经济数学基础之线性代数 第1章 行列式
第一单元 行列式的定义
一、学习目标
通过本节课学习，理解行列式的递归定义，掌握代数余子式的计算，知道任何一个行列式就是代表一个数值，是可以经过特定的运算得到其结果的．
二、内容讲解
行列式 行列式的概念
什么叫做行列式呢？譬如，有4个数排列成一个行方块，在左右两边加竖线。
即215
3
-
有几个概念要清楚，即
上式中，横向称行，共有两行；竖向称列，共有两列； 一般用
ij
a 表示第i 行第j 列的元素，如上例中的元素311=a ，
512=a ，121-=a ，222=a ．
再看一个算式
754
2
3
011--称为三阶行列式，其中第三行为5，-7，0；第二列为
–1，2，-7；元素423=a ，5
31=a
又如
1
3
2140301
1320---，是一个四阶行列式．
而11a
经济数学基础之线性代数 第1章 行列式
()074
21111
111--
=-=+M A
代数余子式就是在余子式前适当加正负号，正负号的规律是-1的指数是该元素的行数加列数．
()
43011322
332-
=-=+M A
问题思考：元素ij
a 的代数余子式ij
A 是如何定义的？ 代数余子式
ij
A 由符号因
子j i +-)1(与元素ij a 的余子式ij M 构成，即()ij
j
i ij
M A +-=1
三、例题讲解
例题1：计算三阶行列式5
4
2
303
241---=D
分析：按照行列式的递归定义，将行列式的第一行展开，使它成为几个二阶行列式之和， 二阶行列式可以利用对角相乘法，计算出结果．
解：
()
()()
5
2
33145
4
30112
11
1---?-+--?=++D ()
4
20
3123
1--?++
72
12294121=?+?+?=
四、课堂练习
计算行列式 h
g
f e d c b a D 0
0000004=
利用n 阶行列式的定义选择答案．
经济数学基础之线性代数 第1章 行列式
五、课后作业
1.求下列行列式的第二行第三列元素的代数余子式23A
（1）
2
10
8
340
21-- （2）
34
5
1220
10141
321
---
2．计算下列行列式
（1）
6
22
1
4
1531-- （2）
6
1
2053
1
24200101
---
3．设0
0015413010212014=
D
（1）由定义计算4D ；
（2）计算2424232322222121A a A a A a A a +++，即按第二行展开； （3）计算3434333332323131A a A a A a A a +++，即按第三行展开； （4）按第四行展开．
经济数学基础之线性代数第1章行列式
第二单元行列式的性质
一、学习目标
通过本节课的学习，掌握行列式的性质，并会利用这些性质计算行列式的值．
二、内容讲解
行列式的性质
比较容易了．
行列式的性质有七条，下面讲一讲几条常用的性质．在讲这些性质前，先给出一个概念：
把行列式D中的行与列按原顺序互换以后得到的行列式，称为D的转置行列式，记为T
D．
如
9
8
7
6
5
4
3
2
1
=
D
,
9
6
3
8
5
2
7
4
1
T=
D
1．行列式的行、列交换，其值不变．如
2
6
4
5
3
6
5
4
3
-
=
=
这条性质说明行列式中，行与列的地位是一样的．
经济数学基础之线性代数 第1章 行列式
2．行列式的两行交换，其值变号．如2
43656
54
3-=-
=
3．若行列式的某一行有公因子，则可提出．如
d
c b a d
c b a
333=
注意：一个行列式与一个数相乘，等于该数与行列式的某行（列）的元素相乘． 4．行列式对行的倍加运算，其值不变．如倍加运算就是把一行的常数倍加到
另一行上
2113
-- 5
51
3-=
注意：符号“ +2 ”放在等号上面，表示行变换，放在等号下面表示列变换． 问题1：将n 阶行列式的最后一行轮换到第一行， 这两个行列式的值有什么关式
n
C ，那么这两个行列式的值的关系为： n C =n n
D 1)1(--
问题2：如果行列式有两行或两行以上的行都有公因子，那么按性质3应如何三、例题讲解
例1计算行列式
d
c b a 6750
8
1
004000--.
分析：利用性质6，行列式可以按任一行（列）展开．本题按第一行逐步展开，计算出结果．
解：
d
c b a 6750
8
1
004000--=
d
c b a 670
8
00-=
d
c ab
60
=abcd
+2
经济数学基础之线性代数第1章行列式我们将行列式中由左上角至右下角的对角线，称为主对角线．如例1中，行列式在主对角线以上的元素全为零，则称为下三角行列式．由例1的计算过程，可得这样规律：下三角行列式就等于主对角线元素的积．同理，主对角线以下元素全为零的行列式，则称为上三角行列式，且上三角行列式也等于主对角线元素之积．今后，上、下三角行列式统称为三角行列式．
例2计算行列式
4
9
7
7
8
6
4
2
6
7
9
8
4
3
2
1
--
-
-
分析：原行列式中第三行的元素是第一行的2倍，因此，利用行列式的倍加运算（性质5），使第三行的元素都变为0，得到行列式的值．
解：
4
9
7
7
8
6
4
2
6
7
9
8
4
3
2
1
-
-
-
-
4
9
7
7
6
7
9
8
4
3
2
1
-
-
-
-
= 0
例3计算行列式
2
2
1
1
1
3
2
1
1
3
4
2
2
1
1
-
-
-
-
分析：利用行列式的倍加运算（性质5），首先将某行（列）的元素尽可能化为0，再利用行列式可以按任一行（列）展开的性质（性质6），逐步将原行列式化为二阶行列式，计算出结果．
解：
2
2
1
1
1
3
2
1
1
3
4
2
2
1
1
-
-
-
-
2
4
1
1
1
4
2
1
3
4
2
1
1
-
-
-
+
经济数学基础之线性代数 第1章 行列式
1
11
142
010
342
011----=
11
1
13
42
11)1(433-----?+
11
13
12
10
4----?=
11
21)1(41
2----?+12
)21(4=---=
通过此例可知，行列式两行成比例，则行列式为零．
三、课堂练习
练习1 若
d a a a a a a a a a =33
32
31
232221
131211，求行列式
23
22
21
131211
313231222333a a a a a a a a a ---
利用行列式的性质3，将第一行的公因子3、第二行的公因子（-1）、第三行的公因子2提出．
利用行列式的性质3和性质2，将所要计算的行列式化为已知的行列式，再求其值．
练习2 计算行列式
5
405
541299
7
3
2198
82310391----
由性质4，若行列式中某列的元素均为两项之和，则可将其拆写成两个行列式之和．
在着手具体计算前，先观察一下此行列式有否特点？有，其第三列的数字较大，但又都分别接近100、200、300和400，故将第三列的元素分别写成两项之和， 再利用行列式的性质4将其写成两个行列式之和．注意，将第三列的元素分别写成两
+
经济数学基础之线性代数 第1章 行列式
项之和时，还要考虑到结论“行列式中两列元素相同（或成比例），则该行列式的值为0”的利用．
五、课后作业
1．计算下列行列式
（1）
7
570
1
510--- （2）
25
313
2121-
（3） w
w w w w
w
2
21
11 (0≠w ) （4）
3
8790
1
87424321
--
2．证明
（1）
=---------c
b b a a
c b a a c c
b a
c c b b a （2）
()
3
2
21
1
1
22b a b b a a b ab a -=+
1．（1）0 （2） -2 （3） 22)1(--w w （4）0
2. （1）提示：利用性质5，将第一行化成零行．
（2）提示：利用性质5，将第三行的元素化成“0 0 1”，再按第三行展开，并推出等号右边结果．
第三单元 行列式的计算
一、学习目标
通过本节课的学习，掌握行列式的计算方法．
二、内容讲解
经济数学基础之线性代数 第1章 行列式
行列式的计算
行列式=按任何一行（列）展开 下面用具体例子说明．
d c b
a =bc ad -11
56)1(5232
15
3
=+=-?-?=-
一个具体的行列式就是代表具体的一个数．再看一个三阶行列式．
754
2
3
011--可以按任何一行（列）展开
按第一行展开=
752
3
0054310742
1-?
+?
+-?
=02028+-=8 按第三列展开=
2
3
1107
51
1
47
523
0-?
+--?
--?
=0)57(40++-?-=8
注意：1．行列式计算一般按零元素较多的行（列）展开．
2．代数余子式的正负号是有规律的，一正一负相间隔．
问题：试证 2
2
222
2
2211110
00
d c b a d c b a d c b a d c d c b a b a =
经济数学基础之线性代数 第1章 行列式
三、例题讲解
例 计算行列式
21
4
20
01
31000211---
分析：由性质6可知，行列式可以按任何一行（列）展开来求值．因为第二、三行，第四列的零元素都较多，所以可选择其一展开，再进一步将其展成二阶行列式，并计算结果．
解：按第三行展开
21
4
20
013
1000211---=
2
14
10021
1)1(20
21315021)1(1431
3----?+----?++
=
1
4
11)1()1(22
1
21)1(33
23
2--?-?----?++==10)41(2)22(3-=+--?-
四、课堂练习
练习1 计算行列式
d
c
b a 10
01
10
011001---
根据定义，按第一行展开，使其成为两个三阶行列式之和．
经济数学基础之线性代数第1章行列式
练习2 计算行列式
24
5
2
4
28
8
2
5
16
3
1
2
20
2
2
3
-
-
-
-
-
-
五、课后作业1．计算下列行列式：
（1）
8
8
1
4
4
1
2
2
1
-
-
-
-
（2）4
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
经济数学基础之线性代数 第1章 行列式
（3）
4
3216
51065311021 （4）003
1
200763
005013
113536243214
2．计算n 阶行列式 x
a a a x a a a x 1．（1）48 （2）4 （3）-3 （4）-340
2.
])1[()(1x a n a x n +---
第四单元 克拉默法则
一、学习目标
克拉默法则是行列式在解线性方程组中的一个应用，通过本节课的学习，要知道克拉默法则求线性方程组解的条件，了解克拉默法则的结论．
二、内容讲解
克拉默法则
设n 个未知数的线性方程组为 ??????
?=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 （1）
经济数学基础之线性代数 第1章 行列式
记行列式nn
n n n n a a a a a a a a a D
21
2222111211
=
称为方程组（1）的系数行列式．将D 中第j 列
的元素
nj
j j a ,,a ,a 21分别换成常数n b ,,b ,b 21而得到的行列式记作
j
D ．
克拉默法则 如果线性方程组（1）的系数行列式0≠D ，那
么它有惟一解
D D x D D
x D D x n n ===
,,,2211 （2）
证将（2）式分别代入方程组（1）的第i 个方程的左端的n x x x ,,,21 中，有
D D a D D
a D D a n in i i +++ 2211
（3）
将（3）中的
j
D 按第j 列展开， 再注意到j D
中第j 列元素的代数余子式和D 中
第j 列元素的代数余子式ij A
是相同的， 因此有
)
,,2,1(2211n j A b A b A b D nj
n j j j =+++= （4）
把（4）代入（3），有
D D a D D
a D D a n in i i +++ 2211
(){1121211111
n n i i i A b A b A b A b a D
+++=
()
222221212n n i i i A b A b A b A b a ++++…+…
()}
nn n in i n n in A b A b A b A b a ++++2211
把小括弧打开重新组合得
经济数学基础之线性代数 第1章 行列式
(){()()()}i nn in n i n i n in in i i i i i n in i i n in i i b A a A a A a b A a A a A a b A a A a A a b A a A a A a b D
=+++++++++++++++++=
2211221122222112112211111
因由性质6和性质7
??
?=≠=+++k
i D
k i A a A a A a kn in k i k i 0
2211 故上式等于i b ，即
i n in i i b D D a D D
a D D a =+++ 2211
下面再证明方程组（1）的解是惟一的．设
n
n c x c x c x ===,,,2211
为方程组（1）的任意一组解．于是 ??????
?=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b c a c a c a b c a c a c a b c a c a c a 22112222212111212111 （5）用j A 1，j A 2，…j n A 分别乘以（5）式的第一、第二、…、第n 个等式，再把n 个等式两边相加，得
++++11221111)(c A a A a A a nj n j j +++++j nj nj j j j j c A a A a A a )(2211
n nj nn j n j n c A a A a A a )(2211++++ nj
n j j A b A b A b +++= 2211
根据性质6和性质7，上式即为
)
,,2,1(n j D c D j j ==
因为0≠D ，所以
)
,,2,1(n j D
D c j j ==
克拉默法则有以下两个推论：
推论1 如果齐次线性方程组的系数行列式0≠D ， 那么 它只有零解．
经济数学基础之线性代数 第1章 行列式
推论2 齐次线性方程组有非零解的必要条件是系数行列式0=D ． 问题：对任一线性方程组都可用克拉默法则求解吗？
与方程个数相同，但其系数行列式等于零时，不能使用克拉默法则．
三、例题讲解
例 利用克拉默法则解下列方程组??
?-=-=+-7
526432121x x x x
分析：这是一个两个变量、两个方程的方程组，它满足了克拉默法则一个条件．克拉默法则的另一个条件是要求系数行列式的值不等于零．因此，先求出方程组的系数行列式的值，若它的值不等于零，说明该方程组有惟一解，然后求常数项替代后的行列式的值，再用克拉默法则给出的公式求出解． 解：因为系数行列式
()()245352
43?--?-=--=
D 07815≠=-=
且
2
5
74
6
1-=--=
D ，9
7
2
632=--=
D ，所以
7211-==
D D x ，79
22==D D x
四、课堂练习
k 取什么值时，下列方程组有唯一解？有唯一解时求出解．
???
??=+--=++-=++0
211
321
321321x x x x kx x kx x x
对行列式作变换“第二行加上第一行的1倍，即 + ；第三行加上第一行的-1倍，即 + (-1)”．
这是三个未知量三个方程的线性方程组，由克拉默法则知，当系数行列式D ≠0时，方程
经济数学基础之线性代数 第1章 行列式
五、课后作业
用克莱姆法则解下列方程组
?????=+=++=-12 142 23232121x x x x x x x ???????-=+++-=+-+=---=+++4222228
37432143214314321x x x x x x x x x x x x x x x
线性代数行列式的计算与性质 行列式在数学中，是一个函数，其定义域为的矩阵，取值为一个标量，写作或。行列式可以看做是有向面积或体积的概 念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。 行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和矢量组的行列式的定义。 行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。 矩阵 A 的行列式有时也记作 |A|。绝对值和矩阵范数也使用这个记法，有可能和行列式的记法混淆。不过矩阵范数通常以双垂直线来表示（如： ），且可以使用下标。此外，矩阵的绝对值是没有定义的。因此，行 列式经常使用垂直线记法（例如：克莱姆法则和子式）。例如，一个矩阵： A= ? ? ? ? ? ? ? i h g f e d c b a ， 行列式也写作，或明确的写作： A= i h g f e d c b a ， 即把矩阵的方括号以细长的垂直线取代 行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同。
考研数学线性代数行列式的计算方法考研数学线性代数行列式的计算方法 一、基本内容及历年大纲要求。 本章内容包括行列式的定义、性质及展开定理。从整体上来看，历年大纲要求了解行列式的概念，掌握行列式的性质，会应用行列 式的性质及展开定理计算行列式。不过要想达到大纲中的要求还需 要考生理解排列、逆序、余子式、代数余子式的概念，以及性质中 的相关推论是如何得到的。 二、行列式在线性代数中的地位。 行列式是线性代数中最基本的运算之一,也是考生复习考研线性 代数必须掌握的基本技能之一(另一项基本技能是求解线性方程组)，另外，行列式还是解决后续章节问题的一个重要工具，不论是后续 章节中出现的重要概念还是重要定理、解题方法等都与行列式有着 密切的联系。 三、行列式的计算。 由于行列式的计算贯穿整个学科，这就导致了它不仅计算方法灵活，而且出题方式也比较多变，这也是广大考生在复习线性代数时 面临的第一道关卡。虽然行列式的计算考查形式多变，但是从本质 上来讲可以分为两类：一是数值型行列式的计算;二是抽象型行列式 的计算。 1.数值型行列式的计算 主要方法有： (1)利用行列式的定义来求，这一方法适用任何数值型行列式的 计算，但是它计算量大，而且容易出错;
(2)利用公式，主要适用二阶、三阶行列式的计算; (3)利用展开定理，主要适用出现零元较多的行列式计算; (4)利用范德蒙行列式，主要适用于与它具有类似结构或形式的行列式计算; (5)利用三角化的思想，主要适用于高阶行列式的计算，其主要思想是找1，化0，展开。 2.抽象型行列式的计算 主要计算方法有： (1)利用行列式的性质，主要适用于矩阵或者行列式是以列向量的形式给出的; (2)利用矩阵的运算，主要适用于能分解成两个矩阵相乘的'行列式的计算; (3)利用矩阵的特征值，主要适用于已知或可以间接求出矩阵特征值的行列式的计算; (4)利用相关公式，主要适用于两个矩阵相乘或者是可以转化为两个矩阵相乘的行列式计算; (5)利用单位阵进行变形，主要适用于既不能不能利用行列式的性质又不能进行合并两个矩阵加和的行列式计算。 我们究竟该做多少年的真题? 建议大家在刚开始复习的时候，不要去做真题，因为以你刚开始复习的程度还不足以支撑起真题的难度和深度。我们做真题的时间是在我们的强化阶段结束之后，也就是提高阶段和冲刺模考去做真题。 应该怎么样去做真题? 第一：练习重质不重量
第一章 行列式 一、单项选择题 1.行列式D 非零的充分条件是( D ) (A) D 的所有元素非零 (B) D 至少有n 个元素非零 (C) D 的任何两行元素不成比例 (D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 2．二阶行列式 1 2 21--k k ≠0的充分必要条件是（ C ） A ．k ≠-1 B ．k ≠3 C ．k ≠-1且k ≠3 D ．k ≠-1或≠3 3．已知2阶行列式 2 21 1b a b a =m , 2 21 1c b c b =n ,则 2 22 111c a b c a b ++=（ B ） +n （m+n ） 4.设行列式==1 11103 4 222,1111304z y x z y x 则行列式（ A ） A.32 D.3 8 5．下列行列式等于零的是(D ) A .100123123- B. 031010300- C ． 100003010- D ． 2 61422613- 6．行列式 1 1 1 101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ B ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2 8．如果方程组?? ? ??=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则 k =（ B ） 9．（考研题）行列式 0000000 a b a b c d c d =（ B ） A.()2ad bc - B.() 2ad bc -- C.2222a d b c - D.2222 b c a d - 二、填空题 1.四阶行列式中带负号且含有因子12a 和21a 的项为 44332112a a a a 。 2. 行列式11 1 2 3 44916 中（3，2）元素的代数余子式A 32=___-2___. 3. 设7 3 43690211 1 1 8751----= D ，则5A 14 + A 24+A 44=_______。 解答：5A 14+A 24+A 44= 1501 3430 90211 1 1 5751-=--- 4．已知行列式01 110321 2=-a ，则数a =____3______. 5．若a ,b 是实数，则当a =___且b =___时，有=---10100 a b b a 0。 解答：0)(1 0100 22=+-=--=---b a a b b a a b b a a =0, b =0 6. 设1 31 2 4321322 )(+--+-+= x x x x f ，则2x 的系数为 23 。 7. 五阶行列式=6 200357020381002 300031000___________。 解答：4232 1 2 331)1(6 200357020381002 30003100032=?? -=? 8. （考研题）多项式2 1 1111 )(32 1 3213 21321+++++= x a a a a x a a a a x a a a a x f 的所有零 点为 01=x ，12-=x ，23-=x 。 9、（考研题）设x d c b d x c b d c x b d c b x x f = )(，则方程0)(=x f 的根为=x 。 【分析】 )(x f 是关于x 的四次多项式，故方程0)(=x f 应有四根，利用行列式的性质知，当d c b x ,,=时，分别会出现两行相等的情况，所以行列式为零，故d c b x ,,=是方程的三个根。 再将后三列均加到第一列上去可以提取一个公因子为 d c b x +++，所以当)(d c b x ++-=时，满足0)(=x f ，所以得方程的 第四根)(d c b x ++-=。 故方程的四个根分别是：)(,,,d c b d c b ++-。 二、计算题 1、计算000100 0200020120002013000 002014 D = 。 【分析】方法一：此行列式刚好只有n 个非零元素 nn n n n a a a a ,,,,112211--- ，故非零项只有一项： nn n n n t a a a a 112211)1(---- ，其中2 ) 2)(1(--= n n t ， 因此 (20141)(20142) 2 (1) 2014!2014!D --=-= 方法二：按行列展开的方法也行。 2、计算行列式 3 214214314324 321= D 。 分析：如果行列式的各行（列）数的和相同时，一般首先采用的是将各列（行）加到第一列（行），提取第一列（行）的公因子(简称列（行)加
第一章 行列式 一、单项选择题 1.行列式D 非零的充分条件是( D ) (A) D 的所有元素非零 (B) D 至少有n 个元素非零 (C) D 的任何两行元素不成比例 (D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 2．二阶行列式 1 2 21--k k ≠0的充分必要条件是（ C ） A ．k ≠-1 B ．k ≠3 C ．k ≠-1且k ≠3 D ．k ≠-1或≠3 3．已知2阶行列式 2 21 1b a b a =m , 2 21 1c b c b =n ,则 2 22 111c a b c a b ++=（ B ） +n （m+n ） 4.设行列式==1 11103 4 222,1111304z y x z y x 则行列式（ A ） A. 32 D.3 8 5．下列行列式等于零的是(D ) A .100123123- B. 031010300- C ． 100003010- D ． 2 61422613- 6．行列式 1 1 1 101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ B ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2 8．如果方程组?? ? ??=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则 k =（ B ） 9．（考研题）行列式 0000000a b a b c d c d =（ B ） A.()2ad bc - B.() 2ad bc -- C.2222 a d b c - D.22 2 2 b c a d - 二、填空题 1.四阶行列式中带负号且含有因子12a 和21a 的项为 44332112a a a a 。 2. 行列式11 1 2 3 44916 中（3， 2 ）元素的代数余子式 A 32=___-2___. 3. 设7 3 43690211 1 1 875 1----= D ，则5A 14+A 24+A 44=_______。 解答：5A 14+A 24+A 44= 1501 3430 90211 1 15751-=--- 4．已知行列式01 110321 2=-a ，则数a =____3______. 5．若a ,b 是实数，则当a =___且b =___时，有=---10100 a b b a 0。 解答：0)(1 0100 22=+-=--=---b a a b b a a b b a a =0, b =0 6. 设1 31 2 4321322 )(+--+-+= x x x x f ，则2 x 的系数为 23 。 7. 五阶行列式=6 200357020381002 300031000___________。 解答：4232 1 2 331)1(6 200357020381002 30003100032=?? -=? 8. （考研题）多项式2 1 1 111 )(32 132132 1321+++++= x a a a a x a a a a x a a a a x f 的所有零 点为 01=x ，12-=x ，23-=x 。 9、（考研题）设x d c b d x c b d c x b d c b x x f = )(，则方程0)(=x f 的根为=x 。 【分析】 )(x f 是关于x 的四次多项式，故方程0)(=x f 应有四根，利用行列式的性质知，当d c b x ,,=时，分别会出现两行相等的情况，所以 行列式为零，故d c b x ,,=是方程的三个根。 再将后三列均加到第一列上去可以提取一个公因子为 d c b x +++，所以当)(d c b x ++-=时，满足0)(=x f ，所以得方程的 第四根)(d c b x ++-=。 故方程的四个根分别是：)(,,,d c b d c b ++-。 二、计算题 1、计算000100 0200020120002013000 002014 D = 。 【分析】方法一：此行列式刚好只有n 个非零元素 nn n n n a a a a ,,,,112211--- ，故非零项只有一项： nn n n n t a a a a 112211)1(---- ，其中2 ) 2)(1(--= n n t ， 因此 (20141)(20142) 2 (1) 2014!2014!D --=-= 方法二：按行列展开的方法也行。 2、计算行列式 3 214214314324 321= D 。 分析：如果行列式的各行（列）数的和相同时，一般首先采用的是将各列（行）加到第一列（行），提取第一列（行）的公因子(简称列（行)加 法). 解 这个行列式的特点是各列4个数的和为10 ，于是，各行加到第一行，得
计算n 阶行列式的若干方法举例 n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较多时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。 1．利用行列式定义直接计算 例1 计算行列式 00100 20010000 n D n n = - 解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 112211!n n n nn a a a a n ---= . 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于 (1)(2) 2 n n --，故 (1)(2) 2 (1) !.n n n D n --=- 2．利用行列式的性质计算
例2 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足 ,,1,2,,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由i j j a a =-知i i i a a =-，即 0,1,2,,ii a i n == 故行列式D n 可表示为 1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=----- 由行列式的性质A A ' = 1213112 23213 2331230000n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=- 1213112 23213 23312300(1)00 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------ (1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.
计算n 阶行列式的若干方法举例 n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较多时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。 1．利用行列式定义直接计算 例1 计算行列式 0010020010000 00n D n n = - 解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 112211!n n n nn a a a a n ---=. 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于 (1)(2) 2 n n --，故 (1)(2) 2 (1) !.n n n D n --=- 2．利用行列式的性质计算 例2 一个n 阶行列式 n ij D a =的元素满足 ,,1,2, ,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由i j j i a a =-知i i i i a a =-，即 0,1,2, ,ii a i n ==
故行列式D n 可表示为 1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=----- 由行列式的性质A A '= 1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=- 1213112 23213 23312300(1)0 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------ (1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0. 3．化为三角形行列式 若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。 因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。 例3 计算n 阶行列式 a b b b b a b b D b b a b b b b a = 解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，
如何复习线形代数 线性代数这门课的特点主要有两个：一是试题的计算量偏大，无论是行列式、矩阵、线性方程组的求解，还是特征值、特征向量和二次型的讨论都涉及到大量的数值运算，稍有不慎，即会出错；二是前后内容紧密相连，纵横交织，既相对独立又密不可分，形成了一个完整、独特的知识体系. 在掌握好基本概念、基本原理和基本方法的前提下，下面谈谈在复习过程中应注意的一些问题. 一、加强计算能力训练，切实提高计算的准确性 二、扩展公式结论蕴涵，努力探索灵活解题途径 三、注重前后知识联系，努力培养综合思维能力 线性代数不仅概念多，公式结论多，而且前后知识联系紧密，环环相扣，几乎从任何一个知识点都可切入将前后知识联系起来考查 四、加强综合题型训练，全面系统地掌握好知识 计算能力的提高不是一朝一夕的事，除了要不断归纳总结一些重要公式和结论并加以巧妙、适当的应用外，还要靠平时的积累，要养成踏踏实实、有始有终将最后结果计算出来的习惯，只要持之以恒、坚持练习，计算准确性的提高并不是一件困难的事. 而对整个知识的融会贯通、综合应用也有赖于适当地多做这方面的练习， 第一章行列式 一.概念复习 1. 形式和意义 形式:用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式: a11 a12 (1) a21 a22 (2) ………. a n1 a n2…a nn 如果行列式的列向量组为1,2, …,n,则此行列式可表示为|1,2, …,n|. 意义:是一个算式,把这n2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值. 请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别. 当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.) 每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作|A|. 行列式这一讲的的核心问题是值的计算,以及判断一个行列式的值是否为0. 2. 定义(完全展开式) 一般地,一个n阶行列式 a11 a12 (1) a21 a22 (2) ……… a n1 a n2…a nn 的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的n个元素的乘积,其一般形式为: n nj j j a a a 2 1 2 1 ,这里把相乘的n个元素的行标按自然顺序排列,它们的列标j1j2…j n构成1,2, …,n的一个全排列(称为一个n元排列), 一个n元排列的总项数共有n!个,因此n阶行列式的值是n!项的代数和。 所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定(j1j2…j n)为全排列j1j2…j n的逆序数,全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象出现的个数. 逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数: 2 3 2 3 215 6 3 4,(436512)=3+2+3+2+0+0=10. 则项 n nj j j a a a 2 1 2 1 所乘的是. )1 () (2 1n j j j τ -即逆序数是偶数时，该项为正；逆序数是奇数时，该项为负；在一个n元排列的n!项中，奇排列和偶排列各有n!/2个。至此我们可以写出n阶行列式的值: a11 a12 (1) a21 a22…a2n =. )1 ( 2 1 2 1 2 1 2 1 ) ( n n n nj j j j j j j j j a a a τ - ∑ ……… a n1 a n2…a nn
特殊行列式及行列式计算方法总结 一、 几类特殊行列式 1. 上（下）三角行列式、对角行列式（教材P7例5、例6） 2. 以副对角线为标准的行列式 111121 12,1221222,11,21,1 1,1 12 ,1 (1)2 12,1 1 000000000000000 00 (1) n n n n n n n n n n n nn n n n n n nn n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---------= ==- 3. 分块行列式（教材P14例10） 一般化结果： 00n n m n n m n m m n m m n m A C A A B B C B ????==? 0(1)0n m n n m n mn n m m m n m m n A C A A B B C B ????==-? 4. 范德蒙行列式（教材P18例12） 注：4种特殊行列式的结果需牢记！ 以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！！！ 二、 低阶行列式计算 二阶、三阶行列式——对角线法则 （教材P2、P3） 三、 高阶行列式的计算 【五种解题方法】 1) 利用行列式定义直接计算特殊行列式； 2) 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式；
3) 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降 阶进行计算——适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并且非零元素的代数余子式很容易计算； 4) 递推法或数学归纳法； 5) 升阶法（又称加边法） 【常见的化简行列式的方法】 1. 利用行列式定义直接计算特殊行列式 例1 （2001年考研题） 0001000200019990002000000 002001 D = 分析：该行列式的特点是每行每列只有一个元素，因此很容易联想到直接利用行列式定义进行计算。 解法一：定义法 (1,2,...,2,1,)012...19990(1)2001!(1)2001!2001!n n n D τ--+++++=-=-= 解法二：行列式性质法 利用行列式性质2把最后一行依次与第n -1,n -2,…,2,1行交换（这里n =2001），即进行2000次换行以后，变成副对角行列式。 2001(20011) 20011 20011 2 000020010 001000200(1) (1) (1)2001!2001!019990002000 00 D ?---=- =--=
习题1—1 全排列及行列式的定义 1． 计算三阶行列式123 4 56789 。 2． 写出4阶行列式中含有因子1324a a 并带正号的项。 3． 利用行列式的定义计算下列行列式： ⑴0 004003002001 0004 D
⑵0 0000000052 51 42413231 2524232221 151********a a a a a a a a a a a a a a a a D = ⑶0 001 0000 200 0010 n n D n -= 4． 利用行列式的定义计算210111()0211 1 1 x x x f x x x -= 中34 , x x 的系数。
习题1—2 行列式的性质 1． 计算下列各行列式的值： ⑴ 2141 012112025 62 - ⑵ef cf bf de cd bd ae ac ab --- ⑶ 2 2 2 2 2 2 2 2 22222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a
2． 在n 阶行列式nn n n n n a a a a a a a a a D 2 1 222 2111211 = 中，已知),,2,1,(n j i a a ji ij =-=， 证明：当n 是奇数时，D=0. 3． 计算下列n 阶行列式的值： ⑴x a a a x a a a x D n = ⑵n n a a a D +++= 11 1 1 1111121 ()120n a a a ≠
《线性代数》单元自测题答案 第一章 行列式 一、填空题： 1． 1,2==j i ；2． 44312312a a a a ；3．正；4．2。5．2000。 二、计算下列各题： 1．计算6 312 311211 523 4231----= D 。 解 2 1705 5501 1704 2312231 41 31 2------+--r r r r r r D 2175551 00217555117)1(13111---+------?=+r r 301 75 5) 1(13 1-=---?=+。 2. 设4 32163021 111 8751= D ，求44434241A A A A +++的值。 解 将D 按第4行展开： 444342414321A A A A D +++=。 将D 的第4行元素分别换为1，1，1，1，则 44434241A A A A +++01 11163021 111 8751== . 解法二 0444342414424432342224121=+++=+++A A A A A a A a A a A a 。
3. 计算4 44 3332 22 5432543254325432= D 。 解 3 3 3 32222 1 111 43215431543154311111 54325 4 32 ???→→→→c c c c D （由范德蒙行列式） 5760453534151413120=-?-?-?-?-?-?=）（）（）（）（）（）（. 4. 计算a b b a a b a b a D n 00000000000 00000 = 解 将行列式按第1列展开： 1 11110 0000 0000 )1(00 000000 00)1(-+-+-?+-?=n n n n b a b b a b b a b a a b a a D n n n n n n b a b b a a 1111)1()1(+-+--+=?-?+?=。 5．计算1 1 1 1 1211112 11 112 ---= λλλn D 。 解
第一章第一次练习题 一）填空题 1）计算(1465372)τ＝________；[135(21)246(2)]n n τ-L L ＝________； 2）写出四阶行列式中含有因子1123a a 的项及符号__________； 3）在四阶行列式中，21143243a a a a 的符号为__________； 4）设12134453k l a a a a a 在五阶行列式中带有负号，则k ＝________；l ＝________. 二）解答题 5）计算三阶行列式 2 221 11a b c a b c .
6）用定义证明 1 (1) 2 12 1 00 000 (1) 00 00 n n n n n λ λλλλ λ - - =- L L L L L .
个元素为零，证明这个行列式为零. 7）设n阶行列式中有多于2n n
班级__________ 姓名__________ 学号_______ 第一章第二次练习题 一）填空题 1）把行列式1 11222 a b c a b c ++定出两个行列式之和______________________； 2）把行列式13 24 1 2 34 0000a a a a x y b b z w b b 写成两个行列式之积_________________________________； 3）提取行列式第二行公因子后11 12132122 2331 3233333a a a a a a a a a ＝__________________________； 4）行列式22 3456 7 89a b c d a ab ac ad ＝_________________________________. 二）解答题 5）化简行列式1 11122 223 333x y x a z x y x a z x y x a z +++
线性代数之行列式的性质及计算
第二节 行列式的性质与计算 §2.1 行列式的性质 考虑11 1212122212n n n n nn a a a a a a D a a a = L L L L L L L 将它的行依次变为相应的列，得 11 21112 222 12n n T n n nn a a a a a a D a a a = L L L L L L L 称T D 为D 的转置行列式 . 性质1 行列式与它的转置行列式相等.（T D D =） 事实上，若记111212122212n n T n n nn b b b b b b D b b b = L L L L L L L L L L 则(,1,2,,)ij ji b a i j n ==L 1212() 12(1)n n p p p T p p np D b b b τ∴=-∑L L 1212()12(1).n n p p p p p p n a a a D τ=-=∑L L 说明:行列式中行与列具有同等的地位, 因此行列式的性质凡是对行成立的结论, 对列也同样成立. 性质2 互换行列式的两行(i j r r ?)或两列(i j c c ?)，行列式变号. 例如 123 123086351.351 086 =- 推论 若行列式D 有两行（列）完全相同，则0D =. 证明: 互换相同的两行, 则有D D =-, 所以0D =. 性质3 行列式某一行（列）的所有元素都乘以数k ，等于数k 乘以此行列式，即
111211112112121212 n n i i in i i in n n nn n n nn a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a =L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 推论：(1) D 中某一行(列)所有元素的公因子可提到行列式符号的外面； (2) D 中某一行(列)所有元素为零，则0D =； 性质4: 行列式中如果有两行(列)元素对应成比例, 则此行列式等于零． 性质5: 若行列式某一行(列)的所有元素都是两个数的和，则此行列式等于两个行列式的和.这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同 .即 11121112212 n i i i i in in n n nn a a a a b a b a b a a a +++=L L L L L L L L L L L 1112112 12 n i i in n n nn a a a a a a a a a +L L L L L L L L L L L 111211212 n i i in n n nn a a a b b b a a a L L L L L L L L L L L . 证: 由行列式定义 1212()12(1)()n i i n p p p p p ip ip np D a a a b a τ=-+∑L L L 12121212()()1212(1)(1).n n i n i n p p p p p p p p ip np p p ip np a a a a a a b a ττ=-+-∑∑L L L L L L 性质6 行列式D 的某一行（列）的各元素都乘以同一数k 加到另一行（列）的相应元素上，行列式的值不变()i j r kr D D +=，即 111211212 i j n r kr i i in n n nn a a a a a a a a a +=L L L L L L L L L L L 11121112212 n i j i j in jn n n nn a a a a ka a ka a ka a a a +++L L L L L L L L L L L 计算行列式常用方法: 利用性质2,3,6, 特别是性质6把行列式化为上(下)三角形行列式, 从而, 较容易的计算行列式的值．
目录 一、行列式 (2) 二、矩阵特征值 (2) 三、正定矩阵 (2) 四、幺模矩阵 (3) 五、顺序主子阵 (4) 六、正定二次型 (6) 七、矩阵的秩 (6) 八、初等变换（elementary transformation） (7)
一、行列式 见ppt。 二、矩阵特征值 设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。 求矩阵特征值的方法 Ax=mx，等价于求m，使得(mE-A)x=0，其中E是单位矩阵，0为零矩阵。 |mE-A|=0，求得的m值即为A的特征值。|mE-A| 是一个n次多项式，它的全部根就是n阶方阵A的全部特征值，这些根有可能相重复，也有可能是复数。 如果n阶矩阵A的全部特征值为m1 m2 ... mn，则|A|=m1*m2*...*mn 如果n阶矩阵A满足矩阵多项式方程g(A)=0, 则矩阵A的特征值m一定满足条件g(m)=0;特征值m可以从解方程g(m)=0求得。 三、正定矩阵 设M是n阶实系数对称矩阵，如果对任何非零向量 X=(x_1,...x_n)，都有XMX′>0(X'为X的转置矩阵 )，就称M正定(Positive Definite)。 正定矩阵在相合变换下可化为标准型，即单位矩阵。 所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。 另一种定义：一种实对称矩阵.正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵. 判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。 判定定理2：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正。 判定定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是：A合同于单位阵。 正定矩阵的性质： 1.正定矩阵一定是非奇异的。非奇异矩阵的定义：若n阶矩阵A的行列式不为零，即|A|≠0，则称A为非奇异矩 2.正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。
经济数学基础之线性代数 第1章 行列式 第一单元 行列式的定义 一、学习目标 通过本节课学习，理解行列式的递归定义，掌握代数余子式的计算，知道任何一个行列式就是代表一个数值，是可以经过特定的运算得到其结果的． 二、内容讲解 行列式 行列式的概念 什么叫做行列式呢？譬如，有4个数排列成一个行方块，在左右两边加竖线。 即215 3 - 有几个概念要清楚，即 上式中，横向称行，共有两行；竖向称列，共有两列； 一般用 ij a 表示第i 行第j 列的元素，如上例中的元素311=a ， 512=a ，121-=a ，222=a ． 再看一个算式 754 2 3 011--称为三阶行列式，其中第三行为5，-7，0；第二列为 –1，2，-7；元素423=a ，5 31=a 又如 1 3 2140301 1320---，是一个四阶行列式． 而11a
经济数学基础之线性代数 第1章 行列式 ()074 21111 111-- =-=+M A 代数余子式就是在余子式前适当加正负号，正负号的规律是-1的指数是该元素的行数加列数． () 43011322 332- =-=+M A 问题思考：元素ij a 的代数余子式ij A 是如何定义的？ 代数余子式 ij A 由符号因 子j i +-)1(与元素ij a 的余子式ij M 构成，即()ij j i ij M A +-=1 三、例题讲解 例题1：计算三阶行列式5 4 2 303 241---=D 分析：按照行列式的递归定义，将行列式的第一行展开，使它成为几个二阶行列式之和， 二阶行列式可以利用对角相乘法，计算出结果． 解： () ()() 5 2 33145 4 30112 11 1---?-+--?=++D () 4 20 3123 1--?++ 72 12294121=?+?+?= 四、课堂练习 计算行列式 h g f e d c b a D 0 0000004= 利用n 阶行列式的定义选择答案．
第二节 行列式的性质与计算 §2.1 行列式的性质 考虑11 12121 22 212 n n n n nn a a a a a a D a a a = 将它的行依次变为相应的列，得 11 21112 22212n n T n n nn a a a a a a D a a a = 称T D 为D 的转置行列式 . 性质1 行列式与它的转置行列式相等.（T D D =） 事实上，若记1112 12122212 n n T n n nn b b b b b b D b b b = 则(,1,2, ,)ij ji b a i j n == 12 12 () 12(1)n n p p p T p p np D b b b τ∴=-∑12 12() 12(1).n n p p p p p p n a a a D τ=-=∑ 说明:行列式中行与列具有同等的地位, 因此行列式的性质凡是对行成立的结论, 对列也同样成立. 性质2 互换行列式的两行(i j r r ?)或两列(i j c c ?)，行列式变号. 例如 123 123086351.351 086 =- 推论 若行列式D 有两行（列）完全相同，则0D =. 证明: 互换相同的两行, 则有D D =-, 所以0D =. 性质3 行列式某一行（列）的所有元素都乘以数k ，等于数k 乘以此行列式，即 111211112 112121 2 1 2 n n i i in i i in n n nn n n nn a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a = 推论：(1) D 中某一行(列)所有元素的公因子可提到行列式符号的外面；
行列式的概念 一、选择题 1． 下列选项中错误的是( ) (A) b a d c d c b a - = ； (B) a c b d d c b a = ； (C) d c b a d c d b c a = ++33； (D) d c b a d c b a ----- =. 答案：D 2．行列式n D 不为零，利用行列式的性质对n D 进行变换后，行列式的值（ ）． (A)保持不变； (B)可以变成任何值； (C)保持不为零； (D)保持相同的正负号． 答案：C 二、填空题 1. a b b a log 1 1 log = . 解析： 0111log log log 1 1log =-=-=a b a b b a b a . 2. 6 cos 3sin 6sin 3 cos π π ππ = . 解析： 02cos 6sin 3sin 6cos 3cos 6 cos 3 sin 6sin 3 cos ==-=πππππππ π π 3.函数x x x x x f 1213 1 2)(-=中，3x 的系数为 ； x x x x x x g 2 1 1 12)(---=中，3x 的系数为 . 答案：-2；-2.
阶行列式n D 中的n 最小值是 . 答案：1. 5. 三阶行列式11342 3 2 1-中第2行第1列元素的代数余子式 等于 . 答案：5. 6.若 02 1 8 2=x ，则x = . 答案：2. 7.在 n 阶行列式ij a D =中，当i 《线性代数》(工)单元练习题 一、填空题 1、设矩阵A 为4阶方阵，且|A|=5，则|A*|=__125____，|2A|=__80___，|1-A |= 1/5 2、若方程组?? ? ??=+=+=+a bz cy b az cx ay bx 0 有唯一解，则abc ≠ 0 3、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的对应元素上，行列式 0 . 4、当a 为 1 or 2 时，方程组??? ??=++=++=++0 40203221321321x a x x ax x x x x x 有非零解. 5、设=-+----=31211142,4 101322 13A A A D 则 .0 二、单项选择题 1．设） （则=---===33 3231312322212113 1211113332312322 211312 11324324324,1a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D B （A)0 ； （B)―12 ； （C ）12 ； （D ）1 2．设齐次线性方程组??? ??=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx 有非零解，则k = （ A ） （A ）2 （B ）0 （C ）-1 （D ）-2 3．设A=7 925138 02-，则代数余子式 =12A ( B ) (A) 31- (B) 31 (C) 0 (D) 11- 4．已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7,4， 则D= ( A ) （A ） -15 （B ） 15 （C ） 0 （D ） 1 三、计算行列式(精选)线性代数行列式第一章练习题答案
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