A 级 基础达标演练 (时间：40分钟 满分：60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2012·荆州二检)过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( )．
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
解析 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)． 答案 C
2．(2012·银川模拟)过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若|AB |＝7，则AB 的中点M 到抛物线准线的距离为( )． A.52 B.7
2 C ．2 D ．3
解析 由题知抛物线的焦点为(1,0)，准线方程为x ＝－1.由抛物线定义知：|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p
2＝x 1＋x 2＋p ，即x 1＋x 2＋2＝7，得x 1＋x 2＝5，于是弦AB 的中点M 的横坐标为52，因此M 到抛物线准线的距离为52＋1＝7
2. 答案 B
3．设双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )． A.54 B ．5 C.5
2 D. 5
解析 双曲线x 2
a 2－y 2
b 2＝1的一条渐近线为y ＝b a x ，由方程组?????
y ＝b a x ，y ＝x 2＋1
消去y 得，
x 2
－b a x ＋1＝0有唯一解，所以Δ＝? ????b a 2
－4＝0，b a ＝2，e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝
1＋? ??
??
b a 2
＝ 5. 答案 D
4．(2011·全国)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，
B 两点，则cos ∠AFB ＝( )． A.45 B.35
C ．－35
D ．－45
解析 设点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)．由题意得点F (1,0)，由???
y 2
＝4x
y ＝2x －4
消去y 得x 2
－5x ＋4＝0，x ＝1或x ＝4，因此点A (1，－2)、B (4,4)，F A →＝(0，－2)，F B →＝(3,4)，cos ∠AFB ＝F A → ·F B
→|F A →||F B →|
＝
0×3＋(－2)×42×5
＝－4
5，选D.
答案 D
5．(2011·兰州模拟)已知A ，B 为抛物线C ：y 2＝4x 上的两个不同的点，F 为抛物线C 的焦点，若F A →＝－4FB →，则直线AB 的斜率为( )． A ．±23 B ．±32 C ．±34 D ．±
43
解析 由题意知焦点F (1,0)，直线AB 的斜率必存在，且不为0，故可设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入y 2＝4x 中化简得k y 2－4y －4k ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k ，①y 1y 2＝－4，②又由F A →＝－4FB →可得y 1＝－4y 2，③ 联立①②③式解得k ＝±
43. 答案 D
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2011·北京东城检测)已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 2
9＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.
解析 由题意知(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝2a ＋2a ，又由a ＝5，可得|AB |＋(|BF 2|＋|AF 2|)＝20，即|AB |＝8. 答案 8
7．(2012·东北三校联考)已知双曲线方程是x 2
－y 22＝1，过定点P (2,1)作直线交双
曲线于P 1，P 2两点，并使P (2,1)为P 1P 2的中点，则此直线方程是________．
解析 设点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则由x 21－y 212＝1，x 2
2－y 2
22＝1，得k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝
2(x 2＋x 1)y 2＋y 1
＝2×4
2＝4，从而所求方程为4x －y －7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x 2－56x ＋51＝0，Δ＞0，故此直线满足条件． 答案 4x －y －7＝0
8．(2011·河南洛阳、安阳统考)已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (0，－1)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点．若AB 的中点为(2，－2)，则直线l 的方程为________．
解析 由题意知，抛物线的方程为x 2＝－4y ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1≠x 2，
联立方程得???
x 2
1＝－4y 1，x 22＝－4y 2，
两式相减得x 21－x 2
2＝－4(y 1－y 2)，
∴y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 2－4
＝－1， ∴直线l 的方程为y ＋2＝－(x －2)，即y ＝－x . 答案 x ＋y ＝0 三、解答题(共23分)
9．(★)(11分)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2
＋y 2
b 2＝1(0＜b ＜1)的左，右焦点，过F 1
的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列． (1)求|AB |；
(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值．
思路分析 第(1)问由椭圆定义可求；第(2)问将直线l 与椭圆联立方程组，利用弦长公式求解．
解 (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4， 又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝4
3. (2)l 的方程为y ＝x ＋c ， 其中c ＝1－b 2.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组????
?
y ＝x ＋c ，x 2＋y 2
b 2＝1，化简得(1
＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0.
则x 1＋x 2＝－2c 1＋b 2，x 1x 2＝1－2b 2
1＋b 2.因为直线AB 的斜率为1，
所以|AB |＝2|x 2－x 1|，即4
3＝2|x 2－x 1|.
则89＝(x 1＋x 2)2
－4x 1x 2＝4(1－b 2)(1＋b 2)2－4(1－2b 2)1＋b 2＝8b 4(1＋b 2)2
，解得b ＝
22. 错误!
10．(12分)(2011·陕西)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0,4)，离心率为3
5. (1)求C 的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为4
5的直线被C 所截线段的中点坐标． 解 (1)将(0,4)代入C 的方程得16
b 2＝1，∴b ＝4，
又e ＝c a ＝35得a 2－b 2
a 2＝925，即1－16a 2＝9
25，∴a ＝5，
∴C 的方程为x 225＋y 2
16＝1.
(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝4
5(x －3)，
设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线方程y ＝4
5(x －3)代入C 的方程，得 x 225＋(x －3)2
25
＝1，即x 2－3x －8＝0. ∴x 1＋x 2＝3，y 1＋y 2＝45(x 1＋x 2－6)＝45(3－6)＝－125. ∴x 1＋x 22＝32，y 1＋y 22＝－65. 即中点为? ??
??32，－65. B 级 综合创新备选 (时间：30分钟 满分：40分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．(★)直线y ＝k x ＋1，当k 变化时，此直线被椭圆x 24＋y 2
＝1截得的最大弦长是