柯西不等式的变形公式的妙用 柯西不等式晌丝形公式的她用 湖北省襄阳市第一中学王勇龚俊峰441000 柯西不等式具有对称和谐的结构,应用的关键在 于抓住问题的结构特征,找准解题的正确方向,合理 地变形,巧妙地构造.作为新课程的选修内容,柯西不 等式(简记为"方和积不小于积和方")在数学的多个 领域都有着广泛的应用.课堂教学中,笔者与学生共 同探究了柯西不等式的一个变形公式的应用,方便快 捷,妙不可言,达到了化难为易,化繁为简,化陌生为 熟悉的目的. 柯西不等式的变形公式:设a,n,…,a为实 数,b,bz,…,为正数,则等+薏十…+筹≥ b1+62+…+ 等号. , 当且仅当一薏一?一时取 址明:田tⅡJ四个寺瓦,侍 ((22十~t2+…+等)(64.b24.…+) ()+(老)+..?+(老).][c,z +()4-…+()!] ≥(.+老'+...+老.) 一(口l十以2+…+甜). . . .bl,b2,…～b为正数,...bl4"b24-…+>O, .
? . 鲁+譬+…+譬≥. 当且仅当一-...一卿一… 时取等号. 下面分类例析,旨在探索题型规律,揭示解题方法. 1在代数中的妙用 例1设n,b,C均为正数,且不全相等,求证: ++>. 证明:由柯西不等式的变形公式,得 ++一:一 04.b6+f.f+n2(a+6).2(bq-一c) l2 .2(c+a) ,(2+2+2)0 2(n+6)+2(64-c)+2(f+0) 4(a+6+f) 一 —— a4"b4"c' 当且仅当一一,即6 —6+f:f+n,亦即a~b=c时,上述不等式取等号. 因题设a,b,c不全相等,于是9l_+赢9+?) >? ._..I◆ 点评:将十+变形为+
第一课时 3.1 二维形式的柯西不等式（一） 2. 练习：已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+ ① 提出定理1：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+. 证法一：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=….=2()0ad bc -≥ 证法二：（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++ 222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+. （要点：展开→配方） 证法三：（向量法）设向量(,)m a b =u r ，(,)n c d =r ，则22||m a b =+u r 22||n c d +r . ∵ m n ac bd ?=+u r r ，且||||cos ,m n m n m n =<>u r r u r r u r r g g g ，则||||||m n m n ≤u r r u r r g g . ∴ ….. 证法四：（函数法）设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，则 22()()()f x ax c bx d =-+-≥0恒成立. ∴ 22222[2()]4()()ac bd a b c d ?=-+-++≤0，即….. ③二维形式的柯西不等式的一些变式： 2222||a b c d ac bd +++g 或 2222||||a b c d ac bd +++g 2222a b c d ac bd ++≥+g . ④ 提出定理2：设,αβu r u r 是两个向量，则||||||αβαβ≤u r u r u r u r g . 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ） → 讨论：上面时候等号成立？（βu r 是零向量，或者,αβu r u r 共线） ⑤ 练习：已知a 、b 、c 、d 222222()()a b c d a c b d ++≥-+- 证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形） 2. 教学三角不等式： ① 出示定理3：设1122,,,x y x y R ∈22222211221212()()x y x y x x y y ++≥-+-分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明 → 变式：若112233,,,,,x y x y x y R ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 3. 小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点） 第二课时 3.1 二维形式的柯西不等式（二） 教学过程： 22222()()()a b c d ac bd ++≥+22222211221212()()x y x y x x y y ++≥-+- 3. 如何利用二维柯西不等式求函数12y x x =--? 要点：利用变式2222||ac bd a b c d +++g . 二、讲授新课： 1. 教学最大（小）值： ① 出示例1：求函数31102y x x =-- 分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 → 板演 → 变式：31102y x x =-- → 推广：,(,,,,,)y bx c e fx a b c d e f R +=+-∈ ② 练习：已知321x y +=，求22x y +的最小值. 解答要点：（凑配法）2222222111()(32)(32)131313 x y x y x y += ++≥+=. 2. 教学不等式的证明： ① 出示例2：若,x y R +∈，2x y +=，求证： 112x y +≥. 分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 → 构造） 要点：2222111111()()[()()][()]22x y x y x y x y x y +=++=++≥…
第一课时 3.1 二维形式的柯西不等式（一） 2. 练习：已知 a 、 b 、 c 、d 为实数，求证 (a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) ( ac bd) 2 ① 提出定理 1：若 a 、 b 、 c 、 d 为实数，则 (a 2 b 2 )( c 2 d 2 ) (ac bd )2 . 证法一：（比较法） (a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) ( ac bd ) 2 = .= ( ad bc) 2 0 证法二：（综合法） (a 2 b 2 )( c 2 d 2 ) a 2c 2 a 2 d 2 b 2c 2 b 2d 2 ( ac bd ) 2 ( ad bc) 2 ( ac bd) 2 . （要点：展开→配方） ur (a,b) ， r ur a 2 b 2 r c 2 d 2 . 证法三：（向量法）设向量 m n (c,d ) ，则 | m | ， | n | ur r ur r ur r ur r ur r ur r ∴.. ∵ m ? n ac bd ，且 mgn | m |g| n |gcos m,n ，则 | mgn | | m |g| n | . 证法四：（函数法）设 f ( x) ( a 2 b 2 ) x 2 2( ac bd ) x c 2 d 2 ，则 f ( x) ( ax c)2 (bx d )2 ≥ 0 恒成立 . ∴ [ 2(ac bd)] 2 4(a 2 b 2 )( c 2 d 2 ) ≤ 0，即 .. ③二维形式的柯西不等式的一些变式： a 2 b 2 g c 2 d 2 | ac bd | 或 a 2 b 2 g c 2 d 2 | ac | | bd | 或 a 2 b 2 g c 2 d 2 ac bd . 2：设 ur ur ur ur | | ur ur ④ 提出定理 , 是两个向量，则 | g || | . 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ） ur ur ur , → 讨论：上面时候等号成立？（ 是零向量，或者 共线） ⑤ 练习：已知 a 、 b 、 c 、d 为实数，求证 a 2 b 2 c 2 d 2 (a c)2 (b d) 2 . 证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形） 2. 教学三角不等式： ① 出示定理 3：设 x , y , x , y R ，则 2 2 2 2 2 2 . 1 12 2 x 1 y 1 x 2 y 2 ( x 1 x 2 ) ( y 1 y 2 ) 分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明 → 变式：若 x 1 , y 1 , x 2 , y 2 , x 3 , y 3 R ，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 3. 小结： 二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点） 第二课时 3.1 二维形式的柯西不等式（二） 教学过程 ： (a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) ( ac bd) 2 ； x 12 y 1 2 x 2 2 y 2 2 ( x 1 x 2 ) 2 ( y 1 y 2 )2 3. 如何利用二维柯西不等式求函数 y x 1 2 x 的最大值 ? 要点：利用变式 | ac bd | a 2 b 2 g c 2 d 2 . 二、讲授新课： 1. 教学最大（小）值： ① 出示例 1：求函数 y 3 x 1 10 2x 的最大值？ 分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 → 板演 → 变式： y 3x 1 10 2x → 推广： y a bx c d e fx,( a,b,c,d ,e, f R ) ② 练习：已知 3x 2 y 1，求 x 2 y 2 的最小值 . 解答要点：（凑配法） x 2 y 2 1 ( x 2 y 2 )(3 2 22 ) 1 (3 x 2 y) 2 1 . 13 13 13 2. 教学不等式的证明： ① 出示例 2：若 x, y R ， x y 2 ，求证： 1 1 2 . x y 分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 → 构造） 要点： 1 1 1 ( x y)( 1 1 ) 1 [( x )2 ( y )2 ][( 1 ) 2 (1)2 ] x y 2 x y 2 x y
第一课时 二维形式的柯西不等式（一） 2. 练习：已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+ ① 提出定理1：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+. 证法一：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=….=2()0ad bc -≥ 证法二：（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++ 222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+. （要点：展开→配方） 证法三：（向量法）设向量(,)m a b =，(,)n c d =，则2||m a b =+，2||n c d =+ ∵ m n ac bd ?=+，且||||cos ,m n m n m n =<>，则||||||m n m n ≤. ∴ ….. 证法四：（函数法）设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，则 22()()()f x ax c bx d =-+-≥0恒成立. } ∴ 22222[2()]4()()ac bd a b c d ?=-+-++≤0，即….. ③二维形式的柯西不等式的一些变式： 222||c d ac bd +≥+ 或 222||||c d ac bd +≥+ 222c d ac bd +≥+. ④ 提出定理2：设,αβ是两个向量，则||||||αβαβ≤. 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ） → 讨论：上面时候等号成立（β是零向量，或者,αβ共线） ⑤ 练习：已知a 、b 、c 、d 证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义（构造三角形） 2. 教学三角不等式： ① 出示定理3：设1122,,,x y x y R ∈ ? 分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明 → 变式：若112233,,,,,x y x y x y R ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式 3. 小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点） 第二课时 二维形式的柯西不等式（二） 教学过程： 22222()()()a b c d ac bd ++≥+ 3. 如何利用二维柯西不等式求函数y = 要点：利用变式222||ac bd c d ++. 二、讲授新课： % 1. 教学最大（小）值： ① 出示例1：求函数y = 分析：如何变形 → 构造柯西不等式的形式 → 板演 → 变式：y = → 推广：,,,,,)y a b c d e f R +=∈ ② 练习：已知321x y +=，求22x y +的最小值. 解答要点：（凑配法）2222222111()(32)(32)131313 x y x y x y += ++≥+=. 2. 教学不等式的证明： ① 出示例2：若,x y R +∈，2x y +=，求证： 112x y +≥. 分析：如何变形后利用柯西不等式 （注意对比 → 构造）
波动方程或称波方程（英语：wave equation）是一种重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各种的波动现象，包括横波和纵波，例如声波、光波、无线电波和水波。波动方程抽象自声学、物理光学、电磁学、电动力学、流体力学等领域。 历史上许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔·伯努利和拉格朗日等在研究乐器等物体中的弦振动问题时，都对波动方程理论作出过重要贡献。 波动方程是双曲形偏微分方程的最典型代表，其最简形式可表示为：关于位置x 和时间t的标量函数u（代表各点偏离平衡位置的距离）满足： 这里c通常是一个固定常数，代表波的传播速率。在常压、20°C的空气中c为343米/秒（参见音速）。在弦振动问题中，c依不同弦的密度大小和轴向张力不同可能相差非常大。而在半环螺旋弹簧（一种玩具，英文商标为 Slinky）上，波速可以慢到1米/秒。 在针对实际问题的波动方程中，一般都将波速表示成可随波的频率变化的量，这种处理对应真实物理世界中的色散现象。此时，c应该用波的相速度代替： 实际问题中对标准波动方程的另一修正是考虑波速随振幅的变化，修正后的方程变成下面的非线性波动方程： 另需注意的是物体中的波可能是叠加在其他运动（譬如介质的平动，以气流中传播的声波为例）上的。这种情况下，标量u的表达式将包含一个马赫因子（对沿流动方向传播的波为正，对反射波为负）。 三维波动方程描述了波在均匀各向同性弹性体中的传播。绝大多数固体都是弹性体，所以波动方程对地球内部的地震波和用于检测固体材料中缺陷的超声波的传播能给出满意的描述。在只考虑线性行为时，三维波动方程的形式比前面更为复杂，它必须同时考虑固体中的纵波和横波: 式中：
上海中学数学2014年第3期 柯西不等式常见题型解法例说315500浙江省奉化中学陈晴应向明 柯西不等式≥：d；≥：研≥f≥]ni．6。1‘是基本 百鬲、百7 而重要的不等式，是推证其他许多不等式的基础，不仅形式优美，而且还具有非常重要的应用价值．它原先只在数学竞赛中出现，但在2003年颁布的高中数学课程标准选修系列(4—5)《不等式选讲》里，已经加进了柯西不等式，也就是说它将成为选修学生的日常教学要求．用柯西不等式解决某些不等关系问题时往往比较简捷明了，但求解时灵活性较大，技巧性较强．其中一些常见的问题，其解决策略往往与其呈现方式直接相关．笔者就以其在近几年高考中的常见三维类型进行分类，例析对应的解决策略．三维的柯西不等式(盘；+丑；+口；)(躇+6；+鹾)≥(n。6，+口：6：+a。63)2揭示了任意两组数组即(n。，n。，n。)、(6，，6。，63)的平方和之积与实数积之和的平方的大小关系．应用时要解决的核心问题就是如何通过变换不等式，向柯西不等式“逼近”，构造出不等式所需要的两组数组(乜，，乜。，以。)、(6。，6：，6。)，这也是运用柯西不等式解题的基本策略． 1一次与二次 例1(2013湖南高考)已知口、6、c∈R，盘+26 +3c一6，则n2+462+9c2的最小值为——．解：n+26+3c一6，由柯西不等式得(n2+462 +9c2)(12+12+12)≥(n+26+3c)2， 可知n。+462+9c。≥婺一12，即最小值为12． 例2设．r，y，z∈R，且满足T2+y2+z2—5，则Lr+2y+3z之最大值为——． 解：(．f r+2y+32)2≤(L z’2+y2+z2)(12+22+ 32)一70，．‘．Ir+2y+3z最大值为√而． 例3如啪2∈R且与≯+≮型+竖j翌一1，求T+y+z的最大值、最小值．解：与竽+≮型+半一，，由柯西不等式得 [4z+渺+22]『c孚)2+c警)2+c字，2]≥…孚)惭(害)+z．(字)]2 号25×1≥b+y+z一2)2≥5≥l L r+y+z一2 ≥一5≤z+y+z一2≤5． ．‘．一3≤T+y+z≤7． 故T+y+z之最大值为7，最小值为一3． 评注：这类题型的最大特征就是条件与结论中分别出现了一次式与两次式，而要实现一次与两次不等关系的关键就是根据柯西不等式的形态进行构造，让其中一个数组为常数组，这样问题往往可以奏效． 2整式与分式 2．1两组数组对应的数分别为倒数型 例4(2012福建高考)已知函数厂(T)一m—z一2I，m∈R且，(z+2)≥o的解集为[一1，1]． (1)求m的值； (2)若口，6，c∈R，且丢+去+去一m，求证：n+26+3c≥9． 解：(1)厂(．r+2)一m—f．r}，／(T+2)≥o等价于I T l≤m， 由I T l≤m有解，得m≥O，且其解集为{丁l —m≤z≤m1)， 又，(z+2)≥o的解集为[一1，1]，故m一1． (2)由(1)知丢+去+去一1，又＆，6，c∈R， 由柯西不等式得 Ⅱ+26+3c一(n+26+3c)f丢+去+去)≥F‘去+何‘去+厄’去)2姐 评注：这类题型从结构来讲，两组数组分别是整式类型(口，，n z，n。)与分式类型(署，昙，去)(其中夕，q，，一为常数)，其实属于对勾函数的范畴，运用均值不等式也能完成，但不如柯西不等式简洁、方便．2．2分式中分子的次数高于分母型 例5(2009浙江高考)已知正数T，y，2，z+y 忙1．掘彘+毫+彘≥专． V十Z Z z十Z．r．r十二V0证法1：利用柯西不等式 (惫+矗+南)№他川z+ 2．十r)+(z+2v)]≥(．r+v+z)2．
非线性薛定谔方程的孤子解和怪波解 摘要：光纤中光波的传输模型一直是当前研究的热点理论模型之一，从非线性薛定谔方程到金格堡-朗道方程，都试图对其进行更好的阐释，其次对于非线性动力学系统中，非线性薛定谔方程的解有呈现出非常多有趣的特征，对于其中特定解的研究能够让我们了解脉冲演化的本质，所以本文主要从孤子解的传输入手，并且简单介绍了怪波解的解形式。 薛定谔方程又称薛定谔波动方程，是量子力学的一个基本方程，同时又是量子力学的基本假设之一，由奥地利物理学家薛定谔1926年在《量子化就是本征值问题》中提出的，它在量子力学中的地位非常重要，相当于牛顿定律对于经典力学一样。 随着人们对世界的不断探索，非线性现象逐渐走进人们的视野，这种现象一般大都用非线性偏微分方程的数学模型来描述，显然线性方程已经不能满足人们的需求。 1973年，Hasegawa从含有非线性项的色散方程中推导出了非线性薛定谔方程。非线性薛定谔方程(NLS)是普适性很强的一个基本方程，最简单的形式是： 其中为常数。因为这个方程在几乎所有的物理分支及其他科学领域得到了广泛的应用，如超导，光孤子在光纤中传播，光波导，等离子体中的Langnui波等，所以许多学者对此方程的研究投入了很大的热情，至今还在生机勃勃的向前发展着。 1 分步傅里叶法计算演化过程 对于处理非线性性薛定谔方程，常用的数值仿真方式为分步傅里叶方法，为了简单起见，只考虑二阶色散和自相位调制，不考虑高阶色散、自陡以及四波混频等高阶非线性效应。上述方程中做 2 β为二阶色散，γ表示Kerr效应系数，g和α分别代表光纤中的增益和损耗。对上述方程转化到频域，先不考虑增益和损耗。可以得到 2 k k k k k dA i A i a a dz βγ =?+F. 其中2 2 2 k i β β ?=Ω 令() exp k k A B i z β =?可以得到 () 2exp k k k k dB i a a i z dz γβ =-? F 以上方程可以用四阶龙格库塔直接求解，但是速度较慢，所以我们需要做差分处理。 ()() ()()() 2 exp k k k k k B z z B z i a z a z i z z γβ +?- =-? ? F 再利用() exp k k A B i z β =?可以得到 ()()()() ()()() 2 2 exp exp exp k k k k k k k k A z z A i a z a z z i z a z i a z z i z γβ γβ ?? +?=+??? ?? ?? ?? ≈????? ?? F F 然后做傅里叶反变换就可以得到最终的结果 ()()()() 2 1exp exp - k k k k a z z a z i a z z i z γβ ?? +?=????? ?? F F
低维带参非线性狄拉克方程 本文介绍了如何用由雅可比椭圆函数法演变而来的F展开法处理非线性狄拉克方程。量子场论如今作为描述微观现象的基本物理学理论已经广泛地应用于近代物理的各个分支，并且粒子物理学的发展不断为场论的研究引进新的问题，诸如对称自发破缺场论、复合粒子场论、真空理论和非阿贝尔规范场论等相互联系着的新发展理论。其中通过对Thirring模型的参数化非线性的研究中得到了一维非线性狄拉克方程。利用F-展开法的一般思想，来处理非线性狄拉克方程，然后查询所得到的F函数与雅可比椭圆方程系数之间的关系表，最终解出方程的精确解。通过分析得到的结果，发现Thirring模型下的带参低维非线性狄拉克方程的解具有亮孤子的特点。同时研究表明F-展开法在处理广义非线性狄拉克方程时依旧具有着突出的简洁性和实用性。 关键词：非线性；狄拉克；F-展开法
Abstract In this paper, we will introduce how to use F-expansion which derives from Jacobi elliptic function to deal with low-dimensional nonlinear Dirac equation with parameters. The quantum field theory as a basic physics theory describes the microscopic phenomena has been widely applied in various branches of modern physics and the development of particle physics has been introducing many new subjects. Through the research of parametric nonlinear Thirring model, we can get the one–dimensional nonlinear Dirac equation.by using the F-expansion method, to deal with the nonlinear Dirac equation, and by querying the relationship between the F-function and Jacobi elliptic equation coefficient, we will finally get the exact solution of the equation. Through the analysis of the result obtained, we found the solution with parameter of low dimensional nonlinear Dirac equation under the Thirring model has the characteristics of bright solation. At the same time, studies show that the F- method in the treatment of generalized nonlinear Dirac equation still has outstanding simplicity and practicality. Key word:Nonlinear; Dirac; F-expansion;
一类非线性色散波方程的低正则解 许多实际的非线性问题最终都可归结为非线性系统来描述。最近几年来，物理、力学、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融等领域中诞生了许多非线性偏微分方程，但是由于方程的非线性以及本身的复杂性，使得对这些方程的研究具有很大的挑战性。本文研究了一类有着深刻物理背景的非线性色散偏微分方程，即Fornberg-Whithajn方程和一般DegasperisProeesi方程低正则解的存在性、唯一性及局部适定性。同时，我们在最后通过方程的行波解构造出了周期解，证明此周期解满足方程分布解的条件，由此验证结论。关键字：非线性现象；非线性色散偏微分方程；非线性模型 一、非线性现象历史发展背景利用现代数学手段描述与刻画流体运动现象，是揭示流体运动规律与内在联系，实现代数学以及应用数学的重要内容。非线性偏微分方程是纯粹数学的许多分支和自然科学及工程技术等领域中的非线性问题之间的一座重要的桥梁，它直接联系着众多复杂自然现象和实际问题，其涉及的领域越来越广，研究的问题也越来越深入，不断地提出需要解决的新课题，不断产生解决问题的新方法，不断地促进着许多相关数学分支的发展，并从它们之中引进许多有力的解决问题的工具。正因为非线性偏微分方程反应的自然现象的复杂性，其应用的广泛性和重要性，决定了这个研究领域具有旺盛的生命力。时
至今日，以实际问题为背景的非线性偏微分方程的研究已成为传统应用数学中的一个最主要研究领域，与非线性偏微分方程相关的一系列问题已成为国内外无数学者研究的热点问题。 二、水波的孤立波现象的非线性模型物理中的水波研究一直是一个吸引人的课题，因为这种现象人们很熟悉而且其中蕴含的数学问题也是多种多样。但是一直到20世纪后半叶，水波的研究差不多还是紧紧局限于使用线性理论。线性化理论只适用于处理初始静态的水的表面的小扰动，而不能处理水的表面有较大扰动的情形。例如线性水波理论忽略了诸如波的破碎，孤立波等实际非线性行为所表现的现象。于是诞生了许多描述水波的孤立波现象的非线性模型。 三、非线性科学的迅速发展1984年，英国科学家Soott-Russell在爱丁堡道格拉斯哥的狭长运河中，站在匀速行驶的船头对河中的水波运动进行了考察，并且随后在文中，作了关于水波的报告，在这个报告中，他虽然没有应用纯粹的线性模型来模拟水波，但这却推动了非线性偏微分方程在流体、等离子体、凝聚态、光通讯、量子物理、弹性杆、金融等领域的发展。 非线性科学是继量子力学、相对论后20世纪自然科学的重要发现。物理学大师爱因斯坦曾预言:“由于物理学的基本系统都是非线性的，因此所有的数学物理都必须从头研究”。非线性科学的迅速发展使它成为众多科学的前沿课题之一。
高中数学公式柯西不等 式 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
第一课时二维形式的柯西不等式（一） 2.练习：已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+ ①提出定理1：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+. 证法一：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=….=2()0ad bc -≥ 证法二：（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++ 222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+.（要点：展开→配方） 证法三：（向量法）设向量(,)m a b =，(,)n c d =，则2||m a b =+，2||n c d =+. ∵m n ac bd ?=+，且||||cos ,m n m n m n =<>，则||||||m n m n ≤.∴….. 证法四：（函数法）设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，则 22()()()f x ax c bx d =-+-≥0恒成立. ∴22222[2()]4()()ac bd a b c d ?=-+-++≤0，即….. ③二维形式的柯西不等式的一些变式： 222||c d ac bd +≥+222||||c d ac bd +≥+222c d ac bd +≥+. ④提出定理2：设,αβ是两个向量，则||||||αβαβ≤. 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出） →讨论：上面时候等号成立（ β是零向量，或者,αβ共线） ⑤练习：已知a 、b 、c 、d ≥. 证法：（分析法）平方→应用柯西不等式→讨论：其几何意义（ 构造三角形） 2.教学三角不等式： ① 出示定理3：设1122,,,x y x y R ∈分析其几何意义→如何利用柯西不等式证明 →变式：若112233,,,,,x y x y x y R ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 3.小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点） 第二课时二维形式的柯西不等式（二） 教学过程： 22222()()()a b c d ac bd ++≥+ 3.如何利用二维柯西不等式求函数y =? 要点：利用变式222||ac bd c d ++. 二、讲授新课： 1.教学最大（小）值： ①出示例1：求函数y = 分析：如何变形？→构造柯西不等式的形式→板演 →变式：y ,,,,,)y a b c d e f R +=∈ ②练习：已知321x y +=，求22x y +的最小值.
课题：一般形式的柯西不等式 备课教师：沈良宏 参与教师：郭晓芳、龙新荣 审定教师：刘德清 1、教学重点：柯西不等式的一般形式、变形以及它与一些基本不等式的关系，柯西不等式的使用方法． 2、教学难点：在具体问题中怎样使用柯西不等式． 3、学生必须掌握的内容： 1．三维形式的柯西不等式 设a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3是实数，则(a 21＋a 22＋a 23)(b 21＋b 22＋b 23)≥(a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3)2，当 且仅当b i ＝0(i ＝1，2，3)或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1，2，3)时，等号成立． 2．一般形式的柯西不等式 设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋ b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2， 当且仅当b i ＝0(i ＝1，2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1，2，…，n )时，等号成立． 注意： 1．对柯西不等式一般形式的说明： 一般形式的柯西不等式是二维形式 、三维形式、四维形式的柯西不等式的归纳与推广，其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结，左边是平方和的积，右边是积的和的平方．运用时的关键是构造出符合柯西不等式的结构形式． 2．关于柯西不等式的证明： 对于函数f (x )＝(a 1x －b 1)2＋(a 2x －b 2)2 ＋…＋(a n x －b n )2，显然f (x )≥0时x ∈R 恒成立， 即f (x )＝(a 21＋a 22＋…＋a 2n )x 2－2(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )x ＋(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥0对x ∈R 恒 成立， ∴Δ＝ 4(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2－4(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≤0， 除以4得(a 21＋a 22＋…＋a 2n )·(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥ (a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2. 3．一般形式柯西不等式成立的条件： 由柯西不等式的证明过程可知Δ＝0?f (x )min ＝0?a 1x －b 1＝a 2x －b 2＝…＝a n x －b n ＝0? b 1＝b 2＝…＝b n ＝0，或a 1b 1＝a 2b 2＝…＝a n b n . 4．柯西不等式的几种常见变形： (1)设a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝b 21＋b 22＋…＋b 2n ＝1，则－1≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≤1； (2)设a i ∈R(i ＝1，2，3，…，n )，则a 1＋a 2＋…＋a n n ≤ a 21＋a 22＋…＋a 2n n ； (3)设a i ∈R ，b i >0(i ＝1，2，3，…，n )，则a 21b 1＋a 22b 2＋…＋a 2n b n ≥（a 1＋a 2＋…＋a n ）2b 1＋b 2＋…＋b n ； (4)设a i b i >0(i ＝1，2，3，…，n )，则a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≥（a 1＋a 2＋…＋a n ）2a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n . 4、容易出现的问题：对柯西不等式中，各个式子取等号的条件容易忽略且把握不准，对柯西不等式的灵活应用存在对应之间的易混淆之处. 5、解决方法： 针对柯西不等式的特点，结合学生的课堂反应，课堂多注重基础，多找出有代表性的典例适时强化学生理解记忆，及时纠正学生的易错之处.
课题：一般形式的柯西不等式 主备教师：沈良宏 参与教师：郭晓芳、龙新荣、刘世杰、刘德清 审定教师：刘德清 1、教学重点：柯西不等式的一般形式、变形以及它与一些基本不等式的关系，柯西不等式的使用方法． 2、教学难点：在具体问题中怎样使用柯西不等式． 3、学生必须掌握的内容： 1．三维形式的柯西不等式 设a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3是实数，则(a 21＋a 22＋a 23)(b 21＋b 22＋b 23)≥(a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3)2，当 且仅当b i ＝0(i ＝1，2，3)或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1，2，3)时，等号成立． 2．一般形式的柯西不等式 设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋ b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2， 当且仅当b i ＝0(i ＝1，2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1，2，…，n )时，等号成立． 注意： 1．对柯西不等式一般形式的说明： 一般形式的柯西不等式是二维形式 、三维形式、四维形式的柯西不等式的归纳与推广，其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结，左边是平方和的积，右边是积的和的平方．运用时的关键是构造出符合柯西不等式的结构形式． 2．关于柯西不等式的证明： 对于函数f (x )＝(a 1x －b 1)2＋(a 2x －b 2)2 ＋…＋(a n x －b n )2，显然f (x )≥0时x ∈R 恒成立， 即f (x )＝(a 21＋a 22＋…＋a 2n )x 2－2(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )x ＋(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥0对x ∈R 恒 成立， ∴Δ＝ 4(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2－4(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≤0， 除以4得(a 21＋a 22＋…＋a 2n )·(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥ (a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2. 3．一般形式柯西不等式成立的条件： 由柯西不等式的证明过程可知Δ＝0?f (x )min ＝0?a 1x －b 1＝a 2x －b 2＝…＝a n x －b n ＝0? b 1＝b 2＝…＝b n ＝0，或a 1b 1＝a 2b 2＝…＝a n b n . 4．柯西不等式的几种常见变形： (1)设a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝b 21＋b 22＋…＋b 2n ＝1，则－1≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≤1； (2)设a i ∈R(i ＝1，2，3，…，n )，则a 1＋a 2＋…＋a n n ≤ a 21＋a 22＋…＋a 2n n ； (3)设a i ∈R ，b i >0(i ＝1，2，3，…，n )，则a 21b 1＋a 22b 2＋…＋a 2n b n ≥（a 1＋a 2＋…＋a n ）2b 1＋b 2＋…＋b n ； (4)设a i b i >0(i ＝1，2，3，…，n )，则a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≥（a 1＋a 2＋…＋a n ）2a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n .
教学要求：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义， 并会证明二维柯西不等式及向量形式. 教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式. 教学难点：理解几何意义. 教学过程： 一、复习准备： 1. 提问： 二元均值不等式有哪几种形式？ 答案： (0,0)2 a b a b +≥ >>及几种变式. 2. 练习：已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+ 证法：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=….=2()0ad bc -≥ 二、讲授新课： 1. 教学柯西不等式： ① 提出定理1：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+. → 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？ ② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？ 证法二：（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++ 222 ()()( )a c b d a d b c a c b d =++- ≥+. （要点：展开→配方） 证法三：（向量法）设向量(,)m a b = ，(,)n c d = ，则||m = ，||n = ∵ m n ac bd ?=+ ，且||||cos ,m n m n m n =<> ，则||||||m n m n ≤ . ∴ ….. 证法四：（函数法）设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，则 2 2 ()()()f x ax c bx d =-+-≥0恒成立. ∴ 22222[2()]4()()ac bd a b c d ?=-+-++≤0，即….. ③ 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？ ||ac bd ≥+ 或 ||||ac bd ≥+ ac bd +. ④ 提出定理2：设,αβ是两个向量，则||||||αβαβ≤ . 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ） → 讨论：上面时候等号成立？（β 是零向量，或者,αβ 共线） ⑤ 练习：已知a 、b 、c 、d . 证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形） 2. 教学三角不等式： ① 出示定理3：设1122,,,x y x y R ∈≥ 分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明 → 变式：若112233,,,,,x y x y x y R ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 3. 小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点） 三、巩固练习： 1. 练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式 2. 作业：教材P 37 4、5题.