第五节合情推理与演绎推理
[知识能否忆起]
一、合情推理
二、演绎推理
1．定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．
2．特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．
3．模式：三段论．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无
限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( )
A ．使用了归纳推理
B ．使用了类比推理
C ．使用了“三段论”，但推理形式错误
D ．使用了“三段论”，但小前提错误
解析：选C 由条件知使用了三段论，但推理形式是错误的． 2．数列2,5,11,20，x,47，…中的x 等于( ) A ．28 B ．32 C ．33
D ．27
解析：选B 由5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9. 则x －20＝12，因此x ＝32.
3．(教材习题改编)给出下列三个类比结论． ①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n
；
②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a ＋b )2
＝a 2
＋2ab ＋b 2
与(a ＋b )2
类比，则有(a ＋b )2
＝a 2
＋2a ·b ＋b 2
. 其中结论正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
解析：选B 只有③正确．
4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．
解析：V 1V 2＝13S 1h 1
13S 2h 2＝? ????S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18
.
答案：1∶8
5．(2012·陕西高考)观察下列不等式 1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74 ……
照此规律，第五个不等式为___________________________________________________． 解析：观察得出规律，左边为项数个连续自然数平方的倒数和，右边为项数的2倍减1
的差除以项数，即1＋122＋132＋142＋152＋…＋1n 2<2n －1n
(n ∈N *
，n ≥2)，
所以第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<11
6.
答案：1＋122＋132＋142＋152＋162<11
6
1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理，合情推理具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用．合情推理的结论可能为真，也可能为假，结论的正确性有待于进一步的证明．
2．应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提、小前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的．如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的．
典题导入
[例1] (2012·河南调研)已知函数f (x )＝
x
x ＋2
(x ＞0)．如下定义一列函数：f 1(x )＝
f (x )，f 2(x )＝f (f 1(x ))，f 3(x )＝f (f 2(x ))，…，f n (x )＝f (f n －1(x ))，…，n ∈N *，那么由归
纳推理可得函数f n (x )的解析式是f n (x )＝________.
[自主解答] 依题意得，f 1(x )＝
x
x ＋2
，
f 2(x )＝
x
x ＋2x x ＋2
＋2
＝x 3x ＋4＝x
22－1x ＋2
2， f 3(x )＝x 3x ＋4x 3x ＋4
＋2＝x 7x ＋8＝x 23－1x ＋23，…，由此归纳可得f n (x )＝x
2n －1x ＋2
n
(x ＞0)．
[答案]
x
2n
－1x ＋2n
(x ＞0)
由题悟法
1．归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围．
2．归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的． [注意] 归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学结论和科学的发现很有用．
以题试法
1．(2012·枣庄模拟)将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为( )
13 5 7
9 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31
… … …
A ．809
B ．852
C ．786
D ．893
解析：选A 前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202
＝400个，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.
典题导入
[例2] 在平面几何里，有“若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c 内切圆半径为r ，则三角形面积为S △ABC ＝1
2(a ＋b ＋c )r ”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体 ABCD 的四个
面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，则四面体的体积为________________”．
[自主解答] 三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径．二维图形中12类比为三维图形中的1
3，得V
四面体ABCD
＝1
3
(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r .
[答案] V 四面体ABCD ＝1
3(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r
由题悟法
1．类比推理是由特殊到特殊的推理，命题有其特点和求解规律，可以从以下几个方面考虑类比：类比定义、类比性质、类比方法、类比结构．
2．类比推理的一般步骤：
(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；
(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．
以题试法
2．若{a n }是等差数列，m 、n 、p 是互不相等的正整数，则有：(m －n )a p ＋(n －p )a m ＋(p －m )a n ＝0，类比上述性质，相应地，对等比数列{b n }，有__________________．
解析：设{b n }的首项为b 1，公比为q ，则b m －n p ·b n －p m ·b p －m
n ＝(b 1q
p －1)m －n
·(b 1q
m －1)n －p
·(b 1q
n －1)p －m
＝b 0
1·q 0
＝1.
答案：b m －n
p ·b n －p
m ·b p －m
n ＝1
典题导入
[例3] 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝
n ＋2
n
S n (n ∈N *)．证明： (1)数列????
??
S n n 是等比数列；
(2)S n ＋1＝4a n .
[自主解答] (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝
n ＋2
n
S n ， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 故
S n ＋1n ＋1＝2·S n
n
，(小前提) 故??????
S n n 是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论) (大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知
S n ＋1n ＋1＝4·S n －1
n －1
(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·
S n －1n －1＝4·n －1＋2
n －1
·S n －1＝4a n (n ≥2)．(小前提) 又∵a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)
由题悟法
演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当
首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略．
以题试法
3.如图所示，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 上的点，∠BFD ＝∠A ，
且DE ∥BA .求证：ED ＝AF (要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论，并最终把推理过程用简略的形式表示出来)．
证明：(1)同位角相等，两条直线平行，(大前提) ∠BFD 与∠A 是同位角，且∠BFD ＝∠A ，(小前提) 所以DF ∥EA .(结论)
(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)
DE ∥BA 且DF ∥EA ，(小前提)
所以四边形AFDE 为平行四边形．(结论) (3)平行四边形的对边相等，(大前提)
ED 和AF 为平行四边形的对边，(小前提)
所以ED ＝AF .(结论) 上面的证明可简略地写成：
?
???
?∠BFD ＝∠A ?DF ∥EA DE ∥BA ?四边形AFDE 是平行四边形?ED ＝AF .
1．推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形”中的小前提是( )
A ．①
B ．②
C ．③
D ．①和②
解析：选B 由演绎推理三段论可知，①是大前提；②是小前提；③是结论．故选B. 2．(2012·合肥模拟)正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2
＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2
＋1)是奇函数，以上推理( )
A ．结论正确
B ．大前提不正确
C ．小前提不正确
D ．全不正确
解析：选C 因为f (x )＝sin(x 2
＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确.
3．(2012·泰兴模拟)在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外
接圆面积为S 2，则S 1S 2＝1
4
，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P －ABC 的内切球体
积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2
＝( )
A.1
8 B.19 C.1
64
D.127
解析：选D 正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故V 1V 2＝1
27
.
4．(2012·德州模拟)给出下面类比推理(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)： ①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0?a ＝b ”类比推出“a ，c ∈C ，则a －c ＝0?a ＝c ”； ②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ?a ＝c ，b ＝d ”类比推出“a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2?a ＝c ，b ＝d ”；
③“a ，b ∈R ，则a －b ＞0?a ＞b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＞0?a ＞b ”； ④“若x ∈R ，则|x |＜1?－1＜x ＜1”类比推出“若z ∈C ，则|z |＜1?－1＜z ＜1”． 其中类比结论正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
解析：选B 类比结论正确的有①②.
5．观察如图所示的正方形图案，每条边(包括两个端点)有n (n ≥2，n ∈N *
)个圆点，第
n 个图案中圆点的总数是S n .按此规律推断出S n 与n 的关系式为( )
A ．S n ＝2n
B ．S n ＝4n
C ．S n ＝2n
D ．S n ＝4n －4
解析：选D 由n ＝2，n ＝3，n ＝4的图案，推断第n 个图案是这样构成的：各个圆点排成正方形的四条边，每条边上有n 个圆点，则圆点的个数为S n ＝4n －4.
6．(2012·武汉市适应性训练)下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( ) A ．设数列{a n }的前n 项和为S n .由a n ＝2n －1，求出S 1＝12
，S 2＝22
，S 3＝32
，…，推断：
S n ＝n 2
B ．由f (x )＝x cos x 满足f (－x )＝－f (x )对? x ∈R 都成立，推断：f (x )＝x cos x 为奇函数
C ．由圆x 2
＋y 2
＝r 2
的面积S ＝πr 2
，推断：椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的面积S ＝πab
D ．由(1＋1)2＞21，(2＋1)2＞22，(3＋1)2＞23，…，推断：对一切n ∈N *，(n ＋1)2＞2n
解析：选A 选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n }是等差数列，其前n 项和等于S n ＝n 1＋2n －12
＝n 2
，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确．因
此选A.
7．(2013·杭州模拟)设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝3
2
，f (4)>2，
f (8)>5
2
，f (16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．
解析：由前四个式子可得，第n 个不等式的左边应当为f (2n
)，右边应当为n ＋2
2
，即可
得一般的结论为f (2n
)≥
n ＋2
2
.
答案：f (2n
)≥
n ＋2
2
8．(2011·陕西高考)观察下列等式
1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
……
照此规律，第n 个等式为________．
解析：每行最左侧数分别为1、2、3、…，所以第n 行最左侧的数为n ；每行数的个数分别为1、3、5、…，则第n 行的个数为2n －1.所以第n 行数依次是n 、n ＋1、n ＋2、…、3n －2.其和为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2
.
答案：n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2
9．(2012·杭州模拟)在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c 2
＝a 2
＋b 2
.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O －LMN ，如果用S 1，
S 2，S 3表示三个侧面面积，S 4表示截面面积，那么类比得到的结论是________．
解析：将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可
得S 21＋S 22＋S 23＝S 2
4.
答案：S 2
1＋S 2
2＋S 2
3＝S 2
4
10．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S ＝1
2×底×高；(3)三角形的中位线平行于第
三边且等于第三边的1
2
；……
请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论． 解：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为： (1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积； (2)四面体的体积V ＝1
3
×底面积×高；
(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的1
4
.
11．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5.
(1)求a 18的值；
(2)求该数列的前n 项和S n .
解：(1)由等和数列的定义，数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，易知a 2n －1＝2，
a 2n ＝3(n ＝1,2…)，故a 18＝3.
(2)当n 为偶数时，
S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 3＋…＋a n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a n )
＝2＋2＋…＋22个2＋3＋3＋…＋32个3＝52n ；
当n 为奇数时，
S n ＝S n －1＋a n ＝52(n －1)＋2＝52n －12
.
综上所述：S n
＝?????
5
2n ，n 为偶数，
52n －1
2，n 为奇数.
12．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．
(1)求出f (5)的值；
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；
(3)求
1
f 1＋1
f 2－1＋1
f 3－1＋…＋1
f n －1
的值． 解：(1)f (5)＝41.
(2)因为f (2)－f (1)＝4＝4×1，
f (3)－f (2)＝8＝4×2， f (4)－f (3)＝12＝4×3， f (5)－f (4)＝16＝4×4，
…
由上式规律，所以得出f (n ＋1)－f (n )＝4n . 因为f (n ＋1)－f (n )＝4n ， 所以f (n ＋1)＝f (n )＋4n ，
f (n )＝f (n －1)＋4(n －1)
＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)
＝f (n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3) ＝…
＝f (1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4 ＝2n 2
－2n ＋1. (3)当n ≥2时，
1
f n －1＝12n n －1＝12(1n －1－1
n )， ∴
1
f 1＋1
f 2－1＋1
f 3－1＋…＋1
f n －1
＝1＋12? ????1－12＋12－13＋13－1
4＋…＋1n －1－1n ＝1＋12? ????
1－1n
＝32－12n
.
1．(2012·江西高考)观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5
＋b 5
＝11，…，则a 10
＋b 10
＝( )
A ．28
B ．76
C ．123
D ．199
解析：选C 记a n
＋b n
＝f (n )，则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4；f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7；f (5)＝f (3)＋f (4)＝11.通过观察不难发现f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N *
，n ≥3)，则f (6)＝f (4)＋f (5)＝18；f (7)＝f (5)＋f (6)＝29；f (8)＝f (6)＋f (7)＝47；f (9)＝f (7)＋f (8)＝76；f (10)＝f (8)＋f (9)＝123.所以a 10
＋b 10
＝123.
2．对于命题：若O 是线段AB 上一点，则有|OB |·OA ＋|OA |·OB
＝0.
将它类比到平面的情形是：
若O 是△ABC 内一点，则有S △OBC ·OA ＋S △OCA ·OB ＋S △OBA ·OC
＝0，将它类比到空间
情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有________．
解析：将平面中的相关结论类比到空间，通常是将平面中的图形的面积类比为空间中的
几何体的体积，因此依题意可知若O 为四面体ABCD 内一点，则有V O －BCD ·OA ＋V O －ACD ·OB
＋V O －ABD ·OC ＋V O －ABC ·OD
＝0.
答案：V O －BCD ·OA ＋V O －ACD ·OB ＋V O －ABD ·OC ＋V O －ABC ·OD
＝0
3．(2012·福建高考)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
(1)sin 2
13°＋cos 2
17°－sin 13°cos 17°； (2)sin 2
15°＋cos 2
15°－sin 15°cos 15°； (3)sin 2
18°＋cos 2
12°－sin 18°cos 12°； (4)sin 2
(－18°)＋cos 2
48°－sin(－18°)cos 48°； (5)sin 2
(－25°)＋cos 2
55°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解：(1)选择(2)式，计算如下：
sin 215°＋cos 2
15°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°
＝1－14＝34
.
(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2
(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34.
证明如下：
法一：sin 2
α＋cos 2
(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2
－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)
＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2
α
＝34sin 2α＋34cos 2
α ＝34
. 法二：sin 2
α＋cos 2
(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝
1－cos 2α2＋1＋cos 60°－2α2
－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°si n 2α)－32sin αcos α－12sin 2
α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－1
4(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34
.
1．(2012·江西高考)观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( )
A ．76
B ．80
C ．86
D ．92
解析：选B 由特殊到一般，先分别计算|x |＋|y |的值为1,2,3时，对应的(x ，y )的不同整数解的个数，再猜想|x |＋|y |＝n 时，对应的不同整数解的个数．通过观察可以发现|x |＋|y |的值为1,2,3时，对应的(x ，y )的不同整数解的个数为4,8,12，可推出当|x |＋|y |＝
n 时，对应的不同整数解(x ，y )的个数为4n ，所以|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个
数为80.
2．(2012·豫东、豫北名校测试)已知如下等式： 3－4＝17(32－42
)，
32－3×4＋42
＝17(33＋43)，
33－32×4＋3×42－43
＝17
(34－44)，
34－33×4＋32×42－3×43＋44
＝17(35＋45)，
则由上述等式可归纳得到3n
－3
n －1
×4＋3
n －2
×42－…＋(－1)n 4n ＝________(n ∈N *
)．
解析：依题意及不完全归纳法得，3n
－3
n －1
×4＋3
n －2
×42－…＋(－1)n 4n ＝17
[3n ＋1－(－4)
n
＋1
]．
答案：17
[3n ＋1－(－4)n ＋1
]
2019高考数学一轮复习重点攻略 一、高三数学复习，大体可分四个阶段，每一个阶段的复习方法与侧重点都各不相同，要求也层层加深，因此，同学们在每一个阶段都应该有不同的复习方案，采用不同的方法和策略。 1.第一阶段，即第一轮复习，也称知识篇，大致就是高三第一学期。在这一阶段，老师将带领同学们重温高一、高二所学课程，但这绝不只是以前所学知识的简单重复，而是站在更高的角度，对旧知识产生全新认识的重要过程。因为在高一、高二时，老师是以知识点为主线索，依次传授讲解的，由于后面的相关知识还没有学到，不能进行纵向联系，所以，你学的往往时零碎的、散乱的知识点，而在第一轮复习时，老师的主线索是知识的纵向联系与横向联系，以章节为单位，将那些零碎的、散乱的知识点串联起来，并将他们系统化、综合化，侧重点在于各个知识点之间的融会贯通。所以大家在复习过程中应做到：①立足课本，迅速激活已学过的各个知识点。(建议大家在高三前的一个暑假里通读高一、高二教材)②注意所做题目使用知识点覆盖范围的变化，有意识地思考、研究这些知识点在课本中所处的地位和相互之间的联系。注意到老师选题的综合性在不断地加强。③明了课本从前到后的知识结构，将整个知识体系框架化、网络化。能提炼解题所用知识点，并说出其出处。④经常将使用最多的知识点总结起来，研究重点知识所在章节，并了解各章节在课本中的地位和作用。 2.第二轮复习，通常称为方法篇。大约从第二学期开学到四月中旬结束。在这一阶段，老师将以方法、技巧为主线，主要研究数学思想方
法。老师的复习，不再重视知识结构的先后次序，而是以提高同学们解决问题、分析问题的能力为目的，提出、分析、解决问题的思路用配方法、待定系数法、换元法、数形结合、分类讨论等方法解决一类问题、一系列问题。同学们应做到：①主动将有关知识进行必要的拆分、加工重组。找出某个知识点会在一系列题目中出现，某种方法可以解决一类问题。②分析题目时，由原来的注重知识点，渐渐地向探寻解题的思路、方法转变。③从现在开始，解题一定要非常规范，俗语说：不怕难题不得分，就怕每题都扣分，所以大家务必将解题过程写得层次分明，结构完整。④适当选做各地模拟试卷和以往高考题，逐渐弄清高考考查的范围和重点。 3.第三轮复习，大约一个月的时间，也称为策略篇。老师主要讲述选择题的解发、填空题的解法、应用题的解法、探究性命题的解法、综合题的解法、创新性题的解法，教给同学们一些解题的特殊方法，特殊技巧，以提高同学们的解题速度和应对策略为目的。同学们应做到：①解题时，会从多种方法中选择最省时、最省事的方法，力求多方位，多角度的思考问题，逐渐适应高考对减缩思维的要求。②注意自己的解题速度，审题要慢，思维要全，下笔要准，答题要快。③养成在解题过程中分析命题者的意图的习惯，思考命题者是怎样将考查的知识点有机的结合起来的，有那些思想方法被复合在其中，对命题者想要考我什么，我应该会什么，做到心知肚明。 4.最后，就是冲刺阶段，也称为备考篇。在这一阶段，老师会将复习的主动权交给你自己。以前，学习的重点、难点、方法、思路都是以
空间图形的计算与证明 一、近几年高考试卷部分立几试题 1、（全国 8）正六棱柱 ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1， 侧棱长为 2 ，则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是 （ ） A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质，以及异面直线所成角的求法。 2、（全国 18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1，而且 平面 ABCD 、ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF C 上移动，若 CM=NB=a(0 的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD。 （1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°， 求这个四棱锥的体积； （2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念，以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、（02全国文22）（一）给出两块面积相同的正三角形纸片，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，请设计一种剪拼法，分别用虚线标示在图（1）（2）中，并作简要说明。 (3) (1)(2) （二）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。（三）如果给出的是一块任意三角形的纸片，如图（3）要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标出在图3中，并作简要说明。 上海乌托邦教育 2014年上海市高考数学试卷（理科） 一、填空题（共14题，满分56分） 1．（4分）（2014?上海）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是_________． 2．（4分）（2014?上海）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）?=_________． 3．（4分）（2014?上海）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 _________． 4．（4分）（2014?上海）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为_________．5．（4分）（2014?上海）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为_________． 6．（4分）（2014?上海）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为_________（结果用反三角函数值表示）． 7．（4分）（2014?上海）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是 _________． 8．（4分）（2014?上海）设无穷等比数列{a n}的公比为q，若a1=（a3+a4+…a n），则q=_________．9．（4分）（2014?上海）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是_________． 10．（4分）（2014?上海）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是_________（结果用最简分数表示）． 11．（4分）（2014?上海）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=_________． 12．（4分）（2014?上海）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3= _________． 13．（4分）（2014?上海）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为_________． 14．（4分）（2014?上海）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上 的Q使得+=，则m的取值范围为_________． 二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分 第一章 集合与简易逻辑 第1课时 集合的概念及运算 【考点导读】 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用． 2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义． 3. 理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给定集合中一个子集补集的含义，会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用． 4. 集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等式要复杂一些，综合性较强，往往渗透数形思想和分类讨论思想． 【基础练习】 1. 集 合 {(, )0 2,02,,} x y x y x y Z ≤≤≤<∈用列举法表示{ ( , ) , ( 0,． 2.设集合{21,}A x x k k Z ==-∈，{2,}B x x k k Z ==∈，则A B ?=?． 3.已知集合{0,1,2}M =，{2,}N x x a a M ==∈，则集合M N ?=_______． 4.设全集{1,3,5,7,9}I =，集合{1,5,9}A a =-，{5,7}I C A =，则实数a 的值为____8 或2___． 【范例解析】 例.已知R 为实数集，集合2{320}A x x x =-+≤.若R B C A R ?=， {01R B C A x x ?=<<或23}x <<，求集合B . 分析：先化简集合A ，由R B C A R ?=可以得出A 与B 的关系；最后，由数形结合，利用数轴直观地解决问题. 解：（1） {12}A x x =≤≤，{1R C A x x ∴=<或2}x >.又R B C A R ?=， R A C A R ?=， 可得A B ?. {0,2} 高考数学基础知识、常见结论详解 一、集合与简易逻辑 一、理解集合中的有关概念 （1）集合中元素的特征： 确定性 ， 互异性 ， 无序性 。 集合元素的互异性：如：)}lg(,,{xy xy x A =，}|,|,0{y x B ，求A ； （2）集合与元素的关系用符号∈，?表示。 （3）常用数集的符号表示：自然数集 ；正整数集 、 ；整数集 ；有 理数集 、实数集 。 （4）集合的表示法： 列举法 ， 描述法 ， 韦恩图 。 注意：区分集合中元素的形式：如： } 12|{2++==x x y x A ；}12|{2++==x x y y B ；}12|),{(2++==x x y y x C ； }12|{2++==x x x x D ；},,12|),{(2Z y Z x x x y y x E ∈∈++==； }12|)',{(2++==x x y y x F ；},12|{2x y z x x y z G =++== （5）空集是指不含任何元素的集合。（}0{、φ和}{φ的区别；0与三者间的关系） 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 注意：条件为B A ?，在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。 如：}012|{2 =--=x ax x A ，如果φ=+ R A I ，求a 的取值。 二、集合间的关系及其运算 （1）符号“?∈,”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ； 符号“??,”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。 （2）_}__________{_________ =B A I ；____}__________{_________=B A Y ； _}__________{_________=A C U （3）对于任意集合B A ,，则： ①A B B A Y Y ___；A B B A I I ___；B A B A Y I ___； 高考数学大题 1．（12分）已知向量a =（sin θ，cos θ-2sin θ），b =（1，2） （1）若a ⊥b ，求tan θ的值； （2）若a ∥b ，且θ为第Ⅲ象限角，求sin θ和cos θ的值。 2．(12分)在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，且AC=BC=BD=2AE ，M 是AB 的中点. (I)求证：CM ⊥EM： (Ⅱ)求DE 与平面EMC 所成角的正切值. 3．（13分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高 下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加 两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的 有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响. (Ⅰ)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率； (Ⅱ)任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培训的概率. 4．（12分） 在△ABC 中，∠A ．∠B ．∠C 所对的边分别为a ．b ．c 。 若B A cos cos =a b 且sinC=cosA （1）求角A ．B ．C 的大小； （2）设函数f(x)=sin （2x+A ）+cos （2x- 2C ）,求函数f(x)的单调递增区间，并指出它相邻两对称轴间的距离。 5．（13分）已知函数f(x)=x+x a 的定义域为（0，+∞）且f(2)=2+22，设点P 是函数图象上的任意一点，过点P 分别作直线y=x 和y 轴的垂线，垂足分别为M ，N. （1）求a 的值； （2）问：|PM|·|PN|是否为定值？若是，则求出该定值， 若不是，则说明理由： （3）设O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值。 6．（13分）设函数f(x)=p(x-x 1)-2lnx,g(x)=x e 2(p 是实数，e 为自然对数的底数) （1）若f(x)在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围； （2）若直线l 与函数f(x),g(x)的图象都相切，且与函数f(x)的图象相切于点（1，0），求p 的值； （3）若在[1，e]上至少存在一点x 0，使得f(x 0)＞g(x 0)成立，求p 的取值范围. 2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ 参考公式： 圆柱的侧面积公式：cl S =圆柱侧，其中c 是圆柱底面的周长，l 为母线长. 圆柱的体积公式：Sh V =圆柱, 其中S 是圆柱的底面积,h 为高. 一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 已知集合A ={4,3,1,2--}，}3,2,1{-=B ，则=B A ▲ . 2. 已知复数2)i 25(+=z (i 为虚数单位),则z 的实部为 ▲ . 3. 右图是一个算法流程图,则输出的n 的值是 ▲ . 4. 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2 个数的乘积为6的概率是 ▲ . 5. 已知函数x y cos =与)2sin(?+=x y (0≤π?<),它 们的图象有一个横坐标为 3 π 的交点,则?的值是 ▲ . 6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率 分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有 ▲ 株树木的底部周长小于100cm. 开始 0←n 1+←n n 202>n 输出n 结束 （第3题） N Y 组距 频率 100 80 90 110 120 130 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 底部周长/cm （第6题） 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。本卷满分为160分。考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4．作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 高考数学常用知识点 一．集合函数 1.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 2. U U A B A A B B A B C B C A =?=????U A C B ?=Φ U C A B R ?=. 3.若集合A 中有n )(N n ∈个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n 2，所有非空真子集的个数是22-n 。 4. 二次函数c bx ax y ++=2 的图象的对称轴方程是a b x 2- =，顶点坐标是??? ? ??--a b ac a b 4422，。 二次函数的解析式的三种形式 ①一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; ② 顶 点 式 2()()(0) f x a x h k a =-+≠;③两点式 12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 5.设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么 []1212()()()0x x f x f x -->?[]1212()() 0(),f x f x f x a b x x ->?-在上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --'x f ，则)(x f 为增函数；如果 0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. 6.函数()y f x =的图象的对称性:①函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ?+=-(2)()f a x f x ?-=.②若函数()y f p =的图象与函数 ()z f q =对称则其对称轴为x=2 p q + 7.两个函数图象的对称性:①函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.②函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直 线2a b x m +=对称.③函数)(x f y =和)(1 x f y -=的图象关于直线y=x 对称. 8.分数指数幂 m n a =（0,,a m n N * >∈，且1n >）. 1m n m n a a -=（0,,a m n N * >∈，且1n >）. 9. log (0,1,0)b a N b a N a a N =?=>≠>.2014年上海市高考数学试卷(理科)
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