直线与圆定点，定值范围问题习题
1.直线(21)(1)740()m x m y m m R +++--=∈，则直线过定点____________.
2.若圆2
2
2
(3)(5)x y r -++=上有且仅有两个点到直线4320x y --=的距离等于1，则半径r 的取值范围为____________.
3.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ________．
4.圆2
2
2
:22440C x y tx t y t +--+-=，则圆过定点________________.
5.若直线y=x+b
与曲线y =b 的取值范围______________.
6.平面内动点M 到定点(2,0),(2,0)A B -的距离之比为1
2
，则动点M 的轨迹方程是
______________________.
7已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R)对称，则ab 的取值范围是
________．
8.一束光线从点A (－1,1)出发经x 轴反射，到达圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1上一点的最短路
程是________
9.设有一组圆C k ：(x －k ＋1)2＋(y －3k )2＝2k 4(k ∈N *
)下列四个命题正确的序号有：
①存在一条定直线与所有的圆均相切； ②存在一条定直线与所有的圆均相交； ③存在一条定直线与所有的圆均不相交； ④所有的圆均不经过原点．
10.已知过点A （0，1），且斜率为k 的直线l 与圆C ：1)3()2(22
=-+-y x ，相交于M 、
N 两点.
（1）求实数k 的取值范围； （2）AM ?AN 是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理
由。
11.已知⊙C,22
(1)5,x y +-=直线mx-y+1-m=0
(1)证明：对于m R ∈,直线与圆总有两个不同的交点A,B,
(2)求弦AB 中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 （3）若定点P(1，1)分弦满足PB=2PA,求AB 直线方程
12.已知⊙O 2
2
4x y +=过点
P (作倾斜角互补的直线交圆A,B ，证明直线AB 的斜率为定值。
13.点A(0，2)是圆2
2
16x y +=内的一定点，B,C 是这个圆上的两动点，若AB CA ⊥,求BC
中点M 的轨迹方程，并说明轨迹的形状。
14.已知：点P 是圆2
2
16x y +=上的一个动点，点A 是x 轴上的定点，坐标为（12，0），当P 点在圆上运动时，求线段PA 的中点M 的轨迹方程
A
Q
M
O
15.圆2
2
(5)(4)6x y -+-=内一定点A (4,3)，在圆上作弦MN ，使90MAN ∠=o
，求弦MN 中点
P 的轨迹方程
16.如图，已知定点A （2,0），点Q 是圆2
2
1x y +=上的动点，AOQ ∠的
平分线交AQ 于M ，当Q 点在圆上移动时，求动点M 的轨迹方程
17.由点P 分别向两定圆221:(2)1C x y ++=及圆22
2:(2)4C x y -+=所引切线段长度之比为
1：2，求点P 的轨迹方程
18.平面上有两点A （-1，0），B （1，0），P 为圆x y x y 22
68210+--+=上的一点，试求
S AP BP =+||||22的最大值与最小值，并求相应的P 点坐标。
()()()0,0,4,0,0,3,,ABC A B C P PA PB PC ?19.已知三个顶点坐标，点是它的内切圆上一点，求以为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值。
20.已知与2
2
:2210C x y x y +--+=e 相切的直线l 交x 轴、y 轴于A 、B 两点，O 为坐标原点，
(),2,2OA a OB b a b ==>>.
(1)求证:()()222a b --=;(2)求线段AB 中点P 的轨迹;(3)求AOB V 面积的最小值
21.已知圆M 的方程为2
2
(2)1x y +-=，直线l l 的方程为20x y -=，点P 在直线l 上，过P 点作圆M 的切线,PA PB PA 、PB ，切点为,A B . (1) 若060APB ∠=，试求点P 的坐标；
(2) 若P 点的坐标为(2,1)，过P 作直线与圆M 交于,C D
两点，当CD =
CD 的方程；
(3) 求证：经过,,A P M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．
22.已知⊙M:2
2
(2)1x y +-=，Q 是X 轴上的动点，QA,QB 分别切⊙M 于A,B 两点，
（1）
若,3
AB =
求MQ ,Q,点的坐标以及MQ 的直线方程； （2） 求证AB 过一定点；
23.已知圆C ：22
9x y +=,点A (－5,0)，直线l ：x －2y ＝0. (1)求与圆C 相切，且与直线l 垂直的直线方程；
（2）在直线OA 上，存在点B （不同于A ），满足：对于圆上任一点P ，都有PB
PA
为常数，并求满足条件的B 的坐标。 ,
24.若动点P 在直线:x-y-2=0上，点Q 在直线x-y-6=0上，设线段PQ 的中点为M(00,x y )且
2200(2)(2)8x y -+-≤则2200x y +的取值范围（ ）
25.已知2
2
:1O x y +=e 和点(4,2)M ．
(1) 过点M M 向O e 引切线l ，求直线l 的方程；
(2) 求以点M 为圆心，且被直线21y x =-截得的弦长为4的M e 的方程；
(3) 设P 为(2)中M e 上任一点，过点P 向O e 引切线，切点为Q .试探究：平面内是否存在一定点R ，使得PQ
PR
为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由．
26.已知圆2
2
:(3)(4)4C x y -+-=，直线1l 过定点(1,0)A （1） 若1l 与圆相切，求1l 的方程；
（2） 若1l 与圆相交于,P Q 两点，线段PQ 的中点为M ，又1l 与直线2:220l x y ++=的交点
为N ，求证：AM AN g 为定值.
27.已知方程2
2
240x y x y m +--+=
（1） 若此方程表示圆，求实数m 的取值范围；
（2） 若（1）中的圆与直线240x y +-=相交于,M N 两点，若以MN 为直径的圆过坐标原
点，求实数m 的值.
直线与圆中的最值问题 一、到圆心距离的最值问题： 精品文档，超值下载 二、到圆上一点距离的最值问题： 三、与圆上一点的坐标有关的最值问题： 四、与圆半径有关的最值问题： 2213480,2210,P x y PA PB x y x y A B C PACB ++=+--+=例：已知是直线上的动点，是圆的两条切线,是切点，是圆心，求四边形面积的最小值。 2221:250P x y Q l x y PQ +=+-=例：已知是圆上一点，是直线上一点，求的最小值。 ()()()()222231,0,1,0344A B x y P PA PB P --+-=+例：已知定点和圆上的动点，求使最值时点的坐标。 ()()2204134312x x y y x x y x y ≥??≥-+-??+≤?例：设，满足求的最小值。2222,(1)1,2134 2 31x y x y y x y x y x +-=++++练习1：求实数满足求下列各式的最值：（）（）（）()()()222430 1.2.,C x y x y C x y C P x y PM M O PM PO ++-+==练习2：已知圆：若圆的切线在轴和轴上截距相等， 求切线的方程；从圆外一点向圆引切线， 为切点，为坐标原点，且，
强化训练 1 、如图24－1，已知圆x 2＋y 2＝1的一条切线与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，则线段AB 长度的最小值为________． ()()()()()()222210,,2,2. 1.222 2..C x y x y l x y A B O OA a OB b a b C l a b AB AOB +--+===>>--=?例5：已知与曲线：相切的直线交轴,轴于两点，为原点,求证曲线与直线相切的条件是 ；求线段中点的轨迹方程； 3求的面积的最小值。 ()()()0,0, 4,0,0,3,,ABC A B C P PA PB PC ?练习3：已知三个顶点坐标，点是它的内切圆上一点，求以为直径的三个圆面积之和 的最大值和最小值。 4(1)2(2)3:1 (1)(2):20y x l x y -=练习：设圆满足： 截轴所得弦长为；被轴分成两圆弧，其弧长比为。在满足条件的所有圆中，求圆心到 直线的距离最小的圆的方程。
圆锥曲线问题的解题规律可以概括为: “联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布范围，曲线定义不能忘，引参、用参巧解题，分清关系思路畅、数形结合关系明，选好, 选准突破口，一点破译全局活。 定点、定直线、定值专题 （2012*荷泽一模〉已知直线1：y=x+AZ&. I.!a|O：x-+y-=5.椭圆E：牛+牛二i过圆O上任 意一点P作椭换1E的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之枳为宦值. 2. （2012?自贡三模）：过点0）作不打y轴垂直的直线1交该椭于M、 5 4 N两点，A为椭圆的左顶点-试判断ZMAN的大小是否为怎值，并说明理由? 2 2 3.（2013?川山二模〉设A（XI，yi）. B （x?, y2> 是椭PilA;+^=b（a>b：>0）上的两点, 己知向量二（:丄竺），二（二2竺）.且W恳二0?若椭圆的离心率巴出.短轴长为2, ba ba 2 O为坐标原点： （I）求椭岡的方程： （11 ）若直线AB过椭鬪的焦点F （0, C）, Cc为半焦距），求直线AB的斜率k的值：（llf）试问：△AOB的iflf枳是否为怎值？如果是，请给予证明；如果不是.请说明理由. 4.已知椭鬪C的中心在原点，傑点在X轴上，长轴长是短轴长的近倍.且椭圆C经过点M（2, V2）. （1）求椭鬪C的标准方程：
(2》过鬪0： 二3卜的任意一点作圆的一条切线椭鬪C 交于A 、B 两点.求证: 3 5.已知平面上的动点P(x, y)及两定点A ( -2, 0), B (2, 0).直线PA. PB 的斜率分 ki* k2 且k J ? k 2= - 求动点P 的轨迹C 的方程： 设直线h 戸kx+m 仃曲线C 交于不同的两点M. N ? ②若直线BM. BN 的斜率都存在并满足kBM.kBif-亍 证明直线I 过定点，并求出这个 富点. 2 2 - 6. (2011>新疆模拟)已知椭圆C ；青+丫5二1(a>b>0)的离心率为丄，以原点为圆心，椭 a D 2 圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+V6=0相切. (I )求椭圆C 的方程； (II)设P(4, 0), A. B 是椭圆C 上关于X 轴对称的任意两个不同的点，连接PB 交椭圆 C 于另一点E,证明直线AE 与X 轴相交于窪点Q ： 7.已知椭圆Q 的离心率为2,它的一个焦点和抛物线y2=-4x 的焦点重合. (1)求椭鬪Q 的方程； 2 + y ― 1 (a>b>0)上过点(xo ，yo>的切线方程为 X2 ygy 2 —+ ~72 a b ① 过直线1： x=4上点M 引椭圜Q 的两条切线，切点分别为A, B.求证：直线AB 恒过是 点C ； ② 是否存在实数入使得iAq+|BC|=x>jACHpC!>若存在，求出入的值：若不存在，说明理由? 2 c 过椭圆c ：刍+y2=i 的右焦点F 作直线I 交椭圆C fA 、B 两点，交y 轴于M 点，若 5 亦二X 1万，旋二X 2丽，求证：入1+入2为定值. 别是 (1) (2) ①若OM 丄ON <0为坐标原点).证明点O 到直线I 的距离为定值，并求出这个定值 =1-
圆锥曲线专题突破一：与直线和圆有关的最值问题 题型一 有关定直线、定圆的最值问题 例1 已知x ，y 满足x ＋2y －5＝0，则(x －1)2 ＋(y －1)2 的最小值为________． 破题切入点 直接用几何意义——距离的平方来解决，另外还可以将x ＋2y －5＝0改写成x ＝5－2y ，利用二次函数法来解决． 解析 方法一 (x －1)2＋(y －1)2 表示点P (x ，y )到点Q (1,1)的距离的平方． 由已知可知点P 在直线l ：x ＋2y －5＝0上，所以PQ 的最小值为点Q 到直线l 的距离， 即d ＝|1＋2×1－5|1＋22 ＝255，所以(x －1)2＋(y －1)2的最小值为d 2 ＝45. 方法二 由x ＋2y －5＝0，得x ＝5－2y ，代入(x －1)2 ＋(y －1)2 并整理可得 (5－2y －1)2＋(y －1)2＝4(y －2)2＋(y －1)2＝5y 2 －18y ＋17＝5(y －95)2＋45，所以可得最小值为45. 题型二 有关动点、动直线、动圆的最值问题 例2 直线l 过点P (1,4)，分别交x 轴的正方向和y 轴的正方向于A 、B 两点．当OA ＋OB 最小时，O 为坐标原点，求l 的方程． 破题切入点 设出直线方程，将OA ＋OB 表示出来，利用基本不等式求最值． 解 依题意，l 的斜率存在，且斜率为负，设直线l 的斜率为k ，则y －4＝k (x －1)(k <0)． 令y ＝0，可得A (1－4 k ，0)；令x ＝0，可得B (0,4－k )． OA ＋OB ＝(1－4k )＋(4－k )＝5－(k ＋4k )＝5＋(－k ＋4 －k )≥5＋4＝9. 所以，当且仅当－k ＝4 －k 且k <0，即k ＝－2时，OA ＋OB 取最小值．这时l 的方程为2x ＋y －6＝0. 题型三 综合性问题 (1)圆中有关元素的最值问题 例3 由直线y ＝x ＋2上的点P 向圆C ：(x －4)2 ＋(y ＋2)2 ＝1引切线PT (T 为切点)，当PT 的长最小时，点P 的坐标是________． 破题切入点 将PT 的长表示出来，结合圆的几何性质进行转化． 解析 根据切线段长、圆的半径和圆心到点P 的距离的关系，可知PT ＝PC 2 －1，故PT 最小时，即PC 最小，此时PC 垂直于直线y ＝x ＋2，则直线PC 的方程为y ＋2＝－(x －4)，即y ＝－x ＋2，联立方程? ?? ?? y ＝x ＋2， y ＝－x ＋2，解得点P 的坐标 为(0,2)． (2)与其他知识相结合的范围问题 例4 已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2 ＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有|OA →＋OB →|≥33 |AB →|，那么 k 的取值范围是________． 破题切入点 结合图形分类讨论．
. . 直线方程、直线与圆练习 1．如果两条直线l 1:260ax y + +=与l 2:(1)30x a y +-+=平行，那么a 等 A ．1 B ．-1 C ．2 D ．23 【答案】B 【解析】 试题分析：两条直线平行需满足12211221A B A B A C A C =?? ≠?即1221 1221 1A B A B a AC A C =??=-?≠?，故选择B 考点：两条直线位置关系 2． 已知点A （1，1），B （3，3），则线段AB 的垂直平分线的方程是 A ．4y x =-+ B ．y x = C ．4y x =+ D ．y x =- 【答案】A 【解析】 试题分析：由题意可得:AB 中点C 坐标为()2,2，且 31 1 31AB k -= =-，所以线段AB 的垂 直平分线的斜率为-1，所以直线方程为： ()244 y x y x -=--?=-+，故选择A 考点：求直线方程 3．如图，定圆半径为a ，圆心为(,)b c ，则直线0ax by c ++=与直线10x y +-=的交点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D 【解析】 试题分析：由图形可知0b a c >>>，由010ax by c x y ++=??+-=?得0 b c x b a a c y b a +?=>??-?--?=
B M C D A E F D C B A B D C F A “隐圆”最值问题 重难点：分析题目条件发现题目中的隐藏圆，并利用一般的几何最值求解方法来解决问题 【例1】在平面直角坐标系中，直线y = - x + 6分别与x 轴、y 轴交于点A 、B 两点，点C 在y 轴的左边，且∠ACB = 90°，则点C 的横坐标x C 的取值范围是__________． 分析：在构造圆的前提下 考虑90°如何使用。直角对直径所以以AB 为直径画圆。使用垂径定理即可得到3-20c x ≤<3 【练】（2013-2014·六中周练·16）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 3，BC = 4，点D 是AB 的中点，E 、F 分别是直线AC 、BC 上的动点，∠EDF = 90°，则EF 长度的最小值是__________． 分析：过D 点作DE 垂直AB 交AC 于点M 可证△FBD ∽△ECD 即可 求出最小值 【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，D 是AC 的中点， M 是BD 的中点，将线段AD 绕A 点任意旋转（旋转过程中始 终保持点M 是BD 的中点），若AC = 4，BC = 3，那么在旋转 过程中，线段CM 长度的取值范围是_______________． 分析：将线段AD 绕A 点任意旋转隐藏着以A 为圆心AD 为半径的圆构造 出来。接下来考虑重点M 的用途即可。中点的用法可尝试下倍长和中位线。 此题使用中位线。答案是 3722 c x ≤≤ 【练】已知△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ADE = 90°，AC 2，AD = 1，F 是BE 的中点，若将△ADE 绕点A 旋转一周，则线段AF 4242 AC -+≤≤ 分析：同例题 【例3】如图，已知边长为2的等边△ABC ，两顶点A 、B 分别在平面直角
直线与圆定点，定值范围问题习题 1.直线(21)(1)740()m x m y m m R +++--=∈，则直线过定点____________. 2.若圆222 (3)(5)x y r -++=上有且仅有两个点到直线4320x y --=的距离等于1，则半径r 的取值范围为____________. 3.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ________． 4.圆222 :22440C x y tx t y t +--+-=，则圆过定点________________. 5.若直线 y=x+b 与曲线y =b 的取值范围______________. 6.平面内动点M 到定点(2,0),(2,0)A B -的距离之比为1 2 ，则动点M 的轨迹方程是______________________. 7已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R)对称，则ab 的取值范围是 ________． 8.一束光线从点A (－1,1)出发经x 轴反射，到达圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1上一点的最短路 程是________ 9.设有一组圆C k ：(x －k ＋1)2 ＋(y －3k )2 ＝2k 4 (k ∈N * )下列四个命题正确的序号有： ①存在一条定直线与所有的圆均相切； ②存在一条定直线与所有的圆均相交； ③存在一条定直线与所有的圆均不相交； ④所有的圆均不经过原点． 10.已知过点A （0，1），且斜率为k 的直线l 与圆C ：1)3()2(22 =-+-y x ，相交于M 、 N 两点. （1）求实数k 的取值范围； （2）AM ?AN 是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理 由。 11.已知⊙C,22 (1)5,x y +-=直线mx-y+1-m=0 (1)证明：对于m R ∈,直线与圆总有两个不同的交点A,B, (2)求弦AB 中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 （3）若定点P(1，1)分弦满足PB=2PA,求AB 直线方程 12.已知⊙O 2 2 4x y +=过点 P (作倾斜角互补的直线交圆A,B ，证明直线AB 的斜率为定值。 13.点A(0，2)是圆2 2 16x y +=内的一定点，B,C 是这个圆上的两动点，若AB CA ⊥,求BC 中点M 的轨迹方程，并说明轨迹的形状。
直线与圆的最值问题
题型一：过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最值． 例1：.圆x 2＋y 2－4x ＋6y －12＝0过点(－1,0)的最大弦长为 m ，最小弦长为n ，则m －n 等 于 解析圆的方程x 2＋y 2－4x ＋6y －12＝0化为标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25. 所以圆心为(2，－3)，半径长为 5. 因为(－1－2)2＋(0＋3)2＝18＜25， 所以点(－1,0)在已知圆的内部， 则最大弦长即为圆的直径，即m ＝10. 当(－1,0)为弦的中点时，此时弦长最小 . 弦心距d ＝2＋12＋－3－02＝32， 所以最小弦长为 2r 2－d 2＝225－18＝27，所以m －n ＝10－27. 变式训练 1：1y kx 与圆C 2214x y 相交于,A B 两点，则AB 的最小值是多 少？解：直线1y kx 过定点1,0M ，当MC AB 时，AB 取最小值，由 2222l d r ，可知，222d R l ，2MC d ，故2 2222d R l 变式训练 2：已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝ 0(m ∈R). (1)求证不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点； (2)求直线被圆C 截得的弦长最小时的 l 的方程. (1)证明因为l 的方程为(x ＋y －4)＋m(2x ＋y －7)＝0(m ∈R)， 所以2x ＋y －7＝0， x ＋y －4＝0，解得x ＝3，y ＝1， 即l 恒过定点A(3,1).
因为圆心为C(1,2)，|AC|＝5<5(半径)， 所以点A 在圆C 内， 从而直线l 与圆C 恒交于两点. (2)解由题意可知弦长最小时，l ⊥AC. 因为k AC ＝－12 ，所以l 的斜率为 2. 又l 过点A(3,1)，所以l 的方程为2x －y －5＝0. 方法总结：过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最大值为圆的直径，最小值为垂直于直 径的弦. 题型二：圆外一点与圆上任一点间距离的最值 直线与圆相离，圆上的点到直线的距离的最值 ．例2：求点 A ）（0,2到圆C 122y x 的距离的最大值和最小值？解：AC d 2，故距离的最大值为 3r d ，最小值为1r d 变式训练1：圆122y x 上的点到直线2x y 的距离的最大值？解:圆心到直线的距离为222 d ， 则圆上的点到直线2x y 的最大值为12r d 则圆上的点到直线2x y 的最小值为1-2-r d 方法总结：圆外一点与圆上任一点间距离的最大值为r d ，最小值为r d 直线与圆相离，圆上的点到直线的距离的最大值为r d ，最小值为r d 题型三：切线问题 例3由直线y ＝x ＋2上的点P 向圆C ：(x －4)2＋(y ＋2)2＝1引切线PT(T 为切点)，当PT 最小的时候P 的坐标？ 解析根据切线段长、圆的半径和圆心到点P 的距离的关系，可知PT ＝PC 2－1，故PT 最小时，即PC
实用文档 圆过定点问题 班级_________________姓名_______________ 1．已知定点G（﹣3，0），S是圆C：（X﹣3）2+y2=72（C为圆心）上的动点，SG的垂直平分线与SC交于点E．设点E的轨迹为M． （1）求M的方程； （2）是否存在斜率为1的直线，使得直线与曲线M相交于A，B两点，且以AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 2．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x+1）2+y2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1． （Ⅰ）判断圆C1与圆C2的位置关系； （Ⅱ）若动圆C同时平分圆C1的周长、圆C2的周长，则动圆C是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由． 3．已知定点A（﹣2，0），B（2，0），及定点F（1，0），定直线l：x=4，不在x轴上的动点M到定点F 的距离是它到定直线l的距离的倍，设点M的轨迹为E，点C是轨迹E上的任一点，直线AC与BC分 别交直线l与点P，Q． （1）求点M的轨迹E的方程； （2）试判断以线段PQ为直径的圆是否经过定点F，并说明理由．
4．如图，已知椭圆C：+y2=1的上、下顶点分别为A、B，点P在椭圆上，且异于点A、B，直线AP、 BP与直线l：y=﹣2分别交于点M、N， （ⅰ）设直线AP、BP的斜率分别为k1、k2，求证：k1?k2为定值； （ⅱ）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论． 5．如图所示，已知圆C：x2+y2=r2（r＞0）上点处切线的斜率为，圆C与y轴的交点 分别为A，B，与x轴正半轴的交点为D，P为圆C在第一象限内的任意一点，直线BD与AP相交于点M，直线DP与y轴相交于点N． （1）求圆C的方程； （2）试问：直线MN是否经过定点？若经过定点，求出此定点坐标；若不经过，请说明理由． 6．二次函数f（x）=3x2﹣4x+c（x∈R）的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为⊙C．（1）求实数c的取值范围； （2）求⊙C的方程； （3）问⊙C是否经过某定点（其坐标与c的取值无关）？请证明你的结论． 7．如图，抛物线M：y=x2+bx（b≠0）与x轴交于O，A两点，交直线l：y=x于O，B两点，经过三点O，A，B作圆C． （I）求证：当b变化时，圆C的圆心在一条定直线上； （II）求证：圆C经过除原点外的一个定点； （III）是否存在这样的抛物线M，使它的顶点与C的距离不大于圆C的半径？
高中数学之直线与圆的方程 一、概念理解： 1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°； ③范围：0°≤α＜180° 。 2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。 3、斜率与坐标：1 21 22121tan x x y y x x y y k --=--= =α ①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。 4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在） 特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=?k k 。 ②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。 ③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程： ①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可； ③两点式：),(21211 21 121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接 带入即可； ④截距式： 1=+b y a x 将已知截距坐标),0(),0,( b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。 2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可
微专题12与圆有关的定点、定值、最值、范围问题 真题感悟 (2019·全国Ⅰ卷)已知点A，B关于坐标原点O对称，AB＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切. (1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径； (2)是否存在定点P，使得当A运动时，MA－MP为定值？并说明理由. 解(1)因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线x＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a). 因为⊙M与直线x＋2＝0相切，所以⊙M的半径为r＝|a＋2|.连接MA，由已知得AO＝2.又MO⊥AO，故可得2a2＋4＝(a＋2)2，解得a＝0或a＝4. 故⊙M的半径r＝2或r＝6. (2)存在定点P(1，0)，使得MA－MP为定值. 理由如下： 设M(x，y)，由已知得⊙M的半径为r＝|x＋2|，AO＝2.由于MO⊥AO，故可得x2＋y2＋4＝(x＋2)2, 化简得M的轨迹方程为y2＝4x. 因为曲线C：y2＝4x是以点P(1，0)为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线，所以MP＝x＋1. 因为MA－MP＝r－MP＝x＋2－(x＋1)＝1， 所以存在满足条件的定点P. 考点整合 1.最值与范围问题 (1)研究与圆有关的最值问题时，可借助圆的性质，利用数形结合求解. (2)常见的最值问题有以下几种类型： ①形如μ＝y－b x－a 的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； ②形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；
③形如μ＝(x －a )2＋(y －b )2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (3)对于圆的方程也可以利用三角代换，转化为三角函数问题：对于圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，可设x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ. 2.定点问题的求解步骤 (1)选参变量：需要证明过定点的动直线(曲线)往往随着某一个量的变化而变化，可以选择这个量为参变量. (2)求动直线(曲线)方程：求出含上述参变量的动直线(曲线)方程，通过消元或整体思想，使得方程只含有一个参量(当根据几何条件建立的等式中含有多个参量时，要注意区别对待，与动点、动直线、动圆有关的参量是主要参量，其他参量可看作系数). (3)定点：求出定点坐标.利用方程ax ＋b ＝0恒成立来处理定点问题.在处理时也可以用从特殊到一般的思想，先求出一个特殊点，再代入进行验证. 3.定值问题的处理 (1)可以直接求出相关等式，再论证该等式与参数无关，类似于三角化简求值. (2)也可以用从特殊到一般的思想，先让参数取特殊值来论证性质，再将性质推广至一般情形. 热点一 最值与范围问题 【例1】 已知圆M 的圆心M 在x 轴上，半径为1，直线l ：y ＝43x －1 2被圆M 所截的弦长为3，且圆心M 在直线l 的下方. (1)求圆M 的方程； (2)设A (0，t )，B (0，t ＋6)(－5≤t ≤－2)，若圆M 是△ABC 的内切圆，求△ABC 的面积S 的最大值和最小值. 解 (1)设圆心M (a ，0)，由已知得圆心M 到l ：8x －6y －3＝0的距离为12－? ?? ? ?322 ＝12， ∴ |8a －3|82＋（－6）2＝1 2 ，
拔高专题圆中的最值问题 一、基本模型构建 常见模型 图(1) 图（2） 思考图（1）两点之间线段最短； 图（2）垂线段最短。 .在直线L上的同侧有两个点 A、B，在直线L上有到A、B 的距离之和最短的点存在，可 以通过轴对称来确定，即作出 其中一点关于直线L的对称 点，对称点与另一点的连线与 直线L的交点就是所要找的点．二、拔高精讲精练 探究点一：点与圆上的点的距离的最值问题 例1：如图，A点是⊙O上直径MN所分的半圆的一个三等分点，B点是弧AN的中点，P 点是MN上一动点，⊙O的半径为3，求AP+BP的最小值。 解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，AA′． ∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点， ∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，∵点B是弧AN的中点， ∴∠BON=30°，∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，又∵OA=OA′=3， ∴A′B=32．∵两点之间线段最短，∴PA+PB=PA′+PB=A′B=32． 【教师总结】解决此题的关键是确定点P的位置．根据轴对称和两点之间线段最短的知识，把两条线段的和转化为一条线段，即可计算。 探究点二：直线与圆上点的距离的最值问题
例2：如图，在Rt△AOB中，OA=OB=32，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），求切线PQ的最小值 解：连接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，∵在Rt△AOB中，OA=OB=3 2， ∴AB=2OA=6，∴OP= ? OA OB AB =3，∴PQ=22 OP OQ =22． 【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O是一动点且P在第一象限内，过P作⊙O切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．求线段AB的最小值． 解：（1）线段AB长度的最小值为4， 理由如下： 连接OP， ∵AB切⊙O于P， ∴OP⊥AB， 取AB的中点C， ∴AB=2OC； 当OC=OP时，OC最短， 即AB最短， 此时AB=4．
直线与圆中的最值问题 Prepared on 24 November 2020
二、弦长公式:直线与二次曲线相交所得的弦长 1直线具有斜率k ,直线与二次曲线的两个交点坐标分别为 1122(,),(,)A x y B x y ,则它的弦长 2221212121(1)()4AB x x x x x ??=+-=++-??k k 1211y y =+-2k 注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为 1212()y y x x -=-k ，运用韦达定理来进行计算. 2当直线斜率不存在是,则12AB y y =-. 三、过两圆C 1: x 2 + y 2 +D 1x +E 1y +F 1 = 0和C 2: x 2 + y 2 +D 2x +E 2y +F 2 = 0的交点的圆系方程，一般设为 x 2+y 2 +D 1x +E 1y +F 1+λ(x 2 + y 2 +D 2x +E 2y +F 2) = 0 (λ为参数)此方程不包括圆C 2. 四、对称问题1和最小，化异侧（两边之和大于第三边，三点共线时取等号即最小值） 2差最大，化同侧（两边之差小于第三边，三点共线时取等号即最大值） 例题分析 1、如果实数y x ,满足等式22(2)3x y -+=， （1）求 y x 的最大值和最小值;（2）求y x -的最大值与最小值；（3）求22x y +的最大值与最小值. 直线与圆
2、已知两定点(3,5)A -，(2,15)B ，动点P 在直线3440x y -+=上，当 PA ＋PB 取最小值时，这个最小值为（ ）.A ．513 B ．362 C ．155 D ．5102+ 3、已知点)8,3(-A 、)2,2(B ，点P 是x 轴上的点，求当PB AP +最小时的点P 的坐标． 【解答】如图示： ,考虑代数式的几何意义: ⑴y x 即圆上的点与原点所在直线的斜率.当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值，即y x 取得最大值与最小值； ⑵y x -即过圆上点，且斜率为1的直线在y 轴上截距； ⑶22x y +即圆上的点到原点距离的平方. 当点位于圆与x 轴的左交点时，点到原点的距离最小；当点位于圆与x 轴的右交点时，点到原点的距离最大. 解（1）设(,)P x y 为圆22(2)3x y -+=上一点.y x 的几何意义为直线OP 的斜率，设y k x =，则直线OP 的方程为y kx =.当直线OP 与圆相切时，斜率取最大值与最小值. ∵圆心到直线y kx =的距离222211d k k = =++2231k =+3k =OP 与圆相切.∴y x 的最大值为3，最小值为3-. （2）令y x b -=，即y x b =+，求y x -的最大值与最小值即过圆上点，且斜率为1的直线在y 轴上截距的最大值与最小值. 当直线与圆相切时，截距取得最大值与最小值.∵圆心到直线y x b =+的距离222 11d ==+ 32 =62b =时，直线OP 与圆相切.∴y x -62，最小值为62. （3）要22x y +的最大值与最小值，即求圆上的点到原点距离的平方的最大值与最小值. 当点位于圆与x 轴的左交点时，点到原点的距离最小；
圆锥曲线的定点、定值、范围和最值问题 会处理动曲线（含直线）过定点的问题；会证明与曲线上动点有关的定值问题；会按条件建 . 一、主要知识及主要方法： 1. 形式出现，特殊方法往往比较奏效。 2.对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决。 3.解析几何的最值和范围问题，一般先根据条件列出所求目标的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、不等式法、单调性法、导数法以及三角函数最值法等求出它的最大值和最小值. 二、精选例题分析 【举例1】 （05广东改编）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x =上异于坐标原点O 的两不同 动点A 、B 满足AO BO ⊥． （Ⅰ）求AOB △得重心G 的轨迹方程； （Ⅱ）AOB △的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值； 若不存在，请说明理由． 【举例2】已知椭圆2 2142x y +=上的两个动点,P Q 及定点1,2M ? ?? ，F 为椭圆的左焦点，且PF ，MF ，QF 成等差数列.()1求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ； ()2设点A 关于原点O 的对称点是B ，求PB 的最小值及相应的P 点坐标. 【举例3】（06全国Ⅱ改编）已知抛物线2 4x y =的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且 AF FB λ=u u u r u u u r （0λ>）．过A 、B 两点分别作抛物线的切线（切线斜率分别为0.5x A ，0.5x B ），设其交点为 M 。 （Ⅰ）证明FM AB ?u u u u r u u u r 为定值；
解析几何中定值与定点问题 【探究问题解决的技巧、方法】 (1)定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的． (2)解圆锥曲线中的定点、定值问题也可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究． 【实例探究】 题型1：定值问题: 例1：已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的 焦点，离心率等于 （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）过椭圆C的右焦点作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若 为定值. 解：（I）设椭圆C的方程为，则由题意知b= 1. ∴椭圆C的方程为 （II）方法一：设A、B、M点的坐标分别为 易知F点的坐标为（2，0）. 将A点坐标代入到椭圆方程中，得
去分母整理得 方法二：设A、B、M点的坐标分别为 又易知F点的坐标为（2，0）. 显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是 将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得 又 例2.已知椭圆C经过点A(1,3/2),两个焦点为(-1,0),(1,0). 1）求椭圆方程 2）E、F是椭圆上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值 （1）a2-b2=c2 =1 设椭圆方程为x2/（b2+1）+y2/b2=1 将（1，3/2）代入整理得4b^4-9b2-9=0 解得b2=3 （另一值舍） 所以椭圆方程为x2/4+y2/3=1 （2） 设AE斜率为k 则AE方程为y-(3/2)=k(x-1)①
拔高专题 圆中的最值问题 图(1) 探究点一：点与圆上的点的距离的最值问题 例1：如图，A 点是⊙O 上直径MN 所分的半圆的一个三等分点，B 点是弧AN 的中点，P 点是MN 上一动点，⊙O 的半径为3，求AP+BP 的最小值。 解：作点A 关于MN 的对称点A ′，连接A ′B ，交MN 于点P ，连接OA ′，AA ′． ∵点A 与A ′关于MN 对称，点A 是半圆上的一个三等分点， ∴∠A ′ON=∠AON=60°，PA=PA ′，∵点B 是弧AN 的中点， ∴∠BON=30°，∴∠A ′OB=∠A ′ON+∠BON=90°，又∵OA=OA ′=3， ∴A ′．∵两点之间线段最短，∴PA+PB=PA ′+PB=A ′． 【教师总结】解决此题的关键是确定点P 的位置．根据轴对称和两点之间线段最短的知识，把两条线段的和转化为一条线段，即可计算。
探究点二：直线与圆上点的距离的最值问题 例2：如图，在Rt△AOB中， ，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点， 过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），求切线PQ的最小值 解：连接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2， ∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，∵在Rt△AOB中， OA=OB=3 ， ∴ OA=6，∴OP= ? OA OB AB =3，∴ ． 【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O是一动点且P在第一象限内，过P作⊙O切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．求线段AB的最小值． 解：（1）线段AB长度的最小值为4， 理由如下： 连接OP， ∵AB切⊙O于P， ∴OP⊥AB， 取AB的中点C， ∴AB=2OC； 当OC=OP时，OC最短， 即AB最短， 此时AB=4．
与圆有关的最值（取值范围）问题 引例1：在坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是_________． 引例2：如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作⊙O，C为半圆弧上的一个动点（不与A、B两点重合），射线AC交⊙O于点E， ?AB BC=，AC=，求的最大值. a b a b 引例3：如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE 长度的最大值为( ). A．3 B．6 C D． 一、题目分析： 此题是一个圆中的动点问题，也是圆中的最值问题，主要考察了圆内的基础知识、基本技能和基本思维方法，注重了初、高中知识的衔接 1．引例1：通过隐藏圆（高中轨迹的定义），寻找动点C与两个定点O、A构成夹角的变化规律，转化为特殊位置（相切）进行线段、角度有关计算，同时对三角函数值的变化（增减性）进行了延伸考查，其实质是高中“直线斜率”的直接运用； 2．引例2：通过圆的基本性质，寻找动点C与两个定点A、B构成三角形的不变条件，结合不等式的性质进行转化，其实质是高中“柯西不等式”的直接运用； 3．引例3：本例动点的个数由引例1、引例2中的一个动点，增加为三个动点，从性质运用、构图形式、动点关联上增加了题目的难度，解答中还是注意动点D、E与一个定点A 构成三角形的不变条件（∠DAE=60°），构造弦DE、直径所在的直角三角形，从而转化为弦DE与半径AP之间的数量关系，其实质是高中“正弦定理”的直接运用； 综合比较、回顾这三个问题，知识本身的难度并不大，但其难点在于学生不知道转化的套路，只能凭直观感觉去寻找、猜想关键位置来求解，但对其真正的几何原理却无法通透. 二、解题策略 1．直观感觉，画出图形； 2．特殊位置，比较结果； 3．理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）之间的关系，建立等式，进行转化.
高中数学：圆锥曲线中的定值、定点问题【基础回顾】 一、课本基础提炼 1.将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y得到关于x的方程mx2+nx+p=0. （1）若m≠0，当△＞0时，直线与圆锥曲线有两个交点. 当△=0时，直线与圆锥曲线有且只有一个公共点，此时直线与双曲线相切. 当△＜0时，直线与圆锥曲线无公共点. （2）当m=0时，若圆锥曲线为双曲线，则直线与双曲线只有一个交点，此时直线与双曲线的渐近线平行；若圆锥曲线为抛物线，则直线与抛物线只有一个交点，此时直线与抛物线的对称轴平行. （3）设直线与圆锥曲线的交点A（x1，y1），B（x2，y2），则 2. 直线y＝kx＋b(k≠0)与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长 二、二级结论必备
1.对与圆锥曲线有关的中点弦问题，常用点差法，及设出弦的端点坐标，代入曲线方程，两式相减，利用中点公式和直线的斜率公式即可得出直线的斜率. 2. 已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点的直线交抛物线于 A、B两点(如右图所示)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则有以下结论： (1)|AB|＝x1＋x2＋p，或 (α为AB所在直线的倾斜角)； (3)y1y2＝－p2. (4)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切. 3.过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p 4.椭圆与双曲线的通径长为 5.P(x0，y0)是抛物线C上一点，F为抛物线的焦点.
（1）当焦点在x轴正半轴上时， （2）当焦点在x轴负半轴上时， （3）当焦点在x轴正半轴上时， （4）当焦点在x轴正半轴上时， 【技能方法】 定点问题解题技巧： (1)引进参数法。设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点，即为所求定点。 (2)特殊到一般法。从特殊位置入手，找到定点,再证明该定点与变量无关。 定值问题解题技巧：
高三二轮一一圆锥曲线中的“定值”问题 概念与用法 圆锥曲线中的定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难 点.解决这个难点的基本思想是函数思想， 可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、 比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系等不受变量所影响的一个值，就是要求 的定值?具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去 变量即得定值. 基本解题数学思想与方法 在圆锥曲线中，某些几何量在特定的关系结构中， 不受相关变元的制约而恒定不变， 则称该变量具有定值特征. 解答此类问题的基本策略有以下两种： 1、 把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量 的定值，再证明结论与特定状态 无关. 2、 把相关几何量用曲线系里的参变量表示，再证明结论与求参数无关. 题型示例 一?证明某一代数式为定值： 1、如图，M 是抛物线上y 2=x 上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA=MB. 解：由已知条件，得 F(0, 1), Z>O ?设 A(x 1, y 1), B(x 2, y 2).由 AF =入FB , 即得 (一x 1, 1 — y) = ?(X 2, y 2 — 1),所以 —X1=入2 ① 1 — y1 =心2— 1)② 若M 为定点，证明：直线 EF 的斜率为定值; 解：设M (y 0 ,y o ),直线 ME 的斜率为 k(l>0)，直线 MF 的斜率为—k , 直线 ME 方程为y y o k(x y (). ???由 y o k (x yo) ，消 x 得 ky 2 y o (i ky o ) o 解得 y F 1 ky o X F 2 (1 ky o ) 厂； 同理 1 ky ,X F 1 ky 2 y E y F X E X F 1 k (1 ky 。) ky o 1 ky o 2 (1 ky °) 2 k 4ky o 2y o (定值) k 2 所以直线EF 的斜率为定值 k 2 ▲利用消元法 2、已知抛物线x 2= 4y 的焦点为 F , A 、B 是抛物线上的两动点, 且AF =入FB B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为 M .证明FM -AB 为定值
第1页（共15页） 圆锥曲线专题——定值定点问题 1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为1 2 ，以原点O 为圆心，椭圆的短半轴长为 半径的圆与直线0x y -+=相切． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A 、B 两点，且2 2OA OB b k k a =-，判断AOB ?的面 积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由． 【解答】 解：（1）椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切， ∴b == 又222a b c =+，1 2 c e a = =， 解得24a =，23b =， 故椭圆的方程为22 143 x y +=． ()II 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由22 14 3y kx m x y =+?? ?+=??化为222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， △22226416(34)(3)0m k k m =-+->，化为22340k m +->． ∴122 834mk x x k +=-+，21224(3)34m x x k -=+． 222 2 121212122 3(4) ()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+， 3 4 OA OB k k =-，
第2页（共15页） ∴ 121234y y x x =-，12123 4 y y x x =-， 22222 3(4)34(3)34434m k m k k --=- + +，化为22 243m k - =， ||AB = = 又114d = =- = ， 1 ||2 S AB d === 22 === （1）求椭圆E 的标准方程； （2）过F 作直线l 与椭圆交于A 、B 两点，问：在x 轴上是否存在点P ，使PA PB 为定值，若存在，请求出P 点坐标，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（ 1）由题意知1c =，过F 且与x 轴垂直的弦长为3， 则223b a =，即222() 3a c a -=，则2a =，b ∴椭圆E 的标准方程为22143 x y +=； （2）假设存在点P 满足条件，设其坐标为(,0)t ， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，当l 斜率存在时，设l 方程为(1)y k x =-， 联立22 (1) 3412 y k x x y =-??+=?，整理得：2222(43)84120k x k x k +-+-=，△0>恒成立．