2008年四川省成都市树德中学自主招生
考试数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．一列火车花了H时行程D里从A抵达B，晚点两小时，那么应该以什么样的速度才能准点到达（）
A．H+2 B．+2 C．D．
2．若均为非负整数，则M=5x+4y+2z的取值范围是（）A．100≤M≤110 B．110≤M≤120 C．120≤M≤130 D．130≤M≤140
3．某天，学校研究性学习小组的同学从8时起骑自行车外出调查，17时回到学校，小组离开学校的距离与时间的关系可用图中的曲线表示，根据这个曲线图，下列说法错误的是（）
A．在离校最远的地方调查的时间是14～15时B．第一次调查从9时开始，历时2h C．中午12～13时休息的地方离校15km D．返校的速度最慢
4．已知函数y=|8﹣2x﹣x2|和y=kx+k（k为常数），则不论k为何值，这两个函数的图象（）A．有且只有一个交点B．有且只有二个交点C．有且只有三个交点
D．有且只有四个交点
5．如果x、y是非零实数，使得，那么x+y等于（）
A．3 B．C．D．
6．一列数：7，72，73，74，…72008．其中末位数字是3的有（）
A．502个B．500个C．1004个D．256个
7．在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，∠C=90°，CD和BE是△ABC的两条中线，且CD ⊥BE，那么a：b：c=（）
A．1：2：3 B．3：2：1 C．D．
8．已知三角形三个内角的度数都是质数，则这三个内角中必定有一个内角等于（）A．2度B．3度C．5度D．7度
9．已知：m2+n2+mn+m﹣n=﹣1，则的值等于（）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
10．积（1+）（1+）（1+）…（1+）（1+）值的整数部分
是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
11．如图所示，一个大长方形被两条线段AB、CD分成四个小长方形，其中长方形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别是8、6、5，那么阴影部分的面积是：_________．
12．当|x|≤4时，函数y=|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最大值减去最小值的差是：_________．
13．今年参加数学竞赛的人数比去年增加了30%，其中男生增加了20%，女生增加了50%，设今年参加竞赛的总人数为a，其中男生人数为b，则：=_________．
14．如果两点：M（x1，y1），N（x2，y2），那么．已
知：A（3，﹣1），B（﹣1，4），C（1，﹣6），在△ABC内求一点P，使PA2+PB2+PC2最小，则点P的坐标是_________．
15．实数a、b、c满足：a2+6b=﹣17，b2+8c=﹣23，c2+2a=14，则a+b+c=_________．
16．已知恒等式：（x2﹣x+1）6=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a10x10+a11x11+a12x12，则
（a0+a2+a4+a6+a8+a10+a12）2﹣（a1+a3+a5+a7+a9+a11）2=_________．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（1）已知：点（x，y）在直线y=﹣x+1上，且x2+y2=2，求x7+y7的值．
（2）计算：
（3）已知a、b、c是直角三角形△ABC的角A、B、C所对的边，∠C=90°．求：
的值．
18．已知x、y、z为实数，且x+y+z=5，xy+yz+zx=3，试求z的最大值与最小值．
19．在成都火车站开始检票时，有a（a＞0）名旅客在候车室排队等候检票进站．检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站，设旅客按固定的速度增加，检票口按固定的速度检票．若开放一个检票口，则需30分钟才能将排队等候的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则需10分钟才能将排队等候的旅客全部检票完毕；如果现在要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以后进站的旅客能够随到随检，至少要同时开放几个检票口？
20．如图，△ABC的三边满足关系BC=（AB+AC），O、I分别为△ABC的外心、内心，
∠BAC的外角平分线交⊙O于E，AI的延长线交⊙O于D，DE交BC于H，
求证：（1）AI=BD；
（2）OI=AE．
21．（2004?上海）数学课上，老师提出：
如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点的坐标为（1，0），点B在x轴上，且在点A的右侧，AB=OA，过点A和B作x轴的垂线，分别交二次函数y=x2的图象于点C和D，直线OC交BD于点M，直线CD交y轴于点H，记点C、D的横坐标分别为x C、x D，点H的纵坐标为y H．
同学发现两个结论：
①S△CMD：S梯形ABMC=2：3 ②数值相等关系：x C?x D=﹣y H
（1）请你验证结论①和结论②成立；
（2）请你研究：如果上述框中的条件“A的坐标（1，0）”改为“A的坐标（t，0）（t＞0）”，其他条件不变，结论①是否仍成立（请说明理由）；
（3）进一步研究：如果上述框中的条件“A的坐标（1，0）”改为“A的坐标（t，0）（t＞0）”，又将条件“y=x2”改为“y=ax2（a＞0）”，其他条件不变，那么x C、x D与y H有怎样的数值关系？（写出结果并说明理由）
22．如图所示，在△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于D．∠B的平分线分别与AD、AC交于E，F，H为EF的中点．
（1）求证：AH⊥EF；
（2）设△AHF、△BDE、△BAF的周长为c l、c2、c3．试证明：，并指出等号成立时的值．
2008年四川省成都市树德中学自主招生
考试数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．一列火车花了H时行程D里从A抵达B，晚点两小时，那么应该以什么样的速度才能准点到达（）
A．H+2 B．+2 C．D．
考点：列代数式（分式）。
分析：根据速度=路程÷时间，可确定该以什么样的速度才能准点到达．
解答：解：根据题意得，以这样的速度才能准点到达．
故选C．
点评：本题考查列代数式，关键是知道速度=路程÷时间，从而可列出代数式．
2．若均为非负整数，则M=5x+4y+2z的取值范围是（）
A．100≤M≤110 B．110≤M≤120 C．120≤M≤130 D．130≤M≤140 考点：一次函数的性质。
专题：计算题。
分析：将x+y+z=30，3x+y﹣z=50联立，得到y和z的关于x的表达式，再根据y，z为非负实数，列出关于x的不等式组，求出x的取值范围，再将M转化为关于x的表达式，将x的最大值和最小值代入解析式即可得到M的最大值和最小值．
解答：解：将已知的两个等式联立成方程组，
所以①+②得，
4x+2y=80，y=40﹣2x．
将y=40﹣2x代入①可解得，
z=x﹣10．
因为y，z均为非负实数，
所以，
解得10≤x≤20．
于是，
M=5x+4y+2z=5x+4（40﹣2x）+2（x﹣10）
=﹣x+140．
当x值增大时，M的值减小；当x值减小时，M的值增大．
故当x=10时，M有最大值130；
当x=20时，M有最小值120．
∴120≤M≤130．
故选C．
点评：本题主要考查一次函数的性质的知识，解决本题的关键是根据题目方程组，求得用M 表示的x、y、z表达式，进而根据x、y、z皆为非负数，求得M的取值范围．
3．某天，学校研究性学习小组的同学从8时起骑自行车外出调查，17时回到学校，小组离开学校的距离与时间的关系可用图中的曲线表示，根据这个曲线图，下列说法错误的是（）
A．在离校最远的地方调查的时间是14～15时B．第一次调查从9时开始，历时2h C．中午12～13时休息的地方离校15km D．返校的速度最慢
考点：函数的图象。
分析：根据图中的点的横坐标表示时间，所以点E点距离家最远，横坐标表示距家最远的时间，纵坐标表示离家的距离，故判断A选项正确；第一次调查开始，即距离不发生变化，由图象即可看出，故B选项正确；根据图象的信息，可得出此时距学校的距离问为15km，故C选项正确；分别求得各段时间所对应的直线度斜率，即可判断D选项是否正确．
解答：解：A、离校最远的地方的调查时间即为离校最远的地方，由图可知A选项正确；
B、由图象可知，在9时时距离不发生变化，即为第一次调查开始，故此选项正确；
C、根据图象的信息，可得出此时距学校的距离问为15km，故此选项正确；
故D选项错误．
点评：本题主要考查动点问题的函数的图象，结合图形判断各项是否正确，本题难度一般，熟练提取图象信息．
4．已知函数y=|8﹣2x﹣x2|和y=kx+k（k为常数），则不论k为何值，这两个函数的图象（）A．有且只有一个交点B．有且只有二个交点C．有且只有三个交点
D．有且只有四个交点
考点：二次函数综合题。
分析：首先画出二次函数的图象，一次函数与x轴一定经过点（﹣1，1）．根据图象即可确定交点的个数．
解答：解：函数y=8﹣2x﹣x2中，令y=0，解得：x=﹣4或2．
则二次函数与x轴的交点坐标是（﹣4，0）和（2，0）．则函数的图象如图．
一次函数y=kx+k（k为常数）中，令y=0，解得：x=﹣1，故这个函数一定经过点（﹣1，0）．经过（﹣1，0）的直线无论k多大，都是2个交点．
故选B．
点评：本题主要考查了一次函数与二次函数的图象，正确作出二次函数的答题图象，确定一次函数比经过（﹣1，0），利用数形结合思想是解题关键．
5．如果x、y是非零实数，使得，那么x+y等于（）
A．3 B．C．D．
考点：一元二次方程的应用。
分析：根据绝对值的意义，可知分为两种情况来讨论，即x＞0和x＜0来完成我题目，解化简后的一元二次方程即可得出答案．
解答：解：将y=3﹣|x|代入|x|y+x3=0，得x3﹣x2+3|x|=0．
（1）当x＞0时，x3﹣x2+3x=0，方程x2﹣x+3=0无实根；
（2）当x＜0时，x3﹣x2﹣3x=0，得方程x2﹣x﹣3=0
解得，正根舍去，从而．
于是．
故．
故选D．
点评：本题主要考查了绝对值的性质和解一元二次方程的实际应用，属于基础性题目，要求学生能够熟练掌握并加以运用．
6．一列数：7，72，73，74，…72008．其中末位数字是3的有（）
A．502个B．500个C．1004个D．256个
考点：有理数的乘方。
专题：规律型。
分析：利用有理数的乘方法则计算出这列数，发现末位上的数字以7，9，3，1每四个一循环，故用2008除以4得502，表示这列数末位上的数字以7，9，3，1每四个一循环，循环了502次，因为每循环一次中末位上数字是3的有一个，所以这列数末位上数字是3的有502个．
解答：解：∵7=7；72=49；73=343；74=2401；
75=16807；76=117649；77=823543；78=5764801；
…，
这列数个位数的变化规律为：7，9，3，1每四个一循环，其中有末位上的数是3有一个，∵2008÷4=502，
∴这列数末位数字是3的有502个．
故选A．
点评：此题考查了有理数的乘方．采用的解题法为“循环节定位法”，即观察一个整数的正整数次幂的个位数字的规律．本题观察出7的个位数字的特点，总结出一般性的规律是解题的关键．
7．在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，∠C=90°，CD和BE是△ABC的两条中线，且CD ⊥BE，那么a：b：c=（）
A．1：2：3 B．3：2：1 C．D．
考点：勾股定理；三角形的重心。
分析：可以用建立直角坐标系来做．以三角形BC所在的边为x轴，以AC所在的边为y轴，C点为原点建立直角坐标系．可得，C（0，0），B（a，0），A（0，b）因为，CD和BE为
中线，所以D，E为中点，易得，D（，），E（0，）．因为CD与BE垂直，所以CD
与BE所在直线的斜率的乘积为负1，所以可得答案．
解答：解：可以用建立直角坐标系来做．以三角形BC所在的边为x轴，以AC所在的边为y轴，C点为原点建立直角坐标系．
可得，C（0，0），B（a，0），A（0，b）．
∵CD和BE为中线，
∴D，E为中点，则D（，），E（0，）．
则直线BE的斜率是：=﹣；
直线CD的斜率是：=．
∵CD与BE垂直，所以CD与BE所在直线的斜率的乘积为﹣1，即﹣?=﹣1．
∴b2=2a2．
∴a：b=1：．
又∵a2+b2=c2．
∴a：b：c=1：：．
故选D．
点评：本题考查了两条直线垂直的条件，关键是正确建立坐标系，把三角形的问题转化为一次函数的问题．
8．已知三角形三个内角的度数都是质数，则这三个内角中必定有一个内角等于（）
A．2度B．3度C．5度D．7度
考点：质数与合数；三角形内角和定理。
专题：探究型。
分析：由题意，根据三个角的内角和是180°可判断出，三个内角中必有一个内角是偶数，找出既是偶数又是质数的数即可．
解答：解：∵三个内角的和是180°，是一个偶数，
∴必有一个内角为偶数，
又∵三角形三个内角的度数都是质数，
∴既是偶数又是质数的只有2；
∴这三个内角中必定有一个内角等于2°；
故选A．
点评：本题考查的是质数与合数，知道既是偶数又是质数的只有2，是解答此题的关键．9．已知：m2+n2+mn+m﹣n=﹣1，则的值等于（）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
考点：因式分解的应用；代数式求值。
专题：计算题。
分析：把所给等式整理为3个完全平方式的和为0的形式，得到m，n的值，代入求值即可．解答：解：整理得：m2+n2+mn+m﹣n+1=0
（m+n）2+（m+1）2+（n﹣1）2=0，
∴m+n=0，m+1=0，n﹣1=0，
解得m=﹣1，n=1，
∴=﹣1+1=0，
故选B．
点评：考查因式分解的应用；把所给等式整理为3个完全平方式的和为0的形式是解决本题的突破点；用到的知识点为：三个完全平方式的和为0，这三个完全平方式的底数为0．
10．积（1+）（1+）（1+）…（1+）（1+）值的整数部分
是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点：分式的混合运算。
专题：规律型。
分析：先将（1+）（1+）（1+）…（1+）（1+）变形为
×××…××，再约分化简，从而得出整数部分．
解答：解：∵（1+）（1+）（1+）…（1+）（1+）
=×××…××
=
=，
∴积（1+）（1+）（1+）…（1+）（1+）值的整数部分是1．
故选A．
点评：本题考查了分式的混合运算，是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解答此题的关键是平方差公式的运用和约分．
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
11．如图所示，一个大长方形被两条线段AB、CD分成四个小长方形，其中长方形Ⅰ、Ⅱ、
Ⅲ的面积分别是8、6、5，那么阴影部分的面积是：．
考点：面积及等积变换。
分析：设大长方形的长为a，宽为b，Ⅰ的长为x，宽为y，则Ⅱ的长为a﹣x，宽为y，Ⅲ的长为a﹣x，宽为b﹣y，阴影部分的长为x，宽为b﹣y，设有阴影的矩形面积为z，再根据等高不同底利用面积的比求解即可．
解答：解：∵图形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别为8、6、5，
∴===，
∴===，
∴=，z=
∴S阴影=z=×=．
故答案为：．
点评：此题考查的是长方形及三角形的面积公式，解答此题的关键是熟知等高不同底的多边形底边的比等于其面积的比．
12．当|x|≤4时，函数y=|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最大值减去最小值的差是：16．
考点：函数最值问题。
分析：利用绝对值的性质，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，对x的范围分成﹣4≤x＜1，1≤x＜2，2≤x＜3和3≤x≤4共4类，分别对函数解析式化简，然后根据化简结果求得最值，继而求得答案．
解答：解：∵|x|≤4，
∴﹣4≤x≤4，
∴，
∴当x=﹣4时，y取最大值18，
当x=2时，y取最小值2．
则最大值与最小值的差是18﹣2=16．
故答案为：16．
点评：本题主要考查了函数最值问题，考查了绝对值的性质．此题难度较大，解题的关键是正确对x的范围进行分类，准确去绝对值．
13．今年参加数学竞赛的人数比去年增加了30%，其中男生增加了20%，女生增加了50%，
设今年参加竞赛的总人数为a，其中男生人数为b，则：=．
考点：分式方程的应用。
分析：根据题干中给出的总人数比2000年增加了30%，其中男生增加了20%，女生增加50%，即可列出关于a、b的关系式，即可求得的值．
解答：解：∵今年参加竞赛的总人数为a，其中男生人数为b，
∴女生人数为a﹣b，
∵总人数比2000年增加了30%，男生增加了20%，女生增加50%，
∴=+，
整理得：13a=8b，
即=．
故答案为．
点评：本题考查了分式方程的应用，本题中根据总人数比2000年增加了30%、男生增加了20%、女生增加50%列出关于a，b的关系式是解题的关键．
14．如果两点：M（x1，y1），N（x2，y2），那么．已
知：A（3，﹣1），B（﹣1，4），C（1，﹣6），在△ABC内求一点P，使PA2+PB2+PC2最小，则点P的坐标是（1，﹣1）．
考点：两点间的距离公式；完全平方式。
专题：计算题。
分析：设点P（x，y），则由两点间的距离公式，推出3x2+3y2﹣6x+6y+64，整理后得到3（x ﹣1）2+3（y+1）2+58，根据最小值求出即可．
解答：解：设点P（x，y），则由两点间的距离公式，得
PA2+PB2+PC2=（x﹣3）2+（y+1）2+（x+1）2+（y﹣4）2+（x﹣1）2+（y+6）2
=3x2+3y2﹣6x+6y+64，
=3（x2﹣2x+1）+3（y2﹣2y+1）+58，
=3（x﹣1）2+3（y+1）2+58，
∵要使上式的值最小，
必须x﹣1=0，y+1=0，
∴x=1，y=﹣1，
即P（1，﹣1），
故答案为：（1，﹣1）．
点评：本题主要考查对完全平方公式，两点之间的距离公式等知识点的理解和掌握，能推出3（x﹣1）2+3（y+1）2+58并进一步求出x、y的值是解此题的关键．
15．实数a、b、c满足：a2+6b=﹣17，b2+8c=﹣23，c2+2a=14，则a+b+c=﹣8．
考点：配方法的应用；非负数的性质：偶次方。
专题：配方法。
分析：将已知三个等式的左右分别相加，然后根据配方法将a2+6b+b2+8c+c2+2a转化为偶次方的和的形式（a+1）2+（b+3）2+（c+4）2=0；最后根据非负数的性质解答．
解答：解：∵a2+6b=﹣17，b2+8c=﹣23，c2+2a=14，
∴a2+6b+b2+8c+c2+2a=﹣26，
∴（a2+2a+1）+（b2+6b+9）+（c2+8c+16）=0，
即（a+1）2+（b+3）2+（c+4）2=0，
∴a+1=0，即a=﹣1；b+3=0，即b=﹣3；c+4=0，即c=﹣4；
∴a+b+c=﹣8．
故答案是：﹣8．
点评：本题重点考查了配方法的应用、非负数的性质：偶次方．解题的关键是根据完全平方和公式将代数式转化为偶次方的和的形式，然后由非负数的性质：偶次方解答．
16．已知恒等式：（x2﹣x+1）6=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a10x10+a11x11+a12x12，则
（a0+a2+a4+a6+a8+a10+a12）2﹣（a1+a3+a5+a7+a9+a11）2=729．
考点：函数值。
分析：只要把所求代数式因式分解成已知的形式，然后把已知代入即可．
解答：解：根据平方差公式，
原式=（a0+a2+a4+a6+a8+a10+a12+a1+a3+a5+a7+a9+a11）（a0+a2+a4+a6+a8+a10+a12﹣a1﹣a3﹣a5﹣a7﹣a9﹣a11）
=（a0+a1+a2+a3+a4+a15+a16+a7+a8+a9+a10+a11+a12）（a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6﹣a7+a8﹣a9+a10﹣a11+a12）
当x=1时，（1﹣1+1）
6=a
0+a1x+a2x 2+a
3x
3+…+a
10x
10+a
11x
11+a
12x
12=a
0+a1+a2+a3+a4+a15+a16+a7+a8+a9+a10+a11+a12当
x=﹣1时，（1+1+1）6=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a10x10+a11x11+a12x12=a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6﹣a7+a8﹣a9+a10﹣a11+a12∴原式=16×36=729，
故答案为729．
点评：本题考查了函数值的知识，先根据平方差公式将原式因式分解，再根据式子特点，将1或﹣1代入求值．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（1）已知：点（x，y）在直线y=﹣x+1上，且x2+y2=2，求x7+y7的值．
（2）计算：
（3）已知a、b、c是直角三角形△ABC的角A、B、C所对的边，∠C=90°．求：
的值．
考点：一次函数图象上点的坐标特征；分式的化简求值；二次根式的混合运算。
分析：（1）根据点（x，y）在直线y=﹣x+1上，得出x+y=1，进而求出xy的值，再利用因式分解法求出x7+y7的值；
（2）首先设，再替换后整理得出即可；
（3）将原式分组进行计算，再利用三角形三边关系求出即可．
解答：解：（1）∵，
∴
，
∴；
（2）设，
则原式=
=；
（3）原式
=
=
=+
=0．
点评：此题主要考查了勾股定理以及一次函数图象上点的特征以及因式分解的应用和换元法解方程等知识，根据已知选择正确的计算方法是解题关键．
18．已知x、y、z为实数，且x+y+z=5，xy+yz+zx=3，试求z的最大值与最小值．
考点：根与系数的关系；根的判别式。
专题：计算题。
分析：由x+y+z=5得y=5﹣x﹣z代入，xy+yz+zx=3得x（5﹣x﹣z）+（5﹣x﹣z）z+zx=3
整理得出关于x的一元二次方程x2+（z﹣5）x+（z2﹣5z+3）=0，利用关于x的一元二次方程的判别式得到关于z的不等式，解这个一元二次不等式可求得z的取值范围．
解答：解：由x+y+z=5得y=5﹣x﹣z代入xy+yz+zx=3得
x（5﹣x﹣z）+（5﹣x﹣z）z+zx=3
整理得
x2+（z﹣5）x+（z2﹣5z+3）=0
因为x是实数，那么关于x的一元二次方程的判别式是（z﹣5）2﹣4（z2﹣5z+3）≥0
解这个一元二次不等式，
得﹣1≤z≤．
故z的最大值为，最小值为﹣1．
点评：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据根的判别式以及不等式等知识点进行求解，考查学生的逻辑推理能力．
19．在成都火车站开始检票时，有a（a＞0）名旅客在候车室排队等候检票进站．检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站，设旅客按固定的速度增加，检票口按固定的速度检票．若开放一个检票口，则需30分钟才能将排队等候的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则需10分钟才能将排队等候的旅客全部检票完毕；如果现在要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以后进站的旅客能够随到随检，至少要同时开放几个检票口？考点：一元一次不等式的应用。
专题：应用题。
分析：先设检票开始后每分钟新增加旅客x人，检票的速度为每个检票口每分钟检y人，5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕需要同时开放n个检票口；根据开放窗口与通过时间等列方程和不等式解答．
解答：解：设检票开始后每分钟新增加旅客x人，检票的速度为每个检票口每分钟检y人，5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕需要同时开放n个检票口．
由题意得：
由②×3﹣①得：2a=30y，
得y=④，
把④代入①，得x=⑤，
把④，⑤代入③，得a+≤n×，
∵a＞0，
∴n≥=3.5，
n取最小值的整数，∴n=4，
答：至少要同时开放4个检票口．
点评：本题考查了一元一次不等式的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的等量关系和不等关系式．
20．如图，△ABC的三边满足关系BC=（AB+AC），O、I分别为△ABC的外心、内心，
∠BAC的外角平分线交⊙O于E，AI的延长线交⊙O于D，DE交BC于H，
求证：（1）AI=BD；
（2）OI=AE．
考点：三角形的五心。
专题：证明题。
分析：（1）作IG⊥AB于G点，连BI，BD，则AG=（AB+AC﹣BC），而BC=（AB+AC），可得到AG=BC，根据题意得∠EAD=90°，得到ED为⊙O的直径，ED垂直平分BC，因
此AG=BH，从而得到Rt△AGI≌Rt△BHD，即有AI=BD；
（2）由∠BID=∠BAI+∠ABI，而∠BAI=∠DBC，∠ABI=∠CBI，即可得到∠DBI=∠BID，则ID=DB，得到AI=ID，由此得到OI为三角形AED的中位线，利用中位线的性质即可得到结论．
解答：证明：（1）作IG⊥AB于G点，连BI，BD，如图，
∴AG=（AB+AC﹣BC），
而BC=（AB+AC），
∴AG=BC，
又∵AD平分∠BAC，AE平分∠BAC的外角，
∴∠EAD=90°，
∴O点在DE上，即ED为⊙O的直径，
而BD弧=DC弧，
∴ED垂直平分BC，即BH=BC，
∴AG=BH，
而∠BAD=∠DAC=∠DBC，
∴Rt△AGI≌Rt△BHD，
∴AI=BD；
（2）∵∠BID=∠BAI+∠ABI，
而∠BAI=∠DBC，∠ABI=∠CBI，
∴∠DBI=∠BID，
∴ID=DB，
而AI=BD，
∴AI=ID，
∴OI为三角形AED的中位线，
∴OI=AE．
点评：本题考查了三角形内心的性质和圆周角定理及推论．也考查了等腰三角形的判定以及三角形中位线的性质．
21．（2004?上海）数学课上，老师提出：
如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点的坐标为（1，0），点B在x轴上，且在点A的右侧，AB=OA，过点A和B作x轴的垂线，分别交二次函数y=x2的图象于点C和D，直线OC交BD于点M，直线CD交y轴于点H，记点C、D的横坐标分别为x C、x D，点H的纵坐标为y H．
同学发现两个结论：
①S△CMD：S梯形ABMC=2：3 ②数值相等关系：x C?x D=﹣y H
（1）请你验证结论①和结论②成立；
（2）请你研究：如果上述框中的条件“A的坐标（1，0）”改为“A的坐标（t，0）（t＞0）”，其他条件不变，结论①是否仍成立（请说明理由）；
（3）进一步研究：如果上述框中的条件“A的坐标（1，0）”改为“A的坐标（t，0）（t＞0）”，又将条件“y=x2”改为“y=ax2（a＞0）”，其他条件不变，那么x C、x D与y H有怎样的数值关系？（写出结果并说明理由）
考点：二次函数综合题。
专题：压轴题。
分析：（1）可先根据AB=OA得出B点的坐标，然后根据抛物线的解析式和A，B的坐标得出C，D两点的坐标，再依据C点的坐标求出直线OC的解析式．进而可求出M点的坐标，然后根据C、D两点的坐标求出直线CD的解析式进而求出D点的坐标，然后可根据这些点的坐标进行求解即可；
（2）（3）的解法同（1）完全一样．
解答：解：（1）由已知可得点B的坐标为（2，0），点C坐标为（1，1），点D的坐标为（2，4），
由点C坐标为（1，1）易得直线OC的函数解析式为y=x，
故点M的坐标为（2，2），
所以S△CMD=1，S梯形ABMC=
所以S△CMD：S梯形ABMC=2：3，
即结论①成立．
设直线CD的函数解析式为y=kx+b，
则，
解得
所以直线CD的函数解析式为y=3x﹣2．
由上述可得，点H的坐标为（0，﹣2），y H=﹣2
因为x C?x D=2，
所以x C?x D=﹣y H，
即结论②成立；
（2）（1）的结论仍然成立．
理由：当A的坐标（t，0）（t＞0）时，点B的坐标为（2t，0），点C坐标为（t，t2），点D 的坐标为（2t，4t2），
由点C坐标为（t，t2）易得直线OC的函数解析式为y=tx，
故点M的坐标为（2t，2t2），
所以S△CMD=t3，S梯形ABMC=t3．
所以S△CMD：S梯形ABMC=2：3，
即结论①成立．
设直线CD的函数解析式为y=kx+b，
则，
解得
所以直线CD的函数解析式为y=3tx﹣2t2；
由上述可得，点H的坐标为（0，﹣2t2），y H=﹣2t2
因为x C?x D=2t2，
所以x C?x D=﹣y H，
即结论②成立；
（3）由题意，当二次函数的解析式为y=ax2（a＞0），且点A坐标为（t，0）（t＞0）时，点C坐标为（t，at2），点D坐标为（2t，4at2），
设直线CD的解析式为y=kx+b，
则：，
解得
所以直线CD的函数解析式为y=3atx﹣2at2，则点H的坐标为（0，﹣2at2），y H=﹣2at2．因为x C?x D=2t2，
所以x C?x D=﹣y H．
点评：本题主要考查了二次函数的应用、一次函数解析式的确定、图形面积的求法、函数图象的交点等知识点．
22．如图所示，在△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于D．∠B的平分线分别与AD、AC交于E，F，H为EF的中点．
（1）求证：AH⊥EF；
（2）设△AHF、△BDE、△BAF的周长为c l、c2、c3．试证明：，并指出等号
成立时的值．
考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质。
分析：（1）根据∠BAC=90°，AD⊥BC，则∠AFB=90°﹣∠ABF，∠AEF=∠BED=90°﹣∠DEB，再由BF平分∠ABC，则∠ABF=∠DBF，从而得出AE=AF，根据等腰三角形的性质即可证明AH⊥EF；
（2）设，可证明Rt△AHF∽Rt △BED∽Rt△BAF，则得出，再根据三角形的周长得出c l、c2、c3．的关系式，并得出当k=时，等号成立，即为的值．
解答：证明：（1）∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠AFB=90°﹣∠ABF，∠AEF=∠BED=90°﹣∠DEB，
又BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠DBF，
∵∠AFB=∠AEF，
∴AE=AF，H为EF的中点，∴AH⊥EF；
（2）设，
∵∠AFH=∠BED，∴Rt△AHF∽Rt△BED∽Rt△BAF，
∴，
而FE=BF﹣2HF=x﹣2k?AF=x﹣2k2x=（1﹣2k2）x，
∴，
，
，
∴，
故当．
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质，是中考压轴题，难度较大．
数学试卷 一、选择题（30分） 1．在0，-2, 1，-3这四个数中，最小的数是( ). A ．0 B ．-2 C ．1 D ．-3 2. 函数中，自变量的取值范围是( ). A ．x≥1 B ．x≤1 C ．x≥-1 D ．x≤-1 3．把不等式组 的解集表示在数轴上，下列选项正确的是( ). A ． B ． C ． D ． 4．如图，小红和小丽在操场上做游戏，她们先在地上画出一个圆圈，然后蒙上眼在一定距离外向圆圈内投小石子，则投一次就正好投到圆圈内是( ). A ．必然事件（必然发生的事件） B ．不可能事件（不可能发生的事件） C ．确定事件（必然发生或不可能发生的事件） D ．不确定事件（随机事件） 5. 若x1、x2是一元二次方程的两个根，则x12的值是( ). A.3 3 C.2 2 6．我们从不同的方向观察同一物体时，可以看到不同的平面图形，如图，从图的左面看这个几何体的左视图是( ). A ． B ． C ． D ． 7．已知 ，我们又定义 ，， ，……，根据你观察的规律可推测出＝( ). 1 0 1 0 1 0 1 0
A. B. C. D. 8．如图，在矩形中，M、N分别为边、边的中点， 将矩形沿折叠，使A点恰好落在上的点F处， 则∠的度数为( ). A．20°B．25 °C．30°D．36° 9.为了解某区九年级学生课外体育活动的情况，从该年级学生中随机 抽取了4%的学生，对其参加的体育活动项目进行了调查，将调查的数据进行统计并绘制了扇形图和条形图.下列结论：①被抽测学生中参加羽毛球项目人数为30人；②在本次调查中“其他”的扇形的圆心角的度数为36°；③估计全区九年级参加篮球项目的学生比参加足球项目的学生多20%；④全区九年级大约有1500名学生参加乒乓球项目.其中正确结论的个数是( ). A. 1个 B.2个 C. 3个 D.4个 10．如图，等腰△中，∠90°，4，⊙C的半径为1，点P在斜边上，切⊙O于点Q，则切线长长度的最小值为( ). A. B. C. 3 D.4 二、填空题（18分） 11．如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O
2018年山东省枣庄实验高中自主招生数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案的选项填到二卷答题纸的指定位置处） 1．如图，数轴上点A表示数a，则|a﹣1|是（） A．1B．2C．3D．﹣2 2．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k＞﹣1且k≠0C．k＜﹣1D．k＜﹣1或k＝0 3．在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数（n）和芍药的数量规律，那么当n＝11时，芍药的数量为（） A．84株B．88株C．92株D．121株 4．某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x本资料，列方程正确的是（） A．﹣＝4B．﹣＝4 C．﹣＝4D．﹣＝4 5．如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系图象可能是（）
A．B． C．D． 6．如图在水平地面上有一幢房屋BC与一棵树DE，在地面观测点A处测得屋顶C与树稍的仰角分别是45°与60°，∠DCA＝90°，在屋顶C处测得∠DCA＝90°，若房屋的高BC＝5米，则高DE的长度是（） A．6米B．6米C．5米D．12米 7．某单位组织职工开展植树活动，植树量与人数之间关系如图，下列说法不正确的是（） A．参加本次植树活动共有30人 B．每人植树量的众数是4棵 C．每人植树量的中位数是5棵 D．每人植树量的平均数是5棵
2010年科学素养测试 数学试题 【卷首语】亲爱的同学们，欢迎参加一六八中学自主招生考试，希望你们凝神静气，考出水平！开放的一六八中学热忱欢迎你们！本学科满分为120分，共17题；建议用时90分钟。 一、填空题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、计算= . 2、分解因式：= . 3、函数中，自变量x的取值范围是. 4、已知样本数据x1，x2，…，x n的方差为1，则数据10x1＋5，10x2＋5，…，10x n＋5的方 差为. 5、函数的图像与坐标轴的三个交点分别为（a, 0）(b, 0)（0, c)，则a+b+c的值等 于. 6、在同一平面上，⊙、⊙的半径分别为2和1，＝5，则半径为9且与⊙、⊙都相切的圆有 个． 7、一个直角三角形斜边上的两个三等分点与直角顶点的两条连线段长分别为3 cm和4 cm， 则斜边长为cm . 8、用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：
则第10个图案中有白色地面砖块. 9、将函数的图像平移，使平移后的图像过C（0，-2），交x轴于A、B两点，并且△ABC 的面积等于4，则平移后的图像顶点坐标是. 10、如图，平行四边形ABCD中，P点是形内一点，且△P AB的面积等于8 cm2，△P AD的 面积等于7 cm2，，△PCB的面积等于12 cm2，则△PCD的面积是cm2. （第10题图）（第11题图） 11、一个由若干个相同大小的小正方体组成的几何组合体，其主视图与左视图均为如图所 示的3 × 3的方格，问该几何组合体至少需要的小正方体个数是. 12、正△ABC内接于⊙O，D、E分别是AB、AC的中点，延长DE交⊙O与F, 连接BF交 AC于点P,则. 二、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分） 13、已知（a+b）∶(b+c)∶(c+a)=7∶14∶9 求：①a∶b∶c②
2016年福建省福州一中自主招生考试数学试卷 、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分 ,'x + 1 1 ■若代数式（x-3）2有意乂，则实数X的取值范围是（ A . X≥-1 B . X≥-1 且X≠3 C . X > -1 D . X > -1 且X≠3 2 .实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简∣a-b∣-∣a∣的结果为（） A. -2a+b B. -b C. -2a-b D. b ------ ?-- -------------- 1------- > 口0 b 3 .如图，4根火柴棒形成象形口”字，只通过平移火柴棒，原图形能变成的汉字是（）I— 4 .打开某洗衣机开关，在洗涤衣服时（洗衣机内无水），洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升） 5.对参加某次野外训练的中学生的年龄（单位：岁）进行统计,结果如表： 年龄131415161718 人数456672 6.如图所示，圆A和圆B的半径都为1 , AB=8 .圆A和圆B都和圆O外切，且三圆均和直线I相切，切点为C、D、E,则圆O的半径为（） A . 3 B . 4 C . 5 D. 6 A . 17, 15.5 B . 17, 16 C . 15, 15.5 D. 16, 16
7 .已知二次函数y=ax 2 +bx+c （a≠0）的图象如图所示，现有下列结论： ① abc > 0;② b2-4ac V 0;③ 2a+b=0 ;④ a+b > 0. 则其中正确结论的个数是（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8.如图，矩形纸片ABCD中，AB=2 , AD=6 ,将其折叠，使点D与点B重合，得折痕EF.则tan ∠ BFE的值是（） A. 1 B. 1 C. 2 D. 3 2 9 .如图是一个切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点A , B , C均是棱的 10 .甲，乙，丙，丁，戊与小强六位同学参加乒乓球比赛，每两人都要比赛一场，到现在为止，甲已经赛了5场，乙已经赛了4场，丙已经赛了3场，丁已经赛了2场，戊已经赛了1场，小强已经赛了（） A. 1场 B. 2场 C. 3场 D. 4场 A. UJ C I Br十C.C 中点，现将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是（
中学自主招生数学试卷 一、选择题（共5小题，每题4分，满分20分） 1．（4分）下列图中阴影部分面积与算式|﹣|+（）2+2﹣1的结果相同的是（） A．B．D． 2．（4分）如图，∠ACB=60°，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（） A．2πB．4πC．2D．4 3．（4分）如果多项式x2+px+12可以分解成两个一次因式的积，那么整数p的值可取多少个（） A．4 B．5 C．6 D．8 4．（4分）小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多多少道（） A．15 B．20 C．25 D．30 5．（4分）已知BD是△ABC的中线，AC=6，且∠ADB=45°，∠C=30°，则AB=（） A．B．2C．3D．6 二、填空题（共6题，每小题5分，满分30分） 6．（5分）满足方程|x+2|+|x﹣3|=5的x的取值范围是． 7．（5分）已知三个非负实数a，b，c满足：3a+2b+c=5和2a+b﹣3c=1，若m=3a+b﹣7c，则m的最小值为． 8．（5分）如图所示，设M是△ABC的重心，过M的直线分别交边AB，AC于P，Q两
点，且=m，=n，则+=． 9．（5分）在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点（x，y）称为整点，如果 将二次函数的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色，则此红色区域内部及其边界上的整点个数有个． 10．（5分）如图所示：在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴交于A（0，），∠OCB=60°，∠COB=45°，则OC=． 11．（5分）如图所示：两个同心圆，半径分别是和，矩形ABCD边AB，CD分别为两圆的弦，当矩形ABCD面积取最大值时，矩形ABCD的周长是． 三、简答题（共4小题，满分50分） 12．（12分）九年级（1）、（2）、（3）班各派4名代表参加射击比赛，每队每人打两枪，射中内环得50分，射中中环得35分，射中外环得25分，脱靶得0分．统计比赛结果，（1）班8枪全中，（2）班1枪脱靶，（3）班2枪脱靶，但三个班的积分完全相同，都是255分． 请将三个班分别射中内环、中环、外环的次数填入下表并简要说明理由： 班级内环中环外环
6.如图，点A 在函数=y x 6 -)0( 则使等式{}[]4 2=-x x 成立的整数．．=x ． 16.如图，E 、F ABCD 的边AB 、CD 上 的点，AF 与DE 相交于点 P ，BF 与CE 相交于 点Q ，若S △APD 15 =2cm ，S △BQC 25=2cm ， 则阴影部分的面积为 2cm ． . 19.将背面相同，正面分别标有数字 1、2、3、4的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上. （1）从中随机抽取一张卡片，求该卡片正面上的数字是偶数的概率； （2）先从中随机抽取一张卡片（不放回．．． ），将该卡片正面上的数字作为十位上的数字；再随机抽取一张，将该卡片正面上的数字作为个位上的数字，则 组成的两位数恰好是4的倍数的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明. 20.为配合我市“创卫”工作，某中学选派部分学生到若干处公共场所参加义务劳 动．若每处安排10人，则还剩15人；若每处安排14人，则有一处的人数不足14人，但不少于10人．求这所学校选派学生的人数和学生所参加义务劳动的公共场所个数. 21.如图，四边形ABCD 是正方形，点N 是CD 的中点，M 是AD 边上不同于点A 、 D 的点， 若10 10 sin = ∠ABM ，求证:MBC NMB ∠=∠. 22.如图，抛物线的顶点坐标是?? ? ??892 5，－，且经过点) 14 , 8 (A . (1)求该抛物线的解析式； (2)设该抛物线与y 轴相交于点B ，与x 轴相交于C 、D 两点（点C 在点D 的左边）， 试求点B 、C 、D 的坐标； (3)设点P 是x 轴上的任意一点，分别连结AC 、BC ．试判断：PB PA +与BC AC +23.如图，AB 是⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BM ，点(第21题图) N (第22题图) C D F （第16题图） 漳州一中自主招生试卷 2011年漳州一中高中自主招生考 试数学试卷 2011年漳州一中高中自主招生考试数学试卷 1.下列运算正确的是…………………………………………………………( ) A.2ab,3ab 5ab B.a2 a3 a6 2 2 1 (a 0) D.x,y x,y 2a 2.如图，点A在数轴上表示的实数为a，则a～2等于…………………( ) C.a ～2 1 A 0 –1 1 2 3 (第2题图) A.a～2 B.a,2 C.～a～2 D.～a,2 4.如图，A、B、C、D是直线l上顺次四点，M、N分别是 AB、CD的中点，且MN 6cm，BC 1cm，则AD的长等于……………………( ) l A M B C N D (第4题图) A.10cm B.11cm C.12cm D.13cm 7.用大小和形状完全相同的小正方体木块搭成 一个几何体，使得它的正视图和俯视图如图所示，则搭成这样的一个几何体至少需要小正方体木块的个数为………………( ) A.22个 B.19个 C.16个 D.13个 (正视图) (俯视图) (第7题图) 2 8.用半径为6cm、圆心角为120的扇形做成一个圆锥的侧 面, 则这个圆锥的底面半径 是……………………………………………………………… ……( ) A.2cm B.3cm C.4cm D.6cm 9.若n为整数，则能使 … n,1 也为整数的n的个数有……………………( n～1 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个10.已知a为实数，则代数式27～12a,2a2的最小值 为………………( 13 题图) ) (第A.0 B.3 C.33 D.9 x,211.函数y 的自变量x的取值范围是( x～1 12.分解因式:～3xy,27xy 13.把2007个边长为1的正方形 排成如右图所示的图形，则这个图形的周长 2018上海中学数学自主招生试卷及答案 1. 因式分解：326114x x x -++= 【答案】(1)(34)(21)x x x --+ 【解析】有理根法，有理根p c q = ，分子是常数项的因数，分母是首项系数的因数。 2. 设0a b >>，224a b ab +=，则a b a b +=- 【答案】3 【解析】左右同除以ab ，然后采用换元法；或者采用下面的方式 3. 若210x x +-=，则3223x x ++= 【答案】4 【解析】采用降幂来完成； 4. 已知21()()()4b c a b c a -=--，且0a ≠，则b c a += 【答案】2 【解析】同除以a ，然后采用换元法 ()2 2 440b c b c a a ++-+= 5. 一个袋子里装有两个红球和一个白球（仅颜色不同），第一次从中取出一个球，记下颜 色后放回，摇匀，第二次从中取出一个球，则两次都是红球的概率是 【答案】 4 9 【解析】难度简单，直接为2/3的平方 6. 直线:33l y x =-+与x 、y 轴交于点A 、B ，AOB ?关于直线AB 对称得到ACB ?， 则点C 的坐标是 【答案】33 (, )2 【解析】采用画图的方法解决 7. 一张矩形纸片ABCD ，9AD =，12AB =，将纸片折叠，使A 、C 两点重合，折痕长是 【答案】 454 【解析】 8. 任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即2 n ），如果n 是奇数，则将它乘以3 加1（即31n ），不断重复这样的运算，现在请你研究：如果对正整数n （首项）按照上 述规则施行变换（注：1可以多次出现）后的第八项为1，则n 所有可能取值为 【答案】128、2、16、20、3、21 【解析】 合肥一中自主招生数学试卷(含答案[1] 2011年合肥一中自主招生《科学素养》测试数学试题 （满分：150分） 一、选择题：（本大题共4小题，每小题8分，共32分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．） 1.如图一张圆桌旁有四个座位，A,B,C,D 四人随机坐在四个座位上，A 则D 与相邻的概率是（ ） 2.3A B. 12 C. 14 D. 29 2. 小明将一张正方形包装纸，剪成图1所示形状，用它包在一个棱长为10的正方体的表面（不考虑接缝），如图2所示．小明所用正方形包装纸的边长至少为（ ） A ．40 B ．30+22 C ．202 D ．10+102 3.在平面直角坐标系中，第一个正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为（1,0）, 点D 的坐标为（1,0）,延长CB 交x 轴与A 1，作作第二个正方形A 1B 1C 1C ；延长C 1B 1交x 轴于点A 2，作第二个正方形 A 2B 2C 2C 1???，按这样的规律进行下去，第2010个正方形的面积为（ ） A. 20093 5()2 B. 200895()4 C. 401835()2 D. 2010 95()4 若该县常住居民共24万人，则估计该县常住居民中，利用“五·一”期间出游采集发展信息的人数约为 万人。 6.已知点P(x,y)位于第二象限，并且y ≤x+4,x,y 为整数，符合上述条件的点P 共有 个。 7. 如图，已知菱形OABC,点C 在直线y=x 经过点A ，菱形OABC 的面积是2，若反比例函数的图象经过点B,则此反比例函数表达式为 。 （ 第7题） （第8题） 8.如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC,，AD ＝2，将腰CD 以D 为中心逆时针旋转 90°至DE ，连结AE ，若△ADE 的面积是3，则BC 的长为_ ________． 9.如图，矩形ABCD 中，由8个面积均为1的小正方形组成的L 型模板如图放置，则矩形ABCD 的周长为 。 A B C D E 2019数学试题 考试时间 100分钟 满分100分 说明：（1）请各位同学注意，本试卷题目有一定的难度，你要根据自己的情况量力而行，争取用最短的时间获得最多的分数，提高自己的考试效率！考试，比的不仅是知识和能力，更重要的是要有良好的心态和适合自己的期望值，争取把会做的题目都做对，祝你取得好成绩！ （2）请在背面的答题纸上作答。另外，答完题后注意保护好自己的答案，防止他人的不劳而获，要做到公平竞争！ 一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）。每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入试卷背面的表格里，不填、多填或错填都得0分。 1．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低 气温的雷达图．图中A 点表 示十月的平均最高气温约为15C o ，B 点表示四月的平均最低气温约为5C o ．下面叙述不 正确的是 A ．各月的平均最低气温都在0C o 以上 B ．七月的平均温差比一月的平均温差大 C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D ．平均气温高于20C o 的月份有5个 2．上图是二次函数2y ax bx c =++的部分图象，由图象可知不等式20ax bx c ++<的解集为 A ．1x <-或5x > B ．5x > C ．15x -<< D ．无法确定 第2题 20C o 15C o 10C o 5C o A 十月 四月 三月 二月 一月十二月 十一月 九月 八月 七月 六月 五月 B 平均最低气温 平均最高气温 3．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得密码第一位是,,M I N 中的一 个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 A ． 115 B ． 815 C ．18 D ． 130 4．在ABC ?中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．若22245b c b c +=+-且 222a b c bc =+-，则ABC ?的面积为 A B C D 5．上图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积．．． （表面面积，也叫全面积）为 A ．20π B ．24π C ．28π D ．32π 参考公式：圆锥侧面积S rl π=，圆柱侧面积2S rl π=，其中r 为底面圆的半径，l 为母线长． 6．如下图，在ABC ?中，AB AC =，D 为BC 的中点， BE AC ⊥于E ，交AD 于P ，已知3BP =，1PE =， 则AE = A B C D 7．ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知a =，2c =，2cos 3 A =，则b = A B C ．2 D ．3 8．如下图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短．．路径条数为 A ．9 B ．12 C ．18 D ．24 E G F g g g 正视图 g 侧视图 俯视图 第5题图 高中自主招生考试数学试卷 亲爱的同学： 欢迎你参加萧山中学自主招生考试。萧山中学是省一级重点中学，有雄厚的师资，优秀的学生，先进的育人理念，还有美丽的校园，相信你的加盟将使她更加星光灿烂。为了你能顺利地参加本次考试，请你仔细阅读下面的话： 1、试卷分试题卷和答题卷两部分。满分为100分，考试时间为70分钟。 2、答题时，应该在答题卷密封区内写明姓名、学校和准考证号码。 3、所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，请务必注意试题序号和答题序号相对应。 一、选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题4分，共32分） 1．计算tan602sin 452cos30?+?-?的结果是（ ） A ．2 B ．2 C ．1 D ．3 2．如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30?到正方形AB C D '''，图中阴影部分的面积为（ ） A ．313 - B ． 33 C ．314 - D ． 12 3．已知b a ,为实数，且1=ab ，设11+++= b b a a M ，1 1 11++ +=b a N ，则N M ,的大小关系是（ ） A ．N M > B ．N M = C ．N M < D ．无法确定 4. 一名考生步行前往考场， 10分钟走了总路程的 4 1 ，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了( ) A ．20分钟 Ｂ．22分钟 Ｃ．24分钟 D ．26分钟 5.二次函数1422 ++-=x x y 的图象如何移动就得到2 2x y -=的图象（ ） A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位。 B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位。 C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位。 D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位。 6．下列名人中：①比尔?盖茨 ②高斯 ③刘翔 ④诺贝尔 ⑤陈景润 ⑥陈省身 ⑦高尔基 ⑧爱因斯坦，其中是数学家的是（ ） A ．①④⑦ B ．②④⑧ C ．②⑥⑧ D ．②⑤⑥ 7．张阿姨准备在某商场购买一件衣服、一双鞋和一套化妆品，这三件物品的原价和优惠方 式如下表所示： 欲购买的 商品 原价（元） 优惠方式 A B C D B ' D C ' 上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题 一、填空题（每小题５分，共50分) １．设函数 () f x 满足 2(3)(23)61 f x f x x +-=+,则 ()f x = . 2.设,,a b c 均为实数，且364a b ==,则11a b -= . 3.设0a >且1a ≠,则方程2122x a x x a +=-++的解的个数为 ． 4．设扇形的周长为６,则其面积的最大值为 . 5．11!22!33!!n n ?+?+?++?= . ６.设不等式(1)(1)x x y y -≤-与22x y k +≤的解集分别为M 和N ．若M N ?，则k 的最小值为 . ７ . 设 函 数 ()x f x x = ,则 2112()3()()n S f x f x nf x -=++++= ． 8．设0a ≥，且函数()(cos )(sin )f x a x a x =++的最大值为 25 2 ,则a = ． 9.6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位,则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为 ． 10.已知函数121 ()1 x f x x -= +,对于1,2,n =,定义11()(())n n f x f f x +=,若 355()()f x f x =，则28()f x = . 二、计算与证明题(每小题10分，共50分) １1.工件内圆弧半径测量问题. 为测量一工件的内圆弧半径R ,工人用三个半径均为r 的圆柱形量棒 123,,O O O 放在如图与工件圆弧相切的位置上,通过深度卡尺测出卡尺 水平面到中间量棒2O 顶侧面的垂直深度h ，试写出R 用h 表示的函数关系式，并计算当 10,4r mm h mm ==时，R 的值． 1２.设函数()sin cos f x x x =+，试讨论()f x 的性态（有界性、奇偶性、单调性和周期性)，求其极值,并作出其在[]0,2π内的图像． １３．已知线段AB 长度为3，两端均在抛物线2x y =上,试求AB 的中点M 到y 轴的最短距离和此时M 点的坐标. 参考答案: 2017高中自主招生考试数学模拟试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）． 1．（3分）若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（） A ． m＞3 B．m≥3C．m≤3D． m＜3 2．（3分）如图，在△ABC中．∠ACB=90°，∠ABC=15°，BC=1，则AC=（） （2）（3）A．B．C．D． 3．（3分）（2011?南漳县模拟）如图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上，下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A，B两点）上移动时，点P（） A．到CD的距离保持不变B．位置不变 C． 等分 D．随C点移动而移动 4．（3分）已知y=+（x，y均为实数），则y的最大值与最小值的差为（） A． 2﹣1 B． 4﹣2 C． 3﹣2 D． 2﹣2 5．（3分）（2010?泸州）已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（） A．B．C．D． 6．（3分）如图（6），已知一正三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍，当这个圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（） A． 6圈B．圈C． 7圈D． 8圈 7．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图（7），则以下结论正确的有：①abc＞0； ②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1，m为实数）（） （6）（7）（8）A． 2个B． 3个C． 4个D． 5个 8．（3分）如图8，正△ABC中，P为正三角形内任意一点，过P作PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC连结AP、BP、CP，如果，那么△ABC的内切圆半径为（） A． 1 B．C． 2 D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）与是相反数，计算=_________． 10．（3分）若[x]表示不超过x的最大整数，，则[A]=_________． 11．（3分）如图，M、N分别为△ABC两边AC、BC的中点，AN与BM交于点O，则= _________． （11）（12） 12．（3分）如图，已知圆O的面积为3π，AB为直径，弧AC的度数为80°，弧BD的度数为20°，点P为直径AB上任一点，则PC+PD的最小值为_________． 数学素质考查卷 一.选择题：（本大题共12个小题，每个4分，共48分，将所选答案填涂在机读卡上） 1、下列因式分解中，结果正确的是（ ） A.2322()x y y y x y -=- B.424(2)(x x x x -=+ C.21 1(1)x x x x x --=-- D.21(2)(1)(3)a a a --=-- 2、“已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，试判断a b c ++与 0的大小.”一同学是这样回答的：“由图像可知：当1x =时0y <， 所以0a b c ++<.”他这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫 做（ ） A.换元法 B.配方法 C.数形结合法 D.分类讨论法 3、已知实数x 满足22114x x x x ++-=，则1 4x - 的值是（ ） A.-2 B.1 C.-1或2 D.-2或1 4、若直线21y x =-与反比例函数k y x =的图像交于点(2,)P a ，则反比例函数k y x =的图像还必过点（ ） A. (-1,6) B.(1,-6) C.(-2,-3) D.(2,12) 5、现规定一种新的运算：“*”：*()m n m n m n -=+，那么51 *22＝（ ） A. 54 B.5 C.3 D.9 6、一副三角板，如图所示叠放在一起，则AOB COD ∠+∠＝ （ ） A.180° B.150° C.160° D.170° 7、某中学对2005年、2006年、2007年该校住校人数统计时发现，2006年比2005年增加20%，2007年比2006年减少20%，那么2007年比2005年（ ） A.不增不减 B.增加4％ C.减少4％ D.减少2％ 2007年湖南省长沙一中自主招生考试数学试卷 一、填空题 1．设a为的小数部分，b为的小数部分，则的整数部分为_________． 2．下列两个方程组与有相同的解，则m+n=_________． 3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，∠A的平分线AD交BC于D，则=_________． 4．已知a是方程x2﹣2002x+1=0的根，则=_________． 5．A、B是平面内两个不同的定点，在此平面内找点C，使△ABC为等腰直角三角形，则这样的点C有_________个． 6．某工程队要招聘甲乙两种工种的工人150名，甲乙两种工种工人的月工资分别是600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的两倍，问甲乙两种工种的人数各聘_________时可使得每月所付工资最少，最小值是_________． 7．已知，则分式=_________． 8．如图，D、E分别是△ABC的边AC、AB边上的点，BD、CE相交于点O，若S△COD=3，S△BDE=4，S△OBC=5，那么S四边形ADOE=_________． 9．三边长为整数且最长边是11的三角形共有_________个． 10．已知方程：x3+4x2﹣11x﹣30=0的两个根的和等于1，则这个方程的三个根分别是_________． 11．若函数当a≤x≤b时的最小值为2a，最大值为2b，求a、b的值． 12．函数，其中a为任意实数，则该函数的图象在x轴上截得的最短线段的长度为 _________． 二、解答题（共8小题，满分0分） 13．已知关于x的方程x2﹣（2m﹣3）x+m﹣4=O的二根为a1、a2，且满足﹣3＜a1＜﹣2，a2＞0．求m的取值范围．14．在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠BAC=45°，BD=3，DC=2，求△ABC的面积． 15．一个三角形的三边长分别为a、a、b，另一个三角形的三边长分别为a、b、b，其中a＞b，若两个三角形的最小内角相等，则=_________． 16．求方程组的实数解． 17．如图，在半径为r的⊙O中，AB为直径，C为的中点，D为的三分之一分点，且的长等于两倍的的长，连接AD并延长交⊙O的切线CE于点E（C为切点），求AE的长． 小升初自主招生考试数学试题 一、填空。（16分，每空1分） 1、南水北调中线一期工程通水后，北京、天津、河北、河南四个省市沿线约60000000人将直接喝上水质优良的汉江水（横线上的数读作）。其中河北省年均调水量配额为三十四亿七千万立方米（横线上的数写作，省略亿位后面的尾数， 约是亿）， 2、 直线上A 点表示的数是（ ），B 点表示的数写成小数是（ ）， C 点表示的数写成分数是（ ）。 3、分数a 8 的分数单位是（ ），当a 等于（ ）时，它是最小的假分数。 4、如下图，把一个平行四边形剪成一个三角形和一个梯形。如果平行四边形的高是0.5厘米，那么三角形的面积是（ ）平方厘米，梯形的面积是（ ）平方厘米。 5、寒暑表中通常有两个刻度——摄氏度和华氏度，他们之间的换算关系是：摄 氏度×5 9 ＋32＝华氏度。当5摄氏度时，华氏度的值是（）；当摄氏度的值是 （）时，华氏度的值等于50。 6、赵明每天从家到学校上课，如果步行需要15分钟，如果骑自行车则只需要9分钟，他骑自行车的速度和步行的速度比是（ ）。 7、把一个高6.28厘米的圆柱的侧面展开得到一个正方形，这个圆柱的底面积是 （ ）平方厘米。 8、按照下面图形与数的排列规律，下一个数应是（ ），第n 个数是（ ）。 二、选择。（把正确答案的序号填在括号里）（16分、每题2分） 1、一根铁丝截成了两段，第一段长37米，第二段占全长的3 7 。两端铁丝的长度比较（ ） A 、第一段长 B 、第二段长 C 、一样长 D 、无法比较 2、数a 大于0而小于1，那么把a 、a 2、 a 1 从小到大排列正确的是（ ）。 A 、a ＜a 2＜a 1 B 、 a ＜a 1＜a 2 C 、a 1＜a ＜a 2 D 、a 2＜a ＜a 1 3、用同样大小的正方体摆成的物体，从正面看到，从上面看到， 从左面看到（ ）。 A 、 B 、 C 、 D 、无法确定 4、一次小测验，甲的成绩是85分，比乙的成绩低9分，比丙的成绩高3分。那么他们三人的平均成绩是（ ）分。 A 、91 B 、87 C 、82 D 、94 5、从2、3、5、7这四个数中任选两个数，和是（ ）的可能性最大。 A 、奇数 B 、偶数 C 、质数 D 、合数 6、观察下列图形的构成规律，按此规律，第10个图形中棋子的个数为（ ） 第2题 自主招生考试 数学试题卷 亲爱的同学： 欢迎你参加考试！考试中请注意以下几点： 1．全卷共三大题，满分120分，考试时间为100分钟。 2．全卷由试题卷和答题卷两部分组成。试题的答案必须做在答题卷的相应位置上。做在试题卷上无效。 3．请用钢笔或圆珠笔在答题卷密封区上填写学校、姓名、试场号和准考证号，请勿遗漏。 4．答题过程不准使用计算器。 【 祝你成功! 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题的四个选项中，只有一个 符合题目要求） 1．如果一直角三角形的三边为a 、b 、c ，∠B=90°，那么关于x 的方程a(x 2-1)－2cx+b(x 2+1)=0的根的情况为 A 有两个相等的实数根 B 有两个不相等的实数根 C 没有实数根 D 无法确定根的情况 2．如图，P P P 123、、是双曲线上的三点，过这三点分别作y 轴的垂线，得三个三角形 P A O P A O P A O 112233、、，设它们的面积分别是S S S 123、、，则 A S S S 123<< B S S S 213<< $ C S S S 132<< D S S S 123== 3．如图，以BC 为直径，在半径为2圆心角为900的扇形内作半圆，交弦AB 于点D ，连接CD ，则阴影部分的面积是 A π－1 B π－2 C 121-π D 22 1 -π … 4．由325x y a x y a x y a m -=+??+=??>??>?得a>－3,则m 的取值范围是 A m>－3 B m ≥－3 C m ≤－3 D m<－3 5．如图，矩形ABCG （AB 2015年湖南省常德市桃源一中自主招生数学试卷 一、选择题 1．不等式的解集是（） A．﹣＜x≤2 B．﹣3＜x≤2 C．x≥2 D．x＜﹣3 2．一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，将骰子抛掷两次，掷第一次，将朝上一面的点数记为x，掷第二次，将朝上一面的点数记为y，则点（x，y）落在直线y=﹣x+5上的概率为（） A．B．C．D． 3．如图所示，在正方形铁皮中，剪下一个圆和一个扇形，使余料尽量少．用圆做圆锥的底面，用扇形做圆锥的侧面，正好围成一个圆锥，若圆的半径为r，扇形的半径为R，那么（） A．R=2r B．R=r C．R=3r D．R=4r 4．如图所示，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（） A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2B．（a+b）2=a2+2ab+b2 C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）D．a2+ab=a（a+b） 5．若直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3（m为常数）的交点在第四象限，则整数m的值为（）A．﹣3，﹣2，﹣1，0 B．﹣2，﹣1，0，1 C．﹣1，0，1，2 D．0，1，2，3 二、填空题（每小题4分，共24分） 6．定义新运算：a⊕b=，则函数y=3⊕x的图象大致是．7．|π﹣3.14|+sin30°+3.14﹣8=． 8．函数y=的自变量x的取值范围是． 9．将边长为a的正三角形各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，则这个正六边形的面积为． 10．如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙0上的两点，若∠CDB=30°，则∠ABC的度数为，cos∠ABC=． 11．已知实数x，y满足x2+3x+y﹣3=0，则x+y的最大值为． 12．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律．若把第一个数记为a1，第二数记为a2，…，第n个数记为a n．计算a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…，由此推算a10﹣ a9=，a2012=． 三．解答题：（共52分） 13．先化简：÷﹣，然后在0，1，2，3中选一个你认为合格的a值，代入求值． 1012?桃源县校级自主招生）关于x的一元二次议程x2﹣x+p+1=0有两个实数根x1，x2． （1）求p的取值范围． （2）[1+x1（1﹣x2）][1+x2（1﹣x1）]=9，求p的值． 15．某服装厂批发应夏季T恤衫，其单价y（元）与批发数量x（件）（x为正整数）之间的函数关系如图所示， 2017年自主招生数学试题 (分值: 100分 时间:90分钟) 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的） 1、若对于任意实数a ，关于x 的方程0222 =+--b a ax x 都有实数根，则实数b 的取值范围是（ ） A b ≤0 B b ≤2 1 - C b ≤81- D b ≤-1 2、如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，且DE ∥AC ，已知S △BDE ∶S △CDE =1∶3，则S △DOE ∶S △AOC 的值为（ ） A ．1∶3 B ．1∶4 C ．1∶9 D ．1∶16 3、某校吴老师组织九(1)班同学开展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高(如图所示)。已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子(折线BCD) 恰好落在水平地面和斜坡上，在D 处测得电线杆顶端A 的仰角为300 ，在C 处测得电线杆 顶端A 得仰角为450，斜坡与地面成600 角，CD=4m ，则电线杆的高(AB)是（ ） A ．)344(+m B ．)434(-m C ．)326(+m D ．12m 4、如图，矩形ABCD 中，AB=8，AD=3．点 E 从D 向C 以每秒1个单位的速度运动，以AE 为一边在AE 的右下方作正方形AEFG ．同时垂直于CD 的直线MN 也从C 向D 以每秒2个单位的速度运动，当经过（ ）秒时，直线MN 和正方形AEFG 开始有公共点。 A ．53 B ． 12 C ．43 D ．23 (第2题图) (第3题图) (第4题图) 5、如图，在反比例函数x y 2 - =的图象上有一动点A ，连接AO 并延长交图象的另一支于点B ，在第一象限内有一点C ，满足AC=BC ，当点A 运动时，点C 始终在函数x k y =的图 象上运动，若tan ∠CAB=2，则k 的值为( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6、如图，O 是等边三角形ABC 内一点，且OA=3，OB=4，OC=5．将线段OB 绕点B 逆时针 旋转600得到线段O′B，则下列结论：①△AO′B 可以由△COB 绕点B 逆时针旋转600 得 到；②∠AOB=1500 ；③633AOBO'S =+四边形93 6AOB AOC S S +=△△（ ）漳州一中自主招生试卷 漳州一中高中自主招生考试数学试卷
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