第三章 导数及其应用 学案13 导数的概念及运算
导学目标： 1.了解导数概念的实际背景，理解函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．了解曲线的切线的概念.2.能根据导数定义，求函数y ＝C (C
为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x
，y ＝x 的导数．熟记基本初等函数的导数公式(c ，x m
(m 为
有理数)，sin x ，cos x ，e x ，a x
，ln x ，log a x 的导数)，能利用基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f (ax ＋b ))的导数．
自主梳理
1．函数的平均变化率
一般地，已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，则当Δx ≠0时，商________________________＝Δy
Δx
称作函数y ＝f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ](或[x 0＋Δx ，x 0])的平均变化率． 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义
函数y ＝f (x)在点x 0处的瞬时变化率______________通常称为f (x )在x ＝x 0处的导数，并记作f ′(x 0)，即______________________________．
(2)几何意义
函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是过曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))的____________．
导函数y ＝f ′(x )的值域即为__________________． 3．函数f (x )的导函数
如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内每一点都是可导的，就说f (x )在开区间(a ，b )内可导，其导数也是开区间(a ，b )内的函数，又称作f (x )的导函数，记作____________．
4．基本初等函数的导数公式表
原函数 导函数 f (x )＝C f ′(x )＝______ f (x )＝x α (α∈Q *
) f ′(x )＝______ (α∈Q *) F (x )＝sin x f ′(x )＝__________ F (x )＝cos x f ′(x )＝____________
f (x )＝a x (a >0，a ≠1)
f ′(x )＝____________(a >0，
a ≠1)
f (x )＝e x
f ′(x )＝________
f (x )＝lo
g a x (a >0，a ≠1，且x >0) f ′(x )＝__________(a >0，
a ≠1，且x >0) f (x )＝ln x f ′(x )＝__________
5．导数运算法则
(1)[f (x )±g (x )]′＝__________； (2)[f (x )g (x )]′＝______________；
(3)??
??
?
?f x g x ′＝______________ [g (x )≠0]．
6．复合函数的求导法则：设函数u ＝φ(x )在点x 处有导数u x ′＝φ′(x )，函数y ＝f (u )在点x 处的对应点u 处有导数y u ′＝f ′(u )，则复合函数y ＝f (φ(x ))在点x 处有导数，且y ′x ＝y ′u ·u ′x ，或写作f ′x (φ(x ))＝f ′(u )φ′(x )．
自我检测
1．在曲线y ＝x 2
＋1的图象上取一点(1,2)及附近一点(1＋Δx ，2＋Δy )，则Δy Δx
为
( )
A ．Δx ＋1Δx ＋2
B ．Δx －1
Δx
－2
C ．Δx ＋2
D ．2＋Δx －1
Δx
2．设y ＝x 2·e x
，则y ′等于 ( )
A ．x 2e x ＋2x
B ．2x e x
C ．(2x ＋x 2)e x
D ．(x ＋x 2)·e x
3．(2010·全国Ⅱ)若曲线y ＝x －12在点(a ，a －1
2
)处的切线与两个坐标轴围成的三角形
的面积为18，则a 等于 ( )
A ．64
B ．32
C ．16
D ．8
4．(2011·临汾模拟)若函数f (x )＝e x ＋a e －x
的导函数是奇函数，并且曲线y ＝f (x )的
一条切线的斜率是3
2
，则切点的横坐标是
( )
A ．－ln 22
B ．－ln 2
C.ln 22
D ．ln 2
5．(2009·湖北)已知函数f (x )＝f ′(π4)cos x ＋sin x ，则f (π
4
)＝________.
探究点一 利用导数的定义求函数的导数
例1 利用导数的定义求函数的导数：
(1)f (x )＝1
x
在x ＝1处的导数；
(2)f (x )＝
1x ＋2
.
变式迁移1 求函数y ＝x 2
＋1在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并求出其导函数．
探究点二 导数的运算 例2 求下列函数的导数：
(1)y ＝(1－x )? ????
1＋1x ；(2)y ＝ln x x ；
(3)y ＝x e x
；(4)y ＝tan x .
变式迁移2 求下列函数的导数：
(1)y ＝x 2
sin x ；(2)y ＝3x e x －2x
＋e ；(3)y ＝
ln x
x 2＋1
.
探究点三 求复合函数的导数
例3 (2011·莆田模拟)求下列函数的导数：
(1)y ＝(1＋sin x )2
；(2)y ＝11＋x 2
； (3)y ＝ln x 2
＋1；(4)y ＝x e 1－cos x
.
变式迁移3 求下列函数的导数：
(1)y ＝1
1－3x
4；
(2)y ＝sin 2?
????2x ＋π3； (3)y ＝x 1＋x 2.
探究点四 导数的几何意义
例4 已知曲线y ＝13x 3＋4
3
.
(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程； (3)求满足斜率为1的曲线的切线方程．
变式迁移4 求曲线f (x )＝x 3－3x 2
＋2x 过原点的切线方程．
1．准确理解曲线的切线，需注意的两个方面：
(1)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，若直线与曲线只有一个公共点，则直线不一定是曲线的切线，同样，若直线是曲线的切线，则直线也可能与曲线有两个或两个
以上的公共点．
(2)曲线未必在其切线的“同侧”，如曲线y ＝x 3
在其过(0,0)点的切线y ＝0的两侧． 2．曲线的切线的求法：
若已知曲线过点P (x 0，y 0)，求曲线过点P 的切线则需分点P (x 0，y 0)是切点和不是切点两种情况求解．
(1)点P (x 0，y 0)是切点的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)． (2)当点P (x 0，y 0)不是切点时可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；
第二步：写出过P ′(x 1，f (x 1))的切线方程为y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)； 第三步：将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程求出x 1；
第四步：将x 1的值代入方程y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)可得过点P (x 0，y 0)的切线方程． 3．求函数的导数要准确地把函数分割为基本初等函数的和、差、积、商及其复合运算，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣法则，联系基本初等函数求导公式，对于不具备求导法则结构形式的要适当变形．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知函数f (x )＝2ln(3x )＋8x ，则0
lim →?x
f 1－2Δx －f 1
Δx
的值为
( )
A ．10
B ．－10
C ．－20
D ．20
2．(2011·温州调研)如图是函数f (x )＝x 2
＋ax ＋b 的部分图象，则函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在的区间是 ( )
A.? ??
??14，12 B ．(1,2) C.? ??
??12，1 D ．(2,3) 3．若曲线y ＝x 4
的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为 ( ) A ．4x －y －3＝0 B ．x ＋4y －5＝0 C ．4x －y ＋3＝0 D ．x ＋4y ＋3＝0
4．(2010·辽宁)已知点P 在曲线y ＝4
e x ＋1
上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则
α的取值范围是 ( )
A.??????0，π4
B.??????π4，π2
C.? ????π2，3π4
D.????
??3π4，π 5．(2011·珠海模拟)在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意x 1，x 2
(x 1≠x 2)，|f (x 2)－f (x 1)|<|x 2－x 1|恒成立”的只有
A ．f (x )＝1
x
B ．f (x )＝|x | x
2
题号 1 2 3 4 5 答案
6．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32
t 2
＋2t ，那么速度
为零的时刻是__________．
7．若点P 是曲线f (x )＝x 2
－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为________．
8．设点P 是曲线y ＝x 3
3
－x 2
－3x －3上的一个动点，则以P 为切点的切线中，斜率取得
最小值时的切线方程是__________________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)求下列函数在x ＝x 0处的导数．
(1)f (x )＝e x 1－x ＋e
x 1＋x
，x 0＝2；
(2)f (x )＝x －x 3＋x 2ln x
x 2
，x 0＝1.
10．(12分)(2011·保定模拟)有一个长度为5 m 的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m/s 的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4 m 时，梯子上端下滑的速度．
11．(14分)(2011·平顶山模拟)已知函数f (x )＝12
x 2
－a ln x (a ∈R )．
(1)若函数f (x )的图象在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b ，求a ，b 的值； (2)若函数f (x )在(1，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围．
自主梳理
1.
00()()
f x x f x x +-△△
2.（1）0lim x y x →△△△ 00'()lim x y
f x x
→=△△△ (2)切线的斜率 切线斜率的取值范围
3.y′或f′(x)
4．0 αx
α－1
cos x －sin x a x ln a e x
1x ln a 1
x
5．(1)f ′(x )±g ′(x ) (2)f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) (3)f ′x g x －f x g ′x [g x ]2
1．C 2.C 3.A 4.D
5．1
解析 ∵f ′(x )＝－f ′(π
4)sin x ＋cos x ，
∴f ′(π
4)＝2－1.
∴f (π
4
)＝1.
课堂活动区
例1 解题导引 (1)用导数定义求函数导数必须把分式Δy
Δx
中的分母Δx 这一因式约
掉才可能求出极限，所以目标就是分子中出现Δx ，从而分子分母相约分．
(2)第(1)小题中用到的技巧是“分子有理化”．“有理化”是处理根式问题常用的方法，有时用“分母有理化”，有时用“分子有理化”．
(3)注意在某点处的导数与导数定义式的区别：
0000(()()
'()lim
x f x x f x f x x
→+-=△△△；
0()()
'()lim
x f x x f x f x x →+-=△△△； (4)用导数的定义求导的步骤为：
①求函数的增量Δy ；②求平均变化率Δy
Δx
；③化简取极限．
解 (1)Δy Δx ＝f 1＋Δx －f 1
Δx
＝1
1
1x x -+△△ ＝111(1)11(11)
x x x x x x x -+-+=
++++△△△△△△△ ＝(11)
x
x x x -+++△△△△ ＝1
11x x
-+++△△，
∴001
'(1)lim lim 11x x y f x x x
→→-==+++△△△△△△
＝－1
2.
(2)Δy Δx
＝f x ＋Δx －f x
Δx
＝11
22x x x x
-
+++△△
＝x ＋2－x ＋2＋Δx
Δx x ＋2x ＋2＋Δx
＝
－1
x ＋2
x ＋2＋Δx
，
导数的概念及运算 一、选择题 1.设曲线y＝e ax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，则a＝( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析∵y＝e ax－ln(x＋1)，∴y′＝a e ax－ 1 x＋1 ，∴当x＝0时，y′＝a－1.∵ 曲线y＝e ax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，∴a－1＝2，即a＝3.故选D. 答案 D 2.若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)等于( ) A.2 B.0 C.－2 D.－4 解析∵f′(x)＝2f′(1)＋2x，∴令x＝1，得f′(1)＝－2， ∴f′(0)＝2f′(1)＝－4. 答案 D 3.(2017·西安质测)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为( ) A.(1，3) B.(－1，3) C.(1，3)和(－1，3) D.(1，－3) 解析f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y＝2x－1上，故选C. 答案 C 4.(2017·石家庄调研)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A.e B.－e C.1 e D.－ 1 e 解析y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝1 x ，设切点为(x0，ln x0)，则 y′|x＝x 0＝ 1 x ，切线方程为y－ln x0＝ 1 x (x－x0)，因为切线过点(0，0)，所
以－ln x 0＝－1，解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1 e . 答案 C 5.(2016·郑州质检)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则 g ′(3)＝( ) A.－1 B.0 C.2 D.4 解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－1 3，∴f ′(3)＝－ 1 3 ，∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×? ???? －13＝0. 答案 B 二、填空题 6.(2015·天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数， f ′(x )为f (x )的导函数，若f ′(1)＝3，则a 的值为________. 解析 f ′(x )＝a ? ? ???ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )，由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ， 又f ′(1)＝3，所以a ＝3. 答案 3 7.(2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________. 解析 设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝ln x －3x ，又f (x )为偶函数，f (x )＝ln x －3x ， f ′(x )＝1 x －3，f ′(1)＝－2，切线方程为y ＝－2x －1. 答案 2x ＋y ＋1＝0
导数的概念导学案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
预习目标：“导数的概念”了解瞬时速度的定义，能够区分平均速度和瞬时速 度，理解导数(瞬时变化率)的概念 预习内容： 问题1 我们把物体在某一时刻的速度称为________。一般地，若物体的运动规律为 )(t f s =，则物体在时刻t 的瞬时速度v 就是物体在t 到t t ?+这段时间内，当_________时平均速度的极限，即t s v x ??=→?0lim =___________________ 问题2 函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是: 000 0()()lim lim x x f x x f x f x x ?→?→+?-?=?? 我们称它为函数()y f x =在0x x =处的______，记作'0()f x 或________，即___________________________________________________________. 提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑? 课内探究学案 一：探究求导数的步骤： （即________变化率） 二：精讲点拨 例1(1)求函数23x y =在1=x 处的导数. (2)求函数x x x f +-=2)(在1x =-附近的平均变化率,并求出该点处的导数. 三：有效训练 求22+=x y 在点x=1处的导数. );()()1(00x f x x f y -?+=?求增量;)()()2(00x x f x x f x y ?-?+=??算比值时）（在求0.)3(0→???='=x x y y x x
《导数的概念及几何意义》教学设计 教材内容分析 本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（ A 版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念及几何意义》是在学习了函数平均变化率以后，过渡到瞬时变化率，从而得出导数的概念，再从平均变化率的几何意义，迁移至瞬时变化率即导数的几何意义。 导数是微积分的核心概念之一，是从生产技术和自然科学的需要中产生的，它深刻揭示了函数变化的本质，其思想方法和基本理论在在天文、物理、工程技术中有着广泛的应用，而且在日常生活及经济领域也日渐显示出其重要的功能。 在中学数学中，导数具有相当重要的地位和作用。 从横向看，导数在现行高中教材体系中处于一种特殊的地位。它是众多知识的交汇点，是解决函数、不等式、数列、几何等多章节相关问题的重要工具， 它以更高的观点和更简捷的方法对中学数学的许多问题起到以简驭繁的处理。 从纵向看，导数是函数一章学习的延续和深化，也是对极限知识的发展， 同时为后继研究导数的几何意义及应用打下必备的基础， 具有承前启后的重要作用。 学生学情分析 学生在高一年级的物理课程中已经学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度， 再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型， 并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的． 而在第一课时平均变化率的学习中，课本给出了一个思考，观察函数 )(x f y 的图像，平均变化x y 表示什么？这个思考为研究导数的几何意义埋下 了伏笔。因此，在将瞬时变化率定义为导数之后， 立即让学生继续探索导数的几何意义，学生会对导数的几何意义有更为深刻的认识。 教学目标 1、知识与技能目标会从数值逼近、几何直观感知，解析式抽象三个角度认识导数的含义，应用导数的定义求简单函数在某点处的导数， 掌握求导数的基本步骤，初步学会求解 简单函数在一点处的切线方程。 2、过程与方法目标 通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力，通过问题的探究体会逼近、类比、以及用已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。 3、情感态度与价值观
导数的概念与基本运算 1．导数的概念 设函数y ＝f (x )在x 0附近有定义，自变量x 在点x 0有增量△x ，函数y ＝f (x )相应有增量 △y ＝f (x 0＋△x )－f (x 0)，比值 x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00是函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋△x 的平均变化率。如果当0→?x 时， x y ??有极限，则称函数y ＝f (x )在点x 0处有导数（又称可导），而这个极限值就叫做函数y ＝f (x )在点x 0处的导数（或变化率），记作f ' (x 0)或y'|0x x =，即 )(x f '=x y x ??→?0lim ＝x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 000。 2．导数概念的某些实际背景 瞬时速度是导数概念的一个物理背景，切线的斜率是导数概念的一个几何背景。 3．求导数的方法 导数应用很广泛，经常需要求导，如果都用定义求一遍，不胜其烦，人们就用定义推导出一些常见函数的导函数，并作为公式加以应用。教科书上只介绍了两个求导公式：C'=0， 及()n x '= （n 为正整数）；两个法则：[f(x)±g(x)]'=f '(x)±g '(x)， [Cf （x ）]'=C f '(x) 。 根据定义不难证明上述两个法则： [f(x)±g(x)]'= = = ±= ()f x '()g x '±； ()Cf x '????0 lim x C ?→==()Cf x ' 。 有了这些工具，我们就能求出一切多项式函数的导数了。 另外，∵=≈， ∴当△x 很小时，可把它作为一个简单易记的近似计算公式。 （1）几种常用函数的导数公式如下：
3.1.1平均变化率 课时目标 1.理解并掌握平均变化率的概念.2.会求函数在指定区间上的平均变化率.3.能利用平均变化率解决或说明生活中的实际问题． 1．函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为____________．习惯上用Δx表示________，即__________，可把Δx看作是相对于x1的一个“__________”，可用__________代替x2；类似地，Δy＝__________，因此，函数f(x)的平均变化率可以表示为________． 2．函数y＝f(x)的平均变化率Δy Δx＝ f(x2)－f(x1) x2－x1 的几何意义是：表示连接函数y＝f(x)图象 上两点(x1，f(x1))、(x2，f(x2))的割线的________． 一、填空题 1．当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数________．(填序号) ①在[x0，x1]上的平均变化率； ②在x0处的变化率； ③在x1处的变化率； ④以上都不对． 2．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的增量Δy＝______________. 3．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则Δy Δx＝ ________. 4．某物体做运动规律是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是______________． 5．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是________． 6．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为________． 7．过曲线y＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为______． 8．若一质点M按规律s(t)＝8＋t2运动，则该质点在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度是________． 二、解答题 9．已知函数f(x)＝x2－2x，分别计算函数在区间[－3，－1]，[2,4]上的平均变化率．10．过曲线y＝f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx，1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率．
导数的概念（第1课时） 一、教学目标： 1．了解曲线的切线的概念． 2．在了解瞬时速度的基础上，抽象出变化率的概念． 3．掌握切线的斜率、瞬时速度，它们都是一种特殊的极限，为学习导数的定义奠定基础． 二、教学重点：切线的概念和瞬时速度的概念． 教学难点：在了解曲线的切线和瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念． 三、教学用具：多媒体 四、教学过程： 1．曲线的切线 如图，设曲线C 是函数)(x f y =的图像，点),(00y x P 是曲线C 上一点，点),(00y y x x Q ?+?+是曲线C 上与点P 邻近的任一点．作割线PQ ，当点Q 沿着曲线C 无限地趋近于点P ，割线PQ 便无限地趋近于某一极限位置PT ．我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线C 在点P 处的切线． 问：怎样确定曲线C 在点P 处的切线呢？因为P 是给定的，根据解析几何中直线的点斜式方程的知识，只要求出切线的斜率就够了．设割线PQ 的倾斜角为β，切线PT 的倾斜角为α，既然割线PQ 的极限位置上的直线PT 是切线，所以割线PQ 斜率的极限就是切线PT 的斜率αtan ，即.)()(lim lim tan 0000x x f x x f x y x x ?-?+=??=→?→?α 例题 求曲线12+=x y 在点P （1，2）处的切线的斜率k ． 解：x x x f x f x f x x f y ?+?=+-+?+=-?+=-?+=?2)11(1)1()1()1()()(2200 222+?=??+?=??x x x x x y ∴2)2(lim lim 0 0=+?=??=→?→?x x y k x x ，即2=k ． 2．瞬时速度 我们知道，物体作直线运动时，它的运动规律可用函数)(t s s =描述．
第三章导数及其应用 第1讲导数的概念及运算 基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．设y＝x2e x，则y′＝ () A．x2e x＋2x B．2x e x C．(2x＋x2)e x D．(x＋x2)e x 解析y′＝2x e x＋x2e x＝(2x＋x2)e x. 答案 C 2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2x·f′(1)＋ln x，则f′(1)等于 () A．－e B．－1 C．1 D．e 解析由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋1 x ， ∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1. 答案 B 3．曲线y＝sin x＋e x在点(0,1)处的切线方程是 () A．x－3y＋3＝0 B．x－2y＋2＝0 C．2x－y＋1＝0 D．3x－y＋1＝0 解析y′＝cos x＋e x，故切线斜率为k＝2，切线方程为y＝2x＋1，即2x－y ＋1＝0. 答案 C 4．(2017·成都诊断)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为
() A．e B．－e C.1 e D．－ 1 e 解析y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝1 x ，设切点为(x0，ln x0)，则y′|x ＝x0＝1 x0 ，切线方程为y－ln x0＝1 x0(x－x0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x0 ＝－1，解得x0＝e，故此切线的斜率为1 e. 答案 C 5．(2017·昆明诊断)设曲线y＝1＋cos x sin x在点? ? ? ? ? π 2，1处的切线与直线x－ay＋1＝0 平行，则实数a等于 () A．－1 B.1 2 C．－2 D．2 解析∵y′＝－1－cos x sin2x ，∴＝－1. 由条件知1 a ＝－1，∴a＝－1. 答案 A 二、填空题 6．若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________. 解析因为y′＝2ax－1 x ，所以y′|x＝1＝2a－1.因为曲线在点(1，a)处的切线 平行于x轴，故其斜率为0，故2a－1＝0，解得a＝1 2. 答案1 2 7.(2017·长沙一中月考)如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x) 在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.
第95课时：第十三章 导数——导数的概念及运算 课题：导数的概念及运算 一．复习目标： 理解导数的概念和导数的几何意义，会求简单的函数的导数和曲线在一点处的切线方程． 二．知识要点： 1．导数的概念：0()f x '= ； ()f x '= ． 2．求导数的步骤是 3．导数的几何意义是 ． 三．课前预习： 1．函数2 2 (21)y x =+的导数是 （ C ） ()A 32164x x + ()B 348x x + ()C 3168x x + ()D 3164x x + 2．已知函数)(,31)(x f x x f 则处的导数为在=的解析式可（ A ） ()A )1(3)1()(2-+-=x x x f ()B )1(2)(-=x x f ()C 2)1(2)(-=x x f ()D 1)(-=x x f 3．曲线2 4y x x =-上两点(4,0),(2,4)A B ，若曲线上一点P 处的切线恰好平行于弦AB ，则点P 的坐标为 （ B ） ()A (1,3) ()B (3,3) ()C (6,12)- ()D (2,4) 4．若函数2 ()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数()f x '的图象是（ A ） 5．已知曲线()y f x =在2x =-处的切线的倾斜角为 34 π ，则(2)f '-=1-，[( 2)]f '-=0．
6．曲线2122y x =- 与3124y x =-在交点处的切线的夹角是4 π． 四．例题分析： 例1．（1）设函数2 ()(31)(23)f x x x x =+++，求(),(1)f x f ''-； （2）设函数32 ()25f x x x x =-++，若()0f x '=，求x 的值． （3）设函数()(2)n f x x a =-，求()f x '． 解：（1）32()61153f x x x x =+++，∴2 ()18225f x x x '=++ （2）∵32()25f x x x x =-++，∴2 ()341f x x x '=-+ 由()0f x '=得：2 03410x x -+=，解得：01x =或013 x = （3）0(22)(2)()lim n n x x a x x a f x x ?→-+?--'=? 112 210 lim[(2)24(2)2()]n n n n n n n n x C x a C x x a C x ---?→=-?+?-++?12(2)n n x a -=- 例2．物体在地球上作自由落体运动时，下落距离2 12 S gt = 其中t 为经历的时间，29.8/g m s =，若 0(1)(1) lim t S t S V t ?→+?-=?9.8/m s =，则下列说法正确的是（ C ） （A ）0～1s 时间段内的速率为9.8/m s （B ）在1～1+△ts 时间段内的速率为9.8/m s （C ）在1s 末的速率为9.8/m s （D ）若△t ＞0，则9.8/m s 是1～1+△ts 时段的速率； 若△t ＜0，则9.8/m s 是1+△ts ～1时段的速率． 小结：本例旨在强化对导数意义的理解，0lim →?t t S t S ?-?+) 1()1(中的△t 可正可负 例3．（1）曲线C ：3 2 y ax bx cx d =+++在(0,1)点处的切线为1:1l y x =+ 在(3,4)点处的切线为2:210l y x =-+，求曲线C 的方程； （2）求曲线3:2S y x x =-的过点(1,1)A 的切线方程． 解：（1）已知两点均在曲线C 上. ∴? ??=+++=439271 d c b a d ∵2 32y ax bx c '=++ / (0)f c = / (3)276f a b c =++
教学合班 1：专业班合计人授课 合班 2：专业班合计人日期对象 合班 3：专业班合计人地点教学第二章导数与微分计划 内容 第一节导数的概念 2学时 （课题） 通过学习，学生能够： 1.理解导数概念，会用定义求函数在一点处的导数； 2.理解导数的几何意义，会求曲线的切线； 3.理解可导与连续的关系。 具体目标如下： 教学 目的 知识目标：技能目标：素养目标： 教学重点难点教学资源 1.理解导数的概念；1．会用定义求函数在一点处 1 ．培养学生的数学思维 2.理解导数的几何意义；的导数；能力和解决问题的能 3.把握可导与连续的关系。2．会求曲线的切线。力； 2．培养学生严谨、求实 的作风。 重点：导数的定义。 难点：理解导数的几何意义。 教材、例子（幻灯片）、课件。 教学后记 对培养方案、大纲修改意见对授课计划修改意见对本教案修改意见需增加资源其他教研室主任：系主任：教务处：
教学活动流程 教学步骤与内容教学目标教学方法时间 对前面的知 识进行复习 A. 复习内容与巩固，并简述 1．极限的定义为新知识和6mins 2.极限的计算方法新技能的学 习奠定必要 的基础。 板书 ( 或 PPT展 B. 板书课题，明确学习目标及主要学习内容示)课题简介 明确本次课的辅以2mins （略。详见教案首页）内容重点及目PPT展示 标 C.讲授新知 导数与微分是微积分的基本概念，要更好地理解导数 的概念，应从解决实际问题的背景出发，在解决问题的过 程中自然抽象出导数的概念。导数与微分在理论上和实践 中都有非常广泛的应用。 一、瞬时速度、曲线的切线斜率 1.变速直线运动的瞬时速度 设一质点作变速直线运动，质点的运行路程s与时间t的 关系为 s s(t ) ，求质点在 t0时刻的瞬时速度． 分析：如果质点做匀速直线运动，给时间一个增量t ，讲解20mins 那么质点在时刻 t0与时刻 t0t 间隔内的平均速度也就是 辅以 PPT展示 引入导数概念 质点在时刻 t0的瞬时速度为 v0v s(t0t ) s(t0 ) t 在匀速直线运动中，这个比值是常数，但是如果质点作 变速直线运动，它的运行速度时刻都在发生变化，为了计算 瞬时速度，首先在时刻 t0任给时间一个增量t ，考虑质点由 t0到 t0 Vt 这段时间的平均速度：v s(t0t )s(t0 ) t
导数的概念及运算 一、填空题 1.设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为________. 解析 由f (x )＝x ln x ，得f ′(x )＝ln x ＋1.根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e. 答案 e 2.设y ＝x 2e x ，则y ′＝________. 解析 y ′＝2x e x ＋x 2e x ＝()2x ＋x 2 e x . 答案 (2x ＋x 2)e x 3.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于________. 解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1 x ，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1. 答案 －1 4.(2015·苏北四市模拟)设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝________. 解析 由y ′＝2ax ，又点(1，a )在曲线y ＝ax 2上，依题意得k ＝y ′|x ＝1＝2a ＝2，解得a ＝1. 答案 1 5.(2015·湛江调研)曲线y ＝e －2x ＋1在点(0，2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为________. 解析 y ′|x ＝0＝(－2e －2x )|x ＝0＝－2，故曲线y ＝e －2x ＋1在点(0，2)处的切线方程为y ＝－2x ＋2，易得切线与直线y ＝0和y ＝x 的交点分别为(1，0)，? ?? ?? 23，23，故围 成的三角形的面积为12×1×23＝1 3. 答案 13 6.(2015·长春质量检测)若函数f (x )＝ln x x ，则f ′(2)＝________. 解析 ∵f ′(x )＝1－ln x x 2，∴f ′(2)＝1－ln 2 4.
实验探究，让数学概念自然生长 ——《导数的概念》说课 江苏省常州市第五中学张志勇 一. 教学内容与内容解析 1、教学内容：本节课的教学内容选自苏教版普通高中课程标准实验教科书数学选修2－2第一章第一节的《导数的概念》第2课时“瞬时变化率——导数”，导数的概念包括三部分教学内容，即平均变化率、瞬时变化率、导数，其中瞬时变化率包括曲线上一点处的切线和瞬时速度、瞬时加速度，本节课之前学生已完成平均变化率的学习． 2、内容解析：导数是研究现代科学技术必不可少的工具，是进一步学习数学和其他自然科学的基础，在物理学、经济学等领域都有广泛的应用．对于中学阶段而言，导数是研究函数的有力工具，在求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题时有着广泛的应用，同时对研究几何、不等式起着重要作用．从而导数在函数研究中的应用应是整个章节的重点，但不能仅仅将导数作为一种规则和步骤来学习，导数的概念无疑是教学的起点也是关键，否则学生很难体会导数的思想及其内涵．事实上导数概念的建立基于“无限逼近”的过程，这与初等数学所涉及的思想方法有本质的不同．囿于学生的认知水平和可接受能力，教材中并没有引进极限概念（过多的极限知识可能会冲淡甚至干扰对导数本质的理解），而是从学生的生活经验出发，通过实例引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，直至建立起导数的数学模型． 3、教学设想：导数的本质在于从平均变化率到瞬时变化率的“无限逼近”，而无限逼近有三种方式：数值逼近、几何直观感知、解析式抽象；而达成学生极限思想形成之教学目标，需要以问题为背景，关键是设计活动让学生经历从平均变化率到瞬时变化率的过程．因此教学处理时，试图还 原知识建构的完整过 程，实现导数概念的“再 创造”，其中数学探究 环节采用数学实验的方
§3.1 导数的概念及其运算 2014高考会这样考 1.利用导数的几何意义求切线方程；2.考查导数的有关计算，尤其是简单的复合函数求导． 复习备考要这样做 1.理解导数的意义，熟练掌握导数公式和求导法则；2.灵活进行复合函数的求导；3.会求某点处切线的方程或过某点的切线方程． 1． 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为f (x 2)－f (x 1) x 2－x 1，若Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，则平 均变化率可表示为Δy Δx . 2． 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 学&科& (1)定义 称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx → f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 Δy Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)，即f ′(x 0)＝lim Δx → Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . (2)几何意义 函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3． 函数f (x )的导函数 称函数f ′(x )＝lim Δx → f (x ＋Δx )－f (x ) Δx 为f (x )的导函数，导函数有时也记作y ′. 4． 基本初等函数的导数公式
5. (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)?? ??f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x ) g 2(x ) (g (x )≠0)． 6． 复合函数的导数 复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． [难点正本 疑点清源] 1． 深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系 (1)函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)是一个常数； (2)函数y ＝f (x )的导函数，是针对某一区间内任意点x 而言的．如果函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内每一点x 都可导，是指对于区间(a ，b )内的每一个确定的值x 0都对应着一个确定的导数f ′(x 0)．这样就在开区间(a ，b )内构成了一个新函数，就是函数f (x )的导函数f ′(x )．在不产生混淆的情况下，导函数也简称导数． 2． 曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别与联系 (1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线． (2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不
《导数的概念》说课稿 本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念》是第2课时． 教学内容分析 1．导数的地位、作用 导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度．导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用．导数概念是我们今后学习微积分的基础．同时，导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具. 2．本课内容剖析 教材安排导数内容时，学生是没有学习极限概念的．教材这样处理的原因，一方面是因为极限概念高度抽象，不适合在没有任何极限认识的基础上学习．所以，让学生通过学习导数这个特殊的极限去体会极限的思想，这为今后学习极限提供了认识基础．另一方面，函数是高中的重要数学概念，而导数是研究函数的有力工具，因此，安排先学习导数方便学生学习和研究函数． 基于学生已经在高一年级的物理课程中学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度，再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型，并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的． 进行导数概念教学时还应该看到，通过若干个特殊时刻的瞬时速度过渡到任意时刻的瞬时速度；从物体运动的平均速度的极限是瞬时速度过渡到函数的平均变化率的极限是瞬时变化率，我们可以向学生渗透从特殊到一般的研究问题基本思想．
教学目的 1．使学生认识到：当时间间隔越来越小时，运动物体在某一时刻附近的平均速度趋向于一个常数，并且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度； 2．使学生通过运动物体瞬时速度的探求，体会函数在某点附近的平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此建构导数的概念； 3．掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤； 4．通过导数概念的构建，使学生体会极限思想，为将来学习极限概念积累学习经验； 5．通过导数概念的教学教程，使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程． 教学重点 通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念． 教学难点 使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念． 教学准备 1．查找实际测速中测量瞬时速度的方法； 2．为学生每人准备一台Ti－nspire CAS图形计算器，并对学生进行技术培训； 3．制作《数学实验记录单》及上课课件． 教学流程框图 教学流程设计充分尊重学生认知事物的基本规律，使学生在操作感知的基础上形成导数概念的表象，再通过表象抽象出导数概念，并通过运用导数概念解决实际问题使学生进一步体会导数的本质．教学的主要过程设计如下：
[A组学业达标] 1．已知函数f(x)＝－x2＋x，则f(x)从－1到－0.9的改变量为() A．－0.29 B．－2.9 C．0.29 D．2.9 解析：f(－1)＝－(－1)2＋(－1)＝－2. f(－0.9)＝－(－0.9)2＋(－0.9)＝－1.71. 所以函数值的改变量为 f(－0.9)－f(－1)＝－1.71－(－2)＝0.29.故选C. 答案：C 2．将半径为R的球加热，若球的半径增量为ΔR，则球的表面积增量ΔS等于() A．8πRΔR B．8πRΔR＋4π(ΔR)2 C．4πRΔR＋4π(ΔR)2D．4π(ΔR)2 解析：球的表面积S＝4πR2，则ΔS＝4π(R＋ΔR)2－4πR2＝8πRΔR＋4π(ΔR)2，故选B. 答案：B 3．一质点的运动方程为s＝3－5t2，则在时间[1,1＋Δt]内相应的平均速度为() A．－2－Δt B．2＋Δt C．－10－5Δt D．10＋5Δt 解析：v＝3－5(1＋Δt)2－(3－5×12) Δt ＝－10－5Δt，故选C. 答案：C 4．给定函数f(x)，则lim Δx→0f(x0－Δx)－f(x0) Δx等于() A．f′(x0) B．f′(－x0) C．－f′(x0) D．－f′(－x0) 解析：lim Δx→0f(x0－Δx)－f(x0) Δx ＝－lim Δx→0 f(x0－Δx)－f(x0) (x0－Δx)－x0 ＝－lim －Δx→0 f(x0－Δx)－f(x0) －Δx ＝ －f′(x0)，故选C.
答案：C 5．若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值是() A．1 B．－1 C．±1 D．3 3 解析：因为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3－x30＝3x20Δx＋3x0(Δx2)＋(Δx)3， 所以Δy Δx ＝3x20＋3x0Δx＋(Δx)2， 所以f′(x0)＝lim Δx→0 [3x20＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3x20， 由f′(x0)＝3得3x20＝3，所以x0＝±1，故选C. 答案：C 6．甲、乙两人的运动路程与时间的函数关系分别为s＝s1(t)，s＝s2(t)，图象如图，则在时间段[0，t0]内甲的平均速度________乙的平均速度(填“大于”“小于”或“等于”)． 解析：由图象知s1(t0)＝s2(t0)，s1(0)＞s2(0)， 所以 s1(t0)－s1(0) t0 ＜ s2(t0)－s2(0) t0 ，即v甲＜v乙． 答案：小于 7．一物体的运动方程为s＝ 3 t，则当t＝2时该物体的瞬时速度为________． 解析：瞬时速度即为s对t的导数， 所以v＝s′|t＝2＝lim Δt→0 3 2＋Δt －3 2 Δt ＝lim Δt→0 －3Δt 2(2＋Δt)Δt ＝lim Δt→0 －3 4＋2Δt ＝－3 4. 答案：－ 3 4
1.1.2 导数的概念 教学目标：1、会用极限给瞬时速度下精确的定义；并能说出导数的概念. 2、会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度． 教学重难点： 重点：1、导数的求解方法和过程；2、导数符号的灵活运用 难点：导数概念的理解. 教学过程： 情境导入： 高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h 与起跳后的时间t 的关系为： 2() 4.9 6.510h t t t =-++.通过上一节的学习，我们可以求在某时间段的平均速度.这节课我们将学到如何求在某一时刻的瞬时速度，例当t =1时的瞬时速度. 合作探究： 探究任务一：瞬时速度 问题1：在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是不同的. 新知： 瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度. 探究任务二：导数 问题2： 瞬时速度是平均速度t s ??当t ?趋近于0时的速度. 得导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()lim lim x x f x x f x f x x ?→?→+?-?=??，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0 |x x y =' 即000()()()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 注意：(1)函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在 (2)在定义导数的极限式中，x ?趋近于0可正、可负、但不为0，而y ?可以为0 (3)x y ??是函数)(x f y =对自变量x 在x ?范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ?+?+）的割线斜率 (4)导数x x f x x f x f x ?-?+=→?)()(lim )(0000/ 是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度.
导数的概念及运算 【考点指津】 1．了解导数的概念，掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义． 2．熟记基本导数公式．掌握两个函数四则运算的求导法则，会求多项式的导数． 【知识在线】 1．函数y =14223++x x 的导数是 ． 2．曲线y =x 4+x 2上P 处的切线的斜率为6，则点P 的坐标是 ． 3．设函数f(x)= -35 x 5 - 74 x 4+8，则0 lim →?x f(x+Δx)-f(x)Δx = ． 4．已知使函数y=x 3+ax 2- 43 a ，若存在0)()(,000=='∈x f x f R x 使的求常数a ． 【讲练平台】 例1 函数y=(3x 2+x+1)(2x+3)的导数是 （ ） A ． (6x+1)(2x+3) B ． 2(6x+1) C ． 2(3x 2+x+1) D ． 18x+22x+5 分析 先把函数式右边展开，再用和的求导法则求导数． 解 y=(3x 2+x+1)(2x+3)=6x 3+11x 2+5x+3 ∴y'=18x 2+22x+5，故应选D 点评 要善于化归，本题函数解析式就可转化为多项式． 例2 设函数f(x)=x 3-2x 2+x+5， 若f'(x 0)=0，则x 0= ． 分析 x 0是方程f'(x)=0的根，只要解方程f'(x)=0 解 f(x)=x 3-2x 2+x+5， 求f'(x)=3x 2-4x+1 由f'(x 0)=0， 得3x 2-4x+1=0 解得x 0=1或13 ∴应填写答案为1或13 点评 导数的运算法则再加上已有的导数公式(如(x n )'=n ．x n -1， 其中n ∈N*)是求某些简单函数的导 数的常用工具． 例3 已知抛物线y=ax 2+bx+c 通过点(1，1)，且在（2，-1）处的切线的斜率为1， 求a ，b ，c 的值． 分析 题中涉及三个未知数，而已知中有三个独立条件，故可通过解方程组来确定a ，b ，c ． 解 ∵y=ax 2+bx+c 分别过（1，1）点和（2，1）点 ∴a+b+c=1 (1) 4a+2b+c=-1 (2) 又 y'=2ax+b ∴y'|x=2=4a+b=1 (3) 由(1)(2)(3)可得，a=3，b=-11，c=9． 点评 函数的导数的几何意义决定了函数的导数知识与平面解析几何中直线的知识有着密切的联系．利用导数能解决许多曲线的切线的问题，使确定曲线在某处的切线斜率变得简单易求． 【知能集成】 1．两种常见函数的导数：c'=0 （C 是常数）；(x n )'= nx n - 1(n ∈N *)． 导数和运算法则：若 f(x)，g(x)的导数存在，则[f(x)±g(x)]' = f '(x)+g'(x)， [cf(x)]' = cf '(x)．（C 是常数） 2．能应用由定义求导数的三个步骤推导出常数及函数y=x n (n ∈N*)的导数公式，掌握两个函数的和与差的求导法则及常数与函数的积的求导法则，能正确运用这些求导法则及导数公式求某些简单函数的导数．
导数的概念 （教案?讲稿?PPT） 一、教案 【教学目标】 (1)、知识与技能目标 1.了解导数的历史背景,体会导数定义的探索过程 2.掌握导数的内容，初步会用它进行有关的计算求解． 3.使学生深刻理解导数的概念，理解导数在几何、物理上的意义，能够根据导数的定义求函数在区间上的导数． (2)、过程与方法目标 1. 在导数定义的过程中,用形象直观的两个实际例子作为引例，培养学生的观察能力、抽象思维能力.体会数形结合的思想. 2．通过探究导数定义的过程，体验数学思维的严谨性。 (3)、情感、态度与价值观目标 1. 了解导数发现的历史，感受数学知识所蕴含的数学文化，培养学生学习数学，探究数学的兴趣与本领。 2. 在探究活动中，体验用极限方法解决平均变化率逼近某点处的变化率的思想，培养学生的探究精神。 【教学重点】导数的概念. 【教学难点】如何引出导数的概念，并根据导数的定义计算导数. 【教学方法】形象直观式教学法、问题探究式教学法. 【背景知识】自由落体物体的瞬时速度问题，曲线切线的斜率问题等. 【特色和创新之处】 用通俗易懂的语言，通过文、理结合的方式，最后以口诀的形式结尾，讲解抽象的内容，体现数学的草根本色。 【教学进程概要】 用两个实际问题阐述函数在一点上导数的定义，由例题1和例题2，来讲述在一点上求导的方法；接着由例题2，引出函数左、右导数的概念；用例题3引出在开区间上的导数，即导函数的定义，在此基础上给出求导函数的例子，例题4；最后以口诀的形式结尾。 【板书内容】 导数的概念
00000 ()()()lim lim t t s t t s t s v t t t ?→?→+?-?==?? 0000 ()()lim lim MT x x f x x f x y k x x ?→?→+?-?==?? 对一般函数： ()y f x = 0000 0()()|lim lim x x x x f x x f x y y x x =?→?→+?-?'==?? x x f x x f x y y x x ?-?+=??='→?→?) ()(lim lim 00
导数的概念与计算练习 题带答案 公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-
导数概念与计算 1．若函数42()f x ax bx c =++，满足'(1)2f =，则'(1)f -=（ ） A ．1- B ．2- C ．2 D ．0 2．已知点P 在曲线4()f x x x =-上，曲线在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点 P 的坐标为（ ） A ．(0,0) B ．(1,1) C ．(0,1) D ．(1,0) 3．已知()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ ） A ．2e B ．e C ．ln 22 D ．ln 2 4．曲线x y e =在点(0,1)A 处的切线斜率为（ ） A ．1 B ．2 C ．e D ．1e 5．设0()sin f x x =，10()'()f x f x =，21()'()f x f x =，…，1()'()n n f x f x +=，n N ∈，则2013()f x =等 于（ ） A ．sin x B ．sin x - C ．cos x D ．cos x - 6．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足()2'(1)ln f x xf x =+，则'(1)f =（ ） A ．e - B ．1- C ．1 D ．e 7．曲线ln y x =在与x 轴交点的切线方程为________________． 8．过原点作曲线x y e =的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为____________． 9．求下列函数的导数，并尽量把导数变形为因式的积或商的形式： （1） 1 ()2ln f x ax x x =-- （2） 2 ()1x e f x ax = + （3）21()ln(1)2 f x x ax x =--+ （4）cos sin y x x x =- （5）1cos x y xe -= （6）1 1 x x e y e +=-