考试时间:120分钟 试卷满分:150分
2014.12.15
本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题),第II 卷第21题为选考题,其他题为必考题.本试卷满分150分.考试时间120分钟.
参考公式:
样本数据x ,x , …,x 的标准差
其中x 为样本平均数 锥体体积公式 V =3
1
Sh 其中S 为底面面积,h 为高
柱体体积公式V =Sh
其中S 为底面面积,h 为高
球的表面积、体积公式 24S R =π,3
43
V R =
π 其 中R 为球的半径 第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把正确选项涂在答题卡的相应位置上.)
1.已知{|10}A x x =+>,{2,1,0,1}B =--,则()R C A B ?=( ) A .{2,1}-- B .{2}- C .{1,0,1}-
D .{0,1}
2.双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的渐近线方程为y =,则此双曲线的离心率为
( )
A .2
B
C
D 3.已知命题p :?2,log (31)x x R ∈+≤0,则( )
A. p 是假命题;p ?:?2,log (31)x x R ∈+≤0
B. p 是假命题;p ?:?2,log (31)x x R ∈+>0
C. p 是真命题;p ?:?2,log (31)x x R ∈+≤0
D. p 是真命题;p ?:?2,log (31)x x R ∈+>0
4.设0ab >,下面四个不等式中,正确的是( )
①||||a b a +>;②||||a b b +<;③||||a b a b +<-;④||||||a b a b +>- A .①和② B .①和③ C .①和④ D .②和④
5. 已知a 为常数,则使得e
11
d a x x
>?
成立的一个充分而不必要条件是 ( ) A .0>a B .0a D .e 6.已知点O 、A 、B 不在同一条直线上,点P 为该平面上一点,且BA OA OP +=22, 则 ( ) A .点P 在线段A B 上 B .点P 在线段AB 的反向延长线上 7. 已知(,)(0)M a b ab ≠是圆O :2 2 2 x y r +=内一点,现有以M 为中点的弦所在直线m 和直线l :2 ax by r +=,则( ) A .//m l ,且l 与圆相交 B .l m ⊥,且l 与圆相交 C .//m l ,且l 与圆相离 D .l m ⊥,且l 与圆相离 8.若平面区域220,20, (1)x y y y k x -+≥?? Ω-≤??≥+? :的面积为3,则实数k 的值为 ( ) A. 13 B .12 C .45 D . 3 2 9. 已知函数),1 (2)()(x f x f x f =满足当][3,1∈x 时,,ln )(x x f =若在区间?? ????331,内,函数ax x f x g -=)()(,有三个不同的零点,则实数a 的取值范围是( ) A.??????e 1,33ln B. ??????e 2,33ln C.??? ??e 21,0 D. ?? ? ??e 1,0 10.已知抛物线21:4C x py =,圆2222:()C x y p p +-=,直线1 :2 l y x p =+,其中0p >, 直线l 与12,C C 的四个交点按横坐标从小到大依次为,,,A B C D ,则AB CD ?的值为 ( ) A .24p B .2 3 p C . 22 p D .2 p 第Ⅱ卷(非选择题 共100分) 二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在答题卡相应位置. 11. 已知两条直线1:(2)453++=-l m x y m ,2:2(5)8l x m y +-=互相垂直,则 m =_________. 12. 已知,31)3cos(-=+ π α则=-)6 sin(π α_________. 13. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,111a =-,466a a +=-,当n S 取最小值时,n 等 __________. 14.若函数1,0, ()(021,0x x a x f x a b x ???-≥? ?=>??? ?-且1)b ≠的图象关于y 轴对称,则b a 8+的最小值为__________. 15.设V 是已知平面M 上所有向量的集合,对于映射:,f V V a V →∈,记a 的象为()f a 。 若映射 :f V V →满足:对所有,a b V ∈及任意实数,λμ都有()()()f a b f a f b λμλμ+=+,则f 称为平面M 上的线性变换。现有下列命题: ①设f 是平面M 上的线性变换,a V ∈,则对任意实数k 均有()()f ka kf a =; ②对,()2a V f a a ∈=设,则f 是平面M 上的线性变换; ④若e 是平面M 上的单位向量,对,()a V f a a e ∈=-设,则f 是平面M 上的线性变换。 其中真命题是 (写出所有真命题的序号) 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分13分) 在数列{}n a 中,11a =, 11 112(*)n n n n n N a a a a ++-=∈ (Ⅰ)求证数列{}n a 为等差数列,并求它的通项公式; (Ⅱ)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,是否存在正整数n ,使得 2 321(1)201423 2 n S S S n S n -+++ -=成立?若存在, 求出n 的值;若不存在,请说明理由. 17. (本小题满分13分) 已知函数22()sin cos 3cos ()f x x x x x m m R =+++∈. (Ⅰ)求函数()f x 的单调递增区间及对称轴方程; (Ⅱ)当[0, ]3 x π ∈时,()f x 的最大值为9,求实数m 的值. 18. (本小题满分13分) 已知()2sin( )3 6 f x x π π =+ ,集合{|()2,0}M x f x x ==>,把M 中的元素从小到大依次排成一列,得到数列*{}.()n a n N ∈ (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设数列{}n b 满足:11b =,1 2n n n b b a +=+,求{}n b 的通项公式。 19.(本小题满分13分) 某港湾的平面示意图如图所示, O ,A ,B 分别是海岸线12,l l 上的三个集镇,A 位于O 的正南方向6km 处,B 位于O 的北偏东 060方向10km 处. (Ⅰ)求集镇A ,B 间的距离; (Ⅱ)随着经济的发展,为缓解集镇 O 的交通压力,拟在海岸线12,l l 上分别修建码头,M N ,开辟水上航线.勘测时发现:以O 为圆心,3km 为半径的扇形区域为浅水区,不适宜船只航行.请确定码头,M N 的位置,使得,M N 之间的直线航线最短. 第19题图 20.(本小题满分14分) 如图,正方形CDEF 内接于椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>,且它的四条边与坐标轴平行, 正方形GHPQ 的顶点G 、H 在椭圆上,顶点P 、Q 在正方形的边EF 上.且 2CD PQ == (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)已知点(2,1)M ,平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为(0)m m ≠, l 交椭圆于A 、B 两个不同点,求证:直线MA ,MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形. 21. (本小题满分14分) 福州八中2014—2015学年高三毕业班第四次质量检查 数学(理)试卷参考答案及评分标准 一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题5分,满分50分. AABCC BCBAD 二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题4分,满分20分. 11. 12 12. 31 13. 6 14. 8 15.①②③ 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. 解:(Ⅰ)2 2 ()sin cos 3cos f x x x x x m =+++ 1cos 21cos 22322 x x x m -+=+?+………………………3分 2cos 22x x m =+++ 2sin(2) 2.6 x m π =+++………………………5分 由222,262k x k k πππ -+π≤+≤+π∈Z ,………………………6分 得,36 k x k k ππ -+π≤≤+π∈Z . ∴函数()f x 的单调增区间为[,](36 k k k ππ -+π+π∈Z).………………………7分 由2,62x k k ππ+=+π∈Z 得,62 k x k ππ =+∈Z , ∴函数()f x 的对称轴方程是,62 k x k ππ =+∈Z .………………………8分 (Ⅱ)∵当[0,]3 x π ∈时,2666x ππ5π≤+≤,………………………9分 ∴ 1sin(2)126 x π ≤+≤,………………………11分 ∴32sin(2)246 m x m m π +≤+++≤+,……………………12分 ∴49m +=,解得5m =. ∴实数m 的值为5.…………………………………………13分 (由2666x ≤+≤ 得出sin(2)6 x +的最大值为1,得2分;正确推出()f x 的最大值为4m +,再得1分;正确求出m 的值得1分) 18.解:(Ⅰ)由 ()2sin 236f x x ππ??=+= ???,得sin 13 6x π π??+=± ???,即 3 62 x k π π π π+ =+ ,其中k Z ∈,31,x k k Z ∴=+∈,………………3分 又0x >,{}31,M x x k k N ∴==+∈,依题意,可得数列{}n a 是首项为1,公差为3 的等差数列,………………5分 ∴数列{}n a 的通项公式为32n a n =-,*n N ∈………………6分 (Ⅱ)当2n ≥时, 112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-+ +-+………………7分 =1211222n n a a a b --++++=()()123222211n n n --++ +--+………………9分 =() ()12123 211 3.22312 n n n n ----+=---…………11分 当1n =时,上式也成立,………………12分 ∴n b =3.223n n --(*n N ∈)………………13分 19. 解法一:(Ⅰ)在△ABO 中,6 OA =,10OB =,120AOB ∠= ,…1分 根据余弦定理得,2222cos120AB OA OB OA OB =+-??? 22161026101962?? =+-???-= ??? ,…………………4分 所以14AB =. 故A ,B 两集镇间的距离为14km .………………6分 (Ⅱ)依题意得,直线MN 必与圆O 相切.设切点为C ,连接OC ,则OC MN ⊥.………………7分 设OM x =,ON y =,MN c =, 在△OMN 中,由1 1 sin12022 MN OC OM ON ?=??, 得 11 3sin12022 c xy ?=,即xy =, …………………………… …9分 由余弦定理得,22 222 2cos1203c x y xy x y xy xy =+-=++≥, …………11分 所以2 c ≥,解得c ≥ …………………12分 当且仅当6x y ==时,c 取得最小值 所以码头,M N 与集镇O 的距离均为6km 时,,M N 之间的直线航线最短,最短距离为 km .…13分 解法二:(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)依题意得,直线MN 必与圆O 相切.设切点为C ,连接OC ,则MN OC ⊥. 设OMN α∠=,则(0,)3πα∈,3ONM π α∠=- ,……………………………7分 在Rt OCM ?中,tan OC CM α=,所以3cos tan sin OC CM α αα == , ………………8分 在Rt OCN ?中,CN = -)3tan( α,所以 3cos 3tan sin 33OC CN παππαα??- ? ??= = ????-- ? ??? ?? ,……………9分 所以3cos()3cos 3sin sin()3MN CM CN π ααπαα-=+=+ - 3cos sin()sin cos()33sin sin() 3 ππααααπ αα?? -+-?? ??= - = = . ……………………11分 因为(0,)3πα∈,所以26πα+)65,6(ππ∈,因此当262π πα+=,即6π α=时, 1 sin(2)62 πα+-有最大值21,故MN 有最小值,此时6OM ON ==. 所以码头,M N 与集镇O 的距离均为6km 时,,M N 之间的直线航线最短,最短距离为 km . …13分 20.解:(Ⅰ)∵CD =4105,∴点E (2105,210 5),…………………1分 又∵PQ =2105,∴点G (4105,10 5),………………………2分 则? ????85a 2+85b 2=1,325a 2+25b 2=1,解得? ????a 2=8,b 2=2, ………………………4分 ∴椭圆方程x 28+y 2 2 =1. ………………………5分 (Ⅱ)设直线MA 、MB 的斜率分别为k 1,k 2,只需证明k 1+k 2=0即可, 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则k 1=y 1-1x 1-2,k 2=y 2-1x 2-2,直线l 方程为y =1 2x +m ,代入椭圆 方程x 28+y 2 2 =1消去y , 得x 2+2mx +2m 2 -4=0 可得x 1+x 2=-2m ,x 1x 2=2m 2 -4. ………………………9分 而k 1+k 2= 1x 1-2+2x 2-2=1221(x 1-2)(x 2-2) =(12x 1+m -1)(x 2-2)+(1 2x 2+m -1)(x 1-2)(x 1-2)(x 2-2) =x 1x 2+(m -2)(x 1+x 2)-4(m -1)(x 1-2)(x 2-2) =2m 2 -4+(m -2)(-2m )-4(m -1)(x 1-2)(x 2-2) =2m 2-4-2m 2 +4m -4m +4(x 1-2)(x 2-2) =0,………………………13分 ∴k 1+k 2=0,故直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形. …………14分 9分 11分