C.{ x ∣x<0或x>2}
D.{ x ∣x ≤0或x ≤2} 12.（天津卷理）设集合{}
R x x x A ∈≥-=,914, ?
??
???∈≥+=R x x x x
B ,03, 则A ∩B =
A ．]2,3(--
B .]25
,0[]2,3(Y -- C . ),25[]3,(+∞--∞Y D . ),2
5[)3,(+∞--∞Y 13.（上海）已知集合{}R x x x M ∈≤-=,2|1||，?
??
???∈≥+=Z x x x P ,115|
，则P M I 等于
A ．{}Z x x x ∈≤<,30|
B ．{}Z x x x ∈≤≤,30|
C ．{}Z x x x ∈≤≤-,01|
D ．{}Z x x x ∈<≤-,01| 14.（重庆文）若集合}0)5)(2(|{},034|{2
<--∈=<+-∈=x x R x B x x R x A ，则=B A I .
15.（2009年通州第四次调研）已知集合2
{|40}A x x =-<，{|21,}B x x n n Z ==+∈，则集合A B =I . 16．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )
A ．(0,2)
B ．(－2,1)
C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
D ．(－1,2)
17. 已知x 2
+px+q ＜0的解集为?
??
?
??<<-312
1
x x ，则p+q 的值 18. 关于x 的不等式
2
43
x a
x x +++>0的解集是{x|-32}，则实数a 的值为（ ） 19. 若2
0x px q ++<的解集为{}12x x <<，则不等式22
056
x px q
x x ++>--的解集为
.A ()1,2 .B ()()(),11,26,-∞-+∞U U .C ()()1,12,6-U .D ()(),16,-∞-+∞U
20．已知关于x 的不等式ax －5
x 2－a
<0的解集为M .
(1)当a ＝4时，求集合M . (2)若3∈M 且5?M ，求实数a 的取值范围．
第三讲. 均值不等式
例1.已知0,0a b >>，则11
a b
++ 例2. 已知x>1,求y=x+
1
1
-x 的最小值 例3.已知a b a b >>+=0021
，，，求t a b
=+11
的最小值。 例4. 求y x x x x =+++-2710
1
1(
)≠ 的值域。 例5．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________． 例6.设,x y R ∈,则2
22
211
()(4)x y y x
+
+的最小值为 。 练习
1．不等式a ＋1≥2a (a ＞0)中等号成立的条件是( ) A ．a ＝2 B ．a ＝1C ．a ＝1
2
D ．a ＝0
2．若lg x ＋lg y ＝2，则 1x ＋1y 的最小值是( ) A.120 B.15 C.1
2 D ．2
3．已知x ＞1，求3x ＋4
x －1
＋1的最小值．
4.（陕西文）设0a b <<，则下列不等式中正确的是 （ ）
（A ） 2a b a b +<<
<
（B ）2a b a b +<<<（c ）2a b a b +<<<2
a b
a b +<<
< 5（重庆理）已知a ＞0，b ＞0，a+b=2，则y=14a b +的最小值是 （A ）72（B ）4 (C) 9
2
(D) 5
6．(2009年高考天津卷)设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1
b
的最小值为
7．已知a b 、都是正实数， 函数2x
y ae b =+的图象过（0,1）点，则11
a b
+的最小值是 。 8．若函数1
()2
f x x n =+
-(2)n >在x a =处取最小值，则a = 9. 若正实数X ，Y 满足2X+Y+6=XY ， 则XY 的最小值是 。 10. 已知,x y R +∈，且满足
134
x y
+=，则xy 的最大值为 . 11．（陕西）已知不等式1()()9
a
x y x y ++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为（Ａ）8（Ｂ）6 C.4D.2
12.（2009泉州市）0,04,a b a b +=f f 若，且则下列不等式中恒成立的是
11.
2A ab f 11.1B a b +≤
2C ≤ 2211
.8
D a b ≤
+ 13. 围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在
旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：元)。y 表示修建此矩形场地围墙的总费用
（1）将y 表示为x 的函数：（2）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。
第四讲.简单的线形规划
例1. 画出不等式2x +y -6＜0表示的平面区域. 例2 .画出不等式组??
?
??≤≥+≥+-300
5x y x y x 表示的平面区域.
例3.（2010上海）满足线性约束条件23,23,
0,
x y x y x y +≤??+≤?
?≥??≥?的目标函数z x y =+的最大值是（ A ）1.（B ）32.（C ）2.（D ）3.
例4.（2010四川理）某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品.甲车间加工一箱原料需耗费
工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为
（A ）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱（B ）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱 （C ）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱（D ）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱
练习
1.（2010全国卷2文）若变量x,y 满足约束条件1
325x y x x y ≥-??
≥??+≤?
则z=2x+y 的最大值为（A ）1 (B)2 (C)3 (D)4
2.（2010安徽文）设x,y 满足约束条件260,260,0,x y x y y +-≥??
+-≤??≥?则目标函数z=x+y 的最大值是（A ）3（B ）4（C ）6（D ）8
3.（2010重庆文）（设变量,x y 满足约束条件0,0,220,x x y x y ≥??
-≥??--≤?则32z x y =-的最大值为A.0B.2C.4D.6
4.（2010重庆理数）设变量x ，y 满足约束条件01030y x y x y ≥??
-+≥??+-≤?，则z=2x+y 的最大值为A.—2 B. 4 C. 6 D. 8
5.（2010天津文）设变量x ，y 满足约束条件3,1,1,x y x y y +≤??
-≥-??≥?则目标函数z=4x+2y 的最大值为A.12 B.10C.8 D.2
5.（2010全国卷1文）若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤??
+≥??--≤?则2z x y =-的最大值为 (A)4 (B)3 (C)2 (D)1
6.（2010陕西文）设x ，y 满足约束条件24,1,20,x y x y x +≤??
-≤??+≥?
，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为 .
7.（2010辽宁文）已知14x y -<+<且23x y <-<，则23z x y =-的取值是 .
8.（2010湖北文）已知：2,x y -式中变量,x y 满足的束条件,1,2y x x y x ≤??
+≥??≤?
则z 的最大值为______。
9.（2010安徽理）设,x y 满足约束条件2208400 , 0x y x y x y -+≥??
--≤??≥≥?
，若目标函数()0,0z abx y a b =+>>的最大值为8，则a b
+的最小值为________。
10（福建理）已知O 是坐标原点，点(1,1)A -，若点(,)M x y 为平面区域2
12x y x y +≥??
≤??≤?
上的一个动点，则OA OM ?u u u r u u u u r 的取
值范围是
A.[1,0]-
B.[0,1]
C.[0,2]
D.[1,2]-
11. 设,x y 满足约束条件360,
20,0,0,
x y x y x y --≤??
-+≥??≥≥?
若目标函数(0,z ax by a b =+＞＞0)的最大值为12，则23a b +的最小值为
（A ）
256
(B) 83 (C) 113 (D) 4
12.（2010广东理）某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位
蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？
第五讲.映射与函数
例1．下列四个对应中，是映射的是 （ ）
A.(3)(4)
B.(1)(2)
C.(2)(3)
D.(1)(4)
例2.已知映射：{,:==→B A B A f R y x y x ∈,),(}，f ：A 中的元素(x,y)对应B 中的元素为)134,123(-++-y x y x 。
（1）、求A 中元素（1，2）的象？（2）、求B 中元素（1，2）的原象？
例3..已知A=B=R ，b ax y x f B y A x +=→∈∈:,,，若5→5，且711→，若20→C ，则C= 。
例4.设B A f →:是从A 到B 的一个映射，其中A=B=y x y x ,),{(}R ∈若),2(),(:y x x y x f +→，则A 中与B 中元
素（4，2）对应的元素是 。 例5.设函数4
()1f x x
=
+ ,若()2f a =,则实数a =______________ 练习
1.下列四个图形表示四种对应关系，其中是映射的是 。
2.（x ，y ）在影射f 下的象是(x+y,x-y),则(1,2)在f 下的原象是_________
3.已知：f ：x →y=x 2是从集合A=R 到B=[0,+∞
]的一个映射，则B 中的元素1在A 中的原象是_________
4. 设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射f ：A→B 把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素2n ＋n ，则在映射f 下，象20的原象是
（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
①
② ④
5．设f:A→B 是集合A 到集合B 的映射，则正确的是 （ ） A ．A 中每一元素在B 中必有象 B ．B 中每一元素在A 中必有原象
C ．B 中每一元素在A 中的原象是唯一的
D ．A 中的不同元素的象必不同
6. :f A B →是集合A 到集合B 的映射,2
,:21A B R f x x x ==→--，则A
中的元素1的象是 ,
B 中象-1的原象是 。
7.下列函数中哪个与函数y=x 相等？（1）y = (x )2
;（2）y = (33
x )
; （3）y =2
x
; （4）y=x
x 2
8. 已知正方形的周长为x ，它的外接圆半径为y ，则y 与x 的函数关系式为
A y=4
x (x ＞
0) B y=
(x ＞0) C y=8
x
(x ＞
(x ＞0) 9. 已知集合{}{}
421,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+，且*
*
,a N k N ∈∈，,x A y B ∈∈，映射:f A B →使B 中的
元素31y x =+和A 中元素x 对应，求a 和k 的值及集合A 、B.
第六讲.函数的解析式与定义域
例1.已知函数f(x)=3x 2
-5x+2，求f(3)，f(-2)，f(a), f(a+1)
例2．已知函数221)(x x x f +=，那么=??
? ??++??? ??++??? ??++41)4(31)3(21)2()1(f f f f f f f _____。
例3．求下列函数的定义域：(1)216x y -= (2) 2
1
++=
x x y (3) 1122-+-=x x y (4)f(x)=
2
561x
x --
例4、下列四组函数中，两函数是同一函数的是： （ ）
（A ）?(x)=2x 与?(x)=x; (B) ?(x)=2)x (与?(x)=x (C) ?(x)=x 与?(x)=3
3x ; (D) ?(x)= 2x 与?
(x)= 3
3x ;
例5.(郑州模拟)函数
例6、设???????<≥-=)0(1)0(12
1
)(x x
x x x f ，则f[f(1)]=
例7.（2009天津卷文）设函数???<+≥+-=0
,60
,64)(2x x x x x x f 则不等式)1()(f x f >的解集是（ ）
A.),3()1,3(+∞?-
B.),2()1,3(+∞?-
C.),3()1,1(+∞?-
D.)3,1()3,(?--∞
练习
1. 已知函数()23f x x =+，若()1f a
=，则a =
2.下列四组函数中，两函数是同一函数的是： （ ）
A.?(x)=2x 与?(x)=x
B. ?(x)=2)x (与?(x)=x
C.?(x)=x 与?(x)=33x
D. ?(x)= 2x 与?(x)= 3
3x ;
3. 已知函数(21)32f x x +=+，且()4f a =，则a =______________
4 已知???>+-≤+=)1(3)1(1)(x x x x x f 则)]25([f f = . 5.函数f(x)=??
???≥<<--≤+),
2(2),21(),
1(22
x x x x x x 若f(x)=3,则x 的值为 .。
6．已知函数f (x )＝???2x ， x ＞0
x ＋1，x ≤0
，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于
A ．－3
B ．－1
C ．1
D ．3
7.(2010·浙江省五校高三第一次联考)已知f(x)2,
0,(1),0.x x f x x >?=?+?
≤则
4433f f ????
+- ? ?????
的值等于( ) A.-2 B.4 C.2 D.-4
8.(浙江理科)设f (x )＝2
|1|2,||1,1
, ||11x x x x --≤???>?+?，则f [f (21)]＝( ) (A) 21 (B)413 (C)－95 (D) 25
41 9．(2005年北京文科) 函数x
x x f -+
+=
21
1)(的定义域为 ． 10.已知函数f(x)?g(x)分别由下表给出 x 1 2 3 f(x) 1
3
1
x 1 2 3 g(x)
3
2
1
则f[g(1)]的值为__________;满足f[g(x)]>g[f(x)]的x 的值是__________. 11.(2010·广东)在集合{a,b,c,d}上定义两种运算⊕和?如下:
那么d ? (a ⊕c)=________.
12．(2009·石家庄质检一)若不等式x －1
x ＋m
＋m <0的解集为{x |x <3或x >4}，则m 的值为________．
13. 函数2
16y x x
=
--的定义域是 .
14．(2008全国Ⅰ卷理) 函数(1)y x x x =-+的定义域为（ ）
A ．{}|0x x ≥
B ．{}|1x x ≥
C ．{}{}|10x x U ≥
D ．{}
|01x x ≤≤
15. 已知函数（a ，b 为常数）且方程f(x)－x+12=0有两个实根为x 1=3, x 2=4.
（1）求函数f(x)的解析式； （2）设k>1，解关于x 的不等式；
第七讲 反函数
例１：求Ｙ＝３Ｘ－１（Ｘ∈Ｒ）的反函数
例２：求y ＝Ｘ＋１（Ｘ≥０）的反函数
例３：求y ＝２Ｘ＋１４Ｘ＋３（x ∈Ｒ），x≠－１
２）的反函数
例4.求y=X 2+2x (x≥0) 例5．若(2,1)既在()f x mx n =+,m n 的值．
例6. 已知f(x)=(
1
1+-x x )2
(x≥1), (1)求f(x)的反函数f -1(x),并求出反函数的定义域; (2)判断并证明f -1(x)的单调性. 例7.(1)已知f(x)=
c x b ax ++(a 、b 、c 是常数)的反函数是f -1(x)=3
5
2-+x x ,求a+b+c 的值. (2)设点P(-1,-2)既在函数f(x)=ax 2+b(x≤0)的图象上,又在f(x)的反函数的图象上,求f -1(x).
练习 1.函数y=
47
3+-x x 的反函数是( ) A.y=473+-x x (x ∈R 且x≠-4) B.y=x x -+374(x ∈R 且x≠3) C.y=734-+x x (x ∈R 且x≠37)D.y=743+-x x (x ∈R 且x≠-4
7)
2.若函数f(x)的反函数f -1(x)=1+x 2(x<0),则f(2)等于 A.1 B.-1 C.1和-1 D.5
3.若函数y=f(x)的反函数是y=-21x -(-1≤x≤0),则原函数的定义域是
4.设y=
3
x
+m 和y=nx-9互为反函数,那么m 、n 的值分别是 5.求下列函数的反函数:(1)y=-21x -(-1≤x<0); (2)y=-x 2-2x+1(1≤x≤2); 6．（2006天津文）函数211(0)y x x +<的反函数是（ ）
Ａ．220)y x x x =
-<Ｂ．220)y x x x =--<Ｃ．22(2)y x x x =->
Ｄ．22(2)y x x x =-->
7.（2009全国卷Ⅱ文）函数x -(x ≤0)的反函数是
（ ）
（A ）2y x =（x ≥0） （B ）2y x =-（x ≥0）（B ）2y x =（x ≤0） （D ）2
y x =-（x ≤0） 8.（2009陕西卷文）函数()24(4)f x x x =-≥的反函数为
( )
A.1
21()4(0)2f
x x x -=
+≥ B.121()4(2)2f x x x -=+≥ C.121()2(0)2f x x x -=+≥ (D.学科
121
()2(2)2
f x x x -=+≥ 第八讲函数的单调性
例１. 函数2()2f x x x =-的单调增区间是 A. (,1]-∞ B. [1,)+∞ C. R D.不存在 例2. 函数
在
上是减函数,求
的取值集合 。
例3.在区间(,0)-∞上为增函数的是（ ）A ．2y x =- B ．2
y x
=
C ．||y x =
D ．2y x =- 例4. 在区间（0，2）上是增函数的是 (A )y =－x +1 (B )y =x (C )y = x 2－4x ＋5 (D )y =x
2 例5)(x f 为),(+∞-∞上的减函数，R a ∈，则
.A )2()(a f a f <.B )()(2
a f a f <.C )()1(2
a f a f <+.D )()(2
a f a a f <+
练习
1. 函数y ＝＝x 2－6x ＋10在区间（2，4）上是（ ） A ．递减函数 B ．递增函数
C ．先递减再递增
D ．选递增再递减．
2．函数f （x ）＝－x 2＋2（a －1）x ＋2在（－∞，4）上是增函数，则a 的范围是（ ） A ．a ≥5
B ．a ≥3
C ．a ≤3
D ．a ≤－5
3. 若函数f (x )在R 上单调增，则下列不等式成立的是 ( ) A.f (a 2-a +1)32) B.f (a -a 2-1)f (-3
2) 4. 已知f (x )是R 上的减函数，若a 、b ∈R 且a +b ≥0，则有 ( )
A.f (a )+f (b )≤-f (a )-f (b )
B.f (a )+f (b )≥-f (a )-f (b )
C.f (a )+f (b )≤f (-a )+f (-b )
D.f (a )+f (b )≥f (-a )+f (-b ) 5. 函数y=322-+x x 的单调递减区间是
6．已知()f x 是定义在(0,)+∞上的减函数，若2
2
(1)(341)f a a f a a ++<-+成立，则a 的取值范围是 ． 7．设f （x ）是定义在R 上的增函数，f （xy ）＝f （x ）＋f （y ），f （3）＝1，
求解不等式f （x ）＋f （x －2）＞1．
8.已知函数2
1
)(++=
x ax x f 在区间),2(+∞-上是增函数，试求a 的取值范围 9.设()f x 是定义在R 上的函数，且对任意实数x 、y 都有
()()()f x y f x f y +=+.求证：()1()f x 是奇函数；()2若当0x >时，有()0f x >，
第九讲函数的奇偶性
例１.下列函数是否具有奇偶性.
（1）3
)(x x f = （2）1)(4
-=x x f （3）2
1)(x x
x f +=
（4）2)(+=x x f . （5）122)(2++=x x x x f （6）x x x f 2)(3-= (7) 42
()23f x x x =+ (8)2()1
x f x x =+
例2.判断下列函数的是否具有奇偶性：
(1) f (x ) = x + x 3； (2) f (x ) = – x 2； (3) h (x ) = x 3 +1； (4) k (x ) =
21
1
x +，x [–1，2]；(5) f (x ) = (x + 1) (x – 1)； (6) g (x ) = x (x + 1)； (7) h (x ) = x +3x ； (8) k (x ) =2
1
1
x -.例3. 如果定义在区间]5,3[a -上的函数)(x f 为奇函数，则a =_____ 例4. 函数()|2||2|f x x x =-++的奇偶性是 .
例5. 设f(x)是R 上的偶函数，且在[ 0, + ∞ )上递增，则f(--2) 、f(--π) 、f(3)的大小顺序是 。
例6. 已知f (x )是奇函数，且在[3,7]是增函数且最大值为4，那么f (x )在[-7,-3]上是 函数，且最 值为 .
例7. 已知函数2
()3f x ax bx a b =+++是偶函数，且其定义域为［1,2a a -］，则（ ）
A ．3
1
=
a ，
b ＝0 B ．1a =-，b ＝0 C ．1a =，b ＝0 D ．3a =，b ＝0 例8. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2
()2f x x x =-，则()f x ）在R 上的表达式是
例9. 已知53
()8f x x ax bx =++-，且(2)10f -=，那么f （2）等于
例10.设函数
()()()x
a x x x f ++=
1为奇函数，则实数=a 。
练习
1. 对于定义域是R 的任意奇函数()f x 有（ ）.
A ．()()0f x f x --=
B ．()()0f x f x +-=
C ．()()0f x f x -=g
D ．(0)0f ≠
2. 已知()f x 是定义(,)-∞+∞上的奇函数，且()f x 在[)0,+∞上是减函数. 下列关系式中正确的是A. (5)(5)f f >- B.(4)(3)f f > C. (2)(2)f f -> D.(8)(8)f f -=
3.（2006山东文、理）已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x+2)=－f (x ),则,f (6)的值为（ ）
(A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2
4. 设()f x 在R 上是奇函数，当x >0时，()(1)f x x x =-， 试问f(-1)值
5. 函数()f x 在R 上为奇函数，且0x >时，()1f x x =，则当0x <，()f x = .
6．(2005重庆理、文)若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ，则使得0)(的取值范围是（ ） A ．)2,(-∞ B ．),2(+∞ C ．),2()2,(+∞--∞Y D ．（－2，2）
7.( 2007广东文)若函数f(x)=x 3
(x ∈R)，则函数y=f(-x)在其定义域上是（ ）
A ．单调递减的偶函数 B.单调递减的奇函数C ．单调递增的偶函数 D ．单调递增的奇函数 8.（2009辽宁卷文）已知函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足(21)f x -＜1()3
f 的x 取值范围是
（A ）（
13，23） B.［13，23） C.（12，23） D.［12，23
） 9.（2009重庆卷理）若1
()21
x f x a =+-是奇函数，则a = ．
10.（2009广东三校一模）定义在R 上的函数()x f 是奇函数又是以2为周期的周期函数,则()()()741f f f ++等于
A .-1
B .0
C .1
D .4
11．已知函数()f x 为R 上的奇函数，当0x ≥时，()(1)f x x x =+.若()2f a =-，则实数a = .
12.函数11-+
-=x x y 是 A ．奇函数 B .偶函数 C .既是奇函数又是偶函数 D .非奇非偶函数
13. 若函数f （x ）=3x
+3-x
与g （x ）=3x -3-x
的定义域均为R ，则
A ．f （x ）与g （x ）均为偶函数 B. f （x ）为偶函数，g （x ）为奇函数 C ．f （x ）与g （x ）均为奇函数 D. f （x ）为奇函数，g （x ）为偶函数
14. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，()f x x x 2
=2-，则()f 1=（A ）-3 (B) -1（Ｃ）１（Ｄ）３ 15．下列函数中，在(0,2)上是增函数的是 A ．y=-x+1 B ．x y =
C ．y=x 2-4x+5
D ．x
y 2=
16.下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）
单调递增的函数是 （A ）3
y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2
x
y -=
17.设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=2x
+2x+b(b 为常数)，则f(-1)= (A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3 18．定义在R 上的奇函数()f x 在（0，+∞）上是增函数，又(3)0f -=，则不等式()0xf x <的解集为（）
A ．（－3，0）∪（0，3）
B ．（－∞，－3）∪（3，+∞）
C ．（－3，0）∪（3，+∞）
D ．（－∞，－3）∪（0，3）
第十讲 指数与指数函数
例一、化简或求值
1.
44
366399a a = 2. 0.25－0.5＋????127－13－6250.25＝________. 3. 102
3691327137028-????????--÷?? ? ? ???????
???? 4. 12
112
13
3265a b a b ab ---?? ??? 例二、 比较大小设()31
212,0,1x x y a
y a a a +-==>≠，确定x 为何值时,有:
(1) 12y y = (2) 12y y > 例三、设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝????12－1.5
，则( )
A ．y 3>y 1>y 2
B ．y 2>y 1>y 3
C ．y 1>y 2>y 3
D ．y 1>y 3>y 2
例四、函数y ＝ax 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a 的值为
、
例五、已知函数225
13x x y ++??= ?
??
，求其单调区间及值域。
例六、已知[]3,2x ∈-，求11
()142x x
f x =
-+的最小值与最大值。
例七、已知函数1
()(1)1
x x
a f x a a -=>+, (1)判断函数的奇偶性； (2)求该函数的值域； (3)证明()f x 是R 上的增函数。 例八、对于函数()()221
x f x a a R =-
∈+
(1)探索函数()f x 的单调性; (2)是否存在实数a ,使函数()f x 为奇函数?
练习
一、选择题： 1. 计算()
12
2
5
-
??-???
?
的结果是 ().5A - ().5B 5().C - 5().D
2.函数()
2
()1x
f x a =-在R 上是减函数，则a 的取值范围是 A 、1>a B 、22a < D 、12a <<
3. 函数y ＝a x －
2＋1（a ＞0，a ≠1）的图象必经过点 （A ）．（0，1） (B)．（1，1）(C)．（2，0） (D)．（2，2）
4.函数y ＝a x 在［0，1］上的最大值与最小值和为3，则函数y ＝3a x －
1
在［0，1］上的最大值是
（A ）．6
(B)．1
(C)．3
(D)．
2
3
5、已知,0a b ab >≠，下列不等式（1）22a b >；(2)22a b >；(3)b a 11<；(4)11
3
3a b >；(5)1133a
b
????< ? ?????
中恒成立
的有（ ）A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 6、已知01,1a b <<<-,则函数x
y a b =+的图像必定不经过（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限
二、填空题：
7、若103,104x
y
==，则10
x y
-= 。 8、函数2
233x y -=的单调递减区间是 。 9、若21
(5
)2x f x -=-，则(125)f = 。
三、解答题：
10、设01a <<，解关于x 的不等式22
232
223
x x x
x a
a -++->。
11、设a R ∈，22
()()21
x x
a a f x x R ?+-=∈+，试确定a 的值，使()f x 为奇函数。 12、函数y=a 2x +2a x -1(a>0,a ≠1)在区间[-1,1]上的最大值为14，求a 的值。
第十一讲对数和对数函数
例一. 求值 1. . 。 2. ；
例二． 函数y=log (2x-1)23-x 的定义域是
例三. 求函数1ln(1)
(1)2
x y x +-=
>的反函数是
例四. 比较下列各题中两个数值的大小：
1. 22log 3log 3.5和；
2. 0.30.2log 4log 0.7和；
3. 0.70.7log 1.6log 1.8和；
4. 23log 3log 2和． 1． 若函数)1,0)((log ≠>+=a a b x y a 的图象过两点(-1，0)和(0，1)，则 ( ) (A)a=2,b=2 (B)a= 2 ,b=2 (C)a=2,b=1 (D)a= 2 ,b= 2 2. 2log 510＋log 50.25＝
（A ）0 （B ）1 （C ） 2 （D ）4 3. 已知log 7[log 3(log 2x)]=0，那么x 2
1-等于（ ）
（A ）
31
（B ）321 （C ）2
21 （D ）331 4． 函数y=log (x-1)(3-x)的定义域是 。 5. x y 2log =
的定义域是 A ．(0,1］ B. (0,+∞) C. (1,+∞) D. ［1,+∞)
6. 函数2
()lg(31)1f x x x
=
++-的定义域是 A.1(,)3-+∞ B. 1(,1)3
- C. 11(,)33- D. 1(,)3
-∞-
8.函数)1lg()(-=x x f 的定义域是 A.),2(+∞ B. ),1(+∞ C. ),1[+∞ D. ),2[+∞
9. 已知f(x)=a x ,g(x)=log a x(a>0,a ≠1)，若f(3)×g(3)<0,那么f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能为
综合练习 指数、指数函数、对数、对数函数综合练习
1. 函数x
a y =在]1,0[上的最大值与最小值这和为3，则a ＝ （A ）
21 （B ）2 （C ）4 （D ）4
1 A 1 x y O B
1
x
y O C
1 x
y
O D
1 x
y
O
2. 已知x x f 26
log )(=，那么)8(f 等于 （A ）
3
4 （B ）8 （C ）18 （D ）
2
1 3. 已知5
()lg ,(2)f x x f ==则（ ） （A ）lg 2 （B ）lg32 （C ）1
lg
32
（D ）1lg 25
4. 记函数13x
y -=+的反函数为()y g x =，则(10)g =（ ） A ． 2 B ． 2- C ． 3 D ． 1-
5.. 函数)(2R x e y x
∈=的反函数为 （ ）
A ．)0(ln 2>=x x y
B ．)0)(2ln(>=x x y
C ．)0(ln 21>=
x x y D ．)0(2ln 21
>=x x y 6. 已知函数=-=+-=)(.)(.11lg
)(a f b a f x
x
x f 则若 A ．b B ．－b C ．b 1 D ．－b
1
7. 函数)11lg(x
y -= 的定义域为A ．{}0|x x
C ．{}10|<D ．{}10|><或x x
8.设)(1
x f
-是函数)1(log )(2+=x x f 的反函数,若8)](1)][(1[1
1
=++--b f a f
,则
f(a —b)的值为 (A) 1 (B)2 (C)3 (D)3log 2
9. 若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a = A.
42B. 22 C. 41D. 2
1 10.
函数y =
的定义域是：（ ）A [1,)+∞ B 23(,)+∞ C 23[,1] D 2
3(,1]
11.若函数的图象经过第二且)10(1)(≠>-+=a a b a x f x
、三、四象限，则一定有（ ）
A ．010><
B ．01>>b a 且
C ．010<<
D ．01<>b a 且
12．函数)1(log 22
1-=
x y 的定义域为
A ．[)(]
2,11,2Y -- B ．)2,1()1,2(Y --C ．[)(]2,11,2Y -- D ．)2,1()1,2(Y -- 13．函数y ＝lg|x|
A ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增
B ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减
C ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增
D ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减
14. 设函数0021
,1)(0
,,
0,12)(x x f x x x x f x 则若>?????>≤-=-的取值范围是 （A ）（－1，1） （B ）(1,)-+∞
（C ）（－∞，－2）∪（0，+∞） （D ）（－∞，－1）∪（1，+∞）
二、填空题
15. 方程1)12(log 3=-x 的解=x .
16. 已知函数()43x
f x a a =-+的反函数的图象经过点（-1，2），那么a 的值等于 . 17. 函数x
e x
f -=
11)(的定义域是 ． 18. 函数x x x x f ---=
4lg 3
2
)(的定义域是 ． 19. 函数)34(log 25.0x x y -=
的定义域为___． 20．若函数)2(log )(22a x x x f n ++=是奇函数，则a = ．
21.设函数f(x)=x log 9, 则满足f(x)=
2
1
的x 值为 . 22.设函数f(x)= (]???+∞∈∞∈-)
,1(x ,x log ,1-x ,281x ，则满足f(x)= 41
的x 值为 .
三、解答题
23. 设函数)32lg()(-=x x f 的定义域为集合M ，函数1
2
1)(--=x x g 的定义域为集合N 。求： （1）集合M ，N ； （2）集合N M I ，N M Y 。 24. 解方程.0122
42
=--+x x
25. 解不等式：).22(log )2(log 22
2->--x x x
26. 已知函数x x
x x f -+-=11log 1)(2
，求函数)(x f 的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性. 27.已知函数f (x )=).1(1
2>+-+a x x a x
证明：函数f (x )在(–1,+∞)上为增函数；
28. 记函数f(x)=1
3
2++-
x x 的定义域为A, g(x)=lg[(x －a －1)(2a －x)](a<1) 的定义域为B. (1) 求A ； (2) 若B ?A, 求实数a 的取值范围.
第十二讲 数列的概念
例1 写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列个数:
(1)4
1
,31,21,1--; (2)0,2,0,2. (3)7,5,3,1 (4)515,414,313,2122222---- 例2 根据下面数列}{n a 的通项公式,写出前5项.
(1)1
+=n n a n (2)n a n
n ?-=)1( (3)2=n a
例3 在数列}{n a 中,21,3101==a a ,通项公式是项数的一次函数.
(1)求数列}{n a 的通项公式,并求2008a ; (2)若n n a b 2=,求数列}{n b 的通项公式.
例4 已知数列Λ,5
13
,25,37,
2,1写出这个数列的一个通项公式n a ; 例5 已知数列}{n a 的首项11=a ,且)1(1
11
>+=-n a a n n ,写出这个数列的前5项. 例6设数列}{n a 是以1为首项的正数列,且)(0)1(8
1221N n a a na a n n n n n ∈=+-+++,求数列}{n a 的通项公式.
例7明确数列的通项公式与前n 项和公式的关系：
S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ； ??
?
≥-==-).
2(),
1(11
n S S n S a n n n
例8.已知：数列{a n }的前n 项和S n ，求：数列{a n }的通项公式a n ，
(1)S n ＝n 2－2n ＋2； (2)S n ＝(
2
3)n
－1．猜出数列的一个通项公式．
例9设数列{}a n 中，12a =，11n n a a n +=++，则通项a n = 例10在数列{}n a 中，111,
(2),1
n n a n a n a n -==≥-则?n a = 例11已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10等于( )
(A)－165 (B)－33 (C)－30 (D)－21
练习
一、选择题 1．数列42-
，75，108-，1311
，16
14-，…的通项公式为( ) (A)1
31
3)
1(1
+--+n n n (B)1
31
3)
1(+--n n n
(C)1
32
3)
1(---n n n
(D)1
33
3)
1(---n n n
2．若数列的前四项是3，12，30，60，则此数列的一个通项公式是( )
(A)2
)2)(1(++n n n
(B)5n 2－6n ＋4
(C)2
)1(93-+n n
(D)2
127112+-n n
3已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 3，则a 5＋a 6的值为( ) A ．91 B ．152C ．218
D ．279
4在数列{a n }中，a 1＝1，当n ∈N *时，a n ＋1－a n ＝n ，则a 100的值为( ) A ．5050B ．5051C ．4950 D ．4951 5数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，则a 7＝( ) (A)11 (B)12 (C)13 (D)14 二、填空题
7数列2，5，2，5，…的一个通项公式________．
8数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，数列{a n }的前4项是________，a n ＝________． 9若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ＋1，则它的通项公式是________． 10数列{a n }的前n 项积为n 2，则a 3＋a 5＝________． 三、解答题
11数列{a n }中，若a 1＝
2
1
，a 1＋a 2＋…＋a n ＝na n ，求数列{a n }前4项，并猜想数列{a n }的一个通项公式． 12.已知数列}{n a 的前n 项和为n n S n -=2
2,求n a .
13.已知数列}{n a 的前n 项和为12
++=n n S n ,求n a . 14.已知数列}{n a 的前n 项和为12-=n
n S ,求n a .
第十三讲 等差数列
例1已知数列的通项52n a n =-
+，则其前n 项和n
S = ．
例2.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S 。若972S =，则249a a a ++=_______. 例3.等差数列{}n a 的前n 项和记为n S 。已知1030
a =，
2050a =。
（1）求通项n a ；（2）若242n S =，求n .
例4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =（ ）
A.8
B.7
C.6
D.5
例5设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735S =，则4a =（ ）A 、8 B 、7
C 、6
D 、5
例6.(海南、宁夏理)已知数列{}n a 是一个等差数列，且21a =，55a =-。
（1）求{}n a 的通项n a ；（2）求{}n a 前n 项和n S 的最大值。
例7（全国、江西、天津文）设{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知77=S ，
7515=S ，n T 为数列?
??
??
?n S n 的前n 项和，求n T 。 例8（北京理）已知{}n a 是等差数列，21=a ，183=a ；{}n b 也是等差数列， 4a 22=-b ，
3214321a a a b b b b ++=+++。
（1）求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S 的公式；
（2）数列{}n a 与{}n b 是否有相同的项？ 若有，在100以内有几个相同项？若没有，请说明理由。
练习
1.(安徽文)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若＝则432,3,1S a a ==（A ）12 （B ）10 （C ）8 （D ）6 2． (重庆文)已知｛a n ｝为等差数列，a 2+a 8=12,则a 5等于（ ） (A)4 (B)5
(C)6
(D)7
3.（全国Ⅰ卷文）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735S =，则4a =（ ）A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 4．(广东文)记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若42=S ，204=S ，则该数列的公差d=（ ） A ．7 B. 6 C. 3 D. 2
5．（全国、天津文，辽宁、广东）等差数列{}n a 中，已知3
1
a 1=
，4a a 52=+，33a n =，则n 为（ ） （A ）48 （B ）49 （C ）50 （D ）51
6.（四川文）等差数列{a n }中，a 1=1,a 3+a 5=14，其前n 项和S n =100,则n =（ ） (A)9 (B)10 (C)11 (D)12
7．（福建文）设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若
==5935,95S S a a 则（ ）A ．1 B ．－1 C ．2 D ．2
1
8.（北京、安徽文、理）已知等差数列{a n }满足α1＋α2＋α3＋…＋α101＝0则有( )
A ．α1＋α101＞0
B ．α2＋α100＜0
C ．α3＋α99＝0
D ．α51＝51
9.（全国卷II 理）如果1a ，2a ，…，8a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则( ) （A ）1a 8a >45a a （B ）8a 1a <45a a （C ）1a +8a >4a +5a （D ）1a 8a =45a a
10.（北京文、理）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）
（A ）13项 （B ）12项 （C ）11项 （D ）10项 二、填空题：（每小题5分，计20分）
11（2001上海文）设数列{}n a 的首项)N n ( 2a a ,7a n 1n 1∈+=-=+且满足，则=+++1721a a a Λ_____________. 12．(2008海南、宁夏文)已知{a n }为等差数列，a 3 + a 8 = 22，a 6 = 7，则a 5 = __________
13.（2006山东文）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，4S ＝14，30S S 710=-，则9S ＝ . 14.在等差数列{}8111
62
n a a a =+中，，则数列前9项之和9S 等于（ ） A ． 24
B ．48
C ．72
D ．108
15等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若28515a a a +=-，则S 9等于（ ）A ．18 B ．36 C ．45
D ．60
16. 若等差数列
{}
n a 的前5项和
525
S =，且
23
a =，则
a
7
=（ ）A ．12 B ．13 C ．14 D ．15
17. 已知等差数列中，，则
A. 15
B. 17 C . -15
D. 16
18.已知等比数列{}n a 中，12340a a a ++=，45620a a a ++=，则前9项之和等于（ ）
A ．50
B ．70
C ．80
D ．90
19. 知数列}{n a 为等差数列，若151062=++a a a ，则=6a A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
