)在平面直角坐标系内画出两次变换对应的几何图形，并验证(2)中的结论。 例3: 已知A= cos sin sin cos αα αα - ?? ? ?? ，B= cos sin sin cos ββ ββ - ?? ? ?? ，试求AB,并对其几何意 义给予解释。 2．课堂练习 P46 1,2 四、回顾小结 1. 二阶矩阵乘法运算法则 2. 二阶矩阵乘法的几何意义 五、课外作业 同步导学
乘法公式的几何背景 1、如图所示可以验证哪个乘法公式用式子表示为． 第2题 2、如图所示，用该几何图形的面积可以表示的乘法公式是． 3、如图，图①是边长为a的正方形中有一个边长是b的小正方形，图②是将图①中的阴影部分剪拼成的一个等腰梯形，比较图①和图②阴影部分的面积，可验证的是． 第4题图 4、用该几何图形的面积可以表示的等量关系是． 5、如图：边长为a，b的两个正方形，边保持平行，如果从大正方形中剪去小正方形，剩下的图形可以分割成4个大小相等的梯形．请你计算出两个阴影部分的面积，同时说明可以验证哪一个乘法公式的几何意义． 6、如图1，A、B、C是三种不同型号的卡片，其中A型是边长为a的正方形，B型是长为 b、宽为a的长方形，C是边长是b的正方形． 7、小杰同学用1张A型、2张B型和1张C型卡片拼出了一个新的图形（如图2）．请根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的公式是．8、图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开，可分成四块小长方形．
（1）你认为图1的长方形面积等于； （2）将四块小长方形拼成一个图2的正方形．请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． 方法1： 方法2： （3）观察图2直接写出代数式（a+b）2、（a-b）2、ab之间的等量关系； （4）把四块小长方形不重叠地放在一个长方形的内部（如图3），未被覆盖的部分用阴影表示．求两块阴影部分的周长和（用含m、n的代数式表示）． 9、如图，ABCD是正方形，P是对角线BD上一点，过P点作直线EF、GH分别平行于AB、BC，交两组对边于E、F、G、H，则四边形PEDG，四边形PHBF都是正方形，四边形PEAH、四边形PGCF都是矩形，设正方形PEDG的边长是a，正方形PHBF的边长是b．请动手实践并得出结论： （1）请你动手测量一些线段的长后，计算正方形PEDG与正方形PHBF的面积之和以及矩形PEAH与矩形PGCF的面积之和． （2）你能根据（1）的结果判断a2+b2与2ab的大小吗？ （3）当点P在什么位置时，有a2+b2=2ab？
理解矩阵，矩阵背后的现实意义作者：郭博 这是很早以前已经看过的，最近无意中又把保存的文章翻出来时，想起很多朋友问过矩阵，虽对矩阵似懂非懂，但却很想弄懂它，希望这几篇文章能帮你一下，故转之： 线性代数课程，无论你从行列式入手还是直接从矩阵入手，从一开始就充斥着莫名其妙。比如说，在全国一般工科院系教学中应用最广泛的同济线性代数教材（现在到了第四版），一上来就介绍逆序数这个“前无古人，后无来者”的古怪概念，然后用逆序数给出行列式的一个极不直观的定义，接着是一些简直犯傻的行列式性质和习题——把这行乘一个系数加到另一行上，再把那一列减过来，折腾得那叫一个热闹，可就是压根看不出这个东西有嘛用。大多数像我一样资质平庸的学生到这里就有点犯晕：连这是个什么东西都模模糊糊的，就开始钻火圈表演了，这未免太“无厘头”了吧！于是开始有人逃课，更多的人开始抄作业。这下就中招了，因为其后的发展可以用一句峰回路转来形容，紧跟着这个无厘头的行列式的，是一个同样无厘头但是伟大的无以复加的家伙的出场——矩阵来了！多年之后，我才明白，当老师犯傻似地用中括号把一堆傻了吧叽的数括起来，并且不紧不慢地说：“这个东西叫做矩阵”的时候，我的数学生涯掀开了何等悲壮辛酸、惨绝人寰的一幕！自那以后，在几乎所有跟“学问”二字稍微沾点边的东西里，矩阵这个家伙从不缺席。对于我这个没能一次搞定线性代数的笨蛋来说，矩阵老大的不请自来每每搞得我灰头土脸，头破血流。长期以来，我在阅读中一见矩阵，就如同阿Q见到了假洋鬼子，揉揉额角就绕道走。 事实上，我并不是特例。一般工科学生初学线性代数，通常都会感到困难。这种情形在国内外皆然。瑞典数学家Lars Garding在其名著Encounter with Mathematics中说：”如果不熟悉线性代数的概念，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多。”，然而“按照现行的国际标准，线性代数是通过公理化来表述的，它是第二代数学模型，...，这就带来了教学上的困难。”事实上，当我们开始学习线性代数的时候，不知不觉就进入了“第二代数学模型”的范畴当中，这意味着数学的表述方式和抽象性有了一次全面的进化，对于从小一直在“第一代数学模型”，即以实用为导向的、具体的数学模型中学习的我们来说，在没有并明确告知的情况下进行如此剧烈的paradig m shift，不感到困难才是奇怪的。 大部分工科学生，往往是在学习了一些后继课程，如数值分析、数学规划、矩阵论之后，才逐渐能够理解和熟练运用线性代数。即便如此，不少人即使能够很熟练地以线性代数为工具进行科研和应用工作，但对于很多这门课程的初学者提出的、看上去是很基础的问题却并不清楚。比如说： 矩阵究竟是什么东西？向量可以被认为是具有n个相互独立的性质（维度）的对象的表示，矩阵又是什么呢？我们如果认为矩阵是一组列（行）向量组成的新的复合向量的展开式，那么为什么这种展开式具有如此广泛的应用？特别是，为什么偏偏二维的展开式如此有用？如果矩阵中每一个元素又是一个向量，那么我们再展开一次，变成三维的立方阵，是不是更有用？ 矩阵的乘法规则究竟为什么这样规定？为什么这样一种怪异的乘法规则却能够在实践中发挥如此巨大的功效？很多看上去似乎是完全不相关的问题，最后竟然都归结到矩阵的乘法，这难道不
高考数学一轮复习专题训练(40) 复数的概念、几何意义及运算 班级________姓名____________学号______成绩______日期____月____日 一、填空题 1. 复数z＝ 1 1－i 的虚部是________． 2. 设z＝(2－i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为________． 3. 若复数a＋i 1＋i 为纯虚数，则实数a的值是________． 4. 若复数z＝2－i 3－4i ，则z的共轭复数为z＝________． 5. 在复平面内，复数1－i 2＋i ＋i2 019对应的点位于第 ________象限． 6. 若复数z＝ 1 a－2 ＋(a2－4)i(a∈R)是实数，则a＝ ________．
7. 已知i是虚数单位，则满足z－i＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应点在第________象限． 8. 满足条件|z－i|＝|z＋3|的复数z在复平面上对应点的轨迹是________． 9. 已知i是虚数单位，a、b∈R，则“a＝b＝1”是“(a ＋b i)2＝2i”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”) 10. 若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m＋6)i表示的点在虚轴上，则实数m的值为________． 11. 设a∈R，若复数a＋i 1＋i (i为虚数单位)的实部和虚部相 等，则a＝________． 12. 已知方程x2＋(4＋i)x＋4＋a i＝0(a∈R)有实根b，且z＝a＋b i，则复数z＝________． 13. 若复数(x－2)＋y i(x，y∈R)的模为3，则y x的最大值
学案三、乘法公式的几何背景 1. 通过计算几何图形的面积可表示代数恒等式，下图可表示的代数恒等式是：（ ） A ．()2222——b ab a b a += B ．()2222b ab a b a ++=+ C ．()ab a b a a 2222+=+ D ．()()22——b a b a b a =+ 2.在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形（a ＞b ），把余下部分拼成一个矩形，计算面积，验证 了一个等式（ ） A ．（a+b ）2=a 2+2ab+b 2 B ．a 2-b 2=（a+b ）（a-b ） C ．（a-b ）2=a 2-2ab+b 2 D ．a 2-ab=a （a-b ） 3. 在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ），再沿虚线剪开，如图（1），然后拼成一个梯形，如图（2），根据这两个图形的面积关系，表明下列式子成立的是（ ） A.a 2-b 2=（a+b ）（a-b ） B ．（a+b ）2=a 2+2ab+b 2 C ．（a-b ）2=a 2-2ab+b 2 D ．a 2-b 2=（a-b ） 2 第1题图 第2题图 第3题图 4. 如图，将完全相同的四个矩形纸片拼成一个正方形，则可得出一个等式为（ ） A ．（a+b ）2=a 2+2ab+b 2 B ．（a-b ）2=a 2-2ab+b 2 C ．a 2-b 2=（a+b ）（a-b ） D ．（a+b ）2=（a-b ）2+4ab 5. 如图，由四个相同的直角三角板拼成的图形，设三角板的直角边分别为a 、b （a ＞b ），则这两个图形能验证的式子是（ ） A ．（a+b ）2-（a-b ）2=4ab B.（a 2+b 2）-（a-b ）2=2ab C ．（a+b ）2-2ab=a 2+b 2 D ．（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2 6.如图，甲类纸片是边长为2的正方形，乙类纸片是边长为1的正方形，丙类纸片是长、宽边长分别是2和1的长方形．现有甲类纸片1张，乙类纸片4张，则应至少取丙类纸片 张才能用它们拼成一个新的正方形． 第4题图 第5题图 第6题图 7.如下图，把正方形的方块，按不同的方式划分，计算其面积，便可得到不同的数学公式． 按图1所示划分，计算面积， 便得到一个乘法公式： 若按图2那样划分，，通过计算图中的面积， 得到一个公式：
复数的几何意义及应用 一、教学目标： (一)知识与技能: 通过学习复平面上点的轨迹，进一步使学生掌握复数及减法的代数、几何、向量表示法及彼此之间的关系。 (二)过程与方法:1、通过问题导引，探究学习，提高学生数学探究能力; 2、提高数形结合能力；培养对应与运动变化的观点； 3、提高知识之间的理解与综合运用能力。 (三)情感、态度、价值观:通过复数、平面上点及位置向量三者之间联系及转化的教学，对学生进行事物间普遍联系及转化等辩证观点的教育。 二、教学重点：复平面内两点间距离公式的应用 三、教学难点：复平面内两点间距离公式的应用 四、教学工具：计算机、投影仪 五、教学方法：探究式教学法、问题解决教学法 六、教学过程： (一)设置情境，问题引入 问题1：复数z 的几何意义？设复平面内点Z 表示复数z= a+bi （a ，b ∈R ），连结OZ ，则点Z ，OZ ，复数z= a+bi （a ，b ∈R ）之间具有一一对应关系。 直角坐标系中的点Z(a,b) 一一对应 一一对应 复数z=a+bi 问题2：∣z ∣的几何意义？若复数z= a+bi （a ，b ∈R ）对应的向量是OZ ，则向量是OZ 的模叫做复数z= a+bi （a ，b ∈R ）的模，=| a+bi |=22b a +（a ，b ∈R ）。 问题3：∣z 1-z 2∣的几何意义？两个复数的差z z z =-21所对应的向量就是连结21Z Z 并且方向指向（被减数向量）的向量, 2 2122121)()(y y x x z z d -+-==-=一一对应 向量 O Z
(二)探索研究 根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内下列曲线的方程： 1．圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 设),(y x Z 以),(000y x Z 为圆心， )0(>r r 为半径的圆上任意一点, 则r ZZ =0 )0(>r （1）该圆向量形式的方程是什么)0(>=r r （2）该圆复数形式的方程是什么? r z z =-0 )0(>r （3）该圆代数形式的方程是什么? )0()()(22020>=-+-r r y y x x 2．椭圆的定义:平面内与两定点Z 1，Z 2的距离的和等于常数(大于21Z Z )的点的集合(轨迹) 设),(y x Z 是以),(211y x Z ),(222y x Z 为焦点，2a 为长轴长的椭圆的上任意一点, 则a ZZ ZZ 221=+ )2(21Z Z a > （1）该椭圆向量形式的方程是什么a 2=+ )2(21Z Z a > （2）该椭圆复数形式的方程是什么? a z z z z 221=-+- )2(21Z Z a > 变式:以),(211y x Z ),(222y x Z 为端点的线段 （1）向量形式的方程是什么a 2=+ )2(21Z Z a = （2）复数形式的方程是什么? a z z z z 221=-+- )2(21Z Z a = 3．双曲线的定义:平面内与两定点Z 1，Z 2的距离的差的绝对值等于 常数(小于21Z Z ) 的点的集合(轨迹) 设),(y x Z 是以),(211y x Z ),(222y x Z 为焦点，2a 为实轴长的双曲线的上 任意一点,
第三章第一节 数系的扩充与复数的概念 学习目标 1.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会数与现实世界的联系。 2.理解复数基本概念以及复数相等的充要条件。 自学探究 问题1. 在实数集中方程x 2-1=0是什么？ 方程x 2 +1=0有实数解吗？联系从自然数系到实数系的扩充过程，你能 设想一种方法，使这个方程有解吗？ 问题2.复数的概念是什么？ 问题3.若复数a+bi=c+di ，则实数a 、b 、c 、d 满足什么条件？ 问题4.你能对复数集进行恰当地分类吗？并举出相应例子。 练习题： （一）完成课本104页1，2，3 （二）1.实数m 取何值时，复数z=m+1+(m-1)i 是实数？虚数？纯虚数？ 2.已知i 是虚数单位，复数Z=(m 2 -4)+(m+2)i ，当m 取何实数时，Z 是：（1）实数 （2）纯虚数 3. 如果222(32)z a a a a i =+-+-+为实数,求实数a 的值。 4.若(32)(5)172x y x y i i ++-=-，则,x y 的值是？ 5.已知复数a bi +与3(4)k i +-相等，且a bi +的实部、虚部分别是方程x 2 -4x+3=0的两根，试求：,,a b k 的值。 [思考]：你能得出判断一个数是实数、虚数，纯虚数的方法吗？ 第三章第二节 复数的几何意义 学习目标 1.通过复数与从原点出发的向量的对应关系了解复数的几何意义，从中体会数形结合的思想； 2.从复数几何意义的引入过程中体会用几何研究代数问题的方法。 自学探究 问题1.在直角坐标系中，有序实数对与点一一对应，类比此种对应，复数能与什么建立一一对应？ 问题2.复数Z= (,)a bi a b R +∈（ 可以与复平面的向量对应吗？复数的几何意义是什么？ 问题3.怎样求一个复数的模？ 练习题： （一）完成课本105页1，2，3；106页A 组全做 （二） 1. 若复数1z =，求z 的模。 2.若复数22(34)(56)Z m m m m i =--+--表示的点在虚轴上，求实数m 的取值，并求z 的模。 3.在复平面内指出与复数112z i =+ ，2z = ，3z =，42z i =-+对应的点1Z ，2Z ，3Z ，4Z . 试 判断这4个点是否在同一个圆上?并证明你的结论.