正交实验设计
1．概述
任何生产部门，任何科学实验工作，为达到预期目的和效果都必须恰当地安排实验工作，力求通过次数不多的实验认识所研究课题的基本规律并取得满意的结果。例如为拟定一个正确而简便的分析方法，必然要研究影响这种分析方法效果的种种条件，诸如试剂浓度和用量、溶液酸度、反应时间以及共存组分的干扰等等。同时，对于影响分析效果的每一种条件，还应通过试验选择合理的范围。在这里，我们把受到条件影响的反系方法的准确度、精密度以及方法的效果等叫做指标；把试验中要研究的条件叫做因素；把每种条件在试验范围内的取值（或选取的试验点）叫做该条件的水平。这就是说我们常常遇到的问题可能包括多种因素，各种因素又有不同的水平，每种因素可能对分析结果产生各自的影响，也可能彼此交织在一起而产生综合的效果。
正交试验设计就是用于安排多因素实验并考察各因素影响大小的一种科学设计方法。它始于1942年，之后在各个领域里都得到很快的发展和广泛应用。这种科学设计方法是应用一套已规格化的表格——正交表来安排实验工作，其优点是适合于多种因素的实验设计，便于同时考查多种因素各种水平对指标的影响通过较少的实验次数，选出最佳的实验条件，即选出各因素的某一水平组成比较合适的条件，这样的条件就所考查的因素和水平而言，可视为最佳条件。另一方面，还可以帮助我们在错综复杂的因素中抓住主要因素，并判断那些因素只起单独的作用，那些因素除自身的单独作用外，它们之间还产生综合的效果。数理统计上的实验设计还能给出误差的估计。
2. 试验设计的基本方法
2.1 全面试验法
正交设计的方法，首先应根据实验的目的,确定影响实验结果的各种因素，选择这些影响因素的试验点，进而拟出实验方案，之后按所拟方案进行实验并对实验结果作出评估。必要时再拟出进一步的实验方案，使实验工作更趋完善，所得结果也更为可靠。
如在研究某一显色反应时，为选择合适的显色温度、酸度和显色完全的时间，可作如下的试验安排。
首先确定上述三因素的实验范围：
显色温度：25——35℃（温度以A表示）
酸浓度：0.4——0.6mol/L （酸浓度以B表示）
显色时间：10——30 min （时间以C表示）
其次确定每种因素在上述实验范围内各取的水平数（如各取三个水平）。
因素A的三个水平分别以A1，A2，A3表示；
因素B的三个水平分别以B1，B2，B3表示；
因素C的三个水平分别以C1，C2，C3表示；
然后将显色试验的因素、水平列为下表。
因素水平
A
温度（t/℃）
B
酸浓度（C/mol·L-1）
C
时间（t/min）
1 25 0.4 10
2 30 0.6 20
3 35 0.6 30 这是一个三因素三水平的试验问题，对这样的试验工作可做如下的安排。
A1B1C1A2B1C1A3B1C1
A1B1C2A2B1C2A3B1C2
A1B1C3A2B1C3A3B1C3
A1B2C1A2B2C1A3B2C1
A1B2C2A2B2C2A3B2C2
A1B2C3A2B2C3A3B2C3
A1B3C1A2B3C1A3B3C1
A1B3C2A2B3C2A3B3C2
A1B3C3A2B3C3A3B3C3
即三因素水平的试验共27种组合（33=27），按上组合方式做完27次试验后自然可得出在所确定的因素和水平下的最佳显色条件。这种全面试验的方法，对事物的内部规律剖析得十分清楚，但却费时费事。假如我们还需要对实验精密度，对试验误差的大小做出估计，则每一试验至少应重复一次。即应做54次实验。如果在讨论六因素而每种因素均取5个水平时，则全面试验的数目是56= 15625次，这里还未包括为了给出误差估计所需的重复试验次数，显然这是难以付诸实施的。
当考察的因素，水平数越多，在试验中所有可能的搭配也更多，要逐个地进行试验，显然是不可能的。这就提出了合理地设计和安排试验的问题。提出了通过较少量的试验次数以获得理想的实验条件取得最佳的试验效果，并对试验结果做出科学评估的问题。
对于上述试验，一种习惯的试验方法是简单比较法。
2.2 简单比较法
这种方法首先固定因素A、B为某一水平（如A1、B1），改变C以获得在A1、B1时C的最佳水平（设为C2，在其下以“--”）。
C1
A1B1C2
C3
然后固定A为A1，C为C2，改变B 以获得在A1、C2时B的最佳水平（设为B3）
B1
A1C2 B2
B3
再固定B为B3，C为C2，改变A以获得在B3、C2时的最佳水平（设为A2）。
A1
B3C2A2
A3
这样可以认为A2B3C2为较佳的显色条件，即简单比较法经过9次试验也能获得较佳的试验条件，但却存在以下缺点：
2.2.1 当各因素之间交互影响较大时，A2B3C2不认为是最佳试验条件。
2.2.2 它未能保证三因素中任何两因素的不同水平之间相碰一次因而上不均衡的，它提供的信息也是不丰富的。
2.2.3 在不做重复试验的情况下，不能给出误差的估计。
如何保持这种方法试验次数少的优点而又能避免上述缺点呢，可采用正交设计的方法来解决。
在这9次试验中实际上有两次试验是在相同条件下的重复试验（A1B3C2和A1B3C2），所以只有7次属不同条件下的实验，另一方面还可看出各因素、各水平出现的机会是不均衡的，其中A1、C2各出现了7次；B3、C1各出现了4次；而A2、A3、C1、C3、B2却只出现了一次，显然，它们的出现的机会是很不均衡的。
简单比较法认为最佳的分析条件是A2B3C2，但在试验过程中C2是在A1B1条件下与C1和C3相比，是最佳的一个条件水平，至于因素A、B取其他水平时是否也得出同样的结论，却未做过实验，也不能得出
同样的结论，故上述的条件不能视为最佳的显色条件，而只能是最佳条件的一种估计。
导致上述几种问题的原因是简单比较法中各因素各水平的搭配不是均衡分散的，只能在同一批试验中做单因素比较，而在不同批数的试验之间却无法进行比较。
2．3 正交设计法
试验设计是数理统计中的一个重要内容，正交设计是利用预先编制好的正交表来合理的安排多因素试验，以便通过少量的试验次数来获得满意的结果，同时对试验数据进行统计分析。
现在对三因素三水平的试验做如下的安排，首先只考虑A、B两因素，起全面实验应作9次，如下表所示。
B
A
B1 B2 B3
A1 A2 A3
A1B1
A2B1
A3B1
A1B2
A2B2
A3B2
A1B3
A2B3
A3B3
这时两因素的三水平相互各碰一次，它反映的情况全面，现在将因素C考虑进去，也同样希望在任何
两个因素的不同水平之间各相碰一次而有不增加试验的次数，可做如下按排.。
C B
A
B1B2B3
A1 A2 A3A1B1C1
A2B1C2
A3B1C3
A1B2C2
A2B2C3
A3B2C1
A1B3C3
A2B3C1
A3B3C2
按上表安排的9次试验与简单比较法相比，试验次数相同但却克服了简单比较法的不均衡性，A的每个水平和B、C的三个水平分别各碰一次，B的每个水平和A、C的三个水平分别各碰一次，对C也是类似的情况。即三因素中任何两因素的不同水平均相碰一次因而试验是均衡的，上述9次试验可视为三因素三水平的全面试验的代表。为了书写方便，上述试验设计可简化为下表：
C B
A
1 2 3
1 2 3
1
2
3
2
3
1
3
1
2
表中右下角部分的每一行和每一列中，1，2，3正好各出现一次，我们把具有这样的性质方块叫拉丁方，
在排这种方块时常用拉丁字母，故有拉丁方之称。
3正交设计法的基本特征
3．1 均衡分散性
在正交设计的试验安排中，各因素之间的搭配是均匀的，这种因素间搭配的均匀性——试验点分布的均衡性成为正交设计的均衡分散性。或者说，正交试验设计把各试验条件均衡地分散在排列完全的水平组合之中，是之更具有代表性，更易于通过最少的试验次数来寻求最佳的试验条件，正交设计的这种性质，可以从试验结果的平均值中消除由于非均衡所引起的误差,有利于提高测定结果的可靠信。
3.2 整齐可比性
正交试验设计中，各因素各水平之间不仅搭配均匀，而且变化很有规律。在考虑某因素的每一水平的试验中，其他各因素各水平出现的次数都相同，所作的贡献也认为是一致的。这样在比较各因素的每一水平对指标生产的影响时，就能最大限度地排除其他因素的干扰，突出本因素的作用，也就将各因素的效应清楚地加以区别并估计其大小，这就是正交试验设计的整齐可比性。
在数学上把均衡分散性和整齐可比性称为正交性，凡具有这特性的试验设计方法都称为正交设计法。正是由于正交试验设计最大限度地排除了其他因素的干扰并消除了非均匀分散性可能造成的误差，因而只要比较因素各水平的试验指标的平均植，就能估计各因素对试验指标的影响大小，这在后面将作具体的介绍。
3.3两拉丁方的叠合
在上述三因素三水平的基础上，如果还需同时考虑第四个因素D ，且因素D 也取三个水平（D1，D2，D3），那么能否在不增加试验次数而又能保持前述的要求呢？这首先应将D 的三个水平拼成拉丁方，其次D 的拉丁方和C 的拉丁方不一样。对于前着，是使D 也能与A 、B 均衡搭配；对于后者，是使D 与C 之间也能均衡，既无重复，又无遗漏。
若用（1），（2），（3）表示D 的三个水平，而D 的拉丁方与C 的拉丁方相同时，其9次试验安排为：
C(D) B A
1
2
3 1 1(1) 2(2) 3(3) 2 2(2) 3(3) 1(1) 3
3(3)
1(1)
2(2)
这时A 、B 和D 间是均衡的搭配，但C 和D 的搭配却不均衡，C 的（1）水平和D 的（1）水平相碰三次而不与D 的（2）、（3）水平相碰，C 的其他水平也有类似的情况。所以上述的试验安排是不妥的，当试验的结果表明C 的（1）水平最好，而在C 取（1）水平时总是伴随着D 的（1）水平的出现，自然也可以认为是D 的（1）水平也最好，导致C 和D 的作用混杂。改进上述试验设计时，只需使D 的拉丁方和C 的拉丁方不同，两拉丁方具有均匀的搭配。按此原则可作如下的设计：
C 、
D B A
1
2
3
1 1（1） 2（2） 3（3）
2 2（3） 3（1） 1（2） 3
3（2）
1（3）
2（1）
这时D 的三个水平组成的是拉丁方，它和A 、B 及C 之间的搭配都是均衡的，D 的每一水平和C 的1、2、3水平各碰一次，C 的每一水平也和D 的（1）、（2）、（3）水平各碰一次，既无重复，也无遗漏。现将C 、D 两个拉丁方叠合在一起，就获得上述的试验设计，习惯上把具有这种性质的两个拉丁方叫正交拉丁方。
1 2 3 2 3 1 3 1
2
正交拉方设计因其搭配均衡,在分析试验数据时可以把每个因素的作用剖析得十分清楚而不致混杂,同时还可简便地寻求到最优的测量条件,达到预期的效果。
第一部分
正交试验结果的直观分析
1(1) 2(2) 3(3) 2(3) 3(1) 1(2) 3(2)
1(3)
2(1)
(1) (2) (3)
（3）(1) (2) (2) (3) (1)
1.正交表及其使用
1.1正交表
它是一种预先编制好的表格，根据这种表可合理安排试验并对试验数据作出判断。
对于前述的三因素三水平试验的设计安排，可采用L9（34）正交表来完成。L9（34）表见表1.
表1 L 9（34）正交表
水平因素(列号)
1 2 3 4
试验号
1 1 1 1 1
2 1 2 2 2
3 1 3 3 3
4 2 1 2 3
5 2 2 3 1
6 2 3 1 2
7 3 1 3 2
8 3 2 1 3
9 3 3 2 1
表L9（34）读作L—9—3—4，符号L表示正交表，L右下角的数字“9”表示此表有9行，即需安排9个实验，括号内数字的指数“4”表示有4列，即最多能安排四个因素；括号内数字的底数“3”表示每个因素取三个水平。表头的列号是置放试验中的因素（因素常记为A、B、C、D……）,表中列号1、2、3、4是在不考虑交互作用时最多可置放四个因素（因素少于四时，可只用其中几列），表的左侧为试验号，表内的1、2、3是因素在试验中应分别取的水平，故称作水平号。L9（34）正交表可解决四因素（或少于四因素）的三水平试验设计问题，是一种较为简单的正交表。当试验因素及所取水平数更多时，则应选择其它种类的正交表，如L16（45）、L27（313）、L25（56）、L16（42×29）等，其中L16（42×29）表示作16个试验，可安两个四水平的因素和9个二水平的因素。
1.2．正交表的选择
选择正交表时可考虑以下几点：
（1.2.1）根据试验目的确定要考查的因素，如对试验的变化规律有大致的了解，有把握判断出影响试验效果的主要因素，可少取些因素，也可多取些因素，总之不能将主要影响因素漏掉。
（1.2.2）确定各因素的变化范围和水平数，每个因素的水平数可以相等，也可以不等，一般地说，重要因素或者特别希望详细考查的因素，其变化范围可宽些水平数可多些，其余的因素所取水平数则可少些。（1.2.3）根据试验者进行试验时一次能平行完成的试验次数而选择正交表。
( 1.2.4 )选用正交表除考虑因素水平及试验条件外，还应考虑对试验结果精度的要求。当对试验结果的精度要求高时，宜取试验次数多的正交表，试验费用贵或试验周期长的，可取试验次数少的正交表。当存在交互作用时，应选用具交互作用的正交表。一般情况下，若因素全为二水平时，可选用L4（23）、L8（27）、L16（215）等正交表；因素全是三水平时，可选用L9（34）、L18（2×37）、L27（318）等正交表；若因素全为四水平的，可选用L16（45）正交表；因素全为五水平的则选用L16（45）正交表。当因素取不同水平时，一方面可采用下面即将介绍的拟水平法，一方面可直接套用L8（4×*28）、L12（3×28）、L16（4×212）、L18（42×29）等混合水平正交表。在三水平实验种选L18（2×37），其中2水平所在的列，不做安排。三水平因素可在其它7列选用。
1.3正交试验的工作程序及几点说明
在选择所需要的正交表后，将已确定的因素放置在表的任意列上，并把每一列的1、2、3……填入具体水平，即得出试验方案。今仍以前述三因素三水平的显色反应为例，其试验方案如下表所示。
表:三因素三水平正交试验表
水平因素试验号
1
A（t/o C）
2
B（mol/L）
3
C(t/min) 试验结果
1 1（25）1（0.4）1（10）
2 1（25）2（0.5）2（20）
3 1（25）3（0.6）3（30）
4 2（30）1（0.4）2（20）
5 2（30）2（0.5）3（30）
6 2（30）3（0.6）1（10）
7 3（35）1（0.4）3（30）
8 3（35）2（0.5）1（10）
9 3（35）3（0.6）2（20）
表中每一横行表示一次试验及进行该试验时所取的条件，按上安排作完实验后并将所测结果填入最后一列内，至于试验结果的分析，将在以后再作讨论。
上面的试验设计表未考虑因素之间的交互作用，故选用L9（34）正交表，三因素在表上所处的列可任意选择而且可将因素的次序进行交换。如在1、2、3列可依次排列A、B、C三因素，也可安排为A、C、B 三因素，在把因素及水平排入正交表后而获得一张试验设计表，这过程叫表头设计。L9（34）表所安排的9次试验，不一定按表上的试验号码排列，也可按抽签的方法来决定，这样处理是为了减少试验中由于先后掌握不匀所带来的影响，但对有些试验，其次序却不宜随意变更。
对于每个因素的水平并不一定总是由小到大（或由大到小）按顺序排列，一般采用随机化方法来处理，即对部分因素的水平作随机的排列。
1.4常用的正交表
1.4.1三因素二水平正交表
正交表为L4（23），表头设计为：
列号
试验号
1 2 3
1 1 1 1
2 1 2 2
3 2 1 2
4 2 2 1
1.4.2七因素二水平正交表
正交表为L8（27），表头设计为：
列号
试验号
1 2 3 4 5 6 7
1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 1 1 2 2 2 2
3 1 2 2 1 1 2 2
4 1 2 2 2 2 1 1
5 2 1 2 1 2 1 2
6 2 1 2 2 1 2 1
7 2 2 1 1 2 2 1
8 2 2 1 2 1 1 2
1.4.3更多因素二水平的正交法
正交表为L12（211）、L16（215），前者的表头设计为：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
列号
试验号
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
3 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2
4 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2
5 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1
6 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1
7 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1
8 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2
9 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1
10 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 2
11 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2
2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1
1.4.4四因素三水平正交表
正交表为L9（34），表头设计在前已述及，当为三因素时，此三因素可在表头上占取任意三列，如三因素三水平在选用L9（34）时，表头设计可为：
列号
1 2 3
试验号
1 1 1 1
2 1 2 2
3 1 3 3
4 2 1 3
5 2 2 1
6 2 3 2
7 3 1 2
8 3 2 3
9 3 3 1
1.4.5七因素三水平正交表
正交表为L18（37），表头设计为：
1 2 3 4 5 6 7 1
列号
试验号
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 2 2 2 2 2 2 1
3 1 3 3 3 3 3 3 1
4 2 1 1 2 2 3 3 1
5 2 2 2 3 3 1 1 1
6 2 3 3 1 1 2 2 1
7 3 1 2 1 3 2 3 1
8 3 2 3 2 1 3 1 1
9 3 3 1 3 2 1 2 2
10 1 1 3 3 2 2 1 2
11 1 2 1 1 3 3 2 2
12 1 3 2 2 1 1 3 2
13 2 1 2 3 1 3 2 2
14 2 2 3 1 2 1 3 2
15 2 3 1 2 3 2 1 2
16 3 1 3 2 3 1 2 2
17 3 2 1 3 1 2 3 2
18 3 3 2 1 2 3 1 2
*:若把二水平的列1排进L18（37）表中，便得到混合型L18（21×37）表。更多因素的三水平正交表可选用L27（313）、L36（313）正交表。
1.4.6五因素四水平正交表
正交表为L16（45），表头设计为：
列号
1 2 3 4 5
试验号
1 1 1 1 1 1
2 1 2 2 2 2
3 1 3 3 3 3
4 1 4 4 4 4
5 2 1 2 3 4
6 2 2 1 4 3
7 2 3 4 1 2
8 2 4 3 2 1
9 3 1 3 4 2
10 3 2 4 3 1
11 3 3 1 2 4
12 3 4 2 1 3
13 4 1 4 2 3
14 4 2 3 1 4
15 4 3 2 4 1
16 4 4 1 3 2
更多因素的四水平，可选用L32（49）正交表。
1.4.7六因素五水平正交表
正交表为L25（56），表头设计为：
列号
1 2 3 4 5 6
实验号
1 1 1 1 1 1 1
2 1 2 2 2 2 2
3 1 3 3 3 3 3
4 1 4 4 4 4 4
5 1 5 5 5 5 5
6 2 1 2 3 4 5
7 2 2 3 4 5 1
8 2 3 4 5 1 2
9 2 4 5 1 2 3
10 2 5 1 2 3 4
11 3 1 3 5 2 4
12 3 2 4 1 3 5
13 3 3 5 2 4 1
14 3 4 1 3 5 2
15 3 5 2 4 1 3
16 4 1 4 2 5 3
17 4 2 5 3 1 4
18 4 3 1 4 2 5
19 4 4 2 5 3 1
20 4 5 3 1 4 2
21 5 1 5 4 3 2
22 5 2 1 5 4 3
23 5 3 2 1 5 4
24 5 4 3 2 1 5
25 5 5 4 3 2 1
2.二列间交互作用正交表二列间指两因素之间（因为因素占列）
2.1交互作用
正交表除能对因素的主效应进行考查外,有时还能简便地考查各因素之间的交互作用并给出交互效应的大小。所谓交互作用,是指在某些试验中,不仅因素自身对实验结果产生影响,而且因素之间产生协同的影响,这种协同作用叫交互作用。如考查氮肥(N)和磷肥(P)对豆类增产效果,可在四块土质情况基本相同的土地上做四个试验,试验中施肥情况及产量如表所示.
表: 氮肥.磷肥对豆类产量的影响
试验号N量（m/kg）P量（m/kg）产量（m/kg）
1 0 0 200
2 3 0 215
3 0 2 225
4 3 2 275
由表知，单施氮肥3kg增产豆类15kg；单施磷肥2kg增产豆类25kg；同时施加了3kg氮肥和2kg磷，豆类增产量不是把两种肥料单独使用时增产豆类量的加和，而是增产了75kg，说明两种肥料对豆类增产起了协同的效果，这种作用叫氮肥和磷肥的交互作用，以NXP表示。对于其它的因素，则记作因素1X因素2，或A×B、A×C等。
2.2 二列间交互作用正交表
试验设计时，要考虑各因素间有无交互作用，这既可从专业本身加以判断，也可对一定的试验方案下的实验数据经统计分析来加以确定。在常用正交表中，有的只能考查因素本身的效应，不能用以考查因素间的交互作用；有的则可以分析因素间的交互作用，很多正交表都附有相应的二列间的交互作用表。在作表头设计时，若不考虑因素间的交互作用，则因素置那一列上可任意选取，若因素间存在交互作用，则因素
的置放要根据一定的规则，应利用有交互作用的表来设计表头。今以L8（27）正交表来安排具有二列间交互作用的试验工作时，可由表2对因素及交互列在表头中所处的列号作出安排。
表2：L 8（27）二列间交互作用表
列号
列号
1（A）2(B) 3(A*B) 4(C) 5(A*C) 6(B*C) 7 1(A) (1) 3 2 5 4 7 6 2(B) (2) 1 6 7 4 5
3(A*B) (3) 7 6 5 4 4(C) (4) 1 2 3
5(A*C) (5) 3 2
6(B*C) (6) 1
7 (7)
表2中最上一行和最左侧一列数字以及括号（呈对角线）内的数字是列号，其余数字均为交互作用的列号。对于三因素A.B.C而言，先将因素A.B置放在表的第1、2列，则A和B相交的位置上的数字为3。即A*B应置放在第3列上，再将因素c置放于第4列，则A和C相交位置上的数字是5，B和C相交位置上的数字是6，这样A和C及B和C的交互作用列应分别为第5列和第6列。如果考查时还有第四个因素D,并将它置放于第6列，根据上表可得如下的表头设计。
列号 1 2 3 4 5 6 7
因素 A
B
C*D
A*B
C
B*D
A*C
D
B*C
A*D
这样的设计中，虽有B和C×D、C与B×D、D与B×C的混杂，但如果已知B、C、D之间的交互作用很小。故不致影响试验结果的分析，仍可进引因素A、B、C及交互作用A×B、A×C及A×D的考查。如果要对四个因素及其两两之间的交互作用都作全面的考查，不允许上述存在的几种混杂，故此时不能选用L8（27）表，而选用L16（215）二列向的交互作用表，见表3。
表3: L 16（215）二列向的交互作用表
列
列号
号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 (1) 3
2 5 4 7 6 9 8 11 10 1
3 12 15 14
2 (2) 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
3 (3) 7 6 5
4 11 10 9 8 1
5 14 13 12
4 (4) 1 2 3 12 13 14 1
5 8 9 10 11
5 (5) 3 2 13 12 15 14 9 8 11 10
6 (6) 1 14 15 12 13 10 11 8 9
7 (7) 15 14 13 12 11 10 9 8
8 (8) 1 2 3 4 5 6 7
9 (9) 3 2 5 4 7 6
10 (10) 1 6 7 4 5
11 (11) 7 6 5 4
12 (12) 1 2 3
13 (13) 3 2
14 (14) 1
15 (15)
这样，对于四因素的表头设计为：
列号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
因素 A B
A
×B
C
A
×C
B
×C
D
A
×D
B
×D
C
×D
表3中，D未置入第7列。原因是D置于7列后，A×D应置第6列，导致与B×C的混杂。
对于五因素。二水平的试验，在同时考虑各因素之间的交互作用时，因五因素自身及它们之间的两两交互作用共有15项，仍可用L16（215）二列间交互作用表，其表头设计为：
列号 1 2 3 4 5 6 7 8 因素 A B A*B C A*C B*C D*E D 列号9 10 11 12 13 14 15
因素A*D B*D C*E C*D B*E A*E E
如果考查一个四因素三水平的问题，在只考虑因素主效应时，选用L8（27）正交表，让因素顺序上列，水平对号入座，填写好试验方案并按此安排进行实验。若同时考虑交互作用的影响，仍以选用L8（27）二列向交互作用表为宜，在填写试验方案时，只需列出交互作用列仅不填水平取值，仍按L8（27）表的安排作完八个实验，并将测得值填入表中，既可考察四因素各自的主效应，同时也能考察它们两两的交互作用效应。
示例如下：
今考查影响某化合物产量的四个主要因素，每个因素取两个水平，其值为：
因素
水平
A t/c
B t/h
C 反料配比
D 搅拌速度
1 A1 80 B1
2 C1 1/1 D1慢
2 A2 100 B2
3 C2 1.5/1 D2快
在不考虑因素间的交互作用时，试验按下表安排进行：
因素
试验号
A B C D
1 1 1 1 1
2 1 1 2 2
3 1 2 1 2
4 1 2 2 1
5 2 1 1 2
6 2 1 2 1
7 2 2 1 1
8 2 2 2 2
当同时考虑交互作用的影响，但又根据已有的经验估计这些交互作用并不明显时，仍选用L8（27）二列间的交互作用表，其表头设计为：
列号 1 2 3 4 5 6 7
因素 A B A×B
C×D
C
A×C
B×D
B×C
A×D
D
在此情况下，每个因素的作用可以分析清楚，而交互作用都混杂在一起，只是由于交互作用很小，不必单独颁出来，这样的处理对结果不致产生明显的影响。
如果不需对各因素的交互作用作全面的考查而只讨论其中影响较大的几个交互作用，如A×B、A×C、A×D
则表头设计为：
列号 1 2 3 4 5 6 7
因素 A
B
C×D
A×B
C
B×D
A×C
D
B×C
A×D
设计中虽有一些混杂，但因C×D、B×D、B×C却很小，不致影响结果分析。
若需全面考查四因素及其两两的交互作用。则选用L 16（215）二列交互作用表，其表头设计为：
列号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1
1
12
1
3
14 15
因素 A B
A
×B
C
A
×C
B
×C
D
A×
D
B×
D
C×
D
根据已有的经验，因素A、B、C之间交互作用，而搅拌速度D与这些因素间的交互作用可予忽略，这样就成为研究四个因素和三个交互作用中，何者对产量影响较大、何者影响较小并进而寻求有利于提高化合物产量的条件选择问题。这时应选择至少有七列的二水平正交表L8（27），其表头设计为：列号 1 2 3 4 5 6 7 因素 A B A×B C A×C B×C D
表头设计好后，再按正交试验的基本方法，列出如下试验方案。
列号试验号
因素
A t/c
B t/c A×B
C 配比A×C B×C D
1 2 3 4 5 6 7
1 1(80) 1(2) 1 1(1/1) 1 1 1(慢)
2 1(80) 1(2) 1 2(1.5/1) 2 2 2（快）
3 1(80) 2(3) 2 1(1/1) 1 2 2（快）
4 1(80) 2(3) 2 2(1.5/1) 2 1 1(慢)
5 2(100) 1(2) 2 1(1/1) 2 1 2（快）
6 2(100) 1(2) 2 2(1.5/1) 1 2 1(慢)
7 2(100) 2(3) 1 1(1/1) 2 2 1(慢)
8 2(100) 2(3) 1 2(1.5/1) 1 1 2（快）综上所述，可知正交表是安排多因素试验的一种有用的工具，在应用时不得将主要影响因素遗漏，必要时倾向于多考查一些因素，因为有时增加1—2个考查的因素不一定会增加试验次数或者说增加工作量并不大。在采用三水平以上的正交表作试验后，可根据试验结果作图，找出不同水平的变化趋势，为以后的试验提供有益的信息。所以在不遗漏合理值的前提下，可把各因素的取值范围稍取宽些，在此范围内取的水平数也不宜多，以免选用试验次数多的正交表而增加试验工作量。如果先用水平数少的正交表作实验，以从多个因素中挑选出主要因素后，再于下一批试验中对已挑选出的主要因素进行的细致考查。
在一般化学分析中，三因素之间的交互作用通常可以忽略，不必单独再作考查，让其混杂在试验误差之中。因交互作用不是具体因素，也就不存在水平问题，无须专门增加试验工作来判断它的影响。
3．正交试验结果的直观分析
正交试验结果的直观分析
由选定的正交表安排试验并按试验方案完成试验记录各次试验的结果，再按一定步骤分析试验结果。
试验结果分析方法有两种，一种是直观分析法；一种为方差分析法。直观分析法是一种常用的结果分析法，它简便直观，计算工作量小，但不能给出试验误差的估计，也就无法得知分析结果的精度。
3.1不考虑交互作用的单指标正交实验的结果分析
对于只考虑因素的主效应而忽略因素间的交互作用时，正交试验结果的分析，可从下面几个例子说明： 例1：研究某萃取分离过程的萃取效率，选择了如下的因素和水平
萃取温度（A ）: 15（A 1）、25（A 2） 萃取时间（B ）: 3min (B 1).、 5min(B 2) 两相体积比（C ）: 1/1(C 1) 、2/1(C 2) 盐析剂用量(D): 1g/25ml(D 1) 、2g/25ml(D 2)
试判断在不考虑交互作用的情况下各因素的影响并寻求最佳的萃取条件。
解：此题属四因素二水平问题，可选用L 8（27）正交表，在表头设计中将因素A 、B 、C 、D 分置于1、2、4、7列，并将因素的各水平代入，按正交表安排做完八次试验，所得结果记录于表的末列。
因素 列号 试验号
A B C D
试验结果
y i （%）
1 2 4 7 1 2 3 4 5 6 7 8
15 3 1 1 15 3 2/1 2 15 5 1 2 15 5 2/1 1 25 3 1 2 25 3 2/1 1 25 5 1 1 25 5 2/1 2
86 95 91 94 91 96 83 88
如果从八次试验结果的萃取效率y i 来看,可认为A 2B 1C 2D 1为最佳条件。实际上，为获得正确的结论，应对所测数据作科学的分析。
首先将测得数据进行综合比较，找出对y i 有明显影响的因素，进而判断它取什么水平对试验产生最佳的效果。为便于综合比较，可先从每个因素的不同水平的比较着手，在八次试验中，由于每一次试验都是在不同条件下进行的，故无比较的基础，只有将所测八个数据适当地加以组合，才能找到某种可比性——正交设计的综合可比性。 以因素A 为例，A 的1水平
A 1
出现在表的试验号1-4号，这四次试验的萃取效率的平均值为
A
1
=4
1()()
%5.914
3
2
1
=+
+
+y
y
y
y
A 的2水平
A 2
出现在表的试验号5-8号，四次试验的萃取效率的平均值为
A
2
()()%5.894
18
7
6
5
=+
+
+
=y y
y
y
由于在
A 1
条件下的四次试验中，因素B 、C 、D 皆取遍了两种水平，且两种水平出现的次数相同，均
为二次。同样在
A 2
条件下的四次试验中，B 、C 、D 也都取遍两种水平，且均为二次。这样对于A 1和
A 2
条件下的四次试验来说，虽然其它条件B 、C 、D 在变化，但这种变化是平等的或均衡的，即A 1与
A 2
之间的差异反映了两个水平的不同影响，所以 A 1
与A 2
就是有可比性了
A 1
-A 2
=91.5-89.5=2)0
可以认为因素A 取 A 1
水平时优于取 A 2
水平，根据同样的理由比较因素B 、C 、D 的两种水平的
效果，可得如下各式： ()()%0.92416
5
2
1
1=+++=
y y y y B ()()%0.89418
7432=+++=y y y y B
()()%75.87417
5311=+++=y y y y C
()()%25.93418
6422=+++=y y y y C
()()%75.89417
6411=+++=y y y y D
()()
%25.914
18
5322=+++=y y y y D
以上各项计算的结果可列在正交表的下方。
因素
列号 试验号
A B C D
1 2 3 4 5 6 7
试验结果y i
(%)
1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2
86 95 91 94 91 96 83 88 K
1
366 368 351 359
K
2
358 356 373 365 4
1
1
k
k
=
91.5 92.0 87.75 89.75
4
2
2
K
k
=
89.5 89.0 93.25 91.25
k k R 21-=
2.0
3.0 -5.5 -1.5
表中
K
1
表示正交表中每列的1水平所对应的数据之和，
k
`
1为其平均值；
K
2
表示正交表中每列的
2水平对应的数据之和，
k
2
为其平均值，R 叫极差，是每列两水平平均值之差。
0.25.895.912
1=-=-=
A A R
A
0.30.890.922
1
=-=-=B
B R B
5.525.9375.872
1
-=-=-=C
C R C
5.125.9175.8921-=-=-=D D R
D
由差值的正负知因素A 取A 1
比A 2
好；因素B 取B 1比B 2好；因素C 取C 2比C 1
好；因素D
取
D 2
比D 1
好，所以在不考虑交互作用的情况下，选择D C B A 2
211进行萃取是最为合适的。另一
方面A 、B 、C 、D 四因素各自对萃取效率的影响是不同的，这种影响的大小具体表现在该因素的不同水平对应的平均萃取效率之间的差异大小。从表上的极差植R 绝对值知，因素C 的两个水平所导致的萃取效率的差异最大，即C 的影响是最大的，其次是因素B 、A ，影响最小的是因素D 。当然，在试验范围改变后，上述结论也可能发生变化。
例：为提高某产物的产率，考查可温度、反应时间、压力和溶液浓度四个因素的影响，每个因素取三个水平，取值如下（其中因素A 的三个水平作了随机处理）：
因素 水平
温度
t
℃
时间
h
t
压力p
a
M
P
浓度()
L mol C
1
-?
1 2 3 140 120 130 1.5 2.0 2.5
0.20 0.25 0.30
0.50 0.70 1.00
解：试验是四因素三水平问题，可选用
()34
9L 、()37182?L 、()313
27
L 等正交表，如果由于试验条件的限制，则选用试验次数少的()34
9
L 表，将因素顺序上列，水平对号填入並按正交表的安排作完
九次试验，结果记录于表的右侧，而对结果所作的初步运算记录于表的下面部分。 列号
因素 实验号
1 2 3 4 产率 （%）
A B C D 1
2 3 4 5 6
1 1 1 1 1
2 2 2 1
3 3 3 2 1 2 3 2 2 3 1 2 3 1 2
28.0 33.0 40.5 36.5 14.5 32.0
7 8 9
3 1 3 2 3 2 1 3 3 3 2 1
33.0 45.5 32.5 K
1
K 2
K
3
101.5 97.5 105.5 75.0
83.0 93.5 102.0 98.0
111.0 105.0 88.0 122.5
5.295=∑
3
1
1K
k =
3
2
2
K k
=
3
3
3K
k =
33.8 32.5 35.2 25.0
27.7 31.0 34.0 32.7
37.0 35.0 29.3 40.8
8.329
=∑
k k R min max -=
9.3 4.0 5.9 15.8
表中数据表明最佳反应条件是A 3B 3C 1D 3，这时可得最高的产率。当然，这是所说的最佳反应条件是各因素所取水平值的范围内得出的结论，当水平取值范围改变后，最佳反应条件也可能改变。另一方面，这里所得的最佳水平组合，并不包括在已做的九次试验中，为了证实上述的结论，应按最佳组合进行试验，将所得结果与试验方案中具有最高产率的试验作一比较。 如果将各因素的水平取值对指标作图，得图1。
还可以对因素与指标的关系作图，即分别以因素A ，B ，C ，D 的各水平为横坐标，以对应的平均试验数据（数值）为纵坐标作图。
1520253035
4045110
120
130140
150
反应浓度
产率
30
31323334
35361
1.5
2 2.5
3
反应时间
产率
2426283032
34360.15
0.2
0.250.3
0.35
反应压力
产率
20
25303540
450
0.2
0.4
0.60.8
1
1.2
溶液浓度
产率
图1：因素水平取值与产率的关系
由图1知某因素的点子散布（波动）的范围大，表明该因素对指标的影响也大；点子散布范围小，对指标的影响也小。例中因素D 的不同水平所对应的平均产率之间的差异最大，是影响产率的主要因素，其次是A ，而影响最小的是B 和C 。对因素D 而言，因其最佳水平在试验范围的边界上，故有必要适当地扩大
D 的取值，以获得更佳的试验条件。
在进行正交试验设计时如果所考查的因素其水平的取值不是具体的数值量，可用种类或类型来加以区别。如研究激发电流，电极形状及电极间距对光谱测定某元素的灵敏度的影响时，其中电极形状可能是平头，凹月面，细腰状平头电极。它们不是具体的取值，因而可用类型分别表示，将这些类型记录在正交表该因
素所在列的有关水平号内，同时记录每次试验谱线对背景的强度比???
?
??I I B L lg ，再按前述对所测数据进行处理以寻求最佳的光谱分析条件。
2.2有交互作用的正交试验的结果分析
除因素的单独作用外，其间的交互作用也影响着试验的指标。交互作用不是具体的因素。当然也无“水平”的问题，对它考虑与否于试验本身并无什么关系，但在选用正交表及进行试验结果分析时，却应该考虑到交互作用的列数。
对于有交互作用的试验方案的安排及结果分析，可以从以下用例给予说明。
例1：为研究某化学反应的完全程度，考查了如下的因素及各种因素所对应的水平值。
在考虑到正交作用的情况下，选择合适的反应条件。表中催化剂及稳定剂也可分别用，a,b 或 I 型II 型表示。
因素 水平 A 催化剂 m/（mg·L -1）
B 稳定剂 V/ml
C 温度 t/℃ 1 2 18 a 24 b
50 I 70 II
120 140
此题属三因素二水平问题，同时存在A×B 、A×C 、B×C 的交互作用，选用()2L 78
表安
排试验工作，其试验结果及有关计算如下。
列号 试验号
A B A×B C A×C B×C 反应完全 程度（%） 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2
21.0 17.0 20.5 16.5 20.0 19.0 19.0 19.5 K 1
K
2
75.0 77.0 76.5 80.5 80.0 77
77.5 75.5 76.0 72.0 72.5 75.5
K K R 21-=
-2.5 1.5 0.5 8.5 7.5 1.5
在不考虑交互作用的情况下从表中九次实验结果的数据知，以
C B A 1
2
1
为最佳的条件组合；从K 1
K
2
判定，则应取A 2B 1C 1。但考虑到交互作用时，根据极差R 的大小可看出C 和A×C 是最主要的，其余的交互作用是次要的。从因素C 考虑，以
C
1
为好，但A×C 对指标也有重要的影响。这种影响甚至接近或超
过A 和C 自身的影响，所以应将A 、C 的不同水平的组合再作比较以寻求具有最佳效果的组合。
A C A 1
A 2
C 1
C
2
41.5 39.0
33.5 38.5
其中
C A 1
1
最大，故取C A 1
1
，而由前知因素B 取B 1
，所以最佳反应条件为C B A 1
1
1
。
例：为提高植物生长调节剂九二零的效价，选择了A 、B 、C 、D 四种因素，每种因素取两个水平，除考查因素A 、B 、C 、D 外还要考查A 与B 、A 与C 及B 与C 之间的交互作用。在选用()2L 78
表所作的
八次试验中，所得结果分别为2.05、2.24、2.44、1.10、1.50、1.35、1.26、2.00。
由题意及有关数据经简单计算后得下表。 列号
因素
试验号
1 2 3 4 5 6 7 试验结果 （效价）
A B A×B C A×C B×C D
1 2 3 4 5 6 7 8
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2
2.05 2.24 2.44 1.10 1.50 1.35 1.26 2.00 K 1
K
2
k 1
k
2
7.83 7.14 7.55 7.25 7.84 6.65 5.76
6.11 6.80 5.39 5.69 6.10
7.29
8.18
1.958 1.785 1.888 1.813 1.960 1.663 1.440
1.573 1.700 1.598 1.673 1.525 1.823
2.045
R
0.43 0.085 0.29 0.14 0.435 0.16 0.605
由上数据知第3号试验效价最高，相应的组合为
D C B A 2
1
2
1
，再由极差大小可看出因素和交互作
用对指标影响的主次关系为D 、A×C 、A 、A×B 、B×C 、C 、B 。所以D 、A×C 、及A 是影响指标的重要因素，其中D 尤为显著。对于因素D 所取得两个水平，由于k
2
大于
k 1
，说明D
2
的效价高于
D 1
；对于
A 、C 的任何水平相搭配，从下表看出。
水平搭配
平均效价
C
A 1
1 C
A 2
1
C A 1
2
C
A 2
2
245.2244
.205.2=+
670.1210
.124.2=+
380.1226
.150.1=+
625.12
00
.235.1=+
可见在
C A 1
1
条件下具有最高的平均效价，故取C A 1
1
。对于因素B ，虽然本身属次要因素，但A×B
存在较大的影响，故也应按上述方法选择A 与B 不同水平的最佳搭配，结果表明B A 1
1
有最高的平均效
价。
综上所述，使九二零具有最佳效价的水平组合是D C B A 2
1
1
1
。
4 多指标正交试验结果的直观分析
当试验工作的效果或预期目标不只一项而是多项时，在相应的直观分析中可采用综合评分法或综合平衡法，不论指标之间存在一致性或制约性，均应兼顾到各项指标，以求获得最好的效果。
4.1综合评分法
在对各项指标逐个测定后，视情况对各指标进行综合评分，继而综合为单指标，再按单指标的分析方法作直观分析。
例：从天然植物中提取某两种中药成分p 和q ，得粗制品，考查了A ，B ，C ，D 四个因素，每一因素均取三个水平，试验指标为两药分各自的质量分数。因素及水平取值见下表。
因素 水平 A B C
D
1 2 3 0.74 0.84 0.62
24 12 4
I 型 II 型 III 型
4.8 6.0 9.0
选
()349
L 正交表并完成试验工作，结果见下表。
列号 因素
1 2 3 4
指标（%） 综合 评分
药分p
药分q
试验号
A B C D
1 2 3 4 5 6 7 8 9 17.8
12.2
6.2
8.0
4.5
4.1
8.5
7.3
4.4
29.8
41.3
59.9
24.3
50.6
58.2
30.9
26.4
73.4
59.4
51.2
45.5
32.2
36.6
39.4
36.8
28.5
47.7
K1 K2 K3256.1 128.4 127.3 143.7 108.2 116.3 131.1 127.5 113.0 132.6 118.3 106.2
k1 k2 k352.0 42.8 42.4 47.9
36.1 38.8 43.7 42.5
37.7 44.2 39.6 35.4
R
15.9 5.4 4.1 12.5
进行综合评分是考虑到两个指标的重要程度的差异，根据评分中重要性的比例关系来反映，如粗制品中药分p的含量的重要性为药分q含量的五倍（人为确定），故在评分时按5：1的比例计算总分，具体计算如下。
总分=5×p的质量分数+1×q的质量分数
为使综合计分的数值不太大，可改为
2.5×p的质量分数+0.5×q的质量分数
所以1号试验综合得分=2.5×17.8+0.5×29.8=44.5+14.9=59.4
总分概括地反映了这两个指标的情况。
由R知因素影响主次顺序为A-D-B-C，最佳水平组合为A1B3C2D1。
例中的综合评分是将整个指标所占的特立地位用评分的方法来体现的。综合评分可反映两指标的情况。
综合评分的基本思想是把多指标的情况转化为单一指标（总分），用每一次试验的得分——各指标相应的分数之和，来代表这一次试验的结果。把各个指标按其重要程度，相应地乘以适当的系数作为总分中的分数。再计算每次试验结果的总分的方法，常称加权评分法。权就表明指标重要性的系数。一般说来，如有若干个指标，只要取遍了各个指标的相应权，则每一号试验的得分，可由下面公式计算：得分= 第一个指标的值×第一个指标的权
+ 第二个指标的值×第二个指标的权
+ … × …
+ 最后一个指标的值×最后一个指标的权
正交实验设计 1．概述 任何生产部门，任何科学实验工作，为达到预期目的和效果都必须恰当地安排实验工作，力求通过次数不多的实验认识所研究课题的基本规律并取得满意的结果。例如为拟定一个正确而简便的分析方法，必然要研究影响这种分析方法效果的种种条件，诸如试剂浓度和用量、溶液酸度、反应时间以及共存组分的干扰等等。同时，对于影响分析效果的每一种条件，还应通过试验选择合理的范围。在这里，我们把受到条件影响的反系方法的准确度、精密度以及方法的效果等叫做指标；把试验中要研究的条件叫做因素；把每种条件在试验范围内的取值（或选取的试验点）叫做该条件的水平。这就是说我们常常遇到的问题可能包括多种因素，各种因素又有不同的水平，每种因素可能对分析结果产生各自的影响，也可能彼此交织在一起而产生综合的效果。 正交试验设计就是用于安排多因素实验并考察各因素影响大小的一种科学设计方法。它始于1942年，之后在各个领域里都得到很快的发展和广泛应用。这种科学设计方法是应用一套已规格化的表格——正交表来安排实验工作，其优点是适合于多种因素的实验设计，便于同时考查多种因素各种水平对指标的影响通过较少的实验次数，选出最佳的实验条件，即选出各因素的某一水平组成比较合适的条件，这样的条件就所考查的因素和水平而言，可视为最佳条件。另一方面，还可以帮助我们在错综复杂的因素中抓住主要因素，并判断那些因素只起单独的作用，那些因素除自身的单独作用外，它们之间还产生综合的效果。数理统计上的实验设计还能给出误差的估计。 2. 试验设计的基本方法 全面试验法 正交设计的方法，首先应根据实验的目的,确定影响实验结果的各种因素，选择这些影响因素的试验点，进而拟出实验方案，之后按所拟方案进行实验并对实验结果作出评估。必要时再拟出进一步的实验方案，使实验工作更趋完善，所得结果也更为可靠。 如在研究某一显色反应时，为选择合适的显色温度、酸度和显色完全的时间，可作如下的试验安排。 首先确定上述三因素的实验范围： 显色温度： 25——35℃ （温度以A表示） 酸浓度：——L （酸浓度以B表示）
正交试验设计对于单因素或两因素试验，因其因素少，试验的设计、实施与分析都比较简单。但在实际工作中，常常需要同时考察3 个或3 个以上的试验因素，若进行全面试验，则试验的规模将很大，往往因试验条件的限制而难于实施。正交试验设计就是安排多因素试验、寻求最优水平组合的一种高效率试验设计方法。 1 正交试验设计的概念及原理 1.1 正交试验设计的基本概念 正交试验设计是利用正交表来安排与分析多因素试验的一种设计方法。它是由试验因素的全部水平组合中，挑选部分有代表性的水平组合进行试验的，通过对这部分试验结果的分析了解全面试验的情况，找出最优的水平组合。 例如：设计一个三因素、3 水平的试验 A 因素，设A、A?、A33个水平；B因素，设B、B2、B33个水平； C因素，设G、G、G 3个水平，各因素的水平之间全部可能组合有27 种。 全面试验：可以分析各因素的效应，交互作用，也可选出最优水平组合。但全面试验包含的水平组合数较多（图示的27 个节点），工作量大，在有些情况下无法完成。 若试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交表来设计安排试验。 全面试验法示意图
三因素、三水平全面试验方案 正交试验设计的基本特点是：用部分试验来代替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了解全面试验的情况。 正因为正交试验是用部分试验来代替全面试验的，它不可能像全面试验那样对各因素效应、交互作用一一分析；当交互作用存在时，有可能出现交互作用的混杂。虽然正交试验设计有上述不足，但它能通过部分试验找到最优水平组合，因而很受实际工作者青睐。 如对于上述3因素3水平试验，若不考虑交互作用，可利用正交表L9（34）安排，试验方案仅包含9个水平组合，就能反映试验方案包
选用正交表。根据提供的因素和水平进行正交表的选择, 选择的方法为试验的水平作为正 交表的水平, 试验的各个因素小于或等于正交表的列数,表格中没有数据的项空掉即可。 可以数据公式分析影响因子，也可以软件表征结果 (1) L 4（23） 任意两列间的交互作用为另外一列 (2) L 8(27) L 8(27)二列间的交互作用表 1 2 3 1 1 1 1 2 1 2 2 3 2 1 2 4 2 2 1 1 2 3 4 5 6 7 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 3 1 2 2 1 1 2 2 4 1 2 2 2 2 1 1 5 2 1 2 1 2 1 2 6 2 1 2 2 1 2 1 7 2 2 1 1 2 2 1 8 2 2 1 2 1 1 2 1 2 3 4 5 6 7 （1） 3 2 6 4 7 6 （2） 1 5 7 4 5 （3） 7 6 5 4 （4） 1 2 3 （5） 3 2 （6） 1 （7） 列 号 试 验 号 列 号 试 验 号 列 号 列 号
L 8(27)表头设计 1 2 3 4 5 6 7 3 A B A ×B C A ×C B ×C 4 A B A ×B C ×D C A ×C B ×D B ×C A ×D D 4 A B C ×D A ×B C B ×D A ×C D B ×C A ×D 5 A D ×E B C ×D A × B C ×E C B ×D A ×C B ×E D A × E B ×C E A ×D (3) L 8(4×24) L 8(4×24)表头设计 1 2 3 4 5 2 A B (A ×B)1 (A ×B)2 (A ×B)3 3 A B C 4 A B C D 5 A B C D E 1 2 3 4 5 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 3 2 1 1 2 2 4 2 2 2 1 1 5 3 1 2 1 2 6 3 2 1 2 1 7 4 1 2 2 1 8 4 2 1 1 2 列 号 因 子 数 列 号 试 验 号 列 号 因 子 数
L9（34） 序号 1 2 3 4 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 3 1 3 3 3 4 2 1 2 3 5 2 2 3 1 6 2 3 1 2 7 3 1 3 2 8 3 2 1 3 9 3 3 2 1 回首页 正交试验设计法 正交试验设计法的基本思想 正交表 正交表试验方案的设计 试验数据的直观分析 正交试验的方差分析 常用正交表 1．正交试验设计法的基本思想 正交试验设计法，就是使用已经造好了的表格--正交表--来安排试验并进行数据分析的一种方法。它简单易行，计算表格化，使用者能够迅速掌握。下边通过一个例子来说明正交试验设计法的基本想法。 [例1]为提高某化工产品的转化率，选择了三个有关因素进行条件试验，反应温度(A)，反应时间(B)，用碱量(C)，并确定了它们的试验范围： A：80-90℃ B：90-150分钟 C：5-7％ 试验目的是搞清楚因子A、B、C对转化率有什么影响，哪些是主要的，哪些是次要的，从而确定最适生产条件，即温度、时间及用碱量各为多少才能使转化率高。
试制定试验方案。 这里，对因子A，在试验范围内选了三个水平；因子B和C 也都取三个水平： A：Al＝80℃，A2＝85℃，A3=90℃ B：Bl＝90分，B2＝120分，B3=150分 C：Cl＝5％，C2＝6%，C3＝7% 当然，在正交试验设计中，因子可以是定量的，也可以是定性的。而定量因子各水平间的距离可以相等，也可以不相等。 这个三因子三水平的条件试验，通常有两种试验进行方法： (Ⅰ)取三因子所有水平之间的组合，即AlBlC1，A1BlC2，A1B2C1，……，A3B3C3，共有 33=27次 试验。用图表示就是图1 立方体的27个节点。这种试验法叫做全面试验法。 全面试验对各因子与指标间的关系剖析得比较清楚。但试验次数太多。特别是当因子数目多，每个因子的水平数目也多时。试验量大得惊人。如选六个因子，每个因子取五个水平时，如欲做全面试验，则需56＝15625次试验，这实际上是不可能实现的。如果应用正交实验法，只做25次试验就行了。而且在某种意义上讲，这25次试验代表了15625次试验。 图1 全面试验法取点.......... (Ⅱ)简单对比法，即变化一个因素而固定其他因素，如首先固定B、C于Bl、Cl，使A变化之： ↗A1 B1C1 →A2 ↘A3 (好结果) 如得出结果A3最好，则固定A于A3，C还是Cl，使B变化之： ↗B1 A3C1 →B2 (好结果) ↘B3 得出结果以B2为最好，则固定B于B2，A于A3，使C变化之： ↗C1 A3B2→C2 (好结果) ↘C3 试验结果以C2最好。于是就认为最好的工艺条件是A3B2C2。 这种方法一般也有一定的效果，但缺点很多。首先这种方法的选点代表性很差，如按上述方法进行试验，试验点完全分布在一个角上，而在一个很大的范围内没有选点。因此这种试验方法不全面，所选的工艺条件A3B2C2不一定是27个组合中最好的。其次，用这种方法比较条件好坏时，是把单个的试验数据拿来，进行数值上的简单比较，而试验数据中必然要包含着误差成分，所以单个数据的简单比较不能剔除误差的干扰，必然造成结论的不稳定。
正交试验设计方法讲义及举例 第5章 正交试验设计方法 5．1 试验设计方法概述 试验设计是数理统计学的一个重要的分支。多数数理统计方法主要用于分析已经得到的数据，而试验设计却是用于决定数据收集的方法。试验设计方法主要讨论如何合理地安排试验以及试验所得的数据如何分析等。 例5-1 某化工厂想提高某化工产品的质量和产量，对工艺中三个主要因素各按三个水平进行试验（见表5-1）。试验的目的是为提高合格产品的产量，寻求最适宜的操作条件。 对此实例该如何进行试验方案的设计呢？ 很容易想到的是全面搭配法方案（如图5-1所示）： 此方案数据点分布的均匀性极好，因素和水平的搭配十分全面，唯一的缺点是实验次数多达33＝27次（指数3代表3个因素，底数3代表每因素有3个水平）。因素、水平数 愈多，则实验次数就愈多，例如，做一个6因素3水平的试验，就需36＝729次实验，显然难以做到。因此需要寻找一种合适的试验设计方法。 试验设计方法常用的术语定义如下。 试验指标：指作为试验研究过程的因变量，常为试验结果特征的量（如得率、纯度等）。例1的试验指标为合格产品的产量。 因素：指作试验研究过程的自变量，常常是造成试验指标按某种规律发生变化的那些原因。如例1的温度、压力、碱的用量。 水平：指试验中因素所处的具体状态或情况，又称为等级。如例1的温度有3个水平。温度用T 表示，下标1、2、3表示因素的不同水平，分别记为T 1、T 2、T 3。
常用的试验设计方法有：正交试验设计法、均匀试验设计法、单纯形优化法、双水平单纯形优化法、回归正交设计法、序贯试验设计法等。可供选择的试验方法很多，各种试验设计方法都有其一定的特点。所面对的任务与要解决的问题不同，选择的试验设计方法也应有所不同。由于篇幅的限制，我们只讨论正交试验设计方法。 5．2 正交试验设计方法的优点和特点 用正交表安排多因素试验的方法，称为正交试验设计法。其特点为：①完成试验要求所需的实验次数少。②数据点的分布很均匀。③可用相应的极差分析方法、方差分析方法、回归分析方法等对试验结果进行分析，引出许多有价值的结论。 从例1可看出，采用全面搭配法方案，需做27次实验。那么采用简单比较法方案又如何呢？ 先固定T 1和p 1，只改变m ，观察因素m 不同水平的影响，做了如图2-2（1）所示的三次实验，发现 m ＝m 2时的实验效果最好（好的用 □ 表示），合格产品的产量最高，因此认为在后面的实验中因素m 应取m 2水平。 固定T 1和m 2，改变p 的三次实验如图5-2（2）所示，发现p ＝p ３时的实验效果最好，因此认为因素p 应取p ３水平。 固定p ３和m 2，改变T 的三次实验如图5-2（3）所示，发现因素T 宜取T 2水平。 因此可以引出结论：为提高合格产品的产量，最适宜的操作条件为T 2p ３m 2。与全面搭配法方案相比，简单比较法方案的优点是实验的次数少，只需做9次实验。但必须指出，简单比较法方案的试验结果是不可靠的。因为，①在改变m 值（或p 值，或T 值）的三次实验中，说m 2（或p ３或T 2 ）水平最好是有条件的。在T ≠T １，p ≠p １时，m 2 水平不是最好的可能性是有的。②在改变m 的三次实验中，固定T ＝T ２，p ＝p ３ 应该说也是可以的，是随意的，故在此方案中数据点的分布的均匀性是毫无保障的。③用这种方法比较条件好坏时，只是对单个的试验数据进行数值上的简单比较，不能排除必然存在的试验数据误差的干扰。 运用正交试验设计方法，不仅兼有上述两个方案的优点，而且实验次数少，数据点分布均匀，结论的可靠性较好。 正交试验设计方法是用正交表来安排试验的。对于例1适用的正交表是L 9（34），其试验安排见表5-2。 所有的正交表与L 9（34）正交表一样，都具有以下两个特点： （1） 在每一列中，各个不同的数字出现的次数相同。在表L 9（34）中，每一列有三个水平，水平1、2、3都是各出现3次。 （2） 表中任意两列并列在一起形成若干个数字对， 不同数字对出现的次数也都相同。
正交实验设计法 正交实验设计法 1．正交试验设计法的基本思想 正交试验设计法，就是使用已经造好了的表格--正交表--来安排试验并进行数据分析的一种方法。它简单易行，计算表格化，使用者能够迅速掌握。下边通过一个例子来说明正交试验设计法的基本想法。 [例1]为提高某化工产品的转化率，选择了三个有关因素进行条件试验，反应温度(A)，反应时间(B)，用碱量(C)，并确定了它们的试验范围：A：80-90℃ B：90-150分钟 C：5-7％ 试验目的是搞清楚因子A、B、C对转化率有什么影响，哪些是主要的，哪些是次要的，从而确定最适生产条件，即温度、时间及用碱量各为多少才能使转化率高。试制定试验方案。 这里，对因子A，在试验范围内选了三个水平；因子B和C也都取三个水平：A：Al＝80℃，A2＝85℃，A3=90℃ B：Bl＝90分，B2＝120分，B3=150分 C：Cl＝5％，C2＝6%，C3＝7% 当然，在正交试验设计中，因子可以是定量的，也可以是定性的。而定量因子各水平间的距离可以相等，也可以不相等。 这个三因子三水平的条件试验，通常有两种试验进行方法： (Ⅰ)取三因子所有水平之间的组合，即AlBlC1，A1BlC2，A1B2C1，……，A3B3C3，共有 33=27次 试验。用图表示就是图1 立方体的27个节点。这种试验法叫做全面试验法。 全面试验对各因子与指标间的关系剖析得比较清楚。但试验次数太多。特别
是当因子数目多，每个因子的水平数目也多时。试验量大得惊人。如选六个因子，每个因子取五个水平时，如欲做全面试验，则需56＝15625次试验，这实际上是不可能实现的。如果应用正交实验法，只做25次试验就行了。而且在某种意义上讲，这25次试验代表了15625次试验。 (Ⅱ)简单对比法，即变化一个因素而固定其他因素，如首先固定B、C于Bl、Cl，使A变化之： ↗A1 B1C1 →A2 ↘A3 (好结果) 如得出结果A3最好，则固定A于A3，C还是Cl，使B变化之： ↗B1 A3C1 →B2 (好结果) ↘B3 得出结果以B2为最好，则固定B于B2，A于A3，使C变化之： ↗C1 A3B2→C2 (好结果) ↘C3 试验结果以C2最好。于是就认为最好的工艺条件是A3B2C2。 这种方法一般也有一定的效果，但缺点很多。首先这种方法的选点代表性很差，如按上述方法进行试验，试验点完全分布在一个角上，而在一个很大的范围内没有选点。因此这种试验方法不全面，所选的工艺条件A3B2C2不一定是27 个组合中最好的。其次，用这种方法比较条件好坏时，是把单个的试验数据拿来，进行数值上的简单比较，而试验数据中必然要包含着误差成分，所以单个数据的简单比较不能剔除误差的干扰，必然造成结论的不稳定。 简单对比法的最大优点就是试验次数少，例如六因子五水平试验，在不重复时，只用5+(6-1)×(5-1)＝5+5×4＝25次试验就可以了。 图1 全面试验法取点.......... 考虑兼顾这两种试验方法的优点，从全面试验的点中选择具有典型性、代表性的点，使试验点在试验范围内分布得很均匀，能反映全面情况。但我们又希望试验点尽量地少，为此还要具体考虑一些问题。
正交试验设计 1 正交试验设计的概念及原理 1.1 基本概念 利用正交表来安排与分析多因素试验的一种设计方法。 特点：在试验因素的全部水平组合中，仅挑选部分有代表性的水平组合进行试验。 通过部分实施的试验结果，了解全面试验情况，从中找出较优的处理组合。 考察增稠剂用量、pH 值和杀菌温度对豆奶稳定性的影响。每个因素设置3个水平进行试验 。 全面试验：可以分析各因素的效应，交互作用，也可选出最优水平组合。 全面试验包含的水平组合数较多，工作量大，在有些情况下无法完成 。 若试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交表来设计安排试验。 ● 正交试验是用部分试验来代替全面试验的，它不可能像全面试验那样对各因素效应、交互作用一一分析； ● 当交互作用存在时，有可能出现交互作用的混杂。 ● 虽然正交试验设计有上述不足，但它能通过部分试验找到最优水平组合，因而很受实际工作者青睐。 1.2 基本原理 在试验安排中，每个因素在研究的范围内选几个水平， 可以理解为在选优区内打上网格， 如果网上的每个点都做试验，就是全面试验。 3个因素的选优区可以用一个立方体表示。 3个因素各取3个水平，把立方体划分成27个格点。 若27个网格点都试验，就是全面试验。 A2 A3 A1B1C1 B3 B2 A 因素：增稠剂用量，A1、A2、A3 B 因素：pH ，B1、B2、B3 C 因素：杀菌温度，C1、C2、C3 3因素 3水平 33 ＝27
1.2 基本原理 正交设计就是从选优区全面试验点（水平组合）中挑选出有代表性的部分试验点（水平组合）来进行试验。
A1B1C1 A1B2C2 A1B3C3 A2B1C2 A2B2C3 A3B1C3 A3B2C1 A3B3C2 A2B3C1 A1B1C3 A1B3C1 A2B1C1 A2B2C1 A2B3C3 A3B1C1 A3B2C3 9个组合
正交试验设计表 第十章正交试验设计对于单因素或两因素试验，因其因素少，试验的设计、实施与分析都比较简单。但在实际工作中，常常需要同时考察 3个或3个以上的试验因素，若进行全面试验，则试验的规模将很大，往往因试验条件的限制而难于实施。正交试验设计就是安排多因素试验、寻求最优水平组合的一种高效率试验设计方法。 1.1 正交试验设计的基本概念正交试验设计是利用正交表来安排与分析多因素试验的一种设计方法。它是由试验因素的全部水平组合中，挑选部分有代表性的水平组合进行试验的，通过对这部分试验结果的分析了解全面试验的情况，找出最优的水平组合。例如，要考察增稠剂用量、pH值和杀菌温度对豆奶稳定性的影响。每个因素设置3个水平进行试验。 A因素是增稠剂用量，设A1、A2、A3 3个水平;B因素是pH值，设B1、B2、B3 3个水平;C因素为杀菌温度，设C1、C2、C3 3个水平。这是一个3因素3水平的试验，各因素的水平之间全部可能组合有27种。全面试验:可以分析各因素的效应，交互作用，也可选出最优水平组合。但全面试验包含的水平组合数较多，工作量大，在有些情况下无法完成。若试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交表来设计安排试验。正交试验设计的基本特点是:用部分试验来代替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了解全面试验的情况。正因为正交试验是用部分试验来代替全面试验的，它不可能像全面试验那样对各因素效应、交互作用一一分析;当交互作用存在时，有可能出现交互作用的混杂。虽然正交试验设计有上述不足，但它能通过部分试验找到最优水平组合，因而很受实际工作者青睐。如对于上述3因素3水平试验，若不考虑交互作用，可利用正交表L9 34 安排，试验方案仅包含9个水平组合，就能反映试验方案包含27个水平组合的全面试验的情况，找出最佳的生产条件。 1.2 正交试验设计的基本原理在试验安排中，每个因素在研究的范
正交实验设计 当析因设计要求的实验次数太多时，一个非常自然的想法就是从析因设计的水平组合中，选择一部分有代表性水平组合进行试验。因此就出现了分式析因设计(fractional factorial designs)，但是对于试验设计知识较少的实际工作者来说，选择适当的分式析因设计还是比较困难的。 正交试验设计(Orthogonal experimental design)是研究多因素多水平的又一种设计方法，它是根据正交性从全面试验中挑选出部分有代表性的点进行试验，这些有代表性的点具备了“均匀分散，齐整可比”的特点，正交试验设计是分式析因设计的主要方法。是一种高效率、快速、经济的实验设计方法。日本著名的统计学家田口玄一将正交试验选择的水平组合列成表格，称为正交表。例如作一个三因素三水平的实验，按全面实验要求，须进行33=27种组合的实验，且尚未考虑每一组合的重复数。若按L9(3)3正交表按排实验，只需作9次，按L18(3)7正交表进行18次实验，显然大大减少了工作量。因而正交实验设计在很多领域的研究中已经得到广泛应用。 1．正交表 正交表是一整套规则的设计表格，用。L为正交表的代号，n为试验的次数， t为水平数，c为列数，也就是可能安排最多的因素个数。例如L9(34)，(表11)，它表示需作9次实验，最多可观察4个因素，每个因素均为3水平。一个正交表中也可以各列的水平数不相等，我们称它为混合型正交表，如L8(4×24) (表12)，此表的5列中，有1列为4水平，4列为2水平。根据正交表的数据结构看出，正交表是一个n行c列的表，其中第j列由数码1，2，… S j组成，这些数码均各出现N/S次，例如表11中，第二列 的数码个数为3，S=3 ，即由1、2、3组成，各数码均出现次。
设计方法名称正交设计 适用范围仅用于复因子试验。 田间排列田间排列可采用随机区组设计或拉丁方设计等。 田间排列说明一、为什么要用正交试验？ 关于复因子试验我们介绍了随机区组设计和裂区设计两种设计方法、但这两种设计方法均属于复因子试验的全面实施，所成的区组叫完全区组，即每一种处理组合在每一区组都必须设置一个小区。然而，对于农林试验，特别小区面积需较大的热带作物试验，作全面实施往往是不可能的。例如，如欲作肥料三要素试验，每因子取三个水平，则共有27个处理组合。若把试验布置成完全区组，则每区组需设置27个小区。这不仅实际执行时常因地形所限而不易找到如此庞大的区组，即使能找到可摆下27个处理组合的区组也难于实行局部控制。此外，作完全区组设计工作量太大，耗费人力物力也多。为解决以上矛盾，人们提出是否可以从全部处理组合中挑选出一部处理组合来做一下完全区组试验，而且要求这种部分实施同样能达到主要的试验目的。理论与实施都证明这是可能的，这就是本节所介绍的正交试验法。 进一步的问题是：（1）从全部处理组合中应该挑几个处理组合来做试验？（2）从全部处理组合中具体挑选哪几个处理组合来做试验？这两个问题都可以从正交表得到回答。 二、正交表 正交试验，是借助于正交表来布置试验的。因此，首先得搞清楚正交表的含义。比如，需作一A、B、C三因子试验，A分为A1、A2二个水平；B分为B1、B2二个水平；C分为C1、C2二个水平。显然，该试验共有8个处理组合，详列如下： 这8个处理组合，可用数字来简单表示，如A1B1C1可简记为“111”，A1B1C2可简记为“112”等等。这样，如若写出“221”，则表示这是处理组合A2B2C1，。即因子A取A2，因子B取B2，因子C取C1所组成的组合。 如果我们希望把试验布置成正交试验，从8个处理组合中挑选一部分处理组合来做才有代表性呢？这可查正交表得到回答。二水平的最简单一张正交
正交试验设计 对于单因素或两因素试验，因其因素少，试验的设计、实施与分析都比较简单。但在实际工作中，常常需要同时考察3个或3个以上的试验因素，若进行全面试验，则试验的规模将很大，往往因试验条件的限制而难于实施。正交试验设计就是安排多因素试验、寻求最优水平组合的一种高效率试验设计方法。 1 正交试验设计的概念及原理 1.1 正交试验设计的基本概念 正交试验设计是利用正交表来安排与分析多因素试验的一种设计方法。它是由试验因素的全部水平组合中，挑选部分有代表性的水平组合进行试验的，通过对这部分试验结果的分析了解全面试验的情况，找出最优的水平组合。 例如：设计一个三因素、3水平的试验 A因素，设A1、A2、A33个水平；B因素，设B1、B2、B33个水平；C因素，设C1、C2、C3 3个水平，各因素的水平之间全部可能组合有27种。 全面试验：可以分析各因素的效应，交互作用，也可选出最优水平组合。但全面试验包含的水平组合数较多（图示的27个节点），工作量大，在有些情况下无法完成。 若试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交表来设计安排试验。 全面试验法示意图
三因素、三水平全面试验方案 正交试验设计的基本特点是：用部分试验来代替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了解全面试验的情况。 正因为正交试验是用部分试验来代替全面试验的，它不可能像全面试验那样对各因素效应、交互作用一一分析；当交互作用存在时，有可能出现交互作用的混杂。虽然正交试验设计有上述不足，但它能通过部分试验找到最优水平组合，因而很受实际工作者青睐。 如对于上述3因素3水平试验，若不考虑交互作用，可利用正交表L9(34)安排，试验方案仅包含9个水平组合，就能反映试验方案包
正交实验的原理 我们知道如果有很多的因素变化制约着一个事件的变化，那么为了弄明白哪些因素重要，哪些不重要，什么样的因素搭配会产生极值，必须通过做实验验证(仿真也可以说是试验，只不过试验设备是计算机)，如果因素很多，而且每种因素又有多种变化(专业称法是：水平)，那么试验量会非常的大，显然是不可能每一个试验都做的。那我们这个试验来讲，影响主轴温升的因素很多，比如转速、预紧力、油气压力、喷油间隙时间、油品等等；每种因素的水平也很多，比如转速从8Krpm到20Krpm，等等，坤哥算了一下，所有因素都做，大概一共要900次试验，按一天3次试验计，要不停歇的做10个月，显然是不可能的。 能够大幅度减少试验次数而且并不会降低试验可行度的方法就是使用正交试验法。首先需要选择一张和你的试验因素水平相对应的正交表，已经有数学家制好了很多相应的表，你只需找到对应你需要的就可以了。所谓正交表，也就是一套经过周密计算得出的现成的试验方案，他告诉你每次试验时，用那几个水平互相匹配进行试验，这套方案的总试验次数是远小于每种情况都考虑后的试验次数的。比如3水平4因素表就只有9行，远小于遍历试验的81次；我们同理可推算出如果因素水平越多，试验的精简程度会越高。 建立好试验表后，根据表格做试验，然后就是数据处理了。由于试验次数大大减少，使得试验数据处理非常重要。首先可以从所有的试验数据中找到最优的一个数据，当然，这个数据肯定不是最佳匹配数据，但是肯定是最接近最佳的了。这是你能得到一组因素，这是最直观的一组最佳因素。接下来将各个因素当中同水平的试验值加和(注:正交表的一个特点就是每个水平在整个试验中出现的次数是相同的)，就得到了各个水平的试验结果表，从这个表当中又可以得到一组最优的因素，通过比较前一个因素，可以获得因素变化的趋势，指导更进一步的试验。各个因素中不同水平试验值之间也可以进行如极差、方差等计算，可以获知这个因素的敏感度。等等等等...还有很多处理数据的方法。然后再根据统计数据，确定下一步的试验，这次试验的范围就很小了，目的就是确定最终的最优值。当然，如果因素水平很多，这种寻优过程可能不止一次。 讲了这么多，你也许会问，你说那个表很准，能代表大趋势，为什么呢？这个问题是有证明的，不过我们不必去看那个证明(很复杂，看不懂:P)，我的考虑是这样的，如果我们将
(1) L 4（23） 任意两列间的交互作用为另外一列。 (2) L 8(27) L 8(27)二列间的交互作用表 1 2 3 1 1 1 1 2 1 2 2 3 2 1 2 4 2 2 1 1 2 3 4 5 6 7 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 3 1 2 2 1 1 2 2 4 1 2 2 2 2 1 1 5 2 1 2 1 2 1 2 6 2 1 2 2 1 2 1 7 2 2 1 1 2 2 1 8 2 2 1 2 1 1 2 1 2 3 4 5 6 7 （1） 3 2 6 4 7 6 （2） 1 5 7 4 5 （3） 7 6 5 4 （4） 1 2 3 （5） 3 2 （6） 1 （7） 列 号 试 验 号 列 号 试 验 号 列 号 列 号
L 8(27)表头设计 1 2 3 4 5 6 7 3 A B A ×B C A ×C B ×C 4 A B A ×B C ×D C A ×C B ×D B ×C A ×D D 4 A B C ×D A ×B C B ×D A ×C D B ×C A ×D 5 A D ×E B C ×D A × B C ×E C B ×D A ×C B ×E D A × E B ×C E A ×D (3) L 8(4×24) L 8(4×24)表头设计 1 2 3 4 5 2 A B (A ×B)1 (A ×B)2 (A ×B)3 3 A B C 4 A B C D 5 A B C D E 1 2 3 4 5 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 3 2 1 1 2 2 4 2 2 2 1 1 5 3 1 2 1 2 6 3 2 1 2 1 7 4 1 2 2 1 8 4 2 1 1 2 列 号 因 子 数 列 号 试 验 号 列 号 因 子 数
正交实验设计原理公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
正交实验设计 1．概述 任何生产部门，任何科学实验工作，为达到预期目的和效果都必须恰当地安排实验工作，力求通过次数不多的实验认识所研究课题的基本规律并取得满意的结果。例如为拟定一个正确而简便的分析方法，必然要研究影响这种分析方法效果的种种条件，诸如试剂浓度和用量、溶液酸度、反应时间以及共存组分的干扰等等。同时，对于影响分析效果的每一种条件，还应通过试验选择合理的范围。在这里，我们把受到条件影响的反系方法的准确度、精密度以及方法的效果等叫做指标；把试验中要研究的条件叫做因素；把每种条件在试验范围内的取值（或选取的试验点）叫做该条件的水平。这就是说我们常常遇到的问题可能包括多种因素，各种因素又有不同的水平，每种因素可能对分析结果产生各自的影响，也可能彼此交织在一起而产生综合的效果。 正交试验设计就是用于安排多因素实验并考察各因素影响大小的一种科学设计方法。它始于1942年，之后在各个领域里都得到很快的发展和广泛应用。这种科学设计方法是应用一套已规格化的表格——正交表来安排实验工作，其优点是适合于多种因素的实验设计，便于同时考查多种因素各种水平对指标的影响通过较少的实验次数，选出最佳的实验条件，即选出各因素的某一水平组成比较合适的条件，这样的条件就所考查的因素和水平而言，可视为最佳条件。另一方面，还可以帮助我们在错综复杂的因素中抓住主要因素，并判断那些因素只起单独的作用，
那些因素除自身的单独作用外，它们之间还产生综合的效果。数理统计上的实验设计还能给出误差的估计。 2. 试验设计的基本方法 全面试验法 正交设计的方法，首先应根据实验的目的,确定影响实验结果的各种因素，选择这些影响因素的试验点，进而拟出实验方案，之后按所拟方案进行实验并对实验结果作出评估。必要时再拟出进一步的实验方案，使实验工作更趋完善，所得结果也更为可靠。 如在研究某一显色反应时，为选择合适的显色温度、酸度和显色完全的时间，可作如下的试验安排。 首先确定上述三因素的实验范围： 显色温度： 25——35℃ （温度以A表示） 酸浓度：——L （酸浓度以B表示） 显色时间： 10——30 min （时间以C表示） 其次确定每种因素在上述实验范围内各取的水平数（如各取三个水平）。 因素A的三个水平分别以A 1，A 2 ，A 3 表示； 因素B的三个水平分别以B 1，B 2 ，B 3 表示； 因素C的三个水平分别以C 1，C 2 ，C 3 表示； 然后将显色试验的因素、水平列为下表。
正交试验设计法 1．正交试验设计法的基本思想 正交试验设计法，就是使用已经造好了的表格--正交表--来安排试验并进行数据分析的一种方法。它简单易行，计算表格化，使用者能够迅速掌握。下边通过一个例子来说明正交试验设计法的基本想法。[例1]为提高某化工产品的转化率，选择了三个有关因素进行条件试验，反应温度(A)，反应时间(B)，用碱量(C)，并确定了它们的试验范围： A：80-90℃ B：90-150分钟 C：5-7％ 试验目的是搞清楚因子A、B、C对转化率有什么影响，哪些是主要的，哪些是次要的，从而确定最适生产条件，即温度、时间及用碱量各为多少才能使转化率高。试制定试验方案。 这里，对因子A，在试验范围内选了三个水平；因子B和C也都取三个水平： A：Al＝80℃，A2＝85℃，A3=90℃ B：Bl＝90分，B2＝120分，B3=150分 C：Cl＝5％，C2＝6%，C3＝7% 当然，在正交试验设计中，因子可以是定量的，也可以是定性的。而
定量因子各水平间的距离可以相等，也可以不相等。 这个三因子三水平的条件试验，通常有两种试验进行方法： (Ⅰ)取三因子所有水平之间的组合，即 AlBlC1，A1BlC2，A1B2C1，……， A3B3C3，共有 33=27次 试验。用图表示就是图1 立方体的27 个节点。这种试验法叫做全面试验法。 全面试验对各因子与指标间的关系剖析得比较清楚。但试验次数太多。特别是当因子数目多，每个因子的水平数目也多时。试验量大得惊人。如选六个因子，每个因子取五个水平时，如欲做全面试验，则需56 ＝15625次试验，这实际上是不可能实现的。如果应用正交实验法，只做25次试验就行了。而且在某种意义上讲，这25次试验代表了15625次试。 (Ⅱ)简单对比法，即变化一个因素而固定其他因素，如首先固定B、C于Bl、Cl，使A变化之： ↗A1 B1C1 →A2 ↘A3 (好结果) 如得出结果A3最好，则固定A于A3，C还是Cl，使B变化之：
正交试验设计法 正交试验设计法的基本思想 正交表 正交表试验方案的设计 试验数据的直观分析 正交试验的方差分析 补充内容 1．正交试验设计法的基本思想 正交试验设计法，就是使用已经造好了的表格--正交表--来安排试验并进行数据分析的一种方法。它简单易行，计算表格化，使用者能够迅速掌握。下边通过一个例子来说明正交试验设计法的基本想法。 [例1]为提高某化工产品的转化率，选择了三个有关因素进行条件试验，反应温度(A)，反应时间(B)，用碱量(C)，并确定了它们的试验范围： A：80-90℃ B：90-150分钟 C：5-7％ 试验目的是搞清楚因子A、B、C对转化率有什么影响，哪些是主要的，哪些是次要的，从而确定最适生产条件，即温度、时间及用碱量各为多少才能使转化率高。试制定试验方案。 这里，对因子A，在试验范围内选了三个水平；因子B和C也都取三个水平：A：Al＝80℃，A2＝85℃，A3=90℃ B：Bl＝90分，B2＝120分，B3=150分 C：Cl＝5％，C2＝6%，C3＝7% 当然，在正交试验设计中，因子可以是定量的，也可以是定性的。而定量因子各水平间的距离可以相等，也可以不相等。 这个三因子三水平的条件试验，通常有两种试验进行方法： (Ⅰ)取三因子所有水平之间的组合，即 AlBlC1，A1BlC2，A1B2C1，……，A3B3C3， 共有 33=27次 试验。用图表示就是图1 立方体的27个节 点。这种试验法叫做全面试验法。
全面试验对各因子与指标间的关系剖析得比较清楚。但试验次数太多。特别是当因子数目多，每个因子的水平数目也多时。试验量大得惊人。如选六个因子，每个因子取五个水平时，如欲做全面试验，则需56＝15625次试验，这实际上是不可能实现的。如果应用正交实验法，只做25次试验就行了。而且在某种意义上讲，这25次试验代表了15625次试验。 图1 全面试验法取点.......... (Ⅱ)简单对比法，即变化一个因素而固定其他因素，如首先固定B、C于Bl、Cl，使A变化之： ↗A1 B1C1 →A2 ↘A3 (好结果) 如得出结果A3最好，则固定A于A3，C还是Cl，使B变化之： ↗B1 A3C1 →B2 (好结果) ↘B3 得出结果以B2为最好，则固定B于B2，A于A3，使C变化之： ↗C1 A3B2→C2 (好结果) ↘C3 试验结果以C2最好。于是就认为最好的工艺条件是A3B2C2。 这种方法一般也有一定的效果，但缺点很多。首先这种方法的选点代表性很差，如按上述方法进行试验，试验点完全分布在一个角上，而在一个很大的范围内没有选点。因此这种试验方法不全面，所选的工艺条件A3B2C2不一定是27个组合中最好的。其次，用这种方法比较条件好坏时，是把单个的试验数据拿来，进行数值上的简单比较，而试验数据中必然要包含着误差成分，所以单个数据的简单比较不能剔除误差的干扰，必然造成结论的不稳定。 简单对比法的最大优点就是试验次数少，例如六因子五水平试验，在不重复时，只用5+(6-1)×(5-1)＝5+5×4＝25次试验就可以了。 考虑兼顾这两种试验方法的优点，从全面 试验的点中选择具有典型性、代表性的 点，使试验点在试验范围内分布得很均 匀，能反映全面情况。但我们又希望试验 点尽量地少，为此还要具体考虑一些问 题。 如上例，对应于A有Al、A2、A3三个平 面，对应于B、C也各有三个平面，共九 个平面。则这九个平面上的试验点都应当 一样多，即对每个因子的每个水平都要同等看待。具体来说，每个平面上都有三行、三列，要求在每行、每列上的点一样多。这样，作出如图2所示的设计，试验点用⊙表示。我们看到，在9个平面中每个平面上都恰好有三个点而每个平面
正交试验设计(Orthogonal experimental design) 目录 [隐藏] ? 1 什么是正交试验设计 ? 2 正交试验设计表 o 2.1 正交试验设计表[1] o 2.2 正交表的性质 ? 3 正交试验设计的安排 ? 4 正交试验设计的极差分析 ? 5 较优条件选择 ? 6 正交试验分析方法 ?7 正交试验设计的基本思想 ?8 正交试验设计的过程[1] ?9 正交试验设计法与遗传算法的联系 [2] ?10 正交试验设计的案例分析[3] ?11 参考文献 [编辑] 什么是正交试验设计 正交试验设计是研究多因素多水平的又一种设计方法，它是根据正交性从全面试验中挑选出部分有代表性的点进行试验，这些有代表性的点具备了“均匀分散，齐整可比”的特点，正交试验设计是分式析因设计的主要方法。是一种高效率、快速、经济的实验设计方法。 日本著名的统计学家田口玄一将正交试验选择的水平组合列成表格，称为正交表。例如作一个三因素三水平的实验，按全面实验要求，须进行33 = 27种组合的实验，且尚未考虑每一组合的重复数。若按L9(3)3正交表安排实验，只需作9次，按L18(3)7正交表进行18次实验，显然大大减少了工作量。因而正交实验设计在很多领域的研究中已经得到广泛应用。 正交表是一整套规则的设计表格，用L为正交表的代号，n为试验的次数，t为水平数，c为列数，也就是可能安排最多的因素个数。例如L9(34)，它表示需作9次实验，最多可观察4个因素，每个因素均为3水平。一个正交表中也可以各列的水平数不相等，我们称它为混 合型正交表，如L，此表的5列中，有1列为4水平，4列为2水平。 [编辑] 正交试验设计表 [编辑]