高中数学第五章-平面向量
考试内容：
向量．向量的加法与减法．实数与向量的积．平面向量的坐标表示．线段的定比分点．平面向量的数量积．平面两点间的距离、平移． 考试要求：
（1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念． （2）掌握向量的加法和减法．
（3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．
（4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算． （5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．
（6）掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用掌握平移公式．
§05. 平面向量 知识要点
1.本章知识网络结构
2.向量的概念
(1)向量的基本要素：大小和方向.
(2)向量的表示：几何表示法 AB ；字母表示：a ；
坐标表示法 a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）. (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a ｜. (4)特殊的向量：零向量a ＝O ?｜a ｜＝O .
单位向量a O 为单位向量?｜a O ｜＝1.
(5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）??
?==?21
2
1y y x x
(6) 相反向量：a =-b ?b =-a ?a +b =0
(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a ∥b .平行向量也称为共线向量. 3.向量的运算 运算类型
几何方法
坐标方法
运算性质
向量的加法1.平行四边形法则
2.三角形法则1212
(,)
a b x x y y
+=++
r r
a b b a
+=+
r r r r
()()
a b c a b c
++=++
r r r r r r
AC
BC
AB=
+
向量的减法三角形法则
1212
(,)
a b x x y y
-=--
r r()
a b a b
-=+-
r r r r
AB BA
=-
u u u r u u u r
,AB
OA
OB=
-
数乘向量1.a
λ
r
是一个向量,满
足:||||||
a a
λλ
=
r r
2.λ>0时, a a
λ
r r
与同向;
λ<0时, a a
λ
r r
与异向;
λ=0时, 0
a
λ=
r r
.
(,)
a x y
λλλ
=
r
()()
a a
λμλμ
=
r r
()a a a
λμλμ
+=+
r r r
()
a b a b
λλλ
+=+
r r r r
//
a b a b
λ
?=
r r r r
向量的数量积a b
?
r r
是一个数
1.00
a b
==
r r r r
或时，
a b
?=
r r
.
2.
00
||||cos(,)
a b
a b a b a b
≠≠
=
r r r r
r r r r
g
且时，
1212
a b x x y y
?=+
r r
a b b a
?=?
r r r r
()()()
a b a b a b
λλλ
?=?=?
r r r r r r
()
a b c a c b c
+?=?+?
r r r r r r r
2222
||||=
a a a x y
=+
r r u r
即
||||||
a b a b
?≤
r r r r
(1)平面向量基本定理
e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1，
λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)两个向量平行的充要条件
a∥b?a＝λb(b≠0)?x1y2－x2y1＝O.
(3)两个向量垂直的充要条件
a⊥b?a·b＝O?x1x2＋y1y2＝O.
(4)线段的定比分点公式
设点P 分有向线段21P P 所成的比为λ，即P P 1＝λ2PP ，则
OP ＝
λ+111
OP ＋λ
+11
2OP (线段的定比分点的向量公式) ???
????++=++=.1,12
12
1λ
λλ
λy y y x x x (线段定比分点的坐标公式)
当λ＝1时，得中点公式：
OP ＝21（1OP ＋2OP ）或???
????+=+=.2,22121y y y x x x (5)平移公式
设点P (x ，y )按向量a ＝（ｈ，ｋ）平移后得到点P ′（x ′，y ′），
则P O '＝OP +a 或???+='+='.
,k y y h x x
曲线y ＝f （x ）按向量a ＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲线的函数解析式为：
y －ｋ＝f （x －ｈ) (6)正、余弦定理 正弦定理：
.2sin sin sin R C
c
B b A a === 余弦定理：a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos A ， b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .
（7）三角形面积计算公式：
设△ABC 的三边为a ，b ，c ，其高分别为h a ，h b ，h c ，半周长为P ，外接圆、内切圆的半径为R ，r .
①S △=1/2ah a =1/2bh b =1/2ch c ②S △=Pr ③S △=abc/4R
④S △=1/2sin C ·ab=1/2ac ·sin B=1/2cb ·sin A ⑤S △=()()()c P b P a P P --- [海伦公式] ⑥S △=1/2（b+c-a ）r a [如下图]=1/2（b+a-c ）r c =1/2（a+c-b ）r b
[注]：到三角形三边的距离相等的点有4个，一个是内心，其余3个是旁心. 如图：
A
B
O
a c
I
A
B
C
D
E
F A
B C
D
E F
r a r a
r a
b
c
a
a b
c A
C
N
E F
图1 图2 图3 图4
图1中的I 为S △ABC 的内心， S △=Pr
图2中的I 为S △ABC 的一个旁心，S △=1/2（b+c-a ）r a
附：三角形的五个“心”； 重心：三角形三条中线交点.
外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点.
旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.
⑸已知⊙O 是△ABC 的内切圆，若BC =a ，AC =b ，AB =c [注：s 为△ABC 的半周长,即
2
c
b a ++] 则：①AE=a s -=1/2（b+c-a ） ②BN=b s -=1/2（a+c-b ） ③FC=
c s -=1/2（a+b-c ）
综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图4）. 特例：已知在Rt △ABC ，c 为斜边，则内切圆半径r =
c
b a ab
c b a ++=
-+2（如图3）. ⑹在△ABC 中，有下列等式成立C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++. 证明：因为,C B A -=+π所以()()C B A -=+πtan tan ，所以
C B
A B
A tan tan tan 1tan tan -=-+，∴结论！
⑺在△ABC 中，D 是BC 上任意一点，则DC BD BC
BC
AB BD AC AD ?-+=222
.
证明：在△ABCD 中，由余弦定理，有ΛB BD AB BD AB AD cos 2222??-+=① 在△ABC 中，由余弦定理有ΛBC AB AC BC AB B ?-+=2cos 2
22②，②代入①，化简
可得，DC BD BC
BC
AB BD AC AD ?-+=222
（斯德瓦定理）
①若AD 是BC 上的中线，222222
1
a c
b m a -+=； ②若AD 是∠A 的平分线，()a p p b
c c
b t a -?+=2，其中p 为半周长； ③若AD 是BC 上的高，()()()
c p b p a p p a
h a ---=
2，其中p 为半周长.
D
A
C
B
图5
⑻△ABC 的判定：
?+=222b a c △ABC 为直角△?∠A + ∠B =2
π
2c ＜?+22b a △ABC 为钝角△?∠A + ∠B ＜2π 2c ＞?+22b a △ABC 为锐角△?∠A + ∠B ＞
2
π 附：证明：ab
c b a C 2cos 2
22-+=，得在钝角△ABC 中，222222,00cos c b a c b a C πππ+?-+?
⑼平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和.
)2=
空间向量
1．空间向量的概念：
具有大小和方向的量叫做向量 注：⑴空间的一个平移就是一个向量
⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下
b a AB OA OB ?
ρ+=+= b a OB OA BA ρ
ρ-=-=
)(R a ∈=λλρ
运算律：⑴加法交换律：a b b a ?
??ρ+=+
⑵加法结合律：)()(c b a c b a ?
???ρ?++=++
⑶数乘分配律：b a b a ?
?
?
?λλλ+=+)(
3 共线向量
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平
行向量．a ρ平行于b ρ记作b a ρ?//．
当我们说向量a ρ、b ρ共线（或a ρ//b ρ）时，表示a ρ、b ρ
的有向线段所在的直线可能是
同一直线，也可能是平行直线．
4．共线向量定理及其推论：
共线向量定理：空间任意两个向量a ρ、b ρ（b ρ≠0ρ），a ρ//b ρ
的充要条件是存在实数
λ，使a ρ
＝λb ρ.
推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a ρ
的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式
t +=a ρ
．
其中向量a ρ
叫做直线l 的方向向量. 5．向量与平面平行：
已知平面α和向量a r
，作OA a =u u u r r ，如果直线OA 平行于α或在α内，那么我们说向量a r 平行于平面α，记作：//a αr
．
通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量 说明：空间任意的两向量都是共面的6．共面向量定理：
如果两个向量,a b r r 不共线，p r
与向量,a b r r 共面的充要条件是存在实数,x y 使
p xa yb =+r r r
推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB =+u u u r u u u r u u u r 或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++u u u r u u u u r u u u r u u u r
① ①式叫做平面MAB 的向量表达式
7 空间向量基本定理：
如果三个向量,,a b c r r r 不共面，那么对空间任一向量p r
，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++r r r r
推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个
有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r
8 空间向量的夹角及其表示：
已知两非零向量,a b r r ，在空间任取一点O ，作,OA a OB b ==u u u r u u u r r r ，则AOB ∠叫做向量a
r
与b r 的夹角，记作,a b <>r r ；且规定0,a b π≤<>≤r r ，显然有,,a b b a <>=<>r
r r r ；若,2
a b π<>=r r ，则称a r 与b r
互相垂直，记作：a b ⊥r r .
9．向量的模：
设OA a =u u u r r ，则有向线段OA u u u r 的长度叫做向量a r
的长度或模，记作：||a r . 10．向量的数量积： a b ?=r r ||||cos ,a b a b ??<>r r
r r ．
已知向量AB a =u u u r r 和轴l ，e r
是l 上与l 同方向的单位向量，作点A 在l 上的射影A '，
作点B 在l 上的射影B '，则A B ''u u u u r 叫做向量AB u u u r 在轴l 上或在e r 上的正射影.
可以证明A B ''u u u u r 的长度||||cos ,||A B AB a e a e ''=<>=?u u u u r u u u r r r r r
．
11．空间向量数量积的性质：
（1）||cos ,a e a a e ?=<>r r r r r
．（2）0a b a b ⊥??=r r r r ．（3）2||a a a =?r r r ．
12．空间向量数量积运算律：
（1）()()()a b a b a b λλλ?=?=?r r r r r r ．（2）a b b a ?=?r r r r （交换律）（3）()a b c a b a c
?+=?+?r r r r r r r
（分配律）．
空间向量的坐标运算
一．知识回顾：
（1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对应为纵轴），z 轴是竖轴（对应为竖坐标）. ①令a =(a 1,a 2,a 3),),,(321b b b b =，则
)
,,(332211b a b a b a ±±±=+))(,,(321R a a a ∈=λλλλλ3
32211b a b a b a ++=?
∥)(,,332211R b a b a b a ∈===?λλλλ3
3
2211b a b a b a =
=? 0332211=++?⊥b a b a b a
2
22321a a a ++==(用到常用的向量模与向量之间的转化：
=??=)
23
222123
22
21
3
32211|
|||,cos b b b a a a b a b a b a b a b a b a ++?
++++=
??>=<ρρρ
ρρρ
②空间两点的距离公式：212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=.
（2）法向量：若向量a 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥a ，
如果α⊥那么向量叫做平面α的法向量.
（3）用向量的常用方法：
①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射线，其中α∈A ，则点B 到平面α|
|n
②利用法向量求二面角的平面角定理：设21,n n 分别是二面角βα--l 中平面βα,的法向量，则21,n 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（21,n 方向相同，则为补角，
21,n 反方，则为其夹角）.
③证直线和平面平行定理：已知直线≠?a 平面α，α∈?∈?D C a B A ,，且CDE 三点不共线，则a ∥α的充要条件是存在有序实数对μλ?使μλ+=.（常设μλ+=求解μλ,若μλ,存在即证毕，若μλ,不存在，则直线AB 与平面相交）.
A
B
必修4 平面向量知识点小结 一、向量的基本概念 1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别. 向量常用有向线段来表示 . 注意：不能说向量就是有向线段，为什么？提示：向量可以平移. 举例 1 已知A（1,2），B（4,2），则把向量u A u B ur按向量a r（ 1,3）平移后得到的向量是. 结果：（3,0） 2.零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作：0r，规定：零向量的方向是任意的； 3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位 向量（与u A uu B r共线uuur 的单位向量是u A u B ur ）； | AB| 4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量 a r、 b r叫做平行向量，记作：a r∥b r， 规定：零向量和任何向量平行 . 注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！（因为有r0）； ④三点A、B、C 共线u A uu B r、u A u C ur共线. 6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量 . a r的相反向量记作a r. 举例 2 如下列命题：（1）若|a r | |b r | ，则a r b r. （2）两个向量相 等的充要条件是它们的起点相同，终点相同 . （3）若u A u B ur u D u C u r，则ABCD是平行四边形 . （4）若ABCD是平行四边形，则u A uu B r u D u C uur. （5）若a r b r，b r c r，则a r c r. （6）若a r / /b r，b r / /c r则a r / /c r.其中正确的是. 结果：（4）（5） 二、向量的表示方法
空间向量知识点归纳总结 知识要点。 1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2.空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 OB OA AB a b =+=+u u u r u u u r u u u r v r ;BA OA OB a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ;()OP a R λλ=∈u u u r r 运算律：⑴加法交换律：a b b a ? ??ρ+=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ? ???ρ?++=++ ⑶数乘分配律：b a b a ? ???λλλ+=+)( 3.共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫 做共线向量或平行向量，a ρ平行于b ρ，记作b a ρ ?//。 当我们说向量a ρ、b ρ共线（或a ρ//b ρ）时，表示a ρ、b ρ 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a ρ、b ρ（b ρ≠0ρ），a ρ//b ρ 存在实数λ，使a ρ ＝λb ρ。 4.共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。 （2）共面向量定理：如果两个向量,a b r r 不共线，p r 与向量,a b r r 共面的条件是存在 实数,x y 使p xa yb =+r r r 。 5.空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c r r r 不共面，那么对空间任一向量p r ，存在 一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++r r r r 。 若三向量,,a b c r r r 不共面，我们把{,,}a b c r r r 叫做空间的一个基底，,,a b c r r r 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序 实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r 。 6.空间向量的直角坐标系： （1）空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使++=，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。 （2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k r r r 表示。 （3）空间向量的直角坐标运算律： ①若123(,,)a a a a =r ，123(,,)b b b b =r ，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++r r ，
第三章 空间向量与立体几何 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2. 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈ 运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量 也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a //。 当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数 λ，使a ＝λb 。 4. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。 （2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。 若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++。
向量知识点归纳与常见题型总结 一、向量知识点归纳 1．与向量概念有关的问题 ⑴向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量 可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小. 记号“a＞b”错了，而| a | ＞ | b | 才有意义 . ⑵有些向量与起点有关，有些向量与起点无关. 由于一切向量有其共性（大小和方向），故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）. 当遇到与起点有关向量时，可平移向量 . ⑶平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量 ⑷单位向量是模为 1 的向量，其坐标表示为（x, y ）,其中 x 、y满足x2y2＝1 （可用（ cos ,sin）（ 0≤≤2π）表示） . 特别： AB 表示与 AB 同向的单位向量。|AB| 例如：向量直线)；( AB AC )(0) 所在直线过ABC 的内心(是BAC 的角平分线所在|AB||AC| 例 1、O是平面上一个定点， A、B、C不共线，P 满足OP OA(AB AC )[0,). |AB|| AC 则点 P 的轨迹一定通过三角形的内心。 →→→→ → →→ 1 AB + AC AB · AC =, 则△ABC 为() (变式 )已知非零向量 AB 与 AC 满足 (→→)·BC=0 且→→2 |AB ||AC ||AB ||AC | A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形(06 陕西 ) ⑸ 0 的长度为0，是有方向的，并且方向是任意的，实数0 仅仅是一个无方向的实数 . ⑹有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段. （ 7）相反向量 ( 长度相等方向相反的向量叫做相反向量。 a 的相反向量是－ a 。) 2．与向量运算有关的问题 ⑴向量与向量相加，其和仍是一个向量. （三角形法则和平行四边形法则） ①当两个向量 a 和 b 不共线时， a b 的方向与 a 、b 都不相同，且| a b |＜| a |＋| b |； ②当两个向量 a 和 b 共线且同向时， a b 、a 、b 的方向都相同，且 | a b || a || b |； ③当向量 a 和 b 反向时，若| a |＞| b |， a b 与 a 方向相同，且 |a b |=| a |-| b |； 若 | a | ＜ | b | 时 , a b 与 b方向相同，且 | a＋b |=| b |-| a |. ⑵向量与向量相减，其差仍是一个向量. 向量减法的实质是加法的逆运算. 三角形法则适用于首尾相接的向量求和；平行四边形法则适用于共起点的向量求和。 AB BC AC;AB AC CB 例 2： P 是三角形 ABC 内任一点，若CB PA PB,R ，则P一定在（）
高考平面向量知识点总结 16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式： a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+； ②结合律：()() a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=． ⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 18、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为 () 11,x y ， () 22,x y ，则 ()1212,x x y y AB =--． 19、向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=； ②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=． ⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③() a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==． 20、向量共线定理：向量() 0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ ，使b a λ=． 设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向 b a C B A a b C C -=A -AB =B
立体几何空间向量知识点总结 知识网络： 知识点拨： 1、空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、减法的平行四边形法则，三角形法则以及相关的运算律仍然成立．空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广，空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广． 2、当a 、b 为非零向量时．0a b a b ?=?⊥是数形结合的纽带之一，这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题． 3、公式cos ,a b a b a b ?<>= ?是应用空间向量求空间中各种角的基础，用这个公式可以求两异面直线所成的角（但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值围上的区别），再结合平面的法向量，可以求直线与平面所成的角和二面角等． 4、直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念，通过研究方向向量与法向量之间的关系，可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题． 5、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法 （1）线线平行 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． （2）线线垂直 证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即0a b a b ?=?⊥．
（3）线面平行 用向量证明线面平行的方法主要有： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明可在平面找到一个向量与直线方向向量是共线向量； ③利用共面向量定理，即证明可在平面找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量．（4）线面垂直 用向量证明线面垂直的方法主要有： ①证明直线方向向量与平面法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题． （5）面面平行 ①证明两个平面的法向量平行（即是共线向量）； ②转化为线面平行、线线平行问题． （6）面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题． 6、运用空间向量求空间角 （1）求两异面直线所成角 利用公式cos, a b a b a b ? <>= ? ， 但务必注意两异面直线所成角θ的围是 0, 2 π ?? ???， 故实质上应有：cos cos,a b θ=<> ． （2）求线面角 求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sinθ＝| cosφ|． （3）求二面角 用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补．7、运用空间向量求空间距离 空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离． （1）点与点的距离 点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模． （2）点与面的距离 点面距离的求解步骤是： ①求出该平面的一个法向量； ②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距离． 备考建议：
平面向量知识点总结归纳 1、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 2、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+ ． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+ ；②结合律：()() a b c a b c ++=++ ； ③00a a a +=+= ． ⑸坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y +=++ ． 3、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y -=-- ． b a C B A a b C C -=A -AB =B
设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =-- ． 4、向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ ． ①a a λλ= ； ②当0λ>时，a λ 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ 的方向与a 的方向相 反；当0λ=时，0a λ= ． ⑵运算律：①()()a a λμλμ= ；②()a a a λμλμ+=+ ；③() a b a b λλλ+=+ ． ⑶坐标运算：设(),a x y = ，则()(),,a x y x y λλλλ== ． 5、向量共线定理：向量() 0a a ≠ 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使 b a λ= ． 设()11,a x y = ，()22,b x y = ，其中0b ≠ ，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、 () 0b b ≠ 共线． 6、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于 这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+ ．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底） 7、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ， ()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλ λ++?? ?++??． 8、平面向量的数量积： ⑴() cos 0,0,0180a b a b a b θθ?=≠≠≤≤ ．零向量与任一向量的数量积为0． ⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥??= ．②当a 与b 同向时， a b a b ?= ；当a 与b 反向时，a b a b ?=- ；22a a a a ?== 或a ．③ a b a b ?≤ ． ⑶运算律：①a b b a ?=? ；②()()()a b a b a b λλλ?=?=? ；③() a b c a c b c +?=?+? ． ⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y = ，()22,b x y = ，则1212a b x x y y ?=+ ．
空间向量期末复习 知识要点: 1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示?同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2.空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 运算律：⑴加法交换律：a + h =b +ci ⑵加法结合律：（N + T） + E = N + 0 + e） ⑶数乘分配律：= + 3.共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，&平行于5 ,记作allb o 当我们说向量N、T共线（或a//b）时，表示万、5的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。 （2）共线向量定理：空间任意两个向量万、b（方工6）, allb存在实数2,使a=kb o 4.共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。 （2）共面向量定理：如果两个向量方,5不共线，"与向量刁,5共面的条件是存在实数 x^y\^p = xa-\-yb。 5.空间向量基本定理：如果三个向量a.b.c不共面，那么对空间任一向量存在一个唯一的有序实数组x,y,z ,使0 = xN + y5 + zC。 若三向量万不共面，我们把｛a.b.c｝叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量，空间任意三个不共而的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设O ,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数x, y, z ,使OP = xOA + yOB + zOC。 6.空间向量的数量积。 （1）空I'可向量的夹角及其表示：已知两非零向量a.b,在空间任取一点0,作0A = a,0B = b ,则厶叫做向量N与方的夹角，记作且规定OM a9b＞＜7T, 显然有＜丽＞=＜歸＞；若＜云伍＞=仝,则称万与5互相垂直，记作：N丄方。 （2）向量的模：设0A = a，则有向线段刃的长度叫做向量万的长度或模，记作：\a\o
向量知识点归纳与常见题型总结 高三理科数学组全体成员 一、向量知识点归纳 1．与向量概念有关的问题 ⑴向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小.记号“＞”错了，而||＞||才有意义. ⑵有些向量与起点有关，有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性（大小和方向），故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）.当遇到与起点有关向量时，可平移向量. ⑶平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向量相等的必要条件. ⑷单位向量是模为1的向量，其坐标表示为（,）,其中x 、y 满足 +2x 2 y ＝1（可用（cos θ,sin θ）（0≤θ≤2π）表示）.特别：||AB AB →→表示与AB → 同向的单位向量。 例如：向量()(0)|||| AC AB AB AC λλ+≠u u u r u u u r u u u r u u u r 所在直线过ABC ?的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)； 例1、O 是平面上一个定点，A 、B 、C 不共线，P 满足()[0,).|||AB AC OP OA AB AC λλ=++?∈+∞u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r 则点P 的轨迹一定通过三角形的内心。 (变式)已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →| =12 , 则△ABC 为( ) A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 (06陕西) ⑸0的长度为0，是有方向的，并且方向是任意的，实数0仅仅是一个无方向的实数. ⑹有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段. （7）相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。) 2．与向量运算有关的问题 ⑴向量与向量相加，其和仍是一个向量.（三角形法则和平行四边形法则） ①当两个向量和不共线时，+的方向与、都不相同，且|+|＜||＋||； ②当两个向量a 和b 共线且同向时，+a b 、a 、b 的方向都相同，且=+||||||+； ③当向量a 和b 反向时，若|a |＞|b |，b a +与 a 方向相同 ，且|b a +|=|a |-|b |； 若|a |＜|b |时,b a +与b 方向相同，且|a ＋b |=|b |-|a |. ⑵向量与向量相减，其差仍是一个向量.向量减法的实质是加法的逆运算. 三角形法则适用于首尾相接的向量求和；平行四边形法则适用于共起点的向量求和。 =+;=-
向量知识点归纳与常见题型总结 高三理科数学组全体成员 一、向量知识点归纳 1．与向量概念有关的问题 ⑴向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小.记号“＞”错了，而||＞||才有意义. ⑵有些向量与起点有关，有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性（大小和方向），故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）.当遇到与起点有关向量时，可平移向量. ⑶平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向量相等的必要条件. ⑷单位向量是模为1的向量，其坐标表示为（,）,其中x 、y 满足 +2 x 2 y ＝1 （可用（cos θ,sin θ）（0≤θ≤2π）表示）.特别： || AB AB → → 表示与AB → 同向的单位向量。 例如：向量()(0)|||| AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ?的内心(是BAC ∠的角平分线所在 直线)； 例1、O 是平面上一个定点，A 、B 、C 不共线，P 满足()[0,).|||AB AC OP OA AB AC λλ=++?∈+∞则点P 的轨迹一定通过三角形的内心。 (变式)已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →| =12 , 则△ABC 为( ) A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 (06陕 西) ⑸的长度为0，是有方向的，并且方向是任意的，实数0仅仅是一个无方向的实数. ⑹有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段. （7）相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。) 2．与向量运算有关的问题 ⑴向量与向量相加，其和仍是一个向量.（三角形法则和平行四边形法则） ①当两个向量a 和b 不共线时，+a b 的方向与a 、b 都不相同，且|+a b |＜|a |＋|b |； ②当两个向量和共线且同向时，+、、的方向都相同，且=+||||||+； ③当向量和反向时，若||＞||，+与 方向相同 ，且|+|=||-||； 若||＜||时,+与 方向相同，且|＋|=||-||. ⑵向量与向量相减，其差仍是一个向量.向量减法的实质是加法的逆运算. 三角形法则适用于首尾相接的向量求和；平行四边形法则适用于共起点的向量求和。
平面向量 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用a,b,c……来表示，或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示，如：AB几何表示法AB , a ；坐标表示法a =xi ? yj (x, y).向量 的大小即向量的模(长度)，记作| A B |即向量的大小，记作I 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. ②零向量：长度为0的向量，记为0,其方向是任意的，0与任意向量平行零向量a = 0 = I a I = 0"由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件. (注意与0的区别) ③单位向量：模为1个单位长度的向量向量a0为单位向量二I a0I = 1 ④平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a // b ■由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为 亠％ =x2 小相等，方向相同(x「yj = (x2, y2)=」 y2 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法t―4 ―4 设AB 二a, BC =b，贝y a + b =AB BC = AC (1)0 a a，0二a ；( 2)向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： (1)用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 (2)三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则?向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ ? QR二AR，但这时必须“首尾相连” ? 3向量的减法 ①相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量 记作-a,零向量的相反向量仍是零向量 关于相反向量有：(i) -(-a)=a ； (ii) a+(-a)=( - a)+ a = 0 ； (iii) 若a、b是互为相反向量， 则a=-b,b = -a,a + b=0 ②向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差， 记作：a - b二a ? (-b)求两个向量差的运算，叫做向量的减法 ③作图法：a -b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量(a、b有共同起点) 4实数与向量的积： ①实数入与向量a的积是一个向量，记作入a，它的长度与方向规定如下： (I) a a ；
精品文档 空间向量与立体几何知识点归纳总结 一．知识要点。 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 OB OA AB a b =+=+u u u r u u u r u u u r v r ;BA OA OB a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ;()OP a R λλ=∈u u u r r 运算律：⑴加法交换律：a b b a ???ρ+=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ? ???ρ?++=++ ⑶数乘分配律：b a b a ? ???λλλ+=+)( 运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共 线向量或平行向量，a ρ 平行于b ρ，记作b a ρ?//。 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a ρ、b ρ （b ρ≠0ρ），a ρ//b ρ存在实数λ，使a ρ ＝λb ρ。 （3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>AC AB λ= <=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中 （4）与 a 共线的单位向量为a a ± 4. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。 （2）共面向量定理：如果两个向量,a b r r 不共线，p r 与向量,a b r r 共面的条件是存在实数 ,x y 使p xa yb =+r r r 。 （3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP += <=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中
机械识图知识点总结 图之功能各国标准尺度比例线之种类与用途角法与视图 图之功能 1. 信息传递：把设计者之构想绘制成图，传递给加工制作人员、检验人员等。 2. 国际性：图为技术界的国际语言，即须具有国际语言之性格，如图形表法，标注方法或符号定义必须完全统一规格。 3. 泛用性：随着技术的发展，目前在各种产业上的互相关连加深，因此需画出各种行业均能了解之图。 TOP 各国标准 TOP 尺度比例 尺度单位 工至机械制图用基本长度单位，通常采用 mm ，可以不用在图中表示。儒需使用其它单位时，则必须注明单位符号。英制则以 in. 为基本长度单位，而不必标注。
常用比例 机械制图再绘图时，因尽量画出较大之圆形，以便于微缩影储存。通常以 2,5,10 之倍数为常用比例或按实物大小画出。 长用比例如下所列： 实大比例：1：1 缩小比例：1：2，1：2.5，1：4，1：5，1：10，1：20，1：50，1：100，1：200，1：500，1：1000 。 放大比例：2 ：1，5：1，10：1，20：1，50：1，100：1。 TOP 线之种类与用途
线之粗细与其使用 通常绘图时，粗实线之线宽须按图之大小与其复杂程度而订定，在同一张图中使用粗线之线宽必须均匀一致，中线与细线亦同理。 虚线之起讫与交会 虚线之起讫，如下图所示，虚线与其它线条交会时，除虚线无实线之延长外，其余应尽量维持相交。 1.实线与虚线相交 2.虚线与虚线相交 TOP
投影与视图 第一角法与第三角正投影法之比较 第一角投影法起于法国，盛行于欧洲大陆、德、法、义、俄等国，其中美、日及荷兰等国原先亦采用第一角投影法，后来改采用第三角法讫今。目前国内使用第一角投影法之机构约 35% ，而采用第三角投影法之机构约 65% 。因此为适应国内使用者之需求，于最新修订之 CNS3 ， CNS3-1 ， CNS3-2 ，…， CNS3-11 等工程制图国家标准规定“第一角法及第三角法同等适用”。唯于同一张图中，不的同时使用两种投影法，且每张图上均应于明显部位标示“投影法”，以资鉴别。 第一角投影法与第三角投影法之异同如下： (1) 对同一投影方向上而言，两者投影面之位置不同。第一角投影法之投影面在物体之后方，而第三角投影法之投影面则在物体前方。 (2) 两中投影法之各视图彼此完全相同。 (3) 两者之投影相于展开后视图排列，则因投影面之不同而有所分别，以前视图为基准而展开时，除前视图以外，其它各视图之位置相反。 (4) 判断视图为第一角或第三角时，可先假定为其中任一者，以侧视图之轮廓线判断误，表示假定正确，若虚实线相反，表示假定错误。 剖视图 对物体作假想剖切，以了结其内部形状，假想之割切面称为割面，而割面体所见之线，称为割面线，如图 1-1 所示。割面线可以转折，两端及转折处用粗实线画出，中间以细链线连接。转折处之大小如图 1-2 所示。 如有多个割面图时，应以大楷拉丁字母区别之，同一割面之两端以相同字母标示，字母写在箭头外侧，书写方向一律朝上。割面线箭头标示剖视图方向，割面线之两端需伸出视图外约10mm ，其箭头之大小形状如图 1-3 所示。 割面及剖面线 假想剖切所得剖面，须以细实线画出剖面线，剖面线虚为与主轴线或机件外形线成45 °之均匀并行线，（但应避免将剖面线画成垂直或水平）。若剖面线与轮廓线平行或近平行时，必须改变方向如图 1-4 所示。 同一机件被剖切后，其剖面线之方向与间隔必须完全相同。在组合图中，相邻两机件，其剖面线应取不同之方向或不同之间隔，如图 1-5 所示。机件剖面之面积较大时，其中间部分之剖面线可以省略，但画出之剖面线须整齐，如图 1-6 所示机件剖面之面积甚为狭小时，
向量知识点归纳与常见题型总结 一、向量知识点归纳 1．与向量概念有关的问题 ⑴向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小.记号“＞”错了，而||＞||才有意义. ⑵有些向量与起点有关，有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性（大小和方向），故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）.当遇到与起点有关向量时，可平移向量. ⑶平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量 ⑷单位向量是模为1的向量，其坐标表示为（y x ,）,其中x 、y 满足 +2x 2 y ＝1（可用（cos θ,sin θ）（0≤θ≤2π）表示）.特别：||AB AB →→表示与AB → 同向的单位向量。 例如：向量()(0)|||| AC AB AB AC λλ+≠u u u r u u u r u u u r u u u r 所在直线过ABC ?的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)； 例1、O 是平面上一个定点，A 、B 、C 不共线，P 满足()[0,).|||AB AC OP OA AB AC λλ=++?∈+∞u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r 则点P 的轨迹一定通过三角形的内心。 (变式)已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →| =12 , 则△ABC 为( ) A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 (06陕西) ⑸0的长度为0，是有方向的，并且方向是任意的，实数0仅仅是一个无方向的实数. ⑹有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段. （7）相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。) 2．与向量运算有关的问题
立体几何空间向量知识点总结 知识网络： 知识点拨： 1、空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、减法的平行四边形法则，三角形法则以及相关的运算律仍然成立．空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广，空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广． 2、当a 、b 为非零向量时．0a b a b ?=?⊥是数形结合的纽带之一，这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题． 3、公式cos ,a b a b a b ?<>= ?是应用空间向量求空间中各种角的基础，用这个公 式可以求两异面直线所成的角（但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值范围上的区别），再结合平面的法向量，可以求直线与平面所成的角和二面角等． 4、直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念，通过研究方向向量与法向量之间的关系，可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题． 5、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法 （1）线线平行 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． （2）线线垂直
证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即0 a b a b ?=?⊥． （3）线面平行 用向量证明线面平行的方法主要有： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明可在平面内找到一个向量与直线方向向量是共线向量； ③利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量． （4）线面垂直 用向量证明线面垂直的方法主要有： ①证明直线方向向量与平面法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题． （5）面面平行 ①证明两个平面的法向量平行（即是共线向量）； ②转化为线面平行、线线平行问题． （6）面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题． 6、运用空间向量求空间角 （1）求两异面直线所成角 利用公式cos, a b a b a b ? <>= ? ，
平面向量 1、 向量的定义：既有大小又有方向的量叫向量 2、 向量的表示方法 （1）几何表示：以A 为起点，以B 为终点的有向线段记作AB u u u r ，如果有向线段AB u u u r 表示 一个向量，通常我们就说向量AB u u u r . （2）字母表示：印刷时 粗黑体字母 a ， b ， c …向量 手写时 带箭头的小写字母 a ，b r … 3、向量点的长度（模） 向量的大小叫做向量的长或模，记作|AB u u u r |、｜a ｜ 4、零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行 a ＝0 ｜a ｜＝0 单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 ｜0a ｜＝1 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量称为平行向量，也叫共线向量 记作a ∥b 5、相等向量：长度相等且方向相同的向量 相等向量经过平移后总可以重合，记为b a 即大小相等，方向相同),(),(2211y x y x 21 2 1y y x x 6、 对于任意非零向量的单位向量是 . 7、向量的加法 （1）三角形法则 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r 对于零向量与任意向量a 的和有a a a 00 （2）平行四边形法则 已知两个不共线的向量a ，b r ，做,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则A 、B 、D 三点不共线，以 AB 、AD 为邻边作平行四边形ABCD ，则对角线上的向量AC u u u r =a +b r .
空间向量与立体几何知识点总结 一、基本概念 : 1、空间向量： 2、相反向量： 3 、相等向量： 4、共线向量： 5 、共面向量： 6、方向向量 : 7 、法向量 8、空间向量基本定理： 二、空间向量的坐标运算： 1.向量的直角坐标运算 r r 设 a ＝(a1,a2 , a3 ) ， b ＝ (b1 , b2 , b3 ) 则 (1) r r b1, a2 b2, a3 b3 ) ；(2) r r a ＋b＝(a1 a －b＝( a1 (3) r a2 , a3 ) (λ∈R)；(4) r r λ a ＝( a1, a · b ＝ a1b1 2.设 A( x1, y1, z1)， B( x2, y2, z2)，则b1 , a2 b2 , a3b3 ) ；a2b2a3b3； uuur uuur uuur AB OB OA = (x2x1 , y2y1 , z2z1 ) . r r 3、设a ( x1 , y1, z1 ) ， b ( x2, y2 , z2 ) ，则 r r r r r r r r r r a P b a b(b 0) ； a b a b 0 x1 x2 y1 y2 z1z2 0 . 4. 夹角公式 r r r r a1b1 a2 b2 a3b3 . 设 a ＝(a1,a2, a3)，b＝(b1, b2, b3)，则 cos a,b a12 a22 a32 b12 b22 b32 5．异面直线所成角 r r r r | a b | | x1x2 y1 y2 z1 z2 | cos | cos a,b . |= r r x12 y12 z12 x22 y22 z22 | a | | b | 6．平面外一点p 到平面的距离 n r 已知 AB 为平面的一条斜线， n 为平面的一个法 α
短文改错知识点总结 短文改错测试点 一.语法 主要测试动词时态和语态，非谓语动词和短语动词；名词.代词的各种形式，形容词和副词以及比较等级的用法；连词.冠词.介词；主谓一致；简单句.并列句和复合句，以及倒装.省略句等。 二.是在行文逻辑方面， 主要考查人物的性别及相应的物主代词或物的数量及相应的物主代词，句子的并列.递进. 转折.因果关系；时间的先后顺序等 . 错误类型 1.冠词的多用、少用和误用 2.名词单复数的误用及近义词的混用 3.代词指代不一致的错误或代词使用不当 4.主谓不一致的错误 5.动词的时态和语态的误用 6.非谓语动词的误用 7.形容词和副词的混用及其比较等级的误用 8关联词和平行结构的误用 9.固定搭配，习惯用法与介词的误用 10.冗词的多用 设错方式 一、动词形 1.动词的时态和语态错误 2.主、谓不一致的错误 3.谓语与非谓语误用 4.非谓语动词的误用 动词置于句首 ?首先看有没有并列连词and /or /otherwise, 有就考虑是祈使句 ?没有，就考虑非谓语动词 ?再看有没有(,)，有就考虑分词作状语，没有就考虑动名词/不定式作主语 例Review what happened in the past helps me succeed in the future. Reviewing 常接不定式的形容词 ?be glad to do ?be eager to do ?be anxious to ?be ready to do 及物动词后有by，in，with，to ?先辨是谓语还是非谓语，考虑被动语态和过去分词 ?be located /situated in位于 ?be absorbed in被…吸引/专心于